Ehtimal nəzəriyyəsində p a nədir. Ehtimal nəzəriyyəsinin və riyazi statistikanın əsasları

Ana çərçivəni yudu

Uzun müddətin sonunda yay tətilləri yavaş-yavaş ali riyaziyyata qayıtmağın və yeni bölmə yaratmağa başlamaq üçün boş Verdov faylını təntənəli şəkildə açmağın vaxtı gəldi - . Etiraf edirəm, ilk sətirlər asan deyil, amma ilk addım yolun yarısıdır, ona görə də hər kəsə giriş məqaləsini diqqətlə öyrənməyi təklif edirəm, bundan sonra mövzunun mənimsənilməsi 2 dəfə asan olacaq! Mən heç də şişirtmirəm. …Növbəti sentyabrın 1-i ərəfəsində mən birinci sinfi və ilk dərsi xatırlayıram…. Hərflər hecalar, hecalar sözlər, sözlər qısa cümlələr təşkil edir - Ana çərçivəni yudu. Turver və riyaziyyat statistikasını mənimsəmək oxumağı öyrənmək qədər asandır! Bununla belə, bunun üçün bu dərsin mövzusu olan əsas terminləri, anlayışları və təyinatları, habelə bəzi xüsusi qaydaları bilməlisiniz.

Amma əvvəlcə, zəhmət olmasa, başlanğıc münasibətilə təbriklərimi qəbul edin (davam, tamamlama, lazımi qeyd) tədris ili və hədiyyəni qəbul edin. Ən yaxşı hədiyyə kitabdır və bunun üçün müstəqil iş Aşağıdakı ədəbiyyatı tövsiyə edirəm:

1) Gmurman V.E. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika

Əfsanəvi dərslik, ondan çox təkrar nəşrdən keçmişdir. O, başa düşülməsi və materialın son dərəcə sadə təqdimatı ilə seçilir və ilk fəsillər, məncə, artıq 6-7-ci sinif şagirdləri üçün tamamilə əlçatandır.

2) Gmurman V.E. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikada problemlərin həlli üçün bələdçi

Eyni Vladimir Efimoviç tərəfindən ətraflı nümunələr və problemlər ilə bir həll kitabı.

MÜTLƏQ hər iki kitabı internetdən endirin və ya onların kağız orijinalını əldə edin! 60-70-ci illərin versiyası da işləyəcək, bu, dummies üçün daha yaxşıdır. "Dummies üçün ehtimal nəzəriyyəsi" ifadəsi olduqca gülünc səslənsə də, demək olar ki, hər şey ibtidai biliklərlə məhdudlaşır. arifmetik əməliyyatlar. Bununla belə, yerlərdə atlayırlar törəmələri Və inteqrallar, lakin bu yalnız yerlərdə olur.

Təqdimatın eyni aydınlığına nail olmağa çalışacağam, amma kursumun hədəfləndiyini xəbərdar etməliyəm problemin həlli və nəzəri hesablamalar minimuma endirilir. Beləliklə, əgər sizə ətraflı nəzəriyyə, teoremlərin sübutları (teorem-teoremlər!) lazımdırsa, dərsliyə müraciət edin. Yaxşı, kim istəyir problemləri həll etməyi öyrənin ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikada mümkün olan ən qısa müddətdə, məni izləyin!

Başlanğıc üçün bu kifayətdir =)

Məqalələri oxuduqca, nəzərdən keçirilən növlərin əlavə tapşırıqları ilə (ən azı qısa) tanış olmaq məsləhətdir. Səhifədə Ali riyaziyyat üçün hazır həllər Həll nümunələri ilə müvafiq pdf-lər yerləşdiriləcək. Əhəmiyyətli yardım da göstəriləcək IDZ 18.1 Ryabuşko(daha sadə) və Çudesenkonun kolleksiyasına görə IDZ həll etdi(daha çətin).

1) Məbləğ iki hadisə və hadisə baş verəcək adlanır və ya hadisə və ya hadisə və ya hər iki hadisə eyni vaxtda. Hadisələrin baş verdiyi halda uyğunsuz, sonuncu variant yox olur, yəni baş verə bilər və ya hadisə və ya hadisə.

Qayda daha çox sayda terminə, məsələn, hadisəyə də aiddir baş verəcək şeydir ən azı bir hadisələrdən , A hadisələr bir-birinə uyğun gəlmirsə – sonra bir şey və yalnız bir şey bu məbləğdən hadisə: və ya hadisə, və ya hadisə, və ya hadisə, və ya hadisə, və ya hadisə.

Çoxlu nümunələr var:

Hadisələr (zar atarkən 5 xal görünməyəcək) görünəcək və ya 1, və ya 2, və ya 3, və ya 4, və ya 6 xal.

Hadisə (düşəcək daha yox iki nöqtə) 1 görünəcək və ya 2xal.

Hadisə (cüt sayda xal olacaq) görünən budur və ya 2 və ya 4 və ya 6 xal.

Hadisə göyərtədən qırmızı vərəqə (ürək) çəkiləcəyidir və ya qaval) və hadisə – “şəkil” çıxarılacaq (jak və ya xanım və ya kral və ya ace).

Birgə tədbirlərlə bağlı vəziyyət bir az daha maraqlıdır:

Tədbir odur ki, göyərtədən bir klub çəkiləcək və ya yeddi və ya yeddi klub Yuxarıda verilmiş tərifə əsasən, heç olmasa bir şey- və ya hər hansı bir klub və ya hər hansı yeddi və ya onların "kəsişməsi" - yeddi klub. Bu hadisənin 12 elementar nəticəyə (9 klub kartı + 3 qalan yeddilik) uyğun olduğunu hesablamaq asandır.

Hadisə sabah saat 12.00-da gələcək Ümumilikdə ortaq hadisələrdən EN AZ BİRİ, yəni:

– və ya yalnız yağış / yalnız tufan / yalnız günəş olacaq;
– və ya yalnız bəzi cüt hadisələr baş verəcək (yağış + tufan / yağış + günəş / tufan + günəş);
– və ya hər üç hadisə eyni vaxtda görünəcək.

Yəni, tədbirə 7 mümkün nəticə daxildir.

Hadisələr cəbrinin ikinci sütunu:

2) İş iki hadisə və bu hadisələrin birgə baş verməsindən ibarət olan hadisəyə deyilir, başqa sözlə, çoxalma müəyyən şəraitdə Və hadisə, Və hadisə. Bənzər bir ifadə daha çox sayda hadisə üçün doğrudur, məsələn, bir iş müəyyən şərtlər altında baş verəcəyini nəzərdə tutur Və hadisə, Və hadisə, Və hadisə,…, Və hadisə.

İki sikkənin atıldığı bir testi nəzərdən keçirək və aşağıdakı hadisələr:

– 1-ci sikkədə başlar görünəcək;
– 1-ci sikkə başları yerə endirəcək;
– 2-ci sikkədə başlar görünəcək;
– 2-ci sikkə baş verəcək.

Sonra:
Və 2-də) başlar görünəcək;
– hadisə ondadır ki, hər iki sikkədə (1-ci Və 2-də) başlar olacaq;
– hadisə ondadır ki, 1-ci sikkə başları yerə qoyacaq Və 2-ci sikkə quyruqlardır;
– hadisə ondadır ki, 1-ci sikkə başları yerə qoyacaq Və 2-ci sikkədə qartal təsvir edilmişdir.

Bu hadisələri görmək asandır uyğunsuz (çünki, məsələn, eyni anda 2 baş və 2 quyruq ola bilməz) və forma tam qrup (nəzərə alındığından Hamısı iki sikkə atmağın mümkün nəticələri). Bu hadisələri ümumiləşdirək: . Bu girişi necə şərh etmək olar? Çox sadə - vurma məntiqi birləşdirici deməkdir VƏ, və əlavə - YA. Beləliklə, məbləği başa düşülən insan dilində oxumaq asandır: “iki baş görünəcək və ya iki baş və ya 1-ci sikkə baş verəcək Və 2-ci quyruqlarda və ya 1-ci sikkə baş verəcək Və 2-ci sikkədə qartal var"

Bu bir nümunə idi bir testdə bir neçə obyekt iştirak edir, bu halda iki sikkə. Praktik məsələlərdə başqa bir ümumi sxem yenidən sınaqdan keçirilir , məsələn, eyni kalıp 3 dəfə ardıcıl olaraq yuvarlandıqda. Nümayiş olaraq aşağıdakı hadisələri nəzərdən keçirin:

– 1-ci atışda siz 4 xal alacaqsınız;
– 2-ci atışda siz 5 xal alacaqsınız;
– 3-cü atışda 6 xal qazanacaqsınız.

Sonra hadisə 1-ci atışda 4 xal alacaqsınız Və 2-ci atışda 5 xal qazanacaqsınız Və 3-cü rulonda 6 xal alacaqsınız. Aydındır ki, kub vəziyyətində sikkə atdığımızdan daha çox kombinasiya (nəticələr) olacaq.

...Başa düşürəm, bəlkə də çox yaxşı başa düşmürlər maraqlı nümunələr, lakin bunlar problemlərdə tez-tez rast gəlinən və onlardan qaçış olmayan şeylərdir. Bir sikkə, bir kub və bir kart göyərtəsinə əlavə olaraq, rəngarəng topları olan qablar, hədəfə atəş edən bir neçə anonim insan və daim bəzi detalları üyüdən yorulmaz bir işçi sizi gözləyir =)

Hadisənin baş vermə ehtimalı

Hadisənin baş vermə ehtimalı ehtimal nəzəriyyəsinin mərkəzi anlayışıdır. ...Qatil məntiqli bir şey, amma haradansa başlamaq lazım idi =) Onun tərifinə bir neçə yanaşma var:

;
Ehtimalın həndəsi tərifi ;
Ehtimalın statistik tərifi .

Bu yazıda mən təhsil tapşırıqlarında ən çox istifadə olunan ehtimalın klassik tərifinə diqqət yetirəcəyəm.

Təyinatlar. Müəyyən bir hadisənin baş vermə ehtimalı böyük latın hərfi ilə göstərilir və hadisənin özü bir növ arqument rolunu oynayaraq mötərizədə götürülür. Misal üçün:

Həmçinin, kiçik hərf ehtimalı ifadə etmək üçün geniş istifadə olunur. Xüsusilə, hadisələrin çətin təyinatlarından və onların ehtimallarından imtina edə bilərsiniz aşağıdakı üslubun lehinə:

– sikkə atmanın başlarla nəticələnməsi ehtimalı;
– zarın atılmasının 5 xalla nəticələnməsi ehtimalı;
– göyərtədən klub kostyumunun kartının çəkilmə ehtimalı.

Bu seçim praktiki problemləri həll edərkən məşhurdur, çünki bu, həllin qeydini əhəmiyyətli dərəcədə azaltmağa imkan verir. Birinci halda olduğu kimi, burada da “danışan” alt yazılardan/yuxarı yazılardan istifadə etmək rahatdır.

Yuxarıda yazdığım rəqəmləri hər kəs çoxdan təxmin edirdi və indi onların necə olduğunu öyrənəcəyik:

Ehtimalın klassik tərifi:

Müəyyən bir testdə bir hadisənin baş vermə ehtimalı nisbət adlanır, burada:

– ümumi sayı hər kəs eyni dərəcədə mümkündür, ibtidai Bu testin nəticələri hansı formadadır hadisələrin tam qrupu;

- kəmiyyət ibtidai nəticələr, əlverişli hadisə.

Sikkə atarkən ya başlar, ya da quyruqlar düşə bilər - bu hadisələr meydana gəlir tam qrup, beləliklə, nəticələrin ümumi sayı; eyni zamanda onların hər biri ibtidai Və eyni dərəcədə mümkündür. Tədbirə nəticə (rəhbərlər) tərəfindən üstünlük verilir. Ehtimalın klassik tərifinə görə: .

Eynilə, zərfin atılması nəticəsində tam bir qrup meydana gətirən elementar bərabər mümkün nəticələr meydana çıxa bilər və hadisə bir nəticə ilə (beş atma) üstünlük təşkil edir. Buna görə də: BUNU QƏBUL EDİLMİR (baxmayaraq ki, başınızdakı faizləri hesablamaq qadağan deyil).

Bir vahidin fraksiyalarından istifadə etmək adətdir, və açıq-aydın, ehtimal daxilində dəyişə bilər. Üstəlik, əgər , onda hadisədir qeyri-mümkün, Əgər - etibarlı, və əgər , onda biz danışırıq təsadüfi hadisə.

! Əgər hər hansı problemi həll edərkən başqa ehtimal dəyəri əldə edirsinizsə, xətanı axtarın!

Ehtimalın müəyyənləşdirilməsinə klassik yanaşmada ekstremal dəyərlər (sıfır və bir) eyni əsaslandırma ilə əldə edilir. 10 qırmızı top olan müəyyən bir qabdan təsadüfi olaraq 1 top çəkilsin. Aşağıdakı hadisələri nəzərdən keçirin:

tək sınaqda az ehtimallı hadisə baş verməyəcək.

Buna görə də, bu hadisənin ehtimalı, məsələn, 0,00000001 olarsa, lotereyada cekpotu vurmayacaqsınız. Bəli, bəli, bu sənsən – müəyyən dövriyyədə olan yeganə biletlə. Bununla belə, daha çox sayda bilet və daha çox sayda rəsm sizə çox kömək etməyəcək. ...Bu barədə başqalarına danışanda, demək olar ki, həmişə cavab eşidirəm: “amma kimsə qalib gəlir”. Yaxşı, onda aşağıdakı eksperimenti edək: lütfən, bu gün və ya sabah istənilən lotereya üçün bilet alın (gecikməyin!). Əgər qalib gəlsəniz... yaxşı, ən azı 10 kilorubdan çox, mütləq qeydiyyatdan keçin - bunun niyə baş verdiyini izah edəcəyəm. Faiz üçün, əlbəttə =) =)

Ancaq kədərlənməyə ehtiyac yoxdur, çünki bunun əksi prinsipi var: əgər hansısa hadisənin baş vermə ehtimalı birinə çox yaxındırsa, bir sınaqda o, demək olar ki, müəyyən Baş verəcək. Buna görə də, paraşütlə tullanmadan əvvəl qorxmağa ehtiyac yoxdur, əksinə gülümsəyin! Axı hər iki paraşütün sıradan çıxması üçün tamamilə ağlasığmaz və fantastik hallar yaranmalıdır.

Bütün bunlar lirizm olsa da, hadisənin məzmunundan asılı olaraq birinci prinsip şən, ikincisi isə kədərli ola bilər; hətta hər ikisi paraleldir.

Bəlkə də bu, indilik dərsdə kifayətdir Klassik ehtimal problemləri düsturdan maksimum nəticə əldə edəcəyik. Bu məqalənin son hissəsində bir mühüm teoremi nəzərdən keçirəcəyik:

Tam qrup təşkil edən hadisələrin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir. Kobud desək, hadisələr tam qrup təşkil edərsə, 100% ehtimalla onlardan biri baş verəcək. Ən sadə halda, tam qrup əks hadisələrlə əmələ gəlir, məsələn:

– sikkə atılması nəticəsində başlar görünəcək;
– sikkə atmanın nəticəsi başlar olacaq.

Teoremə görə:

Bu hadisələrin eyni dərəcədə mümkün olduğu və ehtimallarının eyni olduğu tamamilə aydındır .

Ehtimalların bərabərliyinə görə, eyni dərəcədə mümkün hadisələr çox vaxt adlanır eyni dərəcədə ehtimal olunur . Və burada sərxoşluq dərəcəsini təyin etmək üçün bir dil bükmə var =)

Kub ilə misal: hadisələr əksdir, buna görə də .

Baxılan teorem ona görə rahatdır ki, əks hadisənin baş vermə ehtimalını tez tapmağa imkan verir. Beləliklə, beşin yuvarlanma ehtimalı məlumdursa, onun yuvarlanmama ehtimalını hesablamaq asandır:

Bu, beş elementar nəticənin ehtimallarını ümumiləşdirməkdən daha sadədir. Elementar nəticələr üçün, yeri gəlmişkən, bu teorem də doğrudur:
. Məsələn, atıcının hədəfi vurma ehtimalı varsa, onun qaçırma ehtimalı.

! Ehtimal nəzəriyyəsində hərflərdən başqa məqsədlər üçün istifadə etmək arzuolunmazdır.

Bilik günü şərəfinə soruşmayacağam ev tapşırığı=), lakin aşağıdakı suallara cavab verə bilməyiniz çox vacibdir:

- Hansı növ hadisələr var?
– Hadisənin şansı və bərabər ehtimalı nədir?
– Hadisələrin uyğunluğu/uyğunsuzluğu anlayışını necə başa düşürsünüz?
– Tam hadisələr qrupu, əks hadisələr nədir?
– Hadisələrin toplanması və vurulması nə deməkdir?
– Ehtimalın klassik tərifinin mahiyyəti nədir?
– Tam qrup təşkil edən hadisələrin ehtimallarını toplamaq üçün teorem nə üçün faydalıdır?

Xeyr, heç bir şeyi sıxışdırmağa ehtiyac yoxdur, bunlar yalnız ehtimal nəzəriyyəsinin əsaslarıdır - tez başınıza uyğunlaşacaq bir növ primer. Bunun mümkün qədər tez baş verməsi üçün sizə dərslərlə tanış olmağı təklif edirəm

Reallıqda və ya təsəvvürümüzdə baş verən hadisələri 3 qrupa bölmək olar. Bunlar mütləq baş verəcək müəyyən hadisələr, mümkün olmayan hadisələr və təsadüfi hadisələrdir. Ehtimal nəzəriyyəsi təsadüfi hadisələri öyrənir, yəni. baş verə biləcək və ya olmaya biləcək hadisələr. Bu məqalə təqdim olunacaq qısaca ehtimal nəzəriyyəsi düsturları və riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanının 4-cü tapşırığında olacaq ehtimal nəzəriyyəsində problemlərin həlli nümunələri (profil səviyyəsi).

Nə üçün ehtimal nəzəriyyəsinə ehtiyacımız var?

Tarixən bu problemlərin öyrənilməsi zərurəti 17-ci əsrdə qumar oyunlarının inkişafı və peşəkarlaşması, kazinoların yaranması ilə əlaqədar yaranmışdır. Bu, özünün öyrənilməsini və tədqiqatını tələb edən əsl hadisə idi.

Kartlar, zarlar və rulet oynamaq, eyni dərəcədə mümkün olan məhdud sayda hadisələrin hər hansı birinin baş verə biləcəyi vəziyyətlər yaratdı. Müəyyən bir hadisənin baş vermə ehtimalının ədədi təxminlərini verməyə ehtiyac var idi.

20-ci əsrdə aydın oldu ki, bu qeyri-ciddi görünən elm mikrokosmosda baş verən fundamental proseslərin dərk edilməsində mühüm rol oynayır. yaradılmışdır müasir nəzəriyyə ehtimallar.

Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışları

Ehtimal nəzəriyyəsinin tədqiqat obyekti hadisələr və onların ehtimallarıdır. Əgər hadisə mürəkkəbdirsə, onda o, ehtimallarını tapmaq asan olan sadə komponentlərə bölünə bilər.

A və B hadisələrinin cəminə C hadisəsi deyilir ki, bu da ya A hadisəsinin, ya B hadisəsinin, ya da A və B hadisələrinin eyni vaxtda baş verməsindən ibarətdir.

A və B hadisələrinin hasili C hadisəsidir, yəni həm A, həm də B hadisəsi baş verib.

A və B hadisələri eyni vaxtda baş verə bilmirsə, uyğunsuz adlanır.

A hadisəsi baş verə bilməzsə qeyri-mümkün adlanır. Belə bir hadisə simvolla göstərilir.

A hadisəsi baş verəcəyinə əmin olduqda müəyyən adlanır. Belə bir hadisə simvolla göstərilir.

Hər bir A hadisəsi P(A) rəqəmi ilə əlaqələndirilsin. Bu uyğunluqla aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilərsə, bu ədəd P(A) A hadisəsinin baş vermə ehtimalı adlanır.

Mühüm xüsusi hal, eyni dərəcədə ehtimal olunan elementar nəticələrin olduğu və bu nəticələrin ixtiyari A hadisələrini təşkil etdiyi vəziyyətdir. Bu halda ehtimal düsturdan istifadə etməklə daxil edilə bilər. Bu şəkildə təqdim edilən ehtimala klassik ehtimal deyilir. Sübut edilə bilər ki, bu halda 1-4 xassələri təmin edilir.

Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanında ortaya çıxan ehtimal nəzəriyyəsi problemləri əsasən klassik ehtimalla bağlıdır. Bu cür tapşırıqlar çox sadə ola bilər. Ehtimal nəzəriyyəsindəki problemlər xüsusilə sadədir demo seçimləri. Əlverişli nəticələrin sayını hesablamaq asandır, bütün nəticələrin sayı birbaşa vəziyyətdə yazılır.

Düsturdan istifadə edərək cavabı alırıq.

Ehtimalın müəyyən edilməsi üzrə riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanından bir problem nümunəsi

Stolda 20 piroq var - 5-i kələm, 7-si alma, 8-i düyü. Marina tortu götürmək istəyir. Onun düyü tortunu götürmə ehtimalı nədir?

Həll.

20 bərabər ehtimal elementar nəticə var, yəni Marina 20 piroqdan hər hansı birini götürə bilər. Ancaq Marinanın düyü pastasını götürmə ehtimalını təxmin etməliyik, yəni burada A düyü pastasının seçimidir. Bu o deməkdir ki, əlverişli nəticələrin sayı (düyü ilə piroq seçimləri) cəmi 8-dir. Onda ehtimal düsturla müəyyən ediləcək:

Müstəqil, əks və ixtiyari hadisələr

Bununla belə, in açıq banka Daha mürəkkəb vəzifələrlə qarşılaşmağa başladı. Odur ki, oxucunun diqqətini ehtimal nəzəriyyəsində öyrənilən digər məsələlərə cəlb edək.

Hər birinin ehtimalı digər hadisənin baş verib-verməməsindən asılı deyilsə, A və B hadisələri müstəqil adlanır.

B hadisəsi A hadisəsinin baş verməməsidir, yəni. B hadisəsi A hadisəsinin əksidir. Əks hadisənin baş vermə ehtimalı birbaşa hadisənin baş vermə ehtimalını çıxmaqla birə bərabərdir, yəni. .

Ehtimal toplama və vurma teoremləri, düsturlar

A və B ixtiyari hadisələri üçün bu hadisələrin cəminin ehtimalı onların birgə hadisə ehtimalı olmadan ehtimallarının cəminə bərabərdir, yəni. .

Müstəqil A və B hadisələri üçün bu hadisələrin baş vermə ehtimalı onların ehtimallarının hasilinə bərabərdir, yəni. bu halda .

Son 2 ifadə ehtimalların toplama və vurma teoremləri adlanır.

Nəticələrin sayını hesablamaq həmişə o qədər də sadə deyil. Bəzi hallarda kombinatorik düsturlardan istifadə etmək lazımdır. Ən əsası, müəyyən şərtləri təmin edən hadisələrin sayını hesablamaqdır. Bəzən bu cür hesablamalar müstəqil tapşırıqlara çevrilə bilər.

6 şagirdi 6 boş yerə neçə yolla əyləşdirmək olar? Birinci tələbə 6 yerdən hər hansı birini tutacaq. Bu variantlardan hər biri ikinci tələbənin yer tutması üçün 5 yola uyğun gəlir. Üçüncü tələbə üçün 4 pulsuz yer qalıb, dördüncü üçün 3, beşinci üçün 2, qalan yeganə yeri altıncı tutacaq. Bütün variantların sayını tapmaq üçün 6 simvolu ilə qeyd olunan məhsulu tapmaq lazımdır! və "altı faktorial" oxuyur.

Ümumi halda bu sualın cavabı n elementin dəyişmələrinin sayı düsturu ilə verilir.Bizim halda.

İndi tələbələrimizlə bağlı başqa bir hadisəyə baxaq. 2 şagirdi 6 boş yerə neçə yolla əyləşdirmək olar? Birinci tələbə 6 yerdən hər hansı birini tutacaq. Bu variantlardan hər biri ikinci tələbənin yer tutması üçün 5 yola uyğun gəlir. Bütün variantların sayını tapmaq üçün məhsulu tapmaq lazımdır.

Ümumiyyətlə, bu sualın cavabı n elementin k element üzərində yerləşdirilməsinin sayı düsturu ilə verilir.

Bizim vəziyyətimizdə.

Və bu seriyanın son halı. 6 şagirddən üç tələbəni neçə yolla seçə bilərsiniz? Birinci şagirdi 6 yolla, ikincini 5 yolla, üçüncünü dörd yolla seçmək olar. Ancaq bu variantlar arasında eyni üç tələbə 6 dəfə görünür. Bütün variantların sayını tapmaq üçün dəyəri hesablamaq lazımdır: . Ümumiyyətlə, bu sualın cavabı elementlər üzrə elementlərin birləşmələrinin sayı üçün düsturla verilir:

Bizim vəziyyətimizdə.

Ehtimalın müəyyən edilməsi üçün riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanından problemlərin həlli nümunələri

Tapşırıq 1. Redaktə etdiyi topludan. Yaşçenko.

Boşqabda 30 piroq var: 3-ü ətli, 18-i kələmli, 9-u albalı. Saşa təsadüfi bir tort seçir. Onun albalı ilə bitmə ehtimalını tapın.

Cavab: 0.3.

Tapşırıq 2. Redaktə etdiyi topludan. Yaşçenko.

1000 lampanın hər partiyasında orta hesabla 20-si nasazdır. Partiyadan təsadüfi götürülmüş lampanın işləmə ehtimalını tapın.

Həlli: İşləyən lampaların sayı 1000-20=980-dir. O zaman partiyadan təsadüfi götürülmüş lampanın işləmə ehtimalı:

Cavab: 0,98.

U tələbənin riyaziyyat testi zamanı 9-dan çox məsələni düzgün həll etməsi ehtimalı 0,67-dir. U.-nun 8-dən çox məsələni düzgün həll etməsi ehtimalı 0,73-dür. U-nun düz 9 məsələni düzgün həll etməsi ehtimalını tapın.

Əgər biz ədəd xəttini təsəvvür etsək və onun üzərində 8 və 9 nöqtələrini qeyd etsək, onda görərik ki, “U. düz 9 məsələni düzgün həll edəcək” şərti “U. 8-dən çox məsələni düzgün həll edəcək”, lakin “U. 9-dan çox məsələni düzgün həll edəcək”.

Lakin şərt “U. 9-dan çox məsələni düzgün həll edəcək” şərti “U. 8-dən çox məsələni düzgün həll edəcək”. Beləliklə, hadisələri təyin etsək: “U. düz 9 məsələni düzgün həll edəcək" - A vasitəsilə "U. 8-dən çox məsələni düzgün həll edəcək" - B vasitəsilə, "U. 9-dan çox problemi düzgün həll edəcək” C vasitəsilə. Bu həll belə görünəcək:

Cavab: 0.06.

Həndəsə imtahanında tələbə imtahan sualları siyahısından bir suala cavab verir. Bunun Triqonometriya sualı olma ehtimalı 0,2-dir. Bunun Xarici Bucaqlar üzrə sual olması ehtimalı 0,15-dir. Bu iki mövzuya eyni vaxtda aid olan suallar yoxdur. Tələbənin imtahanda bu iki mövzudan biri ilə bağlı sual alması ehtimalını tapın.

Gəlin fikirləşək ki, başımıza hansı hadisələr gəlir. Bizə bir-birinə uyğun gəlməyən iki hadisə verilir. Yəni ya sual “Triqonometriya” mövzusuna, ya da “Xarici açılar” mövzusuna aid olacaq. Ehtimal teoreminə görə, uyğun olmayan hadisələrin ehtimalı hər bir hadisənin ehtimallarının cəminə bərabərdir, biz bu hadisələrin ehtimallarının cəmini tapmalıyıq, yəni:

Cavab: 0,35.

Otaq üç lampalı fənərlə işıqlandırılır. Bir lampanın bir il ərzində yanma ehtimalı 0,29-dur. İl ərzində ən azı bir lampanın sönməməsi ehtimalını tapın.

Gəlin mümkün hadisələri nəzərdən keçirək. Bizdə üç ampul var, onların hər biri hər hansı digər lampadan asılı olmayaraq yanmağa və ya yanmaya bilər. Bunlar müstəqil hadisələrdir.

Sonra bu cür hadisələrin variantlarını göstərəcəyik. Aşağıdakı qeydlərdən istifadə edək: - lampa yandı, - lampa yandı. Və onun yanında hadisənin baş vermə ehtimalını hesablayacağıq. Məsələn, üç müstəqil hadisənin baş vermə ehtimalı “ampul yandı”, “ampul yandı”, “ampul yandı”: , burada “ampul yandı” hadisəsinin baş vermə ehtimalı. yanır” “ampul yanmır” hadisəsinə əks olan hadisənin baş vermə ehtimalı kimi hesablanır, yəni: .

GİRİŞ

Çox şey bizim üçün anlaşılmazdır, çünki anlayışlarımız zəifdir;
lakin bu şeylər bizim anlayışlarımızın əhatə dairəsinə daxil olmadığı üçün.
Kozma Prutkov

Orta ixtisas səviyyəsində riyaziyyatın öyrənilməsinin əsas məqsədi təhsil müəssisələri tələbələrə riyaziyyatdan bu və ya digər dərəcədə istifadə edən digər proqram fənlərini öyrənmək, praktiki hesablamalar aparmaq bacarığı, məntiqi təfəkkürün formalaşması və inkişafı üçün zəruri olan riyazi bilik və bacarıqlar toplusunu verməkdən ibarətdir.

Bu işdə proqram və Orta Peşə Təhsilinin Dövlət Təhsil Standartları (Rusiya Federasiyası Təhsil Nazirliyi. M., 2002) ilə nəzərdə tutulmuş "Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikanın əsasları" riyaziyyat bölməsinin bütün əsas anlayışları. ), ardıcıl olaraq təqdim edilir, əsas teoremlər tərtib edilir, əksəriyyəti sübut olunmur. Əsas problemlər və onların həlli üsulları və bu metodların praktiki problemlərin həllinə tətbiqi texnologiyaları nəzərdən keçirilir. Təqdimat ətraflı şərhlər və çoxsaylı nümunələrlə müşayiət olunur.

Metodik göstərişlər öyrənilən materialla ilkin tanışlıq, mühazirələrdə qeydlər apararkən, praktiki məşğələlərə hazırlaşmaq, əldə edilmiş bilik, bacarıq və bacarıqları möhkəmləndirmək üçün istifadə oluna bilər. Bundan əlavə, dərslik həm də bakalavr tələbələri üçün əvvəllər öyrənilənləri tez xatırlamağa imkan verən istinad vasitəsi kimi faydalı olacaqdır.

İşin sonunda şagirdlərin özünə nəzarət rejimində yerinə yetirə biləcəyi nümunələr və tapşırıqlar verilmişdir.

Təlimatlar qiyabi və əyani təhsil alan tələbələr üçün nəzərdə tutulub.

ƏSAS KONSEPSİYALAR

Ehtimal nəzəriyyəsi kütləvi təsadüfi hadisələrin obyektiv qanunauyğunluqlarını öyrənir. O, müşahidə nəticələrinin toplanması, təsviri və emalı üsullarının işlənib hazırlanması ilə məşğul olan riyazi statistikanın nəzəri əsasıdır. Müşahidələr vasitəsilə (testlər, təcrübələr), yəni. sözün geniş mənasında təcrübə, real dünyanın hadisələri haqqında biliklər baş verir.

Onun içində praktik fəaliyyətlər Biz tez-tez nəticəsini proqnozlaşdırmaq mümkün olmayan, nəticəsi təsadüfdən asılı olan hadisələrlə qarşılaşırıq.

Təsadüfi bir hadisə, baş verənlərin sayının sınaqların sayına nisbəti ilə xarakterizə edilə bilər, hər birində, bütün sınaqların eyni şərtlərində baş verə bilər və ya olmaya bilər.

Ehtimal nəzəriyyəsi riyaziyyatın təsadüfi hadisələrin (hadisələrin) öyrənildiyi və kütləvi şəkildə təkrarlandığı zaman qanunauyğunluqların müəyyən edildiyi bir bölməsidir.

Riyazi statistika elmi əsaslandırılmış nəticələr əldə etmək və qərarlar qəbul etmək üçün statistik məlumatların toplanması, sistemləşdirilməsi, emalı və istifadə üsullarının öyrənilməsi ilə məşğul olan riyaziyyatın bir sahəsidir.

Bu halda statistik məlumatlar dedikdə, tədqiq olunan obyektlərin bizi maraqlandıran xüsusiyyətlərinin kəmiyyət xarakteristikalarını əks etdirən rəqəmlər toplusu başa düşülür. Statistik məlumatlar xüsusi hazırlanmış təcrübə və müşahidələr nəticəsində əldə edilir.

Statistik məlumatlar öz mahiyyətinə görə bir çox təsadüfi amillərdən asılıdır, ona görə də riyazi statistika onun nəzəri əsası olan ehtimal nəzəriyyəsi ilə sıx bağlıdır.

I. Ehtimal. EHMİNLƏRİN TOPLANMASI VƏ VARMA TEOREMƏLƏRİ

1.1. Kombinatorikanın əsas anlayışları

Riyaziyyatın kombinatorika adlanan bölməsində çoxluqların nəzərdən keçirilməsi və bu çoxluqların elementlərinin müxtəlif birləşmələrinin tərkibi ilə bağlı bəzi məsələlər həll edilir. Məsələn, 10 müxtəlif ədəd 0, 1, 2, 3,: , 9 götürsək və onların kombinasiyalarını düzəltsək, müxtəlif ədədlər, məsələn, 143, 431, 5671, 1207, 43 və s.

Görürük ki, bu birləşmələrdən bəziləri yalnız rəqəmlərin ardıcıllığı ilə (məsələn, 143 və 431), digərləri - onlara daxil olan rəqəmlərdə (məsələn, 5671 və 1207), digərləri də rəqəmlərin sayına görə fərqlənir. (məsələn, 143 və 43).

Beləliklə, yaranan birləşmələr müxtəlif şərtləri təmin edir.

Kompozisiya qaydalarından asılı olaraq üç növ birləşməni ayırd etmək olar: dəyişdirmələr, yerləşdirmələr, birləşmələr.

Əvvəlcə konsepsiya ilə tanış olaq faktorial.

Hamısının məhsulu natural ədədlər 1-dən n daxil olmaqla adlanır n-faktorial və yaz.

Hesablayın: a) ; b) ; V) .

Həll. A) .

b) O vaxtdan , onda biz onu mötərizədən çıxara bilərik

Sonra alırıq

V) .

Yenidən tənzimləmələr.

Bir-birindən yalnız elementlərin sırasına görə fərqlənən n elementin birləşməsinə permutasiya deyilir.

Permutasiyalar simvolla göstərilir P n , burada n hər bir permutasiyaya daxil edilən elementlərin sayıdır. ( R- fransız sözünün ilk hərfi dəyişdirmə- yenidən təşkil).

Düsturdan istifadə edərək dəyişdirmələrin sayını hesablamaq olar

və ya faktorial istifadə edərək:

Bunu xatırlayaq 0!=1 və 1!=1.

Nümunə 2. Altı müxtəlif kitabı bir rəfə neçə yolla düzmək olar?

Həll. Tələb olunan yolların sayı 6 elementin dəyişdirilməsinin sayına bərabərdir, yəni.

Yerləşdirmələr.

Göndərmələr m elementləri n hər birində bir-birindən ya elementlərin özləri (ən azı bir), ya da düzülmə sırası ilə fərqlənən belə birləşmələr adlanır.

Yerləşdirmə simvolu ilə göstərilir, burada m- bütün mövcud elementlərin sayı, n- hər kombinasiyada elementlərin sayı. ( A- fransız sözünün ilk hərfi tənzimləmə, “yerləşdirmə, nizama salma” deməkdir).

Eyni zamanda belə hesab edilir nm.

Düsturdan istifadə edərək yerləşdirmələrin sayını hesablamaq olar

olanlar. -dən bütün mümkün yerləşdirmələrin sayı m tərəfindən elementlər n məhsula bərabərdir nən böyüyü olan ardıcıl tam ədədlər m.

Bu düsturu faktorial formada yazaq:

Misal 3. Beş abituriyent üçün müxtəlif profilli sanatoriyalara üç vauçer paylamaq üçün neçə variant tərtib etmək olar?

Həll. Tələb olunan variantların sayı 3 elementin 5 elementinin yerləşdirmə sayına bərabərdir, yəni.

Kombinasiyalar.

Kombinasiyalar bütün mümkün birləşmələrdir m tərəfindən elementlər n, bir-birindən ən azı bir elementlə fərqlənir (burada m Və n- natural ədədlər və n m).

Kombinasiyaların sayı m tərəfindən elementlər n ilə işarələnir ( İLƏ-Fransız sözünün ilk hərfi birləşmə- birləşmə).

Ümumiyyətlə, sayı m tərəfindən elementlər n olan yerləşdirmələrin sayına bərabərdir m tərəfindən elementlər n, -dən permutasiyaların sayına bölünür n elementlər:

Yerləşdirmələrin və dəyişdirmələrin sayı üçün faktorial düsturlardan istifadə edərək, əldə edirik:

Misal 4. 25 nəfərlik komandada müəyyən bir sahədə işləmək üçün dörd nəfər ayırmaq lazımdır. Bunu neçə yolla etmək olar?

Həll. Seçilən dörd nəfərin sırası əhəmiyyət kəsb etmədiyi üçün bunun yolları var.

Birinci düsturdan istifadə edərək tapırıq

Bundan əlavə, problemləri həll edərkən birləşmələrin əsas xüsusiyyətlərini ifadə edən aşağıdakı düsturlardan istifadə olunur:

(tərifinə görə onlar güman edirlər və);

1.2. Kombinator məsələlərin həlli

Tapşırıq 1. Fakültədə 16 fənn öyrənilir. Bazar ertəsi üçün cədvəlinizə 3 fənn daxil etməlisiniz. Bunu neçə yolla etmək olar?

Həll. 16 elementin yerləşdirilməsini 3-ə təşkil edə bildiyiniz kimi, 16 elementdən üçü planlaşdırmağın bir çox yolu var.

Tapşırıq 2. 15 obyektdən 10 obyekti seçmək lazımdır. Bunu neçə yolla etmək olar?

Tapşırıq 3. Yarışda dörd komanda iştirak etdi. Onların arasında oturacaqların bölüşdürülməsi üçün neçə variant mümkündür?

Məsələ 4. 80 əsgər və 3 zabit olarsa, üç əsgər və bir zabitdən ibarət patrul neçə yolla təşkil edilə bilər?

Həll. Siz patrulda bir əsgər seçə bilərsiniz

yollarla, zabitlər isə yollarla. Hər hansı bir zabit hər bir əsgər komandası ilə gedə bildiyi üçün yalnız bir çox yol var.

Tapşırıq 5. Tapın, əgər məlumdursa.

ildən, biz alırıq

Birləşmənin tərifindən belə çıxır ki, . Bu. .

1.3. Təsadüfi hadisə anlayışı. Hadisələrin növləri. Hadisənin baş vermə ehtimalı

Müəyyən şərtlər toplusunda həyata keçirilən, bir neçə fərqli nəticəsi olan hər hansı hərəkət, hadisə, müşahidə adlanır. test.

Bu hərəkətin və ya müşahidənin nəticəsi deyilir hadisə .

Əgər verilmiş şəraitdə bir hadisə baş verə bilərsə, baş verə bilməzsə, o zaman çağırılır təsadüfi . Bir hadisənin baş verəcəyinə əmin olduqda, çağırılır etibarlı və açıq-aydın baş verə bilməyəcəyi halda, - qeyri-mümkün.

Hadisələr adlanır uyğunsuz , əgər hər dəfə onlardan yalnız birinin görünməsi mümkün olsa.

Hadisələr adlanır birgə , əgər verilmiş şəraitdə bu hadisələrdən birinin baş verməsi eyni sınaq zamanı digərinin baş verməsini istisna etmirsə.

Hadisələr adlanır əks , əgər sınaq şərtləri altında onlar yeganə nəticələr olmaqla, uyğun gəlmirsə.

Hadisələr adətən latın əlifbasının böyük hərfləri ilə qeyd olunur: A B C D, : .

A 1 , A 2 , A 3 , : , A n hadisələrin tam sistemi, verilmiş sınaq zamanı ən azı birinin baş verməsi məcburi olan uyğun olmayan hadisələr toplusudur.

Tam sistem iki uyğun olmayan hadisədən ibarətdirsə, belə hadisələr əks adlanır və A və təyin olunur.

Misal. Qutuda 30 nömrəli top var. Aşağıdakı hadisələrdən hansının qeyri-mümkün, etibarlı və ya əksinə olduğunu müəyyənləşdirin:

nömrəli topu çıxardı (A);

cüt nömrəli bir top aldı (IN);

tək nömrəli bir top aldı (İLƏ);

nömrəsiz bir top aldım (D).

Onlardan hansı tam qrup təşkil edir?

Həll . A- etibarlı hadisə; D- qeyri-mümkün hadisə;

və İLƏ- əks hadisələr.

Hadisələrin tam qrupu ibarətdir A Və D, V Və İLƏ.

Hadisənin baş vermə ehtimalı təsadüfi hadisənin baş verməsinin obyektiv mümkünlüyünün ölçüsü kimi qəbul edilir.

1.4. Ehtimalın klassik tərifi

Hadisənin baş verməsinin obyektiv mümkünlüyünün ölçüsünü ifadə edən ədədə deyilir ehtimal bu hadisə və simvolu ilə göstərilir R(A).

Tərif. Hadisənin baş vermə ehtimalı A verilmiş hadisənin baş verməsini təmin edən nəticələrin sayının m nisbətidir A, nömrəyə n bütün nəticələr (uyğunsuz, yalnız mümkün və eyni dərəcədə mümkündür), yəni. .

Buna görə də, bir hadisənin baş vermə ehtimalını tapmaq üçün testin müxtəlif nəticələrini nəzərə alaraq, bütün mümkün uyğun olmayan nəticələri hesablamaq lazımdır. n, bizi maraqlandıran m nəticələrin sayını seçin və nisbəti hesablayın m Kimə n.

Bu tərifdən aşağıdakı xüsusiyyətlər gəlir:

Hər hansı bir testin ehtimalı birdən çox olmayan mənfi olmayan bir ədəddir.

Həqiqətən, tələb olunan hadisələrin sayı m daxilindədir. Hər iki hissənin bölünməsi n, alırıq

2. Etibarlı hadisənin baş vermə ehtimalı birə bərabərdir, çünki .

3. Qeyri-mümkün hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdır, çünki .

Məsələ 1. 1000 biletdən ibarət lotereyada 200 uduş var. Bir bilet təsadüfi olaraq çıxarılır. Bu biletin qalib olma ehtimalı nədir?

Həll. Müxtəlif nəticələrin ümumi sayı n=1000. Qazanmaq üçün əlverişli olan nəticələrin sayı m=200-dür. Formula görə alırıq

Məsələ 2. 18 hissədən ibarət partiyada 4 qüsurlu var. 5 hissə təsadüfi seçilir. Bu 5 hissədən ikisinin qüsurlu olma ehtimalını tapın.

Həll. Bütün bərabər mümkün müstəqil nəticələrin sayı n 18-dən 5-ə qədər birləşmələrin sayına bərabərdir, yəni.

Gəlin A hadisəsinə üstünlük verən m sayını hesablayaq. Təsadüfi olaraq alınan 5 hissə arasında 3 yaxşı və 2 qüsurlu hissə olmalıdır. Mövcud 4 qüsurlu hissədən iki qüsurlu hissəni seçmək yollarının sayı 4-dən 2-yə qədər birləşmələrin sayına bərabərdir:

14 mövcud keyfiyyətli hissədən üç keyfiyyətli hissəni seçmək yollarının sayı bərabərdir

Yaxşı hissələrin hər hansı bir qrupu qüsurlu hissələrin hər hansı bir qrupu ilə birləşdirilə bilər, buna görə birləşmələrin ümumi sayı m məbləğindədir

A hadisəsinin tələb olunan ehtimalı bu hadisə üçün əlverişli olan m nəticələrin sayının bərabər mümkün olan bütün müstəqil nəticələrin n sayına nisbətinə bərabərdir:

Sonlu sayda hadisələrin cəmi, onlardan ən azı birinin baş verməsindən ibarət hadisədir.

İki hadisənin cəmi A+B simvolu və cəmi ilə işarələnir n A 1 +A 2 + simvolu olan hadisələr: +A n.

Ehtimal toplama teoremi.

Uyğun olmayan iki hadisənin cəminin ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir.

Nəticə 1. Əgər A 1, A 2, :,A n hadisəsi tam sistem təşkil edirsə, bu hadisələrin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir.

Nəticə 2. Əks hadisələrin ehtimallarının cəmi və birə bərabərdir.

Məsələ 1. 100 lotereya bileti var. Məlumdur ki, 5 bilet 20 000 rubl, 10 bilet 15 000 rubl, 15 bilet 10 000 rubl, 25 bilet 2 000 rubl udur. və qalanı üçün heç nə. Alınan biletin ən azı 10.000 rubl uduş alması ehtimalını tapın.

Həll. A, B və C, alınmış biletin müvafiq olaraq 20.000, 15.000 və 10.000 rubla bərabər uduş almasından ibarət hadisələr olsun. A, B və C hadisələri uyğun gəlmir, deməli

Tapşırıq 2. Aktivdir qiyabi texnikum şəhərlərdən riyaziyyatdan testlər alır A, B Və İLƏ. Şəhərdən test kağızı alma ehtimalı Aşəhərdən 0,6-ya bərabərdir IN- 0,1. Növbəti ehtimalı tapın testşəhərdən gələcək İLƏ.

İki hadisə arasında əlaqənin ən sadə nümunəsi hadisələrdən birinin baş verməsi mütləq digərinin baş verməsinə səbəb olduqda və ya əksinə, birinin baş verməsi digərinin baş vermə ehtimalını istisna edən səbəb əlaqəsidir.

Bəzi hadisələrin digərlərindən asılılığını xarakterizə etmək üçün konsepsiya təqdim olunur şərti ehtimal.

Tərif. Qoy A Və IN- eyni testin iki təsadüfi hadisəsi. Sonra hadisənin şərti ehtimalı A yaxud B hadisəsinin baş verməsi şərti ilə A hadisəsinin baş vermə ehtimalı ədəd adlanır.

Şərti ehtimalı ifadə edərək düsturu alırıq

, .

Tapşırıq 1. Bir uşaq, oğlan, ikinci oğlan olan ailədə doğulması ehtimalını hesablayın.

Həll. Hadisə olsun A Ailədə iki oğlan olması və hadisə IN- o bir oğlan.

Bütün mümkün nəticələri nəzərdən keçirin: oğlan və oğlan; oğlan və qız; qız və oğlan; qız və qız.

Sonra və düsturdan istifadə edərək tapırıq

Hadisə Açağırdı müstəqil tədbirdən IN, hadisə baş verərsə IN hadisənin baş vermə ehtimalına heç bir təsiri yoxdur A.

Ehtimalların vurma teoremi

İki müstəqil hadisənin eyni vaxtda baş vermə ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının hasilinə bərabərdir:

Ümumilikdə müstəqil olan bir neçə hadisənin baş vermə ehtimalı düsturla hesablanır

Məsələ 2. Birinci qabda 6 qara və 4 ağ top, ikinci qabda 5 qara və 7 ağ top var. Hər qabdan bir top çəkilir. Hər iki topun ağ olma ehtimalı nədir?

A və IN hadisə var AB. Beləliklə,

b) Əgər birinci element işləyirsə, onda hadisə baş verir (hadisənin əksinə A- bu elementin uğursuzluğu); ikinci element işləyirsə - hadisə IN. Hadisələrin ehtimallarını tapaq və:

Onda hər iki elementin işləyəcəyi hadisə və buna görə də

Ehtimalın klassik tərifi konsepsiyaya əsaslanır ehtimal təcrübəsi, və ya ehtimal təcrübəsi. Onun nəticəsi adlanan bir neçə mümkün nəticələrdən biridir elementar nəticələr, və ehtimal eksperimentinin təkrarlanması zamanı hər hansı elementar nəticənin digərlərindən daha tez-tez görünəcəyini gözləmək üçün heç bir səbəb yoxdur. Məsələn, zər atmaqla bağlı ehtimala əsaslanan təcrübəni nəzərdən keçirək. Bu təcrübənin nəticəsi kubun yanlarına çəkilmiş 6 nöqtədən birinin itirilməsidir.

Beləliklə, bu təcrübədə 6 elementar nəticə var:

və onların hər biri eyni dərəcədə gözlənilir.

Hadisə klassik ehtimal təcrübəsində elementar nəticələr toplusunun ixtiyari alt çoxluğudur. Nəzərdən keçirilən zərb atma nümunəsində hadisə, məsələn, elementar nəticələrdən ibarət cüt sayda xal itkisidir.

Hadisənin baş vermə ehtimalı rəqəmdir:

hadisəni təşkil edən elementar nəticələrin sayı haradadır (bəzən deyirlər ki, bu, hadisənin baş verməsinə üstünlük verən elementar nəticələrin sayıdır) və bütün elementar nəticələrin sayıdır.

Bizim nümunəmizdə:

Kombinatorikanın elementləri.

Bir çox ehtimal təcrübələrini təsvir edərkən elementar nəticələr kombinatorikanın aşağıdakı obyektlərindən biri ilə müəyyən edilə bilər (sonlu çoxluqlar elmi).

Yenidən təşkiliədədlər bu ədədlərin təkrarlanmadan ixtiyari qaydada təsviridir. Məsələn, üç ədəddən ibarət dəst üçün 6 fərqli permutasiya var:

, , , , , .

İxtiyari sayda permutasiya bərabərdir

(1-dən başlayaraq natural sıradakı ardıcıl ədədlərin hasili).

birləşməsiçoxluğun hər hansı elementlərinin ixtiyari nizamsız çoxluğudur. Məsələn, üç ədəddən ibarət dəst üçün 3-ə 2-nin 3 müxtəlif kombinasiyası var:

İxtiyari bir cüt üçün , -dən olan birləşmələrin sayı bərabərdir

Misal üçün,

Hipergeometrik paylanma.

Aşağıdakı ehtimal eksperimentinə nəzər salın. Ağ və qara toplardan ibarət qara qutu var. Toplar eyni ölçüdədir və toxunuşda fərqlənmir. Təcrübə təsadüfi olaraq topların çıxarılmasından ibarətdir. Ehtimalının tapılması lazım olan hadisə bu topların bəzilərinin ağ, qalanlarının isə qara olmasıdır.

Bütün topları 1-dən -ə qədər rəqəmlərlə nömrələyək. 1, ¼ rəqəmləri ağ toplara, ¼ rəqəmləri isə qara toplara uyğun gəlsin. Bu təcrübədə elementar nəticə çoxluğun nizamlanmamış elementlər toplusudur, yəni by birləşməsidir. Beləliklə, bütün elementar nəticələr var.

Hadisənin baş verməsi üçün əlverişli olan elementar nəticələrin sayını tapaq. Müvafiq dəstlər “ağ” və “qara” nömrələrdən ibarətdir. Siz “ağ” nömrələrdən nömrələri üç yolla, “qara” nömrələrdən isə 3/4 üsulla seçə bilərsiniz. Ağ və qara dəstlər özbaşına birləşdirilə bilər, buna görə də hadisə üçün əlverişli olan yalnız elementar nəticələr var.

Hadisənin baş vermə ehtimalı

Alınan düstur hiperhəndəsi paylanma adlanır.

Problem 5.1. Qutuda eyni tipli 55 standart və 6 qüsurlu hissə var. Təsadüfi seçilmiş üç hissədən ən azı birinin qüsurlu olması ehtimalı nədir?

Həll. Cəmi 61 hissə var, biz 3-ü götürürük. Elementar nəticə 61-in 3-ün birləşməsidir. Bütün elementar nəticələrin sayı bərabərdir. Əlverişli nəticələr üç qrupa bölünür: 1) bunlar 1 hissəsinin qüsurlu və 2-nin yaxşı olduğu nəticələrdir; 2) 2 hissə qüsurlu, 1-i isə yaxşıdır; 3) hər 3 hissə nasazdır. Birinci növ dəstlərin sayı --ə, ikinci növ çoxluqların sayı --ə, üçüncü növ dəstlərin sayı isə --ə bərabərdir. Nəticə etibarilə, hadisənin baş verməsi elementar nəticələrə üstünlük verir. Hadisənin baş vermə ehtimalı

Hadisələrin cəbri

Elementar hadisələrin məkanı verilmiş təcrübə ilə bağlı bütün elementar nəticələrin məcmusudur.

Məbləğ iki hadisə hadisəyə və ya hadisəyə aid elementar nəticələrdən ibarət olan hadisə adlanır.

İş iki hadisə eyni zamanda hadisələrə aid olan elementar nəticələrdən ibarət hadisə adlanır və .

Hadisələr və əgər uyğunsuz adlanır.

Tədbir adlanır əks hadisə, hadisəyə aid olmayan bütün elementar nəticələr tərəfindən bəyənilirsə. Xüsusilə, , .

CAM TEOREMİ.

Xüsusilə, .

Şərti ehtimal hadisənin baş verməsi şərtilə, kəsişməyə aid elementar nəticələrin sayının -ə aid elementar nəticələrin sayına nisbəti adlanır. Başqa sözlə, şərti ehtimal hadisə yeni ehtimal fəzasının olduğu klassik ehtimal düsturu ilə müəyyən edilir. Hadisənin şərti ehtimalı ilə işarələnir.

Məhsul TEOREMİ. .

Hadisələr adlanır müstəqil, Əgər . Müstəqil hadisələr üçün məhsul teoremi əlaqəni verir.

Cəm və məhsul teoremlərinin nəticəsi aşağıdakı iki düsturdur.

Ümumi ehtimal düsturu. Tam bir fərziyyə qrupu birlikdə bütün ehtimal fəzasını təşkil edən ixtiyari uyğunsuz hadisələr toplusudur , ¼, :

Bu vəziyyətdə, ixtiyari bir hadisə üçün ümumi ehtimal düsturu adlanan düstur etibarlıdır,

funksiyası haradadır Laplas... Laplas funksiyası cədvəl şəklində verilmişdir və onun verilmiş qiymətlə qiymətləri ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika üzrə istənilən dərslikdə tapıla bilər.

Problem 5.3. Məlumdur ki, hissələrin böyük partiyasında 11% nasazlıq var. Sınaq üçün 100 hissə seçilir. Onların arasında 14-dən çox qüsurlu olma ehtimalı nədir? Moivre-Laplas teoremindən istifadə edərək cavabı qiymətləndirin.

Həll. Testlə məşğul oluruq Bernoulli, Harada , , . Müvəffəqiyyət qüsurlu bir hissənin aşkarlanması hesab olunur və uğurların sayı bərabərsizliyi təmin edir. Beləliklə,

Birbaşa hesablama verir:

, , , , , , , , , , , , , , .

Beləliklə, . İndi Moivre-Laplas inteqral teoremini tətbiq edək. Biz əldə edirik:

Funksiya qiymətlərinin cədvəlindən istifadə edərək, funksiyanın qəribəliyini nəzərə alaraq əldə edirik

Təxmini hesablamanın xətası aşmır.

Təsadüfi dəyişənlər

Təsadüfi dəyişən elementar nəticələrin funksiyası olan ehtimal eksperimentinin ədədi xarakteristikasıdır. Əgər , , ¼ elementar nəticələr toplusudursa, onda təsadüfi dəyişən -in funksiyasıdır. Bununla belə, təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərini və bu dəyəri qəbul etdiyi ehtimalları sadalamaqla xarakterizə etmək daha rahatdır.

Belə cədvəl təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu adlanır. Hadisələr tam qrup təşkil etdiyindən ehtimal normasına uyğunlaşma qanunu təmin edilir

Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi və ya orta dəyəri, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin və müvafiq ehtimalların məhsullarının cəminə bərabər olan bir ədəddir.

Təsadüfi dəyişənin dispersiyası (riyazi gözlənti ətrafında dəyərlərin yayılma dərəcəsi) gözlənilən dəyər təsadüfi dəyişən,

Bunu göstərmək olar

Böyüklük

təsadüfi dəyişənin orta kvadrat sapması adlanır.

Təsadüfi dəyişən üçün paylama funksiyası çoxluğa düşmə ehtimalıdır, yəni

Bu, 0-dan 1-ə qədər qiymət alan mənfi olmayan, azalmayan funksiyadır. Sonlu dəyərlər dəstinə malik təsadüfi dəyişən üçün vəziyyət nöqtələrində ikinci növ kəsiklərə malik olan hissə-hissə sabit funksiyadır. Üstəlik və solda davamlıdır.

Problem 5.4.İki zar ardıcıl olaraq atılır. Bir zarda bir, üç və ya beş xal görünsə, oyunçu 5 rubl itirir. İki və ya dörd xal yuvarlanırsa, oyunçu 7 rubl alır. Altı xal yuvarlanırsa, oyunçu 12 rubl itirir. Təsadüfi dəyər x iki zar atmaq üçün oyunçunun qazancıdır. Paylanma qanununu tapın x, paylanma funksiyasının qrafikini tərtib edin, riyazi gözlənti və dispersiyanı tapın x.

Həll.Əvvəlcə zar atarkən oyunçunun qazancının nəyə bərabər olduğunu düşünək. Hadisə 1, 3 və ya 5 balın yuvarlanması olsun. Sonra uduşlar rubl olacaq. Qoy hadisə 2 və ya 4 xalın yuvarlanması olsun. Sonra uduşlar rubl olacaq. Nəhayət, hadisə 6-ya yuvarlanmaq deməkdir. Sonra uduşlar rubla bərabərdir.

İndi hadisələrin bütün mümkün kombinasiyalarını və iki zar atışı ilə nəzərdən keçirək və hər bir belə kombinasiya üçün qalib dəyərləri müəyyən edək.

Bir hadisə baş veribsə, deməli, eyni zamanda.

Eynilə, aldığımız zaman , .

Bütün tapılan halları və bu vəziyyətlərin ümumi ehtimallarını cədvələ yazırıq:

Ehtimal normallaşdırma qanununun yerinə yetirilməsini yoxlayırıq: real xəttdə təsadüfi dəyişənin bu intervala düşmə ehtimalını təyin edə bilməlisiniz 1) və sürətlə azalan, ¼,