Düz xəttin və təyyarənin yeri. Düz xəttin və müstəvinin nisbi mövqeyi

Düz xətt təyyarəyə aiddir, iki ümumi nöqtəsi və ya bir ortaq nöqtəsi varsa və müstəvidə uzanan hər hansı bir xəttə paraleldirsə. Rəsmdəki müstəvi iki kəsişən xəttlə müəyyən edilsin. Bu müstəvidə bu şərtlərə uyğun olaraq iki m və n düz xətti çəkmək tələb olunur ( G(a b)) (Şəkil 4.5).

Həlli 1. Xətti müstəviyə aid olduğu üçün ixtiyari olaraq m 2 çəkirik, onun kəsişmə nöqtələrinin xətləri ilə proyeksiyalarını qeyd edirik. A Və b və onların üfüqi proyeksiyalarını təyin edin, m 1-dən 1 1 və 2 1-ə qədər çəkin.

2. Təyyarənin K nöqtəsi vasitəsilə n 2 ║m 2 və n 1 ║m 1 çəkirik.

Düz xətt müstəviyə paraleldir, müstəvidə uzanan hər hansı bir xəttə paralel olarsa.

Xəttlə təyyarənin kəsişməsi. Düz xəttin və müstəvinin proyeksiya müstəvilərinə nisbətən yerləşməsinin üç mümkün halı var. Bundan asılı olaraq düz xəttin müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsi müəyyən edilir.

Birinci hal – düz xətt və müstəvi – proyeksiya mövqeyi. Bu halda, kəsişmə nöqtəsi rəsmdə mövcuddur (hər iki proyeksiya), onu yalnız təyin etmək lazımdır.

NÜMUNƏ Rəsmdə bir təyyarə Σ izləri ilə verilir ( h 0 f 0)– üfüqi proyeksiya mövqeyi – və düz l- ön proyeksiya mövqeyi. Onların kəsişmə nöqtəsini təyin edin (şək. 4.6).

Rəsmdə artıq bir kəsişmə nöqtəsi var - K(K 1 K 2).

İkinci hal– ya düz xətt, ya da müstəvi – proyeksiya mövqeyi. Bu halda, proyeksiya müstəvilərindən birində kəsişmə nöqtəsinin proyeksiyası artıq mövcuddur, onu təyin etmək lazımdır, ikinci proyeksiya müstəvisində isə mənsubiyyətlə tapmaq lazımdır.

NÜMUNƏLƏR. Şəkildə. 4.7 və təyyarə öndən çıxan mövqe və düz xəttin izləri ilə təsvir edilmişdir l – ümumi mövqe. K 2 kəsişmə nöqtəsinin proyeksiyası artıq rəsmdə mövcuddur və K nöqtəsinin düz xəttə mənsubluğuna əsasən K 1 proyeksiyası tapılmalıdır. l. Aktiv
düyü. 4.7, b ümumi müstəvidir və m düz xətti cəbhədən proyeksiyalıdır, onda K 2 artıq mövcuddur (m 2 ilə üst-üstə düşür) və nöqtənin müstəviyə aid olması şərtindən K 1 tapılmalıdır. Bunu etmək üçün K-dən keçin
düz ( h– üfüqi) müstəvidə uzanan.

Üçüncü hal– həm düz xətt, həm də müstəvi – ümumi vəziyyətdə. Bu halda, xəttin və təyyarənin kəsişmə nöqtəsini müəyyən etmək üçün sözdə vasitəçidən - proyeksiya müstəvisindən istifadə etmək lazımdır. Bunun üçün düz xətt vasitəsilə köməkçi kəsici təyyarə çəkilir. Bu müstəvi verilmiş müstəvini bir xətt boyunca kəsir. Əgər bu xətt verilmiş xətti kəsirsə, onda xəttlə müstəvinin kəsişmə nöqtəsi var.

NÜMUNƏLƏR. Şəkildə. 4.8 müstəvi ABC üçbucağı - ümumi mövqe - və düz xətt ilə təmsil olunur l- ümumi mövqe. K kəsişmə nöqtəsini müəyyən etmək üçün keçməlisiniz l cəbhədən proyeksiya edən Σ müstəvisini çəkin, üçbucaqda Δ və Σ kəsişmə xəttini çəkin (rəsmdə bu, 1,2 seqmentdir), K 1 və əlavə olaraq K 2-ni təyin edin. Sonra xəttin görünməsi müəyyən edilir l rəqabət nöqtələri ilə üçbucağa münasibətdə. P 1-də 3 və 4-cü nöqtələr rəqabət nöqtələri kimi qəbul edilir.4-cü nöqtənin proyeksiyası P 1-də görünür, çünki onun Z koordinatı 3-cü nöqtədən böyükdür, buna görə də proyeksiya l 1 bu nöqtədən K 1-ə qədər görünməz olacaq.

P 2-də rəqib nöqtələr AB-yə aid olan 1-ci nöqtə və 5-ci nöqtədir. l. 1-ci nöqtə görünəcək, çünki onun Y koordinatı 5-ci nöqtədən böyükdür və buna görə də düz xəttin proyeksiyası l 2 K 2-ə qədər görünməz.

Stereometriya

Qarşılıqlı tənzimləmə düz xətlər və təyyarələr

Kosmosda

Xətlərin və müstəvilərin paralelliyi

Kosmosda iki xətt deyilir paralel , əgər onlar eyni müstəvidə yatırlarsa və kəsişmirlərsə.

Düz xətt və müstəvi adlanır paralel , kəsişməsələr.

İki təyyarə çağırılır paralel , kəsişməsələr.

Eyni müstəvidə kəsişməyən və yatmayan xətlərə deyilir çarpazlaşma .

Xəttlə müstəvi arasında paralellik əlaməti. Əgər müstəviyə aid olmayan xətt bu müstəvidə hansısa xəttə paraleldirsə, o, müstəvinin özünə paraleldir.

Paralel təyyarələrin işarəsi. Bir müstəvinin kəsişən iki xətti müvafiq olaraq digər müstəvinin iki xəttinə paraleldirsə, bu təyyarələr paraleldir.

Keçid xətlərinin işarəsi. Əgər iki xəttdən biri müstəvidə yerləşirsə, digəri isə bu müstəvini birinci xəttə aid olmayan nöqtədə kəsirsə, bu xətlər kəsişir.

Paralel xətlər və paralel müstəvilər haqqında teoremlər.

1. Üçüncü xəttə paralel iki xətt paraleldir.

2. Əgər iki paralel xəttdən biri müstəvi ilə kəsişirsə, digər xətt də bu müstəvi ilə kəsişir.

3. Verilmiş xəttdən kənar nöqtə vasitəsilə verilənə paralel və yalnız bir xətt çəkə bilərsiniz.

4. Əgər bir xətt kəsişən iki müstəvidən hər birinə paraleldirsə, o zaman onların kəsişmə xəttinə paraleldir.

5. Əgər iki paralel müstəvi üçüncü müstəvi ilə kəsişirsə, onda kəsişmə xətləri paraleldir.

6. Verilmiş müstəvidə uzanmayan nöqtə vasitəsilə verilənə paralel və yalnız bir müstəvi çəkmək olar.

7. Üçüncüyə paralel olan iki müstəvi bir-birinə paraleldir.

8. Paralel müstəvilər arasında yerləşən paralel xətlərin seqmentləri bərabərdir.

Düz xətlər və müstəvilər arasındakı bucaqlar

Düz xətt və müstəvi arasındakı bucaq düz xətt ilə onun müstəviyə proyeksiyası arasındakı bucaq deyilir (şəkil 1-dəki bucaq).

Kesişən xətlər arasındakı bucaq verilmiş kəsişən xətlərə paralel kəsişən xətlər arasındakı bucaqdır.

Dihedral bucaqümumi xətti olan iki yarım müstəvidən əmələ gələn fiqurdur. Yarım təyyarələr deyilir kənarları , düz - kənar dihedral bucaq.

Xətti bucaq dihedral bucaq dihedral bucağın üzlərinə aid olan, kənarın bir nöqtəsindən çıxan və kənara perpendikulyar olan yarım xətlər arasındakı bucaqdır (şəkil 2-dəki bucaq).

Dihedral bucağın dərəcə (radian) ölçüsü onun xətti bucağının dərəcə (radian) ölçüsünə bərabərdir.

Xətlərin və müstəvilərin perpendikulyarlığı

İki düz xətt deyilir perpendikulyar düz bucaq altında kəsişirlərsə.

Bir müstəvini kəsən düz xətt deyilir perpendikulyar bu müstəvi, əgər bu xəttlə müstəvinin kəsişmə nöqtəsindən keçən müstəvidə hər hansı bir xəttə perpendikulyardırsa.

İki təyyarə çağırılır perpendikulyar , kəsişirsə, düz dihedral bucaqlar əmələ gətirirlər.

Xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığının işarəsi. Əgər müstəvi ilə kəsişən xətt bu müstəvidə kəsişən iki xəttə perpendikulyardırsa, o, müstəviyə perpendikulyardır.

İki təyyarənin perpendikulyarlığının işarəsi. Əgər müstəvi başqa müstəviyə perpendikulyar olan xəttdən keçirsə, bu təyyarələr perpendikulyardır.

Perpendikulyar xətlər və müstəvilər haqqında teoremlər.

1. Əgər müstəvi iki paralel xəttdən birinə perpendikulyardırsa, o, digərinə də perpendikulyardır.

2. Əgər iki xətt eyni müstəviyə perpendikulyardırsa, onda onlar paraleldirlər.

3. Əgər xətt iki paralel müstəvidən birinə perpendikulyardırsa, o, digərinə də perpendikulyardır.

4. Əgər iki müstəvi eyni xəttə perpendikulyardırsa, onda onlar paraleldirlər.

Perpendikulyar və əyri

Teorem. Müstəvidən kənar bir nöqtədən perpendikulyar və meylli xətlər çəkilərsə, onda:

1) proyeksiyaları bərabər olan əyrilər bərabərdir;

2) iki meylli olanın proyeksiyası daha böyük olanı daha böyükdür;

3) bərabər obliklər bərabər proyeksiyalara malikdir;

4) iki proyeksiyadan daha böyük əyriyə uyğun gələn daha böyükdür.

Üç perpendikulyar teorem. Müstəvidə uzanan düz xəttin maili olana perpendikulyar olması üçün bu düz xəttin maili olanın proyeksiyasına perpendikulyar olması zəruri və kifayətdir (şək. 3).

Çoxbucaqlının müstəviyə ortoqonal proyeksiyasının sahəsi haqqında teorem.Çoxbucaqlının müstəviyə ortoqonal proyeksiyasının sahəsi çoxbucaqlının sahəsi ilə çoxbucaqlının müstəvisi ilə proyeksiya müstəvisi arasındakı bucağın kosinusunun məhsuluna bərabərdir.

Tikinti.

1. Təyyarədə a birbaşa aparırıq A.

3. Təyyarədə b nöqtəsi vasitəsilə A birbaşa edək b, xəttinə paralel A.

4. Düz xətt çəkilmişdir b təyyarəyə paralel a.

Sübut. Düz xətt və müstəvi, düz xəttin paralelliyinə əsaslanaraq b təyyarəyə paralel a, çünki o, xəttə paraleldir A, təyyarəyə aiddir a.

Öyrənmək. Problemin sonsuz sayda həlli var, çünki düz xətt A təyyarədə a təsadüfi seçilir.

Misal 2. Nöqtənin müstəvidən hansı məsafədə yerləşdiyini müəyyənləşdirin A, düzdürsə AB müstəvini nöqtədən məsafə olan 45º bucaq altında kəsir A nöqtəsinə IN müstəviyə aid olan sm-ə bərabərdir?

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 5):

AC- təyyarəyə perpendikulyar a, AB– meylli, bucaqlı ABC– düz xətt arasındakı bucaq AB və təyyarə a. Üçbucaq ABC– düzbucaqlı, çünki AC- perpendikulyar. Nöqtədən tələb olunan məsafə A təyyarəyə - bu ayaqdır AC düz üçbucaq. Bucağı və hipotenuz sm-ni bilməklə ayağı tapacağıq AC:

Cavab: 3 sm.

Misal 3. Müəyyən edin ki, üçbucağın bazası və hündürlüyü 8 sm-ə bərabərdirsə, üçbucağın təpələrinin hər birindən 13 sm məsafədə yerləşən nöqtə ikitərəfli üçbucağın müstəvisindən hansı məsafədə yerləşir?

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 6). Nöqtə S nöqtələrdən uzaqdır A, IN Və İLƏ eyni məsafədə. Beləliklə, meylli S.A., S.B. Və S.C. bərabər, BELƏ Kİ– bu meyllilərin ümumi perpendikulyarıdır. Çap və proyeksiyalar teoremi ilə AO = VO = CO.

Nöqtə HAQQINDA– üçbucaq ətrafında çevrələnmiş dairənin mərkəzi ABC. Onun radiusunu tapaq:

Harada Günəş- əsas;

AD– verilmiş ikitərəfli üçbucağın hündürlüyü.

Üçbucağın tərəflərinin tapılması ABC düz üçbucaqdan ABD Pifaqor teoreminə görə:

İndi tapırıq OB:

Üçbucağı nəzərdən keçirək HÖNKÜRTÜ: S.B.= 13 sm, OB= = 5 sm.Perpendikulyarın uzunluğunu tapın BELƏ Kİ Pifaqor teoreminə görə:

Cavab: 12 sm.

Misal 4. Paralel təyyarələr verilmişdir a Və b. Nöqtə vasitəsilə M, heç birinə aid olmayan düz xətlər çəkilir A Və b o xaç a nöqtələrdə A 1 və IN 1 və təyyarə b- nöqtələrdə A 2 və IN 2. Tapın A 1 IN 1 əgər məlumdursa MA 1 = 8 sm, A 1 A 2 = 12 sm, A 2 IN 2 = 25 sm.

Həll.Şərt nöqtənin hər iki müstəviyə nisbətən necə yerləşdiyini söyləmədiyi üçün M, onda iki variant mümkündür: (Şəkil 7, a) və (Şəkil 7, b). Gəlin onların hər birinə nəzər salaq. İki kəsişən xətt A Və b müstəvini müəyyənləşdirin. Bu müstəvi iki paralel müstəvi ilə kəsişir a Və b paralel xətlər boyunca A 1 IN 1 və A 2 IN Paralel xətlər və paralel müstəvilər haqqında 5-ci teoremə görə 2.

Üçbucaqlar MA 1 IN 1 və MA 2 IN 2 oxşardır (bucaqlar A 2 MV 2 və A 1 MV 1 - şaquli, künclər MA 1 IN 1 və MA 2 IN 2 - paralel xətlərlə daxili çarpaz uzanan A 1 IN 1 və A 2 IN 2 və sekant A 1 A 2). Üçbucaqların oxşarlığından tərəflərin mütənasibliyi əmələ gəlir:

Variant a):

Variant b):

Cavab: 10 sm və 50 sm.

Misal 5. Nöqtə vasitəsilə A təyyarə g birbaşa xətt çəkildi AB, təyyarə ilə bucaq əmələ gətirir a. Birbaşa vasitəsilə AB təyyarə çəkilir r, təyyarə ilə formalaşır g künc b. Düz xəttin proyeksiyası arasındakı bucağı tapın AB təyyarəyə g və təyyarə r.

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 8). Nöqtədən IN təyyarəyə perpendikulyar düşür g. Təyyarələr arasında xətti dihedral bucaq g Və r- bu düz bucaqdır AD DBC, xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığına, eləcə də müstəvilərin perpendikulyarlığına əsaslanaraq, bir müstəvi rüçbucağın müstəvisinə perpendikulyar DBC, xəttdən keçdiyi üçün AD. Nöqtədən perpendikulyar ataraq istədiyiniz bucağı qururuq İLƏ təyyarəyə r, onu işarə edək Düzbucaqlı üçbucağın bu bucağının sinusunu tapın ÖZÜM. Köməkçi seqmenti təqdim edək a = BC. Üçbucaqdan ABC: Üçbucaqdan Dəniz tapacağıq

Sonra tələb olunan bucaq

Cavab:

üçün tapşırıqlar müstəqil qərar

səviyyəli

1.1. Bir nöqtədən keçərək, verilmiş iki kəsişən xəttə perpendikulyar bir xətt çəkin.

1.2. Neçə müxtəlif təyyarənin çəkilə biləcəyini müəyyənləşdirin:

1) üçdə müxtəlif nöqtələr;

2) üçü eyni müstəvidə olmayan dörd fərqli nöqtə vasitəsilə?

1.3. Üçbucağın təpələri vasitəsilə ABC iki paralel müstəvidən birində uzanaraq, ikinci müstəvi ilə nöqtələrdə kəsişən paralel xətlər çəkilir A 1 , IN 1 , İLƏ 1 . Üçbucaqların bərabərliyini sübut edin ABC Və A 1 IN 1 İLƏ 1 .

1.4. Yuxarıdan A düzbucaqlı A B C D perpendikulyar bərpa edilmişdir AM onun müstəvisinə.

1) üçbucaqların olduğunu sübut edin MBC Və MDC- düzbucaqlı;

2) seqmentlər arasında göstərin M.B., M.C., M.D. Və M.A.ən böyük və ən qısa uzunluqlu seqment.

1.5. Bir dihedral bucağın üzləri müvafiq olaraq digərinin üzlərinə paraleldir. Bu dihedral bucaqların dəyərləri arasındakı əlaqəni müəyyənləşdirin.

1.6. Bir üzdən götürülən nöqtədən kənara qədər olan məsafə nöqtədən ikinci üzün müstəvisinə qədər olan məsafədən 2 dəfə böyük olarsa, dihedral bucağın qiymətini tapın.

1.7. Təyyarədən bir məsafə ilə ayrılmış bir nöqtədən 60º bucaq meydana gətirən iki bərabər meylli yamac çəkilir. Oblik proyeksiyalar qarşılıqlı perpendikulyardır. Maili olanların uzunluqlarını tapın.

1.8. Yuxarıdan IN kvadrat A B C D perpendikulyar bərpa edilmişdir OLUN meydanın müstəvisinə. Üçbucaq müstəvisinin meyl bucağı ACE kvadratın müstəvisinə bərabərdir j, kvadratın tərəfi A ACE.

II səviyyə

2.1. İki kəsişən xəttdən birinə aid olmayan nöqtə vasitəsilə verilmiş hər iki xətti kəsən xətt çəkin.

2.2. Paralel xətlər A, b Və ilə eyni müstəvidə yatmayın. Nöqtə vasitəsilə A düz xətt üzərində A düz xətlərə perpendikulyarlar çəkilir b Və ilə, onları müvafiq olaraq nöqtələrdə kəsir IN Və İLƏ. Xətti sübut edin Günəş düz xətlərə perpendikulyar b Və ilə.

2.3. Üstdən A düz üçbucaq ABC-ə paralel bir müstəvi çəkilir Günəş. Üçbucağın ayaqları AC= 20 sm, Günəş= 15 sm.Ayaqlardan birinin müstəviyə proyeksiyası 12 sm-dir.Hipotenuzanın proyeksiyasını tapın.

2.4. Dihedral bucağın üzlərindən birində 30º-ə bərabər bir nöqtə var M. Ondan küncün kənarına qədər olan məsafə 18 sm-dir.Nöqtənin proyeksiyasından məsafəni tapın M ikinci üzə birinci üzə.

2.5. Seqmentin sonları AB 90º-ə bərabər olan dihedral bucağın üzlərinə aiddir. Nöqtələrdən məsafə A Və IN kənarları müvafiq olaraq bərabərdir AA 1 = 3 sm, BB 1 = 6 sm, kənarındakı nöqtələr arasındakı məsafə Seqmentin uzunluğunu tapın AB.

2.6. Təyyarədən uzaqda yerləşən bir nöqtədən A müstəvi ilə 45º və 30º bucaqlar və öz aralarında 90º bucaq meydana gətirən iki maili çəkilir. Maili olanların əsasları arasındakı məsafəni tapın.

2.7. Üçbucağın tərəfləri 15 sm, 21 sm və 24 sm.Nöqtədir Müçbucağın müstəvisindən 73 sm uzaqlaşdırılıb və onun təpələrindən eyni məsafədə yerləşir. Bu məsafəni tapın.

2.8. Mərkəzdən HAQQINDA dairə üçbucaq şəklində yazılmışdır ABC, üçbucağın müstəvisinə perpendikulyar bərpa olunur OM. Nöqtədən məsafəni tapın Müçbucağın tərəflərinə, əgər AB = BC = 10 sm, AC= 12 sm, OM= 4 sm.

2.9. Nöqtədən məsafələr M yanlara və yuxarıya düz bucaq müvafiq olaraq 4 sm, 7 sm və 8 sm-ə bərabərdir.Nöqtədən məsafəni tapın M düz bucaq müstəvisinə.

2.10. Baza vasitəsilə AB ikitərəfli üçbucaq ABC təyyarə bucaq altında çəkilir büçbucağın müstəvisinə. Vertex İLƏ məsafədən təyyarədən uzaqlaşdırıldı A. Üçbucağın sahəsini tapın ABC, əgər baza AB ikitərəfli üçbucağın hündürlüyünə bərabərdir.

III səviyyə

3.1. Düzbucaqlı Layout A B C D tərəflərlə A Və b diaqonal olaraq əyilmiş BD belə ki, üçbucaqların müstəviləri PİS Və BCD qarşılıqlı perpendikulyar oldu. Seqmentin uzunluğunu tapın AC.

3.2. Bucaqları 60º olan iki düzbucaqlı trapesiya perpendikulyar müstəvilərdə yerləşir və daha böyük ümumi bazaya malikdir. Böyük tərəfləri 4 sm və 8 sm-dir.Trapezoidlərin iti bucaqlarının təpələri üst-üstə düşürsə, düz xətlərin təpələri ilə trapesiyaların küt bucaqlarının təpələri arasındakı məsafəni tapın.

3.3.Kub verilmişdir ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Düz xətt arasındakı bucağı tapın CD 1 və təyyarə BDC 1 .

3.4. Kənarında AB Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 xal alındı R- bu qabırğanın ortası. Nöqtələrdən keçən bir təyyarə ilə kubun bir hissəsini qurun C 1 P.D. və kubun kənarı bərabərdirsə, bu hissənin sahəsini tapın A.

3.5. Yan tərəfdən AD düzbucaqlı A B C D təyyarə çəkilir a belə ki, diaqonal BD bu müstəvi ilə 30º bucaq yaradır. Düzbucaqlının müstəvisi ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın a, Əgər AB = A, AD = b. Hansı nisbətdə olduğunu müəyyənləşdirin A Və b problemin həlli var.

3.6. Üçbucağın tərəfləri ilə müəyyən edilmiş xətlərdən bərabər məsafədə olan nöqtələrin yerini tapın.

Prizma. Paralelepiped

Prizma iki üzü bərabər n-qonşulu olan çoxüzlüdür (əsaslar) , paralel müstəvilərdə uzanır və qalan n üz paraleloqramdır (yan üzlər) . Yanal qabırğa Prizmanın əsasına aid olmayan tərəfi prizmanın tərəfi adlanır.

Yan kənarları əsasların müstəvilərinə perpendikulyar olan prizma deyilir düz prizma (şək. 1). Yan kənarları əsasların müstəvilərinə perpendikulyar deyilsə, prizma adlanır meylli . Düzgün Prizma, əsasları düzgün çoxbucaqlı olan düz prizmadır.

Hündürlük prizma əsasların müstəviləri arasındakı məsafədir. Diaqonal Prizma eyni üzə aid olmayan iki təpəni birləşdirən seqmentdir. Diaqonal bölmə eyni üzə aid olmayan iki yan kənardan keçən müstəvi prizmanın kəsiyi adlanır. Perpendikulyar hissə prizmanın yan kənarına perpendikulyar olan müstəvi ilə prizmanın kəsişməsi adlanır.

Yan səth sahəsi prizmanın bütün yanal üzlərinin sahələrinin cəmidir. Ümumi səth sahəsi prizmanın bütün üzlərinin sahələrinin cəmi adlanır (yəni yan üzlərin sahələrinin və əsasların sahələrinin cəmi).

İxtiyari prizma üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur::

Harada l- yan qabırğanın uzunluğu;

H- hündürlük;

P

Q

S tərəfi

S dolu

S bazası- əsasların sahəsi;

V- prizmanın həcmi.

Düz prizma üçün aşağıdakı düsturlar düzgündür:

Harada səh- baza perimetri;

l- yan qabırğanın uzunluğu;

H- hündürlük.

paralelepiped bazası paraleloqram olan prizma adlanır. Yan kənarları əsaslara perpendikulyar olan paralelepiped deyilir birbaşa (Şəkil 2). Yan kənarları əsaslara perpendikulyar deyilsə, paralelepiped deyilir meylli . Əsası düzbucaqlı olan düz paralelepiped deyilir düzbucaqlı. Bütün kənarları bərabər olan düzbucaqlı paralelepiped adlanır kub

Ümumi təpələri olmayan paralelepipedin üzlərinə deyilir əks . Bir təpədən çıxan kənarların uzunluqlarına deyilir ölçmələr paralelepiped. Paralelepiped prizma olduğundan, onun əsas elementləri prizmalar üçün təyin olunduğu kimi müəyyən edilir.

Teoremlər.

1. Paralelepipedin diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və onu ikiyə bölür.

2. B düzbucaqlı paralelepiped Diaqonalın uzunluğunun kvadratı onun üç ölçüsünün kvadratlarının cəminə bərabərdir:

3. Düzbucaqlı paralelepipedin dörd diaqonalının hamısı bir-birinə bərabərdir.

İxtiyari paralelepiped üçün aşağıdakı düsturlar etibarlıdır:

Harada l- yan qabırğanın uzunluğu;

H- hündürlük;

P- perpendikulyar hissənin perimetri;

Q– Perpendikulyar en kəsiyinin sahəsi;

S tərəfi- yanal səth sahəsi;

S dolu- ümumi səth sahəsi;

S bazası- əsasların sahəsi;

V- prizmanın həcmi.

Düzgün paralelepiped üçün aşağıdakı düsturlar düzgündür:

Harada səh- baza perimetri;

l- yan qabırğanın uzunluğu;

H– sağ paralelepipedin hündürlüyü.

Düzbucaqlı paralelepiped üçün aşağıdakı düsturlar düzgündür:

Harada səh- baza perimetri;

H- hündürlük;

d- diaqonal;

a,b,c– paralelepipedin ölçüləri.

Aşağıdakı düsturlar bir kub üçün düzgündür:

Harada a- qabırğa uzunluğu;

d- kubun diaqonalı.

Misal 1. Düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalı 33 dm, ölçüləri isə 2: 6: 9 nisbətindədir. Paralelepipedin ölçülərini tapın.

Həll. Paralelepipedin ölçülərini tapmaq üçün (3) düsturundan istifadə edirik, yəni. kuboidin hipotenuzasının kvadratının onun ölçülərinin kvadratlarının cəminə bərabər olması ilə. ilə işarə edək k mütənasiblik amili. Sonra paralelepipedin ölçüləri 2-yə bərabər olacaqdır k, 6k və 9 k. Problem məlumatları üçün düstur (3) yazaq:

üçün bu tənliyin həlli k, alırıq:

Bu o deməkdir ki, paralelepipedin ölçüləri 6 dm, 18 dm və 27 dm-dir.

Cavab: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Misal 2. Yan kənarı təməlin yan tərəfinə bərabərdirsə və bazaya 60º bucaq altında meyllidirsə, əsası tərəfi 8 sm olan bərabərtərəfli üçbucaq olan maili üçbucaqlı prizmanın həcmini tapın.

Həll . Bir rəsm çəkək (şək. 3).

Maili prizmanın həcmini tapmaq üçün onun əsasının sahəsini və hündürlüyünü bilmək lazımdır. Bu prizmanın əsasının sahəsi tərəfi 8 sm olan bərabərtərəfli üçbucağın sahəsidir, onu hesablayaq:

Prizmanın hündürlüyü onun əsasları arasındakı məsafədir. Yuxarıdan A yuxarı bazanın 1-i, aşağı bazanın müstəvisinə perpendikulyar aşağı salın A 1 D. Onun uzunluğu prizmanın hündürlüyünə bərabər olacaq. Nəzərə alın ki, D A 1 AD: çünki bu, yan kənarın meyl bucağıdır A 1 A baza müstəvisinə, A 1 A= 8 sm.Bu üçbucaqdan tapırıq A 1 D:

İndi (1) düsturundan istifadə edərək həcmi hesablayırıq:

Cavab: 192 sm 3.

Misal 3. Düzgün altıbucaqlı prizmanın yan kənarı 14 sm, ən böyük diaqonal kəsiyinin sahəsi 168 sm 2-dir. Prizmanın ümumi səth sahəsini tapın.

Həll. Gəlin rəsm çəkək (şək. 4)

Ən böyük diaqonal hissə düzbucaqlıdır A.A. 1 DD Diaqonaldan bəri 1 AD müntəzəm altıbucaqlı ABCDEFən böyüyüdür. Prizmanın yanal səthinin sahəsini hesablamaq üçün əsasın tərəfini və yan kənarın uzunluğunu bilmək lazımdır.

Diaqonal hissənin (düzbucaqlı) sahəsini bilməklə, təməlin diaqonalını tapırıq.

O vaxtdan bəri

O vaxtdan bəri AB= 6 sm.

Sonra təməlin perimetri:

Prizmanın yan səthinin sahəsini tapaq:

Yanı 6 sm olan müntəzəm altıbucağın sahəsi:

Prizmanın ümumi səth sahəsini tapın:

Cavab:

Misal 4. Düz paralelepipedin əsası rombdur. Diaqonal en kəsiyinin sahələri 300 sm2 və 875 sm2-dir. Paralelepipedin yan səthinin sahəsini tapın.

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 5).

Rombun tərəfini ilə işarə edək A, rombun diaqonalları d 1 və d 2, paralelepiped hündürlüyü h. Düzgün paralelepipedin yan səthinin sahəsini tapmaq üçün təməlin perimetrini hündürlüyə vurmaq lazımdır: (formula (2)). Baza perimetri p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, çünki A B C D- romb H = AA 1 = h. Bu. Tapmaq lazımdır A Və h.

Diaqonal hissələrə nəzər salaq. AA 1 SS 1 – bir tərəfi rombun diaqonalı olan düzbucaqlı AC = d 1, ikinci - yan kənar AA 1 = h, Sonra

Eynilə bölmə üçün BB 1 DD 1 alırıq:

Diaqonalların kvadratlarının cəmi onun bütün tərəflərinin kvadratlarının cəminə bərabər olan paraleloqramın xassəsindən istifadə edərək bərabərliyi əldə edirik: Aşağıdakıları əldə edirik:

İlk iki bərabərlikdən ifadə edək və onları üçüncü ilə əvəz edək. Alırıq: onda

1.3. Maili üçbucaqlı prizmada yan kənarına 12 sm-ə bərabər olan kəsik çəkilir.Həmin üçbucaqda uzunluğu sm və 8 sm olan iki tərəf 45° bucaq əmələ gətirir. Prizmanın yan səthinin sahəsini tapın.

1.4. Düz paralelepipedin əsası tərəfi 4 sm, iti bucağı 60° olan rombdur. Yan kənarının uzunluğu 10 sm olarsa, paralelepipedin diaqonallarını tapın.

1.5. Düzgün paralelepipedin əsası diaqonalı sm-ə bərabər olan kvadratdır.Parallelepipedin yan kənarı 5 sm-dir.Parallepipedin ümumi səth sahəsini tapın.

1.6. Maili paralelepipedin əsası tərəfləri 3 sm və 4 sm olan düzbucaqlıdır.Sm-ə bərabər olan yan kənarı 60° bucaq altında əsas müstəvisinə meyllidir. Paralelepipedin həcmini tapın.

1.7. İki kənar və bir təpədən çıxan diaqonal müvafiq olaraq 11 sm, sm və 13 sm olarsa, düzbucaqlı paralelepipedin səth sahəsini hesablayın.

1.8. Materialın xüsusi çəkisi 2,2 q/sm 3 olarsa, ölçüləri 0,3 m, 0,3 m və 2,5 m olan düzbucaqlı paralelepiped şəklində olan daş sütunun çəkisini təyin edin.

1.9. Kubun üzünün diaqonalı dm-ə bərabərdirsə, onun diaqonal en kəsiyinin sahəsini tapın.

1.10. Kubun eyni üzdə olmayan iki təpəsi arasındakı məsafə sm-ə bərabər olarsa, onun həcmini tapın.

II səviyyə

2.1. Maili prizmanın əsası tərəfi sm olan bərabərtərəfli üçbucaqdır.Yan kənarı əsasın müstəvisinə 30° bucaq altında meyllidir. Prizmanın yan kənarından keçən en kəsiyinin sahəsini və yuxarı əsasın təpələrindən birinin aşağı əsasın kənarının ortasına proyeksiya edildiyi məlumdursa, prizmanın hündürlüyünü tapın.

2.2. Maili prizmanın əsası tərəfi 3 sm-ə bərabər olan bərabərtərəfli ABC üçbucağıdır.A 1 təpəsi ABC üçbucağının mərkəzinə proyeksiya edilmişdir. AA 1 qabırğası əsas müstəvi ilə 45° bucaq yaradır. Prizmanın yan səthinin sahəsini tapın.

2.3. Maili üçbucaqlı prizmanın həcmini hesablayın, əgər bünövrənin tərəfləri 7 sm, 5 sm və 8 sm, prizmanın hündürlüyü isə əsas üçbucağın kiçik hündürlüyünə bərabərdir.

2.4. Düzgün dördbucaqlı prizmanın diaqonalı 30° bucaq altında yan üzünə meyllidir. Baza müstəvisinə meyl bucağını tapın.

2.5. Düz prizmanın əsası ikitərəfli trapesiyadır, əsasları 4 sm və 14 sm, diaqonalı isə 15 sm prizmanın iki yan üzü kvadratlardır. Prizmanın ümumi səth sahəsini tapın.

2.6. Düzgün altıbucaqlı prizmanın diaqonalları 19 sm və 21 sm-dir.Onun həcmini tapın.

2.7. Diaqonalı 8 dm olan və yan üzləri ilə 30° və 40° bucaq əmələ gətirən düzbucaqlı paralelepipedin ölçülərini tapın.

2.8. Düzgün paralelepipedin əsasının diaqonalları 34 sm və 38 sm, yan üzlərinin sahələri isə 800 sm 2 və 1200 sm 2-dir. Paralelepipedin həcmini tapın.

2.9. Bir təpədən çıxan yan üzlərinin diaqonallarının 4 sm və 5 sm olduğu və 60° bucaq əmələ gətirdiyi düzbucaqlı paralelepipedin həcmini təyin edin.

2.10. Əgər kubun diaqonalından onunla kəsişməyən kənara qədər olan məsafə mm olarsa, onun həcmini tapın.

III səviyyə

3.1. Müntəzəm üçbucaqlı prizmada, əsasın kənarından və əks yan kənarın ortasından bir kəsik çəkilir. Əsas sahəsi 18 sm 2, yan üzün diaqonalı isə 60 ° bucaq altında bazaya meyllidir. Kesiti sahəsini tapın.

3.2. Prizmanın təməlində ABCD kvadratı yerləşir, onun bütün təpələri yuxarı əsasın A 1 təpəsindən bərabər məsafədə yerləşir. Yan kənar ilə baza müstəvisi arasındakı bucaq 60°-dir. Əsasın tərəfi 12 sm-dir Prizmanın AA 1 kənarına perpendikulyar, C təpəsindən keçən müstəvi ilə kəsiyini qurun və onun sahəsini tapın.

3.3. Düz prizmanın əsası ikitərəfli trapesiyadır. Diaqonal en kəsiyinin sahəsi və paralel yan üzlərin sahəsi müvafiq olaraq 320 sm 2, 176 sm 2 və 336 sm 2-dir. Prizmanın yan səthinin sahəsini tapın.

3.4. Düzgün üçbucaqlı prizmanın təməlinin sahəsi 9 sm 2, yan üzlərinin sahəsi 18 sm 2, 20 sm 2 və 34 sm 2-dir. Prizmanın həcmini tapın.

3.5. Düzbucaqlı paralelepipedin üzlərinin diaqonallarının 11 sm, 19 sm və 20 sm olduğunu bilərək onun diaqonallarını tapın.

3.6. Düzbucaqlı paralelepipedin bünövrəsinin əsas tərəfi ilə diaqonalının və paralelepipedin diaqonalının yaratdığı bucaqlar müvafiq olaraq a və b-yə bərabərdir. Diaqonalı d olarsa, paralelepipedin yan səthinin sahəsini tapın.

3.7. Düz altıbucaqlı olan kubun sahəsi sm 2-ə bərabərdir. Kubun səthinin sahəsini tapın.

Düz xəttin və müstəvinin kosmosda nisbi mövqeyi üç halda imkan verir. Düz xətt və müstəvi bir nöqtədə kəsişə bilər. Onlar paralel ola bilər. Nəhayət, düz bir xətt təyyarədə uzana bilər. Tapmaq konkret vəziyyət düz xətt və müstəvi üçün onların təsviri üsulundan asılıdır.

Fərz edək ki, π müstəvisi π ümumi tənliyi ilə verilmişdir: Ax + By + Cz + D = 0, L xətti isə kanonik tənliklər (x - x 0)/l = (y - y 0) ilə verilmişdir. /m = (z - z 0) /n. Xəttin tənlikləri xəttin M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) nöqtəsinin koordinatlarını və bu xəttin s = (l; m; n) istiqamət vektorunun koordinatlarını və tənliyini verir. müstəvi onun normal vektorunun koordinatlarını verir n = (A; B; C).

Əgər L düz xətti ilə π müstəvisi kəsişirsə, onda düz xəttin s istiqamət vektoru π müstəvisinə paralel deyildir. Bu o deməkdir ki, təyyarənin normal vektoru n s vektoruna ortoqonal deyil, yəni. onların skalyar hasili sıfıra bərabər deyil. Xəttin və müstəvi tənliklərinin əmsalları vasitəsilə bu şərt A1 + Bm + Cn ≠ 0 bərabərsizliyi kimi yazılır.

Əgər xətt və müstəvi paraleldirsə və ya xətt müstəvidə yerləşirsə, o zaman s ⊥ n şərti yerinə yetirilir ki, bu da koordinatlarda Al + Bm + Cn = 0 bərabərliyinə endirilir. “Paralel” və “” hallarını ayırmaq üçün. xətt müstəviyə aiddir” dedikdə, verilmiş müstəvidə düz xəttin nöqtəsinin olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır.

Beləliklə, düz xəttin və müstəvinin nisbi mövqeyinin hər üç halı müvafiq şərtləri yoxlamaqla ayrılır:

L düz xətti onun ümumi tənlikləri ilə verilirsə:

onda düz xəttin və π müstəvisinin nisbi mövqeyini aşağıdakı kimi təhlil etmək olar. Xəttin ümumi tənliklərindən və ümumi tənlik təyyarə yaradaq üçlük sistem xətti tənliklər üç naməlum ilə

Bu sistemin həlli yoxdursa, o zaman xətt müstəviyə paraleldir. Əgər onun unikal həlli varsa, onda xətt və müstəvi bir nöqtədə kəsişir. Sonuncu ilə bərabərdir sistem təyinedicisi (6.6)

sıfırdan fərqlidir. Nəhayət, (6.6) sisteminin sonsuz sayda həlli varsa, düz xətt müstəviyə aiddir.

Düz xətt və müstəvi arasındakı bucaq. L düz xətti: (x - x 0)/l = (y - y 0)/m = (z - z 0)/n və π müstəvisi arasındakı φ bucağı: Ax + By + Cz + D = 0-dır. 0 ° diapazonunda (paralellik olduqda) 90 ° -ə qədər (düz xəttə və müstəviyə perpendikulyar olduqda). Bu bucağın sinusu |cosψ|-ə bərabərdir, burada ψ düz xəttin istiqamətləndirici vektoru s ilə müstəvinin normal vektoru n arasındakı bucaqdır (şək. 6.4). İki vektor arasındakı bucağın kosinusunu onların koordinatları vasitəsilə hesablayaraq (bax (2.16)) əldə edirik.

Xəttin və müstəvinin perpendikulyar olması şərti müstəvinin normal vektorunun və xəttin istiqamət vektorunun kollinear olmasına bərabərdir. Vektorların koordinatları vasitəsilə bu şərt ikiqat bərabərlik kimi yazılır

BİLET 16.

Dihedral bucaqları bərabər olan piramidanın xassələri.

A) Əgər piramidanın yanal üzləri əsası ilə bərabər dihedral bucaqlar təşkil edirsə, o zaman piramidanın yan üzlərinin bütün hündürlükləri bərabərdir (müntəzəm piramida üçün bunlar apotemdir) və piramidanın yuxarı hissəsi proyeksiya olunur. əsas çoxbucaqlıya yazılmış dairənin mərkəzi.

B) Piramidanın əsas çoxbucaqlısına çevrə çəkildiyi halda, onun əsasında bərabər dihedral bucaqlar ola bilər.

Prizma. Tərif. Elementlər. Prizma növləri.

prizma- iki üzü paralel müstəvilərdə yerləşən bərabər çoxbucaqlı, qalan üzləri isə paraleloqram olan çoxüzlüdür.

Paralel müstəvilərdə olan üzlərə deyilir səbəblər prizmalar və qalan üzlər - yan üzlər prizmalar.

Prizmanın əsasından asılı olaraq bunlar var:

1) üçbucaqlı

2) dördbucaqlı

3) altıbucaqlı

Yan kənarları əsaslarına perpendikulyar olan prizma adlanır düz prizma.

Düzgün prizmanın əsasları düzgün çoxbucaqlıdırsa, ona müntəzəm deyilir.

BİLET 17.

Düzbucaqlı paralelepipedin diaqonallarının xassələri.

Bütün dörd diaqonal bir nöqtədə kəsişir və orada ikiyə bölünür.

Düzbucaqlı paralelepipeddə bütün diaqonallar bərabərdir.

Düzbucaqlı paralelepipeddə istənilən diaqonalın kvadratı onun üç ölçüsünün kvadratlarının cəminə bərabərdir.

AC əsasının diaqonalını çəkərək AC 1 C və ACB üçbucaqlarını alırıq. Onların hər ikisi düzbucaqlıdır: birincisi, çünki paralelepiped düzdür və buna görə də CC 1 kənarı bazaya perpendikulyardır; ikincisi, çünki paralelepiped düzbucaqlıdır və buna görə də onun əsasında düzbucaqlı yerləşir. Bu üçbucaqlardan tapırıq:

AC 1 2 = AC 2 + CC 1 2 və AC 2 = AB 2 + BC 2

Buna görə də AC 1 2 = AB 2 + BC 2 + CC 1 2 = AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

İki təyyarənin qarşılıqlı yerləşməsi halları.

ƏMLAK 1:

İki paralel müstəvinin üçüncü müstəvi ilə kəsişmə xətləri paraleldir.

ƏMLAK 2:

İki paralel müstəvi arasında bağlanmış paralel xətlərin seqmentlərinin uzunluğu bərabərdir.

ƏMLAK 3

Kosmosda verilmiş müstəvidə olmayan hər bir nöqtə vasitəsilə bu müstəviyə paralel və yalnız bir müstəvi çəkmək olar.

BİLET 18.

Paralelepipedin əks üzlərinin xassələri.

Paralelepipedin əks üzləri paralel və bərabərdir.

Misal üçün , AA 1 B 1 müstəvisinin kəsişən AB və AA 1 xətləri müvafiq olaraq DD 1 müstəvisinin DC və DD 1 kəsişən iki xəttinə paralel olduğundan AA 1 B 1 B və DD 1 C 1 C paraleloqramlarının müstəviləri paraleldir. C 1. AA 1 B 1 B və DD 1 C 1 C paraleloqramları bərabərdir (yəni üst-üstə düşməklə birləşdirilə bilər), çünki AB və DC, AA 1 və DD 1 tərəfləri bərabərdir, A 1 AB və D 1 bucaqları isə bərabərdir. DC bərabərdir.

Prizmanın, piramidanın, nizamlı piramidanın səth sahələri.

Düzgün piramida: Dolğun. =3SASB+Sbas.

Düz xətt müstəviyə aid ola bilər, olmaya da bilər. Ən azı iki nöqtəsi müstəvidə yerləşirsə, o, təyyarəyə aiddir. Şəkil 93-də Sum müstəvisi göstərilir (axb). Düz l Onun 1 və 2-ci nöqtələri bu müstəviyə aid olduğu üçün Sum müstəvisinə aiddir.

Əgər xətt müstəviyə aid deyilsə, ona paralel ola və ya onu kəsə bilər.

Bir xətt müstəvidə yerləşən başqa bir xəttə paraleldirsə, müstəviyə paraleldir. Şəkil 93-də düz xətt var m || məbləğ, çünki o, xəttə paraleldir l bu təyyarəyə aiddir.

Düz xətt bir müstəvini müxtəlif bucaqlarda kəsə bilər və xüsusən də ona perpendikulyar ola bilər. Düz xəttin müstəvi ilə kəsişmə xətlərinin qurulması §61-də verilmişdir.

Şəkil 93 - Müstəviyə aid düz xətt

Müstəviyə münasibətdə nöqtə aşağıdakı şəkildə yerləşə bilər: ona aid olmaq və ya ona aid olmamaq. Nöqtə bu müstəvidə yerləşən düz xətt üzərində yerləşirsə, müstəviyə aiddir. Şəkil 94-də iki paralel xətt ilə müəyyən edilmiş Sum müstəvisinin mürəkkəb çertyojı göstərilir l Və P. Təyyarədə bir xətt var m. A nöqtəsi xətt üzərində yerləşdiyi üçün Cəm müstəvisində yerləşir m. Nöqtə IN müstəviyə aid deyil, çünki onun ikinci proyeksiyası xəttin müvafiq proyeksiyalarına uyğun gəlmir.

Şəkil 94 - İki paralel xətt ilə müəyyən edilmiş müstəvinin mürəkkəb təsviri

Konusvari və silindrik səthlər

Konusvari səthlərə düzxətli generatrisin hərəkəti nəticəsində əmələ gələn səthlər daxildir ləyri bələdçi boyunca m. Konusvari səthin əmələ gəlməsinin özəlliyi ondan ibarətdir ki, bu halda generatrixin bir nöqtəsi həmişə hərəkətsizdir. Bu nöqtə konusvari səthin təpə nöqtəsidir (Şəkil 95, A). Konusvari səthin determinantına təpə nöqtəsi daxildir S və bələdçi m, harada l"~S; l"^ m.

Silindrik səthlər düz bir generatrix tərəfindən yaradılan / əyri bir bələdçi boyunca hərəkət edən səthlərdir T verilən istiqamətə paralel S(Şəkil 95, b). Silindrik səthi sonsuzluqda təpəsi olan konusvari səthin xüsusi halı kimi qəbul etmək olar. S.

Silindrik səthin təyinedicisi bələdçidən ibarətdir T və istiqamətləri S formalaşdırmaq l, isə l" || S; l"^m.

Əgər silindrik səthin generatorları proyeksiya müstəvisinə perpendikulyardırsa, belə bir səth adlanır. layihələndirilməsi.Şəkil 95-də, Vüfüqi proyeksiyalı silindrik səth göstərilir.

Silindrik və konusvari səthlərdə onlardan keçən generatrislərdən istifadə etməklə verilmiş nöqtələr qurulur. Səthlərdəki xətlər, məsələn, xətt A rəqəm 95, V və ya üfüqi hŞəkil 95, a, b, bu xətlərə aid ayrı-ayrı nöqtələrdən istifadə etməklə tikilir.

Şəkil 95 - Konik və silindrik səthlər

Torso səthləri

Torso səthi düzxətli generatrix tərəfindən əmələ gələn səthdir l, bütün mövqelərində hərəkəti zamanı bəzi məkan əyrisinə toxunur T,çağırdı qayıdış kənarı(Şəkil 96). Qayıdış kənarı gövdəni tamamilə müəyyən edir və səth determinantının həndəsi hissəsidir. Alqoritmik hissə generatorların zirvənin kənarına toxunmasının göstəricisidir.

Konusvari səth qayıdış kənarına malik olan gövdənin xüsusi halıdır T bir nöqtəyə çevrildi S- konusvari səthin yuxarı hissəsi. Silindrik səth qayıdış kənarı sonsuzluq nöqtəsi olan gövdənin xüsusi halıdır.

Şəkil 96 – Torso səthi

Üzlü səthlər

Üzlü səthlərə düzxətli generatrisin hərəkəti nəticəsində əmələ gələn səthlər daxildir l qırıq bələdçi boyunca m.Üstəlik, əgər bir nöqtə S generatrix hərəkətsizdir, piramidal səth yaranır (Şəkil 97), əgər generatrix hərəkət edərkən müəyyən bir istiqamətə paraleldirsə S, sonra prizmatik səth yaranır (Şəkil 98).

Fasetli səthlərin elementləri bunlardır: təpə S(prizmatik səthin yaxınlığında sonsuzluqdadır), üz (bələdçinin bir hissəsi ilə məhdudlaşan təyyarənin bir hissəsi) m və ona nisbətən generatrixin həddindən artıq mövqeləri l) və kənar (bitişik üzlərin kəsişmə xətti).

Piramidal səthin determinantına təpə nöqtəsi daxildir S, generatorların və bələdçilərin keçdiyi yer: l" ~ S; l^ T.

Bələdçidən başqa prizmatik səthin təyinedicisi T, istiqaməti ehtiva edir S, bütün generatorların paralel olduğu l səthlər: l||S; l^ t.

Şəkil 97 - Piramida səthi

Şəkil 98 - Prizmatik səth

Müəyyən sayda (ən azı dörd) üzdən əmələ gələn qapalı üzlü səthlərə çoxüzlü deyilir. Çoxüzlülər arasından bütün üzlərin düzgün və konqruent çoxbucaqlı olduğu, təpələrindəki çoxüzlü bucaqların qabarıq olduğu və eyni sayda üzlərin olduğu bir qrup müntəzəm çoxüzlülər fərqləndirilir. Məsələn: altıüzlü - kub (Şəkil 99, A), tetraedr - müntəzəm dördbucaqlı (Şəkil 99, 6) səkkizbucaqlı - çoxüzlü (Şəkil 99, V). Kristallar müxtəlif polihedraların formasına malikdir.

Şəkil 99 - Çoxüzlülər

piramida- bazası ixtiyari çoxbucaqlı, yan üzləri isə ümumi təpəsi olan üçbucaqlar olan çoxüzlü S.

Mürəkkəb bir rəsmdə piramida, görmə qabiliyyətini nəzərə alaraq təpələri və kənarlarının proyeksiyaları ilə müəyyən edilir. Bir kənarın görünməsi rəqabət nöqtələrindən istifadə etməklə müəyyən edilir (Şəkil 100).

Şəkil 100 – Rəqabət nöqtələrindən istifadə edərək kənarın görünməsinin müəyyən edilməsi

Prizma- bazası iki eyni və qarşılıqlı paralel çoxbucaqlı, yan üzləri isə paraleloqram olan çoxüzlü. Prizmanın kənarları təməl müstəvisinə perpendikulyardırsa, belə prizma düz adlanır. Prizmanın kənarları hər hansı proyeksiya müstəvisinə perpendikulyardırsa, onda yanal səth buna proyeksiya deyilir. Şəkil 101-də üfüqi proyeksiyalı səthə malik düz dördbucaqlı prizmanın hərtərəfli təsviri göstərilir.

Şəkil 101 - Üfüqi proyeksiyalı səthi olan düz dördbucaqlı prizmanın mürəkkəb təsviri

Polihedronun mürəkkəb rəsmi ilə işləyərkən onun səthində xətlər çəkməlisən və xətt nöqtələr toplusu olduğundan, səthdə nöqtələr qurmağı bacarmaq lazımdır.

Fasetli səthdə hər hansı bir nöqtə bu nöqtədən keçən generatrixdən istifadə etməklə tikilə bilər. Şəkildə üzdə 100 var ACS nöqtə quruldu M generatrix istifadə edərək S-5.

Spiral səthlər

Sarmal səthlərə düzxətli generatrisin spiral hərəkəti nəticəsində yaranan səthlər daxildir. Qaydalı spiral səthlər adlanır helikoidlər.

Düz bir helikoid düzxətli generatrisin hərəkəti nəticəsində əmələ gəlir i iki bələdçi boyunca: spiral T və onun baltaları i; formalaşdırarkən l vida oxunu düz bir açı ilə kəsir (Şəkil 102, a). Düz helikoid dəzgahlarda spiral pilləkənlər, şneklər, eləcə də elektrik yivləri yaratmaq üçün istifadə olunur.

Generatoru bir vida bələdçisi boyunca hərəkət etdirməklə maili helikoid əmələ gəlir T və onun baltaları i belə ki, generator l oxu keçir i sabit bucaq altında φ, düz xəttdən fərqli, yəni generatrix istənilən vəziyyətdə l 2φ-ə bərabər olan zirvə bucağı ilə bələdçi konusunun generatrislərindən birinə paralel (Şəkil 102, b). Maili helikoidlər iplərin səthlərini məhdudlaşdırır.

Şəkil 102 - Helikoidlər

İnqilabın səthləri

İnqilab səthlərinə xəttin fırlanması ilə əmələ gələn səthlər daxildir l düz xətt ətrafında i , fırlanma oxu olan. Onlar inqilabın konusu və ya silindri kimi xətti və kürə kimi qeyri-xətti və ya əyri ola bilər. İnqilabın səthinin determinantına generatrix daxildir l və ox i . Fırlanma zamanı generatrixin hər bir nöqtəsi müstəvisi fırlanma oxuna perpendikulyar olan bir dairəni təsvir edir. İnqilab səthinin belə dairələrinə paralellər deyilir. Paralellərin ən böyüyü adlanır ekvator. Ekvator i _|_ P 1 olarsa, səthin üfüqi konturunu təyin edir . Bu halda paralellər bu səthin horizontallarıdır.

Səthin fırlanma oxundan keçən təyyarələrlə kəsişməsindən yaranan inqilab səthinin əyriləri deyilir. meridianlar. Bir səthin bütün meridianları uyğundur. Frontal meridian əsas meridian adlanır; fırlanma səthinin frontal konturunu müəyyən edir. Profil meridianı fırlanma səthinin profil konturunu təyin edir.

Səth paralellərindən istifadə edərək, inqilabın əyri səthlərində bir nöqtə qurmaq ən əlverişlidir. Şəkildə 103 nöqtə var M paralel h4 üzərində qurulmuşdur.

Şəkil 103 – Əyri səthdə nöqtənin qurulması

İnqilabın səthləri texnologiyada ən geniş tətbiq tapdı. Onlar əksər mühəndislik hissələrinin səthlərini məhdudlaşdırırlar.

Bir düz xəttin fırlanması ilə inqilabın konik səthi əmələ gəlir i onunla kəsişən düz xəttin ətrafında - ox i(Şəkil 104, A). Nöqtə M səthdə bir generatrix istifadə edərək qurulur l və paralellər h. Bu səthə inqilab konusu və ya sağ dairəvi konus da deyilir.

Bir düz xəttin fırlanması ilə silindrik bir inqilab səthi meydana gəlir l ona paralel bir ox ətrafında i(Şəkil 104, b). Bu səthə silindr və ya sağ dairəvi silindr də deyilir.

Bir kürənin diametri ətrafında bir dairənin fırlanması ilə əmələ gəlir (Şəkil 104, V). Kürənin səthindəki A nöqtəsi əsas meridiana aiddir f, nöqtə IN- ekvator h, bir nöqtə M köməkçi paralel üzərində qurulmuşdur h".

Şəkil 104 - İnqilab səthlərinin formalaşması

Torus bir dairənin və ya onun qövsünün dairənin müstəvisində yerləşən ox ətrafında fırlanması ilə əmələ gəlir. Əgər ox yaranan dairənin içərisindədirsə, onda belə bir torus qapalı adlanır (Şəkil 105, a). Fırlanma oxu dairənin xaricindədirsə, belə bir torus açıq adlanır (Şəkil 105, b). Açıq torusa üzük də deyilir.

Şəkil 105 – Torusun əmələ gəlməsi

İnqilab səthləri digər ikinci dərəcəli əyrilərlə də formalaşa bilər. Fırlanma ellipsoidi (Şəkil 106, A) ellipsin oxlarından birinin ətrafında fırlanması ilə əmələ gəlir; fırlanma paraboloidi (Şəkil 106, b) - parabolanın öz oxu ətrafında fırlanması; tək vərəqli inqilab hiperboloidi (Şəkil 106, V) hiperbolanın xəyali ox və iki vərəq ətrafında fırlanması ilə əmələ gəlir (Şəkil 106, G) - hiperbolanın real ox ətrafında fırlanması.

Şəkil 106 – İkinci dərəcəli əyrilərlə çevrilmə səthlərinin formalaşması

Ümumi halda, səthlər yaradan xətlərin yayılma istiqamətində məhdud olmayan şəkildə təsvir olunur (bax Şəkil 97, 98). Xüsusi problemləri həll etmək və əldə etmək həndəsi fiqurlar kəsici təyyarələrlə məhdudlaşır. Məsələn, dairəvi silindr əldə etmək üçün silindrik səthin bir hissəsini kəsici təyyarələrlə məhdudlaşdırmaq lazımdır (bax Şəkil 104, b). Nəticədə onun yuxarı və aşağı əsaslarını alırıq. Kəsmə müstəviləri fırlanma oxuna perpendikulyar olarsa, silindr düz olacaq, yoxsa, silindr meylli olacaqdır.

Dairəvi konus əldə etmək üçün (bax Şəkil 104, A), yuxarı və kənar boyunca kəsmək lazımdır. Silindr əsasının kəsici müstəvisi fırlanma oxuna perpendikulyar olarsa, konus düz, yoxsa, meylli olacaqdır. Hər iki kəsici təyyarə təpədən keçməzsə, konus kəsiləcəkdir.

Kəsilmiş təyyarədən istifadə edərək bir prizma və bir piramida əldə edə bilərsiniz. Məsələn, altıbucaqlı piramidanın bütün kənarları kəsici müstəvi ilə eyni yamacda olarsa, düz olacaqdır. Digər hallarda maili olacaq. Əgər tamamlanarsa ilə kəsici təyyarələrdən istifadə edərək və onların heç biri təpədən keçmir - piramida kəsilir.

Prizma (bax Şəkil 101) prizmatik səthin bir hissəsini iki kəsici təyyarə ilə məhdudlaşdırmaqla əldə edilə bilər. Kəsmə müstəvisi, məsələn, səkkizbucaqlı prizmanın kənarlarına perpendikulyardırsa, düzdür, perpendikulyar deyilsə, meyllidir.

Kəsmə müstəvilərinin uyğun mövqeyini seçməklə, həll olunan məsələnin şərtlərindən asılı olaraq həndəsi fiqurların müxtəlif formalarını əldə etmək olar.