2-ci tipin ən sadə kəsr forması var. Sadə kəsrlərin inteqrasiyası

Bu mövzuda təqdim olunan material "Rasional kəsrlər. Rasional kəsrlərin elementar (sadə) kəsrlərə parçalanması" mövzusunda verilən məlumatlara əsaslanır. Bu materialı oxumağa keçməzdən əvvəl ən azı bu mövzuya nəzər salmağı tövsiyə edirəm. Bundan əlavə, qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlinə ehtiyacımız olacaq.

İcazə verin, bir-iki termini xatırladım. Onlar müvafiq mövzuda müzakirə edildi, buna görə də burada özümü qısa bir ifadə ilə məhdudlaşdıracağam.

İki çoxhədli $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ nisbətinə rasional funksiya və ya rasional kəsr deyilir. Rasional kəsr deyilir düzgün, əgər $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется səhv.

Elementar (sadə) rasional kəsrlər dörd növdən ibarət rasional kəsrlərdir:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q)< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Qeyd (mətni daha tam başa düşmək üçün arzu olunandır): göstər\gizlət

$p^2-4q şərti nə üçün lazımdır?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим kvadrat tənlik$x^2+px+q=0$. Bu tənliyin diskriminantı $D=p^2-4q$-dır. Əsasən, şərt $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Məsələn, $x^2+5x+10$ ifadəsi üçün alırıq: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 olduğundan< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Yeri gəlmişkən, bu yoxlama üçün $x^2$ əmsalının 1-ə bərabər olması heç də vacib deyil. Məsələn, $5x^2+7x-3=0$ üçün alırıq: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. $D > 0$ olduğundan, $5x^2+7x-3$ ifadəsi faktorlara bölünür.

Rasional kəsrlərin nümunələri (düzgün və qeyri-düzgün), eləcə də rasional kəsrin elementar kəsrlərə parçalanması nümunələri tapıla bilər. Burada bizi yalnız onların inteqrasiyası məsələləri maraqlandıracaq. Elementar kəsrlərin inteqrasiyasından başlayaq. Beləliklə, yuxarıda göstərilən dörd elementar fraksiya növünün hər birini aşağıdakı düsturlardan istifadə edərək inteqrasiya etmək asandır. Nəzərinizə çatdırım ki, (2) və (4) tipli kəsrlərin inteqrallanması zamanı $n=2,3,4,\ldots$ qəbul edilir. (3) və (4) düsturları $p^2-4q şərtinin yerinə yetirilməsini tələb edir< 0$.

\begin(tənlik) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(tənlik) \begin(tənlik) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(tənlik) \begin(tənlik) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(tənlik)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ üçün $t=x+\frac(p)(2)$ əvəzi edilir, bundan sonra nəticə intervalı ikiyə bölünür. Birincisi diferensial işarənin altına daxil edilməklə hesablanacaq, ikincisi isə $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ şəklində olacaq. Bu inteqral təkrarlanma münasibətindən istifadə etməklə götürülür

\begin(tənlik) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\sonunda(tənlik)

Belə inteqralın hesablanması 7 nömrəli misalda müzakirə olunur (üçüncü hissəyə bax).

Rasional funksiyaların (rasional kəsrlərin) inteqrallarının hesablanması sxemi:

Əgər inteqral elementardırsa, (1)-(4) düsturlarını tətbiq edin.
Əgər inteqral elementar deyilsə, onu elementar kəsrlərin cəmi kimi təqdim edin və sonra (1)-(4) düsturlarından istifadə edərək inteqral edin.

Rasional fraksiyaların inteqrasiyası üçün yuxarıda göstərilən alqoritmin danılmaz üstünlüyü var - universaldır. Bunlar. bu alqoritmdən istifadə edərək inteqrasiya edə bilərsiniz hər hansı rasional kəsr. Məhz buna görə də qeyri-müəyyən inteqralda dəyişənlərin demək olar ki, bütün dəyişiklikləri (Euler, Çebışev, universal triqonometrik əvəzetmə) elə aparılır ki, bu dəyişiklikdən sonra interval altında rasional kəsr alırıq. Və sonra alqoritmi ona tətbiq edin. Kiçik bir qeyd etdikdən sonra nümunələrdən istifadə edərək bu alqoritmin birbaşa tətbiqini təhlil edəcəyik.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Prinsipcə, bu inteqral formulun mexaniki tətbiqi olmadan asanlıqla əldə edilir. İnteqral işarəsindən $7$ sabitini götürsək və $dx=d(x+9)$ olduğunu nəzərə alsaq, əldə edirik:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Ətraflı məlumat üçün mövzuya baxmağı məsləhət görürəm. Bu cür inteqralların necə həll olunduğunu ətraflı izah edir. Yeri gəlmişkən, düstur bu paraqrafda onu "əl ilə" həll edərkən tətbiq edilən eyni dəyişikliklərlə sübut edilmişdir.

2) Yenə də iki yol var: hazır formuldan istifadə edin və ya onsuz edin. Düsturu tətbiq etsəniz, onda nəzərə almalısınız ki, $x$ (4 nömrə) qarşısındakı əmsal çıxarılmalı olacaq. Bunu etmək üçün gəlin bu dördü mötərizədən çıxaraq:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\sağ)\sağ)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\sol(x+\frac(19)(4)\sağ)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\sol(x+\frac(19)(4)\sağ)^8). $$

İndi formulu tətbiq etməyin vaxtı gəldi:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\sol(x+\frac(19)(4)\sağ)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\sol(x+\frac(19)(4) \sağ)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\sol(x+\frac(19)(4) \sağ)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \sağ )^7)+C. $$

Formuladan istifadə etmədən edə bilərsiniz. Və hətta mötərizədə daimi $4$ götürmədən. $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ olduğunu nəzərə alsaq, əldə edirik:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Belə inteqralların tapılması üçün ətraflı izahatlar “Əvəzetmə yolu ilə inteqrasiya (diferensial işarə altında əvəzetmə)” mövzusunda verilmişdir.

3) $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ kəsrini inteqrasiya etməliyik. Bu fraksiya $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ strukturuna malikdir, burada $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Bununla belə, bunun həqiqətən üçüncü növün elementar hissəsi olduğuna əmin olmaq üçün $p^2-4q şərtinin yerinə yetirildiyini yoxlamaq lazımdır.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x) +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Eyni nümunəni həll edək, lakin hazır formuldan istifadə etmədən. Gəlin məxrəcin törəməsini payda təcrid etməyə çalışaq. Bu nə deməkdir? Biz bilirik ki, $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Bu, $2x+10$ ifadəsini paylayıcıda təcrid etməli oluruq. İndiyə qədər sayda yalnız $4x+7$ var, lakin bu uzun sürməyəcək, gəlin aşağıdakı çevrilməni paylayıcıya tətbiq edək:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

İndi paylayıcıda tələb olunan $2x+10$ ifadəsi görünür. Və inteqralımız aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Gəlin inteqranı ikiyə bölək. Yaxşı, və buna görə də inteqralın özü də "bifurcated":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \sağ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Əvvəlcə birinci inteqraldan danışaq, yəni. təxminən $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ olduğundan, inteqralın payı məxrəcin diferensialını ehtiva edir. Qısacası, əvəzinə $( 2x+10)dx$ ifadəsinin $d(x^2+10x+34)$ yazırıq.

İndi ikinci inteqral haqqında bir neçə söz deyək. Məxrəcdə tam kvadrat seçək: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Bundan əlavə, biz $dx=d(x+5)$-ı nəzərə alırıq. İndi əvvəllər əldə etdiyimiz inteqralların cəmini bir qədər fərqli formada yenidən yazmaq olar:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Əgər birinci inteqralda $u=x^2+10x+34$ əvəzini yerinə yetirsək, onda o, $\int\frac(du)(u)$ formasını alacaq və sadəcə olaraq ikinci düsturun tətbiqi ilə əldə edilə bilər. . İkinci inteqrala gəlincə, onun üçün $u=x+5$ dəyişməsi mümkündür, bundan sonra o, $\int\frac(du)(u^2+9)$ formasını alacaq. Bu qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlindən ən təmiz on birinci düsturdur. Beləliklə, inteqralların cəminə qayıdaraq, əldə edirik:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Düsturun tətbiqi ilə eyni cavabı aldıq, bu, qəti şəkildə desək, təəccüblü deyil. Ümumiyyətlə, düstur bu inteqralı tapmaq üçün istifadə etdiyimiz üsullarla sübut olunur. İnanıram ki, diqqətli oxucunun burada bir sualı ola bilər, ona görə də onu tərtib edəcəyəm:

Sual №1

Əgər qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlindən ikinci düsturu $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ inteqralına tətbiq etsək, onda aşağıdakıları alarıq:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Niyə həlldə modul yox idi?

1 nömrəli sualın cavabı

Sual tamamilə təbiidir. Modul yalnız ona görə yox idi ki, hər hansı $x\in R$ üçün $x^2+10x+34$ ifadəsi sıfırdan böyükdür. Bunu bir neçə yolla göstərmək olduqca asandır. Məsələn, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ və $(x+5)^2 ≥ 0$ olduğundan, $(x+5)^2+9 > 0$ . Tam kvadrat seçimindən istifadə etmədən fərqli düşünə bilərsiniz. $10^2-4\cdot 34=-16 olduğundan< 0$, то $x^2+10x+34 >hər hansı $x\in R$ üçün 0$ (bu məntiqi zəncir təəccüblüdürsə, kvadrat bərabərsizliklərin həlli üçün qrafik metoda baxmağı məsləhət görürəm). Hər halda, $x^2+10x+34 > 0$ olduğundan, sonra $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, yəni. Modul əvəzinə adi mötərizələrdən istifadə edə bilərsiniz.

1 nömrəli misalın bütün məqamları həll olundu, cavabı yazmaq qalır.

Cavab verin:

$\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
$\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
$\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Nümunə № 2

$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ inteqralını tapın.

İlk baxışdan $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ inteqral kəsr üçüncü növ elementar kəsrə çox oxşardır, yəni. tərəfindən $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Görünür, yeganə fərq $x^2$ qarşısındakı $3$ əmsalıdır, lakin əmsalı aradan qaldırmaq çox vaxt çəkmir (onu mötərizədən çıxarın). Ancaq bu oxşarlıq göz qabağındadır. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ kəsr üçün $p^2-4q şərti məcburidir.< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$-dan əvvəlki əmsalımız birə bərabər deyil, ona görə də $p^2-4q şərtini yoxlayın< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, buna görə də $3x^2-5x-2$ ifadəsi faktorlara bölünə bilər. Bu o deməkdir ki, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ kəsr üçüncü növ elementar kəsr deyil və $\int\frac(7x+12)(3x^2-) tətbiq edin. ) inteqralına 5x-2)dx$ düsturu mümkün deyil.

Yaxşı, əgər verilmiş rasional kəsr elementar kəsr deyilsə, onu elementar kəsrlərin cəmi kimi təqdim etmək və sonra inteqrasiya etmək lazımdır. Bir sözlə, cığırdan faydalanın. Rasional kəsri elementar kəsrlərə necə parçalamaq ətraflı yazılmışdır. Məxrəci faktorlara ayırmaqla başlayaq:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \başlamaq(düzülmüş) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(hizalanmış)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\sol(x-\left(-\frac(1)(3)\sağ)\cdot (x-2)= 3\cdot\sol(x+\frac(1)(3)\sağ)(x-2). $$

Subinterkal fraksiyanı bu formada təqdim edirik:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\sol(x+\frac(1)(3)\sağ)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\sol(x+\frac(1)(3)\sağ)(x-2)). $$

İndi $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ kəsrini elementar hissələrə ayıraq:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\sol(x+\frac(1)(3)\sağ)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\sol(x+\frac(1)(3)\sağ))(\sol(x+) \frac(1)(3)\sağ)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\sol(x+\frac(1)( 3)\sağ). $$

$A$ və $B$ əmsallarını tapmaq üçün iki standart yol var: qeyri-müəyyən əmsallar üsulu və qismən qiymətlərin dəyişdirilməsi üsulu. $x=2$ və sonra $x=-\frac(1)(3)$ əvəz edərək, qismən əvəzetmə metodunu tətbiq edək:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\sol(x+\frac(1)(3)\sağ).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\sol(2+\frac(1)(3)\sağ); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \sol(-\frac(1)(3) \sağ)+4=A\sol(-\frac(1)(3)-2\sağ)+B\sol (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\sağ); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Əmsallar tapıldığından, bitmiş genişlənməni yazmaq qalır:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\sol(x+\frac(1)(3)\sağ)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Prinsipcə, bu girişi tərk edə bilərsiniz, amma daha dəqiq bir seçim xoşuma gəlir:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\sol(x+\frac(1)(3)\sağ)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Orijinal inteqrala qayıdaraq, yaranan genişlənməni ona əvəz edirik. Sonra inteqralı ikiyə bölürük və hər birinə formula tətbiq edirik. Mən dərhal sabitləri inteqral işarəsindən kənarda yerləşdirməyi üstün tuturam:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\sağ)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\sağ)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\sağ)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Cavab verin: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Nümunə № 3

$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ inteqralını tapın.

Biz $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ kəsrini inteqrasiya etməliyik. Hissədə ikinci dərəcəli çoxhədli, məxrəcdə isə üçüncü dərəcə çoxhədli var. Çoxhədlinin saydakı dərəcəsi məxrəcdəki çoxhədlinin dərəcəsindən kiçik olduğundan, yəni. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$

Yetər ki, verilmiş inteqralı üçə bölək və hər birinə düsturu tətbiq edək. Mən dərhal sabitləri inteqral işarədən kənarda yerləşdirməyi üstün tuturam:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \sağ)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Cavab verin: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Bu mövzuya aid nümunələrin təhlilinin davamı ikinci hissədə yerləşir.

Artıq qeyd etdiyim kimi, inteqral hesablamada kəsri inteqrasiya etmək üçün əlverişli düstur yoxdur. Və buna görə də kədərli bir tendensiya var: fraksiya nə qədər mürəkkəbdirsə, onun inteqralını tapmaq bir o qədər çətindir. Bu baxımdan, indi sizə danışacağım müxtəlif hiylələrə müraciət etməlisiniz. Hazırlanmış oxucular dərhal faydalana bilər məzmun cədvəli:

Sadə kəsrlər üçün diferensial işarənin cəmlənməsi üsulu

Süni sayğaclara çevrilmə üsulu

Misal 1

Yeri gəlmişkən, nəzərdən keçirilən inteqral dəyişən metodunun dəyişdirilməsi ilə də həll edilə bilər, işarə edir, lakin həllin yazılması daha uzun olacaq.

Misal 2

Tap qeyri-müəyyən inteqral. Yoxlayın.

Bu bir nümunədir müstəqil qərar. Qeyd etmək lazımdır ki, dəyişənlərin dəyişdirilməsi üsulu artıq burada işləməyəcək.

Diqqət, vacibdir! 1, 2 nömrəli nümunələr tipikdir və tez-tez baş verir. Xüsusilə, belə inteqrallar tez-tez digər inteqralların həlli zamanı, xüsusən də irrasional funksiyaları (kökləri) birləşdirərkən yaranır.

Baxılan texnika işdə də işləyir əgər payın ən yüksək dərəcəsi məxrəcin ən yüksək dərəcəsindən böyükdürsə.

Misal 3

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Yoxlayın.

Numeratoru seçməyə başlayırıq.

Numeratorun seçilməsi alqoritmi belədir:

1) Numeratorda mən təşkil etməliyəm, amma orada. Nə etməli? Mən onu mötərizədə qoyuram və: .

2) İndi bu mötərizələri açmağa çalışıram, nə baş verir? . Hmm... bu daha yaxşıdır, lakin ilkin hesabda iki yoxdur. Nə etməli? Çoxaltmaq lazımdır:

3) Yenidən mötərizələri açıram: . Və burada ilk uğur! Düzgün çıxdı! Amma problem ondadır ki, əlavə termin yaranıb. Nə etməli? İfadənin dəyişməsinin qarşısını almaq üçün konstruksiyama eyni şeyi əlavə etməliyəm:
. Həyat asanlaşdı. Numeratorda yenidən təşkil etmək mümkündürmü?

4) Mümkündür. Gəlin cəhd edək: . İkinci terminin mötərizələrini açın:
. Bağışlayın, amma əvvəlki addımda məndə yox idi. Nə etməli? İkinci termini aşağıdakılarla çoxaltmalısınız:

5) Yenə yoxlamaq üçün ikinci müstəvidə mötərizələri açıram:
. İndi normaldır: 3-cü bəndin son konstruksiyasından əldə edilmişdir! Ancaq yenə kiçik bir "amma" var, əlavə bir termin meydana çıxdı, yəni ifadəmə əlavə etməliyəm:

Əgər hər şey düzgün aparılıbsa, onda bütün mötərizələri açanda inteqranın orijinal payını almalıyıq. Yoxlayırıq:
Başlıq.

Beləliklə:

Hazır. Sonuncu termində funksiyanın diferensial altında cəmlənməsi metodundan istifadə etdim.

Cavabın törəməsini tapsaq və ifadəni ümumi məxrəcə endirsək, onda tam olaraq orijinal inteqral funksiyasını alacağıq. Nəzərdən keçirilən cəmdə parçalanma üsulu ifadənin ümumi məxrəcə gətirilməsinin əks hərəkətindən başqa bir şey deyil.

Bu cür nümunələrdə paylayıcının seçilməsi alqoritmi ən yaxşı şəkildə qaralamada edilir. Bəzi bacarıqlarla zehni olaraq işləyəcək. Mən 11-ci güc üçün seçim edərkən rekord qıran bir hadisəni xatırlayıram və hesablayıcının genişləndirilməsi Verdin demək olar ki, iki xəttini tutdu.

Misal 4

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Yoxlayın.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir.

Sadə kəsrlər üçün diferensial işarənin cəmlənməsi üsulu

Növbəti növ fraksiyaları nəzərdən keçirməyə davam edək.
, , , (əmsallar və sıfıra bərabər deyil).

Əslində, dərsdə arksinus və arktangens ilə bir neçə hal artıq qeyd edilmişdir Qeyri-müəyyən inteqralda dəyişən dəyişmə üsulu. Bu cür nümunələr funksiyanın diferensial işarəsi altında cəmlənməsi və cədvəldən istifadə edərək sonrakı inteqrasiya yolu ilə həll edilir. Uzun və yüksək loqarifmə malik daha tipik nümunələr:

Misal 5

Misal 6

Burada inteqrallar cədvəlini götürmək və hansı düsturları görmək məsləhətdir Necə transformasiya baş verir. Qeyd edin necə və niyə Bu nümunələrdə kvadratlar vurğulanır. Xüsusilə, 6-cı Nümunədə əvvəlcə məxrəci formada təmsil etməliyik , sonra onu diferensial işarənin altına gətirin. Və bütün bunlar standart cədvəl formulundan istifadə etmək üçün edilməlidir .

Niyə baxın, 7, 8 nömrəli nümunələri özünüz həll etməyə çalışın, xüsusən də onlar olduqca qısadır:

Misal 7

Misal 8

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Əgər siz də bu nümunələri yoxlamağı bacarırsınızsa, o zaman böyük hörmət - fərqləndirmə bacarıqlarınız əladır.

Tam kvadrat seçim üsulu

Formanın inteqralları (əmsallar və sıfıra bərabər deyil) həll edilir tam kvadrat çıxarma üsulu artıq dərsdə görünən Qrafiklərin həndəsi çevrilmələri.

Əslində belə inteqrallar indicə baxdığımız dörd cədvəlli inteqraldan birinə qədər azalır. Bu, tanış qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə əldə edilir:

Düsturlar məhz bu istiqamətdə tətbiq edilir, yəni metodun ideyası ifadələri ya məxrəcdə süni şəkildə təşkil etmək və sonra onları müvafiq olaraq hər hansı birinə çevirməkdir.

Misal 9

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Bu ən sadə misal, hansında termini ilə – vahid əmsalı(və bəzi rəqəm və ya mənfi deyil).

Məxrəcə baxaq, burada bütün məsələ aydın şəkildə təsadüfə düşür. Məxrəci çevirməyə başlayaq:

Aydındır ki, 4 əlavə etməlisiniz. Və ifadənin dəyişməməsi üçün eyni dördü çıxarın:

İndi formula tətbiq edə bilərsiniz:

Dönüşüm tamamlandıqdan sonra HƏMİŞƏƏks hərəkəti yerinə yetirmək məsləhətdir: hər şey yaxşıdır, heç bir səhv yoxdur.

Sözügedən nümunənin son dizaynı belə görünməlidir:

Hazır. Diferensial işarəsi altında “sərbəst” kompleks funksiyanın qəbul edilməsi: prinsipcə, laqeyd qala bilər

Misal 10

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir, cavab dərsin sonundadır

Misal 11

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Öndə bir mənfi olduqda nə etməli? Bu halda, mötərizədə mənfini çıxarmaq və şərtləri bizə lazım olan ardıcıllıqla düzmək lazımdır: . Daimi(bu halda iki) toxunma!

İndi mötərizədə birini əlavə edirik. İfadəni təhlil edərək, mötərizənin xaricinə birini əlavə etmək lazım olduğu qənaətinə gəlirik:

Burada düsturu alırıq, tətbiq edirik:

HƏMİŞƏ Layihəni yoxlayırıq:
, yoxlanılması lazım olan şeydi.

Təmiz nümunə bu kimi görünür:

Tapşırığı çətinləşdirir

Misal 12

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Burada termin artıq vahid əmsalı deyil, “beş”dir.

(1) Əgər bir sabit varsa, onu dərhal mötərizədən çıxarırıq.

(2) Ümumiyyətlə, bu sabiti inteqraldan kənara çıxarmaq həmişə daha yaxşıdır ki, mane olmasın.

(3) Aydındır ki, hər şey düstura düşəcək. Termini başa düşməliyik, yəni "iki" almalıyıq

(4) Bəli, . Bu o deməkdir ki, biz ifadəyə əlavə edirik və eyni kəsri çıxarırıq.

(5) İndi tam kvadrat seçin. Ümumi halda biz də hesablamalıyıq , lakin burada uzun loqarifmin düsturu var , və hərəkəti yerinə yetirməyin mənası yoxdur, niyə aşağıda aydın olacaq;

(6) Əslində, düsturu tətbiq edə bilərik , yalnız “X” əvəzinə bizdə var ki, bu da cədvəl inteqralının etibarlılığını inkar etmir. Düzünü desək, bir addım qaçırıldı - inteqrasiyadan əvvəl funksiya diferensial işarənin altına alınmalı idi: , lakin, dəfələrlə qeyd etdiyim kimi, buna çox vaxt laqeyd yanaşılır.

(7) Kök altındakı cavabda bütün mötərizələri geriyə genişləndirmək məsləhətdir:

Çətin? Bu inteqral hesablamanın ən çətin hissəsi deyil. Baxmayaraq ki, nəzərdən keçirilən nümunələr yaxşı hesablama texnikası tələb etdiyi üçün o qədər də mürəkkəb deyil.

Misal 13

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Cavab dərsin sonundadır.

Məxrəcdə kökləri olan inteqrallar var ki, onlar əvəzetmədən istifadə edərək məqalədə onlar haqqında oxuya bilərsiniz; Kompleks inteqrallar, lakin çox hazırlıqlı tələbələr üçün nəzərdə tutulub.

Diferensial işarənin altındakı payın cəmlənməsi

Bu, dərsin son hissəsidir, lakin bu tip inteqrallar olduqca yaygındır! Yorğunsansa, bəlkə sabah oxumaq daha yaxşıdır? ;)

Nəzərə alacağımız inteqrallar əvvəlki bəndin inteqrallarına bənzəyir, onların forması var: və ya (əmsallar , və sıfıra bərabər deyil).

Yəni bizdə olan numeratorda xətti funksiya. Belə inteqralları necə həll etmək olar?

Bunu xatırladaq fraksiya-rasional$$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$, ümumi halda iki çoxhədli %%P_n(x)%% və % nisbəti olan funksiyalar adlanır. %Q_m(x)% %.

Əgər %%m > n \geq 0%% olarsa, onda rasional kəsr deyilir düzgün, əks halda - yanlış. Çoxhədlilərin bölünməsi qaydasından istifadə edərək, düzgün olmayan rasional kəsr çoxhədli %%P_(n - m)%% dərəcəsi %%n - m%% və bəzi uyğun kəsrin cəmi kimi təqdim edilə bilər, yəni. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ burada dərəcə %%l%% %%P_l(x)%% polinomunun %%Q_n(x)%% polinomunun %%n%% dərəcəsindən azdır.

Beləliklə, rasional funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralı çoxhədli və uyğun rasional kəsrin qeyri-müəyyən inteqrallarının cəmi kimi təqdim edilə bilər.

Sadə rasional kəsrlərdən inteqrallar

Düzgün rasional kəsrlər arasında dörd növ var, bunlar kimi təsnif edilir sadə rasional kəsrlər:

%%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
%%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
%%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
%%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

burada %%k > 1%% tam ədəddir və %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

İlk iki növ kəsrlərin qeyri-müəyyən inteqrallarının hesablanması

İlk iki növ fraksiyaların qeyri-müəyyən inteqrallarının hesablanması çətinlik yaratmır: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a) )^(k-1)) + C. \end(massiv) $$

Üçüncü növ kəsrlərin qeyri-müəyyən inteqrallarının hesablanması

Əvvəlcə məxrəcdə mükəmməl kvadratı vurğulamaqla üçüncü növ kəsri çeviririk: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2) )^2 + q - p^2/4), %%p^2-dən $$ - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, biz bunu %%a^2%% kimi qeyd edirik. Həmçinin %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%% əvəz edərək məxrəci çevirib üçüncü növ kəsrin inteqralını $$ \begin(massiv) şəklində yazırıq. )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(massiv) $$

Qeyri-müəyyən inteqralın xəttiliyindən istifadə edərək, sonuncu inteqralı ikinin cəmi kimi təqdim edirik və birincisində diferensial işarəsi altında %%t%% təqdim edirik: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (+ (B - A p /2)) (t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^-da 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\sol(t^2 + a^2\sağ))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\sağ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(massiv) $$

Orijinal %%x%% dəyişəninə qayıdaraq, nəticədə üçüncü növün bir hissəsi üçün $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x alırıq. = \frac(A)( 2) \ln \sol| x^2 + px + q\sağ| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ burada %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

4-cü tip inteqralın hesablanması çətindir və ona görə də bu kursda əhatə olunmur.

Rasional funksiyaların (kəsrlərin) müfəssəl həlli ilə inteqrasiyası nümunələri nəzərdən keçirilir.

Məzmun

Həmçinin baxın: Kvadrat tənliyin kökləri

Burada aşağıdakı rasional fraksiyaların inteqrasiyasının üç nümunəsi üçün ətraflı həllər təqdim edirik:
, , .

Misal 1

İnteqralı hesablayın:
.

Burada inteqral işarəsi altında rasional funksiya var, çünki inteqral çoxhədlilərin bir hissəsidir. Məxrəc çoxhədli dərəcəsi ( 3 ) say çoxhədlinin dərəcəsindən kiçikdir ( 4 ). Buna görə əvvəlcə fraksiyanın bütün hissəsini seçməlisiniz.

1. Kəsirin bütün hissəsini seçək. x-i bölün 4 tərəfindən x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Buradan
.

2. Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün kub tənliyini həll etməlisiniz:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Gəlin x = əvəz edək 1 :
.

1 . 1 :

Buradan
.
x-ə bölün -
.
Kvadrat tənliyin həlli.
Tənliyin kökləri: , .
.

3. Sonra

.

Gəlin kəsri ən sadə formaya bölək.
.
Beləliklə, tapdıq:

Gəlin inteqrasiya edək.

İnteqralı hesablayın:
.

Misal 2 Burada kəsrin payı sıfır dərəcə polinomudur ( 1 = x 0 0 < 3 ). Məxrəc üçüncü dərəcəli çoxhəddir. ildən

1. , onda kəsr düzgündür. Gəlin onu sadə fraksiyalara bölək.
.
Tutaq ki, onun ən azı bir tam kökü var. Sonra ədədin bölənidir 3 (x olmayan üzv). Yəni bütün kök ədədlərdən biri ola bilər:
1, 3, -1, -3 .
Gəlin x = əvəz edək 1 :
.

Beləliklə, bir kök tapdıq x = 1 . x-i bölün 3 + 2 x - 3 1 :

x-də
.

Belə ki,
Kvadrat tənliyin həlli: x.
2 + x + 3 = 0 Diskriminantı tapın: D = 1 2 - 4 3 = -11< 0 .
.

2.
.
Çünki D:
(2.1) .
Gəlin x = əvəz edək 1 , onda tənliyin həqiqi kökləri yoxdur. Beləliklə, məxrəcin faktorlara bölünməsini əldə etdik: 1 = 0 ,
.

(x - 1)(x 2 + x + 3) (2.1) . 0 :
Sonra x -;
.

Gəlin əvəz edək (2.1) x = 2 :
;
1 = 3 A - C;
.

3. Beləliklə, tapdıq:
(2.2) .
bərabər tutaq

;
;
.

x üçün əmsallar 2 .

.
0 = A + B xİkinci inteqralı hesablamaq üçün payda məxrəcin törəməsini təcrid edirik və məxrəci kvadratların cəminə qədər azaldırıq. Hesablayın I x tənliyindən bəri

həqiqi kökləri yoxdur, onda x (2.2) :
.

2 + x + 3 > 0

İnteqralı hesablayın:
.

. 3 Buna görə də modul işarəsi buraxıla bilər. 4 ünvanına çatdırırıq 3 < 4 Misal 3

1. Burada inteqral işarəsi altında çoxhədlilərin bir hissəsi var. Buna görə də inteqral rasional funksiyadır. Numeratorda çoxhədlinin dərəcəsi bərabərdir
.
Tutaq ki, onun ən azı bir tam kökü var. Sonra ədədin bölənidir 2 (x olmayan üzv). Yəni bütün kök ədədlərdən biri ola bilər:
1, 2, -1, -2 .
Gəlin x = əvəz edək -1 :
.

Beləliklə, bir kök tapdıq x = -1 . .:

x-də
.

Kəsrin məxrəcinin çoxhədli dərəcəsi bərabərdir
.
. 2 (x olmayan üzv). Yəni bütün kök ədədlərdən biri ola bilər:
1, 2, -1, -2 .
Gəlin x = əvəz edək -1 :
.

ildən -1 , onda kəsr düzgündür. Buna görə də sadə fraksiyalara parçalana bilər. Ancaq bunu etmək üçün məxrəci faktorlara ayırmaq lazımdır.
.

Kəsirin məxrəcini faktorlara ayıraq. Bunu etmək üçün dördüncü dərəcəli tənliyi həll etməlisiniz: 2 + 2 = 0 (-1) = x + 1
.

2. İndi üçüncü dərəcəli tənliyi həll etməliyik:
.
Bu tənliyin tam kökə malik olduğunu fərz etsək, o, ədədin bölənidir. Beləliklə, başqa bir x = kökü tapdıq:
(3.1) .
Gəlin x = əvəz edək -1 . 1 = 0 ,
.

Əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi, çoxhədlini -ə bölmək mümkün olardı, lakin biz şərtləri qruplaşdıracağıq: (3.1) :

;

.
Gəlin x = əvəz edək -1 x tənliyindən bəri 1 = 0 :
;
; .

(x - 1)(x 2 + x + 3) (3.1) . 0 :
həqiqi kökləri yoxdur, onda məxrəcin faktorlara bölünməsini alırıq:;
.

Gəlin əvəz edək (3.1) x = 3 :
;
Gəlin kəsri ən sadə formaya bölək. Biz formada genişləndirmə axtarırıq:;
.

Kəsirin məxrəcindən xilas oluruq, vururuq
.

3. Beləliklə, tapdıq:

.

(x + 1) 2 (x 2 + 2)

Misal 1

Sonra x +

Fərqləndirək

və nəzərə alın ki, x +

Buna görə də 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Düzgün rasional kəsr əldə etdik - 2 x + 3 x 3 + x, indi onu sadə fraksiyalara parçalayacağıq - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Beləliklə,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

İnteqral aldıq ən sadə kəsrüçüncü növ. Siz onu diferensial işarənin altına qoyaraq götürə bilərsiniz.

d x 2 + 1 = 2 x d x olduğundan, 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1 olar. Buna görə
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Beləliklə,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , burada C = - C 1

Dörd növün hər birinin sadə fraksiyalarının inteqrasiyası üsullarını təsvir edək.

Birinci tipli sadə kəsrlərin inteqrasiyası A x - a

Bu problemi həll etmək üçün birbaşa inteqrasiya metodundan istifadə edirik:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Misal 2

y = 3 2 x - 1 funksiyasının əks törəmələri çoxluğunu tapın.

Fərqləndirək

İnteqrasiya qaydasından, əks törəmənin xassələrindən və əks törəmələr cədvəlindən istifadə edərək qeyri-müəyyən inteqralı ∫ 3 d x 2 x - 1 tapırıq: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Cavab: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

İkinci tip A x - a n sadə kəsrlərinin inteqrasiyası

Birbaşa inteqrasiya üsulu burada da tətbiq olunur: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Misal 3

∫ d x 2 x - 3 7 qeyri-müəyyən inteqralını tapmaq lazımdır.

Fərqləndirək

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Cavab:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Üçüncü tip ən sadə kəsrlərin inteqrasiyası M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Birinci addım qeyri-müəyyən inteqralı ∫ M x + N x 2 + p x + q cəmi kimi təqdim etməkdir:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

Birinci inteqralı almaq üçün diferensial işarəni toplamaq metodundan istifadə edirik:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Buna görə də,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

∫ d x x 2 + p x + q inteqralını aldıq. Onun məxrəcini çevirək:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Beləliklə,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Üçüncü tip sadə fraksiyaların inteqrasiyası üçün düstur aşağıdakı formanı alır:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Misal 4

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x qeyri-müəyyən inteqralını tapmaq lazımdır.

Fərqləndirək

Düsturu tətbiq edək:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t x + 1 3 + C

İkinci həll belə görünür:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = dəyişdirilə bilən dəyər = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Cavab: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Dördüncü tipli ən sadə kəsrlərin inteqrasiyası M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q< 0

Əvvəlcə diferensial işarənin çıxılmasını həyata keçiririk:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q) ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Sonra təkrarlanma düsturlarından istifadə edərək J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n formasının inteqralını tapırıq. Təkrarlanma düsturları haqqında məlumatı "Təkrarlanma düsturlarından istifadə edərək inteqrasiya" mövzusunda tapa bilərsiniz.

Problemimizi həll etmək üçün J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 şəklində təkrarlanan düstur. 4 q uyğundur - p 2 · J n - 1.

Misal 5

∫ d x x 5 x 2 - 1 qeyri-müəyyən inteqralını tapmaq lazımdır.

Fərqləndirək

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Bu inteqral növü üçün əvəzetmə metodundan istifadə edəcəyik. Yeni x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x dəyişənini təqdim edək.

Biz əldə edirik:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Dördüncü tipli kəsrin inteqralını tapmağa gəldik. Bizim vəziyyətimizdə əmsallarımız var M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 və n = 3. Təkrarlanan formula tətbiq edirik:

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

Əks əvəzetmədən sonra z = x 2 - 1 nəticəni alırıq:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Cavab:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın