Mövzu üzrə mühazirə: “Kompleks ədədin triqonometrik forması”. Kompleks ədədlərin triqonometrik forması Kompleks ədədin cəbri və triqonometrik forması

Mühazirə

Kompleks ədədin triqonometrik forması

Plan

1. Kompleks ədədlərin həndəsi təsviri.

2. Kompleks ədədlərin triqonometrik qeydləri.

3. Triqonometrik formada kompleks ədədlər üzərində əməllər.

Kompleks ədədlərin həndəsi təsviri.

a) Mürəkkəb ədədlər aşağıdakı qaydaya uyğun olaraq müstəvidə nöqtələrlə təmsil olunur: a + bi = M ( a ; b ) (şək. 1).

Şəkil 1

b) Kompleks ədədi nöqtədən başlayan vektorla təmsil etmək olarHAQQINDA və verilmiş nöqtədə sonu (şəkil 2).

Şəkil 2

Misal 7. Kompleks ədədləri təmsil edən nöqtələr qurun:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (şək. 3).

Şəkil 3

Kompleks ədədlərin triqonometrik qeydləri.

Kompleks nömrəz = a + bi radius vektorundan istifadə etməklə təyin edilə bilər koordinatları ilə( a ; b ) (Şəkil 4).

Şəkil 4

Tərif . Vektor uzunluğu , kompleks ədədi təmsil edirz , bu ədədin modulu adlanır və işarələnir və yar .

İstənilən kompleks ədəd üçünz onun modulur = | z | düsturu ilə unikal şəkildə müəyyən edilir .

Tərif . Həqiqi oxun müsbət istiqaməti ilə vektor arasındakı bucağın böyüklüyü mürəkkəb ədədi təmsil edən , bu mürəkkəb ədədin arqumenti adlanır və işarələnirA rg z və yaφ .

Kompleks Say Arqumentiz = 0 müəyyənləşdirilmişdir. Kompleks Say Arqumentiz≠ 0 – çoxqiymətli kəmiyyətdir və müddət ərzində müəyyən edilir2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Haradaarg z – intervalda olan arqumentin əsas dəyəri(-π; π] , yəni-π < arg z ≤ π (bəzən arqumentin əsas qiyməti kimi intervala aid olan qiymət götürülür .

Bu formula zamanr =1 Tez-tez Moivre düsturu deyilir:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Misal 11: Hesablayın(1 + i ) 100 .

Kompleks ədəd yazaq1 + i triqonometrik formada.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + günah edirəm )] 100 = ( ) 100 (cos 100+ günah edirəm ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Kompleks ədədin kvadrat kökünün çıxarılması.

Kompleks ədədin kvadrat kökünü götürərkəna + bi iki halımız var:

Əgərb >o , Bu ;

3.1. Qütb koordinatları

Çox vaxt təyyarədə istifadə olunur qütb koordinat sistemi . O nöqtəsi verilirsə, müəyyən edilir, çağırılır dirək, və qütbdən çıxan şüa (bizim üçün bu oxdur Ox) – qütb oxu. M nöqtəsinin mövqeyi iki rəqəmlə müəyyən edilir: radius (və ya radius vektoru) və qütb oxu ilə vektor arasındakı bucaq φ.φ bucağı adlanır qütb bucağı; radyanla ölçülür və qütb oxundan saat yönünün əksinə sayılır.

Qütb koordinat sistemində nöqtənin mövqeyi sıralı ədədlər cütü (r; φ) ilə verilir. Qütbdə r = 0, və φ müəyyən edilməyib. Bütün digər məqamlar üçün r > 0, və φ 2π-nin qatı olan terminə qədər müəyyən edilir. Bu halda (r; φ) və (r 1 ; φ 1) ədəd cütləri eyni nöqtə ilə əlaqələndirilir, əgər .

Düzbucaqlı koordinat sistemi üçün xOy Nöqtənin kartezyen koordinatları onun qütb koordinatları ilə asanlıqla aşağıdakı kimi ifadə edilir:

3.2. Kompleks ədədin həndəsi şərhi

Müstəvidə Kartezian düzbucaqlı koordinat sistemini nəzərdən keçirək xOy.

İstənilən kompleks ədəd z=(a, b) müstəvidə koordinatları olan nöqtə ilə əlaqələndirilir. x, y), Harada koordinat x = a, yəni. kompleks ədədin həqiqi hissəsi, y = bi koordinatı isə xəyali hissədir.

Nöqtələri kompleks ədədlər olan müstəvi kompleks müstəvidir.

Şəkildə kompleks ədəd z = (a, b) nöqtəyə uyğun gəlir M(x, y).

Məşq edin.Koordinat müstəvisində kompleks ədədlər çəkin:

3.3. Kompleks ədədin triqonometrik forması

Təyyarədə olan kompleks ədəd bir nöqtənin koordinatlarına malikdir M(x;y). Burada:

Kompleks ədədin yazılması - kompleks ədədin triqonometrik forması.

r sayı çağırılır modul kompleks ədəd z və təyin olunur. Modul mənfi olmayan həqiqi ədəddir. üçün .

Modul yalnız və yalnız o halda sıfırdır z = 0, yəni. a = b = 0.

φ nömrəsi çağırılır arqument z və təyin edilir. z arqumenti qütb koordinat sistemindəki qütb bucağı kimi qeyri-müəyyən şəkildə müəyyən edilir, yəni 2π-nin qatı olan terminə qədər.

Sonra qəbul edirik: , burada φ arqumentin ən kiçik qiymətidir. Aydındır ki

.

Mövzunu daha dərindən öyrənərkən köməkçi arqument φ* təqdim edilir ki,

Misal 1. Kompleks ədədin triqonometrik formasını tapın.

Həll. 1) modulu nəzərdən keçirin: ;

2) φ axtarır: ;

3) triqonometrik forma:

Misal 2. Kompleks ədədin cəbri formasını tapın .

Burada triqonometrik funksiyaların qiymətlərini əvəz etmək və ifadəni çevirmək kifayətdir:

Misal 3. Kompleks ədədin modulunu və arqumentini tapın;

1) ;

2) ; φ – 4 rübdə:

3.4. Triqonometrik formada kompleks ədədlərlə əməliyyatlar

· Toplama və çıxma Cəbri formada mürəkkəb ədədlərlə etmək daha rahatdır:

· Vurma– sadə triqonometrik çevrilmələrdən istifadə etməklə göstərmək olar ki Çarpma zamanı ədədlərin modulları vurulur və arqumentlər əlavə olunur: ;

KOMPLEKS NÖMRƏLƏR XI

§ 256. Kompleks ədədlərin triqonometrik forması

Kompleks ədəd olsun a + bi vektoruna uyğundur O.A.> koordinatları ilə ( a, b ) (bax Şəkil 332).

Bu vektorun uzunluğunu ilə işarə edək r , və ox ilə etdiyi bucaq X , vasitəsilə φ . Sinus və kosinusun tərifinə görə:

a / r = cos φ , b / r = günah φ .

Buna görə də A = r cos φ , b = r günah φ . Ancaq bu vəziyyətdə kompleks nömrə a + bi kimi yazmaq olar:

a + bi = r cos φ + ir günah φ = r (cos φ + i günah φ ).

Bildiyiniz kimi, istənilən vektorun uzunluğunun kvadratı onun koordinatlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir. Buna görə də r 2 = a 2 + b 2, haradan r = √a 2 + b 2

Belə ki, istənilən kompleks ədəd a + bi şəklində təmsil oluna bilər :

a + bi = r (cos φ + i günah φ ), (1)

harada r = √a 2 + b 2 və bucaq φ şərtlə müəyyən edilir:

Mürəkkəb ədədlərin yazılmasının bu forması deyilir triqonometrik.

Nömrə r düsturda (1) deyilir modul, və bucaq φ - arqument, kompleks ədəd a + bi .

Əgər mürəkkəb ədəddirsə a + bi sıfıra bərabər deyil, onda onun modulu müsbətdir; əgər a + bi = 0, onda a = b = 0 və sonra r = 0.

Hər hansı bir kompleks ədədin modulu unikal şəkildə müəyyən edilir.

Əgər mürəkkəb ədəddirsə a + bi sıfıra bərabər deyilsə, onun arqumenti (2) düsturları ilə müəyyən edilir. mütləq 2-ə bölünən bucaq üçün dəqiqdir π . Əgər a + bi = 0, onda a = b = 0. Bu halda r = 0. (1) düsturundan bunu arqument kimi başa düşmək asandır φ bu halda, hər hansı bir açı seçə bilərsiniz: axırda hər hansı bir üçün φ

0 (cos φ + i günah φ ) = 0.

Buna görə də null arqumenti qeyri-müəyyəndir.

Kompleks ədədin modulu r bəzən | işarələnir z |, və arg arqumenti z . Mürəkkəb ədədlərin triqonometrik formada təqdim edilməsinə dair bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal. 1. 1 + i .

Gəlin modulu tapaq r və mübahisə φ bu nömrə.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Buna görə də günah φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, haradandır φ = π / 4 + 2nπ .

Beləliklə,

1 + i = √ 2 ,

Harada P - istənilən tam ədəd. Adətən, kompleks ədədin arqumentinin sonsuz dəyər dəstindən 0 ilə 2 arasında olan biri seçilir. π . Bu halda, bu dəyər π / 4 . Buna görə də

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i günah π / 4)

Misal 2. Kompleks ədədi triqonometrik formada yazın √ 3 - i . Bizdə:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, günah φ = - 1 / 2

Buna görə də 2-ə bölünən bucağa qədər π , φ = 11 / 6 π ; deməli,

√ 3 - i = 2(cos 11/6 π + i günah 11/6 π ).

Misal 3 Kompleks ədədi triqonometrik formada yazın i.

Kompleks nömrə i vektoruna uyğundur O.A.> , oxun A nöqtəsində bitir saat ordinat 1 ilə (şək. 333). Belə vektorun uzunluğu 1-dir və onun x oxu ilə etdiyi bucaq bərabərdir π / 2. Buna görə də

i = cos π / 2 + i günah π / 2 .

Misal 4. 3 kompleks nömrəsini triqonometrik formada yazın.

3 nömrəli kompleks vektora uyğundur O.A. > X absis 3 (şək. 334).

Belə vektorun uzunluğu 3, x oxu ilə etdiyi bucaq isə 0-dır

3 = 3 (cos 0 + i günah 0),

Misal 5.-5 kompleks ədədini triqonometrik formada yazın.

Kompleks sayı -5 vektora uyğundur O.A.> bir ox nöqtəsində bitən X absis ilə -5 (şək. 335). Belə vektorun uzunluğu 5-dir və onun x oxu ilə yaratdığı bucaq bərabərdir π . Buna görə də

5 = 5 (cos π + i günah π ).

Məşqlər

2047. Bu mürəkkəb ədədləri onların modullarını və arqumentlərini təyin edərək triqonometrik formada yazın:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Müstəvidə modulları r və arqumentləri φ şərtləri ödəyən kompleks ədədləri təmsil edən nöqtələr toplusunu göstərin:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Ədədlər eyni zamanda kompleks ədədin modulu ola bilərmi? r Və - r ?

2050. Kompleks ədədin arqumenti eyni zamanda bucaq ola bilərmi? φ Və - φ ?

Bu kompleks ədədləri triqonometrik formada təqdim edin, onların modullarını və arqumentlərini təyin edin:

2051*. 1 + cos α + i günah α . 2054*. 2(20° - i günah 20°).

2052*. günah φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i günah 15°).

2.3. Kompleks ədədlərin triqonometrik forması

Kompleks müstəvidə vektor rəqəmlə müəyyən edilsin.

Müsbət yarımox Ox ilə vektor arasındakı bucağı φ ilə işarə edək (φ bucağı saat əqrəbinin əksinə ölçülürsə müsbət, əks halda isə mənfi hesab olunur).

Vektorun uzunluğunu r ilə işarə edək. Sonra . Biz də işarə edirik

Sıfırdan fərqli kompleks ədədin z şəklində yazılması

z kompleks ədədinin triqonometrik forması adlanır. r ədədi z kompleks ədədinin modulu, φ ədədi isə bu kompleks ədədin arqumenti adlanır və Arg z ilə işarələnir.

Kompleks ədədin yazılmasının triqonometrik forması - (Eyler düsturu) - kompleks ədədin yazılmasının eksponensial forması:

Kompleks z ədədinin sonsuz çoxlu arqumentləri var: əgər φ0 z ədədinin hər hansı arqumentidirsə, o zaman bütün qalanları düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar.

Kompleks ədəd üçün arqument və triqonometrik forma müəyyən edilmir.

Beləliklə, sıfırdan fərqli kompleks ədədin arqumenti tənliklər sisteminin istənilən həllidir:

(3)

Bərabərsizlikləri ödəyən z kompleks ədədinin arqumentinin φ qiyməti əsas qiymət adlanır və arg z ilə işarələnir.

Arg z və arg z arqumentləri ilə əlaqələndirilir

, (4)

Formula (5) (3) sisteminin nəticəsidir, buna görə də kompleks ədədin bütün arqumentləri bərabərliyi (5) təmin edir, lakin (5) tənliyinin bütün φ həlləri z ədədinin arqumentləri deyil.

Sıfırdan fərqli kompleks ədədin arqumentinin əsas dəyəri düsturlara uyğun olaraq tapılır:

Triqonometrik formada kompleks ədədləri vurmaq və bölmək üçün düsturlar aşağıdakılardır:

. (7)

Kompleks ədədi təbii gücə qaldırarkən Moivre düsturu istifadə olunur:

Kompleks ədədin kökünü çıxararkən aşağıdakı düstur istifadə olunur:

, (9)

burada k=0, 1, 2, …, n-1.

Məsələ 54. Harada olduğunu hesablayın.

Bu ifadənin həllini kompleks ədədin yazılmasının eksponensial formasında təqdim edək: .

Əgər, onda.

Sonra , . Buna görə də Və , Harada.

Cavab: , at.

Məsələ 55. Kompleks ədədləri triqonometrik formada yazın:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; və).

Kompleks ədədin triqonometrik forması olduğu üçün:

a) Kompleks ədəddə: .

,

Buna görə də

b) , Harada,

G) , Harada,

e) .

və) , A , Bu .

Buna görə də

Cavab: ; 4; ; ; ; ; .

Məsələ 56. Kompleks ədədin triqonometrik formasını tapın

.

Qoy, .

Sonra , , .

O vaxtdan və , , sonra, və

Buna görə də, buna görə də

Cavab: , Harada.

Məsələ 57. Kompleks ədədin triqonometrik formasından istifadə edərək aşağıdakı hərəkətləri yerinə yetirin: .

Nömrələri təsəvvür edək və triqonometrik formada.

1) , harada Sonra

Əsas arqumentin dəyərini tapın:

Gəlin dəyərləri və ifadəyə əvəz edək, əldə edirik

2) , onda harada

Sonra

3) Gəlin nisbəti tapaq

k=0, 1, 2 fərz etsək, istədiyiniz kökün üç fərqli qiymətini alırıq:

Əgər, onda

əgər , onda

əgər , onda .

Cavab: :

:

: .

Məsələ 58. , , , müxtəlif kompleks ədədlər və olsun . Bunu sübut et

nömrə həqiqi müsbət ədəddir;

b) bərabərlik:

a) Bu mürəkkəb ədədləri triqonometrik formada təqdim edək:

Çünki .

Belə iddia edək. Sonra

.

Son ifadə müsbət ədəddir, çünki sinus işarələrində intervaldan gələn ədədlər var.

nömrədən bəri real və müsbət. Həqiqətən, əgər a və b mürəkkəb ədədlərdirsə və həqiqi və sıfırdan böyükdürsə, onda .

Bundan başqa,

buna görə də tələb olunan bərabərlik sübuta yetirilir.

Məsələ 59. Ədədi cəbri formada yazın .

Ədədi triqonometrik formada təqdim edək və sonra onun cəbri formasını tapaq. Bizdə var . üçün sistemi alırıq:

Bu bərabərliyi nəzərdə tutur: .

Moivre düsturunun tətbiqi: ,

alırıq

Verilmiş ədədin triqonometrik forması tapılır.

İndi bu ədədi cəbri formada yazaq:

.

Cavab: .

Məsələ 60. , , cəmini tapın.

Gəlin məbləği nəzərdən keçirək

Moivre düsturunu tətbiq edərək tapırıq

Bu cəm məxrəcli həndəsi irəliləyişin n hədlərinin cəmidir və ilk üzv .

Belə bir irəliləyişin şərtlərinin cəmi üçün düstur tətbiq edərək, biz var

Son ifadədə xəyali hissəni təcrid edərək tapırıq

Həqiqi hissəni təcrid edərək aşağıdakı düsturu da alırıq: , , .

Məsələ 61. Cəmi tapın:

A) ; b) .

Nyutonun eksponentasiya düsturuna görə bizdə var

Moivre düsturundan istifadə edərək tapırıq:

üçün ortaya çıxan ifadələrin həqiqi və xəyali hissələrini bərabərləşdirərək, əldə edirik:

Və .

Bu düsturlar kompakt formada aşağıdakı kimi yazıla bilər:

,

, a ədədinin tam hissəsi haradadır.

Məsələ 62. Hamısını tapın, bunun üçün.

Çünki , sonra düsturdan istifadə etməklə

, Kökləri çıxarmaq üçün alırıq ,

Beləliklə, , ,

, .

Rəqəmlərə uyğun olan nöqtələr mərkəzi (0;0) nöqtəsində olmaqla radius 2 olan dairəyə daxil edilmiş kvadratın təpələrində yerləşir (şək. 30).

Cavab: , ,

, .

Məsələ 63. Tənliyi həll edin , .

Şərtə görə; ona görə də bu tənliyin kökü yoxdur və ona görə də tənliyə ekvivalentdir.

z ədədinin bu tənliyin kökü olması üçün ədəd 1 ədədinin n-ci kökü olmalıdır.

Buradan belə nəticəyə gəlirik ki, ilkin tənliyin bərabərliklərdən təyin olunan kökləri var

,

Beləliklə,

,

yəni. ,

Cavab: .

Məsələ 64. Kompleks ədədlər çoxluğunda tənliyi həll edin.

Rəqəm bu tənliyin kökü olmadığı üçün bu tənlik üçün tənliyə ekvivalentdir

Yəni tənlik.

Bu tənliyin bütün kökləri düsturdan alınır (62-ci məsələyə bax):

; ; ; ; .

Məsələ 65. Kompleks müstəvidə bərabərsizlikləri ödəyən nöqtələr toplusunu çəkin: . (45-ci məsələni həll etməyin 2-ci yolu)

Qoy .

Eyni modullara malik olan mürəkkəb ədədlər müstəvidə başlanğıcda mərkəzləşmiş dairənin üzərində yerləşən nöqtələrə uyğun gəlir, buna görə də bərabərsizlik başlanğıcda və radiusda ortaq mərkəzi olan dairələrlə məhdudlaşan açıq halqanın bütün nöqtələrini təmin edin və (şək. 31). Kompleks müstəvinin hansısa nöqtəsi w0 ədədinə uyğun olsun. Nömrə , w0 modulundan bir neçə dəfə kiçik modula və w0 arqumentindən böyük arqumentə malikdir. Həndəsi nöqteyi-nəzərdən w1-ə uyğun olan nöqtəni başlanğıcda mərkəzi və əmsalı olan homotetikadan, eləcə də başlanğıca nisbətən saat əqrəbinin əksinə bucaqla fırlanmadan istifadə etməklə əldə etmək olar. Bu iki çevrilmənin halqanın nöqtələrinə tətbiqi nəticəsində (şək. 31), sonuncu eyni mərkəz və radiusları 1 və 2 olan dairələrlə məhdudlaşan halqaya çevriləcək (şək. 32).

Dönüşüm vektora paralel köçürmə ilə həyata keçirilir. Nöqtədə mərkəzi olan halqanı göstərilən vektora köçürməklə, nöqtədə mərkəzi olan eyni ölçülü bir üzük əldə edirik (şəkil 22).

Təyyarənin həndəsi çevrilmələri ideyasından istifadə edən təklif olunan metod, yəqin ki, təsvir etmək üçün daha az əlverişlidir, lakin çox zərif və effektivdir.

Məsələ 66. Əgər tapın .

Qoy, sonra və. İlkin bərabərlik formasını alacaq . İki kompleks ədədin bərabərliyi şərtindən , , ondan , , alırıq. Beləliklə, .

z ədədini triqonometrik formada yazaq:

, Harada , . Moivre düsturuna görə tapırıq.

Cavab: – 64.

Məsələ 67. Kompleks ədəd üçün bütün kompleks ədədləri tapın ki, , və .

Ədədi triqonometrik formada təqdim edək:

. Buradan, . Aldığımız ədəd üçün , və ya bərabər ola bilər.

Birinci halda , ikincidə

.

Cavab: , .

Məsələ 68. Elə ədədlərin cəmini tapın ki, . Zəhmət olmasa bu nömrələrdən birini göstərin.

Qeyd edək ki, məsələnin tərtibindən belə başa düşmək olar ki, tənliyin köklərinin cəmini köklərin özləri hesablamadan tapmaq olar. Həqiqətən, tənliyin köklərinin cəmi üçün əmsaldır, əks işarə ilə qəbul edilir (ümumiləşdirilmiş Vyeta teoremi), yəni.

Şagirdlər, məktəb sənədləri, bu konsepsiyanın mənimsənilmə dərəcəsi haqqında nəticə çıxarırlar. Riyazi təfəkkürün xüsusiyyətləri və kompleks ədəd anlayışının formalaşması prosesinin tədqiqini ümumiləşdirin. Metodların təsviri. Diaqnostika: Mərhələ I. Söhbət 10-cu sinifdə cəbr və həndəsə fənlərini tədris edən riyaziyyat müəllimi ilə aparıldı. Söhbət başdan bir müddət keçəndən sonra oldu...

Rezonans” (!)), bu, həm də öz davranışının qiymətləndirilməsini ehtiva edir. 4. Vəziyyəti başa düşməsinin tənqidi qiymətləndirilməsi (şübhələr). 5. Nəhayət, hüquq psixologiyasının tövsiyələrindən istifadə (vəkil psixoloji vəziyyəti nəzərə alır). yerinə yetirilən peşəkar hərəkətlərin aspektləri – peşəkar psixoloji hazırlıq).İndi isə hüquqi faktların psixoloji təhlilinə nəzər salaq...

Triqonometrik əvəzetmənin riyaziyyatı və hazırlanmış tədris metodikasının effektivliyinin yoxlanılması. İşin mərhələləri: 1. Riyaziyyatın təkmilləşdiyi siniflərdə şagirdlərlə “Cəbri məsələlərin həllində triqonometrik əvəzetmənin tətbiqi” mövzusunda fakultativ kursun işlənməsi. 2. Hazırlanmış seçmə kursun aparılması. 3. Diaqnostik testin aparılması...

İdrak tapşırıqları yalnız mövcud tədris vasitələrini tamamlamaq üçün nəzərdə tutulub və bütün ənənəvi vasitələr və tədris prosesinin elementləri ilə uyğun birləşmədə olmalıdır. Humanitar fənlərin tədrisində təhsil problemlərinin riyazi məsələlərdən dəqiq olanlardan fərqi yalnız ondan ibarətdir ki, tarixi məsələlərdə düsturlar, ciddi alqoritmlər və s. yoxdur ki, bu da onların həllini çətinləşdirir. ...