Triqonometrik tənliklər - düsturlar, həllər, misallar. Triqonometrik tənliklər - düsturlar, həllər, nümunələr İmtahan tapşırıqlarında triqonometrik tənliklərin həlli

a) 2(\sin x-\cos x)=tgx-1 tənliyini həll edin.

b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Həllini göstərin

Həll

a) Mötərizələri açıb bütün şərtləri sola köçürdükdə 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0 tənliyini alırıq. Nəzərə alsaq ki, \cos x \neq 0, 2 \sin x termini 2 tg x \cos x ilə əvəz edilə bilər, tənliyi əldə edirik. 1+2 tan x \cos x-2 \cos x-tg x=0, qruplaşdırmaqla (1-tg x)(1-2 \cos x)=0 formasına endirilə bilər.

1) 1-tgx=0, tanx = 1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cosx=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

b)Ədədi dairənin köməyi ilə intervala aid kökləri seçirik \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Cavab verin

a) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Vəziyyət

a) Tənliyi həll edin (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

b) Bu tənliyin intervala aid olan köklərini göstərin \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Həllini göstərin

Həll

a) ODZ: \begin(hallar) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(hallar)

ODZ-dəki orijinal tənlik tənliklər dəstinə bərabərdir

\left[\!\!\begin(massiv)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(massiv)\sağ.

Birinci tənliyi həll edək. Bunu etmək üçün biz əvəz edəcəyik \cos 4x=t, t \in [-1; bir]. Sonra \sin^24x=1-t^2. Biz əldə edirik:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\not [-1; bir].

\cos4x=\frac12,

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

İkinci tənliyi həll edək.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Vahid dairəsindən istifadə edərək ODZ-ni təmin edən həllər tapırıq.

"+" işarəsi tg x>0 olan 1-ci və 3-cü rübləri qeyd edir.

Alırıq: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) intervala aid olan kökləri tapaq \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Cavab verin

a) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) \pi; \frac\pi(12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Mənbə: “Riyaziyyat. İmtahana hazırlıq-2017. Profil səviyyəsi". Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova.

Vəziyyət

a) Tənliyi həll edin: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

b) Aralığa aid bütün kökləri göstərin \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\sağ].

Həllini göstərin

Həll

a)Çünki \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, sonra \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, deməli, verilmiş tənlik \cos^2x=\cos ^22x tənliyinə ekvivalentdir, bu da öz növbəsində \cos^2x-\cos ^2 2x=0 tənliyinə ekvivalentdir.

Amma \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) və

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, beləliklə, tənlik olur

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Sonra ya 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, ya da 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Birinci tənliyi \cos x üçün kvadrat tənlik kimi həll edərək, alırıq:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Buna görə də, ya \cos x=1, ya da \cosx=-\frac12.Əgər \cos x=1, onda x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Əgər \cosx=-\frac12, sonra x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Eynilə, ikinci tənliyi həll edərək, ya \cos x=-1, ya da alırıq \cosx=\frac12.Əgər \cos x=-1, onda köklər x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.Əgər a \cosx=\frac12, sonra x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Əldə edilən həlləri birləşdirək:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

b) Verilmiş intervala düşən kökləri ədəd dairəsindən istifadə edərək seçirik.

Biz əldə edirik: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

Cavab verin

a) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Mənbə: “Riyaziyyat. İmtahana hazırlıq-2017. profil səviyyəsi. Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova.

Vəziyyət

a) Tənliyi həll edin 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Bu tənliyin intervala aid olan köklərini göstərin \sol(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\sağ).

Həllini göstərin

Həll

a) 1. Azaltma düsturuna əsasən, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\sağ) =tgx. Tənliyin domeni x dəyərləri olacaq ki, \cos x \neq 0 və tg x \neq -1 olsun. İki bucaqlı kosinus düsturundan istifadə edərək tənliyi çeviririk 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Tənliyi alırıq: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

qeyd et ki \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), beləliklə tənlik belə olur: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Buradan \cosx=\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cosx+\sinx=\frac65.

2. Azaltma düsturu və kosinusların cəmi düsturundan istifadə edərək \sin x+\cos x-i çevirin: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\sağ), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\sağ)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\sağ) = \ frac65.

Buradan \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. O deməkdir ki, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

və ya x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Buna görə də x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

və ya x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Tapılan x dəyərləri tərif sahəsinə aiddir.

b)Əvvəlcə k=0 və t=0-da tənliyin köklərinin hara düşdüyünü öyrənək. Bunlar müvafiq olaraq rəqəmlər olacaq a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 və b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Köməkçi bərabərsizliyi sübut edək:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Həqiqətən, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Onu da qeyd edin \left(\frac(3\sqrt 2)5\sağ) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, deməkdir \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Bərabərsizliklərdən (1) arkkosinin xassəsinə görə alırıq:

arccos 1

Buradan \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

Eynilə, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

k=-1 və t=-1 ilə a-2\pi və b-2\pi tənliyinin köklərini alırıq.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). Harada -2\pi

2\pi Deməli, bu köklər verilmiş intervala aiddir \sol(-2\pi , -\frac(3\pi )2\sağ).

k və t-nin digər qiymətləri üçün tənliyin kökləri verilmiş intervala aid deyil.

Doğrudan da, k\geqslant 1 və t\geqslant 1 olarsa, köklər 2\pi-dən böyükdür. Əgər k\leqslant -2 və t\leqslant -2 olarsa, köklər azdır. -\frac(7\pi )2.

Cavab verin

a) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Mənbə: “Riyaziyyat. İmtahana hazırlıq-2017. profil səviyyəsi. Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova.

Vəziyyət

a) Tənliyi həll edin \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

b) Bu tənliyin intervala aid olan bütün köklərini tapın;

Həllini göstərin

Həll

a) Tənliyi çevirək:

\cosx=-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2\sin x)=0,

\cosx=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

1+2\sinx=0,

\sinx=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Vahid dairədən istifadə edərək seqmentə aid kökləri tapırıq.

Göstərilən interval bir ədəddən ibarətdir \frac\pi 2.

Cavab verin

a) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

b) \frac\pi 2.

Mənbə: “Riyaziyyat. İmtahana hazırlıq-2017. profil səviyyəsi. Ed. F. F. Lısenko, S. Yu. Kulabuxova.

Vəziyyət

ODZ-yə daxil deyil.

O deməkdir ki, \sin x \neq 1.

Tənliyin hər iki tərəfini faktora bölün (\sinx-1), sıfırdan fərqlidir. tənliyi alırıq \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), və ya tənlik 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Sol tərəfdə azalma düsturunu və sağ tərəfdə azalma düsturunu tətbiq edərək tənliyi əldə edirik. 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Bu əvəzetmədən istifadə edən tənlikdir \cosx=t, harada -1 \leqslant t \leqslant 1 kvadrata endir: 2t^2+t-1=0, kimin kökləri t_1=-1 və t_2=\frac12. x dəyişəninə qayıdaraq, alırıq \cos x = \frac12 və ya \cosx=-1, harada x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Bərabərsizlikləri həll edin

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\sol [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\sağ].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Aralığa aid tam ədədlər yoxdur \left[-\frac7(12) ; -\frac1(12)\sağ].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Bu bərabərsizlik k=-1, onda x=-\pi ilə ödənilir.

Cavab verin

a) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

b) -\pi .

Probleminizin ətraflı həllini sifariş edə bilərsiniz !!!

Triqonometrik funksiyanın işarəsi altında naməlum olan bərabərliyə (`sin x, cos x, tg x` və ya `ctg x`) triqonometrik tənlik deyilir və biz onların düsturlarını daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Ən sadə tənliklər `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`dır, burada `x` tapılacaq bucaq, `a` istənilən ədəddir. Onların hər biri üçün kök düsturlarını yazaq.

1. `sin x=a` tənliyi.

`|a|>1` üçün onun həlli yoxdur.

`|a| ilə \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tənliyi

`|a|>1` üçün - sinus vəziyyətində olduğu kimi, həqiqi ədədlər arasında heç bir həll yolu yoxdur.

`|a| ilə \leq 1` sonsuz sayda həllə malikdir.

Kök düsturu: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Qrafiklərdə sinus və kosinus üçün xüsusi hallar.

3. `tg x=a` tənliyi

İstənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll yolu var.

Kök düsturu: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tənliyi

O, həmçinin istənilən `a` dəyəri üçün sonsuz sayda həll variantına malikdir.

Kök düsturu: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Cədvəldəki triqonometrik tənliklərin kökləri üçün düsturlar

Sinus üçün:
Kosinus üçün:
Tangens və kotangens üçün:
Tərkibində tərs triqonometrik funksiyalar olan tənliklərin həlli üçün düsturlar:

Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları

İstənilən triqonometrik tənliyin həlli iki mərhələdən ibarətdir:

onu ən sadəyə çevirmək üçün istifadə etmək;
köklər və cədvəllər üçün yuxarıdakı düsturlardan istifadə edərək nəticədə sadə tənliyi həll edin.

Nümunələrdən istifadə edərək əsas həll üsullarını nəzərdən keçirək.

cəbri üsul.

Bu üsulda dəyişənin dəyişdirilməsi və onun bərabərliyə əvəz edilməsi həyata keçirilir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

əvəz edin: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, sonra `2y^2-3y+1=0`,

kökləri tapırıq: `y_1=1, y_2=1/2`, ondan iki hal gəlir:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Cavab: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizasiya.

Misal. Tənliyi həll edin: `sin x+cos x=1`.

Həll. Bütün bərabərlik şərtlərini sola köçürün: `sin x+cos x-1=0`. istifadə edərək, sol tərəfi çevirib faktorlara ayırırıq:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Cavab: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Homojen tənliyə endirmə

Əvvəlcə bu triqonometrik tənliyi iki formadan birinə gətirməlisiniz:

`a sin x+b cos x=0` (birinci dərəcəli homogen tənlik) və ya `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikinci dərəcəli bircins tənlik).

Sonra hər iki hissəni birinci hal üçün `cos x \ne 0`, ikinci üçün isə `cos^2 x \ne 0` ilə bölün. `tg x` üçün tənliklər alırıq: `a tg x+b=0` və `a tg^2 x + b tg x +c =0`, məlum üsullardan istifadə etməklə həll edilməlidir.

Misal. Tənliyi həll edin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Həll. Sağ tərəfi `1=sin^2 x+cos^2 x` kimi yazaq:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Bu, ikinci dərəcəli homogen triqonometrik tənlikdir, onun sol və sağ hissələrini `cos^2 x \ne 0`-ə bölməklə, əldə edirik:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. `tg x=t` əvəzini təqdim edək, nəticədə `t^2 + t - 2=0`. Bu tənliyin kökləri `t_1=-2` və `t_2=1`-dir. Sonra:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \Z`-də.

Cavab verin. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-də`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-də`.

Yarım küncə keçin

Misal. Tənliyi həll edin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Həll. İkiqat bucaq düsturlarını tətbiq etməklə nəticə belə olur: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tq^2 x/2 - 11 tq x/2 +6=0`

Yuxarıda təsvir olunan cəbri metodu tətbiq edərək, əldə edirik:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Köməkçi bucağın tətbiqi

`a sin x + b cos x =c` triqonometrik tənliyində a,b,c əmsallar və x dəyişəndir, biz hər iki hissəni `sqrt (a^2+b^2)` ilə bölürük:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Sol tərəfdəki əmsallar sinus və kosinus xüsusiyyətlərinə malikdir, yəni kvadratlarının cəmi 1, modulu isə ən çoxu 1-dir. Onları aşağıdakı kimi işarə edək: `\frac a(sqrt (a^2+b^) 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , sonra:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Aşağıdakı nümunəyə daha yaxından nəzər salaq:

Misal. Tənliyi həll edin: `3 sin x+4 cos x=2`.

Həll. Tənliyin hər iki tərəfini `sqrt (3^2+4^2)`-ə bölsək, alırıq:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` işarələyin. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, köməkçi bucaq kimi `\varphi=arcsin 4/5` götürürük. Sonra bərabərliyimizi formada yazırıq:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus üçün bucaqların cəmi düsturunu tətbiq edərək bərabərliyimizi aşağıdakı formada yazırıq:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cavab verin. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraksiyalı-rasional triqonometrik tənliklər

Bunlar, saylarında və məxrəclərində triqonometrik funksiyalar olan kəsrlərlə bərabərliklərdir.

Misal. Tənliyi həll edin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Həll. Tənliyin sağ tərəfini `(1+cos x)`-ə vurun və bölün. Nəticədə alırıq:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Məxrəcin sıfır ola bilməyəcəyini nəzərə alsaq, Z`-də `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ alırıq.

Kəsirin payını sıfıra bərabərləşdirin: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Sonra `sin x=0` və ya `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Nəzərə alsaq ki, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, həllər `x=2\pi n, n \in Z` və `x=\pi /2+2\pi n`-dir. , `n \in Z`.

Cavab verin. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Triqonometriya və xüsusən də triqonometrik tənliklər həndəsə, fizika və mühəndisliyin demək olar ki, bütün sahələrində istifadə olunur. Tədqiqat 10-cu sinifdə başlayır, imtahan üçün həmişə tapşırıqlar var, buna görə də triqonometrik tənliklərin bütün düsturlarını xatırlamağa çalışın - onlar mütləq sizin üçün faydalı olacaq!

Ancaq onları əzbərləməyə belə ehtiyac yoxdur, əsas odur ki, mahiyyəti başa düşəsən və nəticə çıxara biləsən. Göründüyü qədər çətin deyil. Videoya baxaraq özünüz baxın.

Riyaziyyatdan vahid dövlət imtahanının profil səviyyəsinə hazırlıq. Triqonometriya üzrə faydalı materiallar, böyük nəzəri video mühazirələr, problemlərin video təhlili və əvvəlki illərdən tapşırıqların seçimi.

Faydalı materiallar

Video kolleksiyaları və onlayn kurslar

Triqonometrik düsturlar

Triqonometrik düsturların həndəsi təsviri

Qövs funksiyaları. Ən sadə triqonometrik tənliklər

Triqonometrik tənliklər

Problemin həlli üçün zəruri nəzəriyyə.
a) $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$.
a) $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\pi\right]$.
$\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$ tənliyini həll edin.
a) $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\pi intervalına aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
a) $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$ tənliyini həll edin.
$\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$ tənliyini həll edin.
$\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\pi\right)$.
a) $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(3\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
a) $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -2\pi \sağ]$.

Tapşırıqların video təhlili

b) Bu tənliyin $\left[ \sqrt(3) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \sqrt(20)\right]$.

b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -3\pi\sağ]$.

b) Bu tənliyin $\left[ -\sqrt(3) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \sqrt(30)\right]$.

a) $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\pi\right)$.

a) $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[\dfrac(5\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; 4\pi\sağ]$.

b) Bu tənliyin $\left[\log_5 2 intervalına aid olan bütün köklərini tapın; \log_5 20 \right]$.

a) $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[- \dfrac(5\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\pi\right]$.

a) $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[\pi intervalına aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.

a) $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[\dfrac(3\pi)(2) intervalına aid olan bütün köklərini tapın; 3\pi\sağ]$.

a) $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) tənliyini həll edin. + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
b) Bu tənliyin $\left[\pi intervalına aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.

a) $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -4\pi intervalına aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(5\pi)(2)\right]$.

Əvvəlki illərdən tapşırıqların seçimi

a) $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -3\pi\sağ]$. (USE-2018. Erkən dalğa)
a) $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\sqrt(3) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \sqrt(30)\right]$. (USE-2018. Erkən dalğa, ehtiyat gün)
a) $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -2\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Əsas dalğa)
a) $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ 3\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Əsas dalğa)
a) $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -2\pi \sağ]$. (USE-2018. Əsas dalğa)
a) $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -4\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2018. Əsas dalğa)
a) $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$ tənliyini həll edin.
a) $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ 2\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Əsas dalğa)
a) $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(5\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; 4\pi\sağ]$. (USE-2018. Əsas dalğa)
a) $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(7\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; 5\pi\sağ]$. (USE-2018. Əsas dalğa)
a) $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(5\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -\pi\right]$. (USE-2018. Əsas dalğa)
a) $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2018. Əsas dalğa)
b) Bu tənliyin $\left[ \pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Əsas dalğa)
a) $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (İSTİFADƏ-2018. Əsas dalğa, ehtiyat gün)
a) $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -2\pi \sağ]$. (İSTİFADƏ-2018. Əsas dalğa, ehtiyat gün)
a) $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(9\pi)(2) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -3\pi\sağ]$. (İSTİFADƏ-2018. Əsas dalğa, ehtiyat gün)
a) $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (İSTİFADƏ-2018. Əsas dalğa, ehtiyat gün)
a) $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \sqrt(3) seqmentinə aid olan bütün köklərini tapın; \sqrt(20)\right]$. (İSTİFADƏ-2018. Əsas dalğa, ehtiyat gün)
a) $2x \cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa, ehtiyat gün)
a) $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa, ehtiyat gün)
a) $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa, ehtiyat gün)
a) $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa)
a) $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa)
a) $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa)
a) $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa)
a) $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2017, əsas dalğa)
a) $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2017, erkən dalğa)
a) $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, əsas dalğa, ehtiyat gün)
a) $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, əsas dalğa, ehtiyat gün)
a) $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, əsas dalğa, ehtiyat gün)
a) $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, əsas dalğa)
a) $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, əsas dalğa)
a) $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, erkən dalğa)
a) $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0,25$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, erkən dalğa)
a) $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2016, erkən dalğa)
a) $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2015, əsas dalğa)
a) $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ - \pi;\ 0\right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2015, əsas dalğa)
a) $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2015, əsas dalğa)
a) $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2015, əsas dalğa)
a) $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$ seqmentinə aid olan köklərini tapın. (USE-2015, erkən dalğa)
a) $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$ intervalına aid olan köklərini tapın. (USE-2015, erkən dalğa)
a) $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(5\pi)(2) seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \4\pi\sağ]$. (USE-2014, əsas dalğa)
a) $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(3\pi)(2) seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \3\pi\sağ]$. (USE-2014, əsas dalğa)
a) $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -3\pi seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \ -\dfrac(3\pi)(2)\sağ]$. (USE-2014, əsas dalğa)
a) $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ \dfrac(9\pi)(2) seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \6\pi\sağ]$. (USE-2014, erkən dalğa)
a) $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -\dfrac(7\pi)(2) seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \ -\dfrac(5\pi)(2)\sağ]$. (USE-2013, əsas dalğa)
a) $6 \sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$ tənliyini həll edin.
b) Bu tənliyin $\left[ -5\pi seqmentinə aid olan köklərini göstərin; \ - \dfrac(7\pi)(2)\sağ]$. (USE-2012, ikinci dalğa)

Tapşırıq №1

Məntiq sadədir: triqonometrik funksiyaların indi daha mürəkkəb arqumentə malik olmasına baxmayaraq, əvvəllər etdiyimiz kimi edəcəyik!

Formanın bir tənliyini həll etsək:

Sonra aşağıdakı cavabı yazacağıq:

Və ya (çünki)

Ancaq indi aşağıdakı ifadəni oynayırıq:

Sonra yaza bilərsiniz:

Bizim sizinlə məqsədimiz elə etməkdir ki, siz heç bir "çirk" olmadan, sadəcə olaraq solda dayanasınız!

Gəlin onlardan xilas olaq!

Əvvəlcə məxrəci çıxarın: bunu etmək üçün bərabərliyimizi artırın:

İndi hər iki hissəni ona bölməklə xilas oluruq:

İndi səkkizdən xilas olaq:

Nəticədə ifadə 2 həll seriyası kimi yazıla bilər (kvadrat tənliyə bənzətməklə, burada diskriminantı əlavə edirik və ya çıxarırıq)

Ən böyük mənfi kökü tapmalıyıq! Aydındır ki, sıralamaq lazımdır.

Əvvəlcə birinci seriyaya baxaq:

Aydındır ki, götürsək, nəticədə müsbət rəqəmlər alacağıq, amma bizi maraqlandırmır.

Buna görə mənfi qəbul edilməlidir. Qoy.

Kök artıq nə vaxt olacaq:

Və ən böyük mənfini tapmalıyıq!! Beləliklə, burada mənfi istiqamətə getməyin artıq mənası yoxdur. Və bu seriya üçün ən böyük mənfi kök bərabər olacaq.

İndi ikinci seriyaya nəzər salın:

Və yenə əvəz edirik: , sonra:

Maraqlı deyil!

Onda onu daha çox artırmağın mənası yoxdur! Gəlin azaldaq! Qoy o zaman:

Uyğundur!

Qoy. Sonra

Sonra - ən böyük mənfi kök!

Cavab:

Tapşırıq №2

Yenə də kompleks kosinus arqumentindən asılı olmayaraq həll edirik:

İndi yenidən solda ifadə edirik:

Hər iki tərəfi çarpın

Hər iki tərəfi bölün

Qalan yalnız işarəsini mənfidən artıya dəyişdirərək onu sağa köçürməkdir.

Yenidən biri ilə, digəri ilə 2 sıra kök alırıq.

Ən böyük mənfi kökü tapmalıyıq. Birinci seriyaya nəzər salın:

Aydındır ki, biz ilk mənfi kök alacağıq, bərabər olacaq və 1-ci seriyada ən böyük mənfi kök olacaq.

İkinci seriya üçün

İlk mənfi kök də əldə ediləcək və bərabər olacaq. Çünki o zaman tənliyin ən böyük mənfi köküdür.

Cavab: .

Tapşırıq №3

Tangensin mürəkkəb arqumentindən asılı olmayaraq qərar veririk.

Görünür, bu, mürəkkəb bir şey deyil, elə deyilmi?

Əvvəlki kimi sol tərəfdə ifadə edirik:

Yaxşı, əladır, ümumiyyətlə yalnız bir sıra köklər var! Yenə də ən böyük mənfini tapın.

qoysaq ortaya çıxacağı aydındır. Və bu kök bərabərdir.

Cavab:

İndi aşağıdakı problemləri özünüz həll etməyə çalışın.

Ev tapşırığı və ya müstəqil həll üçün 3 tapşırıq.

Re-shi-te tənliyi.
Re-shi-te tənliyi.
From-ve-te on-pi-shi-te-də ən kiçik in-lo-zhi-tel-ny kökü.
Re-shi-te tənliyi.
From-ve-te on-pi-shi-te-də ən kiçik in-lo-zhi-tel-ny kökü.

Hazırsan? yoxlayırıq. Bütün həll alqoritmini ətraflı təsvir etməyəcəyəm, mənə elə gəlir ki, yuxarıda ona kifayət qədər diqqət yetirilmişdir.

Yaxşı, hər şey qaydasındadır? Oh, o pis sinuslar, onlarla həmişə bəzi çətinliklər var!

Yaxşı, indi ən sadə triqonometrik tənlikləri həll edə bilərsiniz!

Həll və cavabları yoxlayın:

Tapşırıq №1

Ekspres

Ən kiçik müsbət kök, o vaxtdan bəri, sonra qoysaq əldə edilir

Cavab:

Tapşırıq №2

Ən kiçik müsbət kök əldə ediləcək.

O, bərabər olacaq.

Cavab: .

Tapşırıq №3

Nə vaxtsa, nə vaxtsa.

Cavab: .

Bu bilik imtahanda qarşılaşacağınız bir çox problemləri həll etməyə kömək edəcək.

Əgər siz “5” reytinqinə müraciət edirsinizsə, sadəcə olaraq məqaləni oxumağa davam etməlisiniz orta səviyyə, daha mürəkkəb triqonometrik tənliklərin həllinə həsr olunacaq (tapşırıq C1).

ORTA SƏVİYYƏ

Bu yazıda təsvir edəcəyəm daha mürəkkəb tipli triqonometrik tənliklərin həlli və onların köklərini necə seçmək olar. Burada aşağıdakı mövzulara diqqət yetirəcəyəm:

Giriş səviyyəsi üçün triqonometrik tənliklər (yuxarıya bax).

Daha mürəkkəb triqonometrik tənliklər artan mürəkkəblik problemlərinin əsasını təşkil edir. Onlar həm tənliyin özünü ümumi formada həll etməyi, həm də bu tənliyin hansısa verilmiş intervala aid olan köklərini tapmağı tələb edir.

Triqonometrik tənliklərin həlli iki alt vəzifəyə endirilir:

Tənliyin həlli
Kök seçimi

Qeyd etmək lazımdır ki, ikinci həmişə tələb olunmur, lakin hələ də əksər nümunələrdə seçim etmək tələb olunur. Və tələb olunmursa, daha çox rəğbət bəsləyə bilərsiniz - bu, tənliyin özündə olduqca mürəkkəb olduğunu göstərir.

C1 tapşırıqlarının təhlili ilə bağlı təcrübəm göstərir ki, onlar adətən aşağıdakı kateqoriyalara bölünür.

Artan mürəkkəbliyin dörd kateqoriyası (əvvəllər C1)

Faktorlara ayrılan tənliklər.
Formaya endirən tənliklər.
Dəyişənlərin dəyişməsi ilə həll olunan tənliklər.
İrrasionallığa və ya məxrəcə görə köklərin əlavə seçilməsini tələb edən tənliklər.

Sadə dillə desək: əgər alsanız ilk üç tənlik növündən biridir onda özünü şanslı hesab et. Onlar üçün, bir qayda olaraq, müəyyən bir aralığa aid olan kökləri seçmək əlavə olaraq lazımdır.

4-cü tipli bir tənliyə rast gəlsəniz, daha az şanslısınız: onunla daha uzun və daha diqqətlə işləmək lazımdır, lakin çox vaxt əlavə kök seçimi tələb etmir. Buna baxmayaraq, mən növbəti məqalədə bu tip tənlikləri təhlil edəcəyəm və bunu ilk üç növ tənliklərin həllinə həsr edəcəyəm.

Faktorinqə Azaldan Tənliklər

Bu tip tənlikləri həll etmək üçün yadda saxlamağınız lazım olan ən vacib şeydir

Təcrübə göstərir ki, bir qayda olaraq, bu bilik kifayətdir. Bəzi nümunələrə baxaq:

Misal 1. Azaltma düsturlarından və qoşa bucağın sinusundan istifadə edərək faktorlara ayıran tənlik

Re-shi-te tənliyi
Bu tənliyin bütün köklərini tapın

Burada, söz verdiyim kimi, tökmə düsturları işləyir:

Onda mənim tənliyim belə görünəcək:

Onda mənim tənliyim aşağıdakı formanı alacaq:

Qısagörən bir tələbə deyə bilər: indi mən hər iki hissəni ixtisar edəcəyəm, ən sadə tənliyi əldə edəcəyəm və həyatdan həzz alacağam! Və o, çox yanılacaq!

UNUTMAYIN: TƏRKİBİ MƏLUM OLAN FUNKSİYA ÜÇÜN TRIQONOMETRİK TƏNLİKİN İKİ HİSSƏSİNİ HEÇ VAXT AZALTMAYIN! BU YOLDA SİZ KÖK İTİRİRSİNİZ!

Beləliklə, nə etməli? Bəli, hər şey sadədir, hər şeyi bir istiqamətə köçürün və ümumi faktoru çıxarın:

Yaxşı, biz bunu nəzərə aldıq, yaş! İndi qərara gəlirik:

Birinci tənliyin kökləri var:

Və ikinci:

Bu problemin birinci hissəsini tamamlayır. İndi kökləri seçməliyik:

Boşluq belədir:

Və ya belə də yazıla bilər:

Yaxşı, kökləri götürək:

Birincisi, ilk seriya ilə işləyək (və ən azı demək daha asandır!)

Aralığımız tamamilə mənfi olduğundan, mənfi olmayanları götürməyə ehtiyac yoxdur, onlar yenə də mənfi olmayan köklər verəcəkdir.

Gəlin götürək, onda - bir az çox, uyğun gəlmir.

Qoy, sonra - yenə vurmadı.

Daha bir cəhd - onda - orada, vurun! İlk kök tapıldı!

Yenidən vururam: sonra - yenə vur!

Yaxşı, bir daha: - bu artıq uçuşdur.

Beləliklə, birinci sıradan 2 kök intervala aiddir: .

İkinci seriya ilə işləyirik (biz qururuq qaydaya uyğun olaraq gücə):

Zəhmət olmasa!

Yenə itkin!

Yenə çatışmazlıq!

Anladım!

Uçuş!

Beləliklə, aşağıdakı köklər mənim genişliyimə aiddir:

Bütün digər nümunələri həll etmək üçün bu alqoritmdən istifadə edəcəyik. Gəlin birlikdə daha bir nümunə tətbiq edək.

Nümunə 2. Azaltma düsturlarından istifadə edərək faktorlara ayıran tənlik

Tənliyi həll edin

Həll:

Yenə məşhur aktyor formulları:

Yenə də kəsməyə çalışmayın!

Birinci tənliyin kökləri var:

Və ikinci:

İndi yenidən kök axtarışı.

İkinci seriyadan başlayacağam, bu barədə hər şeyi əvvəlki nümunədən artıq bilirəm! Baxın və boşluğa aid köklərin aşağıdakı kimi olduğuna əmin olun:

İndi ilk seriya və daha sadədir:

Əgər - uyğundur

Əgər - həm də yaxşıdır

Əgər - artıq uçuş.

Sonra köklər olacaq:

Müstəqil iş. 3 tənlik.

Yaxşı, texnikanı başa düşürsən? Triqonometrik tənlikləri həll etmək artıq o qədər də çətin görünmür? Sonra aşağıdakı problemləri özünüz tez həll edin, sonra siz və mən digər nümunələri həll edəcəyik:

Tənliyi həll edin
Bu tənliyin boşluğa əlavə olunan bütün köklərini tapın.
Re-shi-te tənliyi
Kəsimə əlavə olunan tənliyin köklərini göstərin
Re-shi-te tənliyi
Bu tənliyin bütün köklərini tapın, yuxarıda-le-zha-shchi pro-inter-jut-ku.

Tənlik 1

Və yenidən tökmə düsturu:

İlk kök seriyası:

Köklərin ikinci seriyası:

İnterval üçün seçimə başlayırıq

Cavab: , .

Tənlik 2 Müstəqil işin yoxlanılması.

Faktorlar üzrə olduqca çətin qruplaşdırma (mən ikiqat bucağın sinusu üçün düsturdan istifadə edəcəyəm):

sonra və ya

Bu ümumi bir həlldir. İndi kökləri götürməliyik. Problem ondadır ki, kosinusu dörddə birinə bərabər olan bucağın dəqiq qiymətini deyə bilmirik. Buna görə də, mən sadəcə arkkosindan xilas ola bilmirəm - belə bir narahatlıq!

Mən edə biləcəyim şey o vaxtdan bəri bunu başa düşməkdir.

Cədvəl yaradaq: interval:

Yaxşı, ağrılı axtarışlar nəticəsində biz məyusedici nəticəyə gəldik ki, tənliyimiz göstərilən intervalda bir kökə malikdir: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Tənlik 3. Müstəqil işin yoxlanılması.

Qorxunc tənlik. Bununla birlikdə, ikiqat bucağın sinusunun düsturunu tətbiq etməklə kifayət qədər sadə şəkildə həll olunur:

Gəlin onu 2 ilə kəsək:

Birinci termini ikinci, üçüncü isə dördüncü ilə qruplaşdırırıq və ümumi amilləri çıxarırıq:

Aydındır ki, birinci tənliyin kökləri yoxdur və indi ikincini nəzərdən keçirin:

Ümumiyyətlə, bu cür tənliklərin həlli üzərində bir az sonra dayanacaqdım, amma ortaya çıxdığından, heç bir şey yox idi, qərar verməli idik ...

Formanın tənlikləri:

Bu tənlik hər iki tərəfi aşağıdakılara bölmək yolu ilə həll olunur:

Beləliklə, tənliyimiz bir sıra köklərə malikdir:

Onlardan intervala aid olanları tapmaq lazımdır: .

Əvvəllər etdiyim kimi masanı yenidən quraq:

Cavab: .

Formaya endirən tənliklər:

Yaxşı, indi tənliklərin ikinci hissəsinə keçməyin vaxtı gəldi, xüsusən də yeni triqonometrik tənliklərin həllinin nədən ibarət olduğunu artıq izah etdiyim üçün. Amma formanın həmin tənliyini təkrarlamaq artıq olmaz

Hər iki hissəni kosinusa bölmək yolu ilə həll olunur:

Re-shi-te tənliyi
Kəsimə əlavə edilən tənliyin köklərini göstərin.
Re-shi-te tənliyi
Tənliyin köklərini göstərin, yuxarıda-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Misal 1

Birincisi olduqca sadədir. Sağa keçin və ikiqat bucaqlı kosinus düsturunu tətbiq edin:

Aha! Tip tənliyi: . Hər iki hissəyə bölürəm

Kökləri aradan qaldırırıq:

Boşluq:

Cavab:

Misal 2

Hər şey də olduqca mənasızdır: sağdakı mötərizələri açaq:

Əsas triqonometrik eynilik:

İkiqat bucağın sinusu:

Nəhayət əldə edirik:

Köklərin ekranlaşdırılması: boşluq.

Cavab: .

Yaxşı, texnikanı necə bəyənirsiniz, çox mürəkkəb deyil? Ümid edirəm yox. Dərhal bir şərt qoya bilərik: onun saf formasında dərhal tangens üçün tənliyə endirilən tənliklər olduqca nadirdir. Tipik olaraq, bu keçid (kosinusla bölünmə) daha böyük bir problemin yalnız bir hissəsidir. Məşq etməyiniz üçün bir nümunədir:

Re-shi-te tənliyi
Bu tənliyin bütün köklərini tapın.

yoxlayaq:

Tənlik dərhal həll olunur, hər iki hissəni aşağıdakılara bölmək kifayətdir:

Kök süzmə:

Cavab: .

Bu və ya digər şəkildə, indicə müzakirə etdiyimiz tənliklərə hələ rast gəlməmişik. Bununla belə, yekunlaşdırmaq bizim üçün hələ tezdir: təhlil etmədiyimiz daha bir “qat” tənlik var. Belə ki:

Dəyişən dəyişikliyi ilə triqonometrik tənliklərin həlli

Burada hər şey şəffafdır: biz tənliyə diqqətlə baxırıq, onu mümkün qədər sadələşdiririk, əvəz edirik, həll edirik, tərs əvəz edirik! Bir sözlə, hər şey çox asandır. Gəlin bunu hərəkətdə görək:

Misal.

Tənliyi həll edin: .
Bu tənliyin bütün köklərini tapın.

Yaxşı, burada əvəzetmənin özü bizim əlimizə gəlir!

Onda tənliyimiz belə olur:

Birinci tənliyin kökləri var:

İkincisi isə belədir:

İndi intervala aid olan kökləri tapaq

Cavab: .

Bir az daha mürəkkəb nümunəyə birlikdə baxaq:

Re-shi-te tənliyi
Verilmiş tənliyin köklərini göstərin, at-yuxarıda-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Burada əvəz dərhal görünmür, üstəlik, çox açıq deyil. Əvvəlcə düşünək: nə edə bilərik?

Biz, məsələn, təsəvvür edə bilərik

Və eyni zamanda

Sonra mənim tənliyim belə olur:

İndi diqqət, diqqət:

Tənliyin hər iki tərəfini aşağıdakılara bölək:

Birdən sən və mən kvadrat tənlik əldə etdik! Gəlin bir əvəz edək, sonra əldə edirik:

Tənliyin aşağıdakı kökləri var:

Köklərin xoşagəlməz ikinci seriyası, lakin ediləcək heç bir şey yoxdur! Aralıqda köklərin seçimini edirik.

Bunu da nəzərə almalıyıq

O vaxtdan bəri

Cavab:

Problemləri özünüz həll etməzdən əvvəl birləşdirmək üçün sizə başqa bir məşq təqdim edirik:

Re-shi-te tənliyi
Bu tənliyin bütün köklərini tapın, yuxarıda-le-zha-shchi pro-inter-jut-ku.

Burada gözlərinizi açıq saxlamalısınız: sıfır ola biləcək məxrəclərimiz var! Buna görə də, köklərə xüsusilə diqqətli olmalısınız!

İlk növbədə mən tənliyi çevirməliyəm ki, uyğun əvəzetmə edə bildim. Mən indi sinus və kosinus baxımından tangensi yenidən yazmaqdan daha yaxşı bir şey düşünə bilmirəm:

İndi əsas triqonometrik eyniliyə görə kosinusdan sinusa keçəcəyəm:

Və nəhayət, hər şeyi ortaq məxrəcə gətirəcəyəm:

İndi tənliyə keçə bilərəm:

Ancaq (yəni at).

İndi hər şey dəyişdirilməyə hazırdır:

Sonra da

Bununla belə, qeyd edin ki, əgər, onda eyni zamanda!

Bundan kim əziyyət çəkir? Problem tangensdədir, kosinus sıfır olduqda müəyyən edilmir (sıfıra bölünmə baş verir).

Beləliklə, tənliyin kökləri:

İndi intervalda kökləri yoxlayırıq:


	- uyğun gəlir
	- axtarış

Beləliklə, tənliyimiz intervalda tək kökə malikdir və bərabərdir.

Görürsünüz: məxrəcin görünüşü (həmçinin tangens, köklərlə müəyyən çətinliklərə gətirib çıxarır! Burada daha diqqətli olmaq lazımdır!).

Yaxşı, siz və mən triqonometrik tənliklərin təhlilini demək olar ki, başa çatdırdıq, çox az qaldı - iki problemi özümüz həll etməyə. Budurlar.

Tənliyi həll edin
Bu tənliyin bütün köklərini tapın.
Re-shi-te tənliyi
Bu tənliyin kəsimə əlavə olunan köklərini göstərin.

Qərar verdim? Çox çətin deyil? yoxlayaq:

Azaltma düsturlarına əsasən işləyirik:
Tənlikdə əvəz edirik:
Hər şeyi kosinuslar baxımından yenidən yazaq ki, əvəz etmək daha rahat olsun:
İndi əvəzetmə etmək asandır:
Bunun kənar kök olduğu aydındır, çünki tənliyin həlli yoxdur. Sonra:
Biz lazım olan kökləri intervalda axtarırıq
Cavab: .
Burada əvəz dərhal görünür:
Sonra da

- uyğun gəlir! - uyğun gəlir!
- uyğun gəlir! - uyğun gəlir!
- çoxlu! - həm də çox!
Cavab:

Yaxşı, indi hər şey! Ancaq triqonometrik tənliklərin həlli bununla bitmir, biz ən çətin halları geridə qoyduq: tənliklərdə irrasionallıq və ya müxtəlif növ "mürəkkəb məxrəclər" olduqda. Bu cür vəzifələri necə həll edəcəyimizi, qabaqcıl səviyyə üçün bir məqalədə nəzərdən keçirəcəyik.

ƏTRAFLI SƏVİYYƏ

Əvvəlki iki məqalədə nəzərdən keçirilən triqonometrik tənliklərə əlavə olaraq, daha diqqətli təhlil tələb edən başqa bir tənlik sinfini nəzərdən keçiririk. Bu triqonometrik nümunələrdə ya irrasionallıq, ya da məxrəc var ki, bu da onların təhlilini çətinləşdirir.. Bununla belə, siz imtahan sənədinin C hissəsində bu tənliklərlə rastlaşa bilərsiniz. Bununla belə, bir gümüş astar var: belə tənliklər üçün, bir qayda olaraq, onun köklərindən hansının verilmiş intervala aid olması məsələsi artıq qaldırılmır. Gəlin kolun ətrafında döyməyək, ancaq triqonometrik nümunələr.

Misal 1

Tənliyi həll edin və seqmentə aid olan kökləri tapın.

Həll:

Sıfıra bərabər olmayan məxrəcimiz var! Onda bu tənliyin həlli sistemin həlli ilə eynidir

Tənliklərin hər birini həll edək:

İndi ikinci:

İndi seriala baxaq:

Seçimin bizə uyğun olmadığı aydındır, çünki bu halda məxrəc sıfıra təyin olunur (ikinci tənliyin kökləri üçün düstura baxın)

Əgər - onda hər şey qaydasındadır və məxrəc sıfıra bərabər deyil! Onda tənliyin kökləri: , .

İndi intervala aid kökləri seçirik.


	- uyğun deyil	- uyğun gəlir
	- uyğun gəlir	- uyğun gəlir
	sadalanması	sadalanması

Sonra köklər:

Baxırsınız, hətta məxrəc şəklində kiçik bir müdaxilənin görünüşü tənliyin həllinə əhəmiyyətli dərəcədə təsir etdi: məxrəci ləğv edən bir sıra kökləri atdıq. Məntiqsizliyi olan triqonometrik nümunələrə rast gəlsəniz, işlər daha da mürəkkəbləşə bilər.

Misal 2

Tənliyi həll edin:

Həll:

Yaxşı, heç olmasa kökləri seçməyə ehtiyac yoxdur və bu yaxşıdır! İrrasionallıqdan asılı olmayaraq əvvəlcə tənliyi həll edək:

Və nə, hamısı budur? Xeyr, təəssüf ki, bu çox asan olardı! Kök altında yalnız mənfi olmayan ədədlərin dayana biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Sonra:

Bu bərabərsizliyin həlli:

İndi birinci tənliyin köklərinin bir hissəsinin təsadüfən bərabərsizliyin baş vermədiyi yerə düşmədiyini öyrənmək qalır.

Bunu etmək üçün yenidən cədvəldən istifadə edə bilərsiniz:


	: , Amma	Yox!
		Bəli!
		Bəli!

Beləliklə, köklərdən biri mənim üçün "düşdü"! qoysanız belə çıxır. Sonra cavabı aşağıdakı kimi yazmaq olar:

Cavab:

Görürsən, kök daha da diqqət tələb edir! Gəlin mürəkkəbləşdirək: indi kökün altında triqonometrik funksiyam olsun.

Misal 3

Əvvəlki kimi: əvvəlcə hər birini ayrı-ayrılıqda həll edəcəyik, sonra nə etdiyimizi düşünəcəyik.

İndi ikinci tənlik:

İndi ən çətin şey, ilk tənlikdəki kökləri əvəz etsək, arifmetik kök altında mənfi dəyərlərin əldə edilib-edilmədiyini öyrənməkdir:

Rəqəm radyan kimi başa düşülməlidir. Radian təxminən dərəcə olduğundan, radyanlar təxminən dərəcədir. Bu ikinci rübün küncüdür. İkinci rübün kosinusunun əlaməti nədir? Minus. Bəs sinus? Bir artı. Bəs ifadə haqqında nə demək olar:

Sıfırdan azdır!

Beləliklə - tənliyin kökü deyil.

İndi dön.

Gəlin bu rəqəmi sıfırla müqayisə edək.

Kotangent 1 rübdə azalan funksiyadır (arqument nə qədər kiçik olsa, kotangens də o qədər böyükdür). radyanlar təxminən dərəcədir. Eyni vaxtda

o vaxtdan bəri, o vaxtdan və buna görə də
,

Cavab: .

Bundan da çətin ola bilərmi? Zəhmət olmasa! Kök hələ də triqonometrik funksiyadırsa və tənliyin ikinci hissəsi yenə də triqonometrik funksiyadırsa, daha çətin olacaq.

Nə qədər çox triqonometrik nümunələr o qədər yaxşıdır, daha çox baxın:

Misal 4

Məhdud kosinus səbəbindən kök uyğun deyil

İndi ikincisi:

Eyni zamanda, kökün tərifinə görə:

Vahid dairəni xatırlamalıyıq: sinusun sıfırdan az olduğu dörddəbirlər. Bu məhəllələr nədir? Üçüncü və dördüncü. Onda birinci tənliyin üçüncü və ya dördüncü kvadrantda olan həlləri ilə maraqlanacağıq.

Birinci sıra üçüncü və dördüncü rübün kəsişməsində yatan kökləri verir. İkinci sıra diametrik olaraq ona ziddir və birinci və ikinci rübün sərhədində yatan köklərə səbəb olur. Ona görə də bu serial bizə yaraşmır.

Cavab: ,

Və yenidən "çətin irrasionallıq" ilə triqonometrik nümunələr. Biz nəinki kökün altında yenidən triqonometrik funksiyaya malikik, həm də indi o, məxrəcdədir!

Misal 5

Yaxşı, ediləcək bir şey yoxdur - əvvəlki kimi hərəkət edirik.

İndi məxrəclə işləyirik:

Mən triqonometrik bərabərsizliyi həll etmək istəmirəm və buna görə də bunu çətin edəcəyəm: köklər seriyamı götürüb bərabərsizliyə əvəz edəcəyəm:

Əgər bərabərdirsə, onda bizdə:

çünki, onda görünüşün bütün bucaqları dördüncü rübdə yatır. Və yenə müqəddəs sual: dördüncü rübdə sinusun əlaməti nədir? Mənfi. Sonra bərabərsizlik

Qəribədirsə, onda:

Bucaq hansı dörddəbirdədir? Bu ikinci rübün küncüdür. Sonra bütün künclər yenidən ikinci rübün küncləridir. Sinus müsbətdir. Sadəcə sizə lazım olan şey! Beləliklə, seriya belədir:

Uyğundur!

İkinci kök seriyası ilə eyni şəkildə məşğul oluruq:

Bərabərsizliyimizi əvəz edin:

Əgər bərabərdirsə, onda

Birinci rübün küncləri. Orada sinus müsbətdir, ona görə də seriya uyğundur. İndi qəribədirsə, onda:

da yaraşır!

Yaxşı, indi cavabı yazırıq!

Cavab:

Bu, bəlkə də ən zəhmətli iş idi. İndi sizə müstəqil həll üçün tapşırıqlar təklif edirəm.

Çalışmaq

Seqmentə aid olan tənliyin bütün köklərini həll edin və tapın.

Həll yolları:

Birinci tənlik:
və ya
Kök ODZ:
İkinci tənlik:
Aralığa aid olan köklərin seçilməsi
Cavab:

Və ya
və ya
Amma

Nəzərə alın: . Əgər bərabərdirsə, onda
- uyğun gəlmir!
Əgər - tək, : - uyğun gəlir!
Beləliklə, tənliyimiz aşağıdakı kök seriyasına malikdir:
və ya
İnterval üzrə köklərin seçilməsi:


	- uyğun deyil	- uyğun gəlir
	- uyğun gəlir	- çoxlu
	- uyğun gəlir	çoxlu

Cavab: , .

Və ya
O vaxtdan bəri, tangens müəyyən edilmədikdə. Bu kök seriyasını dərhal atın!

İkinci hissə:

Eyni zamanda, ODZ bunu tələb edir

Birinci tənlikdə tapılan kökləri yoxlayırıq:

Əgər işarələsə:

Tangensin müsbət olduğu birinci rübün açıları. Uyğun deyil!
Əgər işarələsə:

Dördüncü dörddəbir künc. Orada tangens mənfidir. Uyğundur. Cavabı yazın:

Cavab: , .

Bu yazıda mürəkkəb triqonometrik nümunələri birlikdə parçaladıq, lakin siz tənlikləri özünüz həll edə bilməlisiniz.

XÜLASƏ VƏ ƏSAS FORMULA

Triqonometrik tənlik, naməlumun ciddi şəkildə triqonometrik funksiyanın işarəsi altında olduğu bir tənlikdir.

Triqonometrik tənlikləri həll etməyin iki yolu var:

Birinci yol düsturlardan istifadə etməkdir.

İkinci yol triqonometrik dairədən keçir.

Bucaqları ölçməyə, onların sinuslarını, kosinuslarını və s. tapmağa imkan verir.


	- uyğun gəlir!	- uyğun gəlir!
	- uyğun gəlir!	- uyğun gəlir!
	- çoxlu!	- həm də çox!