Butaforlar üçün riyaziyyatda məhdudiyyətlər: izahat, nəzəriyyə, həll nümunələri. İkinci əlamətdar limit Lim x 2 nümunəyə meyllidir

Adətən ikinci əlamətdar hədd bu formada yazılır:

\begin(tənlik) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\sağ)^x=e\end(tənlik)

Bərabərliyin (1) sağ tərəfində göstərilən $e$ rəqəmi irrasionaldır. Bu ədədin təxmini dəyəri: $e\approx(2(,)718281828459045)$. $t=\frac(1)(x)$ əvəzini yerinə yetirsək, (1) düsturu aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

\begin(tənlik) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(tənlik)

İlk diqqətəlayiq həddə gəlincə, (1) düsturdakı $x$ dəyişəninin yerində və ya (2) düsturunda $t$ dəyişəninin yerinə hansı ifadənin dayanmasının fərqi yoxdur. Əsas odur ki, iki şərt yerinə yetirilsin:

Dərəcənin əsası (yəni (1) və (2) düsturlarının mötərizəsindəki ifadə) birliyə meyl etməlidir;
Eksponent (yəni (1) düsturunda $x$ və ya (2) düsturunda $\frac(1)(t)$) sonsuzluğa meyl etməlidir.

İkinci əlamətdar həddin $1^\infty$ qeyri-müəyyənliyini ortaya qoyduğu deyilir. Nəzərə alın ki, (1) düsturunda hansı sonsuzluqdan ($+\infty$ və ya $-\infty$) danışdığımızı göstərmirik. Bu hallardan hər hansı birində düstur (1) düzgündür. (2) düsturunda $t$ dəyişəni həm solda, həm də sağda sıfıra meyl edə bilər.

Qeyd edirəm ki, ikinci əlamətdar həddən bir neçə faydalı nəticələr də var. İkinci əlamətdar hədddən istifadə nümunələri, eləcə də onun nəticələri standart standart hesablamalar və testlər tərtib edənlər arasında çox populyardır.

Nümunə №1

$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ limitini hesablayın.

Dərhal qeyd edək ki, dərəcənin əsası (yəni $\frac(3x+1)(3x-5)$) birliyə meyllidir:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

Bu halda eksponent (ifadə $4x+7$) sonsuzluğa meyl edir, yəni. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Dərəcənin əsası birliyə, eksponent sonsuzluğa meyllidir, yəni. $1^\infty$ qeyri-müəyyənliyi ilə üzləşirik. Bu qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək üçün bir düstur tətbiq edək. Düsturun gücünün əsasında $1+\frac(1)(x)$ ifadəsi durur və nəzərdən keçirdiyimiz nümunədə gücün əsası belədir: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. Buna görə də, ilk hərəkət $\frac(3x+1)(3x-5)$ ifadəsinin $1+\frac(1)(x)$ formasına rəsmi düzəliş olacaq. Əvvəlcə birini əlavə edin və çıxarın:

$$ \lim_(x\to\infty)\sol(\frac(3x+1)(3x-5)\sağ)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\sol(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\sağ)^(4x+7) $$

Nəzərə alın ki, sadəcə vahid əlavə edə bilməzsiniz. Birini əlavə etmək məcburiyyətində qalırıqsa, bütün ifadənin dəyərini dəyişməmək üçün onu da çıxarmaq lazımdır. Həllini davam etdirmək üçün biz bunu nəzərə alırıq

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

$\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$ olduğundan, onda:

$$ \lim_(x\to\infty)\sol(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\sağ)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ sol(1+\frac(6)(3x-5)\sağ)^(4x+7) $$

Tənzimləməyə davam edək. Düsturun $1+\frac(1)(x)$ ifadəsində kəsrin payı 1, bizim $1+\frac(6)(3x-5)$ ifadəmizdə isə 6$-dır. Hesabda $1$ əldə etmək üçün aşağıdakı çevirmədən istifadə edərək $6$-ı məxrəcə buraxın:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Beləliklə,

$$ \lim_(x\to\infty)\sol(1+\frac(6)(3x-5)\sağ)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\sol(1+) \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\sağ)^(4x+7) $$

Beləliklə, dərəcənin əsası, yəni. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, formulada tələb olunan $1+\frac(1)(x)$ formasına uyğunlaşdırılıb. İndi eksponentlə işləməyə başlayaq. Qeyd edək ki, düsturda eksponentlərdə və məxrəcdə ifadələr eynidir:

Bu o deməkdir ki, bizim nümunəmizdə göstərici və məxrəc eyni formaya gətirilməlidir. Göstəricidə $\frac(3x-5)(6)$ ifadəsini almaq üçün sadəcə olaraq göstəricini bu kəsrə vururuq. Təbii ki, belə bir çarpmanı kompensasiya etmək üçün dərhal qarşılıqlı fraksiya ilə vurmalı olacaqsınız, yəni. $\frac(6)(3x-5)$ ilə. Beləliklə, bizdə:

$$ \lim_(x\to\infty)\sol(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\sağ)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\sol(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\sağ)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\sağ)^(\ frac(3x-5)(6))\sağ)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Gücdə yerləşən $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ kəsirinin həddini ayrıca nəzərdən keçirək:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\sağ| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\sol(4+\frac(7)(x)\sağ))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Nümunə № 4

$\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ limitini tapın.

$x>0$ üçün bizdə $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$ var, onda:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\sol(\ln(x+1)-\ln(x)\sağ) =\lim_(x\to+\infty)\sol(x\cdot\ln\ sol(\frac(x+1)(x)\sağ)\sağ) $$

$\frac(x+1)(x)$ kəsrini $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ kəsrlərinin cəminə genişləndirərək alırıq:

$$ \lim_(x\to+\infty)\sol(x\cdot\ln\sol(\frac(x+1)(x)\sağ)\sağ) =\lim_(x\to+\infty)\sol (x\cdot\ln\sol(1+\frac(1)(x)\sağ)\sağ) =\lim_(x\to+\infty)\sol(\ln\left(\frac(x+1)) (x)\sağ)^x\sağ) =\ln(e) =1. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Nümunə № 5

$\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ limitini tapın.

Çünki $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ və $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, onda biz $1^\infty$ formasının qeyri-müəyyənliyi ilə məşğul oluruq. Ətraflı izahatlar 2 nömrəli nümunədə verilmişdir, lakin burada biz özümüzü qısa bir həlllə məhdudlaşdıracağıq. $t=x-2$ əvəzini yerinə yetirərək, əldə edirik:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(hizalanmış)\sağ| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\sağ)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Bu nümunəni dəyişdirmədən istifadə edərək fərqli şəkildə həll edə bilərsiniz: $t=\frac(1)(x-2)$. Təbii ki, cavab eyni olacaq:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(düzləşdirilmiş)\sağ| =\lim_(t\to\infty)\sol(1+\frac(3)(t)\sağ)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\sol(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\sağ)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\sağ)^(\frac(t)(3))\sağ)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Nümunə № 6

$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ limitini tapın.

$x\to\infty$ şərti altında $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ ifadəsinin nəyə meyl etdiyini öyrənək:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Beləliklə, verilmiş limitdə biz $1^\infty$ formasının qeyri-müəyyənliyi ilə üzləşirik, onu ikinci əlamətdar limitdən istifadə edərək aşkar edəcəyik:

$$ \lim_(x\to\infty)\sol(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\sağ)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\sol(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\sağ)^(3x)=\\ =\lim_(x\to) \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\sağ)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\sağ)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\sağ)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\sağ)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Cavab verin: $\lim_(x\to\infty)\sol(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\sağ)^(3x)=1$.

Limitlər bütün riyaziyyat tələbələrinə çoxlu problem yaradır. Məhdudiyyəti həll etmək üçün bəzən bir çox fəndlərdən istifadə etməli və müxtəlif həll üsulları arasından müəyyən bir nümunə üçün uyğun olanı seçməlisiniz.

Bu yazıda imkanlarınızın hüdudlarını anlamağa və ya nəzarətin hüdudlarını anlamağa kömək etməyəcəyik, lakin suala cavab verməyə çalışacağıq: ali riyaziyyatda məhdudiyyətləri necə başa düşmək olar? Anlayış təcrübə ilə gəlir, buna görə də eyni zamanda bir neçəsini verəcəyik ətraflı nümunələr izahlarla limitlərin həlli.

Riyaziyyatda limit anlayışı

Birinci sual budur: bu hədd nədir və nəyin həddi? Ədədi ardıcıllığın və funksiyaların hədləri haqqında danışmaq olar. Bizi funksiyanın həddi anlayışı maraqlandırır, çünki bu, tələbələrin ən çox rastlaşdığı şeydir. Ancaq əvvəlcə limitin ən ümumi tərifi:

Deyək ki, dəyişən dəyər var. Dəyişiklik prosesində bu dəyər qeyri-məhdud olaraq müəyyən bir rəqəmə yaxınlaşırsa a , Bu a – bu dəyərin həddi.

Müəyyən intervalda müəyyən edilmiş funksiya üçün f(x)=y belə bir ədəd limit adlanır A , funksiya nə zaman meyl edir X , müəyyən bir nöqtəyə meyl edir A . Nöqtə A funksiyanın təyin olunduğu intervala aiddir.

Çətin səslənir, amma çox sadə yazılıb:

Lim- ingilis dilindən limit- limit.

Həddi müəyyənləşdirməyin həndəsi izahı da var, lakin burada biz nəzəriyyəyə dərindən girməyəcəyik, çünki bizi məsələnin nəzəri tərəfi deyil, praktiki tərəfi daha çox maraqlandırır. Bunu deyəndə X müəyyən dəyərə meyl edir, bu o deməkdir ki, dəyişən ədədin qiymətini almır, ona sonsuz yaxınlaşır.

Konkret misal verək. Vəzifə həddi tapmaqdır.

Bu nümunəni həll etmək üçün dəyəri əvəz edirik x=3 funksiyaya çevrilir. Biz əldə edirik:

Yeri gəlmişkən, matrislər üzərində əsas əməliyyatlarla maraqlanırsınızsa, bu mövzuda ayrıca məqalə oxuyun.

Nümunələrdə X istənilən dəyərə meyl edə bilər. İstənilən rəqəm və ya sonsuzluq ola bilər. Budur bir nümunə zaman X sonsuzluğa meyl edir:

İntuitiv olaraq, məxrəcdəki ədəd nə qədər böyükdürsə, funksiya bir o qədər kiçik dəyər alacaq. Beləliklə, qeyri-məhdud böyümə ilə X məna 1/x azalacaq və sıfıra yaxınlaşacaq.

Gördüyünüz kimi, limiti həll etmək üçün sadəcə olaraq səy göstərdiyiniz dəyəri funksiyaya əvəz etməlisiniz. X . Ancaq bu, ən sadə haldır. Çox vaxt həddi tapmaq o qədər də aydın olmur. Məhdudiyyətlər daxilində növün qeyri-müəyyənlikləri var 0/0 və ya sonsuzluq/sonsuzluq . Belə hallarda nə etməli? Hiylələrə müraciət edin!

İçindəki qeyri-müəyyənliklər

Sonsuzluq/sonsuzluq formasının qeyri-müəyyənliyi

Bir məhdudiyyət olsun:

Funksiyada sonsuzluğu əvəz etməyə çalışsaq, həm payda, həm də məxrəcdə sonsuzluq əldə edəcəyik. Ümumiyyətlə, bu cür qeyri-müəyyənliklərin həllində müəyyən bir sənət elementinin olduğunu söyləmək lazımdır: qeyri-müəyyənliyin aradan qaldırılması üçün funksiyanı necə çevirə biləcəyinizə diqqət yetirməlisiniz. Bizim vəziyyətimizdə pay və məxrəci bölürük X ali pillədə. Nə olacaq?

Yuxarıda müzakirə edilən nümunədən bilirik ki, məxrəcdə x olan terminlər sıfıra meyilli olacaq. Sonra limitin həlli belədir:

Tip qeyri-müəyyənliklərini həll etmək üçün sonsuzluq/sonsuzluq payı və məxrəci bölün Xən yüksək dərəcədə.

Yeri gəlmişkən! Oxucularımız üçün artıq 10% endirim var istənilən növ iş

Başqa bir qeyri-müəyyənlik növü: 0/0

Həmişə olduğu kimi, funksiyaya dəyərlərin dəyişdirilməsi x=-1 verir 0 say və məxrəcdə. Bir az daha yaxından baxın və paylayıcıda kvadrat tənliyin olduğunu görəcəksiniz. Kökləri tapıb yazaq:

Gəlin azaldıb əldə edək:

Beləliklə, qeyri-müəyyənlik növü ilə qarşılaşırsınızsa 0/0 – ədədi və məxrəci amil.

Nümunələri həll etməyinizi asanlaşdırmaq üçün bəzi funksiyaların hədləri olan bir cədvəl təqdim edirik:

L'Hopital qaydası daxilində

Hər iki qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırmağın başqa bir güclü yolu. Metodun mahiyyəti nədir?

Limitdə qeyri-müəyyənlik olarsa, qeyri-müəyyənlik aradan qalxana qədər pay və məxrəcdən törəmə götürün.

L'Hopital qaydası belə görünür:

Əhəmiyyətli məqam : payın və məxrəcin törəmələrinin say və məxrəcin yerinə durduğu hədd olmalıdır.

İndi - əsl nümunə:

Tipik qeyri-müəyyənlik var 0/0 . Gəlin say və məxrəcin törəmələrini götürək:

Voila, qeyri-müəyyənlik tez və zərif şəkildə həll olunur.

Ümid edirik ki, siz bu məlumatı praktikada faydalı şəkildə tətbiq edə və “ali riyaziyyatda hədləri necə həll etmək olar” sualına cavab tapa biləcəksiniz. Bir nöqtədə ardıcıllığın və ya funksiyanın limitini hesablamağınız lazımdırsa və bu iş üçün tamamilə vaxt yoxdursa, tez və ətraflı həll üçün peşəkar tələbə xidməti ilə əlaqə saxlayın.

Həll onlayn funksiya məhdudiyyətləri. Bir nöqtədə funksiyanın və ya funksional ardıcıllığın məhdudlaşdırıcı qiymətini tapın, hesablayın son sonsuzluqda funksiyanın qiyməti. sıra sıralarının yaxınlaşmasını təyin etmək və daha çox şey onlayn xidmətimiz sayəsində edilə bilər -. Biz sizə onlayn funksiya limitlərini tez və dəqiq tapmağa imkan veririk. Siz özünüz funksiya dəyişənini və onun meyl etdiyi limiti daxil edirsiniz və bizim xidmətimiz dəqiq və sadə cavab verərək sizin üçün bütün hesablamaları həyata keçirir. Və üçün limiti onlayn tapmaq like daxil edə bilərsiniz nömrə seriyası, və hərfi ifadədə sabitləri ehtiva edən analitik funksiyalar. Bu halda, funksiyanın tapılmış həddi bu sabitləri ifadədə sabit arqumentlər kimi ehtiva edəcəkdir. Xidmətimiz hər hansı mürəkkəb tapma problemlərini həll edir onlayn məhdudiyyətlər, funksiyanı və hesablamaq lazım olan nöqtəni göstərmək kifayətdir funksiyanın limit dəyəri. Hesablanır onlayn məhdudiyyətlər, ilə əldə edilən nəticəni yoxlayarkən onların həlli üçün müxtəlif üsul və qaydalardan istifadə edə bilərsiniz limitlərin onlayn həlli tapşırığın uğurla yerinə yetirilməsinə səbəb olacaq www.site - öz səhvlərinizdən və kargüzarlıq səhvlərinizdən qaçınacaqsınız. Və ya funksiyanın limitinin müstəqil hesablanmasına əlavə səy və vaxt sərf etmədən bizə tam etibar edib nəticəmizdən işinizdə istifadə edə bilərsiniz. Sonsuzluq kimi limit dəyərləri daxil etməyə icazə veririk. Bir ədəd ardıcıllığının ümumi üzvünü daxil etmək lazımdır və www.site dəyərini hesablayacaq onlayn məhdudlaşdırın artı və ya mənfi sonsuzluğa.

Riyazi analizin əsas anlayışlarından biri də budur funksiya həddi Və ardıcıllıq həddi bir nöqtədə və sonsuzluqda düzgün həll etməyi bacarmaq vacibdir məhdudiyyətlər. Bizim xidmətimizlə bu çətin olmayacaq. Qərar verilir onlayn məhdudiyyətlər bir neçə saniyə ərzində cavab dəqiq və tam olur. Riyazi analizin öyrənilməsi ilə başlayır həddinə keçid, məhdudiyyətlər ali riyaziyyatın demək olar ki, bütün sahələrində istifadə olunur, ona görə də əlinizdə bir serverin olması faydalıdır onlayn limit həlləri, bu matematikam.ru.

Limitləri necə tapmağı öyrənmək istəyənlər üçün bu yazıda bu barədə sizə məlumat verəcəyik. Nəzəriyyəni araşdırmayacağıq, adətən müəllimlər bunu mühazirələrdə verirlər. Beləliklə, "darıxdırıcı nəzəriyyə" dəftərlərinizə qeyd edilməlidir. Əgər belə deyilsə, o zaman kitabxanadan götürülmüş dərslikləri oxuya bilərsiniz. Təhsil müəssisəsi və ya digər İnternet resurslarında.

Deməli, hədd anlayışı ali riyaziyyatın öyrənilməsində, xüsusən də inteqral hesabla rastlaşdığınız zaman və hədd və inteqral arasındakı əlaqəni başa düşdüyünüz zaman kifayət qədər vacibdir. Mövcud materialda nəzərdən keçirəcəyik sadə nümunələr, habelə onların həlli yolları.

Həll nümunələri

Misal 1
Hesablayın a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Həll
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ İnsanlar tez-tez bu məhdudiyyətləri həll etmək üçün bizə müraciət edirlər. Onları ayrıca bir nümunə kimi vurğulamaq və izah etmək qərarına gəldik ki, bu məhdudiyyətlər, bir qayda olaraq, sadəcə xatırlanmalıdır. Probleminizi həll edə bilmirsinizsə, bizə göndərin. Biz ətraflı həll təqdim edəcəyik. Siz hesablamanın gedişatına baxa və məlumat əldə edə biləcəksiniz. Bu, müəlliminizdən vaxtında qiymət almağınıza kömək edəcək!
Cavab verin
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1) )(x) = 0 $$

Formanın qeyri-müəyyənliyi ilə nə etməli: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Misal 3
$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ həll edin
Həll
Həmişə olduğu kimi, biz $ x $ dəyərini limit işarəsi altındakı ifadəyə əvəz etməklə başlayırıq. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ İndi nə var? Sonda nə olmalıdır? Bu qeyri-müəyyənlik olduğundan, bu hələ cavab deyil və hesablamağa davam edirik. Saylarda çoxhədli olduğumuz üçün məktəbdən hər kəsə tanış olan $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ düsturundan istifadə edərək onu faktorlara ayıracağıq. Sən xatırlayırsan? Əla! İndi davam edin və onu mahnı ilə birlikdə istifadə edin :) Tapırıq ki, $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Yuxarıdakı çevrilməni nəzərə alaraq həll etməyə davam edirik: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Cavab verin
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Gəlin son iki misaldakı həddi sonsuzluğa çatdıraq və qeyri-müəyyənliyi nəzərdən keçirək: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Misal 5
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ hesablayın
Həll
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Nə etməli? Mən nə etməliyəm? Panik etməyin, çünki qeyri-mümkün mümkündür. Həm payda, həm də məxrəcdə olan x-i çıxarıb, sonra azaltmaq lazımdır. Bundan sonra limiti hesablamağa çalışın. Gəlin cəhd edək... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Nümunə 2-dəki tərifdən istifadə edərək və sonsuzluğu x-i əvəz edərək, əldə edirik: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Cavab verin
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Limitlərin hesablanması alqoritmi

Beləliklə, nümunələri qısaca ümumiləşdirək və limitlərin həlli üçün alqoritm yaradaq:

Limit işarəsindən sonrakı ifadədə x nöqtəsini əvəz edin. Müəyyən bir ədəd və ya sonsuzluq əldə edilirsə, o zaman limit tamamilə həll olunur. Əks halda, qeyri-müəyyənliyimiz var: “sıfıra bölünən sıfır” və ya “sonsuzluğa bölünən sonsuzluq” və təlimatların növbəti addımlarına keçin.
“Sıfırın sıfıra bölünməsi” qeyri-müəyyənliyini aradan qaldırmaq üçün siz pay və məxrəci faktorlara ayırmalısınız. Bənzərləri azaldın. Limit işarəsi altındakı ifadədə x nöqtəsini əvəz edin.
Əgər qeyri-müəyyənlik “sonsuzluğa bölünmüş sonsuzluqdur”sa, onda biz həm payı, həm də x məxrəcini ən böyük dərəcədə çıxarırıq. X-ləri qısaldırıq. Limitin altındakı x dəyərlərini qalan ifadəyə əvəz edirik.

Bu yazıda siz Riyaziyyat kursunda tez-tez istifadə olunan limitlərin həllinin əsaslarını öyrəndiniz. Əlbəttə ki, bunlar imtahan verənlərin təklif etdiyi bütün növ problemlər deyil, yalnız ən sadə həddlərdir. Gələcək məqalələrdə digər tapşırıq növləri haqqında danışacağıq, lakin irəli getmək üçün əvvəlcə bu dərsi öyrənməlisiniz. Gəlin köklər, dərəcələr varsa nə edəcəyimizi müzakirə edək, sonsuz kiçik ekvivalent funksiyaları, diqqətəlayiq hədləri, L'Hopital qaydasını öyrənək.

Əgər limitləri özünüz müəyyən edə bilmirsinizsə, panik etməyin. Biz həmişə kömək etməkdən məmnunuq!

Limit nədir? Limit anlayışı

Hər kəs, istisnasız olaraq, ruhunun dərinliklərində bir sərhədin nə olduğunu anlayır, lakin “funksiya həddi” və ya “ardıcıllıq həddi” eşidən kimi kiçik bir çaşqınlıq yaranır.

Qorxma, sadəcə cahillikdir! Aşağıdakıları 3 dəqiqə oxuduqdan sonra daha savadlı olacaqsınız.

Bəzi məhdudlaşdırıcı mövqelərdən, mənalardan, situasiyalardan danışarkən və ümumiyyətlə, həyatda limit termininə müraciət etdikdə onların nə demək istədiyini birdəfəlik başa düşmək lazımdır.

Böyüklər bunu intuitiv şəkildə başa düşürlər və biz bunu bir neçə nümunədən istifadə edərək təhlil edəcəyik.

Bir misal

“Çaif” qrupunun mahnısından sətirləri xatırlayaq: “...həddinə çatdırma, həddinə çatdırma...”.

Misal iki

Şübhəsiz ki, bir cismin kosmosda son dərəcə sabit mövqeyi haqqında ifadəni eşitmisiniz.

Əlinizdə olan əşyalarla belə bir vəziyyəti özünüz asanlıqla simulyasiya edə bilərsiniz.

Məsələn, plastik şüşəni bir az əyərək buraxın. Dibinə qayıdacaq.

Ancaq həddindən artıq meylli mövqelər var ki, onlardan kənarda sadəcə düşəcək.

Yenə də bu vəziyyətdə məhdudlaşdırıcı mövqe konkret bir şeydir. Bunu başa düşmək vacibdir.

Limit termininin istifadəsinə dair bir çox nümunə var: insan imkanlarının həddi, materialın möhkəmlik həddi və s.

Yaxşı, hər gün qanunsuzluqla qarşılaşırıq)))

Amma indi bizi riyaziyyatda ardıcıllığın həddi və funksiyanın həddi maraqlandırır.

Riyaziyyatda ədəd ardıcıllığının həddi

Limit (ədədi ardıcıllığın) riyazi analizin əsas anlayışlarından biridir. Müasir elmi müəyyən edən yüzlərlə, yüzlərlə teoremlər həddə keçid anlayışına əsaslanır.

Aydınlıq üçün konkret misal.

Deyək ki, birindən başlayaraq hər biri əvvəlkinin yarısı qədər olan sonsuz ədəd ardıcıllığı var: 1, ½, ¼, ...

Beləliklə, ədədi ardıcıllığın həddi (əgər varsa) müəyyən bir dəyərdir.

Yarıya bölünmə prosesində ardıcıllıqdakı hər bir sonrakı dəyər qeyri-müəyyən olaraq müəyyən bir rəqəmə yaxınlaşır.

Sıfır olacağını təxmin etmək asandır.

Vacibdir!

Limitin (limit dəyərinin) mövcudluğundan danışarkən, bu o demək deyil ki, ardıcıllığın bəzi üzvləri bu həddi qiymətə bərabər olacaq. O, ancaq bunun üçün səy göstərə bilər.

Bizim nümunəmizdən bu daha aydın görünür. Neçə dəfə ikiyə bölsək də, heç vaxt sıfır almayacağıq. Əvvəlkidən cəmi iki dəfə kiçik rəqəm olacaq, lakin sıfır olmayacaq!

Riyaziyyatda funksiyanın həddi

Riyazi analizdə ən vacib şey funksiyanın həddi anlayışıdır.

Nəzəriyyəyə girmədən aşağıdakıları deyək: funksiyanın məhdudlaşdırıcı dəyəri həmişə funksiyanın özünün dəyər diapazonuna aid olmaya bilər.

Arqument dəyişdikdə, funksiya müəyyən dəyər üçün səy göstərəcək, lakin heç vaxt onu qəbul etməyə bilər.

Məsələn, hiperbola 1/x hər hansı bir nöqtədə sıfır dəyəri yoxdur, lakin meyl etdiyi kimi məhdudiyyətsiz sıfıra meyl edir x sonsuzluğa.

Limit kalkulyatoru

Məqsədimiz sizə nəzəri biliklər vermək deyil, bunun üçün çoxlu ağıllı, qalın kitablar var.

Ancaq istifadə etməyi məsləhət görürük onlayn kalkulyator həllinizi düzgün cavabla müqayisə edə biləcəyiniz məhdudiyyətlər.

Bundan əlavə, kalkulyator limitlərin addım-addım həllini təmin edir, çox vaxt bir nöqtədə və ya müəyyən bir seqmentdə fasiləsiz funksiyanın pay və məxrəcinin diferensiallaşdırılmasından istifadə edərək L'Hopital qaydasını tətbiq edir.