Mexanik sistemin tarazlığı üçün zəruri şərtlər. Statika

Mexanik tarazlıq

Mexanik tarazlıq- onun hər bir hissəciyinə təsir edən bütün qüvvələrin cəminin sıfıra bərabər olduğu və istənilən ixtiyari fırlanma oxuna nisbətən cismə tətbiq olunan bütün qüvvələrin momentlərinin cəminin də sıfır olduğu mexaniki sistemin vəziyyəti.

Tarazlıq vəziyyətində bədən seçilmiş istinad sistemində istirahətdədir (sürət vektoru sıfırdır), ya düz xətt üzrə bərabər şəkildə hərəkət edir, ya da tangensial sürətlənmədən fırlanır.

Sistem enerjisi vasitəsilə tərif

Enerji və qüvvələr əsas əlaqələrlə əlaqəli olduğundan, bu tərif birinciyə bərabərdir. Bununla belə, enerji baxımından tərif tarazlıq vəziyyətinin sabitliyi haqqında məlumat vermək üçün genişləndirilə bilər.

Balans növləri

Bir sərbəstlik dərəcəsi olan sistem üçün bir nümunə verək. Bu halda, tarazlıq vəziyyəti üçün kifayət qədər şərt tədqiq olunan nöqtədə yerli ekstremumun olması olacaqdır. Məlum olduğu kimi, diferensiallanan funksiyanın lokal ekstremumunun şərti onun birinci törəməsinin sıfıra bərabər olmasıdır. Bu nöqtənin nə vaxt minimum və ya maksimum olduğunu müəyyən etmək üçün onun ikinci törəməsini təhlil etmək lazımdır. Tarazlıq vəziyyətinin sabitliyi aşağıdakı variantlarla xarakterizə olunur:

• qeyri-sabit tarazlıq;
• sabit balans;
• laqeyd tarazlıq.

Qeyri-sabit tarazlıq

İkinci törəmə mənfi olduqda, sistemin potensial enerjisi yerli maksimum vəziyyətdədir. Bu tarazlıq mövqeyi deməkdir qeyri-sabit. Sistem kiçik bir məsafədə yerdəyişmə olarsa, sistemə təsir edən qüvvələr hesabına hərəkətini davam etdirəcəkdir.

Sabit balans

İkinci törəmə > 0: yerli minimumda potensial enerji, tarazlıq vəziyyəti davamlı(bax: tarazlığın sabitliyi haqqında Laqranj teoreminə). Sistem kiçik bir məsafədə yerdəyişsə, tarazlıq vəziyyətinə qayıdacaq. Bədənin ağırlıq mərkəzi bütün mümkün qonşu mövqelərlə müqayisədə ən aşağı mövqe tutursa, tarazlıq sabitdir.

Biganə tarazlıq

İkinci törəmə = 0: bu bölgədə enerji dəyişmir və tarazlıq vəziyyətidir biganə. Sistem kiçik bir məsafəyə köçürülürsə, o, yeni vəziyyətdə qalacaq.

Çox sayda sərbəstlik dərəcəsi olan sistemlərdə sabitlik

Bir sistem bir neçə sərbəstlik dərəcəsinə malikdirsə, o zaman müəyyən istiqamətlərdə sürüşmələrdə tarazlığın sabit, digərlərində isə qeyri-sabit olduğu ortaya çıxa bilər. Belə bir vəziyyətin ən sadə nümunəsi "yəhər" və ya "keçid"dir (bu yerə bir şəkil qoymaq yaxşı olardı).

Bir neçə sərbəstlik dərəcəsi olan sistemin tarazlığı yalnız sabit olduqda sabit olacaqdır bütün istiqamətlərdə.

Wikimedia Fondu. 2010.

Digər lüğətlərdə "Mexanik tarazlığın" nə olduğuna baxın:

mexaniki tarazlıq- mechaninė pusiausvyra statusas T sritis fizika attikmenys: engl. mexaniki tarazlıq vok. mexaniklər Gleichgewicht, n rus. mexaniki tarazlıq, n pranc. équilibre mécanique, m … Fizikos terminų žodynas

- ... Vikipediya

Faza keçidləri Maddə I ... Vikipediya

Təcrid şəraitində kifayət qədər böyük bir müddətdən sonra özbaşına gəldiyi termodinamik sistemin vəziyyəti. mühit, bundan sonra sistem dövlət parametrləri zamanla dəyişmir. İzolə... ... Böyük Sovet Ensiklopediyası

TARAZILIQ- (1) ona təsir edən R. qüvvələrinin nəticəsi olan cismin mexaniki hərəkətsizliyi vəziyyəti (bədənə təsir edən bütün qüvvələrin cəmi sıfıra bərabər olduqda, yəni sürətlənmə vermir). . R. fərqlənir: a) sabit, ... ... kənara çıxanda. Böyük Politexnik Ensiklopediyası

Mexanik vəziyyət bütün nöqtələrinin verilmiş istinad sisteminə görə hərəkətsiz olduğu sistem. Əgər bu istinad sistemi inertialdırsa, o zaman R.M. adlanır. mütləq, əks halda nisbi. Bədənin davranışından asılı olaraq... Böyük Ensiklopedik Politexnik Lüğət

Termodinamik tarazlıq, bütün kimyəvi, diffuziya, nüvə və digər proseslər üçün hər bir nöqtədə irəli reaksiyanın sürətinin tərs reaksiyanın sürətinə bərabər olduğu təcrid olunmuş termodinamik sistemin vəziyyətidir. Termodinamik... ... Vikipediya

tarazlıq- seçimdən asılı olmayaraq dəyişənlər sistemin tam təsviri ilə sabit qaldıqda maddənin ən çox ehtimal olunan makrostatı. Tarazlıq fərqləndirilir: mexaniki, termodinamik, kimyəvi, faza və s.: Baxın... ... ensiklopedik lüğət metallurgiyada

Mündəricat 1 Klassik tərif 2 Sistemin enerjisi vasitəsilə tərif 3 Tarazlığın növləri ... Wikipedia

Faza keçidləri Məqalə Termodinamikalar seriyasının bir hissəsidir. Faza anlayışı Faza tarazlığı Kvant faza keçidi Termodinamikanın bölmələri Termodinamikanın prinsipləri Vəziyyət tənliyi ... Wikipedia

Mexanik sistemin tarazlığı- bu, mexaniki sistemin bütün nöqtələrinin nəzərdən keçirilən istinad sisteminə münasibətdə istirahətdə olduğu bir vəziyyətdir. Əgər istinad sistemi inertialdırsa, tarazlıq deyilir mütləq, qeyri-inertial olduqda - qohum.

Mütləq tarazlıq şərtlərini tapmaq üçün möhkəm onu əqli cəhətdən hər biri maddi nöqtə ilə təmsil oluna bilən çoxlu sayda kifayət qədər kiçik elementlərə parçalamaq lazımdır. Bütün bu elementlər bir-biri ilə qarşılıqlı təsir göstərir - bu qarşılıqlı qüvvələr deyilir daxili. Bundan əlavə, xarici qüvvələr bədənin bir sıra nöqtələrinə təsir göstərə bilər.

Nyutonun ikinci qanununa görə, bir nöqtənin sürətinin sıfır olması (və istirahət nöqtəsinin sürətinin sıfır olması) üçün həmin nöqtəyə təsir edən qüvvələrin həndəsi cəmi sıfır olmalıdır. Əgər cisim istirahətdədirsə, onun bütün nöqtələri (elementləri) də istirahətdədir. Beləliklə, bədənin hər hansı bir nöqtəsi üçün yaza bilərik:

burada təsir edən bütün xarici və daxili qüvvələrin həndəsi cəmidir i bədənin inci elementi.

Tənlik o deməkdir ki, bir cismin tarazlıqda olması üçün bu cismin hər hansı elementinə təsir edən bütün qüvvələrin həndəsi cəminin sıfıra bərabər olması zəruri və kifayətdir.

Buradan cismin (cisimlər sisteminin) tarazlığının birinci şərtini asanlıqla əldə etmək olar. Bunu etmək üçün bədənin bütün elementləri üçün tənliyi yekunlaşdırmaq kifayətdir:

.

Nyutonun üçüncü qanununa görə ikinci cəm sıfıra bərabərdir: sistemin bütün daxili qüvvələrinin vektor cəmi sıfıra bərabərdir, çünki istənilən daxili qüvvə böyüklüyünə bərabər və istiqaməti əks olan qüvvəyə uyğundur.

Beləliklə,

.

Sərt cismin tarazlığının birinci şərti(bədən sistemləri) cismə tətbiq olunan bütün xarici qüvvələrin həndəsi cəminin sıfıra bərabərliyidir.

Bu şərt zəruridir, lakin kifayət deyil. Həndəsi cəmi də sıfır olan bir cüt qüvvələrin fırlanma hərəkətini xatırlamaqla bunu yoxlamaq asandır.

Sərt cismin tarazlığının ikinci şərti hər hansı oxa nisbətən cismə təsir edən bütün xarici qüvvələrin momentlərinin cəminin sıfıra bərabərliyidir.

Beləliklə, ixtiyari sayda xarici qüvvələrin olması vəziyyətində sərt bir cismin tarazlıq şərtləri belə görünür:

.

nəzərə alacam maddi nöqtə, onun hərəkəti elə məhdudlaşdırılır ki, yalnız bir sərbəstlik dərəcəsinə malikdir.

Bu o deməkdir ki, onun mövqeyi x koordinatı kimi bir kəmiyyətdən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər. Misal olaraq, şaquli müstəvidə əyilmiş sabit məftil boyunca sürtünmədən sürüşən bir top ola bilər (şəkil 26.1a).

Başqa bir nümunə, üfüqi bir bələdçiyə sürtünmədən sürüşərək yayın ucuna bərkidilmiş bir topdur (Şəkil 26.2, a).

Topa konservativ qüvvə təsir edir: birinci halda bu, cazibə qüvvəsi, ikinci halda deformasiyaya uğramış yayın elastik qüvvəsidir. Potensial enerji qrafikləri Şəkildə göstərilmişdir. 26.1, b və 26.2, b.

Toplar məftil boyunca sürtünmədən hərəkət etdiyindən, telin topa təsir etdiyi qüvvə hər iki halda topun sürətinə perpendikulyar olur və buna görə də top üzərində heç bir iş görmür. Beləliklə, enerjiyə qənaət baş verir:

(26.1)-dən belə çıxır ki, kinetik enerji yalnız əyləncəli enerjinin azalması hesabına arta bilər. Buna görə də, top elə bir vəziyyətdədir ki, sürəti sıfırdır və potensial enerji minimum dəyərə malikdirsə, o zaman xarici təsir olmadan hərəkət edə bilməyəcək, yəni tarazlıqda olacaqdır.

U-nun minimumu qrafiklərdə bərabər dəyərlərə uyğundur (Şəkil 26.2-də deformasiya edilməmiş heyətin uzunluğu var) Minimum potensial enerjinin şərti formaya malikdir

t (22.4)-ə uyğun olaraq (26.2) şərti ona bərabərdir ki

(U yalnız bir dəyişənin funksiyası olduğu halda, ). Beləliklə, minimum potensial enerjiyə uyğun olan mövqe cismə təsir edən qüvvənin sıfır olması xüsusiyyətinə malikdir.

Şəkildə göstərilən vəziyyətdə. 26.1, şərtlər (26.2) və (26.3) bərabər x üçün də təmin edilir (yəni, maksimum U üçün). Bu dəyərlə müəyyən edilən topun mövqeyi də tarazlıq olacaqdır. Bununla belə, bu tarazlıq, tarazlıqdan fərqli olaraq, qeyri-sabit olacaq: topu bu mövqedən bir qədər uzaqlaşdırmaq kifayətdir və topu mövqedən uzaqlaşdıracaq bir qüvvə yaranacaq. Topun sabit tarazlıq mövqeyindən (bunun üçün) yerdəyişməsi zamanı yaranan qüvvələr elə istiqamətlənir ki, onlar topu tarazlıq vəziyyətinə qaytarmağa meyllidirlər.

Potensial enerjini ifadə edən t funksiyasının növünü bilməklə hissəciyin hərəkətinin təbiəti haqqında bir sıra nəticələr çıxara bilərik. Şəkildə göstərilən qrafikdən istifadə edərək bunu izah edək. 26.1, b. Əgər ümumi enerji şəkildə göstərilən dəyərə malikdirsə, onda hissəcik ya arasından, ya da sonsuzluğa qədər diapazonda hərəkət edə bilər. Zərrəcik bölgəyə nüfuz edə bilməz, çünki potensial enerji ümumi enerjidən çox ola bilməz (əgər bu baş verərsə, kinetik enerji mənfi olacaq). Beləliklə, bölgə müəyyən miqdarda ümumi enerji verildikdə hissəciyin keçə bilməyəcəyi potensial maneəni təmsil edir. Ərazi potensial quyu adlanır.

Əgər zərrəcik öz hərəkəti zamanı sonsuzluğa qədər uzaqlaşa bilmirsə, hərəkət sonlu adlanır. Əgər hissəcik istədiyi qədər gedə bilirsə, hərəkət sonsuz adlanır. Potensial quyudakı hissəcik sonlu hərəkətə məruz qalır. Mənfi olan hissəciyin hərəkəti tam enerji cəlbedici qüvvələrin mərkəzi sahəsində (potensial enerjinin sonsuzluqda yox olduğu güman edilir).

Məlumdur ki, ideal əlaqələri olan sistemin tarazlığı üçün zəruri və kifayətdir ki, və ya. (7)

Ümumiləşdirilmiş koordinatların dəyişmələri bir-birindən asılı olmadığından və ümumiyyətlə, sıfıra bərabər olmadığından,
,
,…,
.

Holonomik məhdudlaşdırıcı, stasionar, ideal məhdudiyyətlərə malik sistemin tarazlığı üçün seçilmiş ümumiləşdirilmiş koordinatlara uyğun gələn bütün ümumiləşdirilmiş qüvvələrin sıfıra bərabər olması zəruri və kifayətdir.

Potensial qüvvələr halı:

Sistem potensial qüvvə sahəsindədirsə, o zaman

,
,…,

,
,…,

Yəni sistemin tarazlıq mövqeləri yalnız qüvvənin işlədiyi ümumiləşdirilmiş koordinatların qiymətləri üçün ola bilər. U və potensial enerji P ekstremal dəyərlərə sahib olmaq ( maks və ya min).

Tarazlıq sabitliyi anlayışı.

Sistemin tarazlıqda ola biləcəyi mövqeləri müəyyən edərək, bu mövqelərdən hansının reallaşa, hansının həyata keçirilə bilməyəcəyini müəyyən etmək, yəni hansı mövqenin sabit, hansının qeyri-sabit olduğunu müəyyən etmək olar.

Ümumiyyətlə, lazımdır tarazlıq sabitliyinin əlaməti Lyapunova görə aşağıdakı formada tərtib edilə bilər:

Ümumiləşdirilmiş koordinatların və onların sürətlərinin kiçik modul dəyərlərini təmin etməklə sistemi tarazlıq vəziyyətindən çıxaraq. Əgər sistemin sonrakı nəzərdən keçirilməsi zamanı ümumiləşdirilmiş koordinatlar və onların sürətləri böyüklük baxımından kiçik qalsa, yəni sistem tarazlıq vəziyyətindən çox uzaqlaşmırsa, belə bir tarazlıq vəziyyəti sabitdir.

Tarazlıq sabitliyi üçün kifayət qədər şərt sistemi müəyyən edilir Laqranj-Diriklet teoremi :

İdeal əlaqələri olan mexaniki sistemin tarazlıq vəziyyətində potensial enerji minimum qiymətə malikdirsə, belə bir tarazlıq vəziyyəti sabitdir.

,
- davamlı.

§ 107 və (35) və ya (38) tənliklərini (16) formada təqdim edək:

Göstərək ki, § 74-də göstərilən qanunların nəticəsi olan bu tənliklərdən statikanın bütün ilkin nəticələri alınır.

1. Əgər mexaniki sistem sükunətdədirsə, onda onun bütün nöqtələrinin sürətləri sıfıra bərabərdir və deməli, burada O istənilən nöqtədir. Sonra (40) tənlikləri verir:

Beləliklə, şərtlər (40) istənilən mexaniki sistemin tarazlığı üçün zəruri şərtlərdir. Bu nəticə, xüsusilə, § 2-də ifadə olunan bərkimə prinsipini ehtiva edir.

Ancaq hər hansı bir sistem üçün şərtlər (40) açıq şəkildə kifayət qədər tarazlıq şərtləri deyil. Məsələn, Şəkildə göstərildiyi təqdirdə. 274 nöqtə sərbəstdir, sonra qüvvələrin təsiri altında bir-birinə doğru hərəkət edə bilər, baxmayaraq ki, bu qüvvələr üçün şərtlər (40) təmin ediləcəkdir.

Mexanik sistemin tarazlığı üçün zəruri və kifayət qədər şərtlər § 139 və 144-də təqdim olunacaq.

2. Sübut edək ki, (40) şərtləri mütləq sərt cismə təsir edən qüvvələr üçün təkcə zəruri deyil, həm də kifayət qədər tarazlıq şərtləridir. Sakit vəziyyətdə olan sərbəst sərt cismə (40) şərtləri ödəyən qüvvələr sistemi təsir göstərməyə başlasın, burada O hər hansı bir nöqtədir, yəni, xüsusən, C nöqtəsidir. Onda (40) tənliklər verir və cisim əvvəlcə istirahətdə idi, sonra C nöqtəsində hərəkətsizdir və cisim yalnız müəyyən ani ox ətrafında c bucaq sürəti ilə fırlana bilir (bax § 60). Daha sonra (33) düsturuna görə bədən . Lakin vektorun oxa proyeksiyası var və o vaxtdan və haradan belə çıxır ki, (40) şərtlər yerinə yetirildikdə, bədən istirahətdə qalır.

3. Əvvəlki nəticələrdən, xüsusən də § 2-də tərtib edilmiş ilkin müddəalar 1 və 2-dən sonra gəlir, çünki Şəkildə təsvir olunan iki qüvvənin olduğu açıq-aydın görünür. 2, şərtləri (40) ödəyir və balanslıdır və əgər bədənə təsir edən qüvvələrə, yəni şərtləri (40) təmin edən balanslaşdırılmış qüvvələr sistemini əlavə etsək (və ya onlardan çıxsaq), onda nə bu şərtlər, nə də tənliklər ( 40), bədənin hərəkətini təyin etmək dəyişməyəcək.