Proqramçılar üçün riyaziyyat: ehtimal nəzəriyyəsi. Ehtimal nəzəriyyəsi

üçün tapşırıqlar da olacaq müstəqil qərar, cavablarını görə bilərsiniz.

Hadisələrin növləri və onların baş vermə ehtimalı haqqında ehtimal nəzəriyyəsi

Ehtimal nəzəriyyəsi hadisələrin növlərini və onların baş vermə ehtimallarını öyrənir. Ehtimal nəzəriyyəsinin yaranması 17-ci əsrin ortalarına təsadüf edir, o zaman riyaziyyatçılar qumarbazların ortaya qoyduğu problemlərlə maraqlanır və uduşun görünməsi kimi hadisələri öyrənməyə başlayırlar. Bu problemlərin həlli prosesində ehtimal və kimi anlayışlar gözlənilən dəyər. O dövrün alimləri - Hüygens (1629-1695), Paskal (1623-1662), Fermat (1601-1665) və Bernulli (1654-1705) kütləvi təsadüfi hadisələr əsasında aydın nümunələrin yarana biləcəyinə əmin idilər. Eyni zamanda, tədqiqat üçün elementar hesab və kombinator əməliyyatları kifayət edirdi.

Beləliklə, ehtimal nəzəriyyəsi təsadüfi hadisələrin və təsadüfi dəyişənlərin tabe olduğu müxtəlif nümunələri izah edir və araşdırır. Hadisə müşahidə və ya təcrübə nəticəsində ifadə edilə bilən hər hansı bir faktdır. Müşahidə və ya təcrübə hadisənin baş verə biləcəyi müəyyən şərtlərin həyata keçirilməsidir.

Bir hadisənin baş vermə ehtimalını müəyyən etmək üçün nə bilmək lazımdır

İnsanların müşahidə etdikləri və ya özləri yaratdıqları bütün hadisələr aşağıdakılara bölünür:

etibarlı hadisələr;
mümkün olmayan hadisələr;
təsadüfi hadisələr.

Etibarlı hadisələr həmişə müəyyən şərait yarandıqda baş verir. Məsələn, işləyiriksə, buna görə mükafat alırıq, imtahanları verib müsabiqədən keçsək, tələbələrin sayına daxil olacağımıza etibarlı şəkildə arxalana bilərik. Etibarlı hadisələri fizika və kimyada müşahidə etmək olar. İqtisadiyyatda etibarlı hadisələr mövcud ictimai quruluş və qanunvericiliklə əlaqələndirilir. Məsələn, biz banka pul qoymuşuqsa və müəyyən müddət ərzində onu almaq istəyimizi bildirmişiksə, o zaman pulu alacağıq. Bu, etibarlı bir hadisə kimi qəbul edilə bilər.

Mümkün olmayan hadisələr müəyyən şərait yaradılıbsa, mütləq baş vermir. Məsələn, temperatur artı 15 dərəcə Selsi olduqda su donmur, elektrik enerjisi olmadan istehsal aparılmır.

Təsadüfi hadisələr Müəyyən şərtlər toplusu həyata keçirildikdə, onlar baş verə bilər və ya olmaya bilər. Məsələn, bir dəfə sikkə atsaq, gerb düşə bilər, düşməyə də bilər, lotereya bileti udula da bilər, olmaya da, istehsal olunan məhsul qüsurlu ola bilər, olmaya da bilər. Qüsurlu məhsulun görünüşü təsadüfi bir hadisədir, uyğun məhsulların istehsalından daha nadirdir.

Təsadüfi hadisələrin gözlənilən tezliyi ehtimal anlayışı ilə sıx bağlıdır. Təsadüfi hadisələrin baş verməsi və baş verməməsi qanunauyğunluqları ehtimal nəzəriyyəsi ilə öyrənilir.

Zəruri şərtlər toplusu yalnız bir dəfə həyata keçirilirsə, təsadüfi hadisə haqqında kifayət qədər məlumat alırıq, çünki o, baş verə bilər və ya olmaya bilər. Şərtlər toplusu dəfələrlə həyata keçirilirsə, məlum nümunələr görünür. Məsələn, mağazada növbəti müştərinin hansı qəhvə maşınının tələb olunacağını bilmək heç vaxt mümkün deyil, lakin uzun müddətdir ən çox tələb olunan qəhvə maşınlarının markaları məlumdursa, bu məlumat əsasında tələbatı ödəmək üçün istehsalı və ya tədarükü təşkil etmək.

Kütləvi təsadüfi hadisələri idarə edən qanunauyğunluqları bilmək bizə bu hadisələrin nə vaxt baş verəcəyini proqnozlaşdırmağa imkan verir. Məsələn, əvvəllər qeyd edildiyi kimi, qəpik atmağın nəticəsini əvvəlcədən proqnozlaşdırmaq mümkün deyil, lakin əgər sikkə dəfələrlə atılırsa, o zaman gerbin düşəcəyini proqnozlaşdırmaq olar. Səhv kiçik ola bilər.

Ehtimal nəzəriyyəsi üsullarından təbiətşünaslığın müxtəlif sahələrində, nəzəri fizikada, geodeziyada, astronomiyada, avtomatlaşdırılmış idarəetmə nəzəriyyəsində, xətaların müşahidəsi nəzəriyyəsində və bir çox başqa nəzəri və praktiki elmlərdə geniş istifadə olunur. Ehtimal nəzəriyyəsi istehsalın planlaşdırılması və təşkili, məhsulun keyfiyyətinin təhlili, texnoloji proseslərin təhlili, sığorta, əhali statistikası, biologiya, ballistika və digər sahələrdə geniş istifadə olunur.

Təsadüfi hadisələr adətən latın əlifbasının böyük hərfləri ilə işarələnir A, B, C və s.

Təsadüfi hadisələr ola bilər:

uyğunsuz;
birgə.

A, B, C... hadisələri adlanır uyğunsuz , əgər bir sınaq nəticəsində bu hadisələrdən biri baş verə bilərsə, lakin iki və ya daha çox hadisə baş verə bilməz.

Bir təsadüfi hadisənin baş verməsi digər hadisənin baş verməsini istisna etmirsə, belə hadisələr adlanır birgə . Məsələn, konveyer lentindən başqa bir hissə çıxarılırsa və A hadisəsi “hissə standarta cavab verir” və B hadisəsi “hissə standarta cavab vermir” deməkdirsə, A və B uyğun olmayan hadisələrdir. Əgər C hadisəsi “II dərəcənin bir hissəsi alındı” deməkdirsə, bu hadisə A hadisəsi ilə birləşir, lakin B hadisəsi ilə uyğun gəlmir.

Əgər hər bir müşahidədə (sınaqda) bir-birinə uyğun gəlməyən təsadüfi hadisələrdən yalnız biri baş verərsə, onda bu hadisələr hadisələrin tam dəsti (sistem). .

Etibarlı hadisə hadisələrin tam toplusundan ən azı bir hadisənin baş verməsidir.

Əgər hadisələrin tam toplusunu təşkil edən hadisələr qoşa uyğunsuz , onda müşahidə nəticəsində bu hadisələrdən yalnız biri baş verə bilər. Məsələn, tələbə iki məsələni həll etməlidir sınaq işi. Aşağıdakı hadisələrdən biri və yalnız biri mütləq baş verəcək:

birinci problem həll olunacaq və ikinci problem həll edilməyəcək;
ikinci problem həll olunacaq və birinci problem həll edilməyəcək;
hər iki problem həll olunacaq;
problemlərin heç biri həll olunmayacaq.

Bu hadisələr əmələ gəlir uyğun olmayan hadisələrin tam dəsti .

Əgər hadisələrin tam toplusu yalnız iki uyğunsuz hadisədən ibarətdirsə, o zaman onlar çağırılır qarşılıqlı əks və ya alternativ hadisələr.

Hadisənin əksinə olan hadisə ilə işarələnir. Məsələn, bir sikkə atma zamanı nominal () və ya gerb () görünə bilər.

Hadisələr adlanır eyni dərəcədə mümkündür , əgər onların heç birinin obyektiv üstünlükləri yoxdursa. Bu cür hadisələr də hadisələrin tam toplusunu təşkil edir. Bu o deməkdir ki, müşahidə və ya sınaq nəticəsində eyni dərəcədə mümkün hadisələrdən heç olmasa biri mütləq baş verməlidir.

Məsələn, sikkənin bir dəfə atılması zamanı nominalın və emblemin itirilməsi, mətnin çap olunmuş bir səhifəsində 0, 1, 2, 3 və 3-dən çox xətanın olması ilə hadisələrin tam qrupu formalaşır.

Klassik və statistik ehtimal. Ehtimal düsturları: klassik və statistik

Ehtimalın klassik tərifi. Fürsət və ya əlverişli hal, müəyyən bir vəziyyətin həyata keçirilməsi zamanı bir hadisənin baş verdiyi bir haldır A baş verir. Ehtimalın klassik tərifi əlverişli halların və ya imkanların sayını birbaşa hesablamağı nəzərdə tutur.

Hadisənin baş vermə ehtimalı A bu hadisə üçün əlverişli imkanların sayının eyni dərəcədə mümkün olan bütün uyğun olmayan hadisələrin sayına nisbəti adlandırın N tək sınaq və ya müşahidə nəticəsində baş verə bilər. Ehtimal düsturu hadisələr A:

Söhbət hadisənin hansı ehtimalından getdiyimiz tam aydındırsa, onda ehtimal kiçik hərflə işarələnir. səh, hadisə təyinatını qeyd etmədən.

Klassik tərifə görə ehtimalı hesablamaq üçün eyni dərəcədə mümkün olan bütün uyğunsuz hadisələrin sayını tapmaq və onlardan neçəsinin hadisənin tərifi üçün əlverişli olduğunu müəyyən etmək lazımdır. A.

Misal 1. Zirzəmi atarkən 5 rəqəminin alınma ehtimalını tapın.

Həll. Məlumdur ki, altı üzün hamısının zirvəyə çıxmaq şansı eynidir. 5 rəqəmi yalnız bir tərəfdə qeyd olunur. Bütün eyni dərəcədə mümkün uyğun olmayan hadisələrin sayı 6-dır, onlardan yalnız bir əlverişli ehtimal 5-dir ( M= 1). Bu o deməkdir ki, 5 rəqəminin yuvarlanmasının istənilən ehtimalı

Misal 2. Bir qutuda eyni ölçülü 3 qırmızı və 12 ağ top var. Bir top baxmadan götürüldü. Qırmızı topun alınma ehtimalını tapın.

Həll. Tələb olunan ehtimal

Ehtimalları özünüz tapın və sonra həll yoluna baxın

Misal 3. Zarlar atılır. Hadisə B- cüt ədədin yuvarlanması. Bu hadisənin baş vermə ehtimalını hesablayın.

Misal 5. Bir qabda 5 ağ və 7 qara top var. 1 top təsadüfi çəkilir. Hadisə A- ağ top çəkilir. Hadisə B- qara top çəkilir. Bu hadisələrin ehtimallarını hesablayın.

Klassik ehtimala əvvəlki ehtimal da deyilir, çünki sınaq və ya müşahidə başlamazdan əvvəl hesablanır. Klassik ehtimalın apriori təbiətindən onun əsas çatışmazlığı belədir: yalnız nadir hallarda, müşahidə başlamazdan əvvəl, əlverişli hadisələr də daxil olmaqla, eyni dərəcədə mümkün olan bütün uyğunsuz hadisələri hesablamaq olar. Belə imkanlar adətən oyunlara yaxın situasiyalarda yaranır.

Kombinasiyalar. Hadisələrin ardıcıllığı vacib deyilsə, mümkün hadisələrin sayı birləşmələrin sayı kimi hesablanır:

Misal 6. Qrupda 30 tələbə var. Üç tələbə kompüter və proyektor götürüb gətirmək üçün informatika fakültəsinə getməlidir. Üç xüsusi tələbənin bunu edəcəyi ehtimalını hesablayın.

Həll. Formula (2) istifadə edərək mümkün hadisələrin sayını hesablayırıq:

Üç xüsusi tələbənin şöbəyə getmə ehtimalı:

Misal 7. Satılır 10 mobil telefonlar. Onlardan 3-də qüsur var. Alıcı 2 telefon seçdi. Seçilmiş hər iki telefonda qüsurların olma ehtimalını hesablayın.

Həll. Bütün bərabər mümkün hadisələrin sayı (2) düsturu ilə tapılır:

Eyni düsturdan istifadə edərək, bir hadisə üçün əlverişli imkanların sayını tapırıq:

Hər iki seçilmiş telefonda qüsurların olması arzu olunan ehtimal:

Ehtimalını özünüz tapın və sonra həllinə baxın

Misal 8.İmtahan vərəqlərində təkrar olunmayan 40 sual var. Tələbə onlardan 30-a cavab hazırlayıb. Hər biletdə 2 sual var. Biletdəki hər iki sualın cavabını tələbənin bilməsi ehtimalı nədir?

Ana çərçivəni yudu

Uzun müddətin sonunda yay tətilləri yavaş-yavaş ali riyaziyyata qayıtmağın və yeni bölmə yaratmağa başlamaq üçün boş Verdov faylını təntənəli şəkildə açmağın vaxtı gəldi - . Etiraf edirəm, ilk sətirlər asan deyil, amma ilk addım yolun yarısıdır, ona görə də hər kəsə giriş məqaləsini diqqətlə öyrənməyi təklif edirəm, bundan sonra mövzunun mənimsənilməsi 2 dəfə asan olacaq! Mən heç də şişirtmirəm. …Növbəti sentyabrın 1-i ərəfəsində mən birinci sinfi və ilk dərsi xatırlayıram…. Hərflər hecalar, hecalar sözlər, sözlər qısa cümlələr təşkil edir - Ana çərçivəni yudu. Turver və riyaziyyat statistikasını mənimsəmək oxumağı öyrənmək qədər asandır! Bununla belə, bunun üçün bu dərsin mövzusu olan əsas terminləri, anlayışları və təyinatları, habelə bəzi xüsusi qaydaları bilməlisiniz.

Amma əvvəlcə, zəhmət olmasa, başlanğıc münasibətilə təbriklərimi qəbul edin (davam, tamamlama, lazımi qeyd) tədris ili və hədiyyəni qəbul edin. Ən yaxşı hədiyyə kitabdır və bunun üçün müstəqil iş Aşağıdakı ədəbiyyatı tövsiyə edirəm:

1) Gmurman V.E. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika

Əfsanəvi dərslik, ondan çox təkrar nəşrdən keçmişdir. O, başa düşülməsi və materialın son dərəcə sadə təqdimatı ilə seçilir və ilk fəsillər, məncə, artıq 6-7-ci sinif şagirdləri üçün tamamilə əlçatandır.

2) Gmurman V.E. Ehtimal nəzəriyyəsində problemlərin həlli üçün bələdçi və riyazi statistika

Eyni Vladimir Efimoviç tərəfindən ətraflı nümunələr və problemlər ilə bir həll kitabı.

MÜTLƏQ hər iki kitabı internetdən endirin və ya onların kağız orijinalını əldə edin! 60-70-ci illərin versiyası da işləyəcək, bu, dummies üçün daha yaxşıdır. "Dummies üçün ehtimal nəzəriyyəsi" ifadəsi olduqca gülünc səslənsə də, demək olar ki, hər şey elementar arifmetik əməliyyatlarla məhdudlaşır. Bununla belə, yerlərdə atlayırlar törəmələri Və inteqrallar, lakin bu yalnız yerlərdə olur.

Təqdimatın eyni aydınlığına nail olmağa çalışacağam, amma kursumun hədəfləndiyini xəbərdar etməliyəm problemin həlli və nəzəri hesablamalar minimuma endirilir. Beləliklə, əgər sizə ətraflı nəzəriyyə, teoremlərin sübutları (bəli, teoremlər!) lazımdırsa, dərsliyə müraciət edin.

İstəyənlər üçün problemləri həll etməyi öyrənin bir neçə gün ərzində yaradılmışdır Qəza kursu pdf formatında (sayt materialları əsasında). Yaxşı, indi, işləri uzun müddət təxirə salmadan, terver və matstat öyrənməyə başlayırıq - məni izləyin!

Başlanğıc üçün bu kifayətdir =)

Məqalələri oxuduqca nəzərdən keçirilən növlərin əlavə tapşırıqları ilə (ən azı qısaca) tanış olmaq faydalıdır. Səhifədə Ali riyaziyyat üçün hazır həllər Həll nümunələri ilə müvafiq pdf-lər yerləşdirilib. Əhəmiyyətli yardım da göstəriləcək IDZ 18.1-18.2 Ryabushko(daha sadə) və Çudesenkonun kolleksiyasına görə IDZ həll etdi(daha çətin).

1) Məbləğ iki hadisə və hadisə baş verəcək adlanır və ya hadisə və ya hadisə və ya hər iki hadisə eyni vaxtda. Hadisələrin baş verdiyi halda uyğunsuz, sonuncu variant yox olur, yəni baş verə bilər və ya hadisə və ya hadisə.

Qayda daha çox sayda terminə, məsələn, hadisəyə də aiddir baş verəcək şeydir ən azı bir hadisələrdən , A hadisələr bir-birinə uyğun gəlmirsə – sonra bir şey və yalnız bir şey bu məbləğdən hadisə: və ya hadisə, və ya hadisə, və ya hadisə, və ya hadisə, və ya hadisə.

Çoxlu nümunələr var:

Hadisələr (zar atarkən 5 xal görünməyəcək) görünəcək və ya 1, və ya 2, və ya 3, və ya 4, və ya 6 xal.

Hadisə (düşəcək daha yox iki nöqtə) 1 görünəcək və ya 2xal.

Hadisə (cüt sayda xal olacaq) görünən budur və ya 2 və ya 4 və ya 6 xal.

Hadisə göyərtədən qırmızı vərəqə (ürək) çəkiləcəyidir və ya qaval) və hadisə – “şəkil” çıxarılacaq (jak və ya xanım və ya kral və ya ace).

Birgə tədbirlərlə bağlı vəziyyət bir az daha maraqlıdır:

Tədbir odur ki, göyərtədən bir klub çəkiləcək və ya yeddi və ya yeddi klub Yuxarıda verilmiş tərifə əsasən, heç olmasa bir şey- və ya hər hansı bir klub və ya hər hansı yeddi və ya onların "kəsişməsi" - yeddi klub. Bu hadisənin 12 elementar nəticəyə (9 klub kartı + 3 qalan yeddilik) uyğun olduğunu hesablamaq asandır.

Hadisə sabah saat 12.00-da gələcək Ümumilikdə ortaq hadisələrdən EN AZ BİRİ, yəni:

– və ya yalnız yağış / yalnız tufan / yalnız günəş olacaq;
– və ya yalnız bəzi cüt hadisələr baş verəcək (yağış + tufan / yağış + günəş / tufan + günəş);
– və ya hər üç hadisə eyni vaxtda görünəcək.

Yəni, tədbirə 7 mümkün nəticə daxildir.

Hadisələr cəbrinin ikinci sütunu:

2) İş iki hadisə və bu hadisələrin birgə baş verməsindən ibarət olan hadisə adlandırılır, başqa sözlə, çoxalma müəyyən şəraitdə baş verməsi deməkdir. Və hadisə, Və hadisə. Bənzər bir ifadə daha çox sayda hadisə üçün doğrudur, məsələn, bir iş müəyyən şərtlər altında baş verəcəyini nəzərdə tutur Və hadisə, Və hadisə, Və hadisə,…, Və hadisə.

İki sikkənin atıldığı bir testi nəzərdən keçirək və aşağıdakı hadisələr:

– 1-ci sikkədə başlar görünəcək;
– 1-ci sikkə başları yerə endirəcək;
– 2-ci sikkədə başlar görünəcək;
– 2-ci sikkə baş verəcək.

Sonra:
Və 2-də) başlar görünəcək;
– hadisə ondadır ki, hər iki sikkədə (1-ci Və 2-də) başlar olacaq;
– hadisə ondadır ki, 1-ci sikkə başları yerə qoyacaq Və 2-ci sikkə quyruqlardır;
– hadisə ondadır ki, 1-ci sikkə başları yerə qoyacaq Və 2-ci sikkədə qartal təsvir edilmişdir.

Bu hadisələri görmək asandır uyğunsuz (çünki, məsələn, eyni anda 2 baş və 2 quyruq ola bilməz) və forma tam qrup (nəzərə alındığından Hamısı iki sikkə atmağın mümkün nəticələri). Bu hadisələri ümumiləşdirək: . Bu girişi necə şərh etmək olar? Çox sadə - vurma məntiqi birləşdirici deməkdir VƏ, və əlavə - YA. Beləliklə, məbləği başa düşülən insan dilində oxumaq asandır: “iki baş görünəcək və ya iki baş və ya 1-ci sikkə baş verəcək Və 2-ci quyruqlarda və ya 1-ci sikkə baş verəcək Və 2-ci sikkədə qartal var"

Bu bir nümunə idi bir testdə bir neçə obyekt iştirak edir, bu halda iki sikkə. Praktik məsələlərdə başqa bir ümumi sxem yenidən sınaqdan keçirilir , məsələn, eyni kalıp 3 dəfə ardıcıl olaraq yuvarlandıqda. Nümayiş olaraq aşağıdakı hadisələri nəzərdən keçirin:

– 1-ci atışda siz 4 xal alacaqsınız;
– 2-ci atışda siz 5 xal alacaqsınız;
– 3-cü atışda 6 xal qazanacaqsınız.

Sonra hadisə 1-ci atışda 4 xal alacaqsınız Və 2-ci atışda 5 xal qazanacaqsınız Və 3-cü rulonda 6 xal alacaqsınız. Aydındır ki, kub vəziyyətində sikkə atdığımızdan daha çox kombinasiya (nəticələr) olacaq.

...Başa düşürəm, bəlkə də çox yaxşı başa düşmürlər maraqlı nümunələr, lakin bunlar problemlərdə tez-tez rast gəlinən və onlardan qaçış olmayan şeylərdir. Bir sikkə, bir kub və bir kart göyərtəsinə əlavə olaraq, rəngarəng topları olan qablar, hədəfə atəş edən bir neçə anonim insan və daim bəzi detalları üyüdən yorulmaz bir işçi sizi gözləyir =)

Hadisənin baş vermə ehtimalı

Hadisənin baş vermə ehtimalı ehtimal nəzəriyyəsinin mərkəzi anlayışıdır. ...Qatil məntiqli bir şey, amma haradansa başlamaq lazım idi =) Onun tərifinə bir neçə yanaşma var:

;
Ehtimalın həndəsi tərifi ;
Ehtimalın statistik tərifi .

Bu yazıda mən təhsil tapşırıqlarında ən çox istifadə olunan ehtimalın klassik tərifinə diqqət yetirəcəyəm.

Təyinatlar. Müəyyən bir hadisənin baş vermə ehtimalı böyük latın hərfi ilə göstərilir və hadisənin özü bir növ arqument rolunu oynayaraq mötərizədə götürülür. Misal üçün:

Həmçinin, kiçik hərf ehtimalı ifadə etmək üçün geniş istifadə olunur. Xüsusilə, hadisələrin çətin təyinatlarından və onların ehtimallarından imtina edə bilərsiniz aşağıdakı üslubun lehinə:

– sikkə atmanın başlarla nəticələnməsi ehtimalı;
– zarın atılmasının 5 xalla nəticələnməsi ehtimalı;
– göyərtədən klub kostyumunun kartının çəkilmə ehtimalı.

Bu seçim praktiki problemləri həll edərkən məşhurdur, çünki bu, həllin qeydini əhəmiyyətli dərəcədə azaltmağa imkan verir. Birinci halda olduğu kimi, burada da “danışan” alt yazılardan/yuxarı yazılardan istifadə etmək rahatdır.

Yuxarıda yazdığım rəqəmləri hər kəs çoxdan təxmin edirdi və indi onların necə olduğunu öyrənəcəyik:

Ehtimalın klassik tərifi:

Müəyyən bir testdə bir hadisənin baş vermə ehtimalı nisbət adlanır, burada:

– ümumi sayı hər kəs eyni dərəcədə mümkündür, ibtidai Bu testin nəticələri hansı formadadır hadisələrin tam qrupu;

- kəmiyyət ibtidai nəticələr, əlverişli hadisə.

Sikkə atarkən ya başlar, ya da quyruqlar düşə bilər - bu hadisələr meydana gəlir tam qrup, beləliklə, nəticələrin ümumi sayı; eyni zamanda onların hər biri ibtidai Və eyni dərəcədə mümkündür. Tədbirə nəticə (rəhbərlər) tərəfindən üstünlük verilir. Ehtimalın klassik tərifinə görə: .

Eynilə, zərfin atılması nəticəsində tam bir qrup təşkil edən elementar bərabər mümkün nəticələr meydana çıxa bilər və hadisə bir nəticə ilə (beş atma) üstünlük təşkil edir. Buna görə də: BUNU QƏBUL EDİLMİR (baxmayaraq ki, başınızdakı faizləri hesablamaq qadağan deyil).

Bir vahidin fraksiyalarından istifadə etmək adətdir, və açıq-aydın, ehtimal daxilində dəyişə bilər. Üstəlik, əgər , onda hadisədir qeyri-mümkün, Əgər - etibarlı, və əgər , onda biz danışırıq təsadüfi hadisə.

! Əgər hər hansı problemi həll edərkən başqa ehtimal dəyəri əldə edirsinizsə, xətanı axtarın!

Ehtimalın müəyyənləşdirilməsinə klassik yanaşmada ekstremal dəyərlər (sıfır və bir) eyni əsaslandırma ilə əldə edilir. 10 qırmızı top olan müəyyən bir qabdan təsadüfi olaraq 1 top çəkilsin. Aşağıdakı hadisələri nəzərdən keçirin:

tək sınaqda az ehtimallı hadisə baş verməyəcək.

Buna görə də, bu hadisənin ehtimalı, məsələn, 0,00000001 olarsa, lotereyada cekpotu vurmayacaqsınız. Bəli, bəli, bu sənsən – müəyyən dövriyyədə olan yeganə biletlə. Bununla belə, daha çox sayda bilet və daha çox sayda rəsm sizə çox kömək etməyəcək. ...Bu barədə başqalarına danışanda, demək olar ki, həmişə cavab eşidirəm: “amma kimsə qalib gəlir”. Yaxşı, onda aşağıdakı eksperimenti edək: lütfən, bu gün və ya sabah istənilən lotereya üçün bilet alın (gecikməyin!). Əgər qalib gəlsəniz... yaxşı, ən azı 10 kilorubdan çox, mütləq qeydiyyatdan keçin - bunun niyə baş verdiyini izah edəcəyəm. Faiz üçün, əlbəttə =) =)

Ancaq kədərlənməyə ehtiyac yoxdur, çünki bunun əksi prinsipi var: əgər hansısa hadisənin baş vermə ehtimalı birinə çox yaxındırsa, bir sınaqda o, demək olar ki, müəyyən Baş verəcək. Buna görə də, paraşütlə tullanmadan əvvəl qorxmağa ehtiyac yoxdur, əksinə gülümsəyin! Axı hər iki paraşütün sıradan çıxması üçün tamamilə ağlasığmaz və fantastik hallar yaranmalıdır.

Bütün bunlar lirizm olsa da, hadisənin məzmunundan asılı olaraq birinci prinsip şən, ikincisi isə kədərli ola bilər; hətta hər ikisi paraleldir.

Bəlkə də bu, indilik dərsdə kifayətdir Klassik ehtimal problemləri düsturdan maksimum nəticə əldə edəcəyik. Bu məqalənin son hissəsində bir mühüm teoremi nəzərdən keçirəcəyik:

Tam qrup təşkil edən hadisələrin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir. Kobud desək, hadisələr tam qrup təşkil edərsə, 100% ehtimalla onlardan biri baş verəcək. Ən sadə halda, tam qrup əks hadisələrlə əmələ gəlir, məsələn:

– sikkə atılması nəticəsində başlar görünəcək;
– sikkə atmanın nəticəsi başlar olacaq.

Teoremə görə:

Bu hadisələrin eyni dərəcədə mümkün olduğu və ehtimallarının eyni olduğu tamamilə aydındır .

Ehtimalların bərabərliyinə görə, eyni dərəcədə mümkün hadisələr çox vaxt adlanır eyni dərəcədə ehtimal olunur . Və burada sərxoşluq dərəcəsini təyin etmək üçün bir dil bükmə var =)

Kub ilə misal: hadisələr əksdir, buna görə də .

Baxılan teorem ona görə rahatdır ki, əks hadisənin baş vermə ehtimalını tez tapmağa imkan verir. Beləliklə, beşin yuvarlanma ehtimalı məlumdursa, onun yuvarlanmama ehtimalını hesablamaq asandır:

Bu, beş elementar nəticənin ehtimallarını ümumiləşdirməkdən daha sadədir. Elementar nəticələr üçün, yeri gəlmişkən, bu teorem də doğrudur:
. Məsələn, atıcının hədəfi vurma ehtimalı varsa, onun qaçırma ehtimalı.

! Ehtimal nəzəriyyəsində hərflərdən başqa məqsədlər üçün istifadə etmək arzuolunmazdır.

Bilik günü şərəfinə soruşmayacağam ev tapşırığı=), lakin aşağıdakı suallara cavab verə bilməyiniz çox vacibdir:

- Hansı növ hadisələr var?
– Hadisənin şansı və bərabər ehtimalı nədir?
– Hadisələrin uyğunluğu/uyğunsuzluğu anlayışını necə başa düşürsünüz?
– Tam hadisələr qrupu, əks hadisələr nədir?
– Hadisələrin toplanması və vurulması nə deməkdir?
– Ehtimalın klassik tərifinin mahiyyəti nədir?
– Tam qrup təşkil edən hadisələrin ehtimallarını toplamaq üçün teorem nə üçün faydalıdır?

Xeyr, heç bir şeyi sıxışdırmağa ehtiyac yoxdur, bunlar yalnız ehtimal nəzəriyyəsinin əsaslarıdır - tez başınıza uyğunlaşacaq bir növ primer. Bunun mümkün qədər tez baş verməsi üçün sizə dərslərlə tanış olmağı təklif edirəm

Ehtimal nədir?

Bu terminlə ilk dəfə qarşılaşanda bunun nə olduğunu başa düşməzdim. Ona görə də aydın izah etməyə çalışacağam.

Ehtimal istədiyimiz hadisənin baş vermə şansıdır.

Məsələn, bir dostunuzun evinə getməyə qərar verdiniz, girişi və hətta yaşadığı mərtəbəni xatırlayırsınız. Amma mənzilin nömrəsini və yerini unutmuşam. İndi siz pilləkəndə dayanırsınız və qarşınızda seçim etmək üçün qapılar var.

İlk qapı zəngini çalsanız, dostunuzun sizin yerinizə qapını açması şansı (ehtimal) nədir? Yalnız mənzillər var və onlardan yalnız birinin arxasında bir dost yaşayır. Bərabər şansla istənilən qapını seçə bilərik.

Bəs bu şans nədir?

Qapı, sağ qapı. İlk qapı zəngini çalmaqla təxmin etmə ehtimalı: . Yəni üçdən bir dəfə siz dəqiq təxmin edəcəksiniz.

Bilmək istəyirik ki, bir dəfə zəng etdikdən sonra qapını nə qədər təxmin edəcəyik? Bütün variantlara baxaq:

Zəng etdin 1-ci qapı
Zəng etdin 2-ci qapı
Zəng etdin 3-cü qapı

İndi bir dostun ola biləcəyi bütün variantlara baxaq:

A. Arxada 1-ci qapı
b. Arxada 2-ci qapı
V. Arxada 3-cü qapı

Cədvəl şəklində bütün variantları müqayisə edək. Seçiminiz dostunuzun yeri ilə üst-üstə düşdükdə seçimlər işarəsi, üst-üstə düşməyəndə xaç işarəsi göstərilir.

Hər şeyi necə görürsən Ola bilər seçimlər dostunuzun yeri və hansı qapını çalacağınızı seçiminiz.

A hamının müsbət nəticələri . Yəni, qapı zəngini bir dəfə çalmaqla bir dəfə təxmin edəcəksiniz, yəni. .

Bu ehtimaldır - əlverişli nəticənin (seçiminiz dostunuzun yeri ilə üst-üstə düşdüyündə) mümkün hadisələrin sayına nisbəti.

Tərif düsturdur. Ehtimal adətən p ilə işarələnir, ona görə də:

Belə bir düstur yazmaq çox rahat deyil, buna görə də biz - əlverişli nəticələrin sayını və üçün - nəticələrin ümumi sayını alacağıq.

Ehtimal faizlə yazıla bilər, bunun üçün nəticəni vurmaq lazımdır:

“Nəticələr” sözü yəqin ki, diqqətinizi çəkib. Riyaziyyatçılar müxtəlif hərəkətləri (bizim vəziyyətimizdə belə hərəkət qapı zəngidir) təcrübə adlandırdıqları üçün belə təcrübələrin nəticəsi adətən nəticə adlanır.

Yaxşı, müsbət və mənfi nəticələr var.

Nümunəmizə qayıdaq. Deyək ki, qapılardan birini çaldıq, amma bizim üçün yad biri açdı. Düzgün təxmin etmədik. Qalan qapılardan birini çalsaq, dostumuzun qapını bizim üzümüzə açması ehtimalı nədir?

Əgər belə fikirləşdinizsə, deməli bu səhvdir. Gəlin bunu anlayaq.

İki qapımız qalıb. Beləliklə, mümkün addımlarımız var:

1) Zəng edin 1-ci qapı
2) Zəng edin 2-ci qapı

Dost, bütün bunlara baxmayaraq, onlardan birinin arxasında mütləqdir (axı, o, çağırdığımızın arxasında deyildi):

a) Dost üçün 1-ci qapı
b) Dost üçün 2-ci qapı

Cədvəli yenidən çəkək:

Gördüyünüz kimi, yalnız əlverişli olan variantlar var. Yəni, ehtimal bərabərdir.

Niyə də yox?

Baxdığımız vəziyyət belədir asılı hadisələrə misaldır. Birinci hadisə birinci qapı zəngi, ikinci hadisə ikinci qapı zəngidir.

Və onlar aşağıdakı hərəkətlərə təsir etdikləri üçün asılı adlanırlar. Axı, əgər birinci zəngdən sonra qapının zənginə dostun biri cavab versəydi, onun digər ikisindən birinin arxasında olması ehtimalı nə qədər olardı? Doğru, .

Amma asılı hadisələr varsa, o zaman da olmalıdır müstəqil? Düzdür, onlar olur.

Dərslik nümunəsi sikkə atmaqdır.

Bir dəfə sikkə atın. Məsələn, başların olma ehtimalı nədir? Düzdür - çünki bütün variantlar var (ya başlar, ya da quyruqlar, biz sikkənin onun kənarına düşmə ehtimalını laqeyd edəcəyik), lakin bu, yalnız bizə uyğun gəlir.
Amma başlarına gəldi. Yaxşı, yenə ataq. İndi başları almaq ehtimalı nədir? Heç nə dəyişməyib, hər şey eynidir. Neçə variant? iki. Biz neçə nəfərdən razıyıq? bir.

Və ən azı min dəfə üst-üstə gəlsin. Bir anda baş alma ehtimalı eyni olacaq. Həmişə seçimlər və əlverişli olanlar var.

Asılı hadisələri müstəqil hadisələrdən ayırmaq asandır:

Təcrübə bir dəfə aparılırsa (bir dəfə sikkə atırlar, bir dəfə qapı zəngini çalırlar və s.), onda hadisələr həmişə müstəqil olur.
Təcrübə bir neçə dəfə aparılırsa (bir sikkə bir dəfə atılır, qapı zəngi bir neçə dəfə çalınır), onda birinci hadisə həmişə müstəqil olur. Və sonra, əlverişli olanların sayı və ya bütün nəticələrin sayı dəyişirsə, hadisələr asılı olur, yoxsa müstəqildir.

Gəlin bir az ehtimalı təyin etməyə məşq edək.

Misal 1.

Sikkə iki dəfə atılır. Ardıcıl iki dəfə baş vurma ehtimalı nədir?

Həll:

Hər şeyi nəzərdən keçirək mümkün variantlar:

Qartal-qartal
Baş-quyruq
Quyruqlar - Başlar
Quyruq-quyruq

Gördüyünüz kimi, yalnız seçimlər var. Bunlardan yalnız bizi qane edir. Yəni, ehtimal:

Əgər şərt sadəcə ehtimalı tapmağı xahiş edirsə, onda cavab ondalıq kəsr şəklində verilməlidir. Cavabın faizlə verilməli olduğu dəqiqləşdirilsəydi, onda biz vurardıq.

Cavab:

Misal 2.

Bir qutu şokoladda bütün şokoladlar eyni qablaşdırmada qablaşdırılır. Bununla belə, şirniyyatdan - qoz-fındıq, konyak, albalı, karamel və nuqa ilə.

Bir konfet götürüb qoz-fındıqlı konfet alma ehtimalı nədir? Cavabınızı faizlə bildirin.

Həll:

Nə qədər mümkün nəticə var? .

Yəni bir konfet götürsəniz, qutuda mövcud olanlardan biri olacaq.

Nə qədər əlverişli nəticələr var?

Çünki qutuda yalnız qoz-fındıqlı şokoladlar var.

Cavab:

Misal 3.

Balon qutusunda. bunlardan ağ və qara.

Ağ topun çəkilmə ehtimalı nədir?
Qutuya daha çox qara top əlavə etdik. İndi ağ topun çəkilmə ehtimalı nədir?

Həll:

a) Qutuda yalnız toplar var. Onlardan ağ rəngdədir.

Ehtimal belədir:

b) İndi qutuda daha çox top var. Və bir o qədər də ağlar qalıb - .

Cavab:

Ümumi ehtimal

Bütün mümkün hadisələrin ehtimalı () bərabərdir.

Tutaq ki, qutuda qırmızı və yaşıl toplar var. Qırmızı topun çəkilmə ehtimalı nədir? Yaşıl top? Qırmızı və ya yaşıl top?

Qırmızı topun çəkilmə ehtimalı

Yaşıl top:

Qırmızı və ya yaşıl top:

Gördüyünüz kimi, bütün mümkün hadisələrin cəmi () bərabərdir. Bu məqamı başa düşmək bir çox problemi həll etməyə kömək edəcək.

Misal 4.

Qutuda markerlər var: yaşıl, qırmızı, mavi, sarı, qara.

Qırmızı markerin DEYİL cızılma ehtimalı nədir?

Həll:

Nömrəni sayaq əlverişli nəticələr.

Qırmızı marker DEYİL, bu yaşıl, mavi, sarı və ya qara deməkdir.

Bütün hadisələrin baş vermə ehtimalı. Və əlverişsiz hesab etdiyimiz hadisələrin baş vermə ehtimalı (qırmızı marker çıxardıqda) .

Beləliklə, qırmızı Flomasterin Çıxarılma ehtimalı .

Cavab:

Bir hadisənin baş verməməsi ehtimalı, hadisənin baş vermə ehtimalı minusa bərabərdir.

Müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması qaydası

Müstəqil hadisələrin nə olduğunu artıq bilirsiniz.

İki (və ya daha çox) müstəqil hadisənin ardıcıl olaraq baş verməsi ehtimalını tapmaq lazımdırsa?

Deyək ki, bilmək istəyirik ki, bir sikkəni bir dəfə çevirsək, iki dəfə baş görəcəyimiz ehtimalı nədir?

Artıq nəzərdən keçirdik - .

Bir dəfə sikkə atsaq nə olacaq? Qartalı iki dəfə dalbadal görmək ehtimalı nədir?

Ümumi mümkün variantlar:

Qartal-qartal-qartal
Başlar-başlar-quyruqlar
Başlar-quyruq-başlar
Başlar-quyruq-quyruqlar
Quyruqlar-başlar-başlar
Quyruqlar-başlar-quyruqlar
Quyruq-quyruq-başlar
Quyruq-quyruq-quyruq

Sizi bilmirəm, amma bu siyahını tərtib edərkən bir neçə dəfə səhv etmişəm. Heyrət! Vay! Və yalnız seçim (birinci) bizə uyğun gəlir.

5 atış üçün mümkün nəticələrin siyahısını özünüz edə bilərsiniz. Amma riyaziyyatçılar sizin qədər çalışqan deyillər.

Buna görə də onlar əvvəlcə fərq etdi, sonra sübut etdilər ki, müəyyən bir müstəqil hadisələr ardıcıllığının ehtimalı hər dəfə bir hadisənin ehtimalı ilə azalır.

Başqa sözlə,

Gəlin eyni bədbəxt sikkənin nümunəsinə baxaq.

Çağırışda baş vermə ehtimalı? . İndi sikkəni bir dəfə çeviririk.

Başların ard-arda düşmə ehtimalı nədir?

Bu qayda təkcə bizdən eyni hadisənin ardıcıl olaraq bir neçə dəfə baş vermə ehtimalını tapmaq istənildikdə işləmir.

Ardıcıl atışlar üçün TAILS-HEADS-TAILS ardıcıllığını tapmaq istəsək, eyni şeyi edərdik.

Quyruq almaq ehtimalı , başlar - .

TAILS-HEADS-TAILS-TAILS ardıcıllığının alınma ehtimalı:

Cədvəl düzəldərək özünüz yoxlaya bilərsiniz.

Uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarının toplanması qaydası.

Elə isə dayan! Yeni tərif.

Gəlin bunu anlayaq. Köhnəlmiş sikkəmizi götürüb bir dəfə ataq.
Mümkün variantlar:

Qartal-qartal-qartal
Başlar-başlar-quyruqlar
Başlar-quyruq-başlar
Başlar-quyruq-quyruqlar
Quyruqlar-başlar-başlar
Quyruqlar-başlar-quyruqlar
Quyruq-quyruq-başlar
Quyruq-quyruq-quyruq

Deməli, uyğun gəlməyən hadisələr müəyyən, verilmiş hadisələr ardıcıllığıdır. - bunlar bir araya sığmayan hadisələrdir.

Uyğun olmayan iki (və ya daha çox) hadisənin baş vermə ehtimalının nə olduğunu müəyyən etmək istəyiriksə, onda bu hadisələrin ehtimallarını əlavə edirik.

Başların və ya quyruqların iki müstəqil hadisə olduğunu başa düşməlisiniz.

Əgər ardıcıllığın (və ya hər hansı digərinin) baş vermə ehtimalını müəyyən etmək istəyiriksə, onda ehtimalları çoxaltma qaydasından istifadə edirik.
Birinci atışda başların, ikinci və üçüncü atışlarda isə quyruqların olma ehtimalı nədir?

Ancaq bilmək istəsək ki, bir neçə ardıcıllıqdan birini əldə etmək ehtimalı nə qədərdir, məsələn, başlar tam bir dəfə qalxdıqda, yəni. variantları və sonra bu ardıcıllıqların ehtimallarını toplamaq lazımdır.

Ümumi seçimlər bizə uyğundur.

Hər bir ardıcıllığın baş vermə ehtimallarını əlavə etməklə eyni şeyi əldə edə bilərik:

Beləliklə, hadisələrin müəyyən, uyğunsuz, ardıcıllığının ehtimalını müəyyən etmək istəyəndə ehtimalları əlavə edirik.

Nə vaxt çoxaltmaq və nə vaxt əlavə etmək barədə çaşqınlığın qarşısını almaq üçün böyük bir qayda var:

Bir dəfə sikkə atdığımız və başları bir dəfə görmə ehtimalını bilmək istədiyimiz nümunəyə qayıdaq.
Nə olacaq?

Düşməlidir:
(başlar VƏ quyruqlar VƏ quyruqlar) YA (quyruqlar VƏ başlar VƏ quyruqlar) VEYA (quyruqlar VƏ quyruqlar və başlar).
Belə çıxır:

Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal 5.

Qutuda karandaşlar var. qırmızı, yaşıl, narıncı və sarı və qara. Qırmızı və ya yaşıl karandaşların çəkilmə ehtimalı nədir?

Həll:

Nə olacaq? Biz çəkməliyik (qırmızı və ya yaşıl).

İndi aydındır, gəlin bu hadisələrin ehtimallarını əlavə edək:

Cavab:

Misal 6.

Bir zar iki dəfə atılırsa, cəmi 8-in olma ehtimalı nədir?

Həll.

Necə xal qazana bilərik?

(və) və ya (və) və ya (və) və ya (və) və ya (və).

Bir (hər hansı) üz əldə etmə ehtimalı .

Ehtimalını hesablayırıq:

Cavab:

Təlim.

Düşünürəm ki, indi siz ehtimalları nə vaxt hesablamaq, nə vaxt toplamaq və nə vaxt çoxaltmaq lazım olduğunu başa düşürsünüz. elə deyilmi? Gəlin bir az məşq edək.

Tapşırıqlar:

Gəlin kürəklər, ürəklər, 13 klub və 13 brilyant daxil olmaqla kartlardan ibarət bir kart göyərtəsini götürək. Hər kostyumun Ace-dən.

Ardıcıl olaraq dəyənəklərin çəkilmə ehtimalı nədir (ilk çıxarılmış kartı göyərtəyə qoyub qarışdırırıq)?
Qara kartın (kürək və ya gürz) çəkilmə ehtimalı nədir?
Şəkil çəkmək ehtimalı nədir (jak, kraliça, kral və ya as)?
Ardıcıl iki şəkil çəkmək ehtimalı nədir (göyərtədən ilk çəkilmiş kartı çıxarırıq)?
İki kartı götürərək kombinasiya toplamaq ehtimalı nədir - (jak, kraliça və ya kral) və ace?Kartların çəkildiyi ardıcıllığın əhəmiyyəti yoxdur.

Cavablar:

Hər bir dəyərli kart göyərtəsində bu o deməkdir:
Hadisələr asılıdır, çünki ilk kart çıxarıldıqdan sonra göyərtədəki kartların sayı azaldı ("şəkillərin" sayı kimi). İlkin olaraq göyərtədə cəmi jaklar, kraliçalar, krallar və aslar var, bu da birinci kartla "şəkil" çəkmək ehtimalı deməkdir:
İlk kartı göyərtədən çıxardığımız üçün bu o deməkdir ki, göyərtədə şəkillər də daxil olmaqla artıq kartlar qalıb. İkinci kartla şəkil çəkmək ehtimalı:
Göyərtədən "şəkil" və "şəkil" çıxararkən vəziyyətlə maraqlandığımız üçün ehtimalları çoxaltmalıyıq:
Cavab:
İlk kart çıxarıldıqdan sonra göyərtədəki kartların sayı azalacaq.Beləliklə, bizə iki seçim uyğun gəlir:
1) Birinci kart Ace, ikincisi Cek, Kraliça və ya Kraldır
2) Birinci kartla bir jak, kraliça və ya kral, ikincisi ilə bir ace çıxarırıq. (ace və (cek və ya kraliça və ya kral)) və ya ((cek və ya kraliça və ya kral) və as). Göyərtədə kartların sayını azaltmağı unutmayın!

Bütün problemləri özünüz həll edə bildinizsə, deməli siz əlasınız! İndi siz Vahid Dövlət İmtahanında ehtimal nəzəriyyəsi problemlərini qoz kimi həll edəcəksiniz!

Ehtimal NƏZƏRİYYƏSİ. ORTA SƏVİYYƏ

Bir nümunəyə baxaq. Deyək ki, bir zar atırıq. Bu hansı sümükdür, bilirsinizmi? Üzlərində rəqəmlər olan kub belə adlandırırlar. Neçə üz, bu qədər rəqəm: neçədən? Əvvəl.

Beləliklə, biz zarları yuvarlayırıq və onun yuxarı qalxmasını istəyirik və ya. Və başa düşürük.

Ehtimal nəzəriyyəsində nə baş verdiyini deyirlər xeyirli hadisə(firavan ilə qarışdırılmamalıdır).

Əgər belə olsaydı, hadisə də əlverişli olardı. Ümumilikdə yalnız iki əlverişli hadisə baş verə bilər.

Nə qədər əlverişsizdir? Cəmi mümkün hadisələr olduğundan, bu, əlverişsiz olanların hadisələr olduğunu bildirir (bu, əgər və ya düşərsə).

Tərif:

Ehtimal əlverişli hadisələrin sayının bütün mümkün hadisələrin sayına nisbətidir. Yəni, ehtimal bütün mümkün hadisələrin hansı nisbətinin əlverişli olduğunu göstərir.

Ehtimal Latın hərfi ilə işarələnir (görünür İngilis sözü ehtimal - ehtimal).

Ehtimalın faizlə ölçülməsi adətdir (bax və mövzular). Bunun üçün ehtimal dəyərini vurmaq lazımdır. Zər nümunəsində, ehtimal.

Və faizlə: .

Nümunələr (özünüz qərar verin):

Sikkə atarkən başların çıxma ehtimalı nədir? Başların enmə ehtimalı nədir?
Zərb atarkən cüt ədədin olma ehtimalı nədir? Hansı qəribədir?
Sadə, mavi və qırmızı qələmlər qutusunda. Təsadüfi olaraq bir qələm çəkirik. Sadə birini əldə etmək ehtimalı nədir?

Həll yolları:

Neçə variant var? Başlar və quyruqlar - cəmi iki. Onlardan neçəsi əlverişlidir? Yalnız biri qartaldır. Beləliklə, ehtimal
Quyruqlarla da eynidir: .
Ümumi seçimlər: (kubun neçə tərəfi var, o qədər fərqli variant var). Əlverişli olanlar: (bunların hamısı cüt rəqəmlərdir :)).
Ehtimal. Təbii ki, tək nömrələrlə də eynidir.
Ümumi: . Əlverişli: . Ehtimal: .

Ümumi ehtimal

Qutudakı bütün karandaşlar yaşıl rəngdədir. Qırmızı karandaşın çəkilmə ehtimalı nədir? Heç bir şans yoxdur: ehtimal (hər şeydən sonra, əlverişli hadisələr -).

Belə bir hadisə qeyri-mümkün adlanır.

Yaşıl karandaşın çəkilmə ehtimalı nədir? Ümumi hadisələrlə eyni sayda əlverişli hadisələr var (bütün hadisələr əlverişlidir). Beləliklə, ehtimal və ya bərabərdir.

Belə bir hadisə etibarlı adlanır.

Qutuda yaşıl və qırmızı karandaşlar varsa, yaşıl və ya qırmızı rəngin çəkilmə ehtimalı nədir? Yenə də. Bunu qeyd edək: yaşılın çəkilmə ehtimalı bərabər, qırmızı isə bərabərdir.

Ümumilikdə bu ehtimallar tam bərabərdir. Yəni, bütün mümkün hadisələrin ehtimallarının cəmi və ya bərabərdir.

Misal:

Karandaş qutusunda, onların arasında mavi, qırmızı, yaşıl, düz, sarı, qalanları isə narıncıdır. Yaşıl rəngin çəkilməməsi ehtimalı nədir?

Həll:

Bütün ehtimalların toplandığını xatırlayırıq. Və yaşıllaşma ehtimalı bərabərdir. Bu o deməkdir ki, yaşıl rəngin çəkilməməsi ehtimalı bərabərdir.

Bu hiyləni xatırlayın: Bir hadisənin baş verməməsi ehtimalı, hadisənin baş vermə ehtimalı minusa bərabərdir.

Müstəqil hadisələr və vurma qaydası

Sikkəni bir dəfə fırlatırsınız və onun hər iki dəfə də baş verməsini istəyirsiniz. Bunun ehtimalı nədir?

Bütün mümkün variantları nəzərdən keçirək və onların neçə olduğunu müəyyən edək:

Başlar-başlar, quyruqlar-başlar, başlar-quyruqlar, quyruqlar-quyruqlar. Başqa?

Ümumi seçimlər. Bunlardan yalnız biri bizə yaraşır: Qartal-Qartal. Ümumilikdə ehtimal bərabərdir.

Yaxşı. İndi bir dəfə sikkə çevirək. Riyaziyyatı özünüz edin. baş verdi? (cavab).

Hər bir sonrakı atışın əlavə edilməsi ilə ehtimalın yarıya qədər azaldığını görmüsünüz. Ümumi qayda deyilir vurma qaydası:

Müstəqil hadisələrin ehtimalları dəyişir.

Müstəqil hadisələr hansılardır? Hər şey məntiqlidir: bunlar bir-birindən asılı olmayanlardır. Məsələn, biz bir neçə dəfə bir sikkə atdığımız zaman, hər dəfə yeni atış edilir, nəticəsi bütün əvvəlki atışlardan asılı deyil. Eyni anda iki fərqli sikkə də asanlıqla atmaq olar.

Daha çox nümunə:

Zarlar iki dəfə atılır. Hər iki dəfə almaq ehtimalı nədir?
Sikkə bir dəfə atılır. Onun ilk dəfə yuxarı qalxması, sonra isə iki dəfə quyruğa çıxması ehtimalı nədir?
Oyunçu iki zar atır. Onların üzərindəki ədədlərin cəminin bərabər olma ehtimalı nədir?

Cavablar:

Hadisələr müstəqildir, yəni vurma qaydası işləyir: .
Başların ehtimalı bərabərdir. Quyruqların ehtimalı eynidir. Çoxaltmaq:
12 yalnız iki -ki yuvarlandıqda əldə edilə bilər: .

Uyğun olmayan hadisələr və əlavə qaydası

Tam ehtimal həddinə qədər bir-birini tamamlayan hadisələr uyğunsuz adlanır. Adından da göründüyü kimi, onlar eyni vaxtda baş verə bilməz. Məsələn, biz bir sikkə çevirsək, o, ya baş, ya da quyruq qədər çıxa bilər.

Misal.

Karandaş qutusunda, onların arasında mavi, qırmızı, yaşıl, düz, sarı, qalanları isə narıncıdır. Yaşıl və ya qırmızının çəkilmə ehtimalı nədir?

Həll .

Yaşıl qələm çəkmək ehtimalı bərabərdir. Qırmızı -.

Bütün əlverişli hadisələr: yaşıl + qırmızı. Bu o deməkdir ki, yaşıl və ya qırmızı rəngin çəkilmə ehtimalı bərabərdir.

Eyni ehtimalı bu formada göstərmək olar: .

Bu əlavə qaydasıdır: uyğun olmayan hadisələrin ehtimalları toplanır.

Qarışıq tipli problemlər

Misal.

Sikkə iki dəfə atılır. Rulonların nəticələrinin fərqli olma ehtimalı nədir?

Həll .

Bu o deməkdir ki, ilk nəticə başlardırsa, ikincisi quyruq olmalıdır və əksinə. Belə çıxır ki, iki cüt müstəqil hadisə var və bu cütlər bir-biri ilə uyğun gəlmir. Harada çoxaltmaq və hara əlavə etmək barədə necə çaşqın olmamaq olar.

Belə hallar üçün sadə bir qayda var. “AND” və ya “OR” birləşmələrindən istifadə edərək nə baş verəcəyini təsvir etməyə çalışın. Məsələn, bu halda:

Bu (başlar və quyruqlar) və ya (quyruq və başlar) çıxmalıdır.

“və” bağlayıcısı olan yerdə vurma, “və ya” olan yerdə isə əlavə olacaq:

Özünüz cəhd edin:

Bir sikkə iki dəfə atıldıqda, sikkənin hər iki dəfə eyni tərəfə düşmə ehtimalı nədir?
Zarlar iki dəfə atılır. Ümumi xal toplamaq ehtimalı nədir?

Həll yolları:

(Başlar düşdü və quyruq düşdü) və ya (quyruq düşdü və quyruq düşdü): .
Seçimlər hansılardır? Və. Sonra:
Düşdü (və) və ya (və) və ya (və): .

Başqa bir misal:

Bir dəfə sikkə atın. Başların ən azı bir dəfə görünməsi ehtimalı nədir?

Həll:

Oh, necə də variantlardan keçmək istəmirəm... Baş-quyruq-quyruq, Qartal-baş-quyruq,... Amma ehtiyac yoxdur! Ümumi ehtimalı xatırlayaq. Sən xatırlayırsan? Qartalın olma ehtimalı nədir heç vaxt düşməyəcək? Bu sadədir: başlar hər zaman uçur, buna görə də.

Ehtimal NƏZƏRİYYƏSİ. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Ehtimal əlverişli hadisələrin sayının bütün mümkün hadisələrin sayına nisbətidir.

Müstəqil hadisələr

Birinin baş verməsi digərinin baş vermə ehtimalını dəyişdirməzsə, iki hadisə müstəqildir.

Ümumi ehtimal

Bütün mümkün hadisələrin ehtimalı () bərabərdir.

Bir hadisənin baş verməməsi ehtimalı, hadisənin baş vermə ehtimalı minusa bərabərdir.

Müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması qaydası

Müstəqil hadisələrin müəyyən ardıcıllığının olma ehtimalı hər bir hadisənin ehtimallarının hasilinə bərabərdir

Uyğun olmayan hadisələr

Uyğun olmayan hadisələr təcrübə nəticəsində eyni vaxtda baş verməsi mümkün olmayan hadisələrdir. Bir sıra uyğun gəlməyən hadisələr tam hadisələr qrupunu təşkil edir.

Uyğun olmayan hadisələrin baş vermə ehtimalları artır.

Nə baş verməli olduğunu təsvir edərək, "AND" və ya "OR" birləşmələrindən istifadə edərək "AND" əvəzinə vurma işarəsi, "OR" əvəzinə isə əlavə işarəsi qoyuruq.

QALAN 2/3 MƏQALƏLƏR YALNIZ SİZİN AĞIR TƏLƏBƏLƏRİN İÇİNDİR!

YouClever tələbəsi ol,

"Ayda bir fincan qəhvə" qiymətinə riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanı və ya Vahid Dövlət İmtahanına hazır olun.

Həm də "YouClever" dərsliyinə, Hazırlıq Proqramına (iş dəftəri) "100gia", limitsiz giriş əldə edin sınaq Vahid Dövlət İmtahan və OGE, həllərin təhlili ilə 6000 problem və digər xidmətlər YouClever və 100gia.

Bir sikkə atıldıqda, onun başlarını qaldıracağını söyləyə bilərik və ya ehtimal bu 1/2-dir. Təbii ki, bu o demək deyil ki, bir sikkə 10 dəfə atılırsa, mütləq 5 dəfə başın üstünə düşəcək. Əgər sikkə "ədalətli" olarsa və dəfələrlə atılırsa, başlar vaxtın yarısına çox yaxın düşəcək. Beləliklə, iki növ ehtimal var: eksperimental Və nəzəri .

Eksperimental və nəzəri ehtimal

Bir sikkə atsan çoxlu sayda dəfə - 1000 deyin - və başların neçə dəfə atıldığını saysaq, başların atılma ehtimalını müəyyən edə bilərik. Əgər başlar 503 dəfə atılırsa, onun yerə düşmə ehtimalını hesablaya bilərik:
503/1000 və ya 0,503.

Bu eksperimental ehtimalın müəyyən edilməsi. Ehtimalın bu tərifi məlumatların müşahidəsi və öyrənilməsindən irəli gəlir və olduqca ümumi və çox faydalıdır. Burada, məsələn, eksperimental olaraq müəyyən edilmiş bəzi ehtimallar var:

1. Qadının döş xərçənginə tutulma ehtimalı 1/11-dir.

2. Soyuqdəymə olan biri ilə öpüşsəniz, o zaman sizin də soyuqlama ehtimalınız 0,07-dir.

3. Həbsdən yeni çıxan şəxsin yenidən həbsxanaya qayıtma şansı 80% olur.

Sikkə atmağı düşünsək və onun baş və ya quyruqdan yuxarı çıxma ehtimalının eyni olduğunu nəzərə alsaq, baş alma ehtimalını hesablaya bilərik: 1/2. Bu ehtimalın nəzəri tərifidir. Riyaziyyatdan istifadə edərək nəzəri olaraq müəyyən edilmiş bəzi digər ehtimallar bunlardır:

1. Bir otaqda 30 nəfər varsa, onlardan ikisinin eyni ad günü olma ehtimalı (il istisna olmaqla) 0,706-dır.

2. Səyahət zamanı biri ilə tanış olursunuz və söhbət zamanı ortaq dostunuz olduğunu kəşf edirsiniz. Tipik reaksiya: “Bu ola bilməz!” Əslində, bu ifadə uyğun deyil, çünki belə bir hadisənin ehtimalı kifayət qədər yüksəkdir - 22% -dən bir qədər çoxdur.

Beləliklə, eksperimental ehtimallar müşahidə və məlumatların toplanması yolu ilə müəyyən edilir. Nəzəri ehtimallar riyazi əsaslandırma ilə müəyyən edilir. Yuxarıda müzakirə edilənlər kimi eksperimental və nəzəri ehtimalların nümunələri, xüsusən də gözləmədiyimiz ehtimallar bizi ehtimalın öyrənilməsinin vacibliyinə aparır. Siz soruşa bilərsiniz: "Həqiqi ehtimal nədir?" Əslində belə bir şey yoxdur. Müəyyən hədlər daxilində ehtimallar eksperimental olaraq müəyyən edilə bilər. Onlar nəzəri olaraq əldə etdiyimiz ehtimallarla üst-üstə düşə bilər və ya üst-üstə düşməyə də bilər. Elə vəziyyətlər var ki, bir ehtimal növünü digərinə nisbətən müəyyən etmək daha asandır. Məsələn, nəzəri ehtimaldan istifadə edərək soyuqdəymə ehtimalını tapmaq kifayətdir.

Eksperimental ehtimalların hesablanması

Əvvəlcə ehtimalın eksperimental tərifini nəzərdən keçirək. Bu cür ehtimalları hesablamaq üçün istifadə etdiyimiz əsas prinsip aşağıdakı kimidir.

Prinsip P (eksperimental)

Əgər n müşahidənin aparıldığı təcrübədə E vəziyyət və ya hadisə n müşahidədə m dəfə baş verirsə, onda hadisənin eksperimental ehtimalının P (E) = m/n olduğu deyilir.

Misal 1 Sosioloji sorğu. Keçirilmişdir eksperimental tədqiqat solaxayların, sağaxayların və hər iki əli bərabər inkişaf etmiş insanların sayını müəyyən etmək.Nəticələr qrafikdə göstərilmişdir.

a) şəxsin sağ əlli olma ehtimalını müəyyən edin.

b) şəxsin solaxay olma ehtimalını müəyyən edin.

c) Bir insanın hər iki əlində eyni dərəcədə sərbəst danışması ehtimalını müəyyən edin.

d) Peşəkar Boulinq Assosiasiyasının əksər turnirləri 120 oyunçu ilə məhdudlaşır. Bu təcrübədən əldə edilən məlumatlara əsasən, neçə oyunçu solaxay ola bilər?

Həll

a)Sağ əllilərin sayı 82, solaxayların sayı 17, hər iki əlində eyni dərəcədə sərbəst danışanların sayı 1. Müşahidələrin ümumi sayı 100-dür. Beləliklə, ehtimal insanın sağ əlli olması P
P = 82/100 və ya 0,82 və ya 82%.

b) İnsanın solaxay olma ehtimalı P-dir, burada
P = 17/100 və ya 0,17 və ya 17%.

c) İnsanın hər iki əlində eyni dərəcədə sərbəst danışması ehtimalı P-dir, burada
P = 1/100 və ya 0,01 və ya 1%.

d) 120 bowler və (b) dən 17% -nin solaxay olduğunu gözləmək olar. Buradan
120-dən 17% = 0,17,120 = 20,4,
yəni 20-yə yaxın futbolçunun solaxay olmasını gözləmək olar.

Misal 2 Keyfiyyətə nəzarət . İstehsalçı üçün məhsullarının keyfiyyətini saxlamaq çox vacibdir yüksək səviyyə. Əslində şirkətlər bu prosesi təmin etmək üçün keyfiyyətə nəzarət müfəttişlərini işə götürürlər. Məqsəd mümkün olan minimum sayda qüsurlu məhsul istehsal etməkdir. Amma şirkət hər gün minlərlə məhsul istehsal etdiyi üçün hər bir məhsulun qüsurlu olub-olmadığını müəyyən etmək üçün sınaqdan keçirə bilmir. Məhsulların neçə faizinin qüsurlu olduğunu öyrənmək üçün şirkət daha az məhsulu sınaqdan keçirir.
Nazirlik Kənd təsərrüfatı ABŞ, yetişdiricilər tərəfindən satılan toxumların 80%-nin cücərməsini tələb edir. Kənd təsərrüfatı şirkətinin istehsal etdiyi toxumun keyfiyyətini müəyyən etmək üçün istehsal olunan toxumlardan 500 ədəd əkilir. Bundan sonra 417 toxumun cücərdiyi hesablanıb.

a) Toxumun cücərmə ehtimalı nədir?

b) Toxumlar dövlət standartlarına cavab verirmi?

Həll a) Bilirik ki, əkilmiş 500 toxumdan 417-si cücərmişdir. Toxumların cücərmə ehtimalı P, və
P = 417/500 = 0,834 və ya 83,4%.

b) Cücərmiş toxumların faizi tələb olunduğu kimi 80%-i keçdiyi üçün toxumlar dövlət standartlarına cavab verir.

Misal 3 Televiziya reytinqləri. Statistikaya görə, ABŞ-da televizoru olan 105 milyon 500 min ailə var. Hər həftə proqramlara baxmaq haqqında məlumat toplanır və işlənir. Bir həftə ərzində 7.815.000 ailə CBS-də "Hamı Raymond'u sevir" hit komediya serialını, 8.302.000 ailə isə NBC-də "Qanun və Nizam" hit serialını izlədi (Mənbə: Nielsen Media Araşdırma). Müəyyən bir həftə ərzində bir ev təsərrüfatının televizorunun "Hamı Raymonu sevir"ə, "Qanun və Qayda"ya köklənməsi ehtimalı nədir?

Həll Bir evdəki televizorun "Hamı Raymond'u sevir"ə köklənmə ehtimalı P və
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Ev təsərrüfatının televizorunun Qanun və Qaydaya uyğunlaşdırılması şansı P və
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Bu faizlərə reytinqlər deyilir.

Nəzəri ehtimal

Tutaq ki, biz sikkə və ya dart atmaq, göyərtədən kart çəkmək və ya konveyerdə məhsulların keyfiyyətini yoxlamaq kimi bir təcrübə keçiririk. Belə bir təcrübənin hər bir mümkün nəticəsi deyilir Çıxış . Bütün mümkün nəticələrin toplusu deyilir nəticə məkanı . Hadisə bu, nəticələr toplusudur, yəni nəticələr məkanının alt çoxluğudur.

Misal 4 Dart atmaq. Tutaq ki, ox atma təcrübəsində ox hədəfə dəyir. Aşağıdakıların hər birini tapın:

b) Nəticə məkanı

Həll
a) Nəticələr bunlardır: qaraya (B), qırmızıya (R) və ağ rəngə (B).

b) Nəticələrin məkanı (qara vurmaq, qırmızıya vurmaq, ağa vurmaqdır) sadə şəkildə (H, K, B) kimi yazıla bilər.

Misal 5 Zar atmaq. Zərbə altı tərəfi olan, hər birinin üzərində bir-altı nöqtə olan bir kubdur.

Fərz edək ki, biz zar atırıq. Tapın
a) Nəticələr
b) Nəticə məkanı

Həll
a) Nəticələr: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Nəticə fəzası (1, 2, 3, 4, 5, 6).

E hadisəsinin baş vermə ehtimalını P(E) kimi işarə edirik. Məsələn, “sikkə başların üzərinə düşəcək” H ilə işarələnə bilər. Onda P(H) sikkənin başların üzərinə düşmə ehtimalını təmsil edir. Təcrübənin bütün nəticələrinin baş vermə ehtimalı eyni olduqda, onların eyni ehtimal olduğu deyilir. Eyni dərəcədə ehtimal olunan hadisələrlə olmayan hadisələr arasındakı fərqləri görmək üçün aşağıda göstərilən hədəfi nəzərdən keçirin.

Hədəf A üçün qara, qırmızı və ağa dəymə hadisələri eyni dərəcədə ehtimal olunur, çünki qara, qırmızı və ağ sektorlar eynidir. Bununla belə, hədəf B üçün bu rənglərə malik zonalar eyni deyil, yəni onları vurmaq eyni dərəcədə mümkün deyil.

Prinsip P (Nəzəri)

Əgər E hadisəsi S nəticə fəzasından n mümkün bərabər ehtimal olunan nəticələrdən m şəkildə baş verə bilərsə, onda nəzəri ehtimal hadisələr, P(E) edir
P(E) = m/n.

Misal 6 3-ü almaq üçün zarın yuvarlanması ehtimalı nədir?

Həll Zərdə 6 bərabər ehtimal olunan nəticə var və 3 rəqəminin yuvarlanmasının yalnız bir imkanı var. Onda P ehtimalı P(3) = 1/6 olacaq.

Misal 7 Cüt ədədin zar üzərində yuvarlanması ehtimalı nədir?

Həll Hadisə cüt ədədin atılmasıdır. Bu 3 yolla baş verə bilər (əgər siz 2, 4 və ya 6-nı yuvarlasanız). Eyni dərəcədə ehtimal olunan nəticələrin sayı 6-dır. Onda ehtimal P(cüt) = 3/6 və ya 1/2.

Biz standart 52 kart göyərtəsini əhatə edən bir sıra nümunələrdən istifadə edəcəyik. Bu göyərtə aşağıdakı şəkildə göstərilən kartlardan ibarətdir.

Misal 8 Yaxşı qarışdırılmış kart göyərtəsindən Ace çəkmə ehtimalı nədir?

Həll 52 nəticə var (göyərtədə kartların sayı), onlar eyni dərəcədə ehtimal olunur (göyərtə yaxşı qarışdırılıbsa) və Ace çəkməyin 4 yolu var, buna görə də P prinsipinə görə ehtimal
P (ace çəkmək) = 4/52 və ya 1/13.

Misal 9 Tutaq ki, baxmadan 3 qırmızı və 4 yaşıl top olan çantadan bir top seçirik. Qırmızı topu seçmək ehtimalı nədir?

Həll Hər hansı bir top çəkməyin 7 bərabər ehtimal olunan nəticəsi var və qırmızı top çəkməyin yollarının sayı 3 olduğundan, alırıq
P (qırmızı top seçimi) = 3/7.

Aşağıdakı ifadələr Prinsip P-nin nəticələridir.

Ehtimalın xassələri

a) Əgər E hadisəsi baş verə bilməzsə, onda P(E) = 0.
b) E hadisəsinin baş verəcəyi dəqiqdirsə, P(E) = 1.
c) E hadisəsinin baş vermə ehtimalı 0-dan 1-ə qədər olan ədəddir: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Məsələn, sikkə atma zamanı sikkənin kənarına düşməsi ehtimalı sıfırdır. Bir sikkənin baş və ya quyruq olması ehtimalı 1 ehtimalına malikdir.

Misal 10 Fərz edək ki, 52 kartlıq göyərtədən 2 kart çəkilib. Onların hər ikisinin zirvə olma ehtimalı nədir?

Həll 52 kartdan ibarət yaxşı qarışdırılmış göyərtədən 2 kartı çəkməyin yollarının n sayı 52 C 2-dir. 52 kartdan 13-ü kürək olduğundan, 2 kürək çəkmək üçün m yollarının sayı 13 C 2-dir. Sonra,
P (2 zirvə çəkərək) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Misal 11 Tutaq ki, 6 kişi və 4 qadından ibarət qrupdan təsadüfi olaraq 3 nəfər seçilib. 1 kişi və 2 qadının seçilmə ehtimalı nədir?

Həll 10 nəfərlik qrupdan üç nəfəri seçmək yollarının sayı 10 C 3-dür. Bir kişi 6 C 1 yolla, 2 qadın isə 4 C 2 yolla seçilə bilər. Əsas sayma prinsipinə görə, 1 kişi və 2 qadın seçmək yollarının sayı 6 C 1-dir. 4 C 2. Sonra 1 kişi və 2 qadının seçilmə ehtimalı var
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Misal 12 Zar atmaq. İki zər üzərində cəmi 8-in yuvarlanması ehtimalı nədir?

Həll Hər zarın 6 mümkün nəticəsi var. Nəticələr ikiqat artır, yəni iki zardakı nömrələrin görünməsinin 6,6 və ya 36 mümkün yolu var. (Kublar fərqli olsa, birinin qırmızı, digərinin mavi olduğunu söyləmək daha yaxşıdır - bu, nəticəni vizuallaşdırmağa kömək edəcək.)

Cəmi 8-ə çatan ədəd cütləri aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir. 8-ə bərabər cəmi əldə etməyin 5 mümkün yolu var, buna görə də ehtimal 5/36-dır.