Diskret təsadüfi dəyişənin binom paylanması. Binom paylanması Binom paylanmasının yaradan funksiyası

Bu və sonrakı bir neçə yazıda biz təsadüfi hadisələrin riyazi modellərinə baxacağıq. Riyazi model təsadüfi dəyişəni təmsil edən riyazi ifadədir. Diskret təsadüfi dəyişənlər üçün bu riyazi ifadə paylanma funksiyası kimi tanınır.

Əgər problem təsadüfi dəyişəni təmsil edən riyazi ifadəni açıq şəkildə yazmağa imkan verirsə, onun dəyərlərindən hər hansı birinin dəqiq ehtimalını hesablaya bilərsiniz. Bu halda siz paylama funksiyasının bütün dəyərlərini hesablaya və siyahıya ala bilərsiniz. Təsadüfi dəyişənlərin müxtəlif paylanmalarına biznes, sosioloji və tibbi tətbiqlərdə rast gəlinir. Ən faydalı paylamalardan biri binomialdır.

Binom paylanması aşağıdakı xüsusiyyətlərlə xarakterizə olunan vəziyyətləri simulyasiya etmək üçün istifadə olunur.

Nümunə müəyyən sayda elementdən ibarətdir n, müəyyən bir testin nəticələrini təmsil edir.
Hər bir nümunə elementi bütün nümunə məkanını tükəndirən iki qarşılıqlı eksklüziv kateqoriyadan birinə aiddir. Adətən bu iki kateqoriyaya uğur və uğursuzluq deyilir.
Uğur ehtimalı R daimidir. Buna görə uğursuzluq ehtimalı var 1 – səh.
Hər hansı bir sınağın nəticəsi (yəni müvəffəqiyyət və ya uğursuzluq) başqa bir sınaqın nəticəsindən asılı deyil. Nəticələrin müstəqilliyini təmin etmək üçün nümunə elementləri adətən iki müxtəlif üsuldan istifadə etməklə əldə edilir. Hər bir nümunə elementi sonsuzdan təsadüfi olaraq çəkilir əhali qaytarılmadan və ya geri dönüşlü məhdud əhalidən.

Qeydi və ya formatda yükləyin, nümunələri formatda

Binom paylanmasından ibarət olan nümunədəki uğurların sayını qiymətləndirmək üçün istifadə olunur n müşahidələr. Nümunə olaraq sifarişi götürək. Sifariş vermək üçün Saxon Company müştəriləri interaktiv elektron formadan istifadə edib şirkətə göndərə bilərlər. Daha sonra informasiya sistemi sifarişlərdəki səhvləri, natamam və ya yanlış məlumatları yoxlayır. Sözügedən hər hansı sifariş qeyd olunur və gündəlik istisna hesabatına daxil edilir. Şirkət tərəfindən toplanan məlumatlar göstərir ki, sifarişlərdə səhv ehtimalı 0,1-dir. Şirkət müəyyən bir nümunədə müəyyən sayda səhv sifariş tapmaq ehtimalının nə olduğunu bilmək istər. Məsələn, müştərilər dördü tamamladı elektron formalar. Bütün sifarişlərin səhvsiz olma ehtimalı nədir? Bu ehtimalı necə hesablamaq olar? Müvəffəqiyyətlə biz formanı doldurarkən səhvi başa düşəcəyik və bütün digər nəticələr uğursuzluq hesab olunacaq. Xatırladaq ki, biz verilmiş nümunədə səhv sifarişlərin sayı ilə maraqlanırıq.

Hansı nəticələri görə bilərik? Nümunə dörd əmrdən ibarətdirsə, bir, iki, üç və ya dördünün hamısı səhv ola bilər və hamısı düzgün ola bilər. Səhv doldurulmuş formaların sayını təsvir edən təsadüfi dəyişən hər hansı başqa qiymət ala bilərmi? Bu mümkün deyil, çünki səhv formaların sayı nümunə ölçüsünü keçə bilməz n və ya mənfi olun. Beləliklə, binomial paylanma qanununa tabe olan təsadüfi dəyişən 0-dan qiymət alır n.

Fərz edək ki, dörd sifarişdən ibarət bir nümunədə aşağıdakı nəticələr müşahidə olunur:

Dörd əmrdən ibarət bir nümunədə göstərilən ardıcıllıqla üç səhv əmrin tapılma ehtimalı nədir? İlkin araşdırmalar formanı doldurarkən səhv ehtimalının 0,10 olduğunu göstərdiyi üçün yuxarıda göstərilən nəticələrin ehtimalları aşağıdakı kimi hesablanır:

Nəticələr bir-birindən asılı olmadığından, müəyyən edilmiş nəticələr ardıcıllığının ehtimalı bərabərdir: p*p*(1–p)*p = 0.1*0.1*0.9*0.1 = 0.0009. Seçimlərin sayını hesablamaq lazımdırsa X n elementlər üçün birləşmə düsturundan istifadə etməlisiniz (1):

harada n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - ədədin faktorialı n, və 0! = 1 və 1! Tərifinə görə = 1.

Bu ifadə tez-tez deyilir. Beləliklə, əgər n = 4 və X = 3 olarsa, 4-lük nümunə ölçüsündən çıxarılan üç elementdən ibarət ardıcıllığın sayı aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:

Beləliklə, üç səhv sifarişin aşkarlanması ehtimalı aşağıdakı kimi hesablanır:

(Mümkün ardıcıllıqların sayı) *
(müəyyən bir ardıcıllığın ehtimalı) = 4 * 0,0009 = 0,0036

Eynilə, dörd sifariş arasında bir və ya iki səhv olma ehtimalını, həmçinin bütün əmrlərin səhv və ya hamısının doğru olma ehtimalını hesablaya bilərsiniz. Bununla belə, artan nümunə ölçüsü ilə n müəyyən nəticələr ardıcıllığının ehtimalını müəyyən etmək çətinləşir. Bu halda, seçim sayının binomial paylanmasını təsvir edən müvafiq riyazi modeli tətbiq etməlisiniz. X ehtiva edən seçimdən obyektlər n elementləri.

Binom paylanması

Harada P(X)- ehtimal X müəyyən bir nümunə ölçüsü üçün uğur n və uğur ehtimalı R, X = 0, 1, … n.

Nəzərə alın ki, düstur (2) intuitiv nəticələrin rəsmiləşdirilməsidir. Təsadüfi dəyər X binom paylanmasına tabe olan , 0-dan aralığında istənilən tam qiymət ala bilər n. iş RX(1 – p)n – X ibarət olan xüsusi ardıcıllığın ehtimalını təmsil edir X bərabər nümunə ölçüsündə müvəffəqiyyət n. Dəyərdən ibarət mümkün birləşmələrin sayını müəyyən edir X-də uğurlar n testlər. Buna görə müəyyən sayda test üçün n və uğur ehtimalı R ibarət ardıcıllığın ehtimalı X uğur, bərabər

P(X) = (mümkün ardıcıllıqların sayı) * (müəyyən ardıcıllığın ehtimalı) =

(2) düsturunun tətbiqini təsvir edən nümunələri nəzərdən keçirək.

1. Fərz edək ki, formanın səhv doldurulma ehtimalı 0,1-dir. Doldurulmuş dörd formadan üçünün səhv olma ehtimalı nədir? Düsturdan (2) istifadə edərək, dörd sifarişdən ibarət nümunədə üç səhv sifarişin aşkar edilməsi ehtimalının bərabər olduğunu tapırıq.

2. Fərz edək ki, formanın səhv doldurulma ehtimalı 0,1-dir. Doldurulmuş dörd formadan ən azı üçünün səhv olma ehtimalı nədir? Əvvəlki nümunədə göstərildiyi kimi, doldurulmuş dörd formadan üçünün səhv olma ehtimalı 0,0036-dır. Doldurulmuş dörd forma arasında ən azı üçünün səhv olması ehtimalını hesablamaq üçün dörd doldurulmuş forma arasında üçünün səhv olma ehtimalını və dörd doldurulmuş forma arasında hamısının səhv olma ehtimalını əlavə etməlisiniz. İkinci hadisənin baş vermə ehtimalı

Beləliklə, doldurulmuş dörd forma arasında ən azı üçünün səhv olma ehtimalı bərabərdir

P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Fərz edək ki, formanın səhv doldurulma ehtimalı 0,1-dir. Doldurulmuş dörd formadan üçdən azının səhv olma ehtimalı nədir? Bu hadisənin baş vermə ehtimalı

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Formula (2) istifadə edərək, bu ehtimalların hər birini hesablayırıq:

Buna görə də P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Ehtimal P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Sonra P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

Nümunə ölçüsü artdıqca n 3-cü misaldakı hesablamalara oxşar hesablamalar çətinləşir. Bu fəsadların qarşısını almaq üçün bir çox binomial ehtimallar əvvəlcədən cədvələ salınır. Bu ehtimallardan bəziləri Şəkildə göstərilmişdir. 1. Məsələn, ehtimalını almaq üçün X= 2 at n= 4 və səh= 0.1, xəttin kəsişməsindəki nömrəni cədvəldən çıxarmalısınız X= 2 və sütunlar R = 0,1.

düyü. 1. Binam ehtimalı n = 4, X= 2 və R = 0,1

Binamial paylanma Excel =BINOM.DIST() funksiyasından istifadə etməklə hesablana bilər (Şəkil 2), 4 parametrə malikdir: müvəffəqiyyətlərin sayı - X, testlərin sayı (və ya nümunə ölçüsü) – n, uğur ehtimalı - R, parametr inteqral, TRUE dəyərini qəbul edir (bu halda ehtimal hesablanır az olmayaraq X hadisələr) və ya YANLIŞ (bu halda ehtimal hesablanır tam olaraq X hadisələr).

düyü. 2. Funksiya parametrləri =BINOM.DIST()

Yuxarıdakı üç nümunə üçün hesablamalar Şəkildə göstərilmişdir. 3 (həmçinin Excel faylına baxın). Hər sütunda bir düstur var. Rəqəmlər müvafiq nömrənin nümunələrinə cavabları göstərir).

düyü. 3. Excel-də binomial paylanmanın hesablanması n= 4 və səh = 0,1

Binom paylanmasının xassələri

Binom paylanması parametrlərdən asılıdır n Və R. Binom paylanması simmetrik və ya asimmetrik ola bilər. Əgər p = 0,05 olarsa, parametrin qiymətindən asılı olmayaraq binomial paylanma simmetrikdir. n. Bununla belə, əgər p ≠ 0,05 olarsa, paylanma əyri olur. Parametr dəyəri nə qədər yaxındır R 0,05-ə qədər və nümunə ölçüsü nə qədər böyük olarsa n, paylanmanın asimmetriyası bir o qədər az ifadə edilir. Beləliklə, səhv doldurulmuş formaların sayının bölgüsü sağa əyilir, çünki səh= 0,1 (Şəkil 4).

düyü. 4. At binomial paylanması histoqramı n= 4 və səh = 0,1

Binamial paylanmanın gözləntiləri nümunə ölçüsünün məhsuluna bərabərdir n uğur ehtimalı haqqında R:

(3) M = E(X) =n.p.

Orta hesabla, dörd sifarişdən ibarət nümunədə kifayət qədər uzun testlər seriyası ilə p = E(X) = 4 x 0,1 = 0,4 səhv doldurulmuş formalar ola bilər.

Binom paylanmasının standart kənarlaşması

Məsələn, mühasibat uçotunda səhv doldurulmuş formaların sayının standart sapması məlumat Sistemi bərabərdir:

Levin və başqalarının Menecerlər üçün Statistika kitabının materiallarından istifadə olunur. – M.: Williams, 2004. – s. 307–313

Bütün hadisələr 1, 2, 3... 100500 kimi kəmiyyət miqyasında ölçülmür... Bir hadisə həmişə sonsuz və ya çoxlu sayda müxtəlif vəziyyətlər ala bilməz. Məsələn, insanın cinsi M və ya F ola bilər. Atıcı ya hədəfi vurur, ya da qaçır. İstər “lehinə”, istərsə də “əleyhinə” səs verə bilərsiniz. və s. Başqa sözlə, bu cür məlumatlar alternativ atributun vəziyyətini əks etdirir - ya "bəli" (hadisə baş verdi) və ya "yox" (hadisə baş vermədi). Baş verən hadisəyə (müsbət nəticə) “uğur” da deyilir.

Belə məlumatlar ilə təcrübələr deyilir Bernoulli sxemi, bunu nə vaxt quran məşhur isveçrəli riyaziyyatçının şərəfinə böyük miqdarda testlər, müsbət nəticələrin nisbəti və testlərin ümumi sayı bu hadisənin baş vermə ehtimalına meyllidir.

Alternativ xarakterik dəyişən

Təhlildə riyazi aparatdan istifadə etmək üçün belə müşahidələrin nəticələrini qeyd etmək lazımdır ədədi forma. Bunun üçün müsbət nəticəyə 1 nömrəsi, mənfi nəticəyə - 0 verilir. Başqa sözlə, biz yalnız iki qiymət ala bilən dəyişənlə məşğul oluruq: 0 və ya 1.

Bundan hansı fayda əldə etmək olar? Əslində, adi məlumatlardan az deyil. Beləliklə, müsbət nəticələrin sayını hesablamaq asandır - bütün dəyərləri ümumiləşdirmək kifayətdir, yəni. hamısı 1 (uğur). Siz daha da irəli gedə bilərsiniz, lakin bu, bir neçə qeyd təqdim etməyinizi tələb edəcək.

Qeyd etmək lazım olan ilk şey müsbət nəticələrin (1-ə bərabər olan) baş vermə ehtimalının müəyyən olmasıdır. Məsələn, sikkə atarkən baş almaq ½ və ya 0,5-dir. Bu ehtimal ənənəvi olaraq Latın hərfi ilə işarələnir səh. Buna görə də alternativ hadisənin baş vermə ehtimalı bərabərdir 1 - səh, bu da ilə işarələnir q, yəni q = 1 – səh. Bu qeydlər dəyişən paylama cədvəli şəklində aydın şəkildə sistemləşdirilə bilər X.

Mümkün dəyərlərin və onların ehtimallarının siyahısını aldıq. Hesablamaq olar gözlənilən dəyər Və dispersiya. Gözləmə bütün mümkün dəyərlərin və onlara uyğun ehtimalların məhsullarının cəmidir:

Yuxarıdakı cədvəllərdə qeydlərdən istifadə edərək gözləntiləri hesablayaq.

Belə çıxır ki, alternativ işarənin riyazi gözləntisi bu hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir - səh.

İndi alternativ atributun variasiyasının nə olduğunu müəyyən edək. Dispersiya riyazi gözləntidən kənarlaşmaların orta kvadratıdır. Ümumi formula(diskret verilənlər üçün) formaya malikdir:

Beləliklə, alternativ atributun fərqliliyi:

Bu dispersiyanın maksimum 0,25 olduğunu görmək asandır p=0,5).

Standart sapma variasiyanın köküdür:

Maksimum dəyər 0,5-dən çox deyil.

Gördüyünüz kimi, həm riyazi gözlənti, həm də alternativ atributun dispersiyasının çox yığcam forması var.

Təsadüfi dəyişənin binom paylanması

Vəziyyətə başqa tərəfdən baxaq. Doğrudan da, hər atışda baş itkisinin orta hesabla 0,5 olması kimin vecinədir? Təsəvvür etmək belə mümkün deyil. Müəyyən sayda atış üçün baş verən başların sayı ilə bağlı sual vermək daha maraqlıdır.

Başqa sözlə, tədqiqatçı çox vaxt müəyyən sayda uğurlu hadisələrin baş vermə ehtimalı ilə maraqlanır. Bu, sınaqdan keçirilmiş partiyada qüsurlu məhsulların sayı (1 - qüsurlu, 0 - yaxşı) və ya sağalma sayı (1 - sağlam, 0 - xəstə) və s. ola bilər. Belə "uğurların" sayı dəyişənin bütün dəyərlərinin cəminə bərabər olacaqdır X, yəni. tək nəticələrin sayı.

Təsadüfi dəyər B binomial adlanır və 0-dan qiymət alır n(saat B= 0 – bütün hissələr uyğundur, ilə B = n– bütün hissələr nasazdır). Bütün dəyərlərin olduğu güman edilir x bir-birindən müstəqildir. Bir binomial dəyişənin əsas xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək, yəni onun riyazi gözləntisini, dispersiyasını və paylanmasını quracağıq.

Bir binomial dəyişənin gözləntisini əldə etmək çox asandır. Kəmiyyətlərin cəminin riyazi gözləntisi hər bir əlavə kəmiyyətin riyazi gözləntilərinin cəmidir və hamı üçün eynidir, ona görə də:

Məsələn, 100 atışda atılan başların sayının riyazi gözləntisi 100 × 0,5 = 50-dir.

İndi biz binomial dəyişənin dispersiya düsturunu əldə edirik. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyası dispersiyaların cəmidir. Buradan

Standart sapma, müvafiq olaraq

100 sikkə atışı üçün başların sayının standart sapmasıdır

Nəhayət, binomial dəyərin paylanmasını nəzərdən keçirin, yəni. təsadüfi dəyişən olma ehtimalı B fərqli dəyərlər alacaq k, Harada 0≤k≤n. Bir sikkə üçün bu problem belə görünə bilər: 100 atışda 40 baş alma ehtimalı nədir?

Hesablama metodunu başa düşmək üçün sikkənin cəmi 4 dəfə atıldığını təsəvvür edin. Hər dəfə hər iki tərəf yıxıla bilər. Özümüzə sual veririk: 4 atışdan 2 baş alma ehtimalı nədir? Hər atış bir-birindən müstəqildir. Bu o deməkdir ki, hər hansı bir kombinasiya əldə etmək ehtimalı hər bir fərdi atış üçün verilmiş nəticənin ehtimallarının hasilinə bərabər olacaqdır. O başlar olsun, P quyruq olsun. Sonra, məsələn, bizə uyğun olan birləşmələrdən biri OOPP kimi görünə bilər, yəni:

Belə birləşmənin ehtimalı iki baş alma ehtimalının və daha iki baş almama ehtimalının hasilinə bərabərdir (əks hadisə, aşağıdakı kimi hesablanır). 1 - səh), yəni. 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Bu, bizə uyğun olan birləşmələrdən birinin ehtimalıdır. Ancaq söhbət qartalların ümumi sayından gedirdi, bəziləri haqqında yox müəyyən bir qaydada. Sonra tam olaraq 2 başın olduğu bütün birləşmələrin ehtimallarını əlavə etməlisiniz. Aydındır ki, onların hamısı eynidir (amillər dəyişdirildikdə məhsul dəyişmir). Buna görə də, onların sayını hesablamaq və sonra hər hansı belə birləşmənin ehtimalı ilə çarpmaq lazımdır. Gəlin 2 başlıqdan ibarət 4 atışın bütün kombinasiyalarını hesablayaq: RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR. Ümumilikdə 6 variant var.

Buna görə də, 4 atışdan sonra 2 baş əldə etmək üçün arzu olunan ehtimal 6×0,0625=0,375-dir.

Ancaq bu şəkildə saymaq yorucudur. Onsuz da 10 sikkə üçün kobud güclə seçimlərin ümumi sayını əldə etmək çox çətin olacaq. Buna görə də, ağıllı insanlar çoxdan müxtəlif birləşmələrin sayını hesabladıqları bir düstur icad etdilər n tərəfindən elementlər k, Harada n- elementlərin ümumi sayı, k– yerləşdirmə variantları sayılan elementlərin sayı. birləşmə düsturu n tərəfindən elementlər k budur:

Oxşar şeylər kombinatorika bölməsində baş verir. Biliyini artırmaq istəyən hər kəsi ora göndərirəm. Beləliklə, yeri gəlmişkən, binomial paylanmanın adı (yuxarıdakı düstur Nyutonun binomunun genişlənməsi əmsalıdır).

Ehtimalın müəyyən edilməsi düsturu istənilən kəmiyyət üçün asanlıqla ümumiləşdirilə bilər n Və k. Nəticədə binomial paylanma düsturu aşağıdakı formaya malikdir.

Şərtə uyğun gələn birləşmələrin sayı onlardan birinin ehtimalına vurulur.

Praktik istifadə üçün binomial paylanmanın düsturunu bilmək kifayətdir. Və ya hətta bilmirsiniz - aşağıda Excel-dən istifadə edərək ehtimalı necə təyin edəcəyimizi göstəririk. Ancaq bilmək daha yaxşıdır.

Bu düsturdan istifadə edərək, 100 atışda 40 baş əldə etmə ehtimalını hesablayırıq:

Və ya sadəcə 1,08%. Müqayisə üçün qeyd edək ki, bu təcrübənin riyazi gözləntisinin, yəni 50 başın ehtimalı 7,96%-ə bərabərdir. Binom dəyərin maksimum ehtimalı riyazi gözləntiyə uyğun gələn qiymətə aiddir.

Excel-də binomial paylanma ehtimalının hesablanması

Yalnız kağız və kalkulyatordan istifadə edirsinizsə, onda inteqralların olmamasına baxmayaraq binomial paylanma düsturundan istifadə edərək hesablamalar olduqca çətindir. Məsələn, dəyər 100-dür! – 150-dən çox simvoldan ibarətdir. Əvvəllər və hətta indi belə kəmiyyətləri hesablamaq üçün təxmini düsturlardan istifadə olunurdu. Hazırda MS Excel kimi xüsusi proqram təminatından istifadə etmək məqsədəuyğundur. Beləliklə, hər hansı bir istifadəçi (hətta təlim keçmiş humanist də) binomially paylanmış dəyərin ehtimalını asanlıqla hesablaya bilər. təsadüfi dəyişən.

Materialı birləşdirmək üçün biz Excel-dən hələlik adi kalkulyator kimi istifadə edəcəyik, yəni. Binom paylama düsturundan istifadə edərək addım-addım hesablama aparaq. Məsələn, 50 baş alma ehtimalını hesablayaq. Aşağıda hesablama addımları və son nəticə ilə bir şəkil var.

Göründüyü kimi, aralıq nəticələr o qədər miqyaslıdır ki, hər yerdə istifadə olunsa da, hüceyrəyə sığmır. sadə funksiyalar növlər: FAKTOR (faktorialın hesablanması), POWER (ədədi bir dərəcəyə qaldırmaq), həmçinin vurma və bölmə operatorları. Üstəlik, bu hesablama olduqca çətin, hər halda, yığcam deyil, çünki çoxlu hüceyrələr iştirak edir. Bəli və dərhal anlamaq bir az çətindir.

Ümumiyyətlə, Excel binomial paylanma ehtimallarının hesablanması üçün hazır funksiya təqdim edir. Funksiya çağırılır BINOM.DIST.

Uğurların sayı - uğurlu sınaqların sayı. Bizdə onlardan 50-si var.

Testlərin sayı – atışların sayı: 100 dəfə.

Uğur ehtimalı – bir atışda başların alınma ehtimalı 0,5-dir.

İnteqral – ya 1, ya da 0 göstərilir.0 olarsa, ehtimal hesablanır P(B=k); 1 olarsa, binomial paylanma funksiyası hesablanacaq, yəni. olan bütün ehtimalların cəmi B=0əvvəl B=k daxil olmaqla.

OK düyməsini basın və yuxarıdakı kimi eyni nəticəni əldə edin, yalnız hər şey bir funksiya ilə hesablanıb.

Çox rahat. Təcrübə üçün sonuncu parametr 0 yerinə 1 qoyuruq. 0,5398 alırıq. Bu o deməkdir ki, 100 sikkə atılması ilə 0 ilə 50 arasında baş əldə etmə ehtimalı demək olar ki, 54% təşkil edir. Amma əvvəlcə belə görünürdü ki, 50% olmalıdır. Ümumiyyətlə, hesablamalar tez və asanlıqla aparılır.

Həqiqi analitik funksiyanın necə davrandığını başa düşməlidir (onun paylanması nədir), buna görə də 0-dan 100-ə qədər olan bütün dəyərlər üçün ehtimalları hesablayacağıq. Yəni, sual verəcəyik: bir qartalın olmaması ehtimalı nədir görünəcək, 1 qartal görünəcək, 2, 3, 50, 90 və ya 100. Hesablama aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir. Mavi xətt binomial paylanmanın özüdür, qırmızı nöqtə müəyyən sayda müvəffəqiyyətin k ehtimalıdır.

Binom paylanmasının oxşar olub olmadığını soruşmaq olar... Bəli, çox oxşardır. Hətta Moivre (1733-cü ildə) böyük nümunələrlə binomial paylamanın yaxınlaşdığını (o vaxt bunun nə adlandığını bilmirəm), lakin heç kim ona qulaq asmadığını söylədi. Yalnız Qauss, sonra isə 60-70 il sonra Laplas yenidən kəşf edildi və diqqətlə öyrənildi. normal qanun paylamalar. Yuxarıdakı qrafik açıq şəkildə göstərir ki, maksimum ehtimal riyazi gözləntiyə düşür və ondan yayındıqca kəskin şəkildə azalır. Normal qanun kimi.

Binom paylanması böyük praktik əhəmiyyətə malikdir və çox tez-tez baş verir. Excel-dən istifadə edərək hesablamalar tez və asanlıqla aparılır.

Binom paylama diskret dəyişən təsadüfi dəyişənin ən vacib ehtimal paylamalarından biridir. Binamial paylanma ədədin ehtimal paylanmasıdır m hadisənin baş verməsi A V n qarşılıqlı müstəqil müşahidələr. Tez-tez bir hadisə A müşahidənin “uğur”u, əks hadisə isə “uğursuzluq” adlanır, lakin bu təyinat çox şərtlidir.

Binom paylama şərtləri:

ümumilikdə həyata keçirilir n Hadisənin yaşandığı məhkəmələr A baş verə bilər və ya olmaya bilər;
hadisə A hər sınaqda eyni ehtimalla baş verə bilər səh;
testlər bir-birindən müstəqildir.

Ehtimal ki, daxil n sınaq hadisəsi A tam olaraq gələcək m dəfə Bernoulli düsturu ilə hesablana bilər:

Harada səh- hadisənin baş vermə ehtimalı A;

q = 1 - səh- əks hadisənin baş vermə ehtimalı.

Gəlin bunu anlayaq niyə binom paylanması yuxarıda təsvir edilən qaydada Bernulli düsturuna aiddir? . Tədbir - müvəffəqiyyətlərin sayı n testlər bir sıra variantlara bölünür, hər birində uğur əldə edilir m testlər və uğursuzluqlar - in n - m testlər. Bu variantlardan birini nəzərdən keçirək - B1 . Ehtimalları toplamaq qaydasından istifadə edərək, əks hadisələrin ehtimallarını çoxaldırıq:

və işarə etsək q = 1 - səh, Bu

Hansı digər variant m uğur və n - m uğursuzluqlar. Belə variantların sayı mümkün olan yolların sayına bərabərdir n test almaq m uğur.

Bütün ehtimalların cəmi m hadisələrin baş vermə nömrələri A(0-dan rəqəmlər n) birinə bərabərdir:

burada hər bir termin Nyutonun binomunda bir termini təmsil edir. Buna görə də nəzərdən keçirilən paylanma binomial paylanma adlanır.

Praktikada tez-tez ehtimalları hesablamaq lazımdır "daha çox deyil m-də uğurlar n testlər" və ya "ən azı m-də uğurlar n testlər". Bunun üçün aşağıdakı düsturlardan istifadə olunur.

İnteqral funksiyası, yəni ehtimal F(m) nə var n müşahidə hadisəsi A daha gəlməyəcək m bir dəfə, düsturla hesablana bilər:

Öz növbəsində ehtimal F(≥m) nə var n müşahidə hadisəsi A az gəlməyəcək m bir dəfə, düsturla hesablanır:

Bəzən bunun ehtimalını hesablamaq daha rahatdır n müşahidə hadisəsi A daha gəlməyəcək m dəfə, əks hadisənin ehtimalı vasitəsilə:

Hansı düsturun istifadə olunacağı onlardan hansının cəminin daha az şərtlərdən ibarət olmasından asılıdır.

Binom paylanmasının xüsusiyyətləri aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə hesablanır .

Gözlənilən dəyər: .

Dispersiya: .

Standart sapma: .

MS Excel-də binom paylanması və hesablamalar

Binom ehtimalı P n ( m) və inteqral funksiyanın qiymətləri F(m) MS Excel BINOM.DIST funksiyasından istifadə etməklə hesablana bilər. Müvafiq hesablama üçün pəncərə aşağıda göstərilmişdir (böyütmək üçün sol klikləyin).

MS Excel sizdən aşağıdakı məlumatları daxil etməyi tələb edir:

uğurların sayı;
testlərin sayı;
uğur ehtimalı;
inteqral - məntiqi dəyər: 0 - ehtimalı hesablamaq lazımdırsa P n ( m) və 1 - ehtimal olarsa F(m).

Misal 1.Şirkət meneceri son 100 gündə satılan kameraların sayı haqqında məlumatları ümumiləşdirdi. Cədvəl məlumatları ümumiləşdirir və gündə müəyyən sayda kameranın satılacağı ehtimallarını hesablayır.

13 və ya daha çox kamera satılarsa, gün qazancla başa çatır. Günün sərfəli işləməsi ehtimalı:

Bir günün mənfəətsiz işləməsi ehtimalı:

Bir günün mənfəətlə işləməsi ehtimalı sabit və 0,61-ə bərabər olsun və gündə satılan kameraların sayı gündən asılı olmasın. Sonra hadisənin olduğu binom paylanmasından istifadə edə bilərik A- gün qazancla işləyəcək, - qazancsız.

Bütün 6 günün mənfəətlə işlənəcəyi ehtimalı:

MS Excel-in BINOM.DIST funksiyasından istifadə edərək eyni nəticəni alırıq (inteqral dəyərin dəyəri 0-dır):

P 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

6 gündən 4 və ya daha çox günün mənfəətlə işləmə ehtimalı:

Harada ,

MS Excel-in BINOM.DIST funksiyasından istifadə edərək, 6 gündən 3 gündən çox olmayan müddətin mənfəətlə tamamlanma ehtimalını hesablayırıq (inteqral dəyərin dəyəri 1-dir):

P 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Bütün 6 günün itkilərlə işlənəcəyi ehtimalı:

Eyni göstəricini MS Excel-in BINOM.DIST funksiyasından istifadə edərək hesablaya bilərik:

P 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Problemi özünüz həll edin və sonra həllini görün

Misal 2. Qabda 2 ağ və 3 qara top var. Qazandan bir top çıxarılır, rəng qoyulur və geri qoyulur. Cəhd 5 dəfə təkrarlanır. Ağ topların baş vermə sayı diskret təsadüfi dəyişəndir X, binom qanununa görə paylanmışdır. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu tərtib edin. Rejimi, riyazi gözləntiləri və dispersiyanı müəyyənləşdirin.

Problemləri birlikdə həll etməyə davam edək

Misal 3. Kuryer xidmətindən saytlara getdik n= 5 kuryer. Hər bir kuryer ehtimal olunur səh= 0.3, başqalarından asılı olmayaraq, obyekt üçün gecikir. Diskret təsadüfi dəyişən X- gecikmiş kuryerlərin sayı. Bu təsadüfi dəyişən üçün paylanma seriyasını qurun. Onun riyazi gözləntisini, dispersiyasını, standart kənarlaşmasını tapın. Ən azı iki kuryerin obyektlərə gecikməsi ehtimalını tapın.

Fəsil 7.

Təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının xüsusi qanunları

Diskret təsadüfi dəyişənlərin paylanması qanunlarının növləri

Diskret təsadüfi dəyişən qiymətləri qəbul etsin X 1 , X 2 , …, x n,…. Bu dəyərlərin ehtimalları müxtəlif düsturlardan, məsələn, ehtimal nəzəriyyəsinin əsas teoremlərindən, Bernoulli düsturundan və ya bəzi digər düsturlardan istifadə etməklə hesablana bilər. Bu düsturların bəziləri üçün paylama qanununun öz adı var.

Diskret təsadüfi dəyişənin paylanmasının ən ümumi qanunları binom, həndəsi, hiperhəndəsi və Puasson paylama qanunudur.

Binom paylama qanunu

Qoy istehsal olunsun n müstəqil sınaqlar, hər birində hadisə görünə bilər və ya olmaya bilər A. Bu hadisənin hər bir sınaqda baş vermə ehtimalı sabitdir, sınaq sayından asılı deyil və bərabərdir. R=R(A). Beləliklə, hadisənin baş verməməsi ehtimalı A hər testdə də sabit və bərabərdir q=1–R. Təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin X hadisənin baş vermə sayına bərabərdir A V n testlər. Aydındır ki, bu kəmiyyətin dəyərləri bərabərdir

X 1 =0 – hadisə A V n testlər görünmədi;

X 2 =1 – hadisə A V n sınaqlarda bir dəfə ortaya çıxdı;

X 3 =2 – hadisə A V n testlər iki dəfə ortaya çıxdı;

…………………………………………………………..

x n +1 = n- hadisə A V n testlər zamanı hər şey ortaya çıxdı n bir dəfə.

Bu dəyərlərin ehtimalları Bernoulli düsturu (4.1) ilə hesablana bilər:

Harada Kimə=0, 1, 2, …,n .

Binom paylama qanunu X, uğurlarının sayına bərabərdir n Bernoulli testləri, müvəffəqiyyət ehtimalı ilə R.

Beləliklə, diskret təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri 0, 1, 2, ... olarsa, binomial paylanmaya malikdir (və ya binom qanununa görə paylanır), n, və müvafiq ehtimallar (7.1) düsturu ilə hesablanır.

Binamial paylanma ikidən asılıdır parametrlər R Və n.

Binom qanununa görə paylanmış təsadüfi dəyişənin paylanma sırası aşağıdakı formaya malikdir:

X			…	k	…	n
R			…		…

Misal 7.1 . Hədəfə üç müstəqil atəş açılır. Hər vuruşun vurulma ehtimalı 0,4-dür. Təsadüfi dəyər X- hədəfə vurulan zərbələrin sayı. Onun paylama seriyasını qurun.

Həll. Təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri X var X 1 =0; X 2 =1; X 3 =2; X 4 =3. Bernulli düsturundan istifadə edərək müvafiq ehtimalları tapaq. Burada bu düsturdan istifadənin tamamilə haqlı olduğunu göstərmək çətin deyil. Qeyd edək ki, bir atışla hədəfə dəyməmək ehtimalı 1-0,4=0,6 bərabər olacaq. alırıq

Dağıtım seriyası aşağıdakı formaya malikdir:

X
R	0,216	0,432	0,288	0,064

Bütün ehtimalların cəminin 1-ə bərabər olduğunu yoxlamaq asandır. Təsadüfi dəyişənin özü X binom qanununa uyğun olaraq paylanır. ■

Binom qanununa görə paylanmış təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapaq.

Nümunə 6.5 həll edilərkən göstərildi ki, hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisi A V n müstəqil sınaqların baş vermə ehtimalı varsa A hər testdə sabit və bərabərdir R, bərabərdir n· R

Bu misalda binomial qanuna görə paylanmış təsadüfi dəyişəndən istifadə edilmişdir. Buna görə də 6.5-ci misalın həlli mahiyyətcə aşağıdakı teoremin sübutudur.

Teorem 7.1. Binom qanununa uyğun olaraq paylanmış diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri sınaqların sayının və "uğur" ehtimalının hasilinə bərabərdir, yəni. M(X)=n· R.

Teorem 7.2. Binom qanununa görə paylanmış diskret təsadüfi kəmənin dispersiyası sınaqların sayının “uğur” ehtimalı və “uğursuzluq” ehtimalının hasilinə bərabərdir, yəni. D(X)=nрq.

Binom qanununa görə paylanmış təsadüfi dəyişənin asimmetriyası və kurtozu düsturlarla müəyyən edilir.

Bu düsturları ilkin və mərkəzi momentlər anlayışından istifadə etməklə əldə etmək olar.

Binom paylama qanunu bir çox real həyat vəziyyətlərinin əsasını təşkil edir. Böyük dəyərlər üçün n Binom paylanması digər paylanmalardan, xüsusən də Puasson paylanmasından istifadə etməklə təxmini hesablana bilər.

Poisson paylanması

Var olsun n Bernoulli testləri, testlərin sayı ilə n kifayət qədər böyük. Əvvəllər göstərildi ki, bu halda (əgər, üstəlik, ehtimal R hadisələr Açox kiçik) hadisənin olma ehtimalını tapmaq A görünür T Testlərdə bir dəfə Poisson düsturundan (4.9) istifadə edə bilərsiniz. Əgər təsadüfi dəyişən X hadisənin baş vermə sayını bildirir A V n Bernoulli testləri, o zaman ki ehtimalı X dəyərini alacaq k düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər

, (7.2)

Harada λ = nр.

Puasson paylama qanunu diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanması adlanır X, bunun üçün mümkün dəyərlər mənfi olmayan tam ədədlər və ehtimallardır r t bu dəyərlər (7.2) düsturundan istifadə etməklə tapılır.

Böyüklük λ = nрçağırdı parametr Poisson paylamaları.

Puasson qanununa görə paylanmış təsadüfi dəyişən sonsuz sayda qiymət ala bilər. Çünki bu paylama üçün ehtimal R Hər bir sınaqda bir hadisənin baş verməsi kiçikdir, onda bu paylanma bəzən nadir hadisələr qanunu adlanır.

Puasson qanununa görə paylanmış təsadüfi dəyişənin paylanma sırası formaya malikdir

X					…	T	…
R					…		…

İkinci cərgənin ehtimallarının cəminin 1-ə bərabər olduğunu yoxlamaq asandır. Bunu etmək üçün funksiyanın hər hansı bir sıra üçün birləşən Maclaurin seriyasına genişləndirilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. X. Bu vəziyyətdə bizdə var

. (7.3)

Qeyd edildiyi kimi, Puasson qanunu müəyyən məhdudlaşdırıcı hallarda binomial qanunu əvəz edir. Məsələn, təsadüfi dəyişən X, dəyərləri texniki cihazın təkrar istifadəsi zamanı müəyyən bir müddət ərzində uğursuzluqların sayına bərabərdir. Bunun yüksək etibarlı bir cihaz olduğu güman edilir, yəni. Bir tətbiqdə uğursuzluq ehtimalı çox azdır.

Bu cür məhdudlaşdırıcı hallara əlavə olaraq, praktikada Puasson qanununa görə paylanmış təsadüfi dəyişənlər var ki, onlar binomial paylanma ilə əlaqəli deyillər. Məsələn, Poisson paylanmasından tez-tez müəyyən bir müddət ərzində baş verən hadisələrin sayı (bir saat ərzində telefon stansiyasına daxil olan zənglərin sayı, gün ərzində avtoyuma məntəqəsinə gələn avtomobillərin sayı, həftədə maşın dayanmalarının sayı və s. .). Bütün bu hadisələr növbə nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biri olan hadisələrin cərəyanı adlanan axını formalaşdırmalıdır. Parametr λ hadisələrin axınının orta intensivliyini xarakterizə edir.

Misal 7.2 . Fakültədə 500 tələbə təhsil alır. Sentyabrın 1-in bu şöbənin üç tələbəsinin doğum günü olması ehtimalı nədir?

Həll . Tələbə sayından bəri n=500 olduqca böyükdür və R– tələbələrdən hər hansı biri üçün sentyabrın 1-də anadan olma ehtimalı bərabərdir, yəni. kifayət qədər kiçikdirsə, onda təsadüfi dəyişən olduğunu güman edə bilərik X- 1 sentyabrda doğulan tələbələrin sayı parametri ilə Puasson qanununa uyğun olaraq bölüşdürülür. λ = n.p.= =1,36986. Sonra (7.2) düsturuna görə alırıq

Teorem 7.3. Təsadüfi dəyişən olsun X Puasson qanununa görə paylanır. Onda onun riyazi gözləntisi və dispersiyası bir-birinə bərabərdir və parametrin qiymətinə bərabərdir λ , yəni. M(X) = D(X) = λ = n.p..

Sübut. Riyazi gözləntinin tərifinə əsasən (7.3) düsturundan və Puasson qanununa uyğun olaraq paylanmış təsadüfi dəyişənin paylanma seriyasından istifadə edərək, əldə edirik.

Dispersiyanı tapmazdan əvvəl ilk növbədə nəzərdən keçirilən təsadüfi kəmiyyətin kvadratının riyazi gözləntisini tapırıq. alırıq

Buradan dispersiyanın tərifinə görə alırıq

Teorem sübut edilmişdir.

Başlanğıc və mərkəzi momentlər anlayışlarından istifadə etməklə göstərmək olar ki, Puasson qanununa görə paylanmış təsadüfi dəyişən üçün əyilmə və kurtoz əmsalları düsturlarla müəyyən edilir.

Bunu başa düşmək çətin deyil, çünki parametrin semantik məzmunu λ = n.p. müsbətdir, onda Puasson qanununa görə paylanmış təsadüfi dəyişən həmişə müsbət əyilmə və kurtoza malikdir.

- (binomial paylanma) Bir sıra müstəqil hadisələrin müşahidəsi nəticəsində əldə edilən hər hansı təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalını hesablamağa imkan verən paylama, əgər onun elementar komponentlərinin baş vermə ehtimalı ... ... İqtisadi lüğət

- (Bernulli paylanması) təkrar müstəqil sınaqlar zamanı müəyyən hadisənin baş vermə sayının ehtimal paylanması, əgər hər sınaqda bu hadisənin baş vermə ehtimalı p(0 p 1)-ə bərabərdirsə. Dəqiq, nömrə? bu hadisənin baş verməsi ...... Böyük ensiklopedik lüğət

binomial paylanma- - Telekommunikasiya mövzuları, əsas anlayışlar EN binomial paylanması ...

- (Bernulli paylanması), hər bir sınaqda bu hadisənin baş vermə ehtimalı p (0≤p≤1)-ə bərabər olarsa, təkrar müstəqil sınaqlar zamanı müəyyən hadisənin baş vermə sayının ehtimal paylanması. Məhz, bu hadisənin baş vermələrinin μ sayı... ... ensiklopedik lüğət

binomial paylanma- 1.49. binomial paylanma X = 0, 1, 2, ..., n və parametrlər üçün n = 1, 2, ... və 0< p < 1, где Источник … Normativ-texniki sənədlərin terminlərinin lüğət-aparat kitabı

Bernoulli paylanması, təsadüfi dəyişən X-in ehtimal paylanması, müvafiq olaraq ehtimallarla tam ədədlər alaraq (binomial əmsalı; B. r.-nin p parametri, müsbət nəticə ehtimalı adlanır, dəyərləri alaraq ... Riyaziyyat ensiklopediyası

Təkrar müstəqil sınaqlar zamanı müəyyən hadisənin baş vermə sayının ehtimal paylanması. Əgər hər sınaq zamanı hadisənin baş vermə ehtimalı 0 ≤ p ≤ 1 ilə p-ə bərabərdirsə, n müstəqil üçün bu hadisənin baş vermələrinin μ sayı... ... Böyük Sovet ensiklopediyası

- (Bernoulli paylanması), təkrar müstəqil sınaqlar zamanı müəyyən hadisənin baş vermə sayının ehtimal paylanması, əgər hər sınaqda bu hadisənin baş vermə ehtimalı p (0) -ə bərabərdirsə.<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Təbiət elmi. ensiklopedik lüğət

Binom ehtimal paylanması- (binomial paylanma) Hər bir müstəqil eksperimentin (statistik müşahidə) nəticəsi iki mümkün dəyərdən birini qəbul etdiyi hallarda müşahidə olunan paylama: qələbə və ya məğlubiyyət, daxilolma və ya istisna, üstəlik və ya ... İqtisadi və riyaziyyat lüğəti

binomial ehtimal paylanması- Hər bir müstəqil eksperimentin (statistik müşahidə) nəticəsinin iki mümkün dəyərdən birini qəbul etdiyi hallarda müşahidə edilən bölgü: qələbə və ya məğlubiyyət, daxilolma və ya istisna, üstəgəl və ya mənfi, 0 və ya 1. Yəni... ... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi

Kitablar

Problemlərdə ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika. 360-dan çox problem və məşq, D. A. Borzykh. Təklif olunan dərslik müxtəlif mürəkkəblik səviyyələrində tapşırıqları ehtiva edir. Bununla belə, əsas diqqət orta mürəkkəblikdəki vəzifələrə verilir. Bu, tələbələri həvəsləndirmək üçün qəsdən edilir...
Problemlərdə ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika 360-dan çox məsələ və məşq, D.Borzıx.Təklif olunan dərslik müxtəlif mürəkkəblik səviyyəli məsələlərdən ibarətdir. Bununla belə, əsas diqqət orta mürəkkəblikdəki vəzifələrə verilir. Bu, tələbələri həvəsləndirmək üçün qəsdən edilir...