Birinci törəmənin həndəsi və mexaniki mənası. Törəmənin mexaniki mənası İkinci törəmənin fiziki və ya mexaniki mənası

20 saylı təlimat kartı

Takyryby/Mövzu: « İkinci törəmə və onun fiziki mənası».

Məqsəd / Məqsəd:

Tangensin tənliyini, eləcə də tangensin OX oxuna meyl bucağının tangensini tapa bilmək. Funksiyanın dəyişmə sürətini, eləcə də sürətini tapa bilmək.

Öyrənilmiş faktları və anlayışları müqayisə etmək və təsnif etmək bacarıqlarının formalaşması üçün şərait yaratmaq.

Tərbiyə işinə məsuliyyətli münasibət, tangens tənliyinin tapılmasında, həmçinin funksiyanın və sürətlənmənin dəyişmə sürətinin tapılmasında yekun nəticələrə nail olmaq üçün iradə və əzmkarlıq tərbiyəsi.

Nəzəri material:

(Həndəsi məna əldə edilmişdir)

Funksiya qrafikinin tangens tənliyi:

Misal 1: 2-ci ədəbsiz nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyini tapaq.

Cavab: y = 4x-7

Absis x o nöqtəsində funksiyanın qrafikinə toxunan k bucaq əmsalı f / (x o) bərabərdir (k= f / (x o)). Verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə tangensin meyl bucağı bərabərdir

arctg k = arctg f / (x o), yəni. k= f / (x o)= tg

Misal 2: Sinus dalğası hansı bucaqdadır x oxunu başlanğıcda kəsir?

Verilmiş funksiyanın qrafikinin x oxunu kəsdiyi bucaq bu nöqtədə f(x) funksiyasının qrafikinə çəkilmiş tangensin a yamacına bərabərdir. Törəməni tapaq: Törəmənin həndəsi mənasını nəzərə alsaq: və a = 60°. Cavab: =60 0 .

Əgər funksiyanın təyin dairəsinin hər bir nöqtəsində törəməsi varsa, onun törəməsi funksiyasıdır. Funksiya, öz növbəsində, adlanan törəmə ola bilər ikinci dərəcəli törəmə funksiyaları (və ya ikinci törəmə) və simvolu ilə təyin olunur.

Misal 3: Funksiyanın ikinci törəməsini tapın: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Əvvəlcə bu funksiyanın birinci törəməsini tapaq f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2,

Sonra, alınan birinci törəmənin ikinci törəməsini tapırıq

f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Cavab: f""x) = 6x-8.

(İkinci törəmənin mexaniki mənası)

Əgər nöqtə düzxətli hərəkət edirsə və onun hərəkət qanunu verilmişdirsə, onda nöqtənin sürətlənməsi yolun zamana görə ikinci törəməsinə bərabərdir:

Maddi cismin sürəti yolun birinci törəməsinə bərabərdir, yəni:

Maddi cismin sürətlənməsi sürətin birinci törəməsinə bərabərdir, yəni:

Misal 4: Bədən s (t) = 3 + 2t + t 2 (m) qanununa uyğun olaraq düzxətli hərəkət edir. t = 3 s zamanında onun sürətini və təcilini təyin edin. (Məsafə metrlə, vaxt saniyə ilə ölçülür).
Həll
v (t) = s΄ (t) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
a (t) = v΄ (t) =(2+2t)’= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). Cavab: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Praktik hissə:

1 seçim	Seçim 2	Seçim 3	Seçim 4	Seçim 5
Verilmiş M nöqtəsindən keçən tangensin x oxuna meyl bucağının tangensini tapın. f funksiyasının qrafiki.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
absis x 0 olan nöqtədə f funksiyasının qrafikinə toxunan tənlik tənliyini yazın.
f(x)=x 3 -1, x 0 =2	f(x)=x 2 +1, x 0 =1	f(x)= 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
absis x 0 olan nöqtədə f funksiyasına toxunan meylin mailliyini tapın.
Funksiyanın ikinci törəməsini tapın:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
Bədən x (t) qanununa uyğun olaraq düzxətli hərəkət edir. Hazırda onun sürətini və sürətini təyin edin vaxt t. (Yerdəyişmə metrlə, vaxt saniyələrlə ölçülür).
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t 3 -t 2 , t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x(t)=t 4 -0,5t 2 =2, t=0,5

Nəzarət sualları:

Törəmənin fiziki mənasını nə hesab edirsiniz - bu ani sürətdir, yoxsa orta sürət?

Hər hansı bir nöqtə vasitəsilə funksiyanın qrafikinə çəkilmiş tangens ilə törəmə anlayışı arasında hansı əlaqə var?

M(x 0 ;f(x 0)) nöqtəsində funksiyanın qrafikinə toxunan tərif necədir?

İkinci törəmənin mexaniki mənası nədir?

törəmə(nöqtədə funksiyalar) - funksiyanın (verilmiş nöqtədə) dəyişmə sürətini xarakterizə edən diferensial hesabın əsas anlayışı. O, funksiyanın artımının onun arqumentinin artımına nisbətinin həddi kimi müəyyən edilir, çünki belə bir məhdudiyyət varsa, arqumentin artımı sıfıra meyllidir. Sonlu törəməsi olan (müəyyən bir nöqtədə) funksiyaya diferensial (həmin nöqtədə) deyilir.

törəmə. Bəzi funksiyaları nəzərdən keçirək y = f (x ) iki nöqtədə x 0 və x 0 + : f (x 0) və f (x 0 +). Burada vasitəsilə arqumentdə bəzi kiçik dəyişikliyi ifadə edir, adlanır arqument artımı; müvafiq olaraq, iki funksiya dəyəri arasındakı fərq: f (x 0 + )  f (x 0 ) adlanır funksiya artımı.törəmə funksiyaları y = f (x ) nöqtəsində x 0 limit adlanır:

Bu limit varsa, funksiya f (x ) adlanır diferensiallaşan nöqtədə x 0 . Funksiya törəməsi f (x ) aşağıdakı kimi işarələnir:

Törəmənin həndəsi mənası. Funksiyanın qrafikini nəzərdən keçirək y = f (x ):

Şəkil 1-dən aydın olur ki, funksiyanın qrafikinin istənilən iki A və B nöqtəsi üçün:

AB sekantının maillik bucağı haradadır.

Beləliklə, fərq nisbəti sekantın yamacına bərabərdir. Əgər A nöqtəsini düzəltsəniz və B nöqtəsini ona doğru hərəkət etdirsəniz, o, məhdudiyyətsiz azalır və 0-a yaxınlaşır və AB sekantı AC-yə yaxınlaşır. Buna görə də fərq nisbətinin həddi A nöqtəsindəki tangensin yamacına bərabərdir. Bu, aşağıdakı kimidir: Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi həmin nöqtədə bu funksiyanın qrafikinə olan tangensin mailliyidir. Bu nədir həndəsi məna törəmə.

Tangens tənliyi. A nöqtəsindəki funksiyanın qrafikinə toxunan tənliyi əldə edək ( x 0 , f (x 0 )). Ümumiyyətlə, yamac əmsalı olan düz xəttin tənliyi f ’(x 0 ) formasına malikdir:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Tapmaq b, Tangensin A nöqtəsindən keçməsindən istifadə edək:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 +b ,

buradan, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , və əvəzinə bu ifadəni əvəz etmək b, alacağıq tangens tənliyi:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x - x 0 ) .

Törəmənin mexaniki mənası. Ən sadə halı nəzərdən keçirək: maddi nöqtənin koordinat oxu boyunca hərəkəti və hərəkət qanunu verilmişdir: koordinat. x hərəkət nöqtəsi - məlum funksiya x (t) vaxt t. dan vaxt intervalı ərzində t 0-dan t 0 + nöqtə bir məsafədə hərəkət edir: x (t 0 + )  x (t 0) = və onun orta sürəti bərabərdir: v a =  . 0-da orta sürət müəyyən bir dəyərə meyl edir, buna deyilir ani sürət v ( t 0 ) maddi məqam t 0 . Lakin törəmənin tərifinə görə bizdə:

buradan, v (t 0 ) = x' (t 0 ), yəni. sürət koordinatın törəməsidir By vaxt. Bu nədir mexaniki hiss törəmə . Eynilə, sürətlənmə sürətin zamana görə törəməsidir: a = v' (t).

8. Törəmələr cədvəli və fərqləndirmə qaydaları

“Törəmənin həndəsi mənası” məqaləsində törəmənin nə olmasından danışdıq. Əgər funksiya qrafiklə verilirsə, onun hər bir nöqtədə törəməsi funksiyanın qrafikinə toxunan tangensə bərabərdir. Və əgər funksiya düsturla verilirsə, törəmələr cədvəli və diferensiasiya qaydaları, yəni törəməni tapmaq qaydaları sizə kömək edəcək.

Təyyarədə maddi nöqtə verilsin. Onun koordinat oxu boyunca hərəkət qanunu $ x(t) $ qanunu ilə təsvir edilir, burada $ t $ vaxtı təyin edir. Sonra $ t_0 $ -dan $ t_0 + \Delta t $ -a qədər olan müddətdə nöqtə $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $ yolundan keçir. Belə çıxır ki orta sürəti belə nöqtə aşağıdakı düsturla tapılır: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Əgər $ \Delta t $ sıfıra meyllidirsə, orta sürətin dəyəri adlanan dəyərə meyl edəcəkdir. ani sürət$t_0$ nöqtəsində:

$$ \lim_(\Delta t \dan 0-a) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Törəmə həddi təyin etməklə, maddi nöqtənin yolunun sürəti ilə hərəkət qanunu arasında əlaqə əldə edirik:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \dan 0-a) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Həll nümunələri

Misal 1

$ x(t) = t^2+3t-1 $ qanunu ilə hərəkət edən $ t_0 = 1 $ anında maddi nöqtənin ani sürətini hesablayın.

Həll

Törəmənin mexaniki mənasını təyin etməklə maddi nöqtənin sürət qanununu əldə edirik: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Problem şərtlərindən zaman anını $ t_0 = 1 $ bilməklə, bu zaman anında sürəti tapırıq: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ $ t_0 = 1 $ anında nöqtənin ani sürətinin $ v = 5 $ -a bərabər olduğunu gördük. Probleminizi həll edə bilmirsinizsə, bizə göndərin. Biz ətraflı həll təqdim edəcəyik. Siz hesablamanın gedişatına baxa və məlumat əldə edə biləcəksiniz. Bu, müəlliminizdən vaxtında qiymət almağınıza kömək edəcək!

Cavab verin

$$ v(t_0) = 5 $$

Misal 2

Maddi nöqtənin hərəkəti $ x(t)=t^2-t+3 $ qanunu ilə verilir. $ t_0 $ zamanın hansı nöqtəsində bu nöqtənin sürətinin sıfır olacağını tapın.

Həll

Sürət hərəkət yolu qanununun törəməsi olduğundan:

Törəmənin mexaniki mənası

Törəmənin mexaniki təfsiri ilk dəfə İ.Nyuton tərəfindən verilmişdir. Bu belədir: maddi nöqtənin zamanın müəyyən anında hərəkət sürəti yolun zamana görə törəməsinə bərabərdir, yəni. Beləliklə, əgər maddi nöqtənin hərəkət qanunu tənliklə verilirsə, onda nöqtənin hər hansı bir xüsusi andakı ani sürətini tapmaq üçün törəməni tapmaq və ona müvafiq t qiymətini qoymaq lazımdır.

İkinci dərəcəli törəmə və onun mexaniki mənası

Alırıq (Lisichkin V.T. Soloveichik I.L. "riyaziyyat" s. 240 dərsliyində edilənlərdən tənlik):

Beləliklə, verilmiş andakı cismin düzxətli hərəkətinin sürətlənməsi, verilən an üçün hesablanmış zamana görə yolun ikinci törəməsinə bərabərdir. Bu, ikinci törəmənin mexaniki mənasıdır.

Diferensialın tərifi və həndəsi mənası

Tərif 4. Funksiya artımının funksiyanın artımına görə xətti, müstəqil dəyişənin artımına görə xətti olan əsas hissəsi adlanır. diferensial funksiyasıdır və d ilə işarələnir, yəni. .

Funksiyanın diferensialı həndəsi şəkildə x və?x-in verilmiş qiymətləri üçün M (x; y) nöqtəsində çəkilmiş tangensin ordinatının artımı ilə təmsil olunur.

Hesablama diferensial - .

Diferensialın təxmini hesablamalarda tətbiqi - , funksiya artımının təxmini qiyməti onun diferensialı ilə üst-üstə düşür.

Teorem 1.Əgər diferensiallanan funksiya verilmiş intervalda artırsa (azalırsa), onda bu funksiyanın törəməsi bu intervalda mənfi deyil (müsbət deyil).

Teorem 2.Əgər törəmə funksiyası müəyyən intervalda müsbət (mənfi) olarsa, bu intervalda funksiya monoton şəkildə artır (monotonik azalır).

İndi funksiyanın monotonluq intervallarının tapılması qaydasını formalaşdıraq

1. Bu funksiyanın törəməsini hesablayın.

2. Onun sıfır olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələri tapın. Bu nöqtələr deyilir tənqidi funksiyası üçün

3. Tapılmış nöqtələrdən istifadə etməklə funksiyanın təyin olunma oblastı intervallara bölünür, onların hər birində törəmə öz işarəsini saxlayır. Bu intervallar monotonluq intervallarıdır.

4. Tapılan intervalların hər birindəki işarəni yoxlayın. Əgər nəzərdən keçirilən intervalda, onda bu intervalda o, artır; əgər, onda belə intervalda azalır.

Məsələnin şərtlərindən asılı olaraq monotonluq intervallarının tapılması qaydası sadələşdirilə bilər.

Tərif 5.Əgər nöqtənin hansısa qonşuluğunda hər hansı x üçün bərabərsizlik yerinə yetirilirsə, o nöqtə funksiyanın maksimum (minimum) nöqtəsi adlanır.

Əgər funksiyanın maksimum (minimum) nöqtəsidirsə, bunu deyirlər (minimum) nöqtədə. Maksimum və minimum funksiyalar adı birləşdirir ekstremum funksiyalar, maksimum və minimum nöqtələri çağırılır ekstremal nöqtələr (ekstremal nöqtələr).

Teorem 3.(ekstremumun zəruri əlaməti). Əgər funksiyanın ekstremum nöqtəsidirsə və törəməsi bu nöqtədə mövcuddursa, o, sıfıra bərabərdir: .

Teorem 4.(ekstremumun kifayət qədər əlaməti). Törəmə x a-dan keçəndə işarəni dəyişirsə, a funksiyanın ekstremum nöqtəsidir.

Törəmə tədqiqatında əsas məqamlar:

1. Törəməni tapın.

2. Funksiyanın təyini sahəsindən bütün kritik nöqtələri tapın.

3. Kritik nöqtələrdən keçərkən funksiyanın törəməsinin işarələrini təyin edin və ekstremum nöqtələrini yazın.

4. Hər bir ekstremal nöqtədə funksiya dəyərlərini hesablayın.

Qoy maddi nöqtə M qanuna uyğun olaraq düz xətt üzrə hərəkət edir S = f(t). Artıq məlum olduğu kimi, törəmə S t ' nöqtənin müəyyən bir zamanda sürətinə bərabərdir: S t '= V.

Bir anda icazə verin t nöqtənin sürəti V-ə bərabərdir və hazırda t +Dt – sürətdir V+DV, yəni müəyyən bir müddət ərzində Dt sürət məbləğinə görə dəyişdi D.V..

Nisbət nöqtənin zamanla hərəkətinin orta sürətlənməsini ifadə edir Dt. Bu nisbətin həddi Dt®0 nöqtənin sürətlənməsi adlanır M Hal-hazırda t və hərflə təyin olunur A: Belə ki, yolun zamana görə ikinci törəməsi nöqtənin düzxətli hərəkətinin sürətlənməsinin böyüklüyüdür, yəni. .

Daha yüksək dərəcəli diferensiallar

Qoy y=f(x) diferensiallana bilən funksiya və onun arqumenti X- müstəqil dəyişən. Onda onun birinci diferensialı da funksiyadır X, bu funksiyanın diferensialını tapa bilərsiniz.

Funksiyanın diferensialının diferensialına onun ikinci diferensialı (və ya ikinci dərəcəli diferensial) deyilir və aşağıdakılarla işarələnir: .

Verilmiş funksiyanın ikinci dərəcəli diferensialı bu funksiyanın ikinci dərəcəli hasilinə müstəqil dəyişənin diferensialının kvadratına bərabərdir: .

Diferensial hesablamanın tətbiqi

Funksiya çağırılır artan (azalmaq)) interval üzrə ( a; b), hər hansı iki nöqtə üçünx 1 Vəx 2 bərabərsizliyi təmin edən göstərilən intervaldan bərabərsizlik ödənilir ().

Artırmaq (azalmaq) üçün zəruri şərt: Funksiya interval üzrə diferensiallaşdırılacaqsa ( a, b) artır (azalır), onda bu funksiyanın törəməsi bu intervalda qeyri-mənfi (müsbət deyil) olur.() .

Artırmaq (azalmaq) üçün kifayət qədər şərt:Əgər diferensiallanan funksiyanın törəməsi müəyyən intervalda müsbət (mənfi) olarsa, bu intervalda funksiya artır (azalır).

Funksiya f(x) nöqtədə x 1 Bu var maksimum, əgər varsa X f(x 1)>f(x), saat x ¹x 1 .

Funksiya f(x) nöqtədə x 1 Bu var minimum, əgər varsa X nöqtənin bəzi qonşuluğundan aşağıdakı bərabərsizlik əmələ gəlir: f(x 1) , saat x ¹x 1 .

Funksiyanın ekstremumu yerli ekstremum adlanır, çünki ekstremum anlayışı yalnız x 1 nöqtəsinin kifayət qədər kiçik qonşuluğu ilə əlaqələndirilir. Beləliklə, bir intervalda bir funksiya bir neçə ekstremal ola bilər və bir nöqtədə minimum digərində maksimumdan böyük ola bilər. İntervalın müəyyən nöqtəsində maksimum və ya minimumun olması o demək deyil ki, bu nöqtədə funksiya f(x) bu intervalda ən böyük və ya ən kiçik qiyməti alır.

Ekstremum üçün zəruri şərt: Diferensiallanan funksiyanın ekstremum nöqtəsində onun törəməsi sıfıra bərabərdir.

Ekstremum üçün kafi şərt: Diferensiallanan funksiyanın hansısa x 0 nöqtəsində törəməsi sıfıra bərabərdirsə və bu qiymətdən keçərkən işarəsini dəyişirsə, o zaman f (x 0) ədədi funksiyanın ekstremumudur və əgər işarəsi artıdan mənfiyə dəyişir, sonra mənfidən artıya qədər maksimum, sonra minimum.

Davamlı funksiyanın törəməsinin sıfıra bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələrə kritik deyilir.

Funksiyanı ekstremum üçün yoxlamaq onun bütün ekstremumlarını tapmaq deməkdir. Ekstremum üçün funksiyanın öyrənilməsi qaydası:

1). Funksiyanın kritik nöqtələrini tapın y = f(x) və onlardan yalnız funksiyanın təyini sahəsinin daxili nöqtələri olanları seçin;

2). Törəmə işarəsini araşdırın f"(x) seçilmiş kritik nöqtələrin hər birinin solunda və sağında;

3). Ekstremum üçün kifayət qədər şərtə əsaslanaraq, ekstremum nöqtələrini (əgər varsa) yazın və onlarda funksiyanın dəyərlərini hesablayın.

Tapmaq üçün ən yüksək və ən aşağı qiymət bir seqmentdə funksiya bir neçə mərhələni yerinə yetirmək lazımdır:

1). f’(x)=0 tənliyini həll etməklə funksiyanın kritik cərəyanlarını tapın.

2). Əgər kritik nöqtələr seqmentə düşürsə, onda kritik nöqtələrdə və intervalın sərhədlərində dəyərləri tapmaq lazımdır. Əgər kritik nöqtələr seqmentə düşmürsə (və ya yoxdursa), onda funksiya dəyərləri yalnız seqmentin hüdudlarında tapılır.

3). Əldə edilmiş funksiya dəyərlərindən ən böyüyü və ən kiçikini seçin və cavabı, məsələn, formada yazın: ; .

Problemin həlli

Misal 2.1. Funksiyanın diferensialını tapın: .

Həll. Funksiya diferensialının 2-ci xassəsinə və diferensialın tərifinə əsaslanaraq, əldə edirik:

Misal 2.2. Funksiyanın diferensialını tapın:

Həll. Funksiya aşağıdakı kimi yazıla bilər: , . Sonra bizdə:

Misal 2.3. Funksiyanın ikinci törəməsini tapın:

Həll. Gəlin funksiyanı çevirək.

Birinci törəməni tapaq:

ikinci törəməni tapaq:

.

Misal 2.4. Funksiyanın ikinci dərəcəli diferensialını tapın .

Həll. Hesablamaq üçün ifadə əsasında ikinci dərəcəli diferensial tapaq:

Əvvəlcə birinci törəməni tapaq:

; ikinci törəməni tapaq: .

Misal 2.5. Absis ilə nöqtədə çəkilmiş əyriyə toxunan bucaq əmsalını tapın x=2 .

Həll. Törəmənin həndəsi mənasına əsaslanaraq, yamacın absissası bərabər olan nöqtədəki funksiyanın törəməsinə bərabər olduğunu əldə edirik. X . tapacağıq .

Funksiyanın qrafikinə toxunan bucaq əmsalını hesablayaq.

Misal 2.6. Bakteriyaların müəyyən bir zamanda populyasiyası t (t saatlarla ölçülür) cəmi şəxslər. Bakteriyaların böyümə sürətini tapın. Müəyyən bir zamanda bakteriyaların böyümə sürətini tapın t=5 saat.

Həll. Bakteriya populyasiyasının böyümə sürəti zamana görə ilk törəmədir t: .

Əgər t=5 saat, sonra. Beləliklə, bakteriyaların böyümə sürəti saatda 1000 fərd olacaq.

Misal 2.7. Bədənin tətbiq olunan dərmana reaksiyası qan təzyiqinin artması, bədən istiliyinin azalması, ürək dərəcəsinin dəyişməsi və ya digər fizioloji göstəricilərdə ifadə edilə bilər. Reaksiya dərəcəsi dərmanın təyin olunmuş dozasından asılıdır. Əgər X təyin olunan dərmanın dozasını və reaksiya dərəcəsini göstərir saat funksiyası ilə təsvir edilmişdir . Hansı qiymətə X Reaksiya maksimumdur?

Həll. Gəlin törəməni tapaq .

Kritik nöqtələri tapaq: ⇒ . ⇒ Beləliklə, iki kritik nöqtəmiz var: . Dəyər tapşırıq şərtlərinə cavab vermir.

İkinci törəməni tapaq . -də ikinci törəmənin qiymətini hesablayaq. . Bu deməkdir - maksimum cavab verən doza səviyyəsi.

Özünü həll etmək üçün nümunələr

Funksiyanın diferensialını tapın:

1. .

2. .

3. .

4.

Aşağıdakı funksiyaların ikinci törəmələrini tapın:

6. .

İkinci dərəcəli törəmələri tapın və aşağıdakı funksiyalar üçün ikinci dərəcəli diferensialları yazın:

9. .

11. Ekstremum üçün funksiyanı araşdırın.

12. Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapın seqmentdə.

13. Funksiyanın artım və azalma intervallarını, maksimum və minimum nöqtələrini və oxlarla kəsişmə nöqtələrini tapın:

14. Nöqtənin hərəkət qanunu formaya malikdir . Bu nöqtənin sürət və təcil qanununu təyin edin.

15. Nöqtənin hərəkət tənliyi (m) formasına malikdir. 1) s və s zamanlarında nöqtənin mövqeyini tapın; 2) zamanın bu nöqtələri arasında keçən zaman üçün orta sürət; 3) müəyyən edilmiş vaxtlarda ani sürətlər; 4) müəyyən müddət ərzində orta sürətlənmə; 5) müəyyən edilmiş vaxtlarda ani sürətlənmələr.

Ev tapşırığı.

Təcrübə:

Funksiyanın diferensialını tapın:

1. ;

2. ;

Funksiyanın ikinci dərəcəli törəmələrini tapın:

4.

5.

İkinci dərəcəli diferensialları tapın

6. .

7. Nöqtə qanuna uyğun olaraq düzxətli hərəkət edir. Zaman zaman sürəti və sürətlənməni hesablayın və .

Artan və azalan funksiyaların intervallarını tapın:

9. .

10. Qlükoza yeridildikdə onun insan qanındakı tərkibi müvafiq vahidlərlə ifadə edildikdən sonra t saat olacaq . a) qan qlükozasının dəyişmə sürətini tapın. t =1 h; b) t =2 h.

Nəzəriyyə.

1. “Bir neçə arqumentin funksiyalarının törəmələri və diferensialları” mövzusunda mühazirə. Bir neçə arqumentin diferensial funksiyasının tətbiqi”.

2. Bu təlimatın 3-cü dərsi.

3. Pavluşkov İ.V. və başqaları səh. 101-113, 118-121.

Dərs 3. Bir neçə arqumentli funksiyanın törəmələri və diferensialları

Mövzunun aktuallığı: riyaziyyatın bu bölməsi bir sıra tətbiqi məsələlərin həllində geniş istifadə olunur, çünki bir çox fiziki, bioloji və kimyəvi hadisələr birdən deyil, bir neçə dəyişəndən (amillərdən) asılılıq ilə xarakterizə olunur.

Dərsin məqsədi: bir neçə dəyişənli funksiyaların qismən törəmələrini və diferensiallarını tapmağı öyrənin.

Hədəf vəzifələri:

bilmək: iki dəyişənli funksiya anlayışını; iki dəyişənli funksiyanın qismən törəmələri anlayışı; bir neçə dəyişənli funksiyanın tam və qismən diferensialları anlayışını;

bacarmalıdır: bir neçə dəyişənli funksiyaların törəmələrini və diferensiallarını tapmağı.

Nəzəri kursdan qısa məlumat

Əsas anlayışlar

Bəzi qaydalara və ya qanunlara uyğun olaraq bəzi dəyər cütlərinə müəyyən z dəyəri təyin edilərsə, z dəyişəni iki x və y arqumentinin funksiyası adlanır. İki arqumentin funksiyası ilə işarələnir.

Funksiya kosmosda düzbucaqlı koordinat sistemində səth kimi təyin olunur. İki dəyişənli funksiyanın qrafiki üçölçülü x fəzasındakı nöqtələr toplusudur

Əsər adlanır qismən diferensial z=f(x,y) funksiyası ilə X və təyin olunur.

Tam diferensial funksiya

Funksiyanın diferensialı bu funksiyanın qismən törəmələrinin hasillərinin cəmi və müvafiq müstəqil dəyişənlərin artımıdır, yəni. . Çünki Və onda yaza bilərik: və ya .