Düz piramidanın yan səthinin sahəsi Müxtəlif piramidaların yan səthi

Hansı formaya piramida deyirik? Birincisi, bu çoxüzlüdür. İkincisi, bu çoxbucaqlının təməlində ixtiyari çoxbucaqlı var və piramidanın tərəfləri (yan üzləri) mütləq bir ümumi təpədə birləşən üçbucaqlar formasına malikdir. İndi terminlə məşğul olduqdan sonra piramidanın səth sahəsini necə tapacağımızı öyrənək.

Aydındır ki, belə bir həndəsi cismin səth sahəsi bazanın və onun bütün yan səthinin sahələrinin cəmindən ibarətdir.

Piramidanın təməlinin sahəsinin hesablanması

Hesablama düsturunun seçimi piramidamızın əsasında yerləşən çoxbucaqlının formasından asılıdır. Düzgün, yəni eyni uzunluqdakı tərəflərlə və ya səhv ola bilər. Gəlin hər iki variantı nəzərdən keçirək.

Bazada müntəzəm çoxbucaqlıdır

Məktəb kursundan məlumdur:

kvadratın sahəsi onun tərəfinin kvadratının uzunluğuna bərabər olacaq;
Bərabər tərəfli üçbucağın sahəsi onun tərəfinin kvadratının üçünün kvadrat kökünün 4 qatına bölünməsinə bərabərdir.

Ancaq hər hansı bir müntəzəm çoxbucağın (Sn) sahəsini hesablamaq üçün ümumi bir düstur da var: bu çoxbucağın (P) perimetrinin dəyərini içindəki dairənin radiusuna (r) vurmalısınız və sonra nəticəni ikiyə bölün: Sn=1/2P*r .

Əsası nizamsız çoxbucaqlıdır.

Sahəsini tapmaq sxemi əvvəlcə bütün çoxbucaqlıları üçbucaqlara bölmək, hər birinin sahəsini düsturla hesablamaqdır: 1/2a * h (burada a üçbucağın əsasıdır, h hündürlükdür. bu bazaya endirildi), bütün nəticələri toplayın.

Piramidanın yan səthinin sahəsi

İndi piramidanın yan səthinin sahəsini hesablayaq, yəni. onun bütün tərəflərinin sahələrinin cəmi. Burada da 2 variant var.

İxtiyari bir piramidaya sahib olaq, yəni. bazası nizamsız çoxbucaqlı olan biri. Sonra hər bir üzün sahəsini ayrıca hesablamalı və nəticələri əlavə etməlisiniz. Piramidanın tərəfləri tərifinə görə yalnız üçbucaq ola bildiyi üçün hesablama yuxarıda qeyd olunan düstur əsasında aparılır: S=1/2a*h.
Piramidamız düzgün olsun, yəni. onun bazasında düzgün çoxbucaqlı yerləşir və piramidanın yuxarı hissəsinin proyeksiyası onun mərkəzindədir. Sonra yan səthin sahəsini (Sb) hesablamaq üçün əsas çoxbucaqlının perimetrinin (P) və tərəfin hündürlüyünün (h) məhsulunun yarısını tapmaq kifayətdir (bütün üzlər üçün eynidir) : Sb \u003d 1/2 P * h. Çoxbucaqlının perimetri onun bütün tərəflərinin uzunluqlarını toplamaqla müəyyən edilir.

Müntəzəm piramidanın ümumi səth sahəsi onun əsasının sahəsini bütün yan səthin sahəsi ilə cəm etməklə tapılır.

Nümunələr

Məsələn, bir neçə piramidanın səth sahələrini cəbri hesablayaq.

Üçbucaqlı piramidanın səth sahəsi

Belə bir piramidanın təməlində üçbucaq var. So \u003d 1 / 2a * h düsturuna görə, bazanın sahəsini tapırıq. Piramidanın hər bir üzünün sahəsini tapmaq üçün eyni düsturdan istifadə edirik, eyni zamanda üçbucaqlı formada oluruq və 3 sahə alırıq: S1, S2 və S3. Piramidanın yan səthinin sahəsi bütün sahələrin cəmidir: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Yanların və bazanın sahələrini əlavə edərək, istədiyiniz piramidanın ümumi səth sahəsini alırıq: Sp \u003d So + Sb.

Dördbucaqlı piramidanın səth sahəsi

Yan səth sahəsi 4 şərtin cəmidir: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, hər biri üçbucağın sahəsi düsturu ilə hesablanır. Dördbucağın formasından asılı olaraq baza sahəsi axtarılmalı olacaq - düzgün və ya qeyri-müntəzəm. Piramidanın ümumi səthi yenidən bazanın sahəsini və verilmiş piramidanın ümumi səthinin sahəsini əlavə etməklə əldə edilir.

- Bu çoxüzlü fiqurdur, onun əsasında çoxbucaqlı yerləşir, qalan üzlər isə ümumi təpəsi olan üçbucaqlarla təmsil olunur.

Baza kvadratdırsa, o zaman piramida deyilir dördbucaqlı, əgər üçbucaq olarsa üçbucaqlı. Piramidanın hündürlüyü onun yuxarı hissəsindən bazaya perpendikulyar şəkildə çəkilir. Sahəni hesablamaq üçün də istifadə olunur apotem onun təpəsindən endirilən yan üzün hündürlüyüdür.
Piramidanın yan səthinin sahəsinin düsturu onun yan üzlərinin bir-birinə bərabər olan sahələrinin cəmidir. Ancaq bu hesablama üsulu çox nadir hallarda istifadə olunur. Əsasən, piramidanın sahəsi baza və apotem perimetri ilə hesablanır:

Piramidanın yan səthinin sahəsini hesablamaq üçün bir nümunəyə nəzər salın.

Əsası ABCDE və zirvəsi F olan piramida verilsin. AB =BC =CD =DE =EA =3 sm Apotem a = 5 sm Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.
Gəlin perimetri tapaq. Bazanın bütün üzləri bərabər olduğundan, beşbucağın perimetri bərabər olacaq:
İndi piramidanın yan sahəsini tapa bilərsiniz:

Daimi üçbucaqlı piramidanın sahəsi

Müntəzəm üçbucaqlı piramida nizamlı üçbucağın yerləşdiyi əsasdan və sahəsi bərabər olan üç yan üzündən ibarətdir.
Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın yanal səthinin düsturu bir çox yolla hesablana bilər. Perimetr və apotem vasitəsilə hesablamaq üçün adi düsturdan istifadə edə bilərsiniz və ya bir üzün sahəsini tapıb üçə vura bilərsiniz. Piramidanın üzü üçbucaq olduğundan, üçbucağın sahəsi üçün düstur tətbiq edirik. Bunun üçün bir apotem və bazanın uzunluğu tələb olunacaq. Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın yanal səthinin sahəsini hesablamaq nümunəsini nəzərdən keçirin.

Apotem a = 4 sm və əsas üzü b = 2 sm olan piramida verilmişdir.Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın.
Əvvəlcə yan üzlərdən birinin sahəsini tapın. Bu halda belə olacaq:
Düsturdakı dəyərləri əvəz edin:
Adi bir piramidada bütün tərəflər eyni olduğundan, piramidanın yan səthinin sahəsi üç üzün sahələrinin cəminə bərabər olacaqdır. Müvafiq olaraq:

Kəsilmiş piramidanın sahəsi

kəsilmiş Piramida bir piramidadan və onun bazaya paralel kəsişməsindən əmələ gələn çoxüzlüdür.
Kəsilmiş piramidanın yanal səthinin düsturu çox sadədir. Sahə əsasların və apotemlərin perimetrlərinin cəminin yarısının hasilinə bərabərdir:

Bu həndəsi fiqur və onun xassələri ilə bağlı sualları öyrənməzdən əvvəl bəzi terminləri başa düşmək lazımdır. İnsan piramida haqqında eşidəndə Misirdə nəhəng binaları təsəvvür edir. Ən sadələri belə görünür. Amma olur fərqli növlər və fiqurlar, yəni həndəsi fiqurlar üçün hesablama düsturu fərqli olacaq.

Fiqur növləri

Piramida - həndəsi fiqur , çoxlu üzləri bildirən və təmsil edən. Əslində, bu, eyni polihedrondur, onun əsasında çoxbucaqlı yerləşir və tərəflərdə bir nöqtədə - təpədə birləşdirən üçbucaqlar var. Şəkil iki əsas növdən ibarətdir:

düzgün;
kəsilmiş.

Birinci halda, əsas müntəzəm çoxbucaqlıdır. Burada bütün yan səthlər bərabərdirözləri ilə rəqəmin özü arasında bir mükəmməllikçinin gözünü sevindirəcək.

İkinci halda, iki əsas var - ən altındakı böyük və yuxarı arasında kiçik, əsasın formasını təkrarlayır. Başqa sözlə desək, kəsilmiş piramida bazaya paralel olaraq formalaşmış kəsiyi olan çoxüzlüdür.

Şərtlər və qeydlər

Əsas şərtlər:

Düzgün (bərabərtərəfli) üçbucaqÜç eyni bucaqlı və bərabər tərəfləri olan bir fiqur. Bu vəziyyətdə bütün bucaqlar 60 dərəcədir. Fiqur müntəzəm çoxüzlülərin ən sadəsidir. Bu rəqəm bazada yerləşirsə, belə bir çoxhedron müntəzəm üçbucaqlı adlanacaqdır. Baza kvadratdırsa, piramida müntəzəm dördbucaqlı piramida adlanacaq.
Vertex- kənarların birləşdiyi ən yüksək nöqtə. Üst hissəsinin hündürlüyü piramidanın yuxarısından aşağıya doğru uzanan düz xəttlə formalaşır.
kənarçoxbucaqlının müstəvilərindən biridir. Üçbucaqlı piramida vəziyyətində üçbucaq şəklində və ya kəsilmiş piramida üçün trapezoid şəklində ola bilər.
en kəsiyi – düz fiqur parçalanması nəticəsində yaranır. Bölmə ilə qarışdırılmamalıdır, çünki bölmə həm də bölmənin arxasında nə olduğunu göstərir.
Apotem- piramidanın yuxarısından bazasına çəkilmiş seqment. Bu həm də ikinci hündürlük nöqtəsinin olduğu üzün hündürlüyüdür. Bu tərif yalnız müntəzəm çoxüzlüyə münasibətdə etibarlıdır. Məsələn - kəsilmiş piramida deyilsə, onda üz üçbucaq olacaq. Bu halda, bu üçbucağın hündürlüyü apotem olacaq.

Sahə formulları

Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın istənilən növ bir neçə yolla edilə bilər. Əgər rəqəm simmetrik deyilsə və müxtəlif tərəfləri olan çoxbucaqlıdırsa, bu halda bütün səthlərin cəmi vasitəsilə ümumi səth sahəsini hesablamaq daha asandır. Başqa sözlə, hər bir üzün sahəsini hesablamaq və onları birlikdə əlavə etmək lazımdır.

Hansı parametrlərin bilindiyindən asılı olaraq kvadrat, trapesiya, ixtiyari dördbucaq və s. hesablanması üçün düsturlar tələb oluna bilər. Müxtəlif hallarda düsturların özləri da fərqli olacaq.

Müntəzəm bir rəqəm vəziyyətində, ərazini tapmaq daha asandır. Yalnız bir neçə əsas parametri bilmək kifayətdir. Əksər hallarda bu cür rəqəmlər üçün dəqiq hesablamalar tələb olunur. Buna görə də müvafiq düsturlar aşağıda veriləcəkdir. Əks təqdirdə, hər şeyi bir neçə səhifəyə boyamalı olacaqsınız, bu da yalnız çaşdıracaq və çaşdıracaq.

Hesablama üçün əsas düstur müntəzəm piramidanın yanal səth sahəsi belə görünəcək:

S \u003d ½ Pa (P bazanın perimetridir və apotemdir)

Nümunələrdən birini nəzərdən keçirək. Çoxüzlü A1, A2, A3, A4, A5 seqmentləri olan bazaya malikdir və onların hamısı 10 sm-ə bərabərdir.Apotem 5 sm-ə bərabər olsun.Əvvəlcə perimetri tapmaq lazımdır. Bazanın bütün beş üzü eyni olduğundan, onu aşağıdakı kimi tapmaq olar: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 sm. Sonra əsas düsturu tətbiq edirik: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 sm kvadrat .

Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın yan səthinin sahəsi hesablamaq üçün ən asan. Formula belə görünür:

S =½* ab *3, burada a apotemdir, b əsasın fasetidir. Burada üç faktor bazanın üzlərinin sayını, birinci hissə isə yan səthin sahəsini bildirir. Məsələni nəzərdən keçirək. 5 sm apotem və 8 sm əsas üzü olan bir rəqəm verilmişdir.Hesablayırıq: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 sm kvadrat.

Kəsilmiş piramidanın yan səth sahəsi hesablamaq bir az daha çətindir. Formula belə görünür: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, burada p_01 və p_02 əsasların perimetrləridir və apotemdir. Məsələni nəzərdən keçirək. Tutaq ki, dördbucaqlı bir fiqur üçün əsasların tərəflərinin ölçüləri 3 və 6 sm, apotem 4 sm-dir.

Burada yeni başlayanlar üçün əsasların perimetrlərini tapmalısınız: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 sm; p_02=6*4=24 sm.Qiymətləri əsas düsturla əvəz etmək və əldə etmək qalır: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 sm kvadrat.

Beləliklə, istənilən mürəkkəblikdə müntəzəm piramidanın yanal səth sahəsini tapmaq mümkündür. Qarışıq olmamağa diqqət edin bütün polihedrin ümumi sahəsi ilə bu hesablamalar. Və hələ də bunu etməlisinizsə, polihedronun ən böyük əsasının sahəsini hesablamaq və onu polihedronun yanal səthinin sahəsinə əlavə etmək kifayətdir.

Video

Müxtəlif piramidaların yanal səth sahəsini necə tapmaq barədə məlumatları birləşdirmək üçün bu video sizə kömək edəcəkdir.

Adi üçbucaqlı piramidada SABC R- qabırğanın ortası AB, S- üst.
Məlumdur ki SR = 6, və yanal səth sahəsidir 36 .
Seqmentin uzunluğunu tapın e.ə.

Gəlin zarafat edək. Adi bir piramidada yan üzlər ikitərəfli üçbucaqlardır.

Xətt seqmenti SR- median bazaya endirildi və buna görə də yan üzün hündürlüyü.

Düzgün üçbucaqlı piramidanın yan səthinin sahəsi sahələrin cəminə bərabərdir
üç bərabər tərəf S tərəfi = 3 S ABS. Buradan S ABS = 36: 3 = 12- üz sahəsi.

Üçbucağın sahəsi onun təməlinin hündürlüyünün məhsulunun yarısıdır.
S ABS = 0,5 AB SR. Sahəni və hündürlüyü bilməklə, bazanın tərəfini tapırıq AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Cavab verin: 4

Problemə digər tərəfdən yanaşa bilərsiniz. Baza tərəfinə icazə verin AB = BC = a.
Sonra üzün sahəsi S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Üç üzün hər birinin sahəsi 3a, üç üzün sahəsidir 9a.
Problemin şərtinə görə, piramidanın yan səthinin sahəsi 36-dır.
S tərəfi = 9a = 36.
Buradan a = 4.

Tərif. Yan üz- bu, bir bucağın piramidanın yuxarı hissəsində yerləşdiyi və əks tərəfinin əsas tərəfi (poliqon) ilə üst-üstə düşdüyü üçbucaqdır.

Tərif. Yan qabırğalar yan üzlərin ümumi tərəfləridir. Piramidanın çoxbucaqlının küncləri qədər kənarları var.

Tərif. piramida hündürlüyü piramidanın yuxarısından bazasına endirilmiş perpendikulyardır.

Tərif. Apotem- bu, piramidanın yuxarısından təməlin yan tərəfinə endirilmiş piramidanın yan üzünün perpendikulyarıdır.

Tərif. Diaqonal bölmə- bu, piramidanın yuxarı hissəsindən və təməlin diaqonalından keçən bir təyyarə ilə piramidanın bir hissəsidir.

Tərif. Düzgün piramida- Bu, əsasının müntəzəm çoxbucaqlı olduğu və hündürlüyün əsasın mərkəzinə endiyi bir piramidadır.

Piramidanın həcmi və səthi

Düstur. piramidanın həcmi baza sahəsi və hündürlüyü ilə:

piramida xüsusiyyətləri

Bütün yan kənarlar bərabərdirsə, o zaman piramidanın əsasının ətrafında bir dairə çəkilə bilər və təməlin mərkəzi dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşür. Həmçinin, yuxarıdan düşmüş perpendikulyar bazanın (dairə) mərkəzindən keçir.

Bütün yan qabırğalar bərabərdirsə, onlar eyni açılarda baza müstəvisinə meyllidirlər.

Yan qabırğalar baza müstəvisi ilə bərabər bucaqlar meydana gətirdikdə və ya piramidanın əsasının ətrafında bir dairə təsvir edilə bildikdə bərabər olur.

Yan üzlər bir bucaq altında təməl müstəvisinə meyllidirsə, o zaman piramidanın əsasına bir dairə yazıla bilər və piramidanın yuxarı hissəsi onun mərkəzinə proyeksiya olunur.

Yan üzlər bir bucaq altında əsas müstəviyə meyllidirsə, yan üzlərin apotemləri bərabərdir.

Adi piramidanın xassələri

1. Piramidanın yuxarı hissəsi təməlin bütün künclərindən bərabər məsafədə yerləşir.

2. Bütün yan kənarlar bərabərdir.

3. Bütün yan qabırğalar bazaya eyni açılarda meyllidir.

4. Bütün yan üzlərin apotemləri bərabərdir.

5. Bütün yan üzlərin sahələri bərabərdir.

6. Bütün üzlər eyni dihedral (düz) bucaqlara malikdir.

7. Piramidanın ətrafında kürə təsvir edilə bilər. Təsvir edilən sferanın mərkəzi kənarların ortasından keçən perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

8. Piramidaya kürə həkk oluna bilər. Yazılı kürənin mərkəzi kənar və əsas arasındakı bucaqdan çıxan bisektorların kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

9. Yazılı sferanın mərkəzi dairəvi kürənin mərkəzi ilə üst-üstə düşürsə, o zaman zirvədəki düz bucaqların cəmi π-ə bərabərdir və ya əksinə, bir bucaq π / n-ə bərabərdir, burada n - ədəddir. piramidanın təməlindəki bucaqlar.

Piramidanın kürə ilə əlaqəsi

Piramidanın təməlində çevrənin təsvir oluna biləcəyi çoxüzlü yerləşdiyi zaman piramidanın ətrafında bir kürə təsvir edilə bilər (zəruri və kifayət qədər şərt). Kürənin mərkəzi piramidanın yan kənarlarının orta nöqtələrindən perpendikulyar keçən təyyarələrin kəsişmə nöqtəsi olacaqdır.

Bir kürə həmişə hər hansı üçbucaqlı və ya müntəzəm piramidanın ətrafında təsvir edilə bilər.

Piramidanın daxili dihedral bucaqlarının bisektor müstəviləri bir nöqtədə kəsişirsə (zəruri və kifayət qədər şərt) kürə piramidaya daxil edilə bilər. Bu nöqtə sferanın mərkəzi olacaq.

Piramidanın konusla əlaqəsi

Konusun təpələri üst-üstə düşürsə və konusun əsası piramidanın əsasına həkk olunubsa, konus piramidaya yazılı deyilir.

Piramidanın apotemləri bərabər olarsa, konus piramidaya yazıla bilər.

Konusun təpələri üst-üstə düşürsə və konusun əsası piramidanın təməli ətrafında dairəvi olarsa, konus piramidanın ətrafına çəkilmiş adlanır.

Piramidanın bütün yan kənarları bir-birinə bərabər olarsa, bir konus bir piramida ətrafında təsvir edilə bilər.

Piramidanın silindrlə birləşdirilməsi

Əgər piramidanın yuxarı hissəsi silindrin bir əsasına, piramidanın əsası isə silindrin başqa bir əsasına yazılmışdırsa, ona piramida silindrdə yazılmış adlanır.

Piramidanın təməli ətrafında bir dairə çəkilə bilərsə, silindr bir piramidanın ətrafına çəkilə bilər.

Tərif. Kəsilmiş piramida (piramidal prizma)- Bu, piramidanın bazası ilə bazaya paralel kəsik müstəvisi arasında yerləşən çoxüzlüdür. Beləliklə, piramida böyük bazaya və daha böyükə bənzəyən daha kiçik bir bazaya malikdir. Yan üzlər trapesiya şəklindədir.

Tərif. Üçbucaqlı piramida (tetraedr)- bu, üç üzün və əsasının ixtiyari üçbucaqlar olduğu bir piramidadır.

Tetraedrin dörd üzü və dörd təpəsi və altı kənarı var, burada hər iki kənarın ümumi təpələri yoxdur, lakin toxunmur.

Hər bir təpə üç üzdən və meydana gələn kənarlardan ibarətdir üçbucaqlı bucaq.

Tetraedrin təpəsini əks üzün mərkəzi ilə birləşdirən seqment deyilir tetraedrin medianı(GM).

Bimedian toxunmayan əks kənarların orta nöqtələrini birləşdirən seqment adlanır (KL).

Tetraedrin bütün bimedianları və medianları bir nöqtədə (S) kəsişir. Bu vəziyyətdə, bimedianlar yarıya bölünür və medianlar yuxarıdan başlayaraq 3: 1 nisbətindədir.

Tərif. meylli piramida kənarlarından birinin əsası ilə küt bucaq (β) əmələ gətirdiyi piramidadır.

Tərif. Düzbucaqlı piramida yan üzlərindən birinin bazaya perpendikulyar olduğu piramidadır.

Tərif. Kəskin Bucaqlı Piramida apotem əsas tərəfinin uzunluğunun yarısından çox olduğu piramidadır.

Tərif. küt piramida apotem əsas tərəfinin uzunluğunun yarısından az olduğu piramidadır.

Tərif. müntəzəm tetraedr Dörd üzü bərabərtərəfli üçbucaqlar olan tetraedr. Beş müntəzəm çoxbucaqlılardan biridir. Müntəzəm tetraedrdə bütün dihedral bucaqlar (üzlər arasında) və üçbucaqlı bucaqlar (təpəsində) bərabərdir.

Tərif. Düzbucaqlı tetraedr təpəsində üç kənar arasında düz bucaq olan (kənarları perpendikulyar olan) tetraedr deyilir. Üç üz formalaşır düzbucaqlı üçbucaqlı bucaq və kənarları var düz üçbucaqlar, əsas isə ixtiyari üçbucaqdır. İstənilən sifətin apotemi apotem düşdüyü bazanın tərəfinin yarısına bərabərdir.

Tərif. İzohedral tetraedr Yan üzlərinin bir-birinə bərabər olduğu və əsasının müntəzəm üçbucaq olduğu bir tetraedr deyilir. Belə bir tetraedrin üzləri ikitərəfli üçbucaqlardır.

Tərif. Ortosentrik tetraedr yuxarıdan əks üzə endirilən bütün hündürlüklərin (perpendikulyarların) bir nöqtədə kəsişdiyi tetraedr deyilir.

Tərif. ulduz piramidasıƏsası ulduz olan çoxüzlüyə deyilir.

Tərif. Bipiramida- iki müxtəlif piramidadan (piramidalar da kəsilə bilər) ibarət çoxüzlü, ümumi əsası olan və təpələri əsas müstəvisinin əks tərəflərində yerləşir.