Xətti bərabərsizliklər. Nümunələr ilə ətraflı nəzəriyyə

Bərabərsizlik nişanları haqqında nə bilmək lazımdır? Simge ilə bərabərsizliklər daha çox (> ), və ya az (< ) adlandırılır sərt. Nişanlar ilə daha çox və ya bərabər (≥ ), az və ya bərabər (≤ ) adlandırılır sərt deyil.İkon bərabər deyil (≠ ) ayrı dayanır, lakin siz də hər zaman bu işarə ilə nümunələri həll etməlisiniz. Və biz qərar verəcəyik.)

Simgenin özü həll prosesinə çox təsir etmir. Ancaq qərarın sonunda, son cavabı seçərkən, simvolun mənası tam qüvvədə görünür! Aşağıda nümunələrdə görəcəyimiz budur. Orada bəzi zarafatlar var...

Bərabərliklər kimi bərabərsizliklər də mövcuddur sadiq və vəfasız. Burada hər şey sadədir, hiylə yoxdur. Tutaq ki, 5 > 2 həqiqi bərabərsizlikdir. 5 < 2 - səhv.

Bu hazırlıq bərabərsizliklər üçün işləyir hər cür və dəhşətli dərəcədə sadədir.) Sadəcə iki (yalnız iki!) elementar hərəkəti düzgün yerinə yetirmək lazımdır. Bu hərəkətlər hər kəsə tanışdır. Amma xarakterik olaraq bu hərəkətlərdəki səhvlər bərabərsizliklərin həllində əsas səhvdir, bəli... Ona görə də bu hərəkətlər təkrarlanmalıdır. Bu hərəkətlər belə adlanır:

Bərabərsizliklərin eyni çevrilmələri.

Bərabərsizliklərin eyni çevrilmələri tənliklərin eyni çevrilmələrinə çox oxşardır. Əslində əsas problem budur. Fərqlər başınızın üstündən keçir və... buradasınız.) Ona görə də bu fərqləri xüsusilə vurğulayacağam. Beləliklə, bərabərsizliklərin ilk eyni çevrilməsi:

1. Eyni ədədi və ya ifadəni bərabərsizliyin hər iki tərəfinə əlavə etmək (çıxmaq) olar. Hər hansı. Bu, bərabərsizlik işarəsini dəyişməyəcək.

Təcrübədə bu qayda işarənin dəyişməsi ilə bərabərsizliyin sol tərəfindən sağa (və əksinə) şərtlərin köçürülməsi kimi istifadə olunur. Termin işarəsinin dəyişməsi ilə, bərabərsizliklə deyil! Birə bir qayda tənliklər üçün qayda ilə eynidir. Lakin bərabərsizliklərdə aşağıdakı eyni çevrilmələr tənliklərdə olanlardan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. Buna görə də onları qırmızı ilə vurğulayıram:

2. Bərabərsizliyin hər iki tərəfini eyni şeyə vurmaq (bölmək) olarmüsbətnömrə. İstənilən üçünmüsbət Dəyişməyəcək.

3. Bərabərsizliyin hər iki tərəfini eyni şeyə vurmaq (bölmək) olarmənfi nömrə. İstənilən üçünmənfinömrə. Bundan bərabərsizlik işarəsiəksinə dəyişəcək.

Yadınızdadır (ümid edirəm...) tənliyi hər hansı bir şeyə vurmaq/bölmək olar. İstənilən nömrə üçün və X ilə ifadə üçün. Kaş sıfır olmasaydı. Bu onu, tənliyi nə isti, nə də soyuq edir.) Dəyişmir. Lakin bərabərsizliklər vurma/bölmə üçün daha həssasdır.

Uzun yaddaş üçün bariz nümunə. Şübhə yaratmayan bərabərsizlik yazaq:

5 > 2

Hər iki tərəfi çarpın +3, alırıq:

15 > 6

Etirazınız varmı? Etiraz yoxdur.) Və ilkin bərabərsizliyin hər iki tərəfini vursaq -3, alırıq:

15 > -6

Bu isə açıq-aşkar yalandır.) Tam yalan! Xalqın aldadılması! Ancaq bərabərsizlik işarəsini əksinə dəyişdirən kimi hər şey yerinə düşür:

15 < -6

Mən yalnız yalan və aldatma haqqında söymürəm.) "Bərabər işarəni dəyişməyi unutmuşam..."- Bu ev bərabərsizliklərin həllində səhv. Bu əhəmiyyətsiz və sadə qayda çox insanı incitdi! Hansı ki, onlar unudublar...) Ona görə də and içirəm. Bəlkə xatırlayacam...)

Xüsusilə diqqətli insanlar fərq edəcəklər ki, bərabərsizliyi X hərfi ilə çoxaltmaq olmaz. Diqqətli olanlara hörmət!) Niyə olmasın? Cavab sadədir. Bu ifadənin X ilə işarəsini bilmirik. Müsbət, mənfi ola bilər... Ona görə də vurmadan sonra hansı bərabərsizlik işarəsini qoyacağımızı bilmirik. Dəyişməliyəm ya yox? Naməlum. Təbii ki, bu məhdudiyyətdən (bərabərsizliyi x ilə ifadəyə vurmaq/bölmək qadağanı) keçmək olar. Əgər həqiqətən ehtiyacınız varsa. Amma bu başqa dərslər üçün mövzudur.

Bu, bərabərsizliklərin bütün eyni çevrilmələridir. üçün çalışdıqlarını bir daha xatırladıram hər hansı bərabərsizliklər İndi xüsusi növlərə keçə bilərsiniz.

Xətti bərabərsizliklər. Həll, nümunələr.

Xətti bərabərsizliklər x-in birinci dərəcədə olduğu və x-ə bölünmənin olmadığı bərabərsizliklərdir. Növ:

x+3 > 5x-5

Bu cür bərabərsizliklər necə həll olunur? Onları həll etmək çox asandır! Məhz: köməyi ilə ən qarışıq xətti bərabərsizliyi azaldırıq birbaşa cavaba. Həll yolu budur. Qərarın əsas məqamlarını vurğulayacağam. Axmaq səhvlərə yol verməmək üçün.)

Bu bərabərsizliyi həll edək:

x+3 > 5x-5

Biz onu xətti tənliklə eyni şəkildə həll edirik. Yeganə fərqlə:

Biz bərabərsizlik işarəsini diqqətlə izləyirik!

İlk addım ən çox yayılmışdır. X ilə - sola, X olmadan - sağa... Bu, sadə və problemsiz ilk eyni transformasiyadır.) Sadəcə olaraq, köçürülmüş terminlərin işarələrini dəyişməyi unutmayın.

Bərabərsizlik işarəsi qalır:

x-5x > -5-3

Budur oxşarları.

Bərabərsizlik işarəsi qalır:

4x > -8

Son eyni çevrilməni tətbiq etmək qalır: hər iki tərəfi -4-ə bölün.

Bölün mənfi nömrə.

Bərabərsizlik işarəsi əksinə dəyişəcək:

X < 2

Bu cavabdır.

Bütün xətti bərabərsizliklər belə həll olunur.

Diqqət! 2-ci nöqtə ağ rəngdədir, yəni. boyasız. İçəri boş. Bu o deməkdir ki, o cavaba daxil deyil! Mən onu qəsdən elə sağlam çəkdim. Riyaziyyatda belə bir nöqtəyə (boş, sağlam deyil!)) deyilir deşilmiş nöqtə.

Oxda qalan nömrələr qeyd edilə bilər, lakin lazım deyil. Bərabərsizliyimizlə əlaqəli olmayan kənar rəqəmlər çaşqınlıq yarada bilər, bəli... Sadəcə yadda saxlamaq lazımdır ki, rəqəmlər ox istiqamətində artır, yəni. rəqəmlər 3, 4, 5 və s. var sağa ikiliklər, ədədlər isə 1, 0, -1 və s. - sola.

bərabərsizlik x < 2 - sərt. X ikidən ciddi şəkildə azdır. Şübhə varsa, yoxlama sadədir. Şübhəli ədədi bərabərsizliklə əvəz edirik və düşünürük: "İki ikidən azdır? Xeyr, əlbəttə!" Tam olaraq. Bərabərsizlik 2 < 2 səhv.Əvəzində iki uyğun deyil.

biri yaxşıdır? Əlbəttə. Az... Və sıfır yaxşıdır, və -17 və 0,34... Bəli, ikidən kiçik olan bütün ədədlər yaxşıdır! Və hətta 1.9999.... Ən azı bir az, amma daha az!

Beləliklə, bütün bu rəqəmləri say oxunda qeyd edək. Necə? Burada variantlar var. Birinci seçim kölgədir. Siçanı şəklin üzərinə aparırıq (və ya planşetdəki şəkilə toxunuruq) və x şərtinə cavab verən bütün x-lərin sahəsinin kölgəli olduğunu görürük. < 2 . Hamısı budur.

İkinci nümunədən istifadə edərək ikinci varianta baxaq:

X ≥ -0,5

Bir ox çəkin və -0,5 rəqəmini qeyd edin. Bunun kimi:

Fərqə diqqət yetirin?) Yaxşı, bəli, fərq etməmək çətindir... Bu nöqtə qaradır! Üzərinə boyanmışdır. Bu -0,5 deməkdir cavaba daxildir. Burada, yeri gəlmişkən, yoxlama kimisə çaşdıra bilər. Əvəz edək:

-0,5 ≥ -0,5

Necə? -0,5 -0,5-dən çox deyil! Və daha çox simvol var ...

Hər şey qaydasındadır. Zəif bərabərsizlikdə, simvola uyğun gələn hər şey uyğun gəlir. VƏ bərabərdir yaxşı və daha çox yaxşı. Buna görə də cavaba -0,5 daxil edilir.

Beləliklə, oxda -0,5 qeyd etdik, -0,5-dən böyük olan bütün nömrələri qeyd etmək qalır. Bu dəfə uyğun x dəyərlərinin sahəsini qeyd edirəm yay(sözündən qövs), kölgə salmaq əvəzinə. Kursoru rəsm üzərinə aparırıq və bu yayını görürük.

Kölgə və qollar arasında xüsusi fərq yoxdur. Müəllimin dediyi kimi edin. Müəllim yoxdursa, tağları çəkin. Daha mürəkkəb vəzifələrdə kölgəlik daha az açıqdır. Qarışıq ola bilərsiniz.

Bir ox üzərində xətti bərabərsizliklər belə çəkilir. Gəlin bərabərsizliklərin növbəti xüsusiyyətinə keçək.

Bərabərsizliklərin cavabının yazılması.

Tənliklər yaxşı idi.) Biz x tapdıq və cavabı yazdıq, məsələn: x=3. Bərabərsizliklərdə cavabların yazılmasının iki forması var. Biri yekun bərabərsizlik şəklindədir. Sadə hallar üçün yaxşıdır. Misal üçün:

X< 2.

Bu tam cavabdır.

Bəzən eyni şeyi, lakin fərqli formada, ədədi intervallarla yazmaq lazımdır. Sonra qeyd çox elmi görünməyə başlayır):

x ∈ (-∞; 2)

Simge altında ∈ söz gizlidir "aiddir".

Giriş belə oxunur: x mənfi sonsuzluqdan ikiyə qədər olan intervala aiddir daxil deyil. Kifayət qədər məntiqli. X mənfi sonsuzluqdan ikiyə qədər bütün mümkün ədədlərdən istənilən ədəd ola bilər. İkiqat X ola bilməz, bu sözün bizə dediyidir "daxil deyil".

Və cavabın harada olduğu aydındır "daxil deyil"? Bu fakt cavabda qeyd olunub dəyirmi ikisindən dərhal sonra mötərizə. İkisi daxil olsaydı, mötərizə olardı kvadrat. Bu kimi: ]. Aşağıdakı nümunədə belə bir mötərizə istifadə olunur.

Cavabı yazaq: x ≥ -0,5 fasilələrlə:

x ∈ [-0,5; +∞)

Oxuyur: x mənfi 0,5 intervalına aiddir, o cümlədən,üstəgəl sonsuzluğa.

Sonsuzluğu heç vaxt işə salmaq olmaz. Bu rəqəm deyil, simvoldur. Buna görə də, belə qeydlərdə sonsuzluq həmişə bitişikdir mötərizə.

Bu qeyd forması bir neçə boşluqdan ibarət mürəkkəb cavablar üçün əlverişlidir. Ancaq - yalnız son cavablar üçün. Əlavə həll gözlənilən ara nəticələrdə sadə bərabərsizlik şəklində adi formanı istifadə etmək daha yaxşıdır. Bununla əlaqədar mövzularda məşğul olacağıq.

Bərabərsizliklərlə məşhur vəzifələr.

Xətti bərabərsizliklərin özləri sadədir. Buna görə də, tapşırıqlar çox vaxt çətinləşir. Ona görə də düşünmək lazım idi. Əgər buna öyrəşməmisinizsə, bu o qədər də xoş deyil.) Amma faydalıdır. Bu cür tapşırıqların nümunələrini göstərəcəyəm. Onları öyrənməyiniz üçün deyil, gərəksizdir. Və belə nümunələrlə qarşılaşanda qorxmamaq üçün. Bir az düşünün - və bu sadədir!)

1. 3x - 3 bərabərsizliyinin istənilən iki həllini tapın< 0

Nə edəcəyiniz çox aydın deyilsə, riyaziyyatın əsas qaydasını xatırlayın:

Nəyə ehtiyacınız olduğunu bilmirsinizsə, bacardığınızı edin!)

X < 1

Və nə? Xüsusi heçnə. Bizdən nə soruşurlar? Bizdən bərabərsizliyin həlli olan iki xüsusi ədədi tapmağımız xahiş olunur. Bunlar. cavaba uyğundur. iki hər hansı nömrələri. Əslində, bu, çaşqınlıq yaradır.) 0 və 0,5-dən bir neçəsi uyğun gəlir. Cütlük -3 və -8. Bu cütlərin sonsuz sayda var! Hansı cavab düzdür?!

Cavab verirəm: hər şey! Hər biri birdən kiçik olan istənilən cüt ədəd, düzgün cavab olacaq. Hansını istədiyinizi yazın. Gəlin davam edək.

2. Bərabərsizliyi həll edin:

4x - 3 ≠ 0

Bu formada tapşırıqlar nadirdir. Lakin, köməkçi bərabərsizliklər kimi, məsələn, ODZ-ni taparkən və ya funksiyanın tərif sahəsini taparkən hər zaman baş verirlər. Belə bir xətti bərabərsizlik adi xətti tənlik kimi həll edilə bilər. Yalnız "=" işarəsindən başqa hər yerdə ( bərabərdir) işarəsi qoyun" ≠ " (bərabər deyil). Bərabərsizlik işarəsi ilə cavaba belə yaxınlaşırsınız:

X ≠ 0,75

Daha çox mürəkkəb nümunələr, hər şeyi fərqli etmək daha yaxşıdır. Bərabərsizlikdən bərabərsizlik yaradın. Bunun kimi:

4x - 3 = 0

Bunu öyrədildiyi kimi sakitcə həll edin və cavabı alın:

x = 0,75

Əsas odur ki, ən sonunda, yekun cavabı yazarkən, x tapdığımızı unutmayın, bu da verir bərabərlik. Və bizə lazımdır - bərabərsizlik. Ona görə də bu X-ə ehtiyacımız yoxdur.) Və onu düzgün simvolla yazmalıyıq:

X ≠ 0,75

Bu yanaşma daha az səhvlə nəticələnir. Tənlikləri avtomatik həll edənlər. Tənlikləri həll etməyənlər üçün isə bərabərsizliklər əslində faydasızdır...) Məşhur tapşırığın başqa bir nümunəsi:

3. Bərabərsizliyin ən kiçik tam həllini tapın:

3(x - 1) < 5x + 9

Əvvəlcə bərabərsizliyi sadəcə həll edirik. Mötərizələr açırıq, köçürür, oxşarlarını gətiririk... Alırıq:

X > - 6

Məgər belə alınmadı!? İşarələrə əməl etmisiniz!? Üzvlərin əlamətlərinin arxasında, bərabərsizlik işarəsinin arxasında isə...

Gəlin bir daha düşünək. Həm cavaba, həm də şərtə uyğun gələn konkret nömrə tapmalıyıq "ən kiçik tam ədəd".Əgər bu dərhal sizə görünmürsə, sadəcə istənilən nömrəni götürüb anlaya bilərsiniz. İki mənfi altıdan? Əlbəttə! Daha kiçik uyğun rəqəm varmı? Əlbəttə. Məsələn, sıfır -6-dan böyükdür. Və hətta daha az? Bizə mümkün olan ən kiçik şey lazımdır! Mənfi üç mənfi altıdan çoxdur! Artıq nümunəni tuta və axmaqcasına nömrələri keçməyi dayandıra bilərsiniz, elə deyilmi?)

Gəlin -6-ya yaxın bir ədəd götürək. Məsələn, -5. Cavab yerinə yetirildi, -5 > - 6. -5-dən kiçik, lakin -6-dan böyük başqa bir ədəd tapmaq olarmı? Siz, məsələn, -5,5... Dayan! Bizə deyilir bütöv həll! -5.5 yuvarlanmır! Bəs mənfi altı? Uh-uh! Bərabərsizlik ciddidir, mənfi 6 heç bir şəkildə mənfi 6-dan az deyil!

Buna görə düzgün cavab -5-dir.

İnşallah dəyər seçimi ilə ümumi həll hər şey aydındır. Başqa bir misal:

4. Bərabərsizliyi həll edin:

7 < 3x+1 < 13

Heyrət! Vay! Bu ifadə deyilir üçqat bərabərsizlik. Düzünü desək, bu, bərabərsizliklər sisteminin qısaldılmış formasıdır. Amma bu cür üçqat bərabərsizliklər hələ də bəzi tapşırıqlarda həll edilməlidir... Heç bir sistemsiz də həll oluna bilər. Eyni eyni çevrilmələrə görə.

Sadələşdirməli, bu bərabərsizliyi xalis X-ə gətirməliyik. Amma... Nəyi hara köçürmək lazımdır?! Bu, sola və sağa hərəkət etməyin olduğunu xatırlamağın vaxtıdır qısa forma ilk şəxsiyyət çevrilməsi.

Və tam forma belə səslənir: İstənilən ədəd və ya ifadə tənliyin hər iki tərəfinə əlavə/çıxıla bilər (bərabərsizlik).

Burada üç hissə var. Beləliklə, hər üç hissəyə eyni dəyişiklikləri tətbiq edəcəyik!

Beləliklə, bərabərsizliyin orta hissəsində olandan xilas olaq. Bütün orta hissədən birini çıxaraq. Bərabərsizliyin dəyişməməsi üçün qalan iki hissədən birini çıxarırıq. Bunun kimi:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Bu daha yaxşıdır, elə deyilmi?) Qalan hər üç hissəni üçə bölməkdir:

2 < X < 4

Hamısı budur. Bu cavabdır. X ikidən (daxil deyil) dörddən (daxil deyil) istənilən rəqəm ola bilər. Bu cavab da fasilələrlə yazılır; belə qeydlər kvadrat bərabərsizliklərdə olacaq. Orada onlar ən çox yayılmış şeydir.

Dərsin sonunda ən vacib şeyi təkrarlayacağam. Xətti bərabərsizliklərin həllində uğur xətti tənlikləri çevirmək və sadələşdirmək bacarığından asılıdır. Əgər eyni zamanda bərabərsizlik işarəsinə baxın, hec bir problem olmayacaq. Sənə arzum budur. Problem yoxdur.)

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Bərabərsizlik rəqəmlərin, dəyişənlərin və ya ifadələrin işarə ilə bağlandığı qeyddir<, >, və ya . Yəni bərabərsizliyi ədədlərin, dəyişənlərin və ya ifadələrin müqayisəsi adlandırmaq olar. İşarələr < , > , ⩽ Və ⩾ adlandırılır bərabərsizlik əlamətləri.

Bərabərsizliklərin növləri və necə oxunması:

Nümunələrdən göründüyü kimi, bütün bərabərsizliklər iki hissədən ibarətdir: sol və sağ, bərabərsizlik işarələrindən biri ilə bağlıdır. Bərabərsizliklərin hissələrini birləşdirən işarədən asılı olaraq, onlar ciddi və qeyri-sərt bölünür.

Ciddi bərabərsizliklər- hissələri işarə ilə bağlanan bərabərsizliklər< или >. Qeyri-sərt bərabərsizliklər- hissələrin və ya işarəsi ilə bağlandığı bərabərsizliklər.

Cəbrdə müqayisənin əsas qaydalarını nəzərdən keçirək:

• Sıfırdan böyük istənilən müsbət ədəd.
• İstənilən mənfi ədəd sıfırdan kiçikdir.
• İki mənfi ədəddən mütləq dəyəri kiçik olanı daha böyükdür. Məsələn, -1 > -7.
• a Və b müsbət:

  a - b > 0,

  Bu a daha çox b (a > b).

• İki qeyri-bərabər ədədin fərqi varsa a Və b mənfi:

  a - b < 0,

  Bu a az b (a < b).

• Əgər rəqəm sıfırdan böyükdürsə, müsbətdir:

  a> 0 deməkdir a- müsbət rəqəm.

• Əgər rəqəm sıfırdan azdırsa, mənfi olur:

  a < 0, значит a- mənfi rəqəm.

Ekvivalent bərabərsizliklər- digər bərabərsizliklərin nəticəsi olan bərabərsizliklər. Məsələn, əgər a az b, Bu b daha çox a:

a < b Və b > a- ekvivalent bərabərsizliklər

Bərabərsizliklərin xassələri

1. Bərabərsizliyin hər iki tərəfinə eyni ədədi əlavə etsəniz və ya hər iki tərəfdən eyni ədədi çıxarsanız, ekvivalent bərabərsizlik alırsınız, yəni

   Əgər a > b, Bu a + c > b + c Və a - c > b - c

   Buradan belə nəticə çıxır ki, əks işarə ilə bərabərsizlik şərtlərini bir hissədən digər hissəyə keçirmək mümkündür. Məsələn, bərabərsizliyin hər iki tərəfinə əlavə etmək a - b > c - d By d, alırıq:

   a - b > c - d

   a - b + d > c - d + d

   a - b + d > c

2. Əgər bərabərsizliyin hər iki tərəfi eyni müsbət ədədə vurularsa və ya bölünərsə, ekvivalent bərabərsizlik alınır, yəni
3. Bərabərsizliyin hər iki tərəfi eyni mənfi ədədə vurularsa və ya bölünərsə, onda verilmiş birinə əks olan bərabərsizlik alınacaqdır, yəni bərabərsizliyin hər iki hissəsini mənfi ədədə vurduqda və ya böldükdə işarəsi bərabərsizlik əksinə dəyişdirilməlidir.

   Bu xassədən hər iki tərəfi -1-ə vurmaqla və bərabərsizliyin işarəsini əks tərəfə dəyişdirməklə bərabərsizliyin bütün şərtlərinin işarələrini dəyişmək üçün istifadə etmək olar:

   -a + b > -c

   (-a + b) · -1< (-c) · -1

   a - b < c

   Bərabərsizlik -a + b > -c bərabərsizliyə bərabərdir a - b < c

Məsələn, bərabərsizlik \(x>5\) ifadəsidir.

Bərabərsizliklərin növləri:

Əgər \(a\) və \(b\) ədədlərdirsə və ya , onda bərabərsizlik deyilir ədədi. Bu, əslində iki rəqəmi müqayisə edir. Belə bərabərsizliklər bölünür sadiq Və vəfasız.

Misal üçün:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) səhv ədədi bərabərsizlikdir, çünki \(17+3=20\) və \(20\) \(115\)-dən kiçikdir (və ondan böyük və ya bərabər deyil) .

Əgər \(a\) və \(b\) dəyişəni ehtiva edən ifadələrdirsə, onda bizdə var dəyişən ilə bərabərsizlik. Bu cür bərabərsizliklər məzmununa görə növlərə bölünür:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Yalnız birinci gücə görə dəyişə bilər
\(3x^2-x+5>0\)				İkinci gücdə (kvadratda) dəyişən var, lakin daha yüksək güclər (üçüncü, dördüncü və s.) yoxdur.
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... və s.

Bərabərsizliyin həlli nədir?

Bərabərsizliyə dəyişən əvəzinə ədədi əvəz etsəniz, o rəqəmə çevriləcək.

Əgər x üçün verilmiş qiymət ilkin bərabərsizliyi həqiqi ədədi bərabərsizliyə çevirirsə, o zaman ona deyilir bərabərsizliyin həlli. Əgər yoxsa, bu dəyər həll yolu deyil. Və üçün bərabərsizliyi həll edin– onun bütün həll yollarını tapmalısan (yaxud heç birinin olmadığını göstərməlisən).

Misal üçün,\(7\) ədədini \(x+6>10\) xətti bərabərsizliyinə əvəz etsək, düzgün ədədi bərabərsizliyi alarıq: \(13>10\). Və \(2\) əvəz etsək, səhv ədədi bərabərsizlik \(8>10\) olar. Yəni \(7\) ilkin bərabərsizliyin həllidir, lakin \(2\) deyil.

Lakin \(x+6>10\) bərabərsizliyinin başqa həll yolları var. Doğrudan da, \(5\) və \(12\) və \(138\) əvəz edən zaman düzgün ədədi bərabərsizlikləri əldə edəcəyik... Və bütün mümkün həll yollarını necə tapa bilərik? Bunun üçün istifadə edirlər Bizim vəziyyətimiz üçün:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Yəni dörddən çox olan istənilən rəqəm bizə uyğun olacaq. İndi cavabı yazmalısınız. Bərabərsizliklərin həlli adətən ədədi olaraq yazılır, əlavə olaraq onları nömrə oxunda kölgə ilə işarələyir. Bizim vəziyyətimiz üçün:

Cavab: \(x\in(4;+\infty)\)

Bərabərsizliyin işarəsi nə vaxt dəyişir?

Tələbələrin həqiqətən "sevdikləri" bərabərsizliklərdə böyük bir tələ var:

Bərabərsizliyi mənfi ədədə vurduqda (və ya böldükdə) o, tərsinə çevrilir (“çox” “az”, “çox və ya bərabər” “kiçik və ya bərabər” və s.)

Bu niyə baş verir? Bunu başa düşmək üçün ədədi bərabərsizliyin \(3>1\) çevrilmələrinə baxaq. Düzdür, üç həqiqətən birdən böyükdür. Əvvəlcə onu istənilən müsbət ədədə, məsələn, ikiyə vurmağa çalışaq:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Gördüyümüz kimi, vurmadan sonra bərabərsizlik doğru olaraq qalır. Hansı müsbət ədədi vursaq da, həmişə düzgün bərabərsizliyi əldə edəcəyik. İndi mənfi bir ədədə vurmağa çalışaq, məsələn, mənfi üç:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Nəticə düzgün olmayan bərabərsizlikdir, çünki mənfi doqquz mənfi üçdən azdır! Yəni bərabərsizliyin doğru olması üçün (və buna görə də vurmanın mənfiyə çevrilməsi “qanuni” idi) müqayisə işarəsini belə tərsinə çevirməlisiniz: \(−9<− 3\).
Bölmə ilə eyni şəkildə işləyəcək, özünüz yoxlaya bilərsiniz.

Yuxarıda yazılmış qayda yalnız ədədi olanlara deyil, bütün növ bərabərsizliklərə aiddir.

Misal: \(2(x+1)-1) bərabərsizliyini həll edin<7+8x\)
Həll:

\(2x+2-1<7+8x\)	İşarələri dəyişməyi unutmadan \(8x\) sola, \(2\) və \(-1\) sağa keçək.
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Gəlin bərabərsizliyin hər iki tərəfini \(-6\)-a bölək, “az”dan “daha ​​çox”a dəyişməyi unutmayaq.
	Oxda ədədi intervalı qeyd edək. Bərabərsizlik, buna görə də \(-1\) dəyərinin özünü "çıxarırıq" və onu cavab kimi qəbul etmirik
	Cavabı interval kimi yazaq

Cavab: \(x\in(-1;\infty)\)

Bərabərsizlik və əlillik

Bərabərsizliklər, tənliklər kimi, , yəni x-in qiymətlərində məhdudiyyətlərə malik ola bilər. Müvafiq olaraq, DZ-yə uyğun olaraq qəbuledilməz olan dəyərlər həllər sırasından xaric edilməlidir.

Misal: \(\sqrt(x+1) bərabərsizliyini həll edin<3\)

Həll: Aydındır ki, sol tərəfin \(3\)-dən kiçik olması üçün radikal ifadə \(9\)-dan kiçik olmalıdır (axı \(9\)-dan sadəcə \(3\)). Biz əldə edirik:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Hamısı? X-in \(8\)-dən kiçik hər hansı dəyəri bizə uyğun olacaqmı? Yox! Çünki, məsələn, tələbə uyğun görünən \(-5\) qiymətini götürsək, bu, ilkin bərabərsizliyin həlli olmayacaq, çünki bu, bizi mənfi ədədin kökünü hesablamağa aparacaq.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Ona görə də X-in dəyərinə qoyulan məhdudiyyətləri də nəzərə almalıyıq - kökün altında mənfi ədəd olması elə ola bilməz. Beləliklə, x üçün ikinci tələbimiz var:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Və x-in son həll olması üçün o, hər iki tələbi birdən yerinə yetirməlidir: \(8\)-dən kiçik (həll olmaq üçün) və \(-1\)-dən böyük olmalıdır (prinsipcə məqbul olmalıdır). Nömrə xəttində tərtib edərək, son cavabımız var:

Cavab: \(\sol[-1;8\sağ)\)

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Bərabərsizliklərin tərifi və əsas xassələri.

Təriflər:

Bərabərsizliklər formanın ifadələri adlanır a ≤ b) ,a>b (a ≥ b) ,

Harada a Və bədədlər və ya funksiyalar ola bilər.

Simvollar<(≤ ) , >( ≥ ) adlandırılırbərabərsizlik əlamətlərivə müvafiq olaraq oxuyun:

kiçik (kiçik və ya bərabər), böyük (böyük və ya bərabər).

> və işarələrindən istifadə etməklə yazılan bərabərsizliklər< ,называются sərt,

və işarələri əhatə edən bərabərsizliklər≥ və ≤,- sərt deyil.

Formanın bərabərsizlikləri a adlandırılırikiqat bərabərsizliklər

və müvafiq olaraq oxuyun: x daha çox a, lakin daha az b (x daha çox və ya bərabər a, lakin az və ya bərabərdir b ).

İki növ bərabərsizlik var: rəqəmli ( 2>0,7;½<6 ) Vədəyişənli bərabərsizliklər (5 x-40>0 ; x²-2x<0 ) .

Ədədi bərabərsizliklərin xassələri:

• Əgər a>b, Bu b ; Əgər a , Bu b>a .
• Əgər a Və b , Bu a .
• Əgər a Və c- onda istənilən nömrə a+c .
• Əgər a Və c>0, Bu ac Əgər a və c<0, то ac>bc.
• Əgər a Və c , Bu a+c .
• Əgər a Və c , burada a, b, c, d müsbət ədədlərdir, onda ac .

Rəqəmsal intervallar

Bərabərsizlik	Rəqəmsal interval	ad boşluq	Həndəsi təfsir
		a və b,a ucları olan qapalı interval (seqment).
		a və b,a ucları ilə açıq aralıq (interval).
		a və b,a ucları olan yarımaçıq intervallar (yarım intervallar).
		sonsuz intervallar (şüalar)
		sonsuz intervallar (açıq şüalar)
		sonsuz interval (ədəd xətti)

HAQQINDA əsas təriflər və xüsusiyyətlər.

Təriflər :

Bərabərsizliyin həlli bir dəyişən ilə dəyişənin dəyəri deyilir,

pişik Bu, onu həqiqi ədədi bərabərsizliyə çevirir.

Bərabərsizliyi həll edin- onun bütün həll yollarını tapmaq və ya həll yollarının olmadığını sübut etmək deməkdir.

Eyni həlli olan bərabərsizliklər deyilirekvivalent.

Həlli olmayan bərabərsizliklər də ekvivalent sayılır.

Bərabərsizlikləri həll edərkən aşağıdakılardan istifadə olunur xassələri :

1) Bərabərsizliyin bir hissəsindən keçsək

əks işarə ilə başqa bir termin,

2) Bərabərsizliyin hər iki tərəfi vurularsa və ya

eyni müsbət ədədə bölmək,

onda ona ekvivalent bərabərsizlik əldə edirik.

3) Bərabərsizliyin hər iki tərəfi vurularsa və ya

eyni mənfi ədədə bölmək,

bərabərsizlik işarəsinin dəyişdirilməsi əks,

onda ona ekvivalent bərabərsizlik əldə edirik.

Transformasiya prosesində bir çox bərabərsizliklər xətti bərabərsizliklərə endirilir.

Nforma bərabərliyi ah> b(Oh , HaradaA Vəb - bəzi rəqəmlər

Zəng etdi bir dəyişənli xətti bərabərsizliklər.

Əgər a>0 , sonra bərabərsizlik ax>bekvivalentbərabərsizlik

və bir çox həllərbərabərsizliklər arasında uçurum var

Əgər a<0 , sonra bərabərsizlik ax>bbərabərsizliyə bərabərdir

və bir çox həllərbərabərsizliklər arasında uçurum var

bərabərsizlik formasını alacaq 0∙ x>b, yəni. onun həlli yoxdur , Əgər b≥0,

və hər kəs üçün doğrudur x,Əgər b<0 .

Bir dəyişənli bərabərsizliklərin həlli üçün analitik üsul.

Bir dəyişənli bərabərsizliklərin həlli alqoritmi

• Bərabərsizliyin hər iki tərəfini çevirin.
• Bənzər şərtləri verin.
• Bərabərsizliklərin xassələrinə əsaslanaraq, bərabərsizlikləri ən sadə formasına endirin.
• Cavabı yazın.

Bərabərsizliklərin həllinə dair nümunələr verək .

Misal 1. Qərar ver 3x≤ 15 bərabərsizliyi var.

Həll:

HAQQINDAbərabərsizliyin heç bir hissəsi yoxdur

Rbölək müsbət rəqəm 3(əmlak 2): x ≤ 5.

Bərabərsizliyin həlli çoxluğu ədədi intervalla (-∞;5] ilə təmsil olunur.

Cavab:(- ∞;5]

Misal 2 . Qərar ver -10 x≥34 bərabərsizliyi var.

Həll:

HAQQINDAbərabərsizliyin heç bir hissəsi yoxdurRbölək mənfi rəqəmə -10,

bu halda bərabərsizlik işarəsini əksinə dəyişirik(əmlak 3) : x ≤ - 3,4.

Bərabərsizliyin həlli çoxluğu (-∞;-3,4] intervalı ilə təmsil olunur.

Cavab: (-∞;-3,4] .

Misal 3. Qərar ver 18+6x>0 bərabərsizliyi var.

Həll:

Əks işarəsi olan 18-ci həddi bərabərsizliyin sol tərəfinə keçirək(əmlak 1): 6x>-18.

Hər iki tərəfi 6-ya bölün (əmlak 2):

x>-3.

Bərabərsizliyin həlli çoxluğu (-3;+∞) intervalı ilə təmsil olunur.

Cavab: (-3;+∞ ).

Misal 4.Qərar ver 3 (x-2)-4(x+2) bərabərsizliyi var<2(x-3)-2.

Həll:

Mötərizələri açaq: 3x-6-4x-8<2x-6-2 .

Naməlum olan şərtləri sola köçürək,

və naməlum olmayan terminlər sağ tərəfə (əmlak 1) :

3x-4x-2x<6+8-6-2.

Budur bəzi oxşar terminlər:-3x<6.

Hər iki tərəfi -3-ə bölün (əmlak 3) :

x>-2.

Bərabərsizliyin həlli çoxluğu (-2;+∞) intervalı ilə təmsil olunur.

Cavab: (-2;+∞ ).

Misal 5 . Qərar ver bərabərsizlik var

Həll:

Gəlin bərabərsizliyin hər iki tərəfini kəsrlərin ən kiçik ortaq məxrəcinə vuraq,

bərabərsizliyə, yəni 6-ya daxil edilir(əmlak 2).

Biz əldə edirik:

,

2x-3x≤12.

Buradan, - x≤12,x≥-12 .

Cavab: [ -12;+∞ ).

Misal 6 . Qərar ver 3(2-x)-2>5-3x bərabərsizliyi var.

Həll:

6-3x-2>5-3x, 4-3x>5-3x,-3x+3x>5-4.

Bərabərsizliyin sol tərəfində oxşar şərtləri təqdim edək və nəticəni 0 şəklində yazaq∙ x>1.

Yaranan bərabərsizliyin həlli yoxdur, çünki x-in hər hansı bir dəyəri üçün

0 ədədi bərabərsizliyinə çevrilir< 1, не являющееся верным.

Bu o deməkdir ki, ona ekvivalent verilmiş bərabərsizliyin həlli yoxdur.

Cavab:həll yolları yoxdur.

Misal 7 . Qərar ver 2(x+1)+5>3-(1-2x) bərabərsizliyi var.

Həll:

Mötərizələri açaraq bərabərsizliyi sadələşdirək:

2x+2+5>3-1+2x, 2x+7>2+2x,2x-2x>2-7, 0∙ x>-5.

Nəticədə yaranan bərabərsizlik x-in istənilən qiyməti üçün doğrudur,

çünki sol tərəf istənilən x üçün sıfıra bərabərdir və 0>-5.

Bərabərsizliyin həlli çoxluğu intervaldır (-∞;+∞).

Cavab:(-∞;+∞ ).

Misal 8 . İfadə x-in hansı dəyərlərində məna kəsb edir:

b)

Həll:

a) Arifmetik kvadrat kökün tərifinə görə

aşağıdakı bərabərsizlik təmin edilməlidir 5x-3 ≥0.

Həll edərək 5x≥3, x≥0.6 alırıq.

Beləliklə, bu ifadə intervaldan bütün x üçün məna kəsb edir)