Sistemin unikal həlli olduqda. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli

Göründüyü kimi Kramer teoremləri, xətti tənliklər sistemini həll edərkən üç hal baş verə bilər:

Birinci hal: xətti tənliklər sisteminin unikal həlli var

(sistem ardıcıl və müəyyəndir)

İkinci hal: xətti tənliklər sisteminin sonsuz sayda həlli var

(sistem ardıcıl və qeyri-müəyyəndir)

** ,

olanlar. naməlumların və sərbəst şərtlərin əmsalları mütənasibdir.

Üçüncü hal: xətti tənliklər sisteminin həlli yoxdur

(sistem uyğunsuz)

Beləliklə, sistem m ilə xətti tənliklər n dəyişənlər deyilir uyğunsuz heç bir həll yolu yoxdursa və birgəən azı bir həlli varsa. Yalnız bir həlli olan birgə tənliklər sistemi adlanır müəyyən, və birdən çox qeyri-müəyyən.

Xətti tənlik sistemlərinin Kramer üsulu ilə həlli nümunələri

Sistem olsun

Kramer teoreminə əsaslanır

………….
,

harada
-

sistem identifikatoru. Qalan müəyyənedicilər sütunu müvafiq dəyişənin (naməlum) əmsalları ilə sərbəst üzvlərlə əvəz etməklə əldə edilir:

Misal 2

Ona görə də sistem müəyyəndir. Onun həllini tapmaq üçün determinantları hesablayırıq

Kramerin düsturlarına görə tapırıq:

Beləliklə, (1; 0; -1) sistemin yeganə həllidir.

3 X 3 və 4 X 4 tənlik sistemlərinin həllərini yoxlamaq üçün onlayn kalkulyatordan, Kramer həll üsulundan istifadə edə bilərsiniz.

Bir və ya bir neçə tənlikdə xətti tənliklər sistemində dəyişənlər yoxdursa, determinantda onlara uyğun gələn elementlər sıfıra bərabərdir! Bu növbəti nümunədir.

Misal 3 Xətti tənliklər sistemini Kramer üsulu ilə həll edin:

Həll. Sistemin determinantını tapırıq:

Tənliklər sisteminə və sistemin determinantına diqqətlə baxın və determinantın bir və ya bir neçə elementinin sıfıra bərabər olduğu sualına cavabı təkrarlayın. Deməli, determinant sıfıra bərabər deyil, ona görə də sistem müəyyəndir. Onun həllini tapmaq üçün naməlumlar üçün təyinediciləri hesablayırıq

Kramerin düsturlarına görə tapırıq:

Beləliklə, sistemin həlli (2; -1; 1) olur.

6. Xətti cəbri tənliklərin ümumi sistemi. Gauss üsulu.

Xatırladığımız kimi, sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda Kramer qaydası və matris metodu uyğun deyil. Gauss üsulu – istənilən xətti tənliklər sisteminin həllini tapmaq üçün ən güclü və çox yönlü vasitədir, hansı hər halda bizi cavaba apar! Hər üç halda metodun alqoritmi eyni şəkildə işləyir. Əgər Kramer və matris üsulları determinantlar haqqında bilik tələb edirsə, o zaman Qauss metodunun tətbiqi yalnız arifmetik əməliyyatlar haqqında bilik tələb edir ki, bu da onu hətta ibtidai sinif şagirdləri üçün də əlçatan edir.

Əvvəlcə xətti tənliklər sistemləri haqqında bilikləri bir az sistemləşdiririk. Xətti tənliklər sistemi:

1) Unikal həll yolu var.
2) Sonsuz bir çox həll yolu var.
3) Heç bir həll yolu yoxdur (olsun uyğunsuz).

Gauss metodu həll tapmaq üçün ən güclü və çox yönlü vasitədir hər hansı xətti tənliklər sistemləri. xatırladığımız kimi Kramer qaydası və matris metodu sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda uyğun deyil. Naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu hər halda bizi cavaba apar! Bu dərsdə biz 1-ci hal (sistemin yeganə həlli) üçün yenidən Gauss metodunu nəzərdən keçirəcəyik, məqalə 2-3 nömrəli bəndlərin vəziyyətləri üçün ayrılmışdır. Qeyd edim ki, metod alqoritminin özü hər üç halda eyni şəkildə işləyir.

Dərsdən ən sadə sistemə qayıdaq Xətti tənliklər sistemini necə həll etmək olar?
və onu Qauss üsulu ilə həll edin.

İlk addım yazmaqdır genişləndirilmiş matris sistemi:
. Əmsalların hansı prinsiplə qeydə alındığını düşünürəm ki, hamı görə bilər. Matris daxilində şaquli xətt heç bir riyazi məna daşımır - bu, dizaynın asanlığı üçün sadəcə üstü xəttdir.

İstinad:xatırlamağı tövsiyə edirəm şərtlər xətti cəbr. Sistem matrisi yalnız naməlumlar üçün əmsallardan ibarət matrisdir, bu misalda sistemin matrisi: . Genişləndirilmiş Sistem Matrisi sistemin eyni matrisi üstəgəl sərbəst şərtlər sütunudur, bu halda: . Matrislərdən hər hansı birini qısalıq üçün sadəcə matris adlandırmaq olar.

Sistemin genişləndirilmiş matrisi yazıldıqdan sonra onunla bəzi hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır ki, bunlara da deyilir. elementar çevrilmələr.

Aşağıdakı elementar çevrilmələr var:

1) Simlər matrislər yenidən təşkil edilə bilər yerlər. Məsələn, nəzərdən keçirilən matrisdə birinci və ikinci sıraları təhlükəsiz şəkildə yenidən təşkil edə bilərsiniz:

2) Əgər matrisdə mütənasib (xüsusi hal kimi - eyni) sətirlər varsa (və ya yaranıbsa), o zaman aşağıdakı kimi olur: silin matrisdən, biri istisna olmaqla, bütün bu sıralar. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək . Bu matrisdə son üç sıra mütənasibdir, ona görə də onlardan yalnız birini tərk etmək kifayətdir: .

3) Dönüştürmələr zamanı matrisdə sıfır cərgə yaranıbsa, o da əmələ gəlir silin. Mən çəkməyəcəyəm, əlbəttə ki, sıfır xətti olan xəttdir yalnız sıfırlar.

4) Matrisin sırası ola bilər çoxaltmaq (bölmək) istənilən nömrə üçün sıfırdan fərqli. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək. Burada birinci sətri -3-ə bölmək, ikinci sətri isə 2-yə vurmaq məsləhətdir: . Bu hərəkət çox faydalıdır, çünki matrisin sonrakı çevrilmələrini asanlaşdırır.

5) Bu çevrilmə ən çox çətinliklərə səbəb olur, amma əslində mürəkkəb bir şey də yoxdur. Matrisin sırasına, edə bilərsiniz nömrə ilə vurulan başqa bir sətir əlavə edin, sıfırdan fərqli. Praktik bir nümunədən matrisimizi nəzərdən keçirək: . Birincisi, transformasiyanı çox ətraflı təsvir edəcəyəm. Birinci sıranı -2-yə vurun: , və ikinci sətirə -2 ilə vurulan birinci sətri əlavə edirik: . İndi birinci sətir "geri" -2 ilə bölünə bilər: . Gördüyünüz kimi, ƏLAVƏ EDİLƏN sətir LI – dəyişməyib. Həmişə sətir dəyişdirilir, ƏLAVƏ OLUNUR UT.

Təcrübədə, əlbəttə ki, bu qədər təfərrüatlı şəkildə rənglənmirlər, lakin daha qısa yazırlar:

Bir daha: ikinci sıraya -2 ilə vurulan birinci sıra əlavə edildi. Xətt adətən şifahi və ya qaralama üzərində vurulur, hesablamaların zehni gedişatı isə belədir:

“Matrisi yenidən yazıram və birinci sətri yenidən yazıram: »

Birinci sütun birinci. Aşağıda sıfır almalıyam. Buna görə də yuxarıdakı vahidi -2: ilə vururam və birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 2 + (-2) = 0. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »

“İndi ikinci sütun. -1 dəfədən yuxarı -2: . Birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 1 + 2 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »

“Və üçüncü sütun. -5 dəfədən yuxarı -2: . Birinci sətri ikinci sətirə əlavə edirəm: -7 + 10 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: »

Zəhmət olmasa, bu nümunə üzərində diqqətlə düşünün və ardıcıl hesablama alqoritmini anlayın, əgər bunu başa düşsəniz, Gauss metodu praktiki olaraq "cibinizdədir". Amma təbii ki, biz hələ də bu transformasiya üzərində işləyirik.

Elementar çevrilmələr tənliklər sisteminin həllini dəyişmir

! DİQQƏT: hesab edilən manipulyasiyalar istifadə edə bilməz, sizə matrislərin "özləri tərəfindən" verildiyi bir tapşırıq təklif edilərsə. Məsələn, "klassik" ilə matrislər heç bir halda matrislərin içərisində bir şeyi yenidən təşkil etməməlisiniz!

Sistemimizə qayıdaq. O, demək olar ki, parçalara bölünüb.

Sistemin artırılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu azaldaq pilləli görünüş:

(1) Birinci sətir ikinci sıraya əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Və yenə: niyə birinci sıranı -2-yə vururuq? Aşağıda sıfır əldə etmək üçün, yəni ikinci sətirdəki bir dəyişəndən xilas olmaq deməkdir.

(2) İkinci sıranı 3-ə bölün.

Elementar çevrilmələrin məqsədi – matrisi addım formasına çevirin: . Tapşırığın dizaynında sadə bir qələmlə birbaşa "nərdivan" çəkirlər, həmçinin "addımlar" üzərində yerləşən nömrələri dairə edirlər. "Pilləli baxış" termininin özü tamamilə nəzəri deyil, elmi və tədris ədəbiyyatında ona tez-tez deyilir. trapezoidal görünüş və ya üçbucaqlı görünüş.

Elementar çevrilmələr nəticəsində əldə etdik ekvivalent orijinal tənliklər sistemi:

İndi sistemin əks istiqamətdə "burulması" lazımdır - aşağıdan yuxarıya, bu proses adlanır əks Gauss üsulu.

Aşağı tənlikdə artıq bitmiş nəticəyə sahibik: .

Sistemin birinci tənliyini nəzərdən keçirin və artıq məlum olan “y” dəyərini ona əvəz edin:

Üç naməlumlu üç xətti tənlik sistemini həll etmək üçün Qauss metodunun tələb olunduğu ən ümumi vəziyyəti nəzərdən keçirək.

Misal 1

Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin:

Sistemin artırılmış matrisini yazaq:

İndi dərhal həll prosesində gələcəyimiz nəticəni çəkəcəyəm:

Yenə deyirəm, məqsədimiz elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisi pilləli formaya gətirməkdir. Tədbirə haradan başlamaq lazımdır?

Əvvəlcə yuxarı sol rəqəmə baxın:

Demək olar ki, həmişə burada olmalıdır vahid. Ümumiyyətlə, -1 (və bəzən digər rəqəmlər) də uyğun olacaq, lakin ənənəvi olaraq bir vahidin ümumiyyətlə orada yerləşdirildiyi baş verdi. Bölməni necə təşkil etmək olar? Birinci sütuna baxırıq - bitmiş bir vahidimiz var! Birinci transformasiya: birinci və üçüncü sətirləri dəyişdirin:

İndi birinci sətir həllin sonuna qədər dəyişməz qalacaq. İndi yaxşı.

Sol yuxarıdakı bölmə təşkil olunub. İndi bu yerlərdə sıfırlar əldə etməlisiniz:

Sıfırlar yalnız "çətin" çevrilmənin köməyi ilə əldə edilir. Əvvəlcə ikinci sətirlə məşğul oluruq (2, -1, 3, 13). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün nə etmək lazımdır? Ehtiyac ikinci sətirə -2 ilə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada ilk sətri -2 ilə çarpırıq: (-2, -4, 2, -18). Biz ardıcıl olaraq (yenidən zehni olaraq və ya qaralamada) əlavə edirik, ikinci sətirə artıq -2 ilə vurulmuş birinci sətri əlavə edirik:

Nəticə ikinci sətirdə yazılır:

Eynilə, üçüncü sətirlə məşğul oluruq (3, 2, -5, -1). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün sizə lazımdır üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada ilk sətri -3-ə vururuq: (-3, -6, 3, -27). Və üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edirik:

Nəticə üçüncü sətirdə yazılır:

Praktikada bu hərəkətlər adətən şifahi şəkildə həyata keçirilir və bir addımda yazılır:

Hər şeyi bir anda və eyni zamanda hesablamağa ehtiyac yoxdur. Hesablamaların ardıcıllığı və nəticələrin "daxil edilməsi" ardıcıl və adətən belə olur: əvvəlcə birinci sətri yenidən yazırıq və özümüzü sakitcə puflayırıq - ARADDALI və DİQQƏTLİ:

Mən artıq yuxarıda hesablamaların zehni gedişatını nəzərdən keçirdim.

Bu misalda bunu etmək asandır, ikinci sətri -5-ə bölürük (çünki orada bütün ədədlər 5-ə qalıqsız bölünür). Eyni zamanda, üçüncü sətri -2-yə bölürük, çünki rəqəm nə qədər kiçik olsa, həlli bir o qədər sadədir:

Elementar çevrilmələrin son mərhələsində burada daha bir sıfır əldə edilməlidir:

Bunun üçün üçüncü sətirə -2 ilə vurulan ikinci sətri əlavə edirik:

Bu hərəkəti özünüz təhlil etməyə çalışın - zehni olaraq ikinci sətri -2-yə vurun və əlavə edin.

Sonuncu yerinə yetirilən hərəkət nəticənin saç düzümüdür, üçüncü xətti 3-ə bölün.

Elementar çevrilmələr nəticəsində xətti tənliklərin ekvivalent ilkin sistemi əldə edildi:

Sərin.

İndi Gauss metodunun tərs kursu işə düşür. Tənliklər aşağıdan yuxarıya doğru "açılır".

Üçüncü tənlikdə artıq bitmiş nəticəyə sahibik:

İkinci tənliyə baxaq: . "Z" hərfinin mənası artıq məlumdur, beləliklə:

Və nəhayət, birinci tənlik: . “Y” və “Z” məlumdur, məsələ kiçikdir:

Cavab verin:

Dəfələrlə qeyd edildiyi kimi, hər hansı bir tənlik sistemi üçün tapılan həlli yoxlamaq mümkündür və lazımdır, xoşbəxtlikdən, bu çətin və sürətli deyil.

Misal 2

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunə, bitirmə nümunəsi və dərsin sonunda cavabdır.

Qeyd etmək lazımdır ki, sizin hərəkət kurs hərəkətlərimlə üst-üstə düşməyə bilər, və bu Gauss metodunun xüsusiyyətidir. Amma cavablar eyni olmalıdır!

Misal 3

Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin

Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazırıq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu addım formasına gətiririk:

Biz yuxarı sol "addım" baxırıq. Orada bir vahidimiz olmalıdır. Problem ondadır ki, birinci sütunda ümumiyyətlə heç kim yoxdur, buna görə də sətirləri yenidən təşkil etməklə heç nə həll edilə bilməz. Belə hallarda vahid elementar transformasiyadan istifadə edərək təşkil edilməlidir. Bu adətən bir neçə yolla edilə bilər. Mən bunu etdim:
(1) Birinci sətirə -1 ilə vurulan ikinci sətri əlavə edirik. Yəni zehni olaraq ikinci xətti -1-ə vurduq və birinci və ikinci sətirlərin əlavəsini yerinə yetirdik, ikinci sətir dəyişmədi.

İndi yuxarı solda "mənfi bir" bizə mükəmməl uyğun gəlir. +1 almaq istəyən əlavə bir jest edə bilər: birinci sətri -1-ə vurun (işarəsini dəyişdirin).

(2) 5-ə vurulan birinci cərgə ikinci sıraya, 3-ə vurulan birinci sətir üçüncü sıraya əlavə edildi.

(3) Birinci sətir -1-ə vuruldu, prinsipcə, bu gözəllik üçündür. Üçüncü xəttin işarəsi də dəyişdirilərək ikinci yerə köçürüldü, beləliklə, ikinci “addımda istədiyimiz vahid oldu.

(4) 2-yə vurulan ikinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.

(5) Üçüncü sıra 3-ə bölündü.

Hesablama səhvini göstərən pis işarə (daha az tez-tez yazı səhvi) “pis” nəticədir. Yəni, aşağıdakı kimi bir şey əldə etdiksə və müvafiq olaraq, , onda yüksək ehtimal dərəcəsi ilə elementar çevrilmələr zamanı səhvə yol verildiyini iddia etmək olar.

Biz tərs hərəkəti yükləyirik, nümunələrin dizaynında sistemin özü çox vaxt yenidən yazılmır və tənliklər "birbaşa verilmiş matrisdən götürülür". Tərs hərəkət, sizə xatırladıram, aşağıdan yuxarıya doğru işləyir. Bəli, burada bir hədiyyə var:

Cavab verin: .

Misal 4

Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin

Bu müstəqil həll üçün bir nümunədir, bir qədər daha mürəkkəbdir. Kiminsə çaş-baş qalması yaxşıdır. Dərsin sonunda tam həll və dizayn nümunəsi. Sizin həlliniz mənimkindən fərqli ola bilər.

Son hissədə biz Gauss alqoritminin bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçiririk.
Birinci xüsusiyyət odur ki, bəzən sistemin tənliklərində bəzi dəyişənlər yoxdur, məsələn:

Sistemin artırılmış matrisini necə düzgün yazmaq olar? Artıq dərsdə bu an haqqında danışdım. Kramer qaydası. Matris üsulu. Sistemin genişləndirilmiş matrisində çatışmayan dəyişənlərin yerinə sıfırlar qoyuruq:

Yeri gəlmişkən, bu kifayət qədər asan bir nümunədir, çünki birinci sütunda artıq bir sıfır var və yerinə yetirmək üçün daha az elementar çevrilmə var.

İkinci xüsusiyyət budur. Nəzərdən keçirilən bütün nümunələrdə “addımlar” üzərinə ya –1, ya da +1 qoyduq. Başqa rəqəmlər ola bilərmi? Bəzi hallarda edə bilərlər. Sistemi nəzərdən keçirin: .

Burada yuxarı sol "addım" biz bir ikili var. Ancaq birinci sütundakı bütün nömrələrin 2-yə qalıqsız bölünməsi faktını görürük - və daha iki və altı. Və yuxarı soldakı ikili bizə uyğun olacaq! İlk addımda aşağıdakı çevrilmələri yerinə yetirməlisiniz: ikinci sətirə -1 ilə vurulmuş birinci sətri əlavə edin; üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Beləliklə, birinci sütunda istədiyiniz sıfırları alacağıq.

Və ya başqa bir hipotetik nümunə: . Burada ikinci “pillə”dəki üçlük də bizə uyğun gəlir, çünki 12 (sıfır almalı olduğumuz yer) 3-ə qalıqsız bölünür. Aşağıdakı çevrilməni həyata keçirmək lazımdır: üçüncü sətirə -4-ə vurulan ikinci sətri əlavə edin, bunun nəticəsində bizə lazım olan sıfır alınacaq.

Gauss metodu universaldır, lakin bir xüsusiyyəti var. Sistemləri başqa üsullarla (Kramer metodu, matris metodu) hərfi mənada ilk dəfədən inamla necə həll edəcəyinizi öyrənə bilərsiniz - çox sərt bir alqoritm var. Ancaq Gauss metodunda əmin olmaq üçün "əlini doldurmalı" və ən azı 5-10 sistemi həll etməlisiniz. Buna görə əvvəlcə çaşqınlıq, hesablamalarda səhvlər ola bilər və bunda qeyri-adi və ya faciəli bir şey yoxdur.

Pəncərədən kənarda yağışlı payız havası .... Buna görə də, hər kəs üçün müstəqil bir həll üçün daha mürəkkəb bir nümunə:

Misal 5

Qauss metodundan istifadə etməklə dörd naməlumlu dörd xətti tənlik sistemini həll edin.

Praktikada belə bir vəzifə o qədər də nadir deyil. Düşünürəm ki, hətta bu səhifəni təfərrüatı ilə öyrənmiş çaynik belə bir sistemin intuitiv şəkildə həllinin alqoritmini başa düşür. Əsasən eyni - daha çox hərəkət.

Dərsdə sistemin həlli olmadığı (uyğunsuz) və ya sonsuz sayda həlli olduğu hallar nəzərdən keçirilir. Uyğun olmayan sistemlər və ümumi həlli olan sistemlər. Orada Gauss metodunun nəzərdən keçirilən alqoritmini düzəldə bilərsiniz.

Sizə uğurlar arzulayıram!

Həll və cavablar:

Misal 2: Həll: Sistemin artırılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrin köməyi ilə onu pilləli formaya gətirək.

Elementar çevrilmələri həyata keçirdi:
(1) Birinci sətir ikinci sıraya əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. Diqqət! Burada üçüncü sətirdən birincini çıxarmaq cazibədar ola bilər, mən çıxarmağı qətiliklə tövsiyə etmirəm - səhv riski çox artır. Sadəcə qatlayırıq!
(2) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). İkinci və üçüncü sətirlər dəyişdirilib. Qeyd ki, "addımlar" da biz yalnız bir ilə deyil, həm də -1 ilə kifayətlənirik, bu daha rahatdır.
(3) Üçüncü sətirə 5-ə vurulan ikinci sətri əlavə edin.
(4) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). Üçüncü sətir 14-ə bölündü.

Ters hərəkət:

Cavab verin: .

Misal 4: Həll: Sistemin artırılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrin köməyi ilə onu pilləli formaya gətirək:

Həyata keçirilən çevrilmələr:
(1) Birinci sətirə ikinci sətir əlavə edildi. Beləliklə, istədiyiniz vahid yuxarı sol "addımda" təşkil edilir.
(2) 7-yə vurulan birinci cərgə ikinci sıraya, 6-ya vurulan birinci sətir üçüncü sıraya əlavə edildi.

İkinci "addım" ilə hər şey daha pisdir, bunun üçün "namizədlər" 17 və 23 rəqəmləridir və bizə ya bir, ya da -1 lazımdır. Transformasiyalar (3) və (4) istədiyiniz vahidi əldə etməyə yönəldiləcəkdir

(3) İkinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.
(4) -3-ə vurulan üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi.
İkinci addımda lazım olan şey alınır .
(5) Üçüncü sətirə ikinci əlavə edildi, 6-ya vuruldu.

Dərslər daxilində Gauss üsulu və Ümumi həlli olan uyğun olmayan sistemlər/sistemlər hesab etdik xətti tənliklərin qeyri-homogen sistemləri, harada pulsuz üzv(adətən sağdadır) ən azı bir tənliklərin sıfırdan fərqli idi.
İndi isə yaxşı istiləşmədən sonra matris dərəcəsi, texnikanı cilalamağa davam edəcəyik elementar çevrilmələrüstündə xətti tənliklərin homojen sistemi.
Birinci bəndlərə görə, material darıxdırıcı və adi görünə bilər, lakin bu təəssürat aldadıcıdır. Texnikaların daha da inkişaf etdirilməsi ilə yanaşı çoxlu yeni məlumatlar olacaq, ona görə də bu məqalədəki nümunələri nəzərdən qaçırmamağa çalışın.

Həll. A= . r(A) tapın. Çünki matris A 3x4 sırasına malikdir, onda yetkinlik yaşına çatmayanların ən yüksək sırası 3-dür. Bu halda, üçüncü dərəcəli bütün yetkinlik yaşına çatmayanlar sıfıra bərabərdir (özünüz yoxlayın). deməkdir, r(A)< 3. Возьмем главный əsas kiçik = -5-4 = -9 ≠ 0. Beləliklə, r(A) =2.

düşünün matris FROM = .

Kiçik üçüncü sifariş ≠ 0. Deməli, r(C) = 3.

r(A) olduğundan ≠ r(C) , onda sistem uyğunsuzdur.

Misal 2 Tənliklər sisteminin uyğunluğunu müəyyən edin

Bu sistem uyğundursa, həll edin.

Həll.

A =, C = . Aydındır ki, r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. DetC = 0 olduğundan, r(C)< 4. düşünün azyaşlı üçüncü sifariş, A və C matrisinin yuxarı sol küncündə yerləşir: = -23 ≠ 0. Deməli, r(A) = r(C) = 3.

Nömrə naməlum sistemdə n=3. Beləliklə, sistemin unikal həlli var. Bu halda dördüncü tənlik ilk üçünün cəmidir və onu nəzərə almamaq olar.

Kramerin düsturlarına görə x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 alırıq.

2.4. Matris üsulu. Gauss üsulu

sistemi n xətti tənliklər ilə n bilinməyənləri həll etmək olar matris üsulu X \u003d A -1 B düsturuna görə (Δ üçün ≠ 0), hər iki hissəni A -1-ə vurmaqla (2)-dən əldə edilir.

Nümunə 1. Tənliklər sistemini həll edin

matris üsulu ilə (Bölmə 2.2-də bu sistem Cramer düsturlarından istifadə etməklə həll edilmişdir)

Həll. Δ=10 ≠ 0 A = - qeyri-sinqulyar matris.

= (zəruri hesablamaları apararaq bunu özünüz yoxlayın).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Cavab verin: .

Praktik baxımdan matris metodu və düsturları Kramer böyük məbləğdə hesablama ilə əlaqələndirilir, ona görə də üstünlük verilir Gauss üsulu, bilinməyənlərin ardıcıl aradan qaldırılmasından ibarətdir. Bunun üçün tənliklər sistemi üçbucaqlı artırılmış matrisə malik ekvivalent sistemə endirilir (əsas diaqonaldan aşağıda olan bütün elementlər sıfıra bərabərdir). Bu hərəkətlərə birbaşa hərəkət deyilir. Yaranan üçbucaqlı sistemdən dəyişənlər ardıcıl əvəzləmələrdən istifadə etməklə tapılır (geri).

Misal 2. Sistemi Gauss metodundan istifadə edərək həll edin

(Bu sistem yuxarıda Kramer düsturu və matris metodundan istifadə etməklə həll edilmişdir).

Həll.

Birbaşa hərəkət. Artırılmış matrisi yazırıq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu üçbucaq formasına gətiririk:

~ ~ ~ ~ .

alın sistemi

Ters hərəkət. Son tənlikdən tapırıq X 3 = -6 və bu dəyəri ikinci tənliyə əvəz edin:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Cavab verin: .

2.5. Xətti tənliklər sisteminin ümumi həlli

Xətti tənliklər sistemi verilsin = b i(i=). r(A) = r(C) = r olsun, yəni. sistem əməkdaşlıq edir. Hər hansı sıfır olmayan minor r-dir əsas kiçik.Ümumiliyi itirmədən, əsas minorun A matrisinin birinci r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) sətir və sütunlarında yerləşdiyini fərz edəcəyik. Sistemin son m-r tənliklərini ataraq, qısaldılmış bir tənlik yazırıq. sistem:

orijinala bərabərdir. Gəlin bilinməyənləri adlandıraq x 1 ,….x rəsas və x r +1 ,…, x r sərbəst və sərbəst bilinməyənləri ehtiva edən şərtləri kəsilmiş sistemin tənliklərinin sağ tərəfinə köçürün. Əsas bilinməyənlərə görə sistemi alırıq:

sərbəst bilinməyənlərin hər bir dəyər toplusu üçün x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r yeganə həll yolu var x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), Kramer qaydası ilə aşkar edilmişdir.

Müvafiq həll qısaldılmış və buna görə də orijinal sistem formaya malikdir:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - sistemin ümumi həlli.

Əgər ümumi həlldə sərbəst naməlumlara bəzi ədədi qiymətlər verilirsə, o zaman özəl adlanan xətti sistemin həllini alırıq.

Misal. Uyğunluğu qurun və sistemin ümumi həllini tapın

Həll. A = , С = .

Belə ki Necə r(A)= r(C) = 2 (özünüzə baxın), onda orijinal sistem uyğun gəlir və sonsuz sayda həllə malikdir (r-ci ildən bəri< 4).

Xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli xətti cəbrin əsas məsələlərindən biridir. Bu problem elmi-texniki məsələlərin həllində böyük praktiki əhəmiyyət kəsb edir, bundan əlavə, hesablama riyaziyyatının, riyazi fizikanın bir çox alqoritmlərinin həyata keçirilməsində, eksperimental tədqiqatların nəticələrinin emalında köməkçidir.

Xətti cəbri tənliklər sistemi formanın tənliklər sistemi adlanır: (1)

harada – naməlum; - pulsuz üzvlər.

Tənliklər sisteminin həlli(1) sistemdə (1) naməlum yerinə yerləşdirilən hər hansı nömrələr toplusunu adlandırın sistemin bütün tənliklərini həqiqi ədədi bərabərliklərə çevirir.

tənliklər sistemi adlanır birgə onun ən azı bir həlli varsa və uyğunsuz onun həlli yoxdursa.

Birgə tənliklər sistemi adlanır müəyyən onun bir tək həlli varsa və qeyri-müəyyənən azı iki fərqli həll yolu varsa.

İki tənlik sistemi adlanır ekvivalent və ya ekvivalent eyni həllər toplusuna sahib olduqda.

Sistem (1) çağırılır homojen pulsuz şərtlər sıfıra bərabərdirsə:

Homojen sistem həmişə uyğun gəlir - onun həlli var (bəlkə də tək deyil).

Əgər (1) sistemdədirsə, o zaman sistemə sahibik n ilə xətti tənliklər n naməlum: harada – naməlum; naməlumlar üçün əmsallardır, - pulsuz üzvlər.

Xətti sistemin tək həlli ola bilər, sonsuz sayda həlli ola bilər və ya heç biri olmaya bilər.

İki naməlumlu iki xətti tənlik sistemini nəzərdən keçirək

Əgər sistemin unikal həlli varsa;

əgər onda sistemin həlli yoxdur;

əgər onda sistemin sonsuz sayda həlli var.

Misal. Sistem bir cüt ədəd üçün unikal həllə malikdir

Sistemin sonsuz sayda həlli var. Məsələn, bu sistemin həlləri ədəd cütləri və s.

İki ədədin fərqi iki fərqli qiymət ala bilmədiyi üçün sistemin həlli yoxdur.

Tərif. İkinci dərəcəli determinant kimi ifadə adlanır:

Determinantı D simvolu ilə təyin edin.

Nömrələri a 11, …, a 22 determinant elementlər adlanır.

Elementlərin yaratdığı diaqonal a 11 ; a 22 zəng əsas, elementlərin yaratdığı diaqonal a 12 ; a 21 − yan.

Beləliklə, ikinci dərəcəli determinant əsas və ikinci dərəcəli diaqonalların elementlərinin hasilləri arasındakı fərqə bərabərdir.

Qeyd edək ki, cavab rəqəmdir.

Misal. Determinantları hesablayaq:

İki naməlum olan iki xətti tənlik sistemini nəzərdən keçirək: harada X 1, X 2 – naməlum; a 11 , …, a 22 - naməlumlar üçün əmsallar, b 1 ,b 2 - pulsuz üzvlər.

İki naməlum olan iki tənlik sisteminin unikal həlli varsa, onu ikinci dərəcəli determinantlardan istifadə etməklə tapmaq olar.

Tərif. Naməlumların əmsallarından ibarət olan determinant deyilir sistem kvalifikatoru: D=.

D determinantının sütunları müvafiq olaraq üçün əmsallardır X 1 və at , X 2. Gəlin ikisini təqdim edək əlavə təyinedicilər, sütunlardan birini sərbəst üzvlər sütunu ilə əvəz etməklə sistemin determinantından əldə edilənlər: D 1 = D 2 = .

Teorem 14(Kramer, n=2 hal üçün). Sistemin təyinedicisi D olarsa sıfırdan fərqlidir (D¹0), onda sistemin düsturlarla tapılan unikal həlli var:

Bu düsturlar adlanır Kramer düsturları.

Misal. Sistemi Kramer qaydasına uyğun olaraq həll edirik:

Həll. Nömrələri tapaq

Cavab verin.

Tərif. Üçüncü dərəcəli determinant kimi ifadə adlanır:

Elementlər a 11; a 22 ; a 33 - əsas diaqonalı təşkil edir.

Nömrələri a 13; a 22 ; a 31 - yan diaqonal meydana gətirin.

Artı olan girişə aşağıdakılar daxildir: əsas diaqonaldakı elementlərin məhsulu, qalan iki şərt əsas diaqonala paralel olan üçbucaqların təpələrində yerləşən elementlərin məhsuludur. Mənfi olan terminlər ikinci dərəcəli diaqonala münasibətdə eyni şəkildə əmələ gəlir.

Misal. Determinantları hesablayaq:

harada – naməlum; naməlumlar üçün əmsallardır, - pulsuz üzvlər.

Unikal həll vəziyyətində, üç naməlum olan 3 xətti tənlik sistemi 3-cü dərəcəli determinantlardan istifadə etməklə həll edilə bilər.

D sisteminin determinantı formaya malikdir:

Üç əlavə determinant təqdim edirik:

Teorem 15(Kramer, n=3 hal üçün). Sistemin təyinedicisi D olarsa sıfırdan fərqlidir, onda sistemin Kramer düsturları ilə tapılan unikal həlli var:

Misal. Gəlin sistemi həll edək Kramer qaydasına görə.

Həll. Nömrələri tapaq

Gəlin Kramer düsturlarından istifadə edək və orijinal sistemin həllini tapaq:

Cavab verin.

Qeyd edək ki, Kramer teoremi tənliklərin sayı naməlumların sayına bərabər olduqda və D sisteminin determinantı sıfırdan fərqli olduqda tətbiq edilir.

Sistemin determinantı sıfıra bərabərdirsə, bu halda sistemin ya həlli olmaya bilər, ya da sonsuz sayda həlli ola bilər. Bu hallar ayrıca araşdırılır.

Yalnız bir halı qeyd edirik. Sistemin təyinedicisi sıfıra bərabərdirsə (D=0) və əlavə təyinedicilərdən heç olmasa biri sıfırdan fərqlidirsə, sistemin həlli yoxdur, yəni uyğunsuzdur.

Kramer teoremini sistemə ümumiləşdirmək olar n ilə xətti tənliklər n naməlum: harada – naməlum; naməlumlar üçün əmsallardır, - pulsuz üzvlər.

Əgər naməlum xətti tənliklər sisteminin determinantı onda sistemin yeganə həlli Kramer düsturları ilə tapılır:

Əlavə kvalifikator naməlum olan əmsallar sütununu ehtiva edərsə D determinantından alınır x i pulsuz üzvlər sütunu ilə əvəz edin.

Qeyd edək ki, D, D 1 , … , D determinantları n sifariş var n.

Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Qauss üsulu

Xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün ən geniş yayılmış üsullardan biri naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur. − Gauss üsulu. Bu üsul əvəzetmə metodunun ümumiləşdirilməsidir və bir naməlum olan bir tənlik qalana qədər naməlumların ardıcıl aradan qaldırılmasından ibarətdir.

Metod xətti tənliklər sisteminin bəzi çevrilmələrinə əsaslanır, bunun nəticəsində ilkin sistemə ekvivalent olan sistem alınır. Metodun alqoritmi iki mərhələdən ibarətdir.

Birinci mərhələ adlanır düz xəttdə Gauss üsulu. Tənliklərdən naməlumların ardıcıl olaraq aradan qaldırılmasından ibarətdir. Bunun üçün ilk addımda sistemin birinci tənliyi bölünür (əks halda sistemin tənlikləri dəyişdirilir). Nəticədə azaldılmış tənliyin əmsalları işarələnir, əmsalla vurulur və sistemin ikinci tənliyindən çıxarılır və bununla da ikinci tənlikdən çıxarılır (əmsalın sıfırlanması ).

Qalan tənliklərə eyni şəkildə baxılır və yeni sistem əldə edilir, ikincidən başlayaraq bütün tənliklərdə əmsallar yalnız sıfırları ehtiva edir. Aydındır ki, ortaya çıxan yeni sistem ilkin sistemə bərabər olacaq.

Əgər yeni əmsalların hamısı sıfıra bərabər deyilsə, biz onları üçüncü və sonrakı tənliklərdən eyni şəkildə silə bilərik. Aşağıdakı naməlumlar üçün bu əməliyyatı davam etdirərək sistem üçbucaqlı formaya gətirilir:

Burada simvollar və çevrilmələr nəticəsində dəyişmiş ədədi əmsalları və sərbəst şərtləri bildirir.

Sistemin sonuncu tənliyindən biri , sonra isə ardıcıl əvəz etməklə qalan naməlumları təyin edir.

Şərh. Bəzən çevrilmələr nəticəsində tənliklərin hər hansı birində bütün əmsallar və sağ tərəf sıfıra çevrilir, yəni tənlik 0=0 eyniliyinə çevrilir. Belə bir tənliyi sistemdən çıxarmaqla tənliklərin sayı naməlumların sayı ilə müqayisədə azaldılır. Belə bir sistemin unikal həlli ola bilməz.

Əgər Qauss metodunun tətbiqi prosesində hər hansı tənlik 0=1 formalı bərabərliyə çevrilirsə (naməlumlar üçün əmsallar 0-a çevrilir, sağ tərəf isə sıfırdan fərqli qiymət alır), onda ilkin sistemin heç bir dəyəri yoxdur. həll, çünki belə bərabərlik hər hansı bilinməyən qiymətlər üçün düzgün deyil.

Üç naməlum olan üç xətti tənlik sistemini nəzərdən keçirək:

(2)

harada – naməlum; naməlumlar üçün əmsallardır, - pulsuz üzvlər.

Tənliklər sistemlərindən iqtisadi sənayedə müxtəlif proseslərin riyazi modelləşdirilməsində geniş istifadə olunur. Məsələn, istehsalın idarə edilməsi və planlaşdırılması, logistik marşrutlar (nəqliyyat problemi) və ya avadanlığın yerləşdirilməsi problemlərini həll edərkən.

Tənlik sistemləri təkcə riyaziyyat sahəsində deyil, həm də fizika, kimya və biologiyada əhalinin sayının tapılması məsələlərinin həlli zamanı istifadə olunur.

Xətti tənliklər sistemi bir neçə dəyişəni olan iki və ya daha çox tənlik üçün ümumi həll tapmaq lazım olan termindir. Bütün tənliklərin həqiqi bərabərliyə çevrildiyi və ya ardıcıllığın mövcud olmadığını sübut etdiyi nömrələr ardıcıllığı.

Xətti tənlik

ax+by=c şəklində olan tənliklər xətti adlanır. x, y təyinatları naməlumlardır, onların qiyməti tapılmalıdır, b, a dəyişənlərin əmsalları, c tənliyin sərbəst həddidir.
Tənliyin qrafikini çəkməklə həll etmək, bütün nöqtələri çoxhədlinin həlli olan düz xətt kimi görünəcəkdir.

Xətti tənliklər sistemlərinin növləri

Ən sadələri iki dəyişəni X və Y olan xətti tənlik sistemlərinin nümunələridir.

F1(x, y) = 0 və F2(x, y) = 0, burada F1,2 funksiyalar və (x, y) funksiya dəyişənləridir.

Tənliklər sistemini həll edin - sistemin həqiqi bərabərliyə çevrildiyi belə dəyərləri (x, y) tapmaq və ya x və y-nin uyğun qiymətlərinin olmadığını müəyyən etmək deməkdir.

Nöqtə koordinatları kimi yazılmış qiymət cütü (x, y) xətti tənliklər sisteminin həlli adlanır.

Sistemlərin bir ümumi həlli varsa və ya həlli yoxdursa, onlara ekvivalent deyilir.

Xətti tənliklərin homojen sistemləri sağ tərəfi sıfıra bərabər olan sistemlərdir. Əgər “bərabər” işarəsindən sonrakı sağ hissə qiymətə malikdirsə və ya funksiya ilə ifadə edilirsə, belə sistem bircins deyil.

Dəyişənlərin sayı ikidən çox ola bilər, onda üç və ya daha çox dəyişəni olan xətti tənliklər sisteminin nümunəsi haqqında danışmalıyıq.

Sistemlərlə qarşılaşan məktəblilər hesab edirlər ki, tənliklərin sayı mütləq bilinməyənlərin sayı ilə üst-üstə düşməlidir, lakin bu belə deyil. Sistemdəki tənliklərin sayı dəyişənlərdən asılı deyil, onların sayı ixtiyari olaraq çox ola bilər.

Tənliklər sistemlərinin həlli üçün sadə və mürəkkəb üsullar

Belə sistemlərin həllinin ümumi analitik yolu yoxdur, bütün üsullar ədədi həllərə əsaslanır. Məktəbin riyaziyyat kursunda dəyişdirmə, cəbri toplama, əvəzetmə, həmçinin qrafik və matris metodu, Qauss üsulu ilə həll kimi üsullar ətraflı təsvir olunur.

Həll üsullarının öyrədilməsi zamanı əsas vəzifə sistemi düzgün təhlil etməyi və hər bir nümunə üçün optimal həll alqoritmini tapmağı öyrətməkdir. Əsas odur ki, hər bir üsul üçün qaydalar və hərəkətlər sistemini yadda saxlamaq deyil, müəyyən bir metodun tətbiqi prinsiplərini başa düşməkdir.

Ümumtəhsil məktəbi proqramının 7-ci sinfinin xətti tənliklər sistemləri nümunələrinin həlli olduqca sadədir və çox ətraflı izah olunur. İstənilən riyaziyyat dərsliyində bu bölməyə kifayət qədər diqqət yetirilir. Xətti tənliklər sistemləri nümunələrinin Qauss və Kramer üsulu ilə həlli ali təhsil müəssisələrinin birinci kurslarında daha ətraflı öyrənilir.

Əvəzetmə üsulu ilə sistemlərin həlli

Əvəzetmə metodunun hərəkətləri bir dəyişənin dəyərini ikinci vasitəsilə ifadə etməyə yönəldilmişdir. İfadə qalan tənliyə əvəz edilir, sonra tək dəyişən formaya endirilir. Sistemdəki naməlumların sayından asılı olaraq hərəkət təkrarlanır

Əvəzetmə üsulu ilə 7-ci sinif xətti tənliklər sisteminə misal verək:

Nümunədən göründüyü kimi, x dəyişəni F(X) = 7 + Y vasitəsilə ifadə edilmişdir. X yerinə sistemin 2-ci tənliyində əvəz edilmiş nəticə 2-ci tənlikdə bir Y dəyişənini əldə etməyə kömək etmişdir. . Bu misalın həlli çətinlik yaratmır və Y qiymətini almağa imkan verir.Sonuncu addım alınan qiymətləri yoxlamaqdır.

Xətti tənliklər sisteminin nümunəsini əvəzetmə yolu ilə həll etmək həmişə mümkün olmur. Tənliklər mürəkkəb ola bilər və dəyişənin ikinci naməlum baxımından ifadəsi sonrakı hesablamalar üçün çox çətin olacaq. Sistemdə 3-dən çox naməlum olduqda, əvəzetmə həlli də praktiki deyil.

Xətti qeyri-bərabər tənliklər sisteminin nümunəsinin həlli:

Cəbri toplamadan istifadə edərək həll

Toplama üsulu ilə sistemlərin həlli axtarılarkən, tənliklərin müxtəlif ədədlərə bölünməsi və vurulması həyata keçirilir. Riyazi əməliyyatların son məqsədi bir dəyişənli tənlikdir.

Bu metodun tətbiqi təcrübə və müşahidə tələb edir. Dəyişənlərin sayı 3 və ya daha çox olan əlavə üsulu ilə xətti tənliklər sistemini həll etmək asan deyil. Cəbri əlavə tənliklər kəsr və onluq ədədlərdən ibarət olduqda faydalıdır.

Həll hərəkəti alqoritmi:

Tənliyin hər iki tərəfini bir ədədə vurun. Arifmetik əməliyyat nəticəsində dəyişənin əmsallarından biri 1-ə bərabər olmalıdır.
Yaranan ifadə terminini terminə görə əlavə edin və naməlumlardan birini tapın.
Qalan dəyişəni tapmaq üçün alınan dəyəri sistemin 2-ci tənliyinə əvəz edin.

Yeni dəyişən təqdim etməklə həll üsulu

Sistem ikidən çox olmayan tənliyin həllini tapmaq lazımdırsa, yeni dəyişən təqdim edilə bilər, naməlumların sayı da ikidən çox olmamalıdır.

Metod yeni dəyişən təqdim etməklə tənliklərdən birini sadələşdirmək üçün istifadə olunur. Yeni tənlik daxil edilmiş naməlumla bağlı həll edilir və nəticədə alınan qiymət ilkin dəyişəni təyin etmək üçün istifadə olunur.

Nümunədən görmək olar ki, yeni t dəyişənini təqdim etməklə sistemin 1-ci tənliyini standart kvadrat üçhəcmliyə endirmək mümkün olmuşdur. Diskriminantı tapmaqla çoxhədli həll edə bilərsiniz.

Məlum düsturdan istifadə edərək diskriminantın qiymətini tapmaq lazımdır: D = b2 - 4*a*c, burada D arzu olunan diskriminantdır, b, a, c çoxhədlinin çarpanlarıdır. Verilmiş misalda a=1, b=16, c=39, deməli, D=100. Əgər diskriminant sıfırdan böyükdürsə, onda iki həll yolu var: t = -b±√D / 2*a, əgər diskriminant sıfırdan kiçikdirsə, onda yalnız bir həll var: x= -b / 2*a.

Yaranan sistemlərin həlli əlavə üsulu ilə tapılır.

Sistemlərin həlli üçün vizual üsul

3 tənliyi olan sistemlər üçün uyğundur. Metod sistemə daxil olan hər bir tənliyin qrafiklərinin koordinat oxunda çəkilməsindən ibarətdir. Əyrilərin kəsişmə nöqtələrinin koordinatları sistemin ümumi həlli olacaqdır.

Qrafik metod bir sıra nüanslara malikdir. Xətti tənliklər sistemlərinin vizual şəkildə həllinin bir neçə nümunəsini nəzərdən keçirin.

Nümunədən göründüyü kimi, hər bir xətt üçün iki nöqtə quruldu, x dəyişəninin dəyərləri ixtiyari olaraq seçildi: 0 və 3. X-in qiymətlərinə əsasən, y üçün dəyərlər tapıldı: 3 və 0. Qrafikdə koordinatları (0, 3) və (3, 0) olan nöqtələr işarələnib və xətlə birləşdirilib.

İkinci tənlik üçün addımlar təkrarlanmalıdır. Xətlərin kəsişmə nöqtəsi sistemin həllidir.

Aşağıdakı misalda xətti tənliklər sisteminin qrafik həllini tapmaq tələb olunur: 0,5x-y+2=0 və 0,5x-y-1=0.

Nümunədən göründüyü kimi, sistemin həlli yoxdur, çünki qrafiklər paraleldir və bütün uzunluğu boyunca kəsişmir.

2 və 3-cü Nümunələrdəki sistemlər oxşardır, lakin qurulduqda onların həlli yollarının fərqli olduğu aydın olur. Yadda saxlamaq lazımdır ki, sistemin həlli olub-olmadığını söyləmək həmişə mümkün deyil, həmişə qrafik qurmaq lazımdır.

Matris və onun növləri

Matrislər xətti tənliklər sistemini qısaca yazmaq üçün istifadə olunur. Matris nömrələrlə doldurulmuş xüsusi bir cədvəl növüdür. n*m-nin n - sətirləri və m - sütunları var.

Sütun və sətirlərin sayı bərabər olduqda matris kvadratdır. Matris-vektor sonsuz mümkün sayda sıraya malik tək sütunlu matrisdir. Diaqonallardan biri və digər sıfır elementləri boyunca vahidləri olan matris eynilik adlanır.

Tərs matris elə bir matrisdir, ona vurulduqda ilkin vahid vahidə çevrilir, belə bir matris yalnız orijinal kvadrat üçün mövcuddur.

Tənliklər sisteminin matrisə çevrilməsi qaydaları

Tənlik sistemlərinə gəldikdə, tənliklərin əmsalları və sərbəst üzvləri matrisin nömrələri kimi yazılır, bir tənlik matrisin bir sırasıdır.

Əgər cərgənin ən azı bir elementi sıfıra bərabər deyilsə, matris cərgəsi sıfırdan fərqli adlanır. Buna görə də, əgər tənliklərin hər hansı birində dəyişənlərin sayı fərqlidirsə, onda çatışmayan naməlumun yerinə sıfır daxil etmək lazımdır.

Matrisin sütunları dəyişənlərə ciddi şəkildə uyğun gəlməlidir. Bu o deməkdir ki, x dəyişəninin əmsalları yalnız bir sütunda, məsələn, birincidə, naməlum y-nin əmsalı - yalnız ikincidə yazıla bilər.

Bir matrisi vurarkən, bütün matrisin elementləri ardıcıl olaraq ədədə vurulur.

Tərs matrisin tapılması variantları

Tərs matrisin tapılması düsturu olduqca sadədir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 tərs matris və |K| - matrisin təyinedicisi. |K| sıfıra bərabər olmamalıdır, onda sistemin həlli var.

Determinant asanlıqla iki-iki matris üçün hesablanır, yalnız elementləri bir-birinə diaqonal olaraq vurmaq lazımdır. “Üçdən üçə” variantı üçün |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c düsturu var. 3 + a 3 b 2 c 1 . Düsturdan istifadə edə bilərsiniz və ya elementlərin sütun və sətir nömrələrinin məhsulda təkrarlanmaması üçün hər sətirdən və hər sütundan bir element götürməyiniz lazım olduğunu xatırlaya bilərsiniz.

Xətti tənliklər sistemləri nümunələrinin matris üsulu ilə həlli

Həll tapmağın matris üsulu çox sayda dəyişən və tənlik olan sistemləri həll edərkən çətin girişləri azaltmağa imkan verir.

Nümunədə a nm tənliklərin əmsalları, matris vektor x n dəyişənlər, b n isə sərbəst şərtlərdir.

Sistemlərin Gauss üsulu ilə həlli

Ali riyaziyyatda Qauss üsulu Kramer üsulu ilə birlikdə öyrənilir və sistemlərin həllinin tapılması prosesi Qauss-Kramer həll üsulu adlanır. Bu üsullar çoxlu sayda xətti tənlikləri olan sistemlərin dəyişənlərini tapmaq üçün istifadə olunur.

Qauss metodu əvəzetmə və cəbri toplama həllərinə çox bənzəyir, lakin daha sistematikdir. Məktəb kursunda 3 və 4 tənlik sistemləri üçün Qauss həllindən istifadə olunur. Metodun məqsədi sistemi tərs trapezoid formasına gətirməkdir. Cəbri çevrilmələr və əvəzetmələrlə bir dəyişənin qiyməti sistemin tənliklərindən birində tapılır. İkinci tənlik 2 naməlum, 3 və 4 isə müvafiq olaraq 3 və 4 dəyişəni olan ifadədir.

Sistemi təsvir olunan formaya gətirdikdən sonra, sonrakı həll məlum dəyişənlərin sistemin tənliklərinə ardıcıl əvəz edilməsinə qədər azaldılır.

7-ci sinif üçün məktəb dərsliklərində Gauss həllinin nümunəsi aşağıdakı kimi təsvir edilmişdir:

Nümunədən göründüyü kimi (3) addımda 3x 3 -2x 4 =11 və 3x 3 +2x 4 =7 iki tənlik əldə edilmişdir. Tənliklərdən hər hansı birinin həlli x n dəyişənlərindən birini tapmağa imkan verəcəkdir.

Mətndə qeyd olunan 5-ci teoremdə deyilir ki, sistemin tənliklərindən biri ekvivalenti ilə əvəz olunarsa, nəticədə yaranan sistem də ilkin tənliyə bərabər olacaqdır.

Gauss metodu orta məktəb şagirdləri üçün çətin başa düşülür, lakin riyaziyyat və fizika dərslərində təkmil təhsil proqramında təhsil alan uşaqların ixtiraçılıq qabiliyyətini inkişaf etdirməyin ən maraqlı üsullarından biridir.

Hesablamaları qeyd etmək asanlığı üçün aşağıdakıları etmək adətdir:

Tənlik əmsalları və sərbəst şərtlər matris şəklində yazılır, burada matrisin hər sətri sistemin tənliklərindən birinə uyğun gəlir. tənliyin sol tərəfini sağ tərəfdən ayırır. Roma rəqəmləri sistemdəki tənliklərin sayını bildirir.

Əvvəlcə işləyəcək matrisi, sonra cərgələrdən biri ilə həyata keçirilən bütün hərəkətləri yazır. Yaranan matris "ox" işarəsindən sonra yazılır və nəticə əldə olunana qədər lazımi cəbri əməliyyatları yerinə yetirməyə davam edir.

Nəticədə, diaqonallardan birinin 1 olduğu və bütün digər əmsalların sıfıra bərabər olduğu bir matris alınmalıdır, yəni matris tək bir formaya endirilməlidir. Tənliyin hər iki tərəfinin nömrələri ilə hesablamalar aparmağı unutmamalıyıq.

Bu qeyd daha az çətin olur və çoxsaylı naməlumları sadalamaqla diqqətinizi yayındırmamağa imkan verir.

Hər hansı bir həll metodunun pulsuz tətbiqi qayğı və müəyyən bir təcrübə tələb edəcəkdir. Bütün üsullar tətbiq edilmir. Bəzi həll yolları insan fəaliyyətinin müəyyən bir sahəsində daha çox üstünlük təşkil edir, digərləri isə öyrənmək üçün mövcuddur.

Xətti sistem üçün həll yollarının tapılması
Portativ Windows proqramları Bodrenko.com saytında

§2. Xətti sistem üçün həll yollarının tapılması

Kroneker-Kapelli teoremi xətti sistemin uyğunluğu üçün zəruri və kifayət qədər şərt qoyur, lakin bu sistemin həlli yollarını təqdim etmir.
Bu bölmədə xətti sistemin həlli yollarını axtaracağıq (3.1). Əvvəlcə əsas matrisin sıfırdan fərqli təyinedicisi olan kvadratik xətti tənliklər sisteminin ən sadə halını nəzərdən keçiririk və sonra (3.1) formasının ümumi xətti sisteminin bütün həllər çoxluğunu tapmağa davam edirik.
1. Baş matrisin sıfırdan fərqli təyinedicisi olan xətti tənliklərin kvadrat sistemi. Xətti tənliklərin kvadrat sistemi verilsin

əsas matrisin sıfırdan fərqli təyinedicisi Δ ilə

Belə bir sistemin unikal həlli olduğunu sübut edək və bu həlli tapaq. Birincisi, (3.10) sisteminin yalnız bir həlli ola biləcəyini sübut edirik (yəni, mövcud olduğu fərziyyəsi ilə (3.10) sistemə həllin unikallığını sübut edirik).
Tutaq ki, hər hansı n ədəd x 1 , x 2 ,..., x n ədədi var ki, bu ədədlər (3.10) sistemində əvəz edildikdə, bu sistemin bütün tənlikləri eyniliyə çevrilsin (yəni sistemin müəyyən həlli var ( 3.10) x 1, x 2,..., x n). Sonra eynilikləri (3.10) müvafiq olaraq (3.11) matrisin Δ determinantının sütununun j-ro elementlərinin A 1j , A 2j ,..., A nj cəbri tamamlayıcıları ilə vuraraq və nəticədə eynilikləri əlavə edərək, əldə edirik (hər hansı j ədədi üçün, 1, 2,..., n-ə bərabərdir)

Nəzərə alsaq ki, i-ci sütunun elementlərinin hasillərinin və j-ro sütununun elementlərinin müvafiq cəbri tamamlamalarının cəmi i ≠ j üçün sıfıra bərabərdir və matrisin Δ determinantına bərabərdir (3.11). ) i = j üçün (1-ci bəndin 4-cü bəndinin 2-ci bəndindən 4° xassəsinə bax), sonuncu bərabərlikdən alırıq.

x j Δ = b 1 A 1j + b 2 A 2j + ... + b n A nj. (3.12)

Simvolla qeyd edinΔ j (b i ) (və ya daha qısa olaraq simvolΔ j ) təyinedicidən alınan təyinediciΔ əsas matrisin (3.11) j-ci sütununu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə b 1 ,b 2 ,...,b n (bütün digər sütunları dəyişməz saxlamaqla Δ ).
Qeyd edək ki, (3.12)-nin sağ tərəfində Δ j (b i) təyinedicisidir (bunu yoxlamaq üçün Δ j (b i) determinantının i-ci sütunun elementləri baxımından genişlənməsini yazmaq kifayətdir. ) və bu bərabərlik formasını alır

Δxj = Δj (3.13)

(3.11) matrisinin determinantı Δ sıfır olmadığı üçün (3.13) bərabərlikləri münasibətlərə ekvivalentdir.

Beləliklə, biz bunu sübut etdik əgər həll x olarsa 1 , x 2 ,...,X n determinantla (3.10) sistemiΔ əsas matris (3.11) sıfırdan fərqlidir, onda bu həll unikal şəkildə (3.14) düsturları ilə müəyyən edilir..
(3.14) düsturları çağırılır Kramer düsturları.
Bir daha vurğulayırıq ki, Kramerin düsturları indiyədək tərəfimizdən həllin mövcudluğu fərziyyəsi ilə əldə edilib və onun unikallığını sübut edir.
Sistemin həllinin mövcudluğunu sübut etmək qalır (3.10). Bunun üçün Kroneker-Kapelli teoreminə əsasən əsas matrisin dərəcəsinin (3.11) uzadılmış matrisin dərəcəsinə bərabər olduğunu sübut etmək kifayətdir (sistemin həllinin mövcudluğunu sübut etməyin başqa yolu da var. Kramer düsturları (3.14) ilə müəyyən edilmiş x 1 , x 2 ,. ..,х n ədədlərinin (3.10) sisteminin bütün tənliklərini eyniliyə çevirdiyinin yoxlanılmasından ibarət olan (3.10)

lakin bu aydındır, çünki Δ ≠ 0 münasibətinə görə əsas matrisin dərəcəsi n-ə bərabərdir və n sətirdən ibarət genişlənmiş matrisin dərəcəsi (3.15) n ədədindən böyük ola bilməz və buna görə də əsas matrisin dərəcəsinə bərabərdir.
Beləliklə, bu, tamamilə sübut edilmişdir əsas matrisin sıfırdan fərqli təyinedicisi olan xətti tənliklərin kvadratik sistemi (3.10) və üstəlik, Kramer düsturları (3.14) ilə təyin olunan unikal həllinə malikdir.

Sübut etdiyimiz iddianı matrislə qurmaq daha asandır. Bunu etmək üçün (§ 1-in 1-ci bəndində olduğu kimi) sistemi (3.10) ona ekvivalent matris tənliyi ilə əvəz edirik.

AX = B, (3.16)

burada A sistemin əsas matrisidir (3.11), X və B isə sütunlardır,

bunlardan birincisi təyin olunmalı, ikincisi verilir.
A matrisinin Δ determinantı sıfırdan fərqli olduğundan, A -1 tərs matrisi var (bax bənd 7 § 2 ch. 1).
Fərz edək ki, sistemin (3.10) həlli var, yəni. (3.16) matris tənliyini eyniliyə çevirən X sütunu mövcuddur. Solda göstərilən eyniliyi tərs A -1 matrisi ilə vursaq, əldə edəcəyik

A -1 (AX) \u003d A -1 B. (3.17)

İndi nəzərə alaq ki, üç matrisin hasilinin assosiativ xüsusiyyətinə görə (1-ci bəndin 2-ci bəndinə baxın) və A -1 A \u003d E münasibətinə görə, burada E eynilik matrisidir ( § 2 bəndinin 7-ci bəndinə baxın 1 ), A -1 (AX) \u003d (A -1 A)X \u003d EX \u003d X, buna görə də (3.17)-dən alırıq

X \u003d A -1 B. (3.18)

Bərabərliyin genişləndirilməsi (3.18) və tərs matrisin formasının nəzərə alınması (A.41 düsturuna bax) 7-ci bənddən §2 Ch. 1), X sütununun elementləri üçün Kramer düsturlarını alacağıq.
Beləliklə, sübut etdik ki, əgər (3.16) matris tənliyinin həlli mövcuddursa, o, Kramer düsturlarına ekvivalent olan (3.18) əlaqə ilə unikal şəkildə təyin olunur.
(3.18) əlaqəsi ilə müəyyən edilmiş X sütununun həqiqətən (3.16) matris tənliyinin həlli olduğunu yoxlamaq asandır,
yəni bu tənliyə əvəz olunduqda onu şəxsiyyətə çevirir. Həqiqətən, X sütunu bərabərliklə (3.18) müəyyən edilirsə, onda AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B.
Beləliklə, A matrisinin determinantı Δ sıfırdan fərqlidirsə (yəni, bu matris tək deyilsə), onda mövcuddur və üstəlik, (3.18) əlaqəsi ilə müəyyən edilmiş matris tənliyinin (3.16) unikal həlli var. Kramer düsturlarına bərabərdir.
Misal. Xətti tənliklərin kvadrat sisteminin həllini tapaq

əsas matrisin sıfırdan fərqli təyinedicisi ilə

Çünki

onda Kramer düsturları sayəsində nəzərdən keçirilən sistemin yeganə həlli x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4 formasına malikdir.
Kramer düsturlarının əsas mənası ondan ibarətdir ki, onlar tənlik əmsalları və sərbəst hədlər baxımından xətti tənliklərin kvadratik sisteminin (sıfırdan fərqli təyinedici ilə) həlli üçün açıq ifadə verirlər. Kramer düsturlarının praktiki istifadəsi kifayət qədər çətin hesablamalarla əlaqələndirilir (n naməlumlu n tənlik sistemini həll etmək üçün (n + 1) n-ci dərəcəli determinantı hesablamaq lazımdır). Buna əlavə etmək lazımdır ki, tənliklərin və sərbəst şərtlərin əmsalları hər hansı ölçülmüş fiziki kəmiyyətlərin yalnız təxmini qiymətləridirsə və ya hesablamalar prosesində yuvarlaqlaşdırılırsa, Kramer düsturlarının istifadəsi böyük səhvlərə səbəb ola bilər. bəzi hallarda qeyri-mümkündür.
4-cü bölmənin 4-cü fəslində A.N. Tixonov və tənliklərin əmsalları matrisini və sərbəst şərtlər sütununu təyin etmək düzgünlüyünə uyğun bir dəqiqliklə xətti sistemin həllini tapmağa imkan verir və bölmədə. 6 xətti sistemlərin həlli üçün iterativ üsullar haqqında bir fikir verir ki, bu da naməlumların ardıcıl yaxınlaşmalarından istifadə edərək bu sistemləri həll etməyə imkan verir.
Sonda qeyd edirik ki, bu yarımbölmədə sistemin (3.10) əsas matrisinin determinantının Δ itməsi halını nəzərdən qaçırmışıq. Bu hal növbəti bölmədə təqdim olunan n naməlumda m xətti tənlik sistemlərinin ümumi nəzəriyyəsində əksini tapacaqdır.
2. Ümumi xətti sistemin bütün həll yollarının tapılması.İndi n naməlumlu m xətti tənliklərin ümumi sistemini nəzərdən keçirək (3.1). Fərz edək ki, bu sistem ardıcıldır və onun əsas və genişləndirilmiş matrislərinin rütbəsi r ədədinə bərabərdir. Ümumiliyi itirmədən, əsas matrisin (3.2) əsas minorunun bu matrisin yuxarı sol küncündə olduğunu güman etmək olar (ümumi hal (3.1) sistemində tənlikləri və naməlumları yenidən təşkil etməklə bu vəziyyətə endirilir).
Onda həm əsas matrisin (3.2), həm də genişləndirilmiş matrisin (3.8) birinci r sətirləri bu matrislərin əsas cərgələridir (çünki əsas və genişləndirilmiş matrislərin hər ikisi r-ə bərabərdir, sonra isə əsas matrisin əsas minoru matris eyni zamanda uzadılmış matrisin əsas minoru olacaq) və əsas minor teoremi 1.6-ya əsasən, genişləndirilmiş matrisin (1.8) sətirlərinin hər biri (r + 1)-ci sətirdən başlayaraq xətti birləşmədir. bu matrisin ilk r sətirləri.
Sistem (3.1) baxımından bu o deməkdir ki, (r + 1)-ci tənlikdən başlayaraq bu sistemin tənliklərinin hər biri bu sistemin ilk r tənliklərinin xətti birləşməsidir (yəni, nəticəsidir). yəni (3.1) sisteminin birinci r tənliklərinin istənilən həlli bu sistemin bütün sonrakı tənliklərinin eyniliyinə çevrilir.).
Beləliklə, (3.1) sisteminin yalnız birinci r tənliklərinin bütün həllərini tapmaq kifayətdir. (3.1) sisteminin ilk r tənliklərini nəzərdən keçirin, onları formada yazın

Əgər naməlumlara x r+1 ,...,x n tamamilə ixtiyari qiymətlər versək c r+1 ,...,c n , onda (1.19) sistemi r naməlum x üçün r xətti tənliklərin kvadratik sisteminə çevriləcək. 1 , x 2 , ...,х r və bu sistemin baş matrisinin determinantı (3.2) matrisin sıfırdan fərqli bazis minorudur. Əvvəlki alt bölmənin nəticələrinə görə, bu sistem (3.19) Kramer düsturları ilə müəyyən edilmiş unikal həllə malikdir, yəni ixtiyari seçilmiş c r+1 ,...,c n üçün c 1 ədədlərinin unikal r toplusu mövcuddur. ,...,c r , sistemin (3.19) bütün tənliklərinin eyniliklərə çevrilməsi və Kramer düsturları ilə müəyyən edilir.
Bu unikal həlli yazmaq üçün (3.2) matrisin j-ro sütununu d 1 , d 2 ədədləri sütunu ilə əvəz etməklə əldə edilən determinantı M j (d i) simvolu ilə işarələməyə razıyıq. ,...,d i ,..., d r (bütün digər M sütunları ilə dəyişməz). Sonra (3.19) sisteminin həllini Kramer düsturlarından istifadə edərək yazaraq və determinantın xətti xassəsindən istifadə edərək əldə edirik.

(3.20) düsturları x j = c j (j = 1, 2,......, r) naməlumların qiymətlərini naməlumların əmsalları, sərbəst şərtlər və r+1 ilə ixtiyari verilmiş parametrlər baxımından ifadə edir. ,....., n ilə.
Gəlin bunu sübut edək düsturlar (3.20) sistemin (3.1) istənilən həllini ehtiva edir.. Həqiqətən, c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n göstərilən sistemin ixtiyari həlli olsun. . O zaman (3.19) sistemin də həllidir. Lakin (3.19) sistemindən c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , kəmiyyətləri c (0) r+1 , ..., kəmiyyətləri baxımından unikal şəkildə müəyyən edilir. c (0) n və dəqiq olaraq Kramer düsturları ilə (3.20). Beləliklə, ilə r+1 = c (0) r+1 , ..., ilə n = c (0) n düsturlar (3.20) bizə yalnız nəzərdən keçirilən həlli verir c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n .
Şərh.Əgər (3.1) sisteminin əsas və genişləndirilmiş matrislərinin r dərəcəsi n naməlumların sayına bərabərdirsə, bu halda münasibətlər (3.20) düsturlara çevrilir.

sistemin unikal həllinin müəyyən edilməsi (3.1). Beləliklə, (3.1) sisteminin unikal həlli var (yəni müəyyəndir) bir şərtlə ki, onun əsas və genişləndirilmiş matrislərinin r dərəcəsi n naməlumların sayına bərabər olsun (və m tənliklərinin sayından kiçik və ya ona bərabər olsun). ).
Misal. Xətti sistemin bütün həllərini tapın

Bu sistemin həm əsas, həm də genişləndirilmiş matrisinin dərəcəsinin ikiyə bərabər olduğunu yoxlamaq asandır (yəni, bu sistem uyğundur) və biz əsas minor M-nin əsasın yuxarı sol küncündə olduğunu güman edə bilərik. matris, yəni. . Ancaq sonra, son iki tənliyi ləğv edərək və ixtiyari olaraq c 3 və c 4-ü təyin edərək, sistemi alırıq.

x 1 - x 2 \u003d 4 - c 3 + c 4,

x 1 + x 2 \u003d 8 - 2c 3 - 3c 4,

Kramerin düsturları sayəsində biz qiymətləri əldə edirik

x 1 \u003d c 1 \u003d 6 - 3/2 c 3 - c 4, x 2 \u003d c 2 \u003d 2 - 1/2 c 3 - 2c 4. (3.22)

Beləliklə, dörd rəqəm

(6 - 3/2 c 3 - c 4 ,2 - 1/2 c 3 - 2c 4 ,c 3 , c 4) (3.23)

ixtiyari verilmiş c 3 və c 4 qiymətləri üçün (3.21) sistemin həllini təşkil edir və sətirdə (3.23) bu sistemin bütün həlləri var.

3. Bircins sistemin məhlullar çoxluğunun xassələri.İndi n naməlum (3.7) olan m xətti tənliklərin bircins sistemini nəzərdən keçirək, yuxarıdakı kimi (3.2) matrisin r-ə bərabər dərəcəyə malik olduğunu və M əsasının bu matrisin yuxarı sol küncündə yerləşdiyini fərz edək. . Bu vaxt bütün b i sıfıra bərabər olduğundan (3.20) düsturları əvəzinə aşağıdakı düsturları alırıq:

naməlumların qiymətlərini x j = c j (j = 1, 2,..., r) naməlumların əmsalları və ixtiyari verilmiş qiymətlərlə ifadə edən c r+1 ,...,c n . Əvvəlki alt bölmədə sübut edilənlərə görə düsturlar (3.24) homojen sistemin (3.7) istənilən həllini ehtiva edir..
İndi dəsti yoxlayaq homojen sistemin bütün məhlullarından (3.7) xətti fəza əmələ gətirir.
X 1 = (x (1) 1 , x (1) 2 ,...,x (1) n) və Х 2 = (x (2) 1 , x (2) 2 ,...,x ( olsun). 2) n) homojen sistemin (3.7) iki ixtiyari həlli, λ isə istənilən həqiqi ədəddir. Homojen sistemin (3.7) hər bir həlli n ədəddən ibarət bütün nizamlı topluların A n xətti fəzasının elementi olduğuna görə, iki toplunun hər birinin

X 1 + X 2 = (x (1) 1 + x (2) 1 ,..., x (1) n + x (2) n)

λ X 1 = (λ x (1) 1 ,...,λ x (1) n)

həm də homojen sistemin məhluludur (3.7).
(3.7) sisteminin istənilən tənliyini, məsələn, i-ci tənliyi nəzərdən keçirək və bu tənlikdə bu çoxluqların elementlərini naməlumların yerinə qoyaq. Nəzərə alsaq ki, X 1 və X 2 homojen sistemin məhlullarıdır

və bu o deməkdir ki, X 1 + X 2 və λ X 1 çoxluqları bircins sistemin məhlullarıdır (3.7).
Beləliklə, bircins sistemin bütün həllər çoxluğu (3.7) xətti fəza əmələ gətirir, onu R simvolu ilə işarə edirik.
Gəlin bu R fəzasının ölçüsünü tapaq və onda baza quraq.
Sübut edək ki, homojen sistemin (3.7) matrisinin dərəcəsinin r-ə bərabər olduğu fərziyyəsi ilə, homojen sistemin bütün məhlullarının R xətti fəzası (3.7) xətti A fəzasına izomorfdur. n-r (n - r) nömrələrin bütün sifarişli kolleksiyalarından(A m boşluğu Nümunə 3, Bölmə 1, Bölmə 1, Fəsil 2-də təqdim edilmişdir).

Homojen sistemin (3.7) hər bir həllinə (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) bir element (c r+1 ,...,c n) təyin edək. boşluq AMMA n-r c r+1 ,...,c n ədədləri ixtiyari şəkildə seçilə bildiyindən və (3.24) düsturlarının köməyi ilə hər bir seçim üçün (3.7) sisteminin həllini unikal şəkildə müəyyən etdiyimiz üçün qurduğumuz uyğunluq belədir. birə-bir. Əlavə olaraq qeyd edək ki, fəzanın c (1) r+1 ,...,c (1) n və c (2) r+1 ,...,c (2) n elementləri AMMA n-r(c (1) 1 ,...,c (1) r , c (1) r+1 ,...,c (1) n) və (c (2) 1 ,...) elementlərinə uyğundur. R fəzasının ,c (2) r , c (2) r+1 ,...,c (2) n), onda (3.24) düsturları dərhal (c (1) r+1 + c elementinin (2 ) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) elementinə uyğundur (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n), element isə (λ c (1) r+ 1 ,... ,λ c (1) n) istənilən real λ üçün (λ c (1) 1 ,...,λ c (1) r , λ c (1) r+1 ,..) elementinə uyğun gəlir. .,λ c (1 ) n). Bu, qurduğumuz yazışmaların izomorfizm olduğunu sübut edir.
Beləliklə, bircins sistemin (3.7) n naməlumlu və r-ə bərabər olan əsas matrisin rütbəsi olan bütün məhlullarının R xətti fəzası fəza üçün izomorfdur. AMMA n-r və buna görə də n - r ölçüsünə malikdir.
Homojen sistemin (3.7) xətti müstəqil həllərinin hər hansı toplusu (2.5 teoreminə əsasən) bütün həllərin R fəzasında əsas təşkil edir və bircins sistemin (3.7) məhlullarının fundamental toplusu adlanır. .
Əsas həllər dəstini qurmaq üçün məkanın istənilən əsasından başlaya bilərsiniz AMMA n-r. Bu əsasa uyğun gələn (3.7) sisteminin həllər toplusu izomorfizmə görə xətti müstəqil olacaq və deməli, həllərin fundamental çoxluğu olacaqdır.
Sistemin (3.7) ən sadə bazasına uyğun olan fundamental həllər toplusu e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (1, 1, 0,..., 0), ... , e n-r = (0, 0, 0,..., 1) boşluqlar AMMA n-r və homojen sistemin normal əsas məhlul çoxluğu adlanır (3.7).
Kiçik bazanın dərəcəsi və yeri ilə bağlı yuxarıda edilən fərziyyələrə əsasən, (3.24) düsturlarına əsasən, homojen sistemin (3.7) normal əsas həllər toplusu aşağıdakı formaya malikdir:

Bazisin tərifi ilə homojen sistemin (3.7) istənilən X həlli kimi təqdim edilə bilər.

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r , (3.26)

burada C 1 , C 2 , ...,C n-r bəzi sabitlərdir. (3.26) düsturunda bircins sistemin (3.7) hər hansı məhlulu olduğu üçün bu düstur baxılan bircins sistemin ümumi həllini verir.
Misal. Homojen tənliklər sistemini nəzərdən keçirin:

əvvəlki yarımbölmənin sonundakı misalda nəzərdən keçirilən qeyri-homogen sistemə (3.21) uyğun gəlir. Orada bu sistemin matrisinin r dərəcəsinin ikiyə bərabər olduğunu öyrəndik və göstərilən matrisin yuxarı sol küncündəki minoru əsas minor kimi götürdük.
Əvvəlki yarımbölmənin sonundakı əsaslandırmanı (3.22) düsturları yerinə təkrarlayaraq münasibətləri əldə edirik.

c 1 \u003d - 3/2 c 3 - c 4, c 2 \u003d - 1/2 c 3 - 2c 4,

özbaşına seçilmiş c 3 və c 4 üçün etibarlıdır. Bu əlaqələrdən istifadə edərək (əvvəl c 3 =1,c 4 =0, sonra isə c 3 = 0,c 4 = 1 fərz etsək) sistemin (3.27) iki həllinin normal fundamental çoxluğunu alırıq:

X 1 \u003d (-3 / 2, -1 / 2,1.0), X 2 \u003d (-1, -2, 0.1). (3,28)

burada C 1 və C 2 ixtiyari sabitlərdir.
Bu yarımbölməni yekunlaşdırmaq üçün qeyri-homogen xətti sistemin (3.1) həlləri ilə müvafiq homojen sistemin (3.7) (naməlumlarda eyni əmsallarla) həlli arasında əlaqə qururuq. Gəlin aşağıdakı iki iddianı sübut edək.
1°. Qeyri-homogen sistemin (3.1) hər hansı məhlulunun uyğun bircins sistemin (3.7) hər hansı məhlulunun cəmi (3.1) sisteminin məhluludur.
Həqiqətən, əgər c 1 ,...,c n (3.1) sisteminin məhluludursa və d 1 ,...,d n ona uyğun gələn bircinsli sistemin (3.7) məhluludursa, onda hər hansı (üçün) məsələn, i-ci ) sisteminin tənliyini (3.1) naməlum c 1 + d 1 ,...,c n + d n ədədlərinin yerinə alırıq.

Q.E.D.
2°. Qeyri-bircins sistemin (3.1) iki ixtiyari həllinin fərqi müvafiq bircins sistemin (3.7) həllidir.
Həqiqətən, əgər c" 1 ,...,c" n və c" 1 ,...,c" n (3.1) sisteminin iki ixtiyari həllidirsə, onda hər hansı birini (məsələn, i-ci hissəyə) əvəz etməklə. ) (3.7) sisteminin tənliyini naməlum ədədlərin yerinə c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n alırıq

Q.E.D.
Sübut edilmiş ifadələrdən belə çıxır ki, qeyri-bərabər sistemin (3.1) bir həllini taparaq və onu uyğun bircins sistemin (3.7) hər bir məhluluna əlavə etməklə, qeyri-homogen sistemin (3.1) bütün məhlullarını alırıq.
Başqa sözlə, qeyri-bircins sistemin (3.1) xüsusi həlli ilə uyğun bircins sistemin (3.7) ümumi həllinin cəmi qeyri-homogen sistemin (3.1) ümumi həllini verir.
Qeyri-bərabər sistemin (3.1) xüsusi həlli kimi həmin həlli qəbul etmək təbiidir (yuxarıda olduğu kimi, (3.1) sisteminin əsas və genişləndirilmiş matrislərinin dərəcələrinin r-ə bərabər olduğu və əsas minorun olduğu güman edilir. bu matrislərin yuxarı sol küncündədir)

(3.20) düsturlarında bütün c r+1 ,...,c n ədədlərini sıfıra bərabər qoysaq əldə edilir. Bu xüsusi həlli müvafiq homojen sistemin ümumi həllinə (3.26) əlavə edərək, qeyri-homogen sistemin (3.1) ümumi həlli üçün aşağıdakı ifadəni alırıq:

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r . (3.30)

Bu ifadədə X 0 konkret həlli (3.29) ifadə edir, C 1 , C 2 , ... , C n-r ixtiyari sabitlər, X 1 ,X 2 ,... ,X n-r isə normal fundamental çoxluğun elementləridir. məhlulların (3.25) uyğun homojen sistemi.
Beləliklə, əvvəlki bəndin sonunda nəzərdən keçirilən qeyri-homogen sistem (3.21) üçün (3.29) formasının xüsusi həlli X 0 = (6,2,0, 0) bərabərdir.
Bu xüsusi həlli müvafiq homojen sistemin (3.27) ümumi həllinə (3.28) əlavə edərək, qeyri-homogen sistemin (3.21) aşağıdakı ümumi həllini əldə edirik:

X \u003d (6.2.0, 0) + C 1 (-3 / 2, -1 / 2.1.0) + C 2 (-1, -2, 0.1). (3.31)

Burada C 1 və C 2 ixtiyari sabitlərdir.
4. Xətti sistemlərin həllinə dair yekun nitq. Xətti sistemlərin həlli üçün əvvəlki bölmələrdə işlənmiş üsullar
matrisin rütbəsini hesablamaq və onun əsasını minor tapmaq ehtiyacı ilə qarşılaşır. Əsas minor tapıldıqdan sonra həll determinantların hesablanması və Kramer düsturlarından istifadə edilməsi texnikasına gəlir.
Bir matrisin dərəcəsini hesablamaq üçün aşağıdakı qaydadan istifadə edilə bilər: matrisin rütbəsi hesablanarkən aşağı dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlardan yuxarı dərəcəli yetkinlik yaşına çatmayanlara keçmək lazımdır; üstəlik, əgər k sırasının sıfırdan fərqli kiçik M artıq tapılıbsa, onda yalnız onu əhatə edən kiçik dərəcəli (k + 1)(yəni, içərisində kiçik M olan) bu kiçik M; bütün sərhədyanı yetkinlik yaşına çatmayanların sıfıra bərabər olduğu halda (k + 1), matrisin dərəcəsi bərabərdir(həqiqətən də, bu halda matrisin bütün sətirləri (sütunları) onun k sətirlərinin (sütunlarının) xətti aralığına aiddir, onların kəsişməsində kiçik M, göstərilən xətti aralığın ölçüsü isə k-yə bərabərdir. ).
Matrisin dərəcəsini hesablamaq üçün başqa bir qaydanı da göstərək. Qeyd edək ki, matrislərin sətirləri (sütunları) ilə istehsal edilə bilər üç elementar əməliyyat, bu matrisin dərəcəsini dəyişməyən: 1) iki sətirin (və ya iki sütunun) dəyişdirilməsi, 2) sətirin (və ya sütunun) sıfırdan başqa istənilən çarpana vurulması, 3) bir sıra (sütun) əlavə digər sətirlərin (sütunların) ixtiyari xətti kombinasiyası (bu üç əməliyyat 1) və 2) əməliyyatların matrisin xətti müstəqil sətirlərinin (sütunlarının) maksimum sayını dəyişdirmədiyinə görə matrisin dərəcəsini dəyişmir, və əməliyyat 3) bu əməliyyatdan əvvəl mövcud olan bütün cərgələrin (sütunların) xətti diapazonunun bu əməliyyatdan sonra alınan bütün cərgələrin (sütunların) xətti zərfi ilə üst-üstə düşməsi xüsusiyyətinə malikdir).
Deyəcəyik ki, m sətir və n sütundan ibarət ||a ij || matrisi diaqonal forma, əgər onun bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə, a 11 , a 22 ,.., a rr dən başqa, burada r = min(m, n). Belə bir matrisin dərəcəsi açıq şəkildə r-ə bərabərdir.
Gəlin buna əmin olaq üç elementar əməliyyat vasitəsilə istənilən matris

diaqonala endirilə bilər(bu, onun dərəcəsini hesablamağa imkan verir).

Həqiqətən də (3.31) matrisin bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə, bu matris artıq diaqonal formaya endirilmişdir. Əgər mat-
(3.31) sıfırdan fərqli elementlərə malikdir, onda iki sətir və iki sütunun yerini dəyişdirməklə a 11 elementinin sıfırdan fərqli olmasını təmin etmək olar. Bundan sonra matrisin birinci cərgəsini 11 -1-ə vuraraq a 11 elementini birinə çeviririk. j-ro matrisi sütunundan daha sonra (j = 2, 3,..., n üçün) birinci sütun i1 ilə vurulur və sonra i-ci sətirdən çıxarılır (i = 2, 3, .. üçün). ., n) birinci sətir, i1 ilə vurulduqda (3.31) əvəzinə aşağıdakı formanın matrisini alırıq:

Çərçivəyə götürülmüş matrislə artıq təsvir etdiyimiz əməliyyatları yerinə yetirərək və oxşar şəkildə hərəkət etməyə davam edərək, sonlu sayda addımlardan sonra diaqonal matris əldə edəcəyik.
Əvvəlki paraqraflarda təsvir olunan, nəticədə Kramer düsturlarının aparatlarından istifadə edən xətti sistemlərin həlli üsulları, tənliklərin və sərbəst şərtlərin əmsallarının dəyərləri təxminən verildikdə və ya bu dəyərlər verildikdə böyük səhvlərə səbəb ola bilər. hesablamalar zamanı yuvarlaqlaşdırılır.
Əvvəla, bu, əsas determinanta (və ya əsas minora) uyğun gələn matrisin olduğu vəziyyətə aiddir. pis vəziyyətdə(yəni, bu matrisin elementlərindəki "kiçik" dəyişikliklər tərs matrisin elementlərindəki "böyük" dəyişikliklərə uyğun olduqda). Təbii ki, bu halda xətti sistemin həlli olacaqdır qeyri-sabit(yəni, tənliklərin və sərbəst şərtlərin əmsallarının dəyərlərindəki "kiçik" dəyişikliklər həlldəki "böyük" dəyişikliklərə uyğun olacaq).
Qeyd edilən hallar həllin tapılması üçün həm digər (Kramer düsturlarından başqa) nəzəri alqoritmlərin, həm də xətti sistemlərin həlli üçün ədədi üsulların işlənib hazırlanması zərurətinə səbəb olur.
4-cü bölmə, 4-cü fəsildə biz tanış olacağıq A.N. Tixonov deyilənləri axtarın normal(yəni mənşəyə ən yaxın) xətti sistemin həlli.
Fəsil 6 sözdə haqqında əsas məlumatları təqdim edəcək iterativ üsullar naməlumların ardıcıl yaxınlaşmalarından istifadə edərək bu sistemləri həll etməyə imkan verən xətti sistemlərin həlli.