Funksiyanın əyilmə nöqtələrini necə tapmaq olar. Funksiyanın qabarıqlığı

Təlimatlar

Funksiyanın əyilmə nöqtələri ilk növbədə tapılmalı olan tərifinin domeninə aid olmalıdır. Funksiya qrafiki davamlı və ya kəsikli ola bilən, monoton şəkildə azalan və ya artan, minimum və ya maksimum nöqtələri (asimptotlar), qabarıq və ya konkav ola bilən xəttdir. Son iki vəziyyətdə kəskin dəyişiklik əyilmə nöqtəsi adlanır.

Bir funksiyanın əyilməsinin mövcud olması üçün zəruri şərt ikincinin sıfıra bərabər olmasıdır. Beləliklə, funksiyanı iki dəfə diferensiallaşdırmaq və nəticədə ortaya çıxan ifadəni sıfıra bərabərləşdirməklə, mümkün əyilmə nöqtələrinin absisini tapa bilərik.

Bu şərt funksiyanın qrafikinin qabarıqlıq və qabarıqlıq xüsusiyyətlərinin müəyyən edilməsindən irəli gəlir, yəni. ikinci törəmənin mənfi və müsbət dəyərləri. Bükülmə nöqtəsində bu xassələrdə kəskin dəyişiklik baş verir, yəni törəmə sıfır işarəsini keçir. Bununla belə, sıfıra bərabər olmaq fleksiyanı göstərmək üçün hələ kifayət deyil.

Əvvəlki mərhələdə tapılan absissin əyilmə nöqtəsinə aid olması üçün iki kifayət qədər şərt var: Bu nöqtə vasitəsilə funksiyaya toxunan xətt çəkmək olar. İkinci törəmə ehtimal edilən əyilmə nöqtəsinin sağında və solunda fərqli işarələrə malikdir. Beləliklə, onun nöqtədə mövcudluğu vacib deyildir, onda onun işarəsi dəyişir, üçüncüsü isə sıfıra bərabərdir.

Birinci kifayət qədər şərt universaldır və digərlərindən daha tez-tez istifadə olunur. İllüstrativ misalı nəzərdən keçirək: y = (3 x + 3) ∛(x - 5).

Həlli: Tərif sahəsini tapın. Bu vəziyyətdə heç bir məhdudiyyət yoxdur, buna görə də bütün məkandır real ədədlər. Birinci törəməni hesablayın: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Fraksiyanın görünüşünə diqqət yetirin. Buradan belə çıxır ki, törəmənin tərif dairəsi məhduddur. x = 5 nöqtəsi deşilmişdir, bu o deməkdir ki, ondan bir tangens keçə bilər ki, bu da kifayət qədər əyilmənin ilk əlamətinə qismən uyğun gəlir.

X → 5 – 0 və x → 5 + 0 üçün yaranan ifadənin birtərəfli hədlərini təyin edin. Onlar -∞ və +∞-dir. Şaquli tangensin x=5 nöqtəsindən keçdiyini sübut etdiniz. Bu nöqtə əyilmə nöqtəsi ola bilər, lakin əvvəlcə ikinci törəməni hesablayın: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛ (x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

Məxrəci buraxın, çünki siz artıq x = 5 nöqtəsini nəzərə almısınız. 2 x – 22 = 0 tənliyini həll edin. Onun tək kökü var x = 11. Son addım x = 5 və x = 11 nöqtələrinin əyilmə nöqtələri olduğunu təsdiqləməkdir. İkinci törəmənin onların yaxınlığındakı davranışını təhlil edin. Aydındır ki, x = 5 nöqtəsində işarəni “+”dan “-”-yə, x = 11 nöqtəsində isə əksinə dəyişir. Nəticə: hər iki nöqtə əyilmə nöqtələridir. Birinci kifayət qədər şərt yerinə yetirilir.

Funksiyanı öyrənmək və qrafiki çəkmək üçün ümumi sxem.
1. Qabarıqlıq və qabarıqlıq funksiyasının öyrənilməsi.

1. 
   
2. 
   Funksiya qrafikinin asimptotları.

Giriş.

Məktəb riyaziyyat kursunuzda siz artıq funksiyaların qrafiklərinin qurulması ehtiyacı ilə qarşılaşmısınız. , siz nöqtə-nöqtə metodundan istifadə etdiniz. Qeyd etmək lazımdır ki, o, konsepsiya baxımından sadədir və məqsədə nisbətən tez aparır. Funksiyanın davamlı olduğu və kifayət qədər rəvan dəyişdiyi hallarda, bu üsul qrafik təsvirdə lazımi dəqiqlik dərəcəsini təmin edə bilər. Bunun üçün onların yerləşdirilməsinin müəyyən sıxlığına nail olmaq üçün daha çox xal toplamaq lazımdır.

İndi fərz edək ki, müəyyən yerlərdə funksiyanın "davranışında" özünəməxsus xüsusiyyətləri var: ya kiçik bir ərazidə onun dəyərləri kəskin şəkildə dəyişir, ya da fasilələr var. Qrafikin ən əhəmiyyətli hissələri bu şəkildə aşkarlana bilməz.

Bu vəziyyət qrafikin qurulmasında “nöqtə-nöqtə” metodunun dəyərini azaldır.

Funksiyaların analitik tədqiqinə əsaslanan qrafiklərin qurulmasının ikinci yolu var. Məktəbin riyaziyyat kursunda müzakirə olunan metodla müsbət müqayisə edir.

1. Qabarıqlıq və qabarıqlıq funksiyasının öyrənilməsi .

Qoy funksiya olsun
(a, b) intervalında diferensiallaşır. Onda hər hansı bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə bir tangens var
bu diaqram (
) və tangens OY oxuna paralel deyil, çünki onun bucaq əmsalı bərabərdir
, əlbəttə.

HAQQINDA
qətiyyət Funksiyanın qrafikini deyəcəyik
(a, b) üzərindəki funksiyanın qrafikinə hər hansı bir tangensdən aşağıda (yuxarıda deyil) yerləşərsə, aşağıya (yuxarıya) yönəldilmiş buraxılışa malikdir.

a) qabarıq əyri b) qabarıq əyri

Teorem 1 (əyrinin qabarıqlığı (konkavliyi) üçün zəruri şərt).

Əgər iki dəfə diferensiallanan funksiyanın qrafiki qabarıq (konkav) əyridirsə, (a, b) intervalı üzrə ikinci törəmə bu intervalda mənfi (müsbət) olur.

Teorem 2(bir əyrinin qabarıqlığı (konkavliyi) üçün kifayət qədər şərt).

Əgər funksiya (a, b) və üzərində iki dəfə diferensiallanarsa
(
) bu intervalın bütün nöqtələrində, onda funksiyanın qrafiki olan əyri bu intervalda qabarıq (konkav) olur.

1. 
   Funksiya qrafikinin əyilmə nöqtələri.

Tərif Nöqtə
nöqtədədirsə, funksiyanın qrafikinin əyilmə nöqtəsi adlanır
qrafikin tangensi var və nöqtənin belə qonşuluğu var , bunun daxilində nöqtənin solunda və sağında olan funksiyanın qrafiki müxtəlif qabarıqlıq istiqamətlərinə malikdir.

HAQQINDA Aydındır ki, əyilmə nöqtəsində tangens funksiyanın qrafiki ilə kəsişir, çünki bu nöqtənin bir tərəfində qrafik tangensdən yuxarıda, digər tərəfində isə onun altında, yəni əyilmə nöqtəsinin yaxınlığında yerləşir. funksiyanın qrafiki həndəsi olaraq tangensin bir tərəfindən digər tərəfinə keçir və onun üzərində "əyilir". "Əkilmə nöqtəsi" adı da buradan gəlir.

Teorem 3(əyilmə nöqtəsi üçün zəruri şərt). Qoy funksiyanın qrafikinin bir nöqtədə əyilmə nöqtəsi olsun və funksiyanın bir nöqtədə əyilmə nöqtəsi olsun. davamlı ikinci törəmə. Sonra
.
Dönüş nöqtəsi olan hər nöqtə deyil. Məsələn, funksiyanın qrafiki
(0, 0) nöqtəsində əyilmə nöqtəsi yoxdur, baxmayaraq ki
saat
. Beləliklə, ikinci törəmənin sıfıra bərabərliyi yalnız zəruri şərtdirəyilmə.

Onun çağırıldığı qrafik nöqtələri kritik nöqtələrII-şəhərlər. Hər bir kritik nöqtədə bükülmələrin olması məsələsini daha da araşdırmaq lazımdır.

Teorem 4(əyilmə nöqtəsi üçün kifayət qədər şərt). Qoy funksiyanın nöqtənin hansısa qonşuluğunda ikinci törəməsi olsun. Sonra, əgər göstərilən məhəllə daxilində
nöqtənin solunda və sağında müxtəlif işarələrə malikdir, onda qrafikin nöqtədə əyilmə nöqtəsi olur.
Şərh.Əgər teorem doğru olaraq qalır
nöqtənin özü istisna olmaqla, nöqtənin bəzi qonşuluğunda ikinci törəməsi var və nöqtədə funksiyanın qrafikinə bir tangens var.
. Sonra, göstərilən qonşuluq daxilində nöqtənin solunda və sağında fərqli işarələrə malikdirsə, onda funksiyanın qrafiki nöqtədə əyilmə var.
Qabarıqlıq, qabarıqlıq və əyilmə nöqtələri üçün funksiyanın öyrənilməsi sxemi.

Misal. Funksiyanı araşdırın
qabarıqlıq, konkavlik, əyilmə nöqtələri üçün.
1.

2.
,
=

3. nə vaxt mövcud deyil

	)	1	(1, +)
	-		+
		1

1. 
   Funksiya qrafikinin asimptotları.

Funksiyanın davranışını öyrənərkən
və ya 2-ci növ kəsilmə nöqtələrinə yaxın olduqda çox vaxt məlum olur ki, funksiyanın qrafiki istənilən verilmiş xəttə istədiyiniz qədər yaxınlaşır. Bunlara düz xətlər deyilir.

HAQQINDA tərif 1. Düz Nöqtə əyri boyunca sonsuzluğa qədər uzaqlaşdıqca əyrinin nöqtəsindən bu xəttə qədər olan məsafə sıfıra meyl edərsə, L əyrisinin asimptotası adlanır. Üç növ asimptot var: şaquli, üfüqi, əyri.

Tərif 2. Düz
funksiyanın qrafikinin şaquli asimptotu adlanır, əgər birtərəfli hədlərdən ən azı biri bərabərdirsə.
, yəni və ya

Məsələn, funksiyanın qrafiki
şaquli asimptota malikdir
, çünki
, A
.

Tərif 3. y=A düz xəttinə at funksiyasının qrafikinin üfüqi asimptotu deyilir
Əgər
.

Məsələn, funksiyanın qrafiki üfüqi y=0 asimptotuna malikdir, çünki
.

Tərif 4. Düz
(
) funksiyasının qrafikinin maili asimptotu adlanır
Əgər
;

Əgər limitlərdən ən azı biri mövcud deyilsə, onda əyrinin asimptotları yoxdur. Əgər, onda biz bu limitləri və ilə ayrıca axtarmalıyıq
.

Misal üçün. Funksiya qrafikinin asimptotlarını tapın

; x=0 – şaquli asimptot

;
.

- əyri asimptot.
4. Funksiyanın tam tədqiqi və qrafikin çəkilməsi sxemi.

Təxmini bir diaqramı nəzərdən keçirək, ona görə funksiyanın davranışını öyrənmək və onun qrafikini qurmaq məsləhətdir.

Misal. Funksiyanı araşdırın
və onu tərtib edin.

1. x=-1 istisna olmaqla.

2.
funksiya nə cüt, nə də tək deyil

-

-



+

+

y

-4


t r.

0

Nəticə.
Nəzərdən keçirilən metodun mühüm xüsusiyyəti onun ilk növbədə aşkara və öyrənməyə əsaslanmasıdır xarakterik xüsusiyyətlərəyrinin davranışında. Funksiyasının rəvan dəyişdiyi yerlər xüsusi təfərrüatlı şəkildə öyrənilmir və belə bir araşdırmaya ehtiyac yoxdur. Ancaq funksiyanın davranışında hər hansı bir xüsusiyyətə malik olduğu yerlər tam araşdırmaya və ən dəqiqliyə məruz qalır qrafik şəkil. Bu xüsusiyyətlər funksiyanın maksimum, minimum nöqtələri, kəsilmə nöqtələri və s.

Konkavlik və əyilmə istiqamətinin, habelə asimptotların tapılmasının müəyyən edilmiş metodunun müəyyən edilməsi funksiyaları daha da ətraflı öyrənməyə və onların qrafikləri haqqında daha dəqiq təsəvvür əldə etməyə imkan verir.

Funksiya qrafiki y=f(x)çağırdı qabarıq interval üzrə (a; b), əgər o, bu intervalda onun hər hansı bir tangentindən aşağıda yerləşirsə.

Funksiya qrafiki y=f(x)çağırdı konkav interval üzrə (a; b), əgər o, bu intervalda onun hər hansı bir tangentindən yuxarıda yerləşirsə.

Şəkildə qabarıq olan əyri göstərilir (a; b) və konkav (b;c).

Nümunələr.

Gəlin nəzərdən keçirək kifayət qədər göstərici, verilmiş intervalda funksiyanın qrafikinin qabarıq və ya konkav olacağını müəyyən etməyə imkan verir.

Teorem. Qoy y=f(x)üzrə fərqləndirilə bilər (a; b). Əgər intervalın bütün nöqtələrində (a; b) funksiyanın ikinci törəməsi y = f(x) mənfi, yəni. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – konkav.

Sübut. Qətiliklə bunu fərz edək f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Qrafikdəki funksiyaları götürək y = f(x) ixtiyari nöqtə M0 absis ilə x 0 Î ( a; b) və nöqtədən çəkin M0 tangens. Onun tənliyi. Funksiyanın qrafikinin açıq olduğunu göstərməliyik (a; b) bu tangensin altında yerləşir, yəni. eyni dəyərdə xəyrinin ordinatı y = f(x) tangensin ordinatından kiçik olacaq.

Beləliklə, əyrinin tənliyi belədir y = f(x). Absissə uyğun gələn tangensin ordinatını qeyd edək x. Sonra . Nəticədə, əyrinin ordinatları ilə eyni dəyər üçün tangens arasındakı fərq x olacaq .

Fərq f(x) – f(x 0) Laqranj teoreminə görə çevirmək, burada c arasında x Və x 0.

Beləliklə,

Laqranj teoremini yenidən kvadrat mötərizədə ifadəyə tətbiq edirik: , burada c 1 arasında c 0 Və x 0. Teoremin şərtlərinə görə f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Beləliklə, əyrinin istənilən nöqtəsi bütün dəyərlər üçün əyriyə toxunandan aşağıda yerləşir x Və x 0 Î ( a; b), bu o deməkdir ki, əyri qabarıqdır. Teoremin ikinci hissəsi də oxşar şəkildə isbat edilir.

Nümunələr.

Davamlı funksiyanın qrafikində onun qabarıq hissəsini konkav hissəsindən ayıran nöqtə deyilir əyilmə nöqtəsi.

Aydındır ki, əyilmə nöqtəsində tangens, əgər varsa, əyri ilə kəsişir, çünki bu nöqtənin bir tərəfində əyri tangensin altında, digər tərəfində isə onun üstündə yerləşir.

Əyrinin verilmiş nöqtəsinin əyilmə nöqtəsi olması üçün kifayət qədər şərtləri müəyyən edək.

Teorem. Əyri tənliklə müəyyən edilsin y = f(x). Əgər f ""(x 0) = 0 və ya f ""(x 0) qiymətdən keçərkən belə mövcud deyil x = x 0 törəmə f ""(x) işarəsini, sonra absis ilə funksiyanın qrafikindəki nöqtəni dəyişir x = x 0əyilmə nöqtəsi var.

Sübut. Qoy f ""(x) < 0 при x < x 0 Və f ""(x) > 0 at x > x 0. Sonra saat x < x 0əyri qabarıqdır və nə vaxt x > x 0- konkav. Buna görə də nöqtə A, əyri üzərində uzanan, absis ilə x 0əyilmə nöqtəsi var. İkinci hal eyni şəkildə nəzərdən keçirilə bilər, zaman f ""(x) > 0 at x < x 0 Və f ""(x) < 0 при x > x 0.

Beləliklə, əyilmə nöqtələri yalnız ikinci törəmənin yox olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələr arasında axtarılmalıdır.

Nümunələr. Bükülmə nöqtələrini tapın və əyrilərin qabarıqlıq və qabarıqlıq intervallarını təyin edin.

FUNKSİYA QRAFİNİN ASİMPTOTLARI

Funksiyanı öyrənərkən onun qrafikinin formasını qrafik nöqtəsindən başlanğıcdan qeyri-məhdud məsafədə qurmaq vacibdir.

Funksiya qrafikinin onun dəyişən nöqtəsi sonsuza qədər götürüldükdə qeyri-müəyyən bir düz xəttə yaxınlaşması xüsusi maraq doğurur.

Düz xətt deyilir asimptot funksiya qrafikası y = f(x), əgər dəyişən nöqtədən məsafə M nöqtəni çıxararkən qrafikləri bu xəttə M sonsuzluğa sıfıra meyl edir, yəni. funksiyanın qrafikindəki nöqtə sonsuzluğa meyl etdiyi üçün qeyri-müəyyən müddətə asimptota yaxınlaşmalıdır.

Əyri öz asimptotuna yaxınlaşa bilər, onun bir tərəfində və ya müxtəlif tərəflərində qalır, asimptotu sonsuz sayda keçərək bir tərəfdən digərinə keçə bilər.

Əgər nöqtədən məsafəni d ilə işarə etsək M asimptota əyri, onda aydın olur ki, nöqtə uzaqlaşdıqca d sıfıra meyl edir. M sonsuzluğa.

Şaquli və əyri asimptotları daha da ayırd edəcəyik.

Şaquli ASİMPTOTLAR

Qoy x→ x 0 istənilən yan funksiyadan y = f(x) mütləq dəyərdə qeyri-məhdud artır, yəni. və ya . Onda asimptotanın tərifindən belə çıxır ki, düz xətt x = x 0 asimptotdur. Əksi də aydındır, əgər xətt x = x 0 asimptotdur, yəni. .

Beləliklə, funksiyanın qrafikinin şaquli asimptotu y = f(x)əgər düz xətt adlanır f(x)→ ∞ şərtlərdən ən azı birində x→ x 0– 0 və ya x → x 0 + 0, x = x 0

Buna görə də funksiyanın qrafikinin şaquli asimptotlarını tapmaq y = f(x) həmin dəyərləri tapmaq lazımdır x = x 0, bu zaman funksiya sonsuzluğa gedir (sonsuz fasiləsizliyə məruz qalır). Sonra şaquli asimptot tənliyə malikdir x = x 0.

Nümunələr.

ƏYİ ASİMPTOTLAR

Asimptot düz xətt olduğundan, əyri olarsa y = f(x)əyri asimptota malikdir, onda onun tənliyi olacaq y = kx + b. Bizim vəzifəmiz əmsalları tapmaqdır k Və b.

Teorem. Düz y = kx + b-də əyri asimptot kimi xidmət edir x→ +∞ funksiyanın qrafiki üçün y = f(x) sonra və yalnız nə vaxt . Bənzər bir ifadə üçün doğrudur x → –∞.

Sübut. Qoy millət vəkili– nöqtədən məsafəyə bərabər olan seqmentin uzunluğu M asimptot etmək. Şərtlə. Asimptotun oxa meyl bucağını φ ilə işarə edək öküz. Sonradan ΔMNP bunu izləyir. φ sabit bucaq olduğundan (φ ≠ π/2), onda , lakin

1. Qabarıq və qabarıq funksiyalar haqqında anlayış

Funksiyanı öyrənərkən funksiyanın hansı intervallarda qabarıq, hansı intervallarda isə konkav olduğunu müəyyən etmək faydalı ola bilər.

Qabarıq və konkav funksiyanı təyin etmək üçün ixtiyari nöqtələrdə funksiyanın qrafiklərinə tangenslər çəkirik. X 1 və X 2 (Şəkil 15.1 və 15.2):

Funksiyanın qrafiki adlanır konkav bu intervalda funksiyanın qrafikinə hər hansı bir tangens üzərində yerləşirsə intervalda.

Funksiyanın qrafiki adlanır qabarıq bu intervalda funksiyanın qrafikinə hər hansı bir tangens aşağıda yerləşirsə intervalda.

Davamlı funksiyanın qrafikində qabarıqlığın təbiətinin dəyişdiyi nöqtə deyilir əyilmə nöqtəsi . Bükülmə nöqtəsində tangens əyri ilə kəsişir.

Funksiya bir neçə qabarıqlıq və konkavlik intervalına və bir neçə əyilmə nöqtəsinə malik ola bilər. Qabarıqlıq və konkavlik intervallarını təyin edərkən cavab olaraq dəyərlər intervalı seçilir: əyilmə nöqtələri nə qabarıqlıq intervalları, nə də konkavlik intervalları kimi təsnif edilmir.

Beləliklə, Şəkil 15.3-dəki funksiyanın qrafiki intervallar üzrə qabarıqdır (- ; X 1) və ( X 2 ; + ); konkav ( X 1 ;X 2). Funksiya qrafikinin iki əyilmə nöqtəsi var: ( X 1 ;saat 1) və ( X 2 ;saat 2).

1. Funksiyanın qabarıqlıq-konkavlik meyarı və əyilmə nöqtələri.

Funksiyanın qabarıqlıq və qabarıqlıq intervalları aşağıdakı teoremdən istifadə etməklə tapılır:

Teorem. 1. Əgər funksiyanın müsbət ikinci törəməsi varsa, onda funksiyanın interval üzrə qrafiki konkav olur.

2. Əgər funksiyanın mənfi ikinci törəməsi varsa, onda funksiyanın interval üzrə qrafiki qabarıqdır.

Təsəvvür edək funksiyanın qabarıqlıq-konkavlik meyarı diaqram şəklində:

Beləliklə, bir funksiyanın qabarıqlıq-konkavlik üçün tədqiqi ikinci törəmənin işarəsini saxladığı tərif sahəsinin intervallarını tapmaq deməkdir.

Qeyd edək ki, o, işarəsini yalnız ikinci törəmənin sıfıra bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələrdə dəyişə bilər. Belə nöqtələr adətən adlanır ikinci növ kritik nöqtələr .

Yalnız kritik nöqtələr əyilmə nöqtələri ola bilər. Onları tapmaq üçün aşağıdakı teoremdən istifadə olunur:

Teorem (əyilmə nöqtələrinin mövcudluğu üçün kifayət qədər şərt). Bir nöqtədən keçərkən ikinci törəmə varsa x o işarəni, sonra absis ilə qrafik nöqtəsini dəyişir x oəyilmə nöqtəsidir.

Qabarıqlıq-konkavlik və əyilmə nöqtələri üçün funksiyanı öyrənərkən aşağıdakılardan istifadə edə bilərsiniz alqoritm :

Misal 15.1. Funksiya qrafikinin qabarıqlıq və qabarıqlıq intervallarını, əyilmə nöqtələrini tapın.

Həll. 1. Bu funksiya R çoxluğunda müəyyən edilmişdir.

2. Funksiyanın birinci törəməsini tapaq: = .

3. Funksiyanın ikinci törəməsini tapın: =2 X-6.

4. İkinci növ kritik nöqtələri təyin edin ( 0): 2 X-6= 0 X=3.

5. Rəqəm oxundakı kritik nöqtəni qeyd edin X=3. O, funksiyanın təyin olunma oblastını iki intervala (-∞;3) və (3;+∞) bölür. 2-ci funksiyanın ikinci törəməsinin işarələrini düzürük X-6 nəticə intervallarının hər birində:

saat X=0 (-∞;3) (0)=-6<0;

saat X=4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.

t

6. Qabarıqlıq-konkavlik meyarına görə, funksiyanın qrafiki o zaman qabarıq olur. X(-∞;3), içbükey X (3;+ ∞).

Məna X=3 – əyilmə nöqtəsinin absisi. -də olan funksiyanın qiymətini hesablayaq X=3:

2. Deməli, (3;2) koordinatları olan nöqtə əyilmə nöqtəsidir.

Cavab verin: funksiyanın qrafiki qabarıq olduqda X (-∞;3),

konkav X(3;+ ∞); (3;2) – əyilmə nöqtəsi.

Misal 15.2. Funksiya qrafikinin qabarıqlıq və qabarıqlıq intervallarını, əyilmə nöqtələrini tapın.

Həll. 1. Bu funksiya məxrəcin sıfırdan fərqli olduğu halda müəyyən edilir: X-7≠0 .

2. Funksiyanın birinci törəməsini tapın:

3. Funksiyanın ikinci törəməsini tapaq: = =

gəlin 2∙( X-7) mötərizənin xaricində:

= = = . (7;+∞) (8)= >0.

vog.

6. Qabarıqlıq-konkavlik meyarına görə, funksiyanın qrafiki o zaman qabarıq olur. X(-∞;7), konkav at X (7;+ ∞).

Absis nöqtəsi X=7 əyilmə nöqtəsi ola bilməz, çünki bu nöqtədə funksiya mövcud deyil (davamsızlığa məruz qalır).

Cavab verin: funksiyanın qrafiki qabarıq olduqda X(-∞;7), konkav at X (7;+ ∞).

Nəzarət sualları: