Fəsil 3.

Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas teoremləri və onlardan nəticələr

Uyğun olmayan ehtimalları toplamaq üçün teorem

Hadisələr

İkinci fəsil müəyyən şərtlər yerinə yetirildikdə tək təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalının necə təyin oluna biləcəyini göstərdi. Bildiyiniz kimi, arifmetik əməliyyatlar təsadüfi hadisələrlə yerinə yetirilə bilər, əsasları hadisələrin toplanması və vurulmasıdır. Ehtimal nəzəriyyəsi əsas teoremlərindən istifadə edərək hadisələrin cəmi və məhsulunun ehtimalını tapmağa imkan verir, yəni. ya nəzərdən keçirilən hadisələrdən ən azı birinin baş vermə ehtimalını, ya da bu hadisələrin eyni vaxtda baş vermə ehtimalını müəyyən etmək.

Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas teoremlərinə aşağıdakılar daxildir:

1. Ehtimalların toplanması teoremi.

2. Ehtimalların çoxaldılması teoremi.

Xüsusi hal üçün ehtimalların toplanması teoremini nəzərdən keçirək. Belə iddia edək A Və IN uyğun olmayan hadisələrdir və biz bu hadisələrin ehtimallarının məlum olduğunu və ya tapıla biləcəyini fərz edəcəyik.

Teorem 3.1. Uyğun olmayan iki hadisədən birinin baş vermə ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir, yəni.

Sübut. Qoy n – ümumi sayı hadisələrin görünə biləcəyi testin bütün bərabər mümkün elementar hadisələri A və ya IN. ilə işarə edək t A Və t V hadisələr üçün əlverişli elementar hadisələrin sayı A Və IN müvafiq olaraq. Hadisələrdən bəri A Və IN uyğun gəlmirsə, bu hadisələrin cəmidir A + IN lütf t A+ t V elementar hadisələr. Buna görə də .

Teorem sübut edilmişdir.

Nəticə. Bir neçə qoşa uyğun gəlməyən hadisələrdən birinin baş vermə ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir, yəni.

Sübut riyazi induksiya metodundan istifadə etməklə həyata keçirmək çətin deyil.

Misal 3.1. Bir qutuda 8 ağ, 5 qara və 10 qırmızı top var. Bir top təsadüfi seçilir. Bu topun ağ olmama ehtimalı nədir?

Həll. Hadisə olsun A- qara top seçmək, IN- qırmızı top seçmək. Sonra tədbir İLƏ = A + IN ağ olmayan topun (qara və ya qırmızı) seçimini müəyyənləşdirir.

Klassik düstura görə . Teorem 3.1 ilə biz nəhayət .■ alırıq

Misal 3.2. Şirkətin iki vakant vəzifəsi var ki, bunlara üç kişi və beş qadın müraciət edir. Müraciət edənlərin seçimi təsadüfi aparılarsa, işə götürülənlər arasında ən azı bir nəfərin olması ehtimalını tapın.

Həll. Hadisə olsun İLƏ odur ki, işə götürülənlər arasında ən azı bir kişi olacaq. Hadisənin baş verdiyi aydındır İLƏ aşağıdakı iki uyğunsuz hadisədən biri baş verdikdə baş verəcək: A- iki nəfər işə götürüldü; IN– bir qadın və bir kişi işə götürüldü. Beləliklə, İLƏ = A + IN.

Hadisələrin ehtimallarını tapaq A Və IN, klassik düsturdan istifadə edərək, alırıq

Və .

Hadisələr A Və IN– uyğunsuzdur, ona görə də 3.1 teoremini tətbiq edə bilərik. alırıq. ■

Nümunə 3.2-ni həll edərkən nəzərə alınmayan yeganə mümkün hadisə iki qadının işə götürülməsi idi. Onu hərflə qeyd edək D və onun ehtimalını tapın. Klassik düsturu tətbiq edərək, əldə edirik

.

Həmin hadisələri başa düşmək çətin deyil A, IN Və D test üçün tam bir qrup yaratmaq: səkkiz nəfərdən ikisini seçmək. Bu hadisələrin ehtimallarının cəmini tapaq: . Alınan nəticə ümumi formada təqdim edilə bilər.

Teorem 3.2. Tam qrup təşkil edən hadisələrin ehtimallarının cəmi 1-ə bərabərdir.

Sübut. Hadisələrə icazə verin A 1 , A 2 , …, A n bəzi testlər üçün tam qrup yaradın. Sonra, tərifə görə, bu test nəticəsində, hadisələrdən biri mütləq baş verəcək, yəni. bu hadisələrin cəmi müəyyən bir hadisədir. Etibarlı hadisənin ehtimalı 1-dir. Buna görə də bərabərlik doğrudur:

Xatırladaq ki, tam qrup tərifinə görə, bir-birinə uyğun gəlməyən hadisələrdən ibarətdir. Sonra 3.1 teoreminin nəticəsini əldə edirik

Teorem sübut edilmişdir.

Nəticə. Əks hadisələrin ehtimallarının cəmi 1-ə bərabərdir.

Sübut birbaşa əks hadisələrin tam qrup təşkil etməsindən irəli gəlir, buna görə də Teorem 3.2-yə görə düstur yerinə yetirilir.

(3.3)

Harada A Və Ā - əks hadisələr.

İstintaq sübuta yetirilib.

Məsələləri həll edərkən transformasiya edilmiş düstur (3.3) daha çox istifadə olunur, yəni

(3.4)

Misal 3.3. Üç vəzifəyə seçilmək üçün doqquz namizəddən beşi oranı fərqlənmə diplomu ilə bitirib. Hər kəsin bu vəzifələrə seçilmək şansı eynidir. Seçilmişlər arasında ən azı birinin fərqlənmə diplomuna sahib olması ehtimalını müəyyənləşdirin.

Həll. Hadisə olsun A o deməkdir ki, seçilmiş namizədlər arasında ən azı birinin fərqlənmə diplomu var. Hadisənin baş verdiyi aydındır Ā əks A seçiləcək hər üç nəfərin fərqlənmə diplomu yoxdur. Əks hadisənin baş vermə ehtimalını tapaq. Bunun üçün klassik düsturu tətbiq edirik, alırıq

.

(3.3) düsturu ilə hadisənin baş vermə ehtimalını tapırıq A:

. ■

Nümunə 3.3-ün həlli başqa, daha uzun üsulla da əldə edilə bilər. Hadisəni anlamaq çətin deyil A aşağıdakı hadisələrin cəmidir:

A 1 – seçilmişlər arasında fərqlənmə diplomu olan yalnız bir namizəd var;

A 2 – fərqlənmə diplomu ilə seçilmiş iki namizəd arasında;

A 3 – fərqlənmə diplomu ilə seçilmiş üç namizəd arasında.

Klassik düsturdan istifadə edərək əldə edirik

Aydındır ki, hadisələr A 1 , A 2 , A 3 uyğunsuzdur, ona görə də biz 3.3 teoremini tətbiq edə bilərik. Beləliklə

Aydındır ki, birinci həll yolu daha sadədir.

Yuxarıda müzakirə olunan teoremlərdə və misallarda müvafiq təsadüfi hadisələrin uyğunsuzluğu nəzərdə tutulmuşdur. Təbii ki, ortaq hadisələrdən ən azı birinin baş vermə ehtimalını tapmaq tələb olunan problem yarana bilər. Bu halda 3.1 teoremini tətbiq etmək olmaz. Daha çox var ümumi forma hadisələrin hasilinin ehtimal anlayışından istifadə edən ehtimal toplama teoremi.

Hadisə ehtimallarının vurulması üçün teorem

Təsadüfi hadisənin baş verə biləcəyi bəzi testləri nəzərdən keçirək A. Test şəraitindən başqa, hadisə üçün heç bir məhdudiyyət yoxdursa A mövcud deyilsə, o zaman hadisənin baş vermə ehtimalı Açağırdı şərtsiz ehtimal. Bəzi əlavə şərtlər müəyyən edilərsə, o zaman şərti ehtimal bu hadisə. Çox vaxt əlavə şərtlər başqa bir təsadüfi hadisənin baş verməsi ilə əlaqələndirilir. Beləliklə, müəyyən bir hadisəni təhlil edərkən sual yarana bilər: müəyyən bir hadisənin baş vermə ehtimalı təsir göstərirmi? A başqa bir təsadüfi hadisənin baş verməsi IN və əgər varsa, necə? Məsələn, hücum IN hadisənin məcburi baş verməsinə gətirib çıxarır A və ya əksinə, hadisənin baş vermə ehtimalını istisna edir A, və ya bəlkə də yalnız ehtimal dəyərini dəyişir. Bir hadisə olduğunu başa düşmək asandır IN tədbir üçün əlverişlidir A, sonra hadisə baş verəndə IN hadisə A həmişə gəlir və ya əgər A Və IN– verilmiş testdə uyğun olmayan iki hadisə, sonra hadisə baş verdikdə IN hadisə A heç vaxt baş verməyəcək. Bununla belə, bunlar sözdə kənar hallardır. Ən böyük maraq hadisə baş verəndə yaranır IN hadisənin baş vermə ehtimalını bir şəkildə dəyişir (artırır və ya azaldır). A yeni şəraitdə etibarlı və ya qeyri-mümkün hadisəyə çevirmədən. Bir hadisənin digərinə belə təsirinin xarakterik xüsusiyyəti şərti ehtimaldır.

Şərti ehtimal hadisələr A bunu nəzərə alaraq IN hadisənin baş vermə ehtimalı adlanır A, hadisə olduğu fərziyyəsi ilə hesablanır IN artıq baş verib.

Eynilə, bir hadisənin şərti ehtimalını təyin edə bilərik IN, hadisənin olması şərti ilə A artıq baş verib.

Misal 3.4. Bir qabda 6 ağ və 8 qara top olsun. İki top dəyişdirilmədən bir-birinin ardınca təsadüfi olaraq qabdan çıxarılır. Birinci top da ağ çəkilsəydi, ikinci topun ağ olma ehtimalını tapın?

Həll . Hadisə olsun A ikinci top ağ olacaq ki, və hadisə IN ilk topun ağ olduğunu. Problem hadisənin baş vermə ehtimalının tapılmasını tələb edir A, hadisənin olması şərti ilə IN baş verdi, yəni. tapmaq. Əgər hadisə IN baş verdi, onda qabda 13 top qalıb, onlardan 5-i ağdır. Buna görə də, 5-i ağ olan 13-dən ağ top çəkmə ehtimalı bərabərdir .■

İki məqamı qeyd edək.

Birincisi, tədbir üçün A təkcə onun şərti ehtimalı deyil, həm də hadisənin ümumi ehtimalı deyilən, yəni. hər hansı bir top birinci seçildikdə ikinci topun ağ olması ehtimalı. Belə bir ehtimalın tapılması 3.4-cü bənddə müzakirə olunacaq.

İkincisi, nümunə şərti dəyişdirilə bilər ki, ilk seçilmiş topun rəngi hadisənin baş vermə ehtimalına təsir göstərməsin. A. Güman edirik ki, toplar öz rənglərini təyin etdikdən sonra yenidən qaba qaytarılır. Sonra, açıq-aydın, hadisənin ehtimalı A ilk topun hansı rəngdə seçildiyindən asılı deyil, yəni. hadisənin baş verməsindən (və ya baş verməməsindən). IN. Bu halda , yəni. hadisənin baş vermə ehtimalı A bu hadisənin şərti ehtimalı ilə üst-üstə düşür. Hadisələrin özləri A Və IN Bu testdə müstəqildirlər.

İki hadisə A Və IN adlandırılır müstəqil,əgər onların hər birinin baş vermə ehtimalı başqa hadisənin baş verib-verməməsindən asılı deyilsə. Əks halda hadisələr adlanır asılı.

Tərifdən belə çıxır ki, müstəqil hadisələr üçün A Və IN aşağıdakı düsturlar etibarlıdır:

. (3.5)

Klassik tərifdən istifadə edərək şərti ehtimalı tapmaq üçün düstur alaq. Testdən ibarət olsun n eyni dərəcədə mümkün elementar hadisələr. Tədbirə üstünlük verən hadisələrin sayı A, bərabərdir t A; hadisə IN – t V; hadisələrin istehsalı AB – t AB. Aydındır ki . Hadisədən bəri IN lütf edir t V nəticələr, bunlardan yalnız t A lütf A, onda şərti ehtimal bərabərdir

. Nəhayət, alırıq

(3.6)

(3.6) düsturunda məxrəcin sıfırdan fərqli olmasına diqqət yetirmək lazımdır, çünki şərtə görə hadisə IN baş verə bilər, yəni. t V sıfıra bərabər deyil.

Eyni şəkildə əsaslandıraraq, hadisənin şərti ehtimalı üçün bir düstur əldə edə bilərik IN: . Amma hadisədən bəri AB hadisədən heç bir fərqi yoxdur VA Və , sonra hadisənin şərti ehtimalı IN düsturla müəyyən edilə bilər

(3.7)

Aksiomatik yanaşmadan istifadə edilən ən tam ehtimal nəzəriyyəsi kurslarında şərti ehtimalın tərifi kimi (3.6) və (3.7) düsturlar, müstəqil hadisələrin tərifi kimi isə (3.5) düsturları götürülür.

Aşağıdakı ehtimal vurma teoremi (3.6) və (3.7) düsturlarından birbaşa irəli gəlir.

Teorem 3.2.İki təsadüfi hadisənin eyni vaxtda baş vermə ehtimalı, birinci hadisənin artıq baş verdiyi fərziyyəsi ilə hesablanmış bir hadisənin ehtimalı ilə digərinin şərti ehtimalının hasilinə bərabərdir, yəni.

(3.8)

Nəticə. Bir neçə təsadüfi hadisənin eyni vaxtda baş vermə ehtimalı bir hadisənin ehtimalının və bütün digərlərinin şərti ehtimallarının hasilinə bərabərdir, hər bir sonrakı hadisənin ehtimalı isə bütün əvvəlki hadisələrin artıq baş verdiyi fərziyyəsi ilə hesablanır, yəni.

Misal 3.5. Lotereyada 20 bilet var, onlardan 5-i uduşdur. 3 bilet geri qaytarılmadan bir-birinin ardınca təsadüfi seçilir. Birinci, ikinci və üçüncü biletlərin qazanma ehtimalını müəyyənləşdirin.

Həll. Hadisə olsun A qalib bilet ilk seçiləcək ki,, hadisə IN– ikinci biletin qalib olacağını və nəhayət, İLƏ- üçüncü bilet qalib gəlir. Aydındır ki .

Hadisənin şərti ehtimalı IN bir şərtlə ki, hadisə A baş verdi, yəni. bərabər lotereyadan bir uduşlu bilet seçildi (19 bilet qalıb, onlardan 4-ü qalibdir).

Hadisənin şərti ehtimalı İLƏ bir şərtlə ki, hadisələr A Və IN baş verdi, yəni. bərabər olan iki uduşlu bilet seçildi .

Teorem 3.2-nin nəticəsi olaraq məhsulun ehtimalı bərabərdir

Qeyd etmək lazımdır ki, 3.5-ci məsələni klassik düstur və kombinatorik düsturlardan istifadə etməklə həll etmək olar:

.

Teorem 3.2 istənilən təsadüfi hadisələr üçün doğrudur A Və IN. Xüsusi halda hadisələr baş verdikdə A Və IN müstəqildirlər, aşağıdakı ifadə doğrudur.

Teorem 3.3 . İki uyğun olmayan hadisənin eyni vaxtda baş vermə ehtimalı A Və IN bu hadisələrin ehtimallarının hasilinə bərabərdir, yəni.

Sübut. Hadisələr A Və IN- müstəqil. 3.2 teoreminə əsasən (3.5) düsturunu nəzərə alaraq əldə edirik

Teorem sübut edilmişdir.

Deməli, 3.3 teoremində deyilir ki, müstəqil hadisələrin hasilinin ehtimalı (3.9) düsturu ilə tapılır. Bunun əksi də doğrudur.

Teorem 3.4.Əgər düstur (3.9) iki hadisə üçün doğrudursa, bu hadisələr müstəqildir.

Bir neçəsini sübutsuz təqdim edək. mühüm xassələri, müstəqil hadisələr üçün etibarlıdır.

1. Əgər hadisə IN asılı deyil A, sonra hadisə A asılı deyil IN.

2. Əgər hadisələr A Və IN– müstəqildir, sonra hadisələr müstəqildir A Və .

3. Əgər iki hadisə müstəqildirsə, onlara qarşı olan hadisələr də müstəqildir.

3.3 teoremini sonlu sayda hadisələrə ümumiləşdirmək olar. Ancaq bunu etməzdən əvvəl üç və ya daha çox hadisənin müstəqilliyi anlayışı üzərində daha ətraflı dayanmaq lazımdır.

Üç və ya daha çox hadisədən ibarət qrup üçün məcmuda ikili müstəqillik və müstəqillik anlayışı mövcuddur.

Hadisələr A 1 , A 2 , …, A n adlandırılır ikili müstəqil, bu hadisələrdən hər hansı ikisi müstəqildirsə.

Hadisələr A 1 , A 2 , …, A n adlandırılır cəmi müstəqil ( və ya sadəcə müstəqil), əgər onlar ikili müstəqildirsə və hər bir hadisə və bütün digərlərinin bütün mümkün məhsulları müstəqildirsə.

Məsələn, üç hadisə A 1 , A 2 , A Aşağıdakı hadisələr müstəqil olduqda, 3 kollektiv müstəqildir:

A 1 və A 2 , A 1 və A 3 , A 2 və A 3 ,

A 1 və A 2 A 3 , A 2 və A 1 A 3 , A 3 və A 1 A 2 .

Teorem 3.5 . Əgər hadisələr A 1 , A 2 , …, A n məcmu olaraq müstəqildirlər, onda onların eyni vaxtda baş vermə ehtimalı düsturla hesablanır:

Sübut. Düsturun üç hadisə üçün düzgün olduğunu göstərək. Əgər üçdən çox hadisə olarsa, onda düsturun etibarlılığı riyazi induksiya üsulu ilə sübut edilir.

Beləliklə, gəlin bunu göstərək. Hadisə teoreminin şərtlərinə görə A 1 , A 2 , A 3-ü birlikdə müstəqildir. Buna görə də, məsələn, iki hadisə müstəqildir A 1 A 2 və A 3. (3.9) düsturuna əsasən əldə edirik. Hadisənin vəziyyətinə görə A 1 və A 2 də müstəqildir. Birinci amilə (3.9) düsturu tətbiq edərək nəhayət əldə edirik.

Teorem sübut edilmişdir.

Qeyd etmək lazımdır ki, əgər hadisələr qoşa müstəqildirsə, deməli, onların məcmuda müstəqil olacağı nəticə vermir. Və əksinə, əgər hadisələr məcmu olaraq müstəqildirsə, o zaman, açıq-aydın, tərifinə görə, onlar qoşa müstəqil olacaqlar.

Cütlükdə müstəqil, lakin birlikdə asılı olan hadisələrə bir misal nəzərdən keçirək.

Misal 3.6. Qoy qutuda üzərində nömrələr yazılmış 4 eyni kart olsun:

Təsadüfi olaraq bir kartı seçir. Hadisə A o deməkdir ki, üzərində 1 rəqəmi olan kartı, hadisəni seçmisiniz IN seçilmiş kartın 2 nömrəli hadisə olduğunu güman edir İLƏ– sayı 3. Hadisələrin olub olmadığını öyrənin A, IN Və İLƏ ikili müstəqil və ya birgə müstəqil.

Həll. Hər bir hadisənin ehtimalı A, IN Və İLƏ klassik düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar (cəmi 4 kart var, onlardan ikisində müvafiq olaraq 1, 2, 3 nömrələri var): .

O hadisələri göstərək A, IN Və İLƏ ikili müstəqil. İstənilən iki hadisəni seçək, məsələn, A Və IN. Onların məhsulunun ehtimalı , çünki 1 və 2 rəqəmlərinin eyni vaxtda görünməsi dörd kartdan yalnız birində ola bilər.

Beləliklə, bərabərlik doğrudur . Teorem 3.4 hadisələri ilə A Və IN müstəqil. Eynilə hadisələrin müstəqilliyini də göstərə bilərik IN Və İLƏ, həmçinin hadisələr A Və İLƏ. İkili müstəqillik sübut edilmişdir.

Göstərək ki, bu hadisələr məcmu olaraq müstəqil deyil. Hər üç hadisənin eyni vaxtda baş vermə ehtimalı, yəni. hər üç rəqəmin görünüşü bərabərdir, çünki dörd kartdan yalnız birində hər üç nömrə var. Hadisənin ehtimallarının hasili bərabərdir. Beləliklə, , buna görə də məcmuda müstəqillik yoxdur. ■

Ehtimalların vurulması teoremindən və uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarının toplanması teoremindən bilavasitə uyğun gələn hadisələrin ehtimallarının toplanması teoremindən irəli gəlir.

\(\blacktrianglerright\) \(C\) hadisəsini yerinə yetirmək üçün hər iki birgə (eyni zamanda baş verə bilən) hadisələri \(A\) və \(B\) (\(C=\(A\)) yerinə yetirmək lazımdır. ) və \( B\)\) ), onda \(C\) hadisəsinin ehtimalı \(A\) və \(B\) hadisələrinin ehtimallarının hasilinə bərabərdir.

Qeyd edək ki, hadisələr bir-birinə uyğun gəlmirsə, onların eyni vaxtda baş vermə ehtimalı \(0\) -ə bərabərdir.

\(\blacktrianglerright\) Hər bir hadisə dairə ilə təmsil oluna bilər. Sonra hadisələr birgə olarsa, onda dairələr kəsişməlidir. Hadisənin baş vermə ehtimalı \(C\) eyni anda hər iki dairəyə daxil olma ehtimalıdır.

\(\blacktrianglerright\) Məsələn, zar atarkən \(C=\) ehtimalını tapın (rəqəm \(6\)).
\(C\) hadisəsi \(A=\) (cüt ədədin düşməsi) və \(B=\) (üçə bölünən ədədin düşməsi) kimi formalaşdırıla bilər.
Sonra \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

Tapşırıq 1 №3092

Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir

Mağazada iki brendin idman ayaqqabısı satılır: Dike və Ananas. Təsadüfi seçilmiş bir cüt idman ayaqqabısının Dike-dən olma ehtimalı \(0,6\) təşkil edir. Hər bir şirkət idman ayaqqabılarına adını yazmaqla səhv edə bilər. Dikenin adını səhv yazması ehtimalı \(0,05\) ; Ananasın adını səhv yazması ehtimalı \(0,025\) -dir. Təsadüfi olaraq alınmış bir cüt idman ayaqqabısının şirkət adının düzgün yazılması ehtimalını tapın.

Hadisə A: “bir cüt idman ayaqqabısı düzgün adla olacaq” B hadisələrinin cəminə bərabərdir: “bir cüt idman ayaqqabısı Dike-dan və düzgün adla olacaq” və C: “bir cüt idman ayaqqabısı Ananas və düzgün adla.”
B hadisəsinin ehtimalı “idman ayaqqabıları Dike-dən olacaq” və “Dike şirkətinin adı düzgün yazılmışdır” hadisələrinin ehtimallarının hasilinə bərabərdir: \ C hadisəsi üçün də eynilə: \ Beləliklə, \

Cavab: 0,96

Tapşırıq 2 №166

Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir

Timur ağ dama ilə oynayırsa, o zaman Vanyaya 0,72 ehtimalla qalib gəlir. Timur qara dama ilə oynayırsa, o zaman Vanyaya 0,63 ehtimalla qalib gəlir. Timur və Vanya iki oyun oynayır, ikinci oyunda dama rəngini dəyişirlər. Vanyanın hər iki dəfə qalib gəlməsi ehtimalını tapın.

Vanya ağ ilə \(0,37\) ehtimalla və qara ilə \(0,28\) ehtimalla qalib gəlir. "Vanya Ağ ilə iki oyundan qalib gəldi"\(\ \) və "Vanya Qara ilə iki oyundan qalib gəldi"\(\ \) hadisələri müstəqildir, onda onların eyni vaxtda baş vermə ehtimalı \

Cavab: 0.1036

Tapşırıq 3 №172

Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir

Muzeyin girişi iki mühafizəçi tərəfindən qorunur. Onlardan böyüyünün telsizi unutma ehtimalı \(0,2\) , ən kiçiyinin isə telsizi unutma ehtimalı \(0,1\) dir. Onların bir dənə də radiosunun olmama ehtimalı nədir?

Baxılan hadisələr müstəqil olduğundan onların eyni vaxtda baş vermə ehtimalı ehtimallarının hasilinə bərabərdir. Onda tələb olunan ehtimal \-ə bərabərdir.

Cavab: 0.02

Tapşırıq 4 №167

Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir

1 metr hündürlükdən tullanan Kostya, ehtimalla ayağını sındırır \(0,05\) . 1 metr hündürlükdən tullanan Vanya ehtimalla ayağını sındırır \(0,01\) . 1 metr hündürlükdən tullanan Anton ehtimalla ayağını sındırır \(0,01\) . Kostya, Vanya və Anton eyni vaxtda 1 metr hündürlükdən tullanırlar. Yalnız Kostyanın ayağını sındırma ehtimalı nədir? Cavabınızı ən yaxın minliyə yuvarlayın.

Hadisələr “1 metr hündürlükdən tullanarkən Kostya ayağını sındırdı”\(,\ \) “1 metr hündürlükdən tullanarkən Vanya ayağını sındırmadı”\(\ \) və “birdən atlayarkən” 1 metr hündürlükdə, Anton ayağını sındırmadı"\( \ \) müstəqildir, buna görə də onların eyni vaxtda baş vermə ehtimalı ehtimallarının hasilinə bərabərdir: \ Yuvarlaqlaşdırdıqdan sonra nəhayət \(0.049\) alırıq.

Cavab: 0,049

Tapşırıq 5 №170

Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir

Maksim və Vanya boulinq oynamağa qərar verdilər. Maksim haqlı olaraq orta hesabla hər səkkiz atışda bir zərbə aldığını təxmin etdi. Vanya haqlı olaraq orta hesabla hər beş atışda bir zərbə aldığını təxmin etdi. Maksim və Vanya hərəyə bir atış edir (nəticədən asılı olmayaraq). Onların arasında tətillərin olmama ehtimalı nədir?

Baxılan hadisələr müstəqil olduğundan onların eyni vaxtda baş vermə ehtimalı ehtimallarının hasilinə bərabərdir. Bu halda, Maksimin tətil almama ehtimalı bərabərdir \ Vanyanın zərbə almama ehtimalı \(1 - 0,2 = 0,8\) . Onda tələb olunan ehtimal bərabərdir \[\dfrac(7)(8)\cdot 0,8 = 0,7.\]

Cavab: 0.7

Tapşırıq 6 №1646

Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir

Anton və Kostya stolüstü tennis oynayırlar. Kostyanın imza zərbəsi ilə masaya dəymə ehtimalı \(0,9\) . Kostyanın imza zərbəsi endirməyə çalışdığı mitinqdə Antonun qalib gəlməsi ehtimalı \(0,3\) təşkil edir. Kostya imza zərbəsi ilə stolu vurmağa çalışdı. Kostyanın həqiqətən öz imza zərbəsi ilə vurması və sonda bu mitinqdə qalib gəlməsi ehtimalı nədir?

Baxılan hadisələr müstəqil olduğundan onların eyni vaxtda baş vermə ehtimalı ehtimallarının hasilinə bərabərdir. Üstəlik, Antonun Kostyanın imza zərbəsini endirməyə çalışdığı mitinqdə qalib gəlməməsi ehtimalı \(1 - 0,3 = 0,7\) -ə bərabərdir. Onda tələb olunan ehtimal \-ə bərabərdir.

üçün tapşırıqlar da olacaq müstəqil qərar, cavablarını görə bilərsiniz.

Problemin ümumi ifadəsi: bəzi hadisələrin ehtimalları məlumdur və bu hadisələrlə əlaqəli olan digər hadisələrin ehtimallarını hesablamaq lazımdır. Bu məsələlərdə ehtimalların toplanması və vurulması kimi ehtimallarla əməliyyatlara ehtiyac var.

Məsələn, ov edərkən iki atəş açılır. Hadisə A- ilk atışla ördək vurmaq, hadisə B- ikinci atışdan zərbə. Sonra hadisələrin cəmi A Və B- birinci və ya ikinci atışla və ya iki atışla vurmaq.

Fərqli tipli problemlər. Bir neçə hadisə verilir, məsələn, bir sikkə üç dəfə atılır. Ya gerbin üç dəfə görünməsi, ya da gerbin ən azı bir dəfə görünməsi ehtimalını tapmaq lazımdır. Bu, ehtimalların çoxaldılması problemidir.

Uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarının əlavə edilməsi

Ehtimalların əlavə edilməsi təsadüfi hadisələrin birləşməsinin və ya məntiqi cəminin ehtimalını hesablamaq lazım olduqda istifadə olunur.

Hadisələrin cəmi A Və B işarələmək A + B və ya A ∪ B. İki hadisənin cəmi hadisələrdən ən azı biri baş verdikdə baş verən hadisədir. Bu o deməkdir ki A + B- yalnız və yalnız müşahidə zamanı baş vermiş hadisədir A və ya hadisə B, və ya eyni vaxtda A Və B.

Əgər hadisələr A Və B qarşılıqlı uyğunsuzdur və onların ehtimalları verilir, onda ehtimalların əlavə edilməsi ilə bu hadisələrdən birinin bir sınaq nəticəsində baş verməsi ehtimalı hesablanır.

Ehtimal toplama teoremi. Bir-birinə uyğun gəlməyən iki hadisədən birinin baş vermə ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir:

Məsələn, ov edərkən iki atəş açılır. Hadisə A– ilk atışla ördək vurmaq, hadisə IN– ikinci atışdan zərbə, hadisə ( A+ IN) – birinci və ya ikinci atışdan və ya iki atışdan zərbə. Belə ki, əgər iki hadisə A Və IN- uyğun olmayan hadisələr, onda A+ IN– bu hadisələrdən ən azı birinin və ya iki hadisənin baş verməsi.

Misal 1. Bir qutuda eyni ölçülü 30 top var: 10 qırmızı, 5 mavi və 15 ağ. Rəngli (ağ deyil) topun baxmadan götürülməsi ehtimalını hesablayın.

Həll. Hadisəni fərz edək A- “qırmızı top alınır” və hadisə IN- "Mavi top alındı." Sonra hadisə "rəngli (ağ deyil) top alınır". Hadisənin baş vermə ehtimalını tapaq A:

və hadisələr IN:

Hadisələr A Və IN- bir-birinə uyğun gəlmir, çünki bir top alınırsa, müxtəlif rəngli topları götürmək mümkün deyil. Beləliklə, ehtimalların əlavə edilməsindən istifadə edirik:

Uyğun olmayan bir neçə hadisə üçün ehtimalların toplanması teoremi.Əgər hadisələr hadisələrin tam toplusunu təşkil edirsə, onda onların ehtimallarının cəmi 1-ə bərabərdir:

Əks hadisələrin ehtimallarının cəmi də 1-ə bərabərdir:

Qarşılıqlı hadisələr hadisələrin tam toplusunu təşkil edir və hadisələrin tam toplusunun ehtimalı 1-dir.

Əks hadisələrin ehtimalları adətən kiçik hərflərlə göstərilir səh Və q. Xüsusilə,

əks hadisələrin ehtimalı üçün aşağıdakı düsturlardan əmələ gəlir:

Misal 2. Atıcılıq poliqonunda hədəf 3 zonaya bölünür. Birinci zonada müəyyən atıcının hədəfə atəş açma ehtimalı 0,15, ikinci zonada – 0,23, üçüncü zonada – 0,17-dir. Atıcının hədəfi vurma ehtimalını və atıcının hədəfi qaçırma ehtimalını tapın.

Həlli: Atıcının hədəfi vurma ehtimalını tapın:

Atıcının hədəfi qaçırma ehtimalını tapaq:

Ehtimalların həm toplama, həm də vurma üsullarından istifadə etməli olduğunuz daha mürəkkəb məsələlər üçün "Ehtimalların toplanması və vurulması ilə bağlı müxtəlif məsələlər" səhifəsinə baxın.

Qarşılıqlı eyni vaxtda baş verən hadisələrin ehtimallarının toplanması

Bir hadisənin baş verməsi eyni müşahidədə ikinci hadisənin baş verməsini istisna etmirsə, iki təsadüfi hadisə birgə adlanır. Məsələn, bir zar atarkən hadisə A Sayı 4 həyata yayılmış hesab edilir və hadisə IN– cüt ədədin yuvarlanması. 4 cüt ədəd olduğundan bu iki hadisə uyğun gəlir. Praktikada qarşılıqlı eyni vaxtda baş verən hadisələrdən birinin baş vermə ehtimallarının hesablanması problemləri mövcuddur.

Birgə hadisələr üçün ehtimal toplama teoremi. Birgə hadisələrdən birinin baş verməsi ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir, ondan hər iki hadisənin ümumi baş vermə ehtimalı, yəni ehtimalların hasili çıxarılır. Birgə hadisələrin ehtimalı düsturu aşağıdakı formaya malikdir:

Hadisələrdən bəri A Və IN uyğun, hadisə A+ INüç mümkün hadisədən biri baş verdikdə baş verir: və ya AB. Uyğun olmayan hadisələrin toplanması teoreminə əsasən aşağıdakı kimi hesablayırıq:

Hadisə A iki uyğunsuz hadisədən biri baş verərsə baş verəcək: və ya AB. Bununla belə, bir neçə uyğun olmayan hadisədən bir hadisənin baş vermə ehtimalı bütün bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir:

Eynilə:

(6) və (7) ifadələrini (5) ifadəsində əvəz edərək, birgə hadisələrin ehtimal düsturunu alırıq:

(8) düsturundan istifadə edərkən o hadisələr nəzərə alınmalıdır A Və IN ola bilər:

• qarşılıqlı müstəqil;
• bir-birindən asılıdır.

Qarşılıqlı müstəqil hadisələr üçün ehtimal düsturu:

Qarşılıqlı asılı hadisələr üçün ehtimal düsturu:

Əgər hadisələr A Və IN uyğunsuzdur, onda onların təsadüfü qeyri-mümkün haldır və beləliklə, P(AB) = 0. Uyğun olmayan hadisələr üçün dördüncü ehtimal düsturu belədir:

Misal 3. Avtomobil yarışlarında birinci maşını sürəndə qalib gəlmək şansınız daha yüksəkdir, ikinci maşını sürəndə isə. Tapın:

• hər iki avtomobilin qalib gəlməsi ehtimalı;
• ən azı bir avtomobilin qalib gəlməsi ehtimalı;

1) Birinci maşının qalib gəlməsi ehtimalı ikinci maşının nəticəsindən asılı deyil, ona görə də hadisələr A(ilk avtomobil qalib gəlir) və IN(ikinci avtomobil qalib gələcək) – müstəqil hadisələr. Hər iki maşının qalib gəlmə ehtimalını tapaq:

2) İki avtomobildən birinin qalib gəlməsi ehtimalını tapın:

Ehtimalların həm toplama, həm də vurma üsullarından istifadə etməli olduğunuz daha mürəkkəb məsələlər üçün "Ehtimalların toplanması və vurulması ilə bağlı müxtəlif məsələlər" səhifəsinə baxın.

Ehtimalların toplanması məsələsini özünüz həll edin, sonra həllinə baxın

Misal 4.İki sikkə atılır. Hadisə A- birinci sikkədə gerbin itməsi. Hadisə B- ikinci sikkənin üzərində gerbin itməsi. Hadisənin baş vermə ehtimalını tapın C = A + B .

Çoxalma Ehtimalları

Ehtimalların çoxaldılması hadisələrin məntiqi hasilinin ehtimalının hesablanması lazım olduqda istifadə olunur.

Bu halda təsadüfi hadisələr müstəqil olmalıdır. Bir hadisənin baş verməsi ikinci hadisənin baş vermə ehtimalına təsir etmirsə, iki hadisənin qarşılıqlı müstəqil olduğu deyilir.

Müstəqil hadisələr üçün ehtimal vurma teoremi.İki müstəqil hadisənin eyni vaxtda baş vermə ehtimalı A Və IN bu hadisələrin ehtimallarının hasilinə bərabərdir və düsturla hesablanır:

Misal 5. Sikkə ardıcıl üç dəfə atılır. Gerbin hər üç dəfə görünməsi ehtimalını tapın.

Həll. Gerbin sikkənin birinci, ikinci və üçüncü dəfə atılmasında görünməsi ehtimalı. Gerbin hər üç dəfə görünməsi ehtimalını tapaq:

Ehtimalların çoxaldılması məsələlərini özünüz həll edin və sonra həllinə baxın

Misal 6. Doqquz yeni tennis topu qutusu var. Oynamaq üçün üç top alınır və oyundan sonra geri qoyulur. Topları seçərkən oynanmış toplar oynanmamış toplardan fərqlənmir. Üç oyundan sonra qutuda oynanmamış topların qalmaması ehtimalı nədir?

Misal 7. Kəsilmiş əlifba kartlarında rus əlifbasının 32 hərfi yazılıb. Beş kart bir-birinin ardınca təsadüfi çəkilir və görünüş sırasına görə masaya qoyulur. Hərflərin “son” sözünü əmələ gətirmə ehtimalını tapın.

Misal 8. Kartların tam göyərtəsindən (52 vərəq) bir anda dörd kart çıxarılır. Bu kartların dördünün də fərqli kostyumda olma ehtimalını tapın.

Misal 9. Nümunə 8-də olduğu kimi eyni tapşırıq, lakin çıxarıldıqdan sonra hər bir kart göyərtəyə qaytarılır.

Ehtimalların həm toplanması, həm də vurulması, eləcə də bir neçə hadisənin hasilinin hesablanması lazım olan daha mürəkkəb məsələlərlə "Ehtimalların toplanması və vurulması ilə bağlı müxtəlif məsələlər" səhifəsində tanış olmaq olar.

Qarşılıqlı müstəqil hadisələrdən ən azı birinin baş vermə ehtimalını 1-dən əks hadisələrin ehtimallarının hasilini çıxmaqla, yəni düsturdan istifadə etməklə hesablamaq olar.

Ehtimal toplama və vurma teoremləri.
Asılı və müstəqil hadisələr

Başlıq qorxulu görünür, amma əslində hər şey çox sadədir. Bu dərsdə biz hadisə ehtimallarının toplanması və vurulması teoremləri ilə tanış olacağıq, həmçinin tipik problemləri təhlil edəcəyik. ehtimalın klassik təyini məsələsi mütləq görüşəcək və ya çox güman ki, yolunuzda artıq görüşmüsünüz. Bu məqalədəki materialları effektiv şəkildə öyrənmək üçün əsas şərtləri bilməli və başa düşməlisiniz ehtimal nəzəriyyəsi və sadə arifmetik əməliyyatları yerinə yetirməyi bacarmalıdır. Gördüyünüz kimi, çox az şey tələb olunur və buna görə də aktivdə bir yağ əlavəsi demək olar ki, təmin edilir. Ancaq digər tərəfdən, praktiki nümunələrə səthi münasibətdən bir daha xəbərdarlıq edirəm - incəliklər də çoxdur. Uğurlar:

Uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarını toplamaq üçün teorem: ikidən birinin baş vermə ehtimalı uyğunsuz hadisələr və ya (fərqi yoxdur), bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir:

Bənzər bir fakt daha çox sayda uyğun olmayan hadisələrə aiddir, məsələn, üç uyğunsuz hadisə və:

Teorem yuxudur =) Bununla belə, belə bir yuxu sübuta tabedir, məsələn, burada tapıla bilər. dərs kitabı V.E. Gmurman.

Yeni, indiyədək məlum olmayan anlayışlarla tanış olaq:

Asılı və müstəqil hadisələr

Müstəqil tədbirlərdən başlayaq. Hadisələr müstəqil , baş vermə ehtimalı olduqda onlardan hər hansı biri asılı deyil nəzərdən keçirilən topluluğun digər hadisələrinin görünüşü/görünməməsi haqqında (bütün mümkün birləşmələrdə). ...Amma nə üçün ümumi ifadələrlə narahat olun:

Müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması üçün teorem: müstəqil hadisələrin birgə baş vermə ehtimalı və bu hadisələrin ehtimallarının hasilinə bərabərdir:

İki sikkənin atıldığı 1-ci dərsin ən sadə nümunəsinə və aşağıdakı hadisələrə qayıdaq:

– 1-ci sikkədə başlar görünəcək;
– başlar 2-ci sikkədə görünəcək.

Hadisənin baş vermə ehtimalını tapaq (başlar 1-ci sikkədə görünəcək Və 2-ci sikkədə qartal görünəcək - oxumağı xatırla hadisələrin məhsuludur!) . Bir sikkə üzərində başların olma ehtimalı heç bir şəkildə başqa bir sikkənin atılması nəticəsindən asılı deyil, buna görə də hadisələr müstəqildir.

Eynilə:
– 1-ci sikkənin baş vurma ehtimalı Və 2-ci quyruqlarda;
– 1-ci sikkədə başların görünməsi ehtimalı Və 2-ci quyruqlarda;
– 1-ci sikkənin başları göstərmə ehtimalı Və 2-ci qartalda.

Hadisələrin formalaşmasına diqqət yetirin tam qrup və onların ehtimallarının cəmi birə bərabərdir: .

Vurma teoremi açıq-aydın daha çox sayda müstəqil hadisələrə şamil edilir, məsələn, əgər hadisələr müstəqildirsə, onda onların birgə baş vermə ehtimalı bərabərdir: . Xüsusi nümunələrlə məşq edək:

Problem 3

Üç qutunun hər biri 10 hissədən ibarətdir. Birinci qutuda 8 standart hissə var, ikincisi – 7, üçüncüsü – 9. Hər qutudan bir hissə təsadüfi olaraq çıxarılır. Bütün hissələrin standart olma ehtimalını tapın.

Həll: İstənilən qutudan standart və ya qeyri-standart hissənin çıxarılması ehtimalı digər qutulardan hansı hissələrin götürülməsindən asılı deyildir, ona görə də məsələ müstəqil hadisələrlə bağlıdır. Aşağıdakı müstəqil hadisələri nəzərdən keçirin:

– 1-ci qutudan standart hissə çıxarılır;
– 2-ci qutudan standart hissə çıxarıldı;
– 3-cü qutudan standart hissə çıxarılır.

Klassik tərifə görə:
uyğun ehtimallardır.

Bizi maraqlandıran hadisə (standart hissə 1-ci qutudan çıxarılacaq Və 2-ci standartdan Və 3-cü standartdan) məhsulla ifadə olunur.

Müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması teoreminə görə:

– üç qutudan bir standart hissənin çıxarılması ehtimalı.

Cavab verin: 0,504

Qutularla canlandırıcı məşqlərdən sonra bizi daha az maraqlı qablar gözləyir:

Problem 4

Üç qabda 6 ağ və 4 qara top var. Hər qutudan təsadüfi bir top çəkilir. Ehtimalını tapın: a) hər üç topun ağ olması; b) hər üç top eyni rəngdə olacaq.

Alınan məlumatlara əsasən, "olmaq" nöqtəsi ilə necə davranacağınızı təxmin edin ;-) Həllin təxmini nümunəsi bütün hadisələrin ətraflı təsviri ilə akademik üslubda hazırlanmışdır.

Asılı Hadisələr. Tədbir adlanır asılı , əgər onun ehtimalı asılıdır artıq baş vermiş bir və ya bir neçə hadisədən. Nümunələr üçün uzağa getməyə ehtiyac yoxdur - sadəcə ən yaxın mağazaya gedin:

– sabah saat 19.00 təzə çörək satışda olacaq.

Bu hadisənin baş vermə ehtimalı bir çox başqa hadisələrdən asılıdır: təzə çörəyin sabah gətirilib-keçirilməyəcəyi, axşam saat 19:00-a qədər satılıb-satılmaması və s. Müxtəlif şərtlərdən asılı olaraq, bu hadisə etibarlı və ya qeyri-mümkün ola bilər. Hadisə belədir asılı.

Çörək... və romalıların tələb etdiyi kimi, sirklər:

– imtahanda tələbə sadə bilet alacaq.

Əgər siz ilk deyilsinizsə, o zaman hadisə asılı olacaq, çünki onun ehtimalı sinif yoldaşları tərəfindən artıq hansı biletlərin çəkilməsindən asılı olacaq.

Hadisələrin asılılığını/müstəqilliyini necə müəyyən etmək olar?

Bəzən bu, problem bəyanatında birbaşa ifadə edilir, lakin çox vaxt müstəqil təhlil aparmalısınız. Burada birmənalı göstəriş yoxdur və hadisələrin asılılığı və ya müstəqilliyi faktı təbii məntiqi mülahizədən irəli gəlir.

Hər şeyi bir yığına yığmamaq üçün, asılı hadisələr üçün tapşırıqlar Aşağıdakı dərsi vurğulayacağam, lakin hələlik praktikada ən çox yayılmış teoremlər toplusunu nəzərdən keçirəcəyik:

Uyğun olmayan ehtimallar üçün toplama teoremlərinə aid məsələlər
və müstəqil hadisələrin ehtimallarının çoxaldılması

Bu tandem, mənim subyektiv qiymətləndirməmə görə, nəzərdən keçirilən mövzu üzrə tapşırıqların təxminən 80% -də işləyir. Hitlər və ehtimal nəzəriyyəsinin əsl klassikası:

Problem 5

İki atıcı hər biri hədəfə bir atəş açıb. Birinci atıcı üçün vuruş ehtimalı 0,8, ikinci üçün - 0,6-dır. Ehtimalını tapın:

a) yalnız bir atıcı hədəfi vuracaq;
b) atıcılardan ən azı biri hədəfi vuracaq.

Həll: Bir atıcının vurma/qaçma nisbəti digər atıcının performansından açıq şəkildə asılı deyil.

Hadisələrə nəzər salaq:
– 1-ci atıcı hədəfi vuracaq;
– 2-ci atıcı hədəfi vuracaq.

Şərtlə: .

Qarşılıqlı hadisələrin ehtimallarını tapaq - müvafiq oxların qaçıracağı:

a) Hadisəni nəzərdən keçirin: – yalnız bir atıcı hədəfi vuracaq. Bu hadisə iki uyğun olmayan nəticədən ibarətdir:

1-ci atıcı vuracaq Və 2-cisi qaçacaq
və ya
Birincisi darıxacaq Və 2-cisi vuracaq.

Dil üzərində hadisə cəbri bu fakt aşağıdakı düsturla yazılacaq:

Əvvəlcə uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarını toplamaq üçün teoremdən, sonra müstəqil hadisələrin ehtimallarını çoxaltmaq üçün teoremdən istifadə edirik:

– yalnız bir vuruşun olma ehtimalı.

b) Hadisəni nəzərdən keçirin: – atıcılardan ən azı biri hədəfi vurur.

Əvvəla, GƏLİN DÜŞÜNƏK – “ƏN AZ BİRİ” şərti nə deməkdir? Bu halda, bu o deməkdir ki, ya 1-ci atıcı vuracaq (2-ci qaçacaq) və ya 2-ci (1-ci buraxılacaq) və ya hər iki atıcı bir anda - cəmi 3 uyğunsuz nəticə.

Birinci üsul: əvvəlki nöqtənin hazır ehtimalını nəzərə alaraq, hadisəni aşağıdakı uyğun olmayan hadisələrin cəmi kimi təqdim etmək rahatdır:

kimsə ora çatacaq (növbədə 2 uyğun olmayan nəticədən ibarət hadisə) və ya
Hər iki ox dəyərsə, bu hadisəni hərflə işarə edirik.

Beləliklə:

Müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması teoreminə görə:
– 1-ci atıcının vurma ehtimalı Və 2-ci atıcı vuracaq.

Uyğun olmayan hadisələrin ehtimallarının toplanması teoreminə görə:
– hədəfə ən azı bir zərbə vurma ehtimalı.

İkinci üsul: Əks hadisəni nəzərdən keçirin: – hər iki atıcı qaçacaq.

Müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması teoreminə görə:

Nəticə olaraq:

Xüsusi diqqətİkinci üsula diqqət yetirin - ümumiyyətlə, daha rasionaldır.

Bundan əlavə, yuxarıda qeyd olunmayan birgə hadisələrin toplanması teoreminə əsaslanan alternativ, üçüncü həll yolu var.

! Əgər materialla ilk dəfə tanış olursunuzsa, çaşqınlığın qarşısını almaq üçün növbəti abzasa keçmək daha yaxşıdır.

Üçüncü üsul : hadisələr uyğundur, yəni onların cəmi “ən azı bir atıcı hədəfi vuracaq” hadisəsini ifadə edir (bax. hadisələrin cəbri). By birgə hadisələrin ehtimallarının toplanması teoremi və müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması teoremi:

Gəlin yoxlayaq: hadisələr və (müvafiq olaraq 0, 1 və 2 vuruş) tam qrup təşkil edir, buna görə də onların ehtimallarının cəmi birinə bərabər olmalıdır:
, yoxlanılması lazım olan şeydi.

Cavab verin:

Ehtimal nəzəriyyəsinin hərtərəfli öyrənilməsi ilə siz militarist məzmunlu onlarla problemlə qarşılaşacaqsınız və xarakterik olaraq bundan sonra heç kimi vurmaq istəməyəcəksiniz - problemlər demək olar ki, bir hədiyyədir. Niyə şablonu da sadələşdirməyək? Girişi qısaltaq:

Həll: şərtlə: , müvafiq atıcıları vurma ehtimalıdır. Sonra qaçırma ehtimalları:

a) Uyğun olmayan ehtimalların toplanması və müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması teoremlərinə görə:
– yalnız bir atıcının hədəfi vurma ehtimalı.

b) Müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması teoreminə görə:
– hər iki atıcının qaçırma ehtimalı.

Sonra: atıcılardan ən azı birinin hədəfi vurma ehtimalıdır.

Cavab verin:

Praktikada hər hansı bir dizayn variantından istifadə edə bilərsiniz. Əlbəttə ki, daha tez-tez onlar qısa yolu seçirlər, lakin 1-ci üsulu unutmamalıyıq - daha uzun olsa da, daha mənalıdır - daha aydındır, nə, niyə və niyə toplayır və çoxaldır. Bəzi hallarda, yalnız bəzi hadisələri göstərmək üçün böyük hərflərdən istifadə etmək əlverişli olduqda, hibrid üslub uyğun gəlir.

Müstəqil həll üçün oxşar vəzifələr:

Problem 6

Yanğın siqnalı vermək üçün iki müstəqil işləyən sensor quraşdırılmışdır. Yanğın zamanı sensorun işləmə ehtimalları birinci və ikinci sensorlar üçün müvafiq olaraq 0,5 və 0,7-dir. Yanğın zamanı baş vermə ehtimalını tapın:

a) hər iki sensor uğursuz olacaq;
b) hər iki sensor işləyəcək.
c) istifadə tam qrup təşkil edən hadisələrin ehtimallarını toplamaq üçün teorem, yanğında yalnız bir sensorun işləmə ehtimalını tapın. Bu ehtimalı birbaşa hesablayaraq nəticəni yoxlayın (toplama və vurma teoremlərindən istifadə etməklə).

Burada cihazların işləməsinin müstəqilliyi birbaşa vəziyyətdə ifadə edilir ki, bu da, yeri gəlmişkən, vacib bir aydınlaşdırmadır. Nümunə həlli akademik üslubda hazırlanmışdır.

Bənzər bir məsələdə eyni ehtimallar, məsələn, 0,9 və 0,9 verilsə nə olar? Tam olaraq eyni qərar verməlisiniz! (bu, əslində, nümunədə iki sikkə ilə nümayiş etdirilmişdir)

Problem 7

Birinci atıcının bir atışla hədəfi vurma ehtimalı 0,8-dir. Birinci və ikinci atıcıların hər birinə bir atəş açdıqdan sonra hədəfin vurulmaması ehtimalı 0,08-dir. İkinci atıcının bir atışla hədəfi vurma ehtimalı neçədir?

Və bu, qısa şəkildə hazırlanmış kiçik bir tapmacadır. Şərti daha lakonik şəkildə yenidən formalaşdırmaq olar, amma mən orijinalı təkrarlamayacağam - praktikada mən daha təmtəraqlı uydurmalara getməliyəm.

Onunla tanış olun - o sizin üçün çoxlu təfərrüatlar planlaşdırandır =):

Problem 8

Bir işçi üç maşın işlədir. Növbə zamanı birinci maşının tənzimləmə tələb etməsi ehtimalı 0,3, ikincisi - 0,75, üçüncüsü - 0,4-dür. Növbə zamanı baş vermə ehtimalını tapın:

a) bütün maşınlar tənzimləmə tələb edəcək;
b) yalnız bir maşın tənzimləmə tələb edəcək;
c) ən azı bir maşın düzəliş tələb edəcək.

Həll: şərt tək texnoloji proses haqqında heç nə demədiyi üçün hər bir maşının işləməsi digər maşınların işindən asılı olmayaraq nəzərə alınmalıdır.

5-ci məsələyə bənzətməklə, burada müvafiq maşınların növbə zamanı düzəlişlər tələb edəcəyi hadisələri nəzərə almaq, ehtimalları yazmaq, əks hadisələrin ehtimallarını tapmaq və s. Ancaq üç obyektlə, mən həqiqətən tapşırığı belə formatlaşdırmaq istəmirəm - bu, uzun və yorucu olacaq. Buna görə də, burada "sürətli" üslubdan istifadə etmək nəzərəçarpacaq dərəcədə daha sərfəlidir:

Şərtə görə: – növbə zamanı müvafiq maşınların sazlama tələb etmə ehtimalı. Onda onların diqqət tələb etməyəcəyi ehtimalları:

Oxuculardan biri burada gözəl bir yazı səhvi tapdı, hətta onu düzəltməyəcəm =)

a) Müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması teoreminə görə:
– növbə zamanı hər üç maşının düzəliş tələb etməsi ehtimalı.

b) “Növbə zamanı yalnız bir maşın düzəliş tələb edəcək” hadisəsi üç uyğun olmayan nəticədən ibarətdir:

1) 1-ci maşın tələb edəcək diqqət Və 2ci maşın tələb etməyəcək Və 3 cü maşın tələb etməyəcək
və ya:
2) 1-ci maşın tələb etməyəcək diqqət Və 2ci maşın tələb edəcək Və 3 cü maşın tələb etməyəcək
və ya:
3) 1-ci maşın tələb etməyəcək diqqət Və 2ci maşın tələb etməyəcək Və 3 cü maşın tələb edəcək.

Uyğun olmayan ehtimalların toplanması və müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması teoremlərinə görə:

– növbə zamanı yalnız bir maşının tənzimləmə tələb etməsi ehtimalı.

Məncə, indi siz ifadənin haradan gəldiyini başa düşməlisiniz

c) Maşınların tənzimləmə tələb etməyəcəyi ehtimalını, sonra isə əks hadisənin baş vermə ehtimalını hesablayaq:
– ən azı bir maşın tənzimləmə tələb edəcək.

Cavab verin:

"Ve" nöqtəsi də cəmi ilə həll edilə bilər, burada bir növbə zamanı yalnız iki maşının tənzimləmə tələb etməsi ehtimalı var. Bu hadisə öz növbəsində “ol” nöqtəsi ilə bənzətmə ilə təsvir olunan 3 uyğunsuz nəticəni ehtiva edir. Bərabərlikdən istifadə edərək bütün problemi yoxlamaq üçün ehtimalı özünüz tapmağa çalışın.

Problem 9

Üç tapançadan hədəfə atəş açılıb. Yalnız birinci silahdan bir atışla vurulma ehtimalı 0,7, ikincidən - 0,6, üçüncüdən - 0,8-dir. Ehtimalını tapın: 1) heç olmasa bir mərminin hədəfə dəyməsi; 2) hədəfə yalnız iki mərmi düşəcək; 3) hədəf ən azı iki dəfə vurulacaq.

Həll və cavab dərsin sonundadır.

Və yenə də təsadüflər haqqında: şərtə görə, ilkin ehtimalların iki və ya hətta bütün dəyərləri üst-üstə düşürsə (məsələn, 0,7, 0,7 və 0,7), onda eyni həll alqoritminə əməl edilməlidir.

Məqaləni yekunlaşdırmaq üçün başqa bir ümumi tapmacaya nəzər salaq:

Problem 10

Atıcı hər atışda eyni ehtimalla hədəfi vurur. Üç atışla ən azı bir vuruş ehtimalı 0,973 olarsa, bu ehtimal nədir?

Həll: ilə işarə edək – hər atışla hədəfi vurma ehtimalı.
və vasitəsilə – hər atışda qaçırılma ehtimalı.

Və hadisələri yazaq:
– 3 atışla atıcı hədəfi ən azı bir dəfə vuracaq;
– atıcı 3 dəfə qaçıracaq.

Şərtə görə, əks hadisənin baş vermə ehtimalı:

Digər tərəfdən, müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması teoreminə görə:

Beləliklə:

- hər atışda qaçırılma ehtimalı.

Nəticə olaraq:
– hər atışda vuruş ehtimalı.

Cavab verin: 0,7

Sadə və zərif.

Baxılan problemdə hədəfə yalnız bir, cəmi iki, üç vuruş ehtimalı ilə bağlı əlavə suallar verilə bilər. Həll sxemi əvvəlki iki nümunədə olduğu kimi eyni olacaq:

Bununla belə, əsas mahiyyətli fərq, burada olmasıdır təkrar müstəqil testlər ardıcıllıqla, bir-birindən asılı olmayaraq və eyni nəticə ehtimalı ilə həyata keçirilir.