A4 b4 qısaldılmış vurma düsturu. Qısaldılmış vurma düsturları – Bilik Hipermarketi

Qısaldılmış vurma düsturları.

Qısaldılmış vurma düsturlarının öyrənilməsi: cəminin kvadratı və iki ifadənin fərqinin kvadratı; iki ifadənin kvadratlarının fərqi; iki ifadənin cəminin kubu və fərqinin kubu; iki ifadənin kublarının cəmi və fərqləri.

Nümunələrin həlli zamanı qısaldılmış vurma düsturlarının tətbiqi.

İfadələri, çoxhədli çoxhədləri sadələşdirmək və çoxhədliləri standart formaya endirmək üçün qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə olunur. Qısaldılmış vurma düsturlarını əzbər bilmək lazımdır.

Qoy a, b R. Sonra:

1. İki ifadənin cəminin kvadratı bərabərdir birinci ifadənin kvadratı üstəgəl birinci ifadənin hasilinin iki dəfə və ikinci üstəgəl ikinci ifadənin kvadratı.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. İki ifadənin fərqinin kvadratı bərabərdir birinci ifadənin kvadratı mənfi birinci ifadənin hasilinin iki dəfə və ikinci üstəgəl ikinci ifadənin kvadratı.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Kvadratların fərqi iki ifadə bu ifadələrin fərqinin hasilinə və onların cəminə bərabərdir.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Cəmin kubu iki ifadə birinci ifadənin kubu üstəgəl birinci ifadənin kvadratının hasilinin üçqatına və ikinci üstəgəl birinci ifadənin hasilinin və ikincinin kvadratının üçqatına üstəgəl ikinci ifadənin kubuna bərabərdir.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Fərq kubu iki ifadə birinci ifadənin kubuna bərabərdir, birinci ifadənin kvadratının hasilini üç dəfə, ikinci üstəgəl birinci ifadənin hasilini və ikincinin kvadratını ikinci ifadənin kubunu çıxarmaqla üçqat.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kubların cəmi iki ifadə birinci və ikinci ifadələrin cəminin və bu ifadələrin fərqinin natamam kvadratının hasilinə bərabərdir.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Kubların fərqi iki ifadə birinci və ikinci ifadələrin fərqinin bu ifadələrin cəminin natamam kvadratına hasilinə bərabərdir.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Nümunələrin həlli zamanı qısaldılmış vurma düsturlarının tətbiqi.

Misal 1.

Hesablayın

a) İki ifadənin cəminin kvadratının düsturundan istifadə edərək, əldə edirik

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) İki ifadənin fərqinin kvadratının düsturundan istifadə edərək əldə edirik

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Misal 2.

Hesablayın

İki ifadənin kvadratlarının fərqi üçün düsturdan istifadə edərək, alırıq

Misal 3.

Bir ifadəni sadələşdirin

(x - y) 2 + (x + y) 2

İki ifadənin cəminin kvadratı və fərqinin kvadratı üçün düsturlardan istifadə edək

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Bir cədvəldə qısaldılmış vurma düsturları:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Cəbri çoxhədliləri sadələşdirmək üçün bunlar var qısaldılmış vurma düsturları. Onların çoxu yoxdur və onları yadda saxlamaq asandır, ancaq onları xatırlamaq lazımdır. Düsturlarda istifadə olunan qeydlər istənilən formada ola bilər (ədəd və ya çoxhədli).

İlk qısaldılmış vurma düsturu adlanır kvadratlar fərqi. Bu ədədlər arasındakı fərqə bərabər olan ikinci ədədin kvadratından bir ədədin kvadratını, habelə onların hasilini çıxarmaqdan ibarətdir.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Aydınlıq üçün ona nəzər salaq:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

İkinci düstur təxminəndir kvadratların cəmi. Belə səslənir ki, iki kəmiyyətin kvadratı birinci kəmiyyətin kvadratına bərabərdir, birinci kəmiyyətin ikinciyə vurulan ikiqat hasilinə əlavə olunur, ikinci kəmiyyətin kvadratı onlara əlavə olunur.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Bu düstur sayəsində kompüter texnologiyasından istifadə etmədən çoxlu sayda kvadratı hesablamaq daha asan olur.

Beləliklə, məsələn: 112-nin kvadratı bərabər olacaq
1) Əvvəlcə 112-ni kvadratları bizə tanış olan ədədlərə bölək.
112 = 100 + 12
2) Nəticəni kvadrat mötərizədə daxil edirik
112 2 = (100+12) 2
3) Düsturu tətbiq edərək, əldə edirik:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Üçüncü formula belədir kvadrat fərq. Hansı ki, kvadratda bir-birindən çıxarılan iki kəmiyyət bərabərdir, çünki birinci kəmiyyətin kvadratından birinci kəmiyyətin ikinciyə vurulan ikiqat məhsulunu çıxarırıq və onlara ikinci kəmiyyətin kvadratını əlavə edirik.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

burada (a - b) 2 bərabərdir (b - a) 2. Bunu sübut etmək üçün (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Qısaldılmış vurma üçün dördüncü düstur deyilir cəminin kubu. Belə səslənir: bir kubdakı iki cəm kəmiyyəti 1 kəmiyyətin kubuna bərabərdir, 1 kəmiyyətin üçqat məhsulunun kvadratına 2-ci kəmiyyətə vurulur, bunlara 1 kəmiyyətin üçqat məhsulu 2-nin kvadratına vurulur. kəmiyyətlər, üstəgəl ikinci kəmiyyət kub.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Beşincisi, artıq başa düşdüyünüz kimi, adlanır fərq kubu. Kəmiyyətlər arasındakı fərqləri tapan, çünki kubdakı birinci qeyddən kvadratdakı birinci qeydin üçqat məhsulunu ikinciyə vururuq, onlara birinci qeydin üçqat hasili ikincinin kvadratına vurulur. notation, minus kubdakı ikinci qeyd.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Altıncısı deyilir - kubların cəmi. Ortada ikiqat dəyər olmadığı üçün kubların cəmi iki toplayıcının fərqin qismən kvadratına vurulan məhsuluna bərabərdir.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Kubların cəmini söyləməyin başqa bir yolu məhsulu iki mötərizədə çağırmaqdır.

Yeddinci və sonuncu adlanır kubların fərqi(fərq kub düsturu ilə asanlıqla qarışdırıla bilər, lakin bunlar fərqli şeylərdir). Kubların fərqi iki kəmiyyət fərqinin cəminin qismən kvadratına vurulan hasilinə bərabərdir, çünki ortada ikiqat dəyər yoxdur.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

Beləliklə, qısaldılmış vurma üçün cəmi 7 düstur var, onlar bir-birinə bənzəyir və yadda saxlamaq asandır, yeganə vacib şey işarələrdə çaşqınlıq yaratmamaqdır. Onlar həmçinin tərs qaydada istifadə üçün nəzərdə tutulmuşdur və dərsliklərdə kifayət qədər belə tapşırıqlar var. Ehtiyatlı olun və hər şey sizin üçün işləyəcək.

Düsturlarla bağlı suallarınız varsa, şərhlərdə yazmağınızdan əmin olun. Sizə cavab verməkdən məmnun olarıq!

Əgər analıq məzuniyyətindəsinizsə, amma pul qazanmaq istəyirsinizsə. Sadəcə Oriflame ilə İnternet biznesi linkini izləyin. Orada hər şey çox təfərrüatı ilə yazılmış və göstərilmişdir. Maraqlı olacaq!

Çoxhədlinin çoxhədli ilə vurulması

! Kimə çoxhədlini çoxhədli ilə çoxaltmaq, bir çoxhədlinin hər bir üzvünü digər çoxhədlinin hər bir üzvünə vurmalı və nəticədə hasilləri əlavə etməlisiniz.

Ehtiyatlı ol! Hər terminin öz işarəsi var.

Qısaldılmış vurma düsturlarıÇoxhədlilər ümumiyyətlə çoxhədlərin çoxaldılmasının 7 (yeddi) ümumi halıdır.

Təriflər vəQısaldılmış vurma düsturları. Cədvəl

Cədvəl 2. Qısaldılmış vurma düsturlarının tərifləri (böyütmək üçün klikləyin)

Kvadratlar üçün üç qısaldılmış vurma düsturları

1. Kvadrat məbləğ üçün düstur.

Cəmin kvadratı iki ifadə birinci ifadənin kvadratına üstəgəl birinci ifadənin hasilinin iki qatına və ikinci üstəgəl ikinci ifadənin kvadratına bərabərdir.

Formulu daha yaxşı başa düşmək üçün əvvəlcə ifadəni sadələşdirək (cəmin kvadratının düsturunu genişləndirək)

İndi faktorlara ayıraq (düsturu yığcam)

Faktorinq zamanı hərəkətlərin ardıcıllığı:

hansı monomialların kvadrat olduğunu müəyyənləşdirin ( 5 Və 3m);
onların ikiqat məhsulunun düsturun ortasında olub olmadığını yoxlayın (2 5 3m = 30m);
cavabını yazın (5 + 3 m) 2.

2. Kvadrat fərq düsturu

Kvadrat fərq iki ifadə birinci ifadənin kvadratına birinci ifadənin hasilinin iki qatına və ikinci üstəgəl ikinci ifadənin kvadratına bərabərdir.

Əvvəlcə ifadəni sadələşdirək (düsturu genişləndirin):

Və sonra əksinə, onu faktorlara ayıraq (düsturu yıxaq):

3. Kvadrat fərq düsturu

İki ifadənin cəminin hasili və onların fərqi bu ifadələrin kvadratlarının fərqinə bərabərdir.

Düsturu yığışdıraq (vurmağı yerinə yetirin)

İndi düsturu genişləndirək (faktorla)

Kublar üçün dörd qısaldılmış vurma düsturları

4. İki ədədin cəminin kubunun düsturu

İki ifadənin cəminin kubu birinci ifadənin kubu üstəgəl birinci ifadənin kvadratının hasilinin üç qatına, ikincisi üstəgəl birinci ifadənin hasilinin və ikincinin kvadratının üçqatına və üstəgəl ifadənin kubuna bərabərdir. ikinci ifadə.

Düsturun "yıxılması" zamanı hərəkətlərin ardıcıllığı:

kub olan monomialları tapın (burada 4x Və 1 );
düsturla uyğunluq üçün orta şərtləri yoxlamaq;
cavabını yazın.

5. İki ədədin fərqinin kubunun düsturu

İki ifadənin fərqinin kubu birinci ifadənin kubundan birinci ifadənin kvadratının hasilinin üçqatına, ikincinin üstəgəl birinci ifadənin hasilinin üçqatına və ikincinin kvadratına minusun kubuna bərabərdir. ikinci ifadə.

6. Kubların cəmi üçün düstur

İki ifadənin kublarının cəmi birinci və ikinci ifadələrin cəminin və bu ifadələrin fərqinin natamam kvadratının hasilinə bərabərdir.

Və geri:

7. Kubların düsturunun fərqi

İki ifadənin kubları arasındakı fərq birinci və ikinci ifadələr arasındakı fərqin hasilinə və bu ifadələrin cəminin qismən kvadratına bərabərdir.

Qısaldılmış vurma düsturlarının tətbiqi. Cədvəl

Düsturlardan praktikada istifadə nümunəsi (şifahi hesablama).

Tapşırıq: Yan tərəfi a = 71 sm olan kvadratın sahəsini tapın.

Həll: S = a 2. Kvadrat cəmi düsturundan istifadə edərək, əldə etdik

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 sm 2

Cavab: 5041 sm 2

İfadə ( a + b) 2-dir cəminin kvadratı nömrələri a Və b. Dərəcənin tərifinə görə ifadə ( a + ba + b)(a + b). Beləliklə, cəminin kvadratından belə nəticəyə gələ bilərik

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

yəni iki ədədin cəminin kvadratı birinci ədədin kvadratına, üstəgəl birinci və ikincinin hasilinin iki qatına, üstəgəl ikinci ədədin kvadratına bərabərdir.

kvadrat cəmi düsturu

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Polinom a 2 + 2ab + b 2 kvadrat cəminin genişlənməsi adlanır.

Çünki a Və b hər hansı bir rəqəmi və ya ifadəni işarələyin, onda qayda bizə qısa yolda iki terminin cəmi hesab oluna bilən hər hansı ifadəni kvadrata çevirmək imkanı verir.

Misal. Kvadrat ifadə 3 x 2 + 2xy.

Həll:Əlavə çevrilmələr etməmək üçün cəminin kvadratı üçün düsturdan istifadə edəcəyik. Birinci nömrənin kvadratının cəmini, birinci nömrənin hasilinin iki qatını və ikinci və ikinci nömrənin kvadratını almalıyıq:

(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2

İndi monomialların vurma və eksponentasiya qaydalarından istifadə edərək nəticədə ifadəni sadələşdiririk:

(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2

Kvadrat fərq

İfadə ( a - b) 2-dir kvadrat fərq nömrələri a Və b. İfadə ( a - b) 2 iki çoxhədlinin hasilidir ( a - b)(a - b). Beləliklə, fərqin kvadratından belə nəticəyə gələ bilərik

(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,

yəni iki ədədin fərqinin kvadratı birinci ədədin kvadratına, birinci və ikincinin hasilinin iki qatına, üstəgəl ikinci ədədin kvadratına bərabərdir.

Qaydadan belə çıxır ki, cəmi kvadrat fərq düsturu, aralıq çevrilmələr olmadan belə görünəcək:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Polinom a 2 - 2ab + b 2 kvadrat fərq genişlənməsi adlanır.

Bu qayda iki ədədin fərqi kimi ifadə oluna bilən ifadələrin qısaldılmış kvadratlaşdırılmasına aiddir.

Misal. Fərqin kvadratını trinomial kimi təqdim edin:

(2a 2 - 5ab 2) 2

Həll: Kvadrat fərq düsturundan istifadə edərək tapırıq:

(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2

İndi ifadəni standart çoxhədliyə çevirək:

(2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4

Kvadratların fərqi

İfadə a 2 - b 2-dir kvadratlar fərqi nömrələri a Və b. İfadə a 2 - b 2, iki ədədin cəmini fərqinə vurmağın stenoqrafiya üsuludur:

(a + b)(a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,

yəni iki ədədin cəminin hasili və onların fərqi bu ədədlərin kvadratlarının fərqinə bərabərdir.

Qaydadan belə çıxır ki, cəmi kvadrat fərq düsturu belə görünür:

a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

Bu qayda təmsil oluna bilən ifadələrin qısaldılmış çoxalmasına aiddir: biri iki ədədin cəmi, digəri isə eyni ədədlərin fərqi kimi.

Misal. Məhsulu binomiala çevirin:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)

Həll:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9

Nümunədə kvadratların sağdan sola fərqi üçün düstur tətbiq etdik, yəni bizə düsturun sağ tərəfi verildi və onu sola çevirdik:

(a + b)(a - b) = a 2 - b 2

Praktikada müzakirə olunan hər üç düstur vəziyyətdən asılı olaraq həm soldan sağa, həm də sağdan sola tətbiq edilir.

Cəbr kursunda öyrənilən ilk mövzulardan biri qısaldılmış vurma düsturlarıdır. 7-ci sinifdə onlar ən sadə situasiyalarda istifadə olunur, burada ifadədəki düsturlardan birini tanımaq və çoxhədli faktorla və ya əksinə, cəm və ya fərqi tez kvadrat və ya kublara ayırmaq lazımdır. Gələcəkdə FSU bərabərsizlikləri və tənlikləri tez həll etmək və hətta bəzi ədədi ifadələri kalkulyator olmadan hesablamaq üçün istifadə olunur.

Düsturların siyahısı nə kimi görünür?

Mötərizədə çoxhədliləri sürətlə çoxaltmağa imkan verən 7 əsas düstur var.

Bəzən bu siyahıya təqdim olunan şəxsiyyətlərdən irəli gələn və formaya malik olan dördüncü dərəcə üçün genişləndirmə də daxildir:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Kvadratların fərqi istisna olmaqla, bütün bərabərliklərin bir cütü (cəm - fərq) var. Kvadratların cəminin düsturu verilmir.

Qalan bərabərlikləri yadda saxlamaq asandır:

Yadda saxlamaq lazımdır ki, FSU-lar istənilən halda və istənilən dəyər üçün işləyir a Və b: bunlar ixtiyari ədədlər və ya tam ifadələr ola bilər.

Düsturdakı müəyyən bir terminin qarşısında hansı işarənin olduğunu birdən xatırlamadığınız bir vəziyyətdə, mötərizələri aça və düsturdan istifadə etdikdən sonra eyni nəticəni əldə edə bilərsiniz. Məsələn, FSU fərq kubunu tətbiq edərkən problem yaranarsa, orijinal ifadəni yazmalısınız və vurmağı bir-bir yerinə yetirin:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Nəticədə, bütün oxşar şərtləri gətirdikdən sonra cədvəldəki kimi eyni çoxhədli alındı. Eyni manipulyasiyalar bütün digər FSU-larla həyata keçirilə bilər.

Tənliklərin həlli üçün FSU-nun tətbiqi

Məsələn, ehtiva edən bir tənliyi həll etməlisiniz 3-cü dərəcəli çoxhədli:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Məktəb kurikulumu kub tənliklərinin həlli üçün universal üsulları əhatə etmir və bu cür tapşırıqlar daha çox həll olunur. sadə üsullar(məsələn, faktorizasiya yolu ilə). Eyniliyin sol tərəfinin cəminin kubuna bənzədiyini görsək, tənliyi daha sadə formada yazmaq olar:

(x + 1)³ = 0.

Belə bir tənliyin kökü şifahi olaraq hesablanır: x = -1.

Bərabərsizliklər oxşar şəkildə həll olunur. Məsələn, bərabərsizliyi həll edə bilərsiniz x³ – 6x² + 9x > 0.

Hər şeydən əvvəl, ifadəni faktorla əlaqələndirməlisiniz. Əvvəlcə mötərizə etməlisiniz x. Bundan sonra, mötərizədəki ifadənin fərqin kvadratına çevrilə biləcəyinə diqqət yetirin.

Sonra ifadənin sıfır qiymət aldığı nöqtələri tapmalı və onları nömrə xəttində qeyd etməlisiniz. Konkret halda bunlar 0 və 3 olacaq. Sonra interval metodundan istifadə edərək, hansı intervallarda x bərabərsizlik şərtinə uyğun olacağını müəyyənləşdirin.

FSU-lar yerinə yetirərkən faydalı ola bilər kalkulyatorun köməyi olmadan bəzi hesablamalar:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Bundan əlavə, ifadələri faktorinq etməklə siz kəsrləri asanlıqla azalda və müxtəlif cəbri ifadələri sadələşdirə bilərsiniz.

7-8-ci siniflər üçün problem nümunələri

Sonda cəbrdə qısaldılmış vurma düsturlarının istifadəsi ilə bağlı iki tapşırığı təhlil edib həll edəcəyik.

Tapşırıq 1. İfadəni sadələşdirin:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Həll. Tapşırığın şərti ifadənin sadələşdirilməsini, yəni mötərizələrin açılmasını, vurma və eksponentasiya əməliyyatlarının yerinə yetirilməsini, həmçinin bütün oxşar şərtlərin gətirilməsini tələb edir. İfadəni şərti olaraq üç hissəyə (termin sayına görə) bölək və mümkün olan yerlərdə FSU-dan istifadə edərək mötərizələri bir-bir açaq.

(m + 3)² = m² + 6m + 9(cəm kvadratı);
(3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(kvadratların fərqi);
Son müddətdə çoxalmaq lazımdır: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Alınan nəticələri orijinal ifadə ilə əvəz edək:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

İşarələri nəzərə alaraq, mötərizələr açacağıq və oxşar şərtləri təqdim edəcəyik:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Məsələ 2. 5-ci dərəcəyə qədər naməlum k olan tənliyi həll edin:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Həll. Bu zaman FSU və qruplaşdırma metodundan istifadə etmək lazımdır. Son və sondan əvvəlki şərtləri şəxsiyyətin sağ tərəfinə keçirmək lazımdır.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Ümumi faktor sağ və sol tərəfdən əldə edilir (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Hər şey tənliyin sol tərəfinə köçürülür ki, 0 sağda qalsın:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Yenə ümumi faktoru çıxarmaq lazımdır:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Əldə olunan birinci amildən nəticə çıxara bilərik k. Qısa vurma düsturuna görə, ikinci amil eyni şəkildə bərabər olacaqdır (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Kvadratların fərqi düsturundan istifadə edərək:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Məhsul 0-a bərabər olduğundan, onun amillərindən ən azı biri sıfırdırsa, tənliyin bütün köklərini tapmaq çətin deyil:

k = 0;
k - 1 = 0; k = 1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

İllüstrativ nümunələrə əsaslanaraq, düsturları, onların fərqlərini necə yadda saxlamağı başa düşə bilərsiniz, həmçinin FSU-dan istifadə edərək bir neçə praktiki problemi həll edə bilərsiniz. Tapşırıqlar sadədir və onları yerinə yetirməkdə heç bir çətinlik olmamalıdır.