حساب مساحة الشكل الذي يحده منحنى محدد حدودياً. حساب أحجام الأجسام الدورانية باستخدام تكامل محدد للدوران حول محور الحجم

الأقسام: الرياضيات

نوع الدرس: مدمج.

الغرض من الدرس:تعلم كيفية حساب أحجام أجسام الثورة باستخدام التكاملات.

مهام:

تعزيز القدرة على تحديد شبه المنحرف المنحني الأضلاع من خلال عدد من الأشكال الهندسية وتطوير مهارة حساب مساحات شبه المنحرف المنحني الأضلاع؛
تعرف على هذا المفهوم الشكل الحجمي;
تعلم كيفية حساب أحجام الأجسام الدورانية؛
تعزيز تنمية التفكير المنطقي، والكلام الرياضي المختص، والدقة عند بناء الرسومات؛
لتنمية الاهتمام بالموضوع، والعمل بالمفاهيم والصور الرياضية، وتنمية الإرادة والاستقلال والمثابرة في تحقيق النتيجة النهائية.

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية.

تحية من المجموعة. توصيل أهداف الدرس للطلاب.

انعكاس. لحن هادئ.

– أود أن أبدأ درس اليوم بمثل. "في يوم من الأيام، عاش رجل حكيم يعرف كل شيء. أراد رجل أن يثبت أن الحكيم لا يعرف كل شيء. سأل وهو يحمل فراشة في راحتيه: "أخبرني أيها الحكيم، أي فراشة في يدي: حية أم ميتة؟" وهو نفسه يفكر: "إن قالت الحية أقتلها، يقول الميت: أطلقها". فأجاب الحكيم بعد تفكير: "كل شيء في يديك". (عرض تقديمي.الانزلاق)

– لذلك، دعونا نعمل اليوم بشكل مثمر، ونكتسب مخزونًا جديدًا من المعرفة، وسنطبق المهارات والقدرات المكتسبة في الحياة المستقبلية وفي الأنشطة العملية. "كل شيء في يديك".

ثانيا. تكرار المواد التي سبق دراستها.

- لنتذكر النقاط الرئيسية للمادة التي سبق دراستها. للقيام بذلك، دعونا نكمل المهمة "حذف الكلمة الزائدة."(الانزلاق.)

(يذهب الطالب إلى بطاقة الهوية ويستخدم ممحاة لإزالة الكلمة الزائدة.)

- يمين "التفاضلي". حاول تسمية الكلمات المتبقية بكلمة واحدة مشتركة. (حساب التكامل.)

– لنتذكر المراحل والمفاهيم الأساسية المرتبطة بحساب التكامل..

"حفنة رياضية".

يمارس. استعادة الفجوات. (يخرج الطالب ويكتب الكلمات المطلوبة بالقلم).

– وسنسمع ملخصاً عن تطبيق التكاملات لاحقاً.

العمل في دفاتر الملاحظات.

- صيغة نيوتن-لايبنتز اشتقها الفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643-1727) والفيلسوف الألماني جوتفريد لايبنتز (1646-1716). وهذا ليس مستغربا، لأن الرياضيات هي اللغة التي تتحدث بها الطبيعة نفسها.

– دعونا نفكر في كيفية استخدام هذه الصيغة لحل المشكلات العملية.

مثال 1: حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

الحل: لنقم ببناء رسوم بيانية للدوال على المستوى الإحداثي . دعنا نختار مساحة الشكل الذي يجب العثور عليه.

ثالثا. تعلم مواد جديدة.

- انتبه إلى الشاشة. ما هو مبين في الصورة الأولى؟ (الانزلاق) (يوضح الشكل شكلًا مسطحًا.)

- ماذا يظهر في الصورة الثانية؟ هل هذا الرقم مسطح؟ (الانزلاق) (يوضح الشكل شكلاً ثلاثي الأبعاد.)

- في الفضاء وعلى الأرض وفي الحياة اليوميةلا نواجه أشكالًا مسطحة فحسب، بل نواجه أيضًا أشكالًا ثلاثية الأبعاد، ولكن كيف يمكننا حساب حجم هذه الأجسام؟ على سبيل المثال، حجم كوكب، مذنب، نيزك، الخ.

- يفكر الناس في الحجم عند بناء المنازل وعند صب الماء من وعاء إلى آخر. وكان لا بد من ظهور قواعد وتقنيات لحساب الأحجام، أما مدى دقتها ومعقوليتها فهي مسألة أخرى.

رسالة من طالب . (تيورينا فيرا.)

كان عام 1612 مثمرا للغاية بالنسبة لسكان مدينة لينز النمساوية، حيث عاش عالم الفلك الشهير يوهانس كيبلر، وخاصة بالنسبة للعنب. كان الناس يعدون براميل النبيذ ويريدون معرفة كيفية تحديد حجمها بشكل عملي. (الشريحة 2)

- وهكذا، وضعت أعمال كبلر المدروسة الأساس لسلسلة كاملة من الأبحاث التي بلغت ذروتها في الربع الأخير من القرن السابع عشر. التصميم في أعمال I. Newton و G.V. لايبنتز في حساب التفاضل والتكامل. ومنذ ذلك الوقت، أخذت رياضيات المتغيرات مكانة رائدة في نظام المعرفة الرياضية.

– اليوم سنشارك أنا وأنت في مثل هذه الأنشطة العملية، لذلك،

موضوع درسنا: "حساب أحجام الأجسام الدورانية باستخدام التكامل المحدد". (الانزلاق)

– سوف تتعلم تعريف الجسم الدوراني من خلال إكمال المهمة التالية.

"متاهة".

متاهة (كلمة يونانية) تعني الذهاب تحت الأرض. المتاهة عبارة عن شبكة معقدة من المسارات والممرات والغرف المترابطة.

لكن التعريف كان "مكسورًا"، تاركًا تلميحات على شكل أسهم.

يمارس. ابحث عن طريقة للخروج من الموقف المربك واكتب التعريف.

الانزلاق. "تعليمات الخريطة" حساب الأحجام.

مع مساعدة تكامل محدديمكنك حساب حجم جسم معين، على وجه الخصوص، جسم الدوران.

الجسم الدوراني هو الجسم الذي يتم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف منحني حول قاعدته (الشكل 1، 2)

يتم حساب حجم الجسم الدوراني باستخدام إحدى الصيغتين:

1. حول محور الثور.

2. ، إذا كان دوران شبه منحرف منحني حول محور المرجع أمبير.

يحصل كل طالب على بطاقة تعليمية. يؤكد المعلم على النقاط الرئيسية.

– يشرح المعلم حلول الأمثلة الموجودة على السبورة.

دعونا نفكر في مقتطف من الحكاية الخيالية الشهيرة التي كتبها A. S. Pushkin "حكاية القيصر سالتان وابنه المجيد والعظيم الأمير غيدون سالتانوفيتش والأميرة الجميلة سوان" (الشريحة 4):

…..
وأحضر الرسول المخمور
وفي نفس اليوم يكون الترتيب كالتالي:
"الملك يأمر أبناءه ،
دون إضاعة الوقت،
والملكة والنسل
رمي سرا في هاوية الماء ".
لا يوجد شيء للقيام به: البويار،
القلق بشأن السيادة
وإلى الملكة الشابة،
جاء حشد إلى غرفة نومها.
أعلنوا وصية الملك -
هي وابنها لهما نصيب السوء،
قرأنا المرسوم بصوت عال ،
والملكة في نفس الساعة
وضعوني في برميل مع ابني،
لقد طاروا وابتعدوا
وسمحوا لي بالدخول إلى أوكيان -
هذا ما أمر به القيصر سلطان.

ما هو حجم البرميل الذي يجب أن يناسبه الملكة وابنها؟

- النظر في المهام التالية

1. أوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول المحور الإحداثي لشبه منحرف منحني الأضلاع يحده خطوط: س 2 + ص 2 = 64، ص = -5، ص = 5، س = 0.

الجواب: 1163 سم 3 .

أوجد حجم الجسم الناتج عن تدوير شبه منحرف مكافئ حول محور الإحداثي السيني ص =، س = 4، ص = 0.

رابعا. توحيد المواد الجديدة

مثال 2. احسب حجم الجسم الذي يتكون من دوران البتلة حول المحور السيني ص = س 2 , ص 2 = س.

دعونا نبني الرسوم البيانية للوظيفة. ص = س 2 , ص 2 = س. جدول ص2 = ستحويل إلى النموذج ذ= .

لدينا الخامس = الخامس 1 - الخامس 2دعونا نحسب حجم كل وظيفة

- الآن، دعونا نلقي نظرة على برج محطة الراديو في موسكو في شابولوفكا، والذي تم بناؤه وفقًا لتصميم المهندس الروسي الرائع الأكاديمي الفخري في جي شوخوف. وهو يتألف من أجزاء - أسطح زائدة للدوران. علاوة على ذلك، كل واحد منهم مصنوع من قضبان معدنية مستقيمة تربط الدوائر المجاورة (الشكل 8، 9).

- دعونا ننظر في المشكلة.

أوجد حجم الجسم الناتج عن تدوير أقواس القطع الزائد حول محورها الوهمي، كما هو موضح في الشكل. 8، حيث

مكعب وحدات

مهام المجموعة. يرسم الطلاب قرعة بالمهام، ويرسمون رسومات على ورق Whatman، ويدافع أحد ممثلي المجموعة عن العمل.

المجموعة الأولى.

يضرب! يضرب! ضربة أخرى!
الكرة تطير داخل المرمى - الكرة!
وهذه كرة بطيخ
أخضر، مستدير، لذيذ.
ألق نظرة أفضل - يا لها من كرة!
إنها مصنوعة من لا شيء سوى الدوائر.
نقطع البطيخ إلى دوائر
وتذوقهم.

أوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول محور OX للدالة المحدودة

خطأ! لم يتم تعريف الإشارة المرجعية.

– من فضلك قل لي أين نلتقي بهذا الرقم؟

منزل. مهمة لمجموعة واحدة. اسطوانة (الانزلاق) .

"اسطوانة - ما هو؟" - سألت والدي.
ضحك الأب: القبعة هي قبعة.
لكي تكون الفكرة صحيحة
لنفترض أن الأسطوانة عبارة عن علبة من الصفيح.
أنبوب باخرة - اسطوانة،
الأنبوب الموجود على سطحنا أيضًا،

جميع الأنابيب تشبه الاسطوانة.
وأعطيت مثالا مثل هذا -
المشكال حبيبي,
لا يمكنك أن ترفع عينيك عنه،
ويبدو أيضًا وكأنه أسطوانة.

- يمارس. الواجب المنزلي: رسم بياني للدالة وحساب الحجم.

المجموعة الثانية. مخروط (الانزلاق).

قالت أمي: والآن
قصتي ستكون عن المخروط.
مراقب النجوم في قبعة عالية
يعد النجوم على مدار السنة.
مخروط - قبعة مراقب النجوم.
هذا ما هو عليه. مفهوم؟ هذا كل شيء.
وكانت أمي واقفة على الطاولة،
لقد صببت الزيت في زجاجات.
-أين القمع؟ لا يوجد قمع.
ابحث عنه. لا تقف على الهامش.
- أمي، لن أتزحزح.
أخبرنا المزيد عن المخروط.
- القمع يكون على شكل إبريق سقي مخروطي.
هيا، ابحث عنها لي بسرعة.
لم أتمكن من العثور على القمع
لكن أمي صنعت حقيبة،
لقد لف الورق المقوى حول إصبعي
وقد قامت بتأمينه ببراعة بمشبك ورق.
النفط يتدفق ، أمي سعيدة ،
خرج المخروط بشكل صحيح.

يمارس. احسب حجم الجسم الناتج عن دورانه حول محور الإحداثي السيني

منزل. مهمة للمجموعة الثانية. هرم(الانزلاق).

انا رأيت الصورة. في هذه الصورة
هناك هرم في الصحراء الرملية.
كل شيء في الهرم غير عادي،
هناك نوع من الغموض والغموض فيه.
وبرج سباسكايا في الساحة الحمراء
إنه مألوف جدًا لكل من الأطفال والكبار.
إذا نظرت إلى البرج، فهو يبدو عادياً،
ما هو فوق ذلك؟ هرم!

يمارس.الواجب المنزلي: رسم بياني للدالة وحساب حجم الهرم

- أحجام أجسام مختلفةلقد قمنا بالحساب بناءً على الصيغة الأساسية لأحجام الأجسام باستخدام التكامل.

وهذا تأكيد آخر على أن التكامل المحدد هو أساس لدراسة الرياضيات.

- حسنا، الآن دعونا نرتاح قليلا.

العثور على زوج.

يعزف لحن الدومينو الرياضي.

"الطريق الذي كنت أبحث عنه بنفسي لن أنساه أبدًا..."

عمل بحثي. تطبيق التكامل في الاقتصاد والتكنولوجيا.

اختبارات للطلاب الأقوياء وكرة القدم الرياضية.

محاكاة الرياضيات.

2. تسمى مجموعة المشتقات العكسية لدالة معينة

أ) تكامل غير محدد،

ب) الوظيفة،

ب) التمايز.

7. أوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول محور الإحداثي السيني لشبه منحرف منحني الأضلاع يحده خطوط:

د/ض. حساب حجم أجسام الثورة .

انعكاس.

استقبال الانعكاس في النموذج com.syncwine(خمسة أسطر).

السطر الأول - اسم الموضوع (اسم واحد).

السطر الثاني - وصف الموضوع في كلمتين، صفتين.

السطر الثالث - وصف الإجراء ضمن هذا الموضوع في ثلاث كلمات.

السطر الرابع عبارة عن أربع كلمات توضح الموقف من الموضوع (جملة كاملة).

السطر الخامس هو مرادف يكرر جوهر الموضوع.

مقدار.
دالة تكاملية محددة وقابلة للتكامل.
نحن نبني، ندور، نحسب.
جسم يتم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف منحني (حول قاعدته).
جسم الدوران (جسم هندسي حجمي).

خاتمة (الانزلاق).

التكامل المحدد هو أساس معين لدراسة الرياضيات، والذي يقدم مساهمة لا غنى عنها في حل المشاكل العملية.
يوضح موضوع "التكامل" بوضوح العلاقة بين الرياضيات والفيزياء والبيولوجيا والاقتصاد والتكنولوجيا.
تطوير العلم الحديثلا يمكن تصوره دون استخدام التكامل. وفي هذا الصدد لا بد من البدء بدراسته في إطار التعليم الثانوي التخصصي!

وضع العلامات. (مع التعليق.)

العظيم عمر الخيام - عالم رياضيات، شاعر، فيلسوف. إنه يشجعنا على أن نكون أسياد مصيرنا. دعونا نستمع إلى مقتطف من عمله:

ستقول: هذه الحياة لحظة واحدة.
نقدر ذلك، نستمد الإلهام منه.
كما تنفقه، فسوف يمر.
لا تنس: إنها خلقتك.

عندما اكتشفنا المعنى الهندسي للتكامل المحدد، توصلنا إلى صيغة يمكن استخدامها لإيجاد مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحده المحور السيني والخطوط المستقيمة س = أ، س = بوكذلك وظيفة مستمرة (غير سلبية أو غير إيجابية). ص = و(س).في بعض الأحيان يكون من الملائم أكثر تحديد الدالة التي تحدد الشكل في شكل حدودي، أي. التعبير عن الاعتماد الوظيفي من خلال المعلمة t . في هذه المادة، سنوضح كيف يمكنك العثور على مساحة الشكل إذا كان محددًا بمنحنى محدد حدوديًا.

بعد شرح النظرية واستخلاص الصيغة، سننظر في عدة أمثلة نموذجية للعثور على مساحة هذه الأشكال.

الصيغة الأساسية للحساب

لنفترض أن لدينا شبه منحرف منحني الأضلاع، وحدوده هي الخطوط المستقيمة x = a، x = b، ومحور O x ومنحنى محدد حدوديًا x = φ (t) y = ψ (t)، و الدالتان x = φ (t) و y = ψ (t) مستمرتان على الفاصل الزمني α؛ ب، ألفا< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

التعريف 1

لحساب مساحة شبه منحرف في مثل هذه الظروف، تحتاج إلى استخدام الصيغة S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ " (t) d t.

لقد اشتقناها من صيغة مساحة شبه منحرف منحني S (G) = ∫ a b f (x) d x بالتعويض x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ أ ب و (س) د س = ∫ α β ψ (t) د (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) د t

التعريف 2

مع الأخذ في الاعتبار النقصان الرتيب للدالة x = φ (t) على الفاصل الزمني β؛ ألفا، ب< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

إذا كانت الدالة x = φ (t) ليست واحدة من الدالات الأساسية، فسنحتاج إلى تذكر القواعد الأساسية لزيادة أو تقليل الدالة على فترة زمنية لتحديد ما إذا كانت ستتزايد أم تتناقص.

في هذه الفقرة سوف نقوم بتحليل العديد من المشاكل باستخدام الصيغة المشتقة أعلاه.

مثال 1

حالة: أوجد مساحة الشكل الذي يتكون من الخط المعطى بمعادلات الصيغة x = 2 cos t y = 3 sin t.

حل

لدينا حدوديا خط معين. بيانياً يمكن عرضه على شكل قطع ناقص بنصف محورين 2 و3. انظر الرسم التوضيحي:

دعونا نحاول إيجاد المساحة 1 4 من الشكل الناتج، الذي يشغل الربع الأول. المنطقة تقع في الفاصل الزمني x ∈ a؛ ب = 0 ; 2. بعد ذلك، اضرب القيمة الناتجة في 4 وابحث عن مساحة الشكل بأكمله.

هنا هو التقدم في حساباتنا:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

عندما تكون k تساوي 0، نحصل على الفاصل الزمني β؛ α = 0 ; بي 2. الدالة x = φ (t) = 2 cos t ستنخفض بشكل رتيب عليها (لمزيد من التفاصيل، راجع المقالة حول الوظائف الأولية الرئيسية وخصائصها). هذا يعني أنه يمكنك تطبيق صيغة حساب المساحة والعثور على التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - خطيئة 2 π 2 2 - 0 - خطيئة 2 0 2 = 3 π 2

وهذا يعني أن مساحة الشكل المعطى بالمنحنى الأصلي ستكون مساوية S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π.

الإجابة: S(G) = 6π

دعونا نوضح أنه عند حل المشكلة أعلاه، كان من الممكن أن تأخذ ليس فقط ربع القطع الناقص، ولكن أيضا نصفه - العلوي أو السفلي. سيتم تحديد موقع النصف على الفاصل الزمني x ∈ a؛ ب = - 2 ; 2. في هذه الحالة سيكون لدينا:

φ (α) = أ ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k، k ∈ Z، φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k، k ∈ Z

وبالتالي، عندما تكون k تساوي 0، نحصل على β؛ α = 0 ; π. الدالة x = φ (t) = 2 cos t ستنخفض بشكل رتيب خلال هذه الفترة.

بعد ذلك نحسب مساحة نصف القطع الناقص:

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - خطيئة 2 π 2 - 0 - خطيئة 2 0 2 = 3 π

من المهم أن نلاحظ أنه يمكنك فقط أن تأخذ الجزء العلوي أو السفلي، ولكن ليس اليمين أو اليسار.

يمكنك إنشاء معادلة بارامترية لقطع ناقص محدد، حيث يقع مركزه عند نقطة الأصل. سيبدو مثل x = a · cos t y = b · sin t . بنفس الطريقة كما في المثال أعلاه، نحصل على صيغة لحساب مساحة القطع الناقص S e l و p مع a = πab.

يمكنك تحديد دائرة يقع مركزها عند نقطة الأصل باستخدام المعادلة x = R · cos t y = R · sin t ، حيث t معامل و R هو نصف قطر هذه الدائرة. إذا استخدمنا على الفور صيغة مساحة القطع الناقص، فسنحصل على صيغة يمكننا من خلالها حساب مساحة دائرة نصف قطرها R: S k r y r a = πR 2 .

دعونا نلقي نظرة على مشكلة أخرى.

مثال 2

حالة: ابحث عن مساحة الشكل التي ستكون مساوية، والتي تكون محدودة بمنحنى محدد حدوديًا x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

حل

دعونا نوضح على الفور أن هذا المنحنى له شكل كويكب ممدود. عادة يتم التعبير عن النجم باستخدام معادلة من الشكل x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

الآن دعونا ننظر بالتفصيل في كيفية بناء مثل هذا المنحنى. دعونا نبني على أساس النقاط الفردية. هذه هي الطريقة الأكثر شيوعًا وتنطبق على معظم المهام. أكثر أمثلة معقدةتتطلب حساب التفاضل والتكامل لتحديد وظيفة محددة حدوديا.

لدينا x = φ (t) = 3 cos 3 t، y = ψ (t) = 2 sin 3 t.

يتم تعريف هذه الوظائف لجميع القيم الحقيقية لـ t. بالنسبة لـ sin وcos فمن المعروف أنهما دوريتان ودورتهما 2pi. بعد حساب قيم الدوال x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t لبعض t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . ، 15 π 8، نحصل على النقاط × 0؛ ص 0 = (φ (ر 0) ; ψ (ر 0)) .

لنقم بعمل جدول بالقيم الإجمالية:

ر 0	0	بي 8	بي 4	3 ط 8	بي 2	5 ط 8	3 ط 4	7 ط 8	π
س 0 = φ (ر 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
ص 0 = ψ (ر 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

ر 0	9 ط 8	5 ط 4	11 ط 8	3 ط 2	13 ط 8	7 ط 4	15 ط 8	2π
س 0 = φ (ر 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
ص 0 = ψ (ر 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

بعد ذلك، قم بتحديد النقاط المطلوبة على المستوى وربطها بخط واحد.

نحتاج الآن إلى إيجاد مساحة ذلك الجزء من الشكل الموجود في الربع الإحداثي الأول. لذلك س ∈ أ؛ ب = 0 ; 3:

φ (α) = أ ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

إذا كانت k تساوي 0، فإننا نحصل على الفاصل الزمني β؛ α = 0 ; π 2 والدالة x = φ (t) = 3 cos 3 t ستنخفض بشكل رتيب عليها. الآن نأخذ صيغة المنطقة ونحسب:

- ∫ 0 π 2 2 خطيئة 3 ر · 3 جتا 3 ر " د t = 18 ∫ 0 π 2 خطيئة 4 ر · جتا 2 ر د t = = 18 ∫ 0 π 2 خطيئة 4 ر · (1 - خطيئة 2 ر) د t = 18 ∫ 0 π 2 خطيئة 4 ر د ر - ∫ 0 π 2 خطيئة 6 ر د ر

لقد حصلنا على تكاملات محددة يمكن حسابها باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز. يمكن إيجاد المشتقات العكسية لهذه الصيغة باستخدام الصيغة المتكررة J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) حيث J n (x) = ∫ الخطيئة ن × د × .

∫ sin 4 t d t = - cos t · cos t 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · cos t 4 + 3 4 - cos t · cos t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · cos t 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

قمنا بحساب مساحة ربع الشكل. وهو يساوي 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

إذا ضربنا هذه القيمة بـ 4، نحصل على مساحة الشكل بأكمله - 9 π 4.

بنفس الطريقة تمامًا، يمكننا إثبات أن مساحة الكويكب، المعطاة بواسطة المعادلات x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t، يمكن العثور عليها من خلال الصيغة S a stroid = 3 πa 2 8 ، ومساحة الشكل المحددة بالخط x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t ، يتم حسابها باستخدام الصيغة S = 3 πab 8 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

قبل الانتقال إلى صيغ مساحة سطح الدوران، سنقدم صياغة مختصرة لسطح الدوران نفسه. السطح الدوراني، أو ما هو نفس الشيء، سطح الجسم الدوراني هو شكل مكاني يتكون من دوران قطعة ما أ.بمنحنى حول المحور ثور(الصورة أدناه).

دعونا نتخيل شبه منحرف منحني يحده من الأعلى الجزء المذكور من المنحنى. جسم يتكون من دوران هذا شبه المنحرف حول نفس المحور ثور، وهو جسم دوران. ومساحة سطح الدوران أو سطح جسم الدوران هي قشرته الخارجية، دون احتساب الدوائر التي تشكلها الدوران حول محور الخطوط المستقيمة س = أو س = ب .

لاحظ أن الجسم الدوراني، وبالتالي سطحه، يمكن أيضًا أن يتشكل عن طريق تدوير الشكل ليس حول المحور ثور، وحول المحور أوي.

حساب مساحة سطح الدوران المحدد بالإحداثيات المستطيلة

دعونا في إحداثيات مستطيلة على الطائرة المعادلة ذ = F(س) تم تحديد منحنى يشكل دورانه حول محور الإحداثيات جسمًا ثوريًا.

صيغة حساب مساحة سطح الثورة هي كما يلي:

(1).

مثال 1.أوجد مساحة سطح القطع المكافئ الناتج عن الدوران حول محوره ثورقوس القطع المكافئ الموافق للتغيير سمن س= 0 ل س = أ .

حل. دعونا نعبر بوضوح عن الوظيفة التي تحدد قوس القطع المكافئ:

لنجد مشتقة هذه الدالة:

قبل استخدام الصيغة لإيجاد مساحة سطح الدوران، دعونا نكتب ذلك الجزء من التكامل الذي يمثل الجذر ونعوض بالمشتقة التي وجدناها هناك:

الإجابة: طول قوس المنحنى هو

مثال 2.أوجد مساحة السطح الناتج عن الدوران حول محور ثورنجمي.

حل. ويكفي حساب مساحة السطح الناتجة عن دوران أحد فروع الكويكب الموجود في الربع الأول، وضربها في 2. ومن معادلة الكويكب، سنعبر بوضوح عن الدالة التي سنحتاج إلى استبدالها في صيغة للعثور على مساحة سطح الدوران:

نحن نتكامل من 0 إلى أ:

حساب مساحة سطح الثورة المحددة حدوديا

دعونا نفكر في الحالة التي يتم فيها إعطاء المنحنى الذي يشكل سطح الثورة بواسطة معادلات بارامترية

ثم يتم حساب مساحة سطح الدوران بالصيغة

(2).

مثال 3.أوجد مساحة سطح الثورة الناتجة عن الدوران حول محور أويالشكل يحده دائري وخط مستقيم ذ = أ. يتم إعطاء الدائري بواسطة المعادلات البارامترية

حل. دعونا نجد نقاط تقاطع الشكل الدائري والخط المستقيم. معادلة معادلة الشكل الدائري ومعادلة الخط المستقيم ذ = أ، دعونا نجد

ويترتب على ذلك أن حدود التكامل تتوافق

الآن يمكننا تطبيق الصيغة (2). لنجد المشتقات:

لنكتب التعبير الجذري في الصيغة، ونستبدل المشتقات الموجودة:

لنجد جذر هذا التعبير:

لنعوض بما وجدناه في الصيغة (2):

لنقم بالاستبدال:

وأخيرا نجد

تم استخدام الصيغ المثلثية لتحويل التعبيرات

الجواب: مساحة سطح الثورة هي .

حساب مساحة سطح الثورة المحدد بالإحداثيات القطبية

دع المنحنى الذي يشكل دورانه السطح محددًا بالإحداثيات القطبية.

دعونا ننظر في أمثلة لتطبيق الصيغة الناتجة، والتي تسمح لنا بحساب مساحات الأشكال المحددة بخطوط محددة حدوديا.

مثال.

احسب مساحة الشكل الذي يحده خط تكون معادلاته البارامترية على الشكل .

حل.

في مثالنا، الخط المحدد بارامتريًا هو شكل بيضاوي ذو أنصاف محاور مكونة من 2 و3 وحدات. دعونا نبنيها.

دعونا نجد مساحة ربع القطع الناقص الواقع في الربع الأول. تقع هذه المنطقة في الفاصل الزمني . نحسب مساحة الشكل بأكمله بضرب القيمة الناتجة في أربعة.

ما لدينا:

ل ك = 0 نحصل على الفاصل الزمني . في هذه الفترة الفاصلة الدالة يتناقص بشكل رتيب (انظر القسم). نطبق الصيغة لحساب المساحة وإيجاد التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

وبالتالي فإن مساحة الشكل الأصلي تساوي .

تعليق.

وينشأ سؤال منطقي: لماذا أخذنا ربع الشكل الناقص وليس نصفه؟ كان من الممكن رؤية النصف العلوي (أو السفلي) من الشكل. وهي في الفاصل . في هذه الحالة سوف نحصل

أي أنه بالنسبة لـ k = 0 نحصل على الفاصل الزمني. في هذه الفترة الفاصلة الدالة يتناقص بشكل رتيب.

ثم يتم العثور على مساحة نصف القطع الناقص كما

لكنك لن تكون قادرًا على أخذ النصف الأيمن أو الأيسر من الشكل الناقص.

التمثيل البارامتري للقطع الناقص المتمركز في نقطة الأصل وأنصاف المحاور a وb له الشكل . إذا تصرفنا بنفس الطريقة كما في المثال الذي تم تحليله، فسنحصل على صيغة لحساب مساحة القطع الناقص .

يتم تحديد دائرة مركزها أصل نصف القطر R من خلال المعلمة t بواسطة نظام المعادلات. إذا كنت تستخدم الصيغة الناتجة لمنطقة القطع الناقص، يمكنك الكتابة على الفور صيغة للعثور على مساحة الدائرةنصف القطر R: .

دعونا نحل مثالا آخر.

مثال.

حساب مساحة الشكل الذي يحده منحنى محدد بارامتريا.

حل.

إذا نظرنا إلى الأمام قليلاً، سنجد أن المنحنى يشبه الكويكب "الممدود". (Astroid لديه التمثيل البارامتري التالي).

دعونا نتناول بالتفصيل بناء المنحنى الذي يحد الشكل. وسوف نبنيها نقطة نقطة. عادة، مثل هذا البناء يكفي لحل معظم المشاكل. في الحالات الأكثر تعقيدًا، ستكون هناك حاجة بلا شك إلى دراسة تفصيلية لدالة محددة حدوديًا باستخدام حساب التفاضل والتكامل.

في مثالنا.

يتم تعريف هذه الوظائف لجميع القيم الحقيقية للمعلمة t، ومن خصائص الجيب وجيب التمام نعلم أنها دورية بفترة قدرها اثنان pi. وبالتالي حساب قيم الدالة للبعض (على سبيل المثال )، نحصل على مجموعة من النقاط .