احتمال وقوع متغير عشوائي في فترة زمنية عبر الإنترنت. قانون التوزيع الطبيعي

دعونا نجد وظيفة التوزيع متغير عشوائي X، المرؤوس القانون العاديالتوزيعات:

فلنجري تغييرًا على التكامل ونحضره إلى النموذج:

أساسي لا يتم التعبير عنها من خلال وظائف أولية، ولكن يمكن حسابها من خلال وظيفة خاصة معبرة تكامل محددمن التعبير أو . دعونا نعبر عن الوظيفة من خلال وظيفة لابلاس Ф(kh):

يتم التعبير عن احتمال سقوط المتغير العشوائي X في المنطقة (α، β) بالصيغة:

باستخدام الصيغة الأخيرة، يمكنك تقدير احتمال انحراف المتغير العشوائي العادي عنه توقع رياضيإلى قيمة إيجابية صغيرة بشكل تعسفي ε:

اسمحوا ، ثم و . في ر=3 نحصل عليها، أي ومن المؤكد عمليًا أن يكون انحراف المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي عن التوقع الرياضي أقل.

هذا هو قاعدة ثلاثة سيجما: إذا تم توزيع متغير عشوائي بشكل طبيعي فإن القيمة المطلقة لانحراف قيمه عن التوقع الرياضي لا تتجاوز ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري.

مهمة.وليكن قطر الجزء الذي تنتجه الورشة متغيرا عشوائيا موزعا بشكل طبيعي، م = 4.5 سم، سم أوجد احتمال أن يختلف قطر جزء مأخوذ عشوائيًا عن توقعه الرياضي بما لا يزيد عن 1 مم.

حل. وتتميز هذه المشكلة بالقيم التالية للمعلمات التي تحدد الاحتمالية المطلوبة: , ، F(0.2)=0.0793،

أسئلة التحكم

1. ما يسمى التوزيع الاحتمالي موحد؟

2. ما هو شكل دالة التوزيع لمتغير عشوائي موزع بشكل موحد على الفترة [ أ؛ ب]?

3. كيفية حساب احتمالية وقوع قيم المتغير العشوائي الموزع بشكل موحد ضمن فترة زمنية معينة؟

4. كيف يتم تحديد التوزيع الأسي للمتغير العشوائي؟

5. ما هو شكل دالة التوزيع لمتغير عشوائي موزع وفق القانون الأسي؟

6. ما يسمى التوزيع الاحتمالي الطبيعي؟

7. ما هي خصائص كثافة التوزيع الطبيعي؟ كيف تؤثر معلمات التوزيع الطبيعي على مظهر الرسم البياني لكثافة التوزيع الطبيعي؟

8. كيف يتم حساب احتمالية وقوع قيم المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي ضمن فترة زمنية معينة؟

9. كيف تحسب احتمال انحراف قيم المتغير العشوائي الموزع طبيعيا عن توقعه الرياضي؟

10. صياغة قاعدة "ثلاثة سيجما"؟

11. ما هو التوقع الرياضي والتشتت والانحراف المعياري للمتغير العشوائي الموزع وفق قانون موحد على القطعة [ أ؛ ب]?

12. ما هو التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي الموزع وفق القانون الأسي ذي المعلمة lect؟

13. ما هو التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي الموزع وفق القانون العادي مع المعلمات مو ؟

مهام الاختبار

1. متغير عشوائي Xموزعة بشكل موحد على الفاصل الزمني [−3، 5]. أوجد كثافة التوزيع ودالة التوزيع X. إنشاء الرسوم البيانية لكلا الدالتين. أوجد الاحتمالات و . حساب القيمة المتوقعة والتباين والانحراف المعياري X.

2. تعمل الحافلات على الطريق رقم 21 بشكل منتظم بفاصل 10 دقائق. ينزل أحد الركاب عند التوقف في وقت عشوائي. النظر في متغير عشوائي X- الوقت الذي ينتظر فيه الراكب الحافلة (بالدقائق). أوجد كثافة التوزيع ودالة التوزيع X. إنشاء الرسوم البيانية لكلا الدالتين. أوجد احتمال أن يضطر أحد الركاب إلى الانتظار لمدة لا تزيد عن خمس دقائق للوصول إلى الحافلة. أوجد متوسط وقت انتظار الحافلة وتباين وقت انتظار الحافلة.

3. لقد ثبت أن زمن إصلاح جهاز الفيديو (بالأيام) هو متغير عشوائي X، موزعة حسب القانون الأسي. متوسط وقت إصلاح جهاز الفيديو هو 10 أيام. أوجد كثافة التوزيع ودالة التوزيع X. إنشاء الرسوم البيانية لكلا الدالتين. أوجد احتمال أن يستغرق إصلاح جهاز الفيديو 11 يومًا على الأقل.

4. رسم الرسوم البيانية للكثافة ودوال التوزيع للمتغير العشوائي X، موزعة وفقًا للقانون العادي مع المعلمات م= = − 2 و = 0.2.

نماذج تحديد قانون التوزيع للمتغيرات العشوائية المستمرة

نماذج وضع قانون توزيع المتغيرات العشوائية المنفصلة

1). جدول التوزيع (الصف) - أبسط شكل لتحديد قانون توزيع المتغيرات العشوائية المنفصلة.

حيث أن الجدول يسرد جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي.

2). مضلع التوزيع . في التمثيل البيانيسلسلة التوزيع في نظام إحداثي مستطيل، يتم رسم جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي على طول محور الإحداثيات، ويتم رسم الاحتمالات المقابلة لها على طول المحور الإحداثي. ثم يتم رسم النقاط وربطها بقطاعات مستقيمة. الشكل الناتج - مضلع التوزيع - هو أيضًا شكل من أشكال تحديد قانون التوزيع لمتغير عشوائي منفصل.

3). وظيفة التوزيع - احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X قيمة أقل من بعض القيم المعطاة x، أي.

من وجهة نظر هندسية، يمكن اعتباره احتمال ضرب نقطة عشوائية Xإلى قسم من محور الأعداد الموجود على يسار نقطة ثابتة X.

2) ; ;

المهمة 2.1.قيمة عشوائية X- عدد الضربات على الهدف بـ 3 طلقات (أنظر المشكلة 1.5). إنشاء سلسلة التوزيع ومضلع التوزيع وحساب قيم دالة التوزيع وإنشاء الرسم البياني الخاص بها.

حل:

1) سلسلة التوزيع لمتغير عشوائي Xالمقدمة في الجدول

في	,
في	,
في	,
في
في	.

رسم القيم على محور الإحداثي السيني X،وعلى طول المحور الإحداثي - القيم واختيار مقياس معين نحصل على رسم بياني لوظيفة التوزيع (الشكل 2.2). تحتوي دالة التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل على قفزات (انقطاعات) عند تلك النقاط التي يكون عندها المتغير العشوائي Xيأخذ قيمًا محددة محددة في جدول التوزيع. مجموع جميع القفزات في دالة التوزيع يساوي واحدًا.

أرز. 2.2 - دالة التوزيع ذات القيمة المنفصلة

1). وظيفة التوزيع .

بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، يكون الرسم البياني لدالة التوزيع (الشكل 2.3) على شكل منحنى سلس.

خصائص وظيفة التوزيع:

ج) إذا .

أرز. 2.3 - وظيفة التوزيع قيمة مستمرة

2). كثافة التوزيع معرف ك مشتق من وظيفة التوزيع، أي.

منحنى يصور كثافة التوزيع لمتغير عشوائي، مُسَمًّى منحنى التوزيع (الشكل 2.4).

خصائص الكثافة:

وتلك. الكثافة هي وظيفة غير سلبية.

ب)، أي. منطقة محدودة منحنى التوزيع والمحور السيني يساوي دائمًا 1.

إذا كانت جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي Xتتراوح من أقبل ب، فإن الخاصية الثانية للكثافة سوف تأخذ الشكل:

أرز. 2.4 - منحنى التوزيع

من الناحية العملية، غالبا ما يكون من الضروري معرفة احتمال وجود متغير عشوائي Xستأخذ قيمة ضمن نطاق معين، على سبيل المثال، من a إلى b. الاحتمال المطلوب ل المتغير العشوائي المنفصل Xتحددها الصيغة

حيث أن احتمال أي قيمة فردية لمتغير عشوائي مستمر هو صفر: .

احتمال ضرب متغير عشوائي مستمر Xإلى الفاصل الزمني (أ، ب) يتم تحديده أيضًا بالتعبير:

المشكلة 2.3.قيمة عشوائية Xتعطى بواسطة وظيفة التوزيع

أوجد الكثافة، بالإضافة إلى احتمال أن تكون نتيجة الاختبار متغيرًا عشوائيًا Xسوف تأخذ القيمة الموجودة في الفاصل الزمني.

حل:

2. احتمال ضرب متغير عشوائي Xفي الفاصل الزمني يتم تحديده بواسطة الصيغة. أخذ و نجد

في العديد من المشاكل المتعلقة بالمتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي، من الضروري تحديد احتمالية سقوط متغير عشوائي، يخضع لقانون عادي مع المعلمات، على المقطع من إلى . لحساب هذا الاحتمال نستخدم الصيغة العامة

أين هي دالة توزيع الكمية

لنجد دالة التوزيع لمتغير عشوائي موزعة وفق قانون عادي مع المعلمات. كثافة توزيع القيمة تساوي:

. (6.3.2)

ومن هنا نجد دالة التوزيع

. (6.3.3)

دعونا نقوم بتغيير المتغير في التكامل (6.3.3)

ولنضعها بهذا الشكل:

(6.3.4)

لا يتم التعبير عن التكامل (6.3.4) من خلال دوال أولية، ولكن يمكن حسابه من خلال دالة خاصة تعبر عن تكامل معين للتعبير أو (ما يسمى بالتكامل الاحتمالي) الذي تم تجميع الجداول له. هناك العديد من أنواع هذه الوظائف، على سبيل المثال:

;

إلخ. أي من هذه الوظائف التي يجب استخدامها هي مسألة ذوق. سوف نختار مثل هذه الوظيفة

. (6.3.5)

من السهل أن نرى أن هذه الوظيفة ليست أكثر من دالة توزيع لمتغير عشوائي موزع بشكل طبيعي مع معلمات.

دعونا نتفق على تسمية الدالة بوظيفة التوزيع الطبيعي. يحتوي الملحق (الجدول 1) على جداول قيم الوظائف.

دعونا نعبر عن دالة التوزيع (6.3.3) للكمية بالمعلمات ومن خلال دالة التوزيع الطبيعي. بوضوح،

. (6.3.6)

الآن دعونا نوجد احتمال وقوع متغير عشوائي في القسم من إلى . حسب الصيغة (6.3.1)

وبذلك عبرنا عن احتمال توزيع متغير عشوائي وفق قانون عادي مع دخول أي معلمة إلى قسم ما من خلال دالة التوزيع القياسية المقابلة لأبسط قانون عادي ذي معلمات 0.1. لاحظ أن وسيطات الدالة في الصيغة (6.3.7) لها معنى بسيط للغاية: هناك المسافة من الطرف الأيمن للقسم إلى مركز التشتت، معبرًا عنها بالانحرافات المعيارية؛ - نفس المسافة بالنسبة للنهاية اليسرى للمقطع، وتعتبر هذه المسافة موجبة إذا كانت النهاية تقع على يمين مركز التشتت، وسالبة إذا كانت على اليسار.

مثل أي دالة توزيع، تتميز الدالة بالخصائص التالية:

3. - دالة غير متناقصة.

بالإضافة إلى ذلك، من تماثل التوزيع الطبيعي مع المعلمات المتعلقة بالأصل، يتبع ذلك

باستخدام هذه الخاصية، بالمعنى الدقيق للكلمة، سيكون من الممكن قصر جداول الوظائف على قيم الوسيطات الإيجابية فقط، ولكن لتجنب عملية غير ضرورية (الطرح من واحد)، يوفر جدول الملحق 1 قيمًا لكل من الوسيطات الإيجابية والسلبية.

من الناحية العملية، غالبًا ما نواجه مشكلة حساب احتمالية سقوط متغير عشوائي موزع بشكل طبيعي في منطقة متناظرة بالنسبة إلى مركز التشتت. دعونا نفكر في هذا القسم من الطول (الشكل 6.3.1). لنحسب احتمالية الوصول إلى هذه المنطقة باستخدام الصيغة (6.3.7):

مع الأخذ في الاعتبار الخاصية (6.3.8) للدالة وإعطاء الجانب الأيسر من الصيغة (6.3.9) شكلاً أكثر إحكاما، نحصل على صيغة لاحتمال وقوع متغير عشوائي موزع وفق القانون العادي في مساحة متناظرة بالنسبة لمركز التشتت:

. (6.3.10)

دعونا نحل المشكلة التالية. دعونا نرسم مقاطع طولية متتالية من مركز التشتت (الشكل 6.3.2) ونحسب احتمال سقوط متغير عشوائي في كل منها. وبما أن المنحنى الطبيعي متماثل، فإنه يكفي رسم هذه المقاطع في اتجاه واحد فقط.

وباستخدام الصيغة (6.3.7) نجد:

(6.3.11)

وكما يتبين من هذه البيانات، فإن احتمالات إصابة كل من القطع التالية (الخامس، السادس، الخ) بدقة 0.001 تساوي صفر.

بتقريب احتمالات الدخول إلى الشرائح إلى 0.01 (إلى 1%)، نحصل على ثلاثة أرقام يسهل تذكرها:

0,34; 0,14; 0,02.

مجموع هذه القيم الثلاث هو 0.5. وهذا يعني أنه بالنسبة للمتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي، فإن كل التشتت (بدقة كسور مئوية) يتناسب مع المنطقة.

وهذا يسمح بمعرفة الانحراف المعياري والتوقع الرياضي للمتغير العشوائي، للإشارة بشكل تقريبي إلى نطاق قيمه الممكنة عمليًا. هذه الطريقة لتقدير نطاق القيم المحتملة للمتغير العشوائي معروفة في الإحصائيات الرياضيةتسمى "قاعدة الثلاثة سيجما". تتضمن قاعدة ثلاثة سيجما أيضًا طريقة تقريبية لتحديد الانحراف المعياري لمتغير عشوائي: خذ أقصى انحراف ممكن عمليًا عن المتوسط وقسمه على ثلاثة. بالطبع، لا يمكن التوصية بهذه التقنية التقريبية إلا في حالة عدم وجود طرق أخرى أكثر دقة لتحديدها.

مثال 1. المتغير العشوائي الموزع وفق قانون عادي يمثل خطأ في قياس مسافة معينة. عند القياس، يُسمح بوجود خطأ منهجي في اتجاه المبالغة بمقدار 1.2 (م)؛ الانحراف المعياري لخطأ القياس هو 0.8 (م). أوجد احتمال ألا يتجاوز انحراف القيمة المقاسة عن القيمة الحقيقية 1.6 (م) في القيمة المطلقة.

حل. خطأ القياس هو متغير عشوائي يخضع للقانون العادي مع المعلمات و. نحن بحاجة إلى إيجاد احتمال سقوط هذه الكمية على القسم من إلى . وفقا للصيغة (6.3.7) لدينا:

باستخدام جداول الوظائف (الملحق، جدول 1) نجد:

; ,

مثال 2. أوجد نفس الاحتمال كما في المثال السابق، لكن بشرط عدم وجود خطأ منهجي.

حل. باستخدام الصيغة (6.3.10) بافتراض نجد:

مثال 3. تم إطلاق هدف على شكل شريط (طريق سريع)، يبلغ عرضه 20 مترًا، في اتجاه عمودي على الطريق السريع. يتم تنفيذ الهدف على طول الخط الأوسط للطريق السريع. الانحراف المعياري في اتجاه الرمي يساوي م يوجد خطأ نظامي في اتجاه الرمي: النقص في الرمي هو 3 م أوجد احتمال الاصطدام بالطريق السريع بطلقة واحدة.

صفحة 1
اختبار 7
قانون التوزيع الطبيعي. احتمال وقوع المتغير العشوائي الموزع طبيعيًا (NDSV) في فترة زمنية معينة.
معلومات أساسية من النظرية.

يسمى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي (RV) عاديًا. X، إذا تم تحديد كثافة التوزيع بالمعادلة:

أين أ- التوقع الرياضي لـ SV X; - الانحراف المعياري.

جدول
متناظرة حول خط عمودي
. كلما زاد نطاق المنحنى
. قيم الوظائف
متوفرة في الجداول.

احتمال أن يأخذ CB X قيمة تنتمي إلى الفاصل الزمني
:
، أين
- وظيفة لابلاس. وظيفة
يتم تحديدها من الجداول.

في = 0 منحنى
متناظر بالنسبة لمحور المرجع أمبير هو التوزيع الطبيعي القياسي (أو الموحد).

نظرًا لأن دالة كثافة الاحتمالية لـ NRSV متناظرة فيما يتعلق بالتوقع الرياضي، فمن الممكن بناء ما يسمى بمقياس التشتت:

يمكن ملاحظة أنه مع احتمال 0.9973 يمكن القول أن NRSV سيأخذ قيمًا ضمن الفاصل الزمني
. يُطلق على هذا البيان اسم "قاعدة سيجما الثلاثة" في نظرية الاحتمالات.

1. قارن القيم

لاثنين من منحنيات NRSV.

1)
2)

2. يتم تحديد المتغير العشوائي المستمر X بواسطة كثافة التوزيع الاحتمالي

. فإن التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي الموزع توزيعاً طبيعياً يساوي:

1) 3 2) 18 3) 4 4)

3. يتم إعطاء NRSV X بواسطة كثافة التوزيع:
.

القيمة المتوقعة وتشتت هذا SV يساوي:

1) =1 2) =5 3) =5

=25 =1 =25
4. تعني قاعدة سيجما الثلاثة ما يلي:

1) احتمال وصول SV إلى الفاصل الزمني
أي قريب من الوحدة.

2) لا يمكن لـ NRSV أن يتجاوز ذلك
;

3) الرسم البياني لكثافة NRSV متماثل فيما يتعلق بالتوقع الرياضي

5. يتم توزيع SV X بشكل طبيعي مع توقع رياضي يساوي 5 وانحراف معياري يساوي 2 وحدة. التعبير عن كثافة توزيع NRSV له الشكل:

6. التوقع الرياضي والانحراف المعياري لـ NRSV X يساوي 10 و 2. احتمال أن يأخذ SV X، نتيجة للاختبار، القيمة الموجودة في الفاصل الزمني هو:

1) 0,1915 2) 0,3830 3) 0,6211

7. تعتبر القطعة مناسبة إذا كان انحراف X للحجم الفعلي عن الحجم الموجود في الرسم بالقيمة المطلقة أقل من 0.7 مم. الانحرافات X عن الحجم الموجود في الرسم هي NRSV بالقيمة

=0.4 ملم. تم إنتاج 100 قطعة؛ من بينها ما يلي سيكون مناسبا:

1) 92 2) 64 3) 71

8. التوقع الرياضي والانحراف المعياري لـ NRSV X يساوي 10 و 2. واحتمال أن يأخذ SV X، نتيجة للاختبار، القيمة الموجودة في الفاصل الزمني هو:

1) 0,1359 2) 0,8641 3) 0,432

9. الخطأ X في تصنيع الجزء هو NRSV بالقيمة أ=10 و =0.1. ثم، مع احتمال 0.9973، الفاصل الزمني لأحجام الأجزاء المتناظرة بالنسبة أ=10 سيكون:

1) 9,7; 10,3 2) 9,8; 10,2 3) 9,9; 10,1

10. وزن جميع المنتجات دون أخطاء منهجية. تخضع الأخطاء العشوائية لقياسات X للقانون العادي مع القيمة =10 جم احتمال إجراء الوزن بخطأ لا يتجاوز 15 جم في القيمة المطلقة هو:

1) 0,8664 2) 0,1336 3) 0,4332

11. NRSV X لديه توقعات رياضية أ=10 والانحراف المعياري =5. مع احتمال 0.9973، سوف تقع قيمة X في الفترة:

1) (5; 15) 2) (0; 20) 3) (-5; 25)

12. NRSV X لديه توقعات رياضية أ=10. ومن المعروف أن احتمال سقوط X في الفاصل الزمني هو 0.3. عندها سيكون احتمال سقوط CB X في الفاصل الزمني مساويًا لـ:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

13. NRSV X لديه توقعات رياضية أ=25. احتمال سقوط X في الفاصل الزمني هو 0.2. عندها سيكون احتمال سقوط X في الفاصل الزمني مساويًا لـ:

1) 0,1 2) 0,2 3) 0,3

14. يتم الحفاظ على درجة حرارة الغرفة عن طريق السخان ولها توزيع طبيعي مع

. احتمال أن تكون درجة الحرارة في هذه الغرفة بين

قبل

يكون:

1) 0,95 2) 0,83 3) 0,67

15. بالنسبة للتوزيع الطبيعي الموحد، تكون القيمة:

1) 1 2) 2 3)

16. يتشكل التوزيع الطبيعي التجريبي عندما:

1) هناك عدد كبير من الأسباب العشوائية المستقلة التي لها نفس الوزن الإحصائي تقريبًا؛

2) وجود عدد كبير من المتغيرات العشوائية التي تعتمد بشكل كبير على بعضها البعض؛

3) حجم العينة صغير .

1	معنى يحدد نطاق منحنى كثافة التوزيع بالنسبة للتوقع الرياضي. بالنسبة للمنحنى 2، يكون النطاق أكبر، أي	(2)
2	وفقا لمعادلة كثافة NRSV، التوقع الرياضي أ=4.	(3)
3	وفقًا لمعادلة كثافة NRSV لدينا: =1; =5 يعني .	(1)
4	الإجابة (1) صحيحة.	(1)
5	التعبير عن كثافة توزيع NRSV له الشكل: . حسب الشرط: =2؛ أ =5 أي أن الإجابة (1) صحيحة.	(1)
6	بالشرط =10; =2. الفاصل الزمني هو . ثم: ; . وفقًا لجداول دالة لابلاس: ; . ثم الاحتمال المطلوب:	(2)
7	حسب الشرط: =0; ;=0.4. وهذا يعني أن الفاصل الزمني سيكون [-0.7؛ 0.7]. ; . ; أي أنه من بين 100 جزء، من المرجح أن تكون 92 قطعة مناسبة.	(1)

8	حسب الشرط: =10 و =2. الفاصل الزمني هو . ثم: ; . وفقًا لجداول دالة لابلاس: ; ;	(1)
9	في فترة متناظرة بالنسبة للتوقع الرياضي أ =10 باحتمال 0.9973، جميع الأجزاء ذات أبعاد متساوية ، إنه ؛ . هكذا:	(1)
10	بالشرط ،إنه =0، وسيكون الفاصل الزمني [-15;15] ثم: ; .

تباين المتغير العشوائي العادي.

تشتتالمتغير العشوائي هو التوقع الرياضي لمربع المتغير العشوائي المتمركز المقابل.

وهو يصف درجة تشتت قيم المتغير العشوائي بالنسبة لتوقعه الرياضي، أي. عرض نطاق القيمة.

صيغ الحساب:

يمكن حساب التباين من خلال اللحظة الأولية الثانية:

(6.10)

يميز تشتت المتغير العشوائي درجة التشتت (التشتت) لقيم المتغير العشوائي بالنسبة لتوقعه الرياضي. إن تباين SV (المنفصل والمستمر) هو كمية غير عشوائية (ثابتة).

إن تباين المتغير العشوائي له بعد مربع المتغير العشوائي. وللتوضيح، يتم استخدام خصائص التشتت مع قيمة يتطابق بعدها مع البعد SV.

الانحراف المعياري (RMS)شمال شرق Xتسمى مميزة

. (6.11)

يتم قياس RMSD بنفس الوحدات المادية مثل SV ويميز عرض نطاق قيم SV.

خصائص التشتت

تشتت قيمة ثابتة معيساوي الصفر.

دليل: من خلال تعريف التباين

عند إضافتها إلى متغير عشوائي Xقيمة غير عشوائية معلا يتغير تشتتها.

د[X+ج] = د[X].

دليل: من خلال تعريف التباين

(6.12)

3. عند ضرب متغير عشوائي Xبمقدار غير عشوائي معيتم ضرب تباينه من 2.

دليل: من خلال تعريف التباين

. (6.13)

بالنسبة للانحراف المعياري، هذه الخاصية لها الشكل:

(6.14)

في الواقع، بالنسبة لـ ½С½>1، تحتوي القيمة cX على قيم محتملة (بالقيمة المطلقة) أكبر من القيمة X. وبالتالي، فإن هذه القيم متناثرة حول التوقع الرياضي م[cX] أكبر من القيم الممكنة Xحول م[X]، أي. . إذا 0<½с½<1, то .

القاعدة 3S.بالنسبة لمعظم قيم المتغير العشوائي، فإن القيمة المطلقة لانحرافه عن التوقع الرياضي لا تتجاوز ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري، أو بمعنى آخر، تقع جميع قيم SV تقريبًا في الفترة:

[ م - 3س; م + 3 س؛ ].(6.15)

احتمال الوقوع في فترة معينة من المتغير العشوائي العادي

كما تم تحديده بالفعل، فإن احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر قيمة تنتمي إلى الفاصل الزمني يساوي تكاملًا معينًا لكثافة التوزيع، مأخوذًا ضمن الحدود المناسبة:
.
بالنسبة للمتغير العشوائي الموزع توزيعا طبيعيا نحصل على التوالي على:
.
دعونا نحول التعبير الأخير عن طريق إدخال متغير جديد . ولذلك، فإن أس التعبير تحت التكامل يتحول إلى:
.
لاستبدال متغير في تكامل محدد، لا يزال من الضروري استبدال التفاضل وحدود التكامل، بعد التعبير مسبقًا عن المتغير من صيغة الاستبدال:
;
;
- الحد الأدنى للتكامل؛
- الحد الأعلى للتكامل؛
(لإيجاد حدود التكامل على المتغير الجديد تم استبدال حدود التكامل على المتغير القديم في صيغة استبدال المتغير).
دعنا نعوض بكل شيء في الصيغة الأخيرة لإيجاد الاحتمال:

أين - وظيفة لابلاس.
الاستنتاج: احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي قيمة تنتمي إلى الفاصل الزمني يساوي:
,
أين هو التوقع الرياضي وهو الانحراف المعياري لمتغير عشوائي معين.

23. توزيعات تشي سكوير والطالب وفيشر

باستخدام التوزيع الطبيعي، يتم تحديد ثلاث توزيعات تستخدم الآن غالبًا في معالجة البيانات الإحصائية. تظهر هذه التوزيعات عدة مرات في أقسام لاحقة من الكتاب.

توزيع بيرسون (كاي – مربع) – توزيع متغير عشوائي

أين هي المتغيرات العشوائية × 1، × 2،…، × نمستقلة ولها نفس التوزيع ن(0،1). في هذه الحالة يكون عدد المصطلحات، أي. ن، يسمى "عدد درجات الحرية" لتوزيع مربع كاي.

يُستخدم توزيع مربع كاي عند تقدير التباين (باستخدام فاصل الثقة)، وعند اختبار فرضيات الاتفاق والتجانس والاستقلال، وذلك في المقام الأول للمتغيرات النوعية (المصنفة) التي تأخذ عددًا محدودًا من القيم، وفي العديد من المهام الأخرى للبيانات الإحصائية تحليل.

توزيع رالطالب t هو توزيع متغير عشوائي

أين هي المتغيرات العشوائية شو Xمستقل، شلديه التوزيع الطبيعي القياسي ن(0.1)، و X- توزيع تشي - مربع ج ندرجات الحرية. حيث نيسمى "عدد درجات الحرية" لتوزيع الطلاب.

تم تقديم توزيع الطلاب في عام 1908 من قبل الإحصائي الإنجليزي دبليو جوسيت، الذي كان يعمل في مصنع للبيرة. تم استخدام الأساليب الاحتمالية والإحصائية لاتخاذ القرارات الاقتصادية والفنية في هذا المصنع، لذلك منعت إدارته V. Gosset من نشر مقالات علمية باسمه. وبهذه الطريقة، تمت حماية الأسرار التجارية و"الدراية الفنية" في شكل الأساليب الاحتمالية والإحصائية التي طورها V. Gosset. ومع ذلك، أتيحت له الفرصة للنشر تحت اسم مستعار "الطالب". يُظهر تاريخ Gosset-Student أنه حتى قبل مائة عام، كان المديرون في بريطانيا العظمى على دراية بالكفاءة الاقتصادية الأكبر للأساليب الإحصائية الاحتمالية.

يعد توزيع الطالب حاليًا أحد أشهر التوزيعات المستخدمة في تحليل البيانات الحقيقية. يتم استخدامه عند تقدير التوقع الرياضي وقيمة التوقع وغيرها من الخصائص باستخدام فترات الثقة واختبار الفرضيات حول قيم التوقعات الرياضية ومعاملات الانحدار وفروض تجانس العينة وغيرها. .