الدرس "تبسيط المقادير المثلثية". ملخص الدرس حول موضوع "التعبيرات المثلثية وتحويلاتها العثور على قيم العبارات المثلثية بأمثلة

الأقسام: الرياضيات

فصل: 11

الدرس 1

موضوع: الصف الحادي عشر (التحضير لامتحان الدولة الموحدة)

تبسيط التعبيرات المثلثية.

الحل الأبسط المعادلات المثلثية. (ساعاتين)

الأهداف:

• تنظيم وتعميم وتوسيع معارف الطلاب ومهاراتهم المتعلقة باستخدام صيغ علم المثلثات وحل المعادلات المثلثية البسيطة.

معدات الدرس:

هيكل الدرس:

1. اللحظة التنظيمية
2. الاختبار على أجهزة الكمبيوتر المحمولة. مناقشة النتائج.
3. تبسيط التعبيرات المثلثية
4. حل المعادلات المثلثية البسيطة
5. عمل مستقل.
6. ملخص الدرس. شرح الواجب المنزلي.

1. اللحظة التنظيمية. (2 دقيقة.)

يحيي المعلم الحضور، ويعلن عن موضوع الدرس، ويذكرهم بأنه تم تكليفهم سابقًا بمهمة تكرار صيغ علم المثلثات، ويقوم بإعداد الطلاب للاختبار.

2. الاختبار. (15 دقيقة + 3 دقائق مناقشة)

الهدف هو اختبار المعرفة الصيغ المثلثيةوالقدرة على تطبيقها. كل طالب لديه جهاز كمبيوتر محمول على مكتبه مع نسخة من الاختبار.

يمكن أن يكون هناك أي عدد من الخيارات، وسأقدم مثالا على واحد منهم:

أنا الخيار.

تبسيط التعبيرات:

أ) الهويات المثلثية الأساسية

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

ب) صيغ الجمع

3. الخطيئة 5x - الخطيئة 3x؛

ج) تحويل المنتج إلى مجموع

6.2sin8y cos3y؛

د) صيغ الزاوية المزدوجة

7.2sin5x cos5x؛

ه) صيغ نصف الزوايا

و) صيغ الزوايا الثلاثية

ز) الاستبدال الشامل

ح) انخفاض في الدرجة

16. كوس 2 (3س/7)؛

يرى الطلاب إجاباتهم على الكمبيوتر المحمول بجوار كل صيغة.

يتم فحص العمل على الفور بواسطة الكمبيوتر. يتم عرض النتائج على شاشة كبيرة ليراها الجميع.

وأيضًا، بعد الانتهاء من العمل، تظهر الإجابات الصحيحة على أجهزة الكمبيوتر المحمولة الخاصة بالطلاب. يرى كل طالب مكان الخطأ وما هي الصيغ التي يحتاج إلى تكرارها.

3. تبسيط التعبيرات المثلثية. (25 دقيقة)

الهدف هو تكرار وممارسة وتعزيز استخدام الصيغ الأساسية لعلم المثلثات. حل المسائل B7 من امتحان الدولة الموحدة.

على في هذه المرحلةيُنصح بتقسيم الفصل إلى مجموعات من الطلاب الأقوياء (العمل بشكل مستقل مع الاختبار اللاحق) والطلاب الضعفاء الذين يعملون مع المعلم.

مهمة للطلاب الأقوياء (معدة مسبقًا على أساس مطبوع). ينصب التركيز الرئيسي على صيغ التخفيض والزاوية المزدوجة، وفقًا لامتحان الدولة الموحدة 2011.

تبسيط التعبيرات (للطلاب الأقوياء):

وفي الوقت نفسه، يعمل المعلم مع الطلاب الضعفاء، ويناقش ويحل المهام على الشاشة تحت إملاء الطلاب.

احسب:

5) خطيئة (270 درجة - α) + جتا (270 درجة + α)

6)

تبسيط:

لقد حان الوقت لمناقشة نتائج عمل المجموعة القوية.

تظهر الإجابات على الشاشة، وأيضًا باستخدام كاميرا الفيديو يتم عرض أعمال 5 طلاب مختلفين (مهمة واحدة لكل منهم).

المجموعة الضعيفة ترى الحال وطريقة الحل. المناقشة والتحليل جارية. استخدام الوسائل التقنيةيحدث بسرعة.

4. حل المعادلات المثلثية البسيطة. (30 دقيقة.)

الهدف هو تكرار وتنظيم وتعميم حل أبسط المعادلات المثلثية وكتابة جذورها. حل المشكلة B3.

أي معادلة مثلثية، مهما حلناها، تؤدي إلى أبسطها.

عند إكمال المهمة، يجب على الطلاب الانتباه إلى كتابة جذور معادلات الحالات الخاصة و منظر عاموعلى اختيار الجذور في المعادلة الأخيرة.

حل المعادلات:

اكتب أصغر جذر موجب كإجابتك.

5. العمل المستقل (10 دقائق)

الهدف هو اختبار المهارات المكتسبة وتحديد المشاكل والأخطاء وطرق التخلص منها.

يتم تقديم العمل متعدد المستويات لاختيار الطالب.

الخيار "3"

1) أوجد قيمة التعبير

2) بسّط التعبير 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) حل المعادلة

خيار "4"

1) أوجد قيمة التعبير

2) حل المعادلة اكتب أصغر جذر موجب في إجابتك.

الخيار "5"

1) ابحث عن tanα إذا

2) أوجد جذر المعادلة اكتب أصغر جذر موجب كإجابتك.

6. ملخص الدرس (5 دقائق)

يلخص المعلم حقيقة أنهم قاموا خلال الدرس بتكرار وتعزيز الصيغ المثلثية وحل أبسط المعادلات المثلثية.

تعيين العمل في المنزل(يتم إعدادها على أساس مطبوع مسبقًا) مع إجراء فحص مفاجئ في الدرس التالي.

حل المعادلات:

9)

10) في إجابتك، أشر إلى أصغر جذر موجب.

الدرس 2

موضوع: الصف الحادي عشر (التحضير لامتحان الدولة الموحدة)

طرق حل المعادلات المثلثية. اختيار الجذر. (ساعاتين)

الأهداف:

• تعميم وتنظيم المعرفة حول حل المعادلات المثلثية بمختلف أنواعها.
• تعزيز تنمية التفكير الرياضي لدى الطلاب، والقدرة على الملاحظة والمقارنة والتعميم والتصنيف.
• تشجيع الطلاب على التغلب على الصعوبات في عملية النشاط العقلي، وضبط النفس، والتأمل في أنشطتهم.

معدات الدرس: KRMu، أجهزة كمبيوتر محمولة لكل طالب.

هيكل الدرس:

1. اللحظة التنظيمية
2. مناقشة d/z والنفس. العمل من الدرس الأخير
3. مراجعة طرق حل المعادلات المثلثية.
4. حل المعادلات المثلثية
5. اختيار الجذور في المعادلات المثلثية.
6. عمل مستقل.
7. ملخص الدرس. العمل في المنزل.

1. اللحظة التنظيمية (دقيقتان)

يحيي المعلم الجمهور ويعلن موضوع الدرس وخطة العمل.

2. أ) تحليل الواجبات المنزلية (5 دقائق)

الهدف هو التحقق من التنفيذ. يتم عرض عمل واحد على الشاشة باستخدام كاميرا فيديو، ويتم جمع الباقي بشكل انتقائي لفحص المعلم.

ب) تحليل العمل المستقل (3 دقائق)

الهدف هو تحليل الأخطاء والإشارة إلى طرق التغلب عليها.

تظهر الإجابات والحلول على الشاشة، ويتم تسليم عمل الطلاب مسبقًا. يستمر التحليل بسرعة.

3. مراجعة طرق حل المعادلات المثلثية (5 دقائق)

الهدف هو تذكر طرق حل المعادلات المثلثية.

اسأل الطلاب عن طرق حل المعادلات المثلثية التي يعرفونها. التأكيد على أن هناك ما يسمى بالطرق الأساسية (المستخدمة بشكل متكرر):

• استبدال متغير,
• التخصيم,
• معادلات متجانسة,

وهناك طرق تطبيقية:

• باستخدام الصيغ لتحويل المجموع إلى منتج والمنتج إلى مجموع،
• وفقًا لصيغ تقليل الدرجة ،
• الاستبدال المثلثي العالمي
• إدخال زاوية مساعدة،
• الضرب ببعض الدوال المثلثية

تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه يمكن حل معادلة واحدة بطرق مختلفة.

4. حل المعادلات المثلثية (30 دقيقة)

الهدف هو تعميم وتوحيد المعرفة والمهارات حول هذا الموضوع، للتحضير لحل C1 من امتحان الدولة الموحدة.

أعتبر أنه من المستحسن حل المعادلات لكل طريقة مع الطلاب.

يقوم الطالب بإملاء الحل، ويكتبه المعلم على الجهاز اللوحي، ويتم عرض العملية برمتها على الشاشة. سيسمح لك ذلك باستدعاء المواد التي تمت تغطيتها سابقًا في ذاكرتك بسرعة وفعالية.

حل المعادلات:

1) استبدال المتغير 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) التحليل 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) معادلات متجانسةجا 2 س + 3 جتا 2 س - 2 جا 2س = 0

4) تحويل المجموع إلى منتج cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) تحويل المنتج إلى مجموع 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) تخفيض الدرجة sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) الاستبدال المثلثي الشامل sinx + 5cosx + 5 = 0.

عند حل هذه المعادلة، تجدر الإشارة إلى أن استخدام هذه الطريقةيؤدي إلى تضييق نطاق التعريف، حيث يتم استبدال الجيب وجيب التمام بـ tg(x/2). لذلك، قبل كتابة الإجابة، تحتاج إلى التحقق مما إذا كانت الأرقام من المجموعة π + 2πn، n Z هي خيول هذه المعادلة.

8) إدخال زاوية مساعدة √3sinx + cosx - √2 = 0

9) الضرب ببعض الدوال المثلثية cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. اختيار جذور المعادلات المثلثية (20 دقيقة)

نظرا لأنه في ظروف المنافسة الشرسة عند دخول الجامعات، فإن حل الجزء الأول من الامتحان وحده لا يكفي، يجب على معظم الطلاب الانتباه إلى مهام الجزء الثاني (C1، C2، C3).

لذلك فإن الهدف من هذه المرحلة من الدرس هو تذكر المواد التي تمت دراستها مسبقًا والاستعداد لحل المشكلة C1 من امتحان الدولة الموحدة 2011.

توجد معادلات مثلثية تحتاج فيها إلى تحديد الجذور عند كتابة الإجابة. ويرجع ذلك إلى بعض القيود، على سبيل المثال: مقام الكسر لا يساوي الصفر، والتعبير تحت الجذر الزوجي غير سالب، والتعبير تحت علامة اللوغاريتم موجب، وما إلى ذلك.

تعتبر مثل هذه المعادلات معادلات ذات تعقيد متزايد وفي نسخة من امتحان الدولة الموحدةموجودة في الجزء الثاني وهي C1.

حل المعادلة:

الكسر يساوي صفرًا إذاً باستخدام دائرة الوحدةدعونا نختار الجذور (انظر الشكل 1)

الصورة 1.

نحصل على x = π + 2πn, n Z

الإجابة: π + 2πn، n Z

يظهر على الشاشة اختيار الجذور على شكل دائرة في صورة ملونة.

يكون حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر، ولا يفقد القوس معناه. ثم

باستخدام دائرة الوحدة نختار الجذور (انظر الشكل 2)

تم تصميم درس الفيديو "تبسيط التعبيرات المثلثية" لتطوير مهارات الطلاب في حل المشكلات المثلثية باستخدام المتطابقات المثلثية الأساسية. خلال درس الفيديو، تتم مناقشة أنواع المتطابقات المثلثية وأمثلة على حل المشكلات باستخدامها. وباستخدام الوسائل البصرية يسهل على المعلم تحقيق أهداف الدرس. العرض الحي للمواد يعزز الحفظ نقاط مهمة. يتيح لك استخدام تأثيرات الرسوم المتحركة والتعليق الصوتي استبدال المعلم بالكامل في مرحلة شرح المادة. وبالتالي، باستخدام هذه الوسائل البصرية في دروس الرياضيات، يمكن للمعلم زيادة فعالية التدريس.

في بداية درس الفيديو يتم الإعلان عن موضوعه. ثم نتذكر المتطابقات المثلثية التي درسناها سابقًا. تعرض الشاشة المعادلات sin 2 t+cos 2 t=1، tg t=sin t/cos t، حيث t≠π/2+πk لـ kϵZ، ctg t=cos t/sin t، صحيحة لـ t≠πk، حيث kϵZ، tg t· ctg t=1، بالنسبة إلى t≠πk/2، حيث kϵZ، تسمى الهويات المثلثية الأساسية. ويلاحظ أن هذه المتطابقات غالبا ما تستخدم في حل المسائل حيث يكون من الضروري إثبات المساواة أو تبسيط التعبير.

أدناه نعتبر أمثلة على تطبيق هذه الهويات في حل المشكلات. أولا، يقترح النظر في حل مشاكل تبسيط التعبيرات. في المثال 1، من الضروري تبسيط التعبير cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. لحل المثال، أخرج أولًا العامل المشترك cos 2 t من القوسين. ونتيجة لهذا التحول بين قوسين، يتم الحصول على التعبير 1- cos 2 t، وقيمته من الهوية الرئيسية لعلم المثلثات تساوي sin 2 t. بعد تحويل التعبير، من الواضح أنه يمكن إخراج عامل مشترك آخر sin 2 t من الأقواس، وبعد ذلك يأخذ التعبير الشكل sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). من نفس الهوية الأساسية نستمد قيمة التعبير بين قوسين يساوي 1. ونتيجة للتبسيط، نحصل على cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

في المثال 2، يجب تبسيط التعبير cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint). بما أن بسطي الكسرين يحتويان على تكلفة التعبير، فيمكن إخراجها من الأقواس كعامل مشترك. ثم يتم تقليل الكسور الموجودة بين قوسين إلى قاسم مشترك عن طريق ضرب (1- سينت)(1+ سينت). بعد إحضار مصطلحات مماثلة، يبقى البسط 2، والمقام 1 - الخطيئة 2 ر. على الجانب الأيمن من الشاشة، يتم تذكر الهوية المثلثية الأساسية sin 2 t+cos 2 t=1. باستخدامه نجد مقام الكسر cos 2 t. بعد تقليل الكسر، نحصل على شكل مبسط للتعبير cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.

بعد ذلك، سننظر في أمثلة إثباتات الهويات التي تستخدم المعرفة المكتسبة حول الهويات الأساسية لعلم المثلثات. في المثال 3، من الضروري إثبات الهوية (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. يعرض الجانب الأيمن من الشاشة ثلاث هويات ستكون مطلوبة للإثبات - tg t·ctg t=1، ctg t=cos t/sin t وtg t=sin t/cos t مع القيود. لإثبات الهوية، يتم فتح الأقواس أولاً، وبعد ذلك يتم تشكيل منتج يعكس تعبير الهوية المثلثية الرئيسية tg t·ctg t=1. ثم، وفقًا للهوية من تعريف ظل التمام، يتم تحويل ctg 2 t. ونتيجة للتحولات، يتم الحصول على التعبير 1-كوس 2 ر. وباستخدام الهوية الرئيسية نجد معنى التعبير. وبذلك ثبت أن (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

في المثال 4، تحتاج إلى إيجاد قيمة التعبير tg 2 t+ctg 2 t إذا كان tg t+ctg t=6. لحساب التعبير، قم أولاً بتربيع الجانبين الأيمن والأيسر من المساواة (tg t+ctg t) 2 =6 2. يتم استدعاء صيغة الضرب المختصرة على الجانب الأيمن من الشاشة. بعد فتح الأقواس على الجانب الأيسر من التعبير، يتم تشكيل المجموع tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t، لتحويله يمكنك تطبيق إحدى المتطابقات المثلثية tg t·ctg t=1 ، والذي يتم تذكر شكله على الجانب الأيمن من الشاشة. بعد التحويل، يتم الحصول على المساواة tg 2 t+ctg 2 t=34. الجانب الأيسر من المساواة يتطابق مع شرط المشكلة، فالإجابة هي 34. تم حل المشكلة.

يوصى باستخدام درس الفيديو "تبسيط التعبيرات المثلثية" في اللغة التقليدية درس المدرسةالرياضيات. ستكون المادة مفيدة أيضًا للمعلم الذي ينفذها الدراسة عن بعد. من أجل تطوير المهارات في حل المسائل المثلثية.

فك تشفير النص:

"تبسيط التعبيرات المثلثية."

المساواة

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (جيب مربع te زائد جيب تمام مربع te يساوي واحدًا)

2)tgt =، بالنسبة إلى t ≠ + πk، kϵZ (الظل te يساوي نسبة جيب te إلى جيب التمام te مع te لا يساوي pi بمقدار اثنين زائد pi ka، ka ينتمي إلى zet)

3)ctgt = ، من أجل t ≠ πk، kϵZ (ظل التمام te يساوي نسبة جيب التمام te إلى جيب te مع te لا يساوي pi ka، ka ينتمي إلى zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 لـ t ≠ , kϵZ (حاصل ضرب الظل te بواسطة ظل التمام te يساوي واحدًا عندما لا يساوي te الذروة ka، مقسومًا على اثنين، ka ينتمي إلى zet)

تسمى الهويات المثلثية الأساسية.

وغالبا ما تستخدم في تبسيط وإثبات التعبيرات المثلثية.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام هذه الصيغ لتبسيط التعبيرات المثلثية.

مثال 1. بسّط التعبير: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (التعبير أ جيب التمام تربيع te ناقص جيب التمام من الدرجة الرابعة te بالإضافة إلى جيب الزاوية من الدرجة الرابعة te).

حل. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 ر) = الخطيئة 2 ر 1= الخطيئة 2 ر

(نخرج العامل المشترك cosine² te، بين قوسين نحصل على الفرق بين الوحدة وcosine te المربعة، والذي يساوي مربع sine te بواسطة الهوية الأولى. نحصل على مجموع القوة الرابعة sine te من منتج جيب التمام مربع te وجيب مربع te.نخرج العامل المشترك جيب التمام مربع te خارج الأقواس، بين قوسين نحصل على مجموع مربعات جيب التمام والجيب، والتي، وفقًا للهوية المثلثية الأساسية، تساوي 1 ونتيجة لذلك نحصل على مربع الجيب te).

مثال 2. تبسيط التعبير: + .

(التعبير يكون هو مجموع كسرين في بسط جيب التمام الأول te في المقام واحد ناقص جيب التمام te، في بسط جيب التمام الثاني te في مقام الثاني زائد جيب التمام te).

(دعونا نخرج العامل المشترك cosine te من الأقواس، ونضعه بين قوسين حتى يصل إلى مقام مشترك، وهو حاصل ضرب واحد ناقص sine te في واحد زائد sine te.

في البسط نحصل على: واحد زائد sine te زائد واحد ناقص sine te، نعطي متشابهات، البسط يساوي اثنين بعد إحضار المتشابهات.

في المقام، يمكنك تطبيق صيغة الضرب المختصرة (فرق المربعات) والحصول على الفرق بين الوحدة ومربع الجيب te، والذي حسب الهوية المثلثية الأساسية

يساوي مربع جيب التمام te. بعد التخفيض بواسطة cosine te نحصل على الإجابة النهائية: اثنان مقسومًا على cosine te).

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام هذه الصيغ عند إثبات التعبيرات المثلثية.

مثال 3. أثبت الهوية (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (حاصل ضرب الفرق بين مربعي الظل te وsine te في مربع ظل التمام te يساوي مربع شرط تي).

دليل.

دعونا نحول الجانب الأيسر من المساواة:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 ر = الخطيئة 2 ر

(دعونا نفتح الأقواس؛ من العلاقة التي تم الحصول عليها مسبقًا، من المعروف أن منتج مربعات الظل te بواسطة ظل التمام te يساوي واحدًا. دعونا نتذكر أن ظل التمام te يساوي نسبة جيب التمام te بواسطة جيب te، والتي يعني أن مربع ظل التمام هو نسبة مربع جيب التمام te إلى مربع جيب التمام te.

بعد الاختزال بواسطة مربع جيب te نحصل على الفرق بين الوحدة وجيب التمام مربع te، وهو ما يساوي مربع جيب te). Q.E.D.

مثال 4. أوجد قيمة التعبير tg 2 t + ctg 2 t إذا كان tgt + ctgt = 6.

(مجموع مربعات الظل te وظل التمام te، إذا كان مجموع الظل وظل التمام ستة).

حل. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

تيراغرام 2 ر + ك تغ 2 ر = 34

دعونا تربيع طرفي المساواة الأصلية:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (مربع مجموع الظل te وظل التمام te يساوي ستة مربع). لنتذكر صيغة الضرب المختصرة: مربع مجموع كميتين يساوي مربع الأولى زائد ضعف ناتج الأولى في الثانية بالإضافة إلى مربع الثانية. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 نحصل على tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (ظل تربيع te زائد ضعف منتج ظل te في ظل تمام te زائد ظل تمام تربيع te يساوي ستة وثلاثون) .

بما أن حاصل ضرب الظل te وظل التمام te يساوي واحدًا، إذن tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (مجموع مربعات الظل te وظل التمام te واثنين يساوي ستة وثلاثين)،

الأقسام: الرياضيات

فصل: 11

الدرس 1

موضوع: الصف الحادي عشر (التحضير لامتحان الدولة الموحدة)

تبسيط التعبيرات المثلثية.

حل المعادلات المثلثية البسيطة. (ساعاتين)

الأهداف:

• تنظيم وتعميم وتوسيع معارف الطلاب ومهاراتهم المتعلقة باستخدام صيغ علم المثلثات وحل المعادلات المثلثية البسيطة.

معدات الدرس:

هيكل الدرس:

1. اللحظة التنظيمية
2. الاختبار على أجهزة الكمبيوتر المحمولة. مناقشة النتائج.
3. تبسيط التعبيرات المثلثية
4. حل المعادلات المثلثية البسيطة
5. عمل مستقل.
6. ملخص الدرس. شرح الواجب المنزلي.

1. اللحظة التنظيمية. (2 دقيقة.)

يحيي المعلم الحضور، ويعلن عن موضوع الدرس، ويذكرهم بأنه تم تكليفهم سابقًا بمهمة تكرار صيغ علم المثلثات، ويقوم بإعداد الطلاب للاختبار.

2. الاختبار. (15 دقيقة + 3 دقائق مناقشة)

الهدف هو اختبار المعرفة بالصيغ المثلثية والقدرة على تطبيقها. كل طالب لديه جهاز كمبيوتر محمول على مكتبه مع نسخة من الاختبار.

يمكن أن يكون هناك أي عدد من الخيارات، وسأقدم مثالا على واحد منهم:

أنا الخيار.

تبسيط التعبيرات:

أ) الهويات المثلثية الأساسية

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

ب) صيغ الجمع

3. الخطيئة 5x - الخطيئة 3x؛

ج) تحويل المنتج إلى مجموع

6.2sin8y cos3y؛

د) صيغ الزاوية المزدوجة

7.2sin5x cos5x؛

ه) صيغ نصف الزوايا

و) صيغ الزوايا الثلاثية

ز) الاستبدال الشامل

ح) انخفاض في الدرجة

16. كوس 2 (3س/7)؛

يرى الطلاب إجاباتهم على الكمبيوتر المحمول بجوار كل صيغة.

يتم فحص العمل على الفور بواسطة الكمبيوتر. يتم عرض النتائج على شاشة كبيرة ليراها الجميع.

وأيضًا، بعد الانتهاء من العمل، تظهر الإجابات الصحيحة على أجهزة الكمبيوتر المحمولة الخاصة بالطلاب. يرى كل طالب مكان الخطأ وما هي الصيغ التي يحتاج إلى تكرارها.

3. تبسيط التعبيرات المثلثية. (25 دقيقة)

الهدف هو تكرار وممارسة وتعزيز استخدام الصيغ الأساسية لعلم المثلثات. حل المسائل B7 من امتحان الدولة الموحدة.

في هذه المرحلة، يُنصح بتقسيم الفصل إلى مجموعات من الطلاب الأقوياء (العمل بشكل مستقل مع الاختبار اللاحق) والطلاب الضعفاء الذين يعملون مع المعلم.

مهمة للطلاب الأقوياء (معدة مسبقًا على أساس مطبوع). ينصب التركيز الرئيسي على صيغ التخفيض والزاوية المزدوجة، وفقًا لامتحان الدولة الموحدة 2011.

تبسيط التعبيرات (للطلاب الأقوياء):

وفي الوقت نفسه، يعمل المعلم مع الطلاب الضعفاء، ويناقش ويحل المهام على الشاشة تحت إملاء الطلاب.

احسب:

5) خطيئة (270 درجة - α) + جتا (270 درجة + α)

6)

تبسيط:

لقد حان الوقت لمناقشة نتائج عمل المجموعة القوية.

تظهر الإجابات على الشاشة، وأيضًا باستخدام كاميرا الفيديو يتم عرض أعمال 5 طلاب مختلفين (مهمة واحدة لكل منهم).

المجموعة الضعيفة ترى الحال وطريقة الحل. المناقشة والتحليل جارية. مع استخدام الوسائل التقنية يحدث هذا بسرعة.

4. حل المعادلات المثلثية البسيطة. (30 دقيقة.)

الهدف هو تكرار وتنظيم وتعميم حل أبسط المعادلات المثلثية وكتابة جذورها. حل المشكلة B3.

أي معادلة مثلثية، مهما حلناها، تؤدي إلى أبسطها.

عند إكمال المهمة، يجب على الطلاب الانتباه إلى كتابة جذور معادلات الحالات الخاصة والصورة العامة واختيار الجذور في المعادلة الأخيرة.

حل المعادلات:

اكتب أصغر جذر موجب كإجابتك.

5. العمل المستقل (10 دقائق)

الهدف هو اختبار المهارات المكتسبة وتحديد المشاكل والأخطاء وطرق التخلص منها.

يتم تقديم العمل متعدد المستويات لاختيار الطالب.

الخيار "3"

1) أوجد قيمة التعبير

2) بسّط التعبير 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) حل المعادلة

خيار "4"

1) أوجد قيمة التعبير

2) حل المعادلة اكتب أصغر جذر موجب في إجابتك.

الخيار "5"

1) ابحث عن tanα إذا

2) أوجد جذر المعادلة اكتب أصغر جذر موجب كإجابتك.

6. ملخص الدرس (5 دقائق)

يلخص المعلم حقيقة أنهم قاموا خلال الدرس بتكرار وتعزيز الصيغ المثلثية وحل أبسط المعادلات المثلثية.

يتم تعيين الواجبات المنزلية (التي يتم إعدادها على أساس مطبوع مسبقًا) مع إجراء فحص عشوائي في الدرس التالي.

حل المعادلات:

9)

10) في إجابتك، أشر إلى أصغر جذر موجب.

الدرس 2

موضوع: الصف الحادي عشر (التحضير لامتحان الدولة الموحدة)

طرق حل المعادلات المثلثية. اختيار الجذر. (ساعاتين)

الأهداف:

• تعميم وتنظيم المعرفة حول حل المعادلات المثلثية بمختلف أنواعها.
• تعزيز تنمية التفكير الرياضي لدى الطلاب، والقدرة على الملاحظة والمقارنة والتعميم والتصنيف.
• تشجيع الطلاب على التغلب على الصعوبات في عملية النشاط العقلي، وضبط النفس، والتأمل في أنشطتهم.

معدات الدرس: KRMu، أجهزة كمبيوتر محمولة لكل طالب.

هيكل الدرس:

1. اللحظة التنظيمية
2. مناقشة d/z والنفس. العمل من الدرس الأخير
3. مراجعة طرق حل المعادلات المثلثية.
4. حل المعادلات المثلثية
5. اختيار الجذور في المعادلات المثلثية.
6. عمل مستقل.
7. ملخص الدرس. العمل في المنزل.

1. اللحظة التنظيمية (دقيقتان)

يحيي المعلم الجمهور ويعلن موضوع الدرس وخطة العمل.

2. أ) تحليل الواجبات المنزلية (5 دقائق)

الهدف هو التحقق من التنفيذ. يتم عرض عمل واحد على الشاشة باستخدام كاميرا فيديو، ويتم جمع الباقي بشكل انتقائي لفحص المعلم.

ب) تحليل العمل المستقل (3 دقائق)

الهدف هو تحليل الأخطاء والإشارة إلى طرق التغلب عليها.

تظهر الإجابات والحلول على الشاشة، ويتم تسليم عمل الطلاب مسبقًا. يستمر التحليل بسرعة.

3. مراجعة طرق حل المعادلات المثلثية (5 دقائق)

الهدف هو تذكر طرق حل المعادلات المثلثية.

اسأل الطلاب عن طرق حل المعادلات المثلثية التي يعرفونها. التأكيد على أن هناك ما يسمى بالطرق الأساسية (المستخدمة بشكل متكرر):

• استبدال متغير,
• التخصيم,
• معادلات متجانسة,

وهناك طرق تطبيقية:

• باستخدام الصيغ لتحويل المجموع إلى منتج والمنتج إلى مجموع،
• وفقًا لصيغ تقليل الدرجة ،
• الاستبدال المثلثي العالمي
• إدخال زاوية مساعدة،
• الضرب ببعض الدوال المثلثية

تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه يمكن حل معادلة واحدة بطرق مختلفة.

4. حل المعادلات المثلثية (30 دقيقة)

الهدف هو تعميم وتوحيد المعرفة والمهارات حول هذا الموضوع، للتحضير لحل C1 من امتحان الدولة الموحدة.

أعتبر أنه من المستحسن حل المعادلات لكل طريقة مع الطلاب.

يقوم الطالب بإملاء الحل، ويكتبه المعلم على الجهاز اللوحي، ويتم عرض العملية برمتها على الشاشة. سيسمح لك ذلك باستدعاء المواد التي تمت تغطيتها سابقًا في ذاكرتك بسرعة وفعالية.

حل المعادلات:

1) استبدال المتغير 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) التحليل 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) المعادلات المتجانسة sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) تحويل المجموع إلى منتج cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) تحويل المنتج إلى مجموع 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) تخفيض الدرجة sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) الاستبدال المثلثي الشامل sinx + 5cosx + 5 = 0.

عند حل هذه المعادلة، تجدر الإشارة إلى أن استخدام هذه الطريقة يؤدي إلى تضييق نطاق التعريف، حيث يتم استبدال الجيب وجيب التمام بـ tg(x/2). لذلك، قبل كتابة الإجابة، تحتاج إلى التحقق مما إذا كانت الأرقام من المجموعة π + 2πn، n Z هي خيول هذه المعادلة.

8) إدخال زاوية مساعدة √3sinx + cosx - √2 = 0

9) الضرب ببعض الدوال المثلثية cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. اختيار جذور المعادلات المثلثية (20 دقيقة)

نظرا لأنه في ظروف المنافسة الشرسة عند دخول الجامعات، فإن حل الجزء الأول من الامتحان وحده لا يكفي، يجب على معظم الطلاب الانتباه إلى مهام الجزء الثاني (C1، C2، C3).

لذلك فإن الهدف من هذه المرحلة من الدرس هو تذكر المواد التي تمت دراستها مسبقًا والاستعداد لحل المشكلة C1 من امتحان الدولة الموحدة 2011.

توجد معادلات مثلثية تحتاج فيها إلى تحديد الجذور عند كتابة الإجابة. ويرجع ذلك إلى بعض القيود، على سبيل المثال: مقام الكسر لا يساوي الصفر، والتعبير تحت الجذر الزوجي غير سالب، والتعبير تحت علامة اللوغاريتم موجب، وما إلى ذلك.

تعتبر مثل هذه المعادلات معادلات ذات تعقيد متزايد وفي نسخة امتحان الدولة الموحدة توجد في الجزء الثاني وهو C1.

حل المعادلة:

الكسر يساوي صفرًا إذاً باستخدام دائرة الوحدة سنختار الجذور (انظر الشكل 1)

الصورة 1.

نحصل على x = π + 2πn, n Z

الإجابة: π + 2πn، n Z

يظهر على الشاشة اختيار الجذور على شكل دائرة في صورة ملونة.

يكون حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر، ولا يفقد القوس معناه. ثم

باستخدام دائرة الوحدة نختار الجذور (انظر الشكل 2)

الشكل 2.

5)

دعنا ننتقل إلى النظام:

في المعادلة الأولى للنظام نقوم بعمل سجل الاستبدال 2 (sinx) = y، ثم نحصل على المعادلة ، دعنا نعود إلى النظام

باستخدام دائرة الوحدة نختار الجذور (انظر الشكل 5)،

الشكل 5.

6. العمل المستقل (15 دقيقة)

الهدف هو توحيد المواد والتحقق منها وتحديد الأخطاء وتحديد طرق تصحيحها.

يتم تقديم العمل في ثلاثة إصدارات، معدة مسبقًا على أساس مطبوع، ليختار منها الطلاب.

يمكنك حل المعادلات بأي شكل من الأشكال.

الخيار "3"

حل المعادلات:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) الخطيئة2x = √3cosx

خيار "4"

حل المعادلات:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

الخيار "5"

حل المعادلات:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. ملخص الدرس والواجب المنزلي (5 دقائق)

يلخص المعلم الدرس ويلفت الانتباه مرة أخرى إلى حقيقة أنه يمكن حل المعادلة المثلثية بعدة طرق. معظم أفضل طريقةلتحقيق نتيجة سريعة، فهو الذي يتعلمه طالب معين بشكل أفضل.

عند التحضير للامتحان، تحتاج إلى تكرار الصيغ وطرق حل المعادلات بشكل منهجي.

يتم توزيع الواجبات المنزلية (المعدة مسبقاً بشكل مطبوع) والتعليق على طرق حل بعض المعادلات.

حل المعادلات:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4الخطيئة 2 س + الخطيئة 2س = 3

4) الخطيئة 2 س + الخطيئة 2 2x - الخطيئة 2 3x - الخطيئة 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)سجل 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)سجل 7 (-tgx) = 0

11)

في تحولات الهوية التعبيرات المثلثيةيمكن استخدام التقنيات الجبرية التالية: إضافة وطرح المصطلحات المتماثلة؛ وضع العامل المشترك بين قوسين؛ الضرب والقسمة بنفس الكمية؛ تطبيق صيغ الضرب المختصرة؛ اختيار مربع كامل؛ تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية؛ إدخال متغيرات جديدة لتبسيط التحولات.

عند تحويل التعبيرات المثلثية التي تحتوي على كسور، يمكنك استخدام خصائص التناسب، أو تقليل الكسور، أو تقليل الكسور إلى مقام مشترك. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك استخدام اختيار الجزء بأكمله من الكسر، وضرب البسط ومقام الكسر بنفس المقدار، وكذلك، إن أمكن، مراعاة تجانس البسط أو المقام. إذا لزم الأمر، يمكنك تمثيل الكسر كمجموع أو فرق بين عدة كسور أبسط.

بالإضافة إلى ذلك، عند تطبيق جميع الطرق اللازمة لتحويل التعبيرات المثلثية، من الضروري أن تأخذ في الاعتبار باستمرار نطاق القيم المسموح بها للتعبيرات التي يتم تحويلها.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.

احسب A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ الخطيئة (3π/2 – س) الخطيئة (2س –5π/2)) 2

حل.

من صيغ التخفيض ما يلي:

الخطيئة (2x - π) = -الخطيئة 2x؛ كوس (3π - س) = -كوس س؛

الخطيئة (2س - 9π/2) = -cos 2x؛ كوس (س + π/2) = -سين س؛

كوس (س - π/2) = الخطيئة س؛ كوس (2س - 7π/2) = -سين 2س؛

الخطيئة (3π/2 - س) = -كوس س؛ الخطيئة (2س - 5π/2) = -cos 2x.

ومن هنا، بفضل صيغ إضافة الحجج والهوية المثلثية الرئيسية، نحصل على ذلك

أ = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= جا 2 3س + جتا 2 3س = 1

الجواب: 1.

مثال 2.

حول التعبير M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ إلى منتج.

حل.

من صيغ إضافة الوسائط وصيغ تحويل المبالغ الدوال المثلثيةفي المنتج بعد التجميع المناسب لدينا

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

الإجابة: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

مثال 3.

أظهر أن التعبير A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) يأخذ واحدًا لجميع x من R و نفس المعنى. أوجد هذه القيمة.

حل.

فيما يلي طريقتان لحل هذه المشكلة. بتطبيق الطريقة الأولى، عن طريق عزل مربع كامل واستخدام الصيغ المثلثية الأساسية المقابلة، نحصل على ذلك

أ = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

لحل المشكلة بالطريقة الثانية، اعتبر A دالة لـ x من R واحسب مشتقتها. بعد التحولات التي نحصل عليها

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) خطيئة (x – π/6) =

خطيئة 2(س + π/6) + خطيئة ((x + π/6) + (س – π/6)) – خطيئة 2(x – π/6) =

الخطيئة 2س – (الخطيئة (2س + π/3) + الخطيئة (2س – π/3)) =

الخطيئة 2س – 2الخطيئة 2س · جتا π/3 = الخطيئة 2س – الخطيئة 2س ≡ 0.

وبالتالي، نظرًا لمعيار ثبات دالة قابلة للاشتقاق على الفترة، نستنتج ذلك

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

الإجابة: أ = 3/4 لـ x € R.

التقنيات الرئيسية لإثبات الهويات المثلثية هي:

أ)تقليص الجانب الأيسر من الهوية إلى اليمين من خلال التحولات المناسبة؛
ب)تقليل الجانب الأيمن من الهوية إلى اليسار؛
الخامس)تقليل الجانبين الأيمن والأيسر من الهوية إلى نفس الشكل؛
ز)تقليل الفرق بين الجانبين الأيسر والأيمن للهوية التي تم إثباتها إلى الصفر.

مثال 4.

تحقق من أن cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

حل.

لقد قمنا بتحويل الجانب الأيمن من هذه المتطابقة باستخدام الصيغ المثلثية المقابلة

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3)) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

يتم تقليل الجانب الأيمن من الهوية إلى اليسار.

مثال 5.

أثبت أن sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2، إذا كانت α، β، γ زوايا داخلية لبعض المثلثات.

حل.

بالنظر إلى أن α، β، γ هي الزوايا الداخلية لبعض المثلثات، نحصل على ذلك

α + β + γ = π وبالتالي γ = π – α – β.

خطيئة 2 α + خطيئة 2 β + خطيئة 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

وقد ثبت المساواة الأصلية.

مثال 6.

أثبت أنه لكي تكون إحدى زوايا المثلث α، β، γ تساوي 60°، من الضروري والكافي أن يكون sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

حل.

تتضمن حالة هذه المشكلة إثبات الضرورة والكفاية.

أولا دعونا نثبت ضروري.

يمكن أن يظهر ذلك

خطيئة 3α + خطيئة 3β + خطيئة 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

وبالتالي، مع الأخذ في الاعتبار أن cos (3/2 60°) = cos 90° = 0، نحصل على أنه إذا كانت إحدى الزوايا α أو β أو γ تساوي 60°، إذن

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0، وبالتالي، sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

دعونا نثبت الآن قدرةالحالة المحددة.

إذا كان sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0، فإن cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0، وبالتالي

إما cos (3α/2) = 0، أو cos (3β/2) = 0، أو cos (3γ/2) = 0.

لذلك،

أو 3α/2 = π/2 + πk، أي α = π/3 + 2πك/3،

أو 3β/2 = π/2 + πk، أي. β = π/3 + 2πk/3،

أو 3γ/2 = π/2 + πk،

أولئك. γ = π/3 + 2πk/3، حيث k ϵ Z.

من حقيقة أن α، β، γ هي زوايا المثلث، لدينا

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

لذلك، بالنسبة إلى α = π/3 + 2πk/3 أو β = π/3 + 2πk/3 أو

γ = π/3 + 2πk/3 لجميع kϵZ فقط k = 0 مناسب.

ويترتب على ذلك إما α = π/3 = 60°، أو β = π/3 = 60°، أو γ = π/3 = 60°.

وقد ثبت البيان.

لا تزال لديك أسئلة؟ لست متأكدا من كيفية تبسيط التعبيرات المثلثية؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

فورونكوفا أولغا إيفانوفنا

مبو "المدرسة الثانوية"

رقم 18"

إنجلز، منطقة ساراتوف.

مدرس رياضيات.

« التعبيرات المثلثيةوتحولاتها"

مقدمة …………………………………………………………………………………………………………………

الفصل الأول تصنيف المهام على استخدام تحويلات العبارات المثلثية ……………………………………………….5

1.1. المهام الحسابية قيم التعبيرات المثلثية ……….5

1.2.مهام على تبسيط العبارات المثلثية.... 7

1.3. مهام تحويل التعابير المثلثية العددية.....7

1.4 مهام من النوع المختلط ……………………………………………..9

الفصل الثاني: الجوانب المنهجية لتنظيم التكرار النهائي لموضوع "تحويل التعبيرات المثلثية" ........................................ 11

2.1 التكرار الموضوعي في الصف العاشر .......................................................... 11

الاختبار 1 ……………………………………………………………..12

الاختبار 2 ………………………………………………………………..13

الاختبار 3 ……………………………………………………………..14

2.2 الإعادة النهائية في الصف الحادي عشر................................................................................. 15

الاختبار 1 ………………………………………………………………..17

الاختبار 2 ……………………………………………………………………….17

الاختبار 3 ……………………………………………………………..18

الخلاصة ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 19

قائمة المراجع ………………………………………………………….20

مقدمة.

في ظروف اليوم السؤال الأهم هو: "كيف يمكننا المساعدة في سد بعض الفجوات في معارف الطلاب وتحذيرهم من الأخطاء المحتملة في امتحان الدولة الموحدة؟" لحل هذه المشكلة، من الضروري أن نحقق من الطلاب ليس استيعابًا رسميًا لمواد البرنامج، ولكن فهمها العميق والواعي، وتطوير سرعة الحسابات والتحويلات الشفهية، فضلاً عن تطوير المهارات في حل المشكلات البسيطة "في العقل." من الضروري إقناع الطلاب بذلك فقط إذا كان هناك موقف نشط، عند دراسة الرياضيات بشرط الاكتساب المهارات العمليةوالمهارات واستخدامها، يمكنك الاعتماد على النجاح الحقيقي. من الضروري استغلال كل فرصة للتحضير لامتحان الدولة الموحدة، بما في ذلك المواد الاختيارية في الصفوف 10-11، ومراجعة المهام المعقدة بانتظام مع الطلاب، واختيار الطريقة الأكثر عقلانية لحلها في الدروس والفصول الإضافية.نتيجة إيجابية فييمكن تحقيق مجالات حل المشكلات القياسية إذا قام مدرسو الرياضيات بإبداعهاالتدريب الأساسي الجيد للطلاب، والبحث عن طرق جديدة لحل المشكلات التي فتحت أمامنا، والتجربة بنشاط، وتطبيق الحديث التقنيات التعليميةوالأساليب والتقنيات التي تخلق الظروف المواتية لتحقيق الذات الفعال وتقرير المصير للطلاب في الظروف الاجتماعية الجديدة.

يعد علم المثلثات جزءًا لا يتجزأ من دورة الرياضيات المدرسية. المعرفة الجيدة والمهارات القوية في علم المثلثات دليل على وجود مستوى كاف من الثقافة الرياضية، شرط لا غنى عنهدراسة ناجحة للرياضيات والفيزياء وعدد من المواد التقنيةالتخصصات.

أهمية العمل. تظهر نسبة كبيرة من خريجي المدارس من عام إلى آخر إعدادًا سيئًا للغاية في هذا القسم المهم من الرياضيات، كما يتضح من نتائج السنوات الماضية (نسبة الإنجاز في عام 2011 - 48.41٪، 2012 - 51.05٪)، منذ تحليل النجاح أظهر اختبار الدولة الموحد أن الطلاب يرتكبون العديد من الأخطاء عند إكمال المهام في هذا القسم بالذات أو لا يقومون بمثل هذه المهام على الإطلاق. في واحد في امتحان الدولة، توجد أسئلة حول علم المثلثات في ثلاثة أنواع من المهام تقريبًا. ويشمل ذلك حل أبسط المعادلات المثلثية في المهمة B5، والعمل مع التعبيرات المثلثية في المهمة B7، ودراسة الدوال المثلثية في المهمة B14، وكذلك المهام B12، والتي يوجد فيها صيغ تصف الظواهر الفيزيائيةوتحتوي على وظائف مثلثية. وهذا ليس سوى جزء من المهام ب! ولكن هناك أيضًا معادلات مثلثية مفضلة مع اختيار جذور C1، و"غير مفضلة جدًا" المهام الهندسية C2 وC4.

الهدف من العمل. تحليل مواد امتحان الدولة الموحدةالمهام B7، مخصصة لتحويلات التعبيرات المثلثية وتصنيف المهام حسب شكل عرضها في الاختبارات.

يتكون العمل من فصلين، مقدمة وخاتمة. تؤكد المقدمة على أهمية العمل. يقدم الفصل الأول تصنيفًا للمهام لاستخدام تحويلات التعبيرات المثلثية إلى مهام الاختبارامتحان الدولة الموحدة (2012).

ويناقش الفصل الثاني تنظيم التكرار في موضوع تحويل التعابير المثلثية في الصفين العاشر والحادي عشر وتطوير الاختبارات في هذا الموضوع.

وتشمل قائمة المراجع 17 مصدرا.

الفصل 1. تصنيف المهام باستخدام تحويلات التعبيرات المثلثية.

وفقًا لمعايير التعليم الثانوي (الكامل) ومتطلبات مستوى إعداد الطلاب، يتضمن مُدون المتطلبات مهامًا تتعلق بمعرفة أساسيات علم المثلثات.

سيكون تعلم أساسيات علم المثلثات أكثر فعالية عندما:

سيتم توفير الدافع الإيجابي للطلاب لتكرار المواد التي تعلموها سابقًا؛

سيتم تنفيذ نهج موجه نحو الشخص في العملية التعليمية؛

سيتم استخدام نظام المهام الذي يساعد على توسيع وتعميق وتنظيم معرفة الطلاب؛

سيتم استخدام التقنيات التربوية المتقدمة.

بعد تحليل الأدبيات وموارد الإنترنت حول التحضير لامتحان الدولة الموحدة، اقترحنا أحدها التصنيفات الممكنةالمهام B7 (امتحان الدولة الموحدة KIM 2012-علم المثلثات): المهام الحسابيةقيم التعبيرات المثلثية. مهام لتحويل التعبيرات المثلثية العددية. مهام لتحويل التعبيرات المثلثية الحرفية؛ مهام من النوع المختلط.

1.1. المهام الحسابية معاني التعبيرات المثلثية.

من أكثر أنواع مسائل علم المثلثات البسيطة شيوعاً هو حساب قيم الدوال المثلثية من قيمة إحداها:

أ) استخدام الهوية المثلثية الأساسية وعواقبها.

مثال 1 . اكتشف إذا
و
.

حل.
,
,

لأن ، الذي - التي
.

إجابة.

مثال 2 . يجد
، لو
و .

حل.
,
,
.

لأن ، الذي - التي
.

إجابة. .

ب) استخدام صيغ الزاوية المزدوجة.

مثال 3 . يجد
، لو
.

حل. , .

إجابة.
.

مثال 4 . العثور على معنى التعبير
.

حل. .

إجابة.
.

1. يجد ، لو
و
. إجابة. -0.2

2. يجد ، لو
و
. إجابة. 0.4

3. يجد
، لو . إجابة. -12.884. يجد
، لو
. إجابة. -0.845. ابحث عن معنى العبارة:
. إجابة. 66. العثور على معنى التعبير
.إجابة. -19

1.2.مهام على تبسيط التعبيرات المثلثية. يجب أن يفهم الطلاب صيغ الاختزال جيدًا، حيث سيجدون المزيد من التطبيق في الهندسة والفيزياء والتخصصات الأخرى ذات الصلة.

مثال 5 . تبسيط التعبيرات
.

حل. .

إجابة.
.

مهام الحل المستقل:

1. تبسيط التعبير
. إجابة. 0.62. يجد
، لو
و. إجابة. 10.563. العثور على معنى التعبير
، لو
. إجابة. 2

1.3. مهام لتحويل التعبيرات المثلثية العددية.

عند ممارسة مهارات المهام لتحويل التعبيرات المثلثية العددية، يجب الانتباه إلى معرفة جدول قيم الدوال المثلثية، وخصائص التكافؤ ودورية الدوال المثلثية.

أ) استخدام القيم الدقيقة للدوال المثلثية لبعض الزوايا.

مثال 6 . احسب
.

حل.
.

إجابة.
.

ب) استخدام خصائص التكافؤ الدوال المثلثية.

مثال 7 . احسب
.

حل. .

إجابة.

الخامس) استخدام خصائص الدوريةالدوال المثلثية.

مثال 8 . العثور على معنى التعبير
.

حل. .

إجابة.
.

مهام الحل المستقل:

1. العثور على معنى التعبير
. إجابة. -40.52. ابحث عن معنى التعبير
. إجابة. 17

3. العثور على معنى التعبير
. إجابة. 6

. إجابة. -24
إجابة. -64

1.4 مهام من النوع المختلط.

يحتوي نموذج اختبار الشهادة على ميزات مهمة جدًا، لذا من المهم الانتباه إلى المهام المتعلقة باستخدام العديد من الصيغ المثلثية في نفس الوقت.

مثال 9. يجد
، لو
.

حل.
.

إجابة.
.

مثال 10 . يجد
، لو
و
.

حل. .

لأن ، الذي - التي
.

إجابة.
.

مثال 11. يجد
، لو .

حل. , ,
,
,
,
,
.

إجابة.

مثال 12. احسب
.

حل. .

إجابة.
.

مثال 13. العثور على معنى التعبير
، لو
.

حل. .

إجابة.
.

مهام الحل المستقل:

1. يجد
، لو
. إجابة. -1.75
2. يجد
، لو
. إجابة. 33. ابحث
، لو .إجابة. 0.254. ابحث عن معنى التعبير
، لو
. إجابة. 0.35. ابحث عن معنى التعبير
، لو
. إجابة. 5

الفصل 2. الجوانب المنهجية لتنظيم التكرار النهائي لموضوع "تحويل التعبيرات المثلثية".

من أهم القضايا التي تساهم في زيادة تحسين الأداء الأكاديمي وتحقيق المعرفة العميقة والدائمة لدى الطلاب هي مسألة تكرار المواد التي تم تناولها سابقًا. تظهر الممارسة أنه في الصف العاشر، من الأفضل تنظيم التكرار الموضوعي؛ في الصف الحادي عشر - التكرار النهائي.

2.1. مراجعة موضوعية للصف العاشر.

في عملية العمل على المواد الرياضية، على وجه الخصوص أهمية عظيمةيكتسب تكرارًا لكل موضوع مكتمل أو قسم كامل من الدورة.

مع التكرار الموضوعي، يتم تنظيم معرفة الطلاب حول موضوع ما في المرحلة النهائية من إكماله أو بعد استراحة معينة.

بالنسبة للتكرار الموضوعي، يتم تخصيص دروس خاصة، حيث يتم تركيز وتعميم مادة موضوع واحد معين.

يتم التكرار في الدرس من خلال المحادثة بمشاركة واسعة من الطلاب في هذه المحادثة. بعد ذلك، يتم تكليف الطلاب بمهمة تكرار موضوع معين ويتم تحذيرهم بأنه سيتم إجراء الاختبار.

يجب أن يتضمن الاختبار الخاص بموضوع ما جميع أسئلته الرئيسية. بعد الانتهاء من العمل، يتم تحليل الأخطاء المميزة وتنظيم التكرار للتخلص منها.

بالنسبة لدروس التكرار الموضوعية، نحن نقدم تطويرها أعمال التقييم في شكل اختباراتحول موضوع "تحويل التعبيرات المثلثية."

الاختبار رقم 1

الاختبار رقم 2

الاختبار رقم 3

جدول الإجابة

امتحان

2.2. المراجعة النهائية للصف الحادي عشر.

يتم التكرار النهائي في المرحلة النهائية من دراسة القضايا الرئيسية لدورة الرياضيات ويتم تنفيذه فيما يتعلق بالدراسة المنطقية المواد التعليميةلهذا القسم أو الدورة ككل.

يهدف التكرار النهائي للمواد التعليمية إلى تحقيق الأهداف التالية:

1. تفعيل المادة بأكملها دورة تدريبيةلتوضيح بنيتها المنطقية وبناء نظام ضمن الروابط الموضوعية والموضوعية.

2. تعميق وتوسيع معرفة الطلاب بالقضايا الرئيسية للمقرر في عملية الإعادة إن أمكن.

في سياق إلزامية اجتياز امتحان الرياضيات لجميع الخريجين، فإن الإدخال التدريجي لامتحان الدولة الموحد يجبر المعلمين على اتباع نهج جديد في إعداد الدروس وإجرائها، مع مراعاة الحاجة إلى ضمان إتقان جميع أطفال المدارس للتعليم المواد على مستوى أساسي، بالإضافة إلى إتاحة الفرصة للطلاب المتحمسين المهتمين بالحصول على درجات عالية للقبول في إحدى الجامعات للتقدم ديناميكيًا في إتقان المادة بمستوى متقدم وعالي.

أثناء دروس المراجعة النهائية، يمكنك مراعاة المهام التالية:

مثال 1 . احسب قيمة التعبير.حل. =
= =
=
=
=
=0,5. إجابة. 0.5. مثال 2. حدد أكبر قيمة عددية يمكن أن يقبلها التعبير
.

حل. لأن
يمكن أن تأخذ أي قيمة تنتمي إلى المقطع [–1؛ 1] ثم
يأخذ أي قيمة للمقطع [–0.4؛ 0.4] لذلك . يحتوي التعبير على قيمة عددية واحدة - الرقم 4.

الجواب: 4 مثال 3 . تبسيط التعبير
.

الحل: لنستخدم صيغة تحليل مجموع المكعبات: . لدينا

لدينا:
.

الجواب: 1

مثال 4. احسب
.

حل. .

الجواب: 0.28

بالنسبة لدروس المراجعة النهائية، نقدم اختبارات مطورة حول موضوع "تحويل التعبيرات المثلثية".

أدخل أكبر عدد صحيح لا يتجاوز 1

خاتمة.

وقد عملت من خلال المناسبة الأدب المنهجيفي هذا الموضوع يمكننا أن نستنتج أن القدرة والمهارة على حل المشكلات المتعلقة بالتحويلات المثلثية في مقرر الرياضيات المدرسية أمر مهم للغاية.

في سياق العمل المنجز، تم تنفيذ تصنيف المهام B7. يتم أخذ الصيغ المثلثية المستخدمة غالبًا في CMMs في عام 2012 بعين الاعتبار. وترد أمثلة على المهام مع الحلول. تم تطوير اختبارات متباينة لتنظيم التكرار وتنظيم المعرفة استعدادًا لامتحان الدولة الموحدة.

يُنصح بمواصلة العمل الذي بدأه بالنظر حل أبسط المعادلات المثلثية في المهمة B5، دراسة الدوال المثلثية في المهمة B14، المهام B12 التي تحتوي على صيغ تصف الظواهر الفيزيائية وتحتوي على دوال مثلثية.

وفي الختام، أود أن أشير إلى أن الفعالية اجتياز امتحان الدولة الموحدةيتم تحديده إلى حد كبير من خلال مدى فعالية تنظيم عملية التدريب على جميع مستويات التعليم، مع جميع فئات الطلاب. وإذا تمكنا من غرس الاستقلال والمسؤولية والاستعداد لدى الطلاب لمواصلة التعلم طوال حياتهم، فلن نحقق نظام الدولة والمجتمع فحسب، بل سنزيد أيضًا من احترامنا لذاتنا.

تكرار المواد التعليمية يتطلب المعلم عمل ابداعي. يجب عليه توفير صلة واضحة بين أنواع التكرار وتنفيذ نظام تكرار مدروس بعمق. إن إتقان فن تنظيم التكرار هو مهمة المعلم. تعتمد قوة معرفة الطلاب إلى حد كبير على حلها.

الأدب.

فيجودسكي يا.يا.، دليل الرياضيات الابتدائية. -م: ناوكا، 1970.

مشاكل الصعوبة المتزايدة في الجبر والتحليل الأساسي: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 المدرسة الثانوية/ بي ام. إيفليف، أ.م. أبراموف، يو.ب. دودنيتسين، إس. شوارتزبرد. - م: التربية، 1990.

تطبيق الصيغ المثلثية الأساسية على تحويل التعبيرات (الصف العاشر) // مهرجان الأفكار التربوية. 2012-2013.

كوريانوف أ.ج. ، بروكوفييف أ.أ. نقوم بإعداد الطلاب الجيدين والمتفوقين لامتحان الدولة الموحدة. - م.: الجامعة التربوية"الأول من سبتمبر"، 2012.- 103 ص.

كوزنتسوفا إي.ن.تبسيط التعبيرات المثلثية. حل المعادلات المثلثية باستخدام الطرق المختلفة (التحضير لامتحان الدولة الموحدة). الصف ال 11. 2012-2013.

كولانين إي دي 3000 مشكلة تنافسية في الرياضيات. الطبعة الرابعة، صحيحة. وإضافية - م: رولف، 2000.

موردكوفيتش أ.ج. المشكلات المنهجية لدراسة علم المثلثات في المدارس الثانوية // الرياضيات في المدرسة. 2002. رقم 6.

بيتشورين إل إف. عن علم المثلثات وليس فقط عنه: -م. التنوير، 1985

ريشيتنيكوف ن. علم المثلثات في المدرسة: -م. : الجامعة التربوية "الأول من سبتمبر"، 2006، ق1.

شابونين إم آي، بروكوفييف أ.أ. الرياضيات. الجبر. بدايات التحليل الرياضي المستوى الشخصي: كتاب مدرسي للصف العاشر - م: BINOM. مختبر المعرفة، 2007.

البوابة التعليمية للتحضير لامتحان الدولة الموحدة.

التحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات "أوه، هذا علم المثلثات! http://festival.1september.ru/articles/621971/

مشروع "الرياضيات؟ سهل!!!" http://www.resolventa.ru/