خصائص طول المتجه في الفضاء الإقليدي. الفضاءات الإقليدية

الفضاء الإقليدي

الفضاء الإقليدي(أيضًا الفضاء الإقليدي) - بالمعنى الأصلي، الفضاء الذي يتم وصف خصائصه من خلال بديهيات الهندسة الإقليدية. في هذه الحالة، من المفترض أن الفضاء له البعد 3.

بالمعنى الحديث، وبمعنى أكثر عمومية، يمكن أن يشير إلى أحد الكائنات المتشابهة والمرتبطة ارتباطًا وثيقًا والمحددة أدناه. عادةً ما يُشار إلى الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد بـ ، على الرغم من استخدام الترميز غير المقبول تمامًا في كثير من الأحيان.

,

في أبسط الأحوال ( القاعدة الإقليدية):

حيث (في الفضاء الإقليدي، يمكنك دائمًا اختيار الأساس الذي تكون فيه هذه النسخة الأبسط صحيحة).

2. المساحة المترية المقابلة للمساحة الموصوفة أعلاه. أي أنه يتم إدخال المقياس وفقًا للصيغة:

,

التعريفات ذات الصلة

• تحت المقياس الإقليدييمكن فهمه على أنه المقياس الموصوف أعلاه بالإضافة إلى المقياس الريماني المقابل.

• نعني بالإقليدية المحلية عادة أن كل فضاء مماس لمشعب ريماني هو فضاء إقليدي بكل الخصائص المترتبة عليه، على سبيل المثال، القدرة (بسبب سلاسة القياس المتري) على إدخال الإحداثيات في حي صغير من نقطة حيث يتم التعبير عن المسافة (حتى مستوى معين)) كما هو موضح أعلاه.

• يُطلق على الفضاء المتري أيضًا اسم الفضاء الإقليدي محليًا إذا كان من الممكن إدخال إحداثيات عليه حيث يكون القياس إقليديًا (بمعنى التعريف الثاني) في كل مكان (أو على الأقل في مجال محدود) - وهو، على سبيل المثال، مشعب ريماني ذو انحناء صفر.

أمثلة

ومن الأمثلة التوضيحية للفراغات الإقليدية الفراغات التالية:

مثال أكثر تجريدية:

الاختلافات والتعميمات

أنظر أيضا

روابط

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

انظر ما هو "الفضاء الإقليدي" في القواميس الأخرى:

الفضاء المتجه محدود الأبعاد مع منتج عددي محدد وموجب. مباشر. تعميم الفضاء العادي ثلاثي الأبعاد. في E. الفضاء هناك إحداثيات ديكارتية، حيث المنتج القياسي للمتجهات (ص ص) س... الموسوعة الفيزيائية

الفضاء الذي يتم دراسة خصائصه في الهندسة الإقليدية. بالمعنى الأوسع، الفضاء الإقليدي هو فضاء متجه ذو أبعاد نية يكون فيه المنتج القياسي ... القاموس الموسوعي الكبير

الفضاء الإقليدي- الفضاء الذي يتم وصف خصائصه من خلال بديهيات الهندسة الإقليدية. وبطريقة مبسطة يمكن تعريف الفضاء الإقليدي بأنه فضاء على مستوى أو في حجم ثلاثي الأبعاد تعطى فيه الإحداثيات المستطيلة (الديكارتية)، و... ... بدايات العلوم الطبيعية الحديثة

الفضاء الإقليدي- انظر الفضاء المتجه متعدد الأبعاد (n-الأبعاد)، الفضاء المتجه (الخطي)... القاموس الاقتصادي والرياضي

الفضاء الإقليدي- - [إل جي سومينكو. قاموس إنجليزي روسي في مجال تكنولوجيا المعلومات. م: مؤسسة الدولة TsNIIS، 2003.] المواضيع تكنولوجيا المعلوماتبشكل عام الفضاء الديكارتي... دليل المترجم الفني

الفضاء الذي يتم دراسة خصائصه في الهندسة الإقليدية. بالمعنى الأوسع، الفضاء الإقليدي هو فضاء متجه ذو أبعاد نية يتم فيه تعريف المنتج القياسي. * * * الفضاء الإقليدي الإقليدي... ... القاموس الموسوعي

الفضاء الذي يتم دراسة خصائصه في الهندسة الإقليدية. بالمعنى الأوسع، E. P. يسمى. الفضاء المتجه ذو الأبعاد n، حيث يكون المنتج العددي ... علم الطبيعة. القاموس الموسوعي

الفضاء، الذي تم وصف خصائصه من خلال بديهيات الهندسة الإقليدية. بمعنى أكثر عمومية، الفضاء E هو فضاء متجه حقيقي محدود الأبعاد Rn مع المنتج القياسي (x، y)، x، في الإحداثيات المختارة بشكل مناسب... ... الموسوعة الرياضية

- (في الرياضيات) الفضاء الذي توصف خصائصه من خلال بديهيات الهندسة الإقليدية (انظر الهندسة الإقليدية). بمعنى أكثر عمومية، يُطلق على الفضاء E. الفضاء المتجه ذو الأبعاد n والذي يمكن فيه إدخال بعض الخصائص الخاصة... ... كبير الموسوعة السوفيتية

- [سمي على اسم يوناني آخر. رياضيات إقليدس (يوكليدس؛ القرن الثالث قبل الميلاد)] الفضاء، بما في ذلك متعدد الأبعاد، حيث يمكن إدخال الإحداثيات x1،...، xn بحيث تكون المسافة p (M، M) بين النقاط M (x1 ...، x n) و M (x 1, .... xn) ربما... ... قاموس البوليتكنيك الموسوعي الكبير

§3. البعد وأساس الفضاء المتجه

مزيج خطي من المتجهات

تركيبة خطية تافهة وغير تافهة

المتجهات المعتمدة خطيًا والمستقلة خطيًا

خصائص مساحة المتجهات المرتبطة بالاعتماد الخطي للمتجهات

ص-مساحة متجهة الأبعاد

البعد من الفضاء المتجه

تحلل المتجه إلى الأساس

§4. الانتقال إلى أساس جديد

مصفوفة الانتقال من الأساس القديم إلى الأساس الجديد

إحداثيات المتجهات في الأساس الجديد

§5. الفضاء الإقليدي

المنتج العددي

الفضاء الإقليدي

طول (قاعدة) المتجه

خصائص طول المتجهات

الزاوية بين المتجهات

ناقلات متعامدة

أساس متعامد

§ 3. البعد وأساس الفضاء المتجه

فكر في بعض المساحة المتجهة (V، Å، ∘) فوق الحقل ر. اسمحوا أن تكون بعض عناصر المجموعة V، أي. ثلاثة أبعاد.

تركيبة خطيةالمتجهات هي أي متجه يساوي مجموع منتجات هذه المتجهات بواسطة عناصر المجال التعسفية ر(أي على العددية):

إذا كانت جميع الكميات تساوي الصفر، فسيتم استدعاء هذا المزيج الخطي تافه(الأبسط)، و.

إذا كان عدد قياسي واحد على الأقل غير صفر، يتم استدعاء المجموعة الخطية غير تافهة.

تسمى المتجهات مستقل خطيا، إذا كانت المجموعة الخطية التافهة من هذه المتجهات تساوي:

تسمى المتجهات تعتمد خطيا، إذا كان هناك مجموعة خطية واحدة غير تافهة على الأقل من هذه المتجهات تساوي .

مثال. خذ بعين الاعتبار مجموعة المجموعات المرتبة من الرباعيات أرقام حقيقيةهو الفضاء المتجه على مجال الأعداد الحقيقية. المهمة: معرفة ما إذا كانت المتجهات موجودة , و تعتمد خطيا.

حل.

لنقم بعمل مزيج خطي من هذه المتجهات: حيث توجد أرقام غير معروفة. نطلب أن تكون هذه التركيبة الخطية مساوية للمتجه الصفري: .

في هذه المساواة نكتب المتجهات كأعمدة من الأرقام:

إذا كانت هناك أرقام تنطبق عليها هذه المساواة، وكان أحد الأرقام على الأقل لا يساوي الصفر، فهذه مجموعة خطية غير تافهة والمتجهات تعتمد خطيًا.

دعونا نفعل ما يلي:

وبالتالي، فإن المشكلة تتحول إلى حل النظام المعادلات الخطية:

وبحلها نحصل على:

إن صفوف المصفوفات الموسعة والرئيسية للنظام متساوية وأقل من عدد المجهولات، وبالتالي فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول.

اسمحوا ، ثم و .

لذلك، بالنسبة لهذه المتجهات، هناك مجموعة خطية غير تافهة، على سبيل المثال عند ، والتي تساوي المتجه الصفري، مما يعني أن هذه المتجهات تعتمد خطيًا.

دعونا نلاحظ بعض خصائص الفضاء المتجه المرتبطة بالاعتماد الخطي للمتجهات:

1. إذا كانت المتجهات تعتمد خطيًا، فإن واحدًا منها على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى.

2. إذا كان من بين المتجهات متجه صفر، فإن هذه المتجهات تعتمد خطيًا.

3. إذا كانت بعض المتجهات تعتمد خطيًا، فإن جميع هذه المتجهات تعتمد خطيًا.

يسمى الفضاء المتجه V ص-مساحة متجهة الأبعاد، إذا كان يحتوي على صناقلات مستقلة خطيا، وأي مجموعة من ( ص+ 1) المتجهات تعتمد خطيًا.

رقم صمُسَمًّى البعد من الفضاء المتجه، ويشار إليه خافت (الخامس)من "البعد" الإنجليزي - البعد (القياس، الحجم، البعد، الحجم، الطول، إلخ).

الكلية صناقلات مستقلة خطيا صيسمى الفضاء المتجه الأبعاد أساس.

(*)

نظرية(حول تحلل المتجه حسب الأساس): يمكن تمثيل كل متجه لمساحة متجهة (وبطريقة فريدة) كمجموعة خطية من المتجهات الأساسية:

تسمى الصيغة (*). تحلل ناقلات على أساس، والأرقام – إحداثيات المتجهاتعلى هذا الأساس .

يمكن أن يحتوي الفضاء المتجه على أكثر من قاعدة واحدة أو حتى عدد لا نهائي من القواعد. في كل أساس جديد، سيكون للمتجه نفسه إحداثيات مختلفة.

§ 4. الانتقال إلى أساس جديد

في الجبر الخطي غالبا ما تنشأ مشكلة إيجاد إحداثيات المتجه على أساس جديد إذا كانت إحداثياته ​​على الأساس القديم معروفة.

دعونا ننظر إلى بعض ص-مساحة متجهة الأبعاد (V، +، ·) فوق الحقل ر. يجب أن تكون هناك قاعدتان في هذا الفضاء: القديمة والجديدة .

المهمة: إيجاد إحداثيات المتجه على الأساس الجديد.

دع متجهات الأساس الجديد في الأساس القديم لها التوسع:

,

لنكتب إحداثيات المتجهات في المصفوفة ليس في صفوف، كما هي مكتوبة في النظام، ولكن في أعمدة:

تسمى المصفوفة الناتجة مصفوفة الانتقالمن الأساس القديم إلى الجديد.

تربط المصفوفة الانتقالية إحداثيات أي متجه بالأساس القديم والجديد بالعلاقة التالية:

,

أين هي الإحداثيات المطلوبة للمتجه في الأساس الجديد.

وبالتالي، فإن مهمة العثور على إحداثيات المتجهات على أساس جديد تتلخص في حل معادلة المصفوفة: أين X- عمود مصفوفة لإحداثيات المتجهات في الأساس القديم، أ- مصفوفة الانتقال من الأساس القديم إلى الأساس الجديد، X* - عمود المصفوفة المطلوب لإحداثيات المتجهات في الأساس الجديد. من معادلة المصفوفة نحصل على:

لذا، إحداثيات المتجهات على أساس جديدوجدت من المساواة:

.

مثال.على أساس معين، يتم إعطاء تحلل المتجهات:

أوجد إحداثيات المتجه في القاعدة.

حل.

1. دعونا نكتب مصفوفة الانتقال إلى أساس جديد، أي. سنكتب إحداثيات المتجهات في الأساس القديم في أعمدة:

2. ابحث عن المصفوفة أ –1:

3. قم بإجراء الضرب، أين إحداثيات المتجه:

إجابة: .

§ 5. الفضاء الإقليدي

دعونا ننظر إلى بعض صالفضاء المتجه الأبعاد (V، +، ·) على مجال الأعداد الحقيقية ر. اسمحوا أن يكون بعض الأساس لهذا الفضاء.

دعونا نقدم في هذا الفضاء المتجه قياس، أي. دعونا نحدد طريقة لقياس الأطوال والزوايا. للقيام بذلك، نحدد مفهوم المنتج العددي.

حتى في المدرسة، يتم تعريف جميع الطلاب بمفهوم "الهندسة الإقليدية"، والتي تركز أحكامها الرئيسية حول عدة بديهيات تعتمد على عناصر هندسية مثل النقطة، والمستوى، والخط المستقيم، والحركة. كلهم يشكلون معًا ما يُعرف منذ فترة طويلة باسم "الفضاء الإقليدي".

الإقليدية، التي تعتمد على مبدأ الضرب العددي للمتجهات، هي حالة خاصة من الفضاء الخطي (المتقارب) الذي يلبي عددًا من المتطلبات. أولاً، المنتج العددي للمتجهات متماثل تمامًا، أي أن المتجه ذو الإحداثيات (x;y) مطابق كميًا للمتجه ذو الإحداثيات (y;x)، ولكنه معاكس في الاتجاه.

ثانيًا، إذا تم تنفيذ حاصل ضرب عددي لمتجه مع نفسه، فستكون نتيجة هذا الإجراء إيجابية. الاستثناء الوحيد هو الحالة التي تكون فيها الإحداثيات الأولية والنهائية لهذا المتجه تساوي صفرًا: في هذه الحالة، سيكون حاصل ضربه في نفسه أيضًا مساويًا للصفر.

ثالثًا، المنتج العددي هو منتج توزيعي، أي إمكانية تحليل إحدى إحداثياته ​​إلى مجموع قيمتين، وهو ما لن يترتب عليه أي تغييرات في النتيجة النهائية للضرب العددي للمتجهات. وأخيرًا، رابعًا، عند ضرب المتجهات في نفس الشيء، فإن حاصل ضربها القياسي سيزيد أيضًا بنفس المقدار.

فإذا توفرت هذه الشروط الأربعة كلها، يمكننا أن نقول بثقة أن هذا هو الفضاء الإقليدي.

من الناحية العملية، يمكن وصف الفضاء الإقليدي بالأمثلة المحددة التالية:

1. أبسط حالة هي وجود مجموعة من المتجهات ذات منتج عددي محدد وفقًا للقوانين الأساسية للهندسة.
2. سيتم الحصول على الفضاء الإقليدي أيضًا إذا فهمنا من خلال المتجهات مجموعة محدودة معينة من الأعداد الحقيقية مع صيغة معينة تصف مجموعها العددي أو منتجها.
3. يجب التعرف على حالة خاصة من الفضاء الإقليدي على أنها ما يسمى بالفضاء الفارغ، والذي يتم الحصول عليه إذا كان الطول القياسي لكلا المتجهين يساوي الصفر.

يحتوي الفضاء الإقليدي على عدد من الخصائص المحددة. أولاً، يمكن إخراج العامل العددي من بين قوسين من كل من العامل الأول والثاني للمنتج العددي، ولن تخضع النتيجة لأي تغييرات. ثانيا، جنبا إلى جنب مع توزيع العنصر الأول من المنتج العددي، تعمل أيضا توزيع العنصر الثاني. بالإضافة إلى ذلك، بالإضافة إلى المجموع العددي للمتجهات، يحدث التوزيع أيضًا في حالة طرح المتجهات. وأخيرًا، ثالثًا، عند ضرب كمية قياسية لمتجه في صفر، ستكون النتيجة أيضًا صفرًا.

وبالتالي، فإن الفضاء الإقليدي هو أهم مفهوم هندسي يستخدم في حل المسائل المتعلقة بالموضع النسبي للمتجهات بالنسبة لبعضها البعض، لوصف أي مفهوم مثل المنتج القياسي يستخدم.

تعريف الفضاء الإقليدي

التعريف 1. يسمى الفضاء الخطي الحقيقي الإقليدية، لو فهو يحدد العملية التي تربط بين أي متجهين سو ذمن هذا رقم الفضاء يسمى المنتج العددي للمتجهات سو ذوالمعينة(س، ص)، والتي تتوفر فيها الشروط التالية:

1. (س، ص) = (ص، س)؛

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) حيث ض- أي متجه ينتمي إلى مساحة خطية معينة؛

3. (؟س،ص) = ؟ (x,y) حيث ? - أي رقم؛

4. (س، س)؟ 0 و (x,x) = 0 x = 0.

على سبيل المثال، في الفضاء الخطي للمصفوفات ذات العمود الواحد، المنتج القياسي للمتجهات

يمكن تحديدها من خلال الصيغة

فضاء البعد الإقليدي نتشير إلى أون. لاحظ أن هناك مساحات إقليدية محدودة الأبعاد وغير محدودة الأبعاد.

التعريف 2. طول (معامل) المتجه x في الفضاء الإقليديأون مُسَمًّى (س، س)ورمز لها بهذا الشكل: |x| = (س، س). لأي متجه للفضاء الإقليديهناك طول، والمتجه الصفري يساوي صفرًا.

ضرب متجه غير الصفر سلكل رقم ، نحصل على ناقل، طول وهو يساوي واحد. هذه العملية تسمى تقنين المتجه س.

على سبيل المثال، في مساحة المصفوفات ذات العمود الواحد، يبلغ طول المتجه يمكن تحديدها بواسطة الصيغة:

عدم المساواة بين كوشي وبونياكوفسكي

دع س؟ أون و ذ؟ En – أي ناقلين. دعونا نثبت أن عدم المساواة ينطبق عليهم:

(متباينة كوشي وبونياكوفسكي)

دليل. اسمحوا ان؟ - أي عدد حقيقي. من الواضح أن (?x ? ذ,?x ? ذ) ? 0. من ناحية أخرى، نظرا لخصائص المنتج العددي يمكننا ذلكيكتب

تلقيت ذلك

لا يمكن أن يكون مميز هذا الثلاثي التربيعي موجبًا، أي. ، ومنه ما يلي:

وقد ثبت عدم المساواة.

عدم المساواة المثلثية

يترك سو ذ- المتجهات التعسفية للفضاء الإقليدي أون، أي. س؟ أون و ذ؟ أون.

دعونا نثبت ذلك . (متباينة المثلث).

دليل. من الواضح أن على الجانب الآخر،. مع الأخذ في الاعتبار عدم المساواة بين كوشي وبونياكوفسكي، نحصل على

لقد تم إثبات عدم المساواة المثلثية.

معيار الفضاء الإقليدي

التعريف 1 . الفضاء الخطي?مُسَمًّى قياس، لو اي عنصرين من هذا الفضاء سو ذمتطابقة غير سلبيةرقم؟ (س، ص)، تسمى المسافة بين سو ذ , (? (س، ص)؟ 0)، ويتم تنفيذهاالشروط (البديهيات):

1) ? (س، ص) = 0 س = ذ

2) ? (س، ص) = ? (ص،خ)(تناظر)؛

3) لأي ثلاثة ناقلات س, ذو ضهذه المساحة؟ (س، ص) ? ? (س، ض) + ? (ض، ذ).

تعليق. عادة ما تسمى عناصر الفضاء المتري بالنقاط.

الفضاء الإقليدي En هو متري، والمسافة بينهما ناقلات س؟ أون و ذ؟ يمكن أن تؤخذ أون س ? ذ.

لذلك، على سبيل المثال، في مساحة المصفوفات ذات العمود الواحد، أين

لذلك

التعريف 2 . الفضاء الخطي?مُسَمًّى تطبيع، لو كل ناقلات سمن هذا الفضاء يرتبط غير سلبي الرقم الذي يطلق عليه القاعدة س. في هذه الحالة، يتم استيفاء البديهيات:

من السهل أن نرى أن المساحة المعيارية هي مساحة مترية com.stvom. في الواقع، كما المسافة بين سو ذيمكن أن تؤخذ . في الإقليديةالفضاء En كقاعدة لأي ناقل x؟ En هو طوله،أولئك. .

إذن، الفضاء الإقليدي En هو فضاء متري، علاوة على ذلك، الفضاء الإقليدي En هو الفضاء المعياري.

الزاوية بين المتجهات

التعريف 1 . الزاوية بين المتجهات غير الصفرية أو بالفضاء الإقليديالجودة ه ناسم الرقم الذي

التعريف 2 . ثلاثة أبعاد سو ذالفضاء الإقليدي أونوتسمى متعامدالكتان، إذا كانت المساواة لهم (س، ص) = 0.

لو سو ذ- غير صفر فيترتب على التعريف أن الزاوية بينهما متساوية

لاحظ أن المتجه الصفري، حسب التعريف، يعتبر متعامدًا مع أي متجه.

مثال . في الفضاء الهندسي (الإحداثي)؟3، وهو حالة خاصة من الفضاء الإقليدي، ناقلات الوحدة أنا, يو كمتعامد بشكل متبادل.

أساس متعامد

التعريف 1 . أساس e1,e2 ,...,en يسمى الفضاء الإقليدي En متعامدالكتان، إذا كانت متجهات هذا الأساس متعامدة بشكل زوجي، أي. لو

التعريف 2 . إذا كانت جميع ناقلات الأساس المتعامد e1، e2،...،en وحدوي، أي. ه i = 1 (i = 1,2,...,n) ، ثم يتم استدعاء الأساس متعامد، أي. لأساس متعامد

نظرية. (على بناء أساس متعامد)

في أي فضاء إقليدي يوجد قواعد متعامدة.

دليل . دعونا نثبت نظرية هذه القضية ن = 3.

دع E1 ,E2 ,E3 يكون أساسًا تعسفيًا للفضاء الإقليدي E3 دعونا نبني بعض الأساس المتعامدفي هذا الفضاء.دعونا نضع أين ? - بعض الأعداد الحقيقية التي نختارهابحيث يكون (e1 ,e2 ) = 0، فنحصل على ذلك

وما هو واضح؟ = 0 إذا كانت E1 وE2 متعامدتين، أي. في هذه الحالة e2 = E2، و ، لأن هذا هو المتجه الأساسي.

باعتبار أن (e1 ,e2 ) = 0، نحصل على

من الواضح أنه إذا كان e1 وe2 متعامدين مع المتجه E3، أي. في هذه الحالة يجب أن نأخذ e3 = E3. ناقل E3؟ 0 بسبب E1 وE2 وE3 مستقلة خطيًا،لذلك e3؟ 0.

بالإضافة إلى ذلك، من المنطق أعلاه يترتب على ذلك أنه لا يمكن تمثيل e3 في النموذج مجموعة خطية من المتجهات e1 وe2، وبالتالي فإن المتجهات e1 وe2 وe3 مستقلة خطيًاsims وهي متعامدة بشكل زوجي، لذلك يمكن اتخاذها كأساس للمخطط الإقليديالفضاء E3. كل ما تبقى هو تطبيع الأساس المبني، وهو ما يكفيقسّم كلًا من المتجهات المبنية على طوله. ثم نحصل

لذلك قمنا ببناء الأساس - أساس متعامد. لقد تم إثبات النظرية.

الطريقة المطبقة لبناء أساس متعامد من التعسفي يسمى الأساس عملية التعامد . لاحظ أنه في عملية الإثباتلقد أثبتنا أن المتجهات المتعامدة الزوجية مستقلة خطيًا. يستثنيلو هو أساس متعامد في En، ثم لأي متجه x؟ أونهناك تحلل واحد فقط

حيث x1، x2،...، xn هي إحداثيات المتجه x في هذا الأساس المتعامد.

لأن

ثم ضرب المساواة (*) بشكل عددي، نحن نحصل .

في ما يلي سوف ننظر فقط في قواعد متعامدة، وبالتالي لسهولة الكتابة، يتم وضع الأصفار أعلى المتجهات الأساسيةسوف نحذف.