مشتق من الجيب: (الخطيئة x)'. مشتقة الجيب: (sin x)′ مشتقة الجيب عبر النهاية

المشتق

يعد حساب مشتق دالة رياضية (التمايز) مشكلة شائعة جدًا عند حل الرياضيات العليا. بالنسبة للوظائف الرياضية البسيطة (الابتدائية)، يعد هذا أمرًا بسيطًا إلى حد ما، حيث تم تجميع جداول المشتقات للوظائف الأولية منذ فترة طويلة ويمكن الوصول إليها بسهولة. ومع ذلك، فإن العثور على مشتقة دالة رياضية معقدة ليس مهمة تافهة وغالبا ما يتطلب جهدا كبيرا ووقتا.

البحث عن مشتق على الانترنت

تتيح لك خدمتنا عبر الإنترنت التخلص من الحسابات الطويلة التي لا طائل من ورائها العثور على مشتق على الانترنتفي لحظة واحدة. علاوة على ذلك، باستخدام خدمتنا الموجودة على الموقع www.site، يمكنك الحساب مشتق على الانترنتسواء من وظيفة أولية أو من وظيفة معقدة للغاية ليس لها حل تحليلي. المزايا الرئيسية لموقعنا مقارنة بالمواقع الأخرى هي: 1) لا توجد متطلبات صارمة لطريقة إدخال دالة رياضية لحساب المشتق (على سبيل المثال، عند إدخال دالة sine x، يمكنك إدخالها كـ sin x أو sin (x) أو الخطيئة[x]، إلخ. د.)؛ 2) يحدث حساب المشتقات عبر الإنترنت على الفور في الوضع متصلوعلى الاطلاق مجانا; 3) نسمح لك بالعثور على مشتقة دالة أي أمرتغيير ترتيب المشتقة أمر سهل ومفهوم للغاية؛ 4) نحن نسمح لك بالعثور على مشتق أي دالة رياضية تقريبًا عبر الإنترنت، حتى تلك المعقدة جدًا والتي لا يمكن حلها بواسطة خدمات أخرى. الاستجابة المقدمة دقيقة دائمًا ولا يمكن أن تحتوي على أخطاء.

سيسمح لك استخدام خادمنا بما يلي: 1) حساب المشتق عبر الإنترنت نيابةً عنك، مما يلغي العمليات الحسابية التي تستغرق وقتًا طويلاً والمملة والتي يمكن أن ترتكب خلالها خطأً أو خطأً مطبعيًا؛ 2) إذا قمت بحساب مشتق دالة رياضية بنفسك، فإننا نوفر لك الفرصة لمقارنة النتيجة التي تم الحصول عليها مع حسابات خدمتنا والتأكد من صحة الحل أو العثور على خطأ تسلل إليه؛ 3) استخدم خدمتنا بدلاً من استخدام جداول مشتقات الدوال البسيطة، حيث يستغرق العثور على الدالة المطلوبة وقتًا في كثير من الأحيان.

كل ما عليك فعله هو العثور على مشتق على الانترنت- هو استخدام خدمتنا على

نقدم جدولًا موجزًا للراحة والوضوح عند دراسة الموضوع.

ثابتص = ج

وظيفة الطاقة ذ = س ص

(س ع) " = ع س ع - 1

الدالة الأسيةص = الفأس

(أ س) " = أ س لن أ

على وجه الخصوص، عندماأ = هلدينا ص = ه س

(ه س) " = ه س

دالة لوغاريتمية

(سجل x) " = 1 x ln a

على وجه الخصوص، عندماأ = هلدينا ص = سجل س

(ل س) " = 1 س

الدوال المثلثية

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

الدوال المثلثية العكسية

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

الدوال الزائدية

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

دعونا نحلل كيفية الحصول على صيغ الجدول المحدد، أو بمعنى آخر، سنثبت اشتقاق الصيغ المشتقة لكل نوع من الوظائف.

مشتق من ثابت

الدليل 1

لاشتقاق هذه الصيغة، نأخذ كأساس تعريف مشتقة الدالة عند نقطة ما. نستخدم x 0 = x، حيث سيأخذ قيمة أي عدد حقيقي، أو بمعنى آخر، سهو أي رقم من مجال الدالة f (x) = C. دعنا نكتب حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة كـ ∆ x → 0:

ليم ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

يرجى ملاحظة أن التعبير 0 ∆ x يقع تحت علامة الحد. إنها ليست حالة عدم اليقين "صفر مقسومًا على صفر"، لأن البسط لا يحتوي على قيمة متناهية الصغر، بل صفر على وجه التحديد. بمعنى آخر، زيادة الدالة الثابتة تكون دائمًا صفرًا.

لذا فإن مشتقة الدالة الثابتة f (x) = C تساوي صفرًا في مجال التعريف بأكمله.

مثال 1

يتم إعطاء الوظائف الثابتة:

f 1 (x) = 3، f 2 (x) = a، a ∈ R، f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

حل

دعونا وصف الشروط المحددة. في الدالة الأولى نرى مشتقة العدد الطبيعي 3. في المثال التالي، عليك أن تأخذ مشتق من أ، أين أ- أي عدد حقيقي. المثال الثالث يعطينا مشتقة الرقم غير النسبي 4. 13 7 22، الرابع هو مشتقة الصفر (الصفر عدد صحيح). أخيرًا، في الحالة الخامسة لدينا مشتقة الكسر المنطقي - 8 7.

إجابة:مشتقات الدوال المعطاة هي صفر لأي حقيقي س(على كامل منطقة التعريف)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , و 5 " (x) = - 8 7 " = 0

مشتق من وظيفة السلطة

دعنا ننتقل إلى دالة القوة وصيغة مشتقتها، والتي لها الشكل: (x p) " = p x p - 1، حيث الأس صهو أي عدد حقيقي

الدليل 2

فيما يلي إثبات الصيغة عندما يكون الأس عددًا طبيعيًا: ع = 1، 2، 3، ...

نعتمد مرة أخرى على تعريف المشتق. لنكتب حد نسبة زيادة دالة القدرة إلى زيادة الوسيطة:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

لتبسيط التعبير في البسط، نستخدم صيغة نيوتن ذات الحدين:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ س) 2 + . . . + ج ص ص - 1 س (∆ س) ص - 1 + ج ص ص (∆ س) ص

هكذا:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + ج ع 2 · س ع - 2 · (∆ س) 2 + + ج ص ع - 1 · س · (∆ س) ص - 1 + ج ع ع · (∆ س) ع) ∆ x = = ليم ∆ x → 0 ( ج ع 1 س ع - 1 + ج ع 2 س ع - 2 ∆ x + . 1 + 0 + .

وبذلك نكون قد أثبتنا صيغة مشتقة دالة القوة عندما يكون الأس عددًا طبيعيًا.

الدليل 3

لتقديم ما يثبت الدعوى متى ع-أي رقم حقيقي غير الصفر، نستخدم المشتقة اللوغاريتمية (هنا يجب أن نفهم الفرق عن مشتقة الدالة اللوغاريتمية). للحصول على فهم أكثر اكتمالًا، يُنصح بدراسة مشتقة دالة لوغاريتمية بالإضافة إلى فهم مشتقة دالة ضمنية ومشتقة دالة معقدة.

دعونا نفكر في حالتين: متى سإيجابية ومتى سسلبي.

لذا س> 0. ثم: س ص > 0 . دعونا لوغاريتم المساواة y = x p إلى الأساس e ونطبق خاصية اللوغاريتم:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

في هذه المرحلة، حصلنا على وظيفة محددة ضمنيا. دعنا نحدد مشتقته:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

الآن نحن نعتبر الحالة عندما س -رقم سلبي.

إذا كان المؤشر صإذا كان رقمًا زوجيًا، فسيتم تعريف دالة الطاقة لـ x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

ثم × ص< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

لو صإذا كان رقمًا فرديًا، فسيتم تعريف دالة الطاقة لـ x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) ع - 1 = ع س ع - 1

الانتقال الأخير ممكن بسبب حقيقة أنه إذا صهو رقم فردي، إذن ص - 1إما رقم زوجي أو صفر (لـ p = 1)، وبالتالي للسالب سالمساواة (- x) p - 1 = x p - 1 صحيحة.

لذلك، أثبتنا صيغة مشتقة دالة القدرة لأي p حقيقي.

مثال 2

الوظائف المعطاة:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

تحديد مشتقاتها.

حل

نقوم بتحويل بعض الدوال المعطاة إلى شكل جدولي y = x p ، بناءً على خصائص الدرجة، ثم نستخدم الصيغة:

و 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - سجل 7 12 س - سجل 7 12 - 1 = - سجل 7 12 س - سجل 7 12 - سجل 7 7 = - سجل 7 12 س - سجل 7 84

مشتق من الدالة الأسية

الدليل 4

دعونا نشتق الصيغة المشتقة باستخدام التعريف كأساس:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

لقد حصلنا على عدم اليقين. لتوسيعه، دعنا نكتب متغيرًا جديدًا z = a ∆ x - 1 (z → 0 كـ ∆ x → 0). في هذه الحالة، a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . بالنسبة للانتقال الأخير، تم استخدام صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة.

دعونا نعوض في النهاية الأصلية:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

دعونا نتذكر النهاية الملحوظة الثانية ثم نحصل على صيغة مشتقة الدالة الأسية:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

مثال 3

يتم إعطاء الوظائف الأسية:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

من الضروري العثور على مشتقاتها.

حل

نستخدم صيغة مشتقة الدالة الأسية وخصائص اللوغاريتم:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

مشتق من دالة لوغاريتمية

الدليل 5

دعونا نقدم دليلا على صيغة مشتقة دالة لوغاريتمية لأي سفي مجال التعريف وأي قيم مسموح بها للأساس a للوغاريتم. وبالاعتماد على تعريف المشتق نحصل على:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - سجل a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 سجل a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 سجل a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · سجل a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · سجل a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · سجل a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

من سلسلة المساواة المشار إليها يتضح أن التحولات كانت مبنية على خاصية اللوغاريتم. حد المساواة ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e صحيح طبقاً للحد الملحوظ الثاني.

مثال 4

يتم إعطاء الوظائف اللوغاريتمية:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

من الضروري حساب مشتقاتها.

حل

دعونا نطبق الصيغة المشتقة:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

إذن، مشتقة اللوغاريتم الطبيعي تساوي واحدًا مقسومًا على س.

مشتقات الدوال المثلثية

الدليل 6

دعونا نستخدم بعض الصيغ المثلثية والحد الرائع الأول لاشتقاق صيغة مشتقة الدالة المثلثية.

حسب تعريف مشتق دالة الجيب نحصل على:

(الخطيئة x) " = lim ∆ x → 0 الخطيئة (x + ∆ x) - الخطيئة x ∆ x

ستسمح لنا صيغة اختلاف الجيب بتنفيذ الإجراءات التالية:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

وأخيرًا، نستخدم الحد الرائع الأول:

الخطيئة " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 الخطيئة ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

وبالتالي مشتقة الدالة الخطيئة سسوف كوس س.

سنثبت أيضًا صيغة مشتق جيب التمام:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 خطيئة ∆ x 2 خطيئة x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - خطيئة x + 0 2 lim ∆ x → 0 خطيئة ∆ x 2 ∆ x 2 = - خطيئة x

أولئك. مشتق الدالة cos x سيكون - الخطيئة س.

نحن نشتق صيغ مشتقات الظل وظل التمام بناءً على قواعد التفاضل:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x الخطيئة 2 x = - الخطيئة 2 x + cos 2 x الخطيئة 2 x = - 1 الخطيئة 2 x

مشتقات الدوال المثلثية العكسية

يوفر القسم الخاص بمشتقة الدوال العكسية معلومات شاملة عن إثبات الصيغ الخاصة بمشتقات أركسين وأركوسين وظل قوسي وظل قوسي، لذلك لن نكرر المادة هنا.

مشتقات الدوال الزائدية

الدليل 7

يمكننا استخلاص الصيغ لمشتقات الجيب الزائدي وجيب التمام والظل وظل التمام باستخدام قاعدة التمايز وصيغة مشتق الدالة الأسية:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

عند استخلاص الصيغة الأولى من الجدول، سنبدأ من تعريف الدالة المشتقة عند نقطة ما. دعونا نأخذ أين س- أي عدد حقيقي، أي س- أي رقم من مجال تعريف الدالة. دعونا نكتب حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة عند:

تجدر الإشارة إلى أنه تحت علامة النهاية يتم الحصول على تعبير، وهو ليس عدم اليقين صفر مقسومًا على صفر، لأن البسط لا يحتوي على قيمة متناهية الصغر، بل صفر بالضبط. بمعنى آخر، زيادة الدالة الثابتة تكون دائمًا صفرًا.

هكذا، مشتق من وظيفة ثابتةيساوي الصفر في كامل مجال التعريف.

مشتق من وظيفة السلطة.

صيغة مشتق دالة القدرة لها الشكل ، حيث الأس ص- أي عدد حقيقي.

دعونا أولا نثبت صيغة الأس الطبيعي، أي ل ع = 1، 2، 3، ...

سوف نستخدم تعريف المشتق. دعونا نكتب حد نسبة زيادة دالة القدرة إلى زيادة الوسيطة:

لتبسيط التعبير في البسط، ننتقل إلى صيغة نيوتن ذات الحدين:

لذلك،

وهذا يثبت صيغة مشتقة دالة القوة للأس الطبيعي.

مشتق من الدالة الأسية.

نقدم اشتقاق الصيغة المشتقة بناءً على التعريف:

لقد وصلنا إلى حالة من عدم اليقين. لتوسيعه، نقدم متغيرًا جديدًا، وفي . ثم . في عملية الانتقال الأخيرة، استخدمنا صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة.

لنعوض في النهاية الأصلية:

وإذا تذكرنا النهاية الملحوظة الثانية، نصل إلى صيغة مشتقة الدالة الأسية:

مشتق من دالة لوغاريتمية.

دعونا نثبت صيغة مشتقة الدالة اللوغاريتمية للجميع سمن مجال التعريف وجميع القيم الصحيحة للقاعدة أاللوغاريتم حسب تعريف المشتق لدينا:

كما لاحظت، أثناء الإثبات، تم إجراء التحويلات باستخدام خصائص اللوغاريتم. المساواة صحيح بسبب الحد الثاني الملحوظ.

مشتقات الدوال المثلثية.

لاشتقاق صيغ مشتقات الدوال المثلثية، علينا أن نتذكر بعض صيغ علم المثلثات، بالإضافة إلى النهاية الملحوظة الأولى.

من خلال تعريف مشتق دالة الجيب لدينا .

دعونا نستخدم صيغة الفرق بين الجيب:

ويبقى أن ننتقل إلى الحد الأول الملحوظ:

وبالتالي مشتقة الدالة الخطيئة سهنالك كوس س.

تم إثبات صيغة مشتق جيب التمام بنفس الطريقة تمامًا.

وبالتالي مشتقة الدالة كوس سهنالك -الخطيئة س.

سنشتق صيغًا لجدول مشتقات الظل وظل التمام باستخدام قواعد التمايز المثبتة (مشتق الكسر).

مشتقات الدوال الزائدية.

تسمح لنا قواعد التفاضل وصيغة مشتق الدالة الأسية من جدول المشتقات باستخلاص صيغ لمشتقات الجيب الزائدي وجيب التمام والظل وظل التمام.

مشتق من الدالة العكسية.

لتجنب الارتباك أثناء العرض التقديمي، دعنا نشير بالخط السفلي إلى وسيطة الدالة التي يتم من خلالها إجراء التمايز، أي أنها مشتقة من الدالة و (خ)بواسطة س.

الآن دعونا صياغة قاعدة لإيجاد مشتقة دالة عكسية.

دع الوظائف ص = و(س)و س = ز (ص)معكوس بشكل متبادل، محدد على فترات وعلى التوالي. إذا كان هناك عند نقطة ما مشتق محدود غير صفري للدالة و (خ)، عند هذه النقطة يوجد مشتق محدود للدالة العكسية ز (ص)، و . في مشاركة أخرى .

يمكن إعادة صياغة هذه القاعدة لأي شخص سمن الفاصل الزمني، ثم نحصل .

دعونا نتحقق من صحة هذه الصيغ.

دعونا نجد الدالة العكسية للوغاريتم الطبيعي (هنا ذهي وظيفة، و س- دعوى). وبعد حل هذه المعادلة ل س، نحصل على (هنا سهي وظيفة، و ذ– حجتها). إنه، والوظائف العكسية المتبادلة.

ومن جدول المشتقات نرى ذلك و .

دعونا نتأكد من أن صيغ إيجاد مشتقات الدالة العكسية تقودنا إلى نفس النتائج:

كما ترون، حصلنا على نفس النتائج كما في جدول المشتقات.

الآن لدينا المعرفة اللازمة لإثبات الصيغ لمشتقات الدوال المثلثية العكسية.

لنبدأ بمشتق أركسين.

. ثم، باستخدام صيغة مشتقة الدالة العكسية، نحصل على

كل ما تبقى هو تنفيذ التحولات.

بما أن نطاق قوس الجيب هو الفاصل الزمني ، الذي - التي (انظر القسم الخاص بالوظائف الأولية الأساسية وخصائصها ورسومها البيانية). ولذلك، نحن لا نفكر في ذلك.