أنظمة سيئة التكيف من المعادلات الجبرية الخطية. حل أنظمة متفرقة سيئة الشرط من المعادلات الجبرية الخطية باستخدام فضاء كريلوف الفرعي

العمل المختبري رقم 3

حل الأنظمة غير الشرطية للمعادلات الجبرية الخطية

طريقة التنظيم

معلمات الإدخال: عدد صحيح موجب n يساوي الترتيب n للنظام؛ a عبارة عن مصفوفة من الأعداد الحقيقية n x n التي تحتوي على مصفوفة معاملات النظام؛ ب - مصفوفة من n أرقام حقيقية تحتوي على عمود من المصطلحات الحرة للنظام (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .

معلمات الإخراج: x - حل النظام؛ عدد ف من التكرارات.

يظهر مخطط الخوارزمية في الشكل 18.

نص البرنامج:

تنظيم الإجراء(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);

فار a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvector; ألفا، s1، ق: حقيقي؛ الحد الأقصى، eps: حقيقي؛ أنا، ي، ك، ل: عدد صحيح؛

Out_Slau_T(n,a,b);

بالنسبة لـ I:=1 To n Do (تلقي A T A)

بالنسبة لـ K:=1 إلى N افعل

بالنسبة لـ J:=1 إلى N Do S:=S+A*A;

بالنسبة لـ I:=1 To N Do (استقبال A T B)

بالنسبة لـ J:=1 إلى N افعل

ابدأ S:=S+A*B[j];

ألفا:=0; (قيمة ألفا الأولية)

ك:=0; (عدد التكرارات)

ألفا:=ألفا+0.01; المؤتمر الوطني العراقي (ك)؛ a2:=a1;

لأني:=1 إلى N do a2:=a1+alfa; (استلام A T A+alfa)

for i:=1 to N do b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (استقبال A T B + ألفا)

SIMQ(n,a2,b2,l);

a2:=a1; س:=ب2; x0:=X; b2:=b1;

vozm(N,eps,a2,b2);

simq(n,a2,b2,l);

لأني:=2 إلى n أفعل

إذا abs(b2[i]-X[i])>max ثم max:=abs(b2[i]-X[i]);

X1 = 1.981 X2 = 0.4735

الشكل 18 - مخطط خوارزمية طريقة التنظيم

يتم عرض متغيرات المهام لحل الأنظمة سيئة التكييف باستخدام طريقة التنظيم في الجدول 3.

طريقة التدوير (المعطيات)

يظهر مخطط الخوارزمية في الشكل 19.

مثال. حل نظام المعادلات

نص البرنامج:

الإجراء فراش؛

فار I، J، K: عدد صحيح؛ M،L،R: حقيقي؛ F1: نص؛ التسمية M1، M2؛

Out_Slau_T(nn,aa,b);

لأني:=1 إلى Nn do

لأني:=1 إلى Nn-1 ابدأ

بالنسبة لـ K:=I+1 إلى Nn، ابدأ

إذا (Aa0.0) ثم انتقل إلى M1؛ إذا (Aa0.0) ثم انتقل إلى M1؛

1:M:=Sqrt(أأ*أأ+أأ*أأ);

L:=-1.0*أأ/م؛

M2: بالنسبة لـ J:=1 إلى Nn، ابدأ

ص:=م*أأ-L*أأ؛

أأ:=L*أأ+م*أأ؛

ص:=م*أأ-L*أأ؛

أأ:=L*أأ+م*أأ؛

لأني:=Nn نزولاً إلى 1، ابدأ

بالنسبة إلى K:=0 إلى Nn-I-1، ابدأ M:=M+Aa*Aa; نهاية؛

أأ:=(أأ-م)/أأ؛ نهاية؛

for i:=1 to Nn do x[i]:=Aa;End;

أدت الحسابات حسب البرنامج إلى النتائج التالية:

X1 = 1.981 X2 = 0.4735

الشكل 19 - مخطط خوارزمية طريقة جيفنز (التدوير)

خيارات المهمة

الجدول 3

	مصفوفة أ				مصفوفة أ

موضوع العمل المخبري رقم 3 للتحكم في المعرفة موضح ببرنامج ضبط وتدريب.

العمل المختبري رقم 4

حل المعادلات غير الخطية وأنظمة المعادلات غير الخطية

طريقة التكرار البسيطة

إجراءات أداء العمل المختبري:

أوجد التقريب الصفري للحل؛

تحويل النظام f(x) = 0 إلى النموذج x = Ф(x);

التحقق من حالة التقارب للأسلوب.

يظهر مخطط الخوارزمية في الشكل 20.

مثال. حل النظام باستخدام طريقة التكرار البسيطة

كتقريب صفري، نختار النقطة x = 1، y = 2.2، z = 2. دعونا نحول النظام إلى الشكل

نص البرنامج:

الإجراء Iteraz؛

فار I، J، K، J1: عدد صحيح؛

X2، X3، Eps: حقيقي؛

ربحية السهم:=0.01; X2:=0.0; ك:=1;

بالنسبة لـ J:=1 إلى Nn، ابدأ

بالنسبة لـ I:=1 To Nn Do Begin S:=S+Aa*Xx[i]; نهاية؛

بالنسبة إلى J1:=1 To Nn Do Begin Xx:=R; نهاية؛ X3:=Xx;

بالنسبة إلى I:=1 To Nn، ابدأ إذا (Xx[i]>=X3) ثم X3:=Xx[i]; نهاية؛

For I:=1 To Nn Do Begin Xx[i]:=Xx[i]/X3; نهاية؛

X1:=X3; U:=عبس(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);

إذا (U1>=Eps) ثم X2:=X1;

حتى ((K>=50) أو (U1

أدت الحسابات حسب البرنامج إلى النتائج التالية:

×(1)= 1.1132 ×(2)= 2.3718 ×(3)= 2.1365

عدد التكرارات:5

الشكل 20 - مخطط خوارزمية طريقة التكرار البسيطة

طريقة نيوتن

يمكن استخدام البرنامج في حل أنظمة الترتيب التي لا تزيد عن العاشرة.

معلمات الإدخال: n - عدد معادلات النظام (يتزامن مع عدد المجهولين)، n £ 10؛ مصفوفة x من الأعداد الحقيقية n التي تحتوي على التخمين الأولي للحل؛ f هو اسم الإجراء الخارجي f(n, x, y) الذي يحسب، بناءً على القيم المعطاة x الموجودة في عناصر المصفوفة x، القيم الحالية للدالة f ويضعها في عناصر المصفوفة y؛ g - اسم الإجراء الخارجي g(n, x, d) الذي يحسب عناصر المصفوفة من القيم المعطاة x من المصفوفة x
، والذي يقع في مصفوفة d ذات البعد n x n؛ eps - قيمة الشرط لإنهاء العملية التكرارية.

معلمات الإخراج: x - مجموعة من الأرقام الحقيقية n (تُعرف أيضًا باسم الإدخال) تحتوي على القيمة التقريبية للحل عند الخروج من الروتين الفرعي؛ ك هو عدد التكرارات.

UDC 519.61:621.3

نائب الرئيس. فولوبوف*، ف.ب. كليمينكو*

حول طريقة واحدة لحل نظام غير مشروط من المعادلات الجبرية الخطية التي تصف جسمًا ماديًا

معهد مشاكل الآلات والأنظمة الرياضية التابع للأكاديمية الوطنية للعلوم في أوكرانيا، كييف، أوكرانيا

خلاصة. لقد ثبت أن احتمالية نتائج نمذجة الأشياء المادية، التي يوصف نموذجها المنفصل بواسطة نظام المعادلات الجبرية الخطية (SLAR)، لا تكمن في نتيجة التصميم السيئ للمصفوفة، ولكن نتيجة لـ الاختيار غير الصحيح للحد الأدنى من SLAR في مرحلة المستويات المطوية باستخدام طريقة إمكانات العقدة أو نظائرها، والطريقة نفسها يعد هذا تناقضًا كبيرًا مع طريقة تحديد المهمة بشكل صحيح. لقد تم اقتراح طريقة جهد العقدة التي تحتوي على مصفوفة متناظرة غير مولدة، ومن الضروري تحويلها إلى الشكل الصحيح.

الكلمات المفتاحية: النظام، النمذجة، الإعداد غير الصحيح، الاستدلال السيئ، نظام المعادلات الجبرية الخطية، طريقة إمكانات العقدة، طريقة الإعداد الصحيح للمهمة، التحقق من صحتها.

حاشية. ملاحظة. لقد تبين أن موثوقية نتائج نمذجة الأجسام المادية، التي يوصف نموذجها المنفصل بواسطة نظام من المعادلات الجبرية الخطية (SLAE)، لا تعتمد على الشرطية الضعيفة للمصفوفة، ولكن على الاختيار غير الصحيح لمتغيرات SLAE في مرحلة تكوين المعادلات باستخدام طريقة الجهود العقدية أو نظائرها، والطريقة نفسها هي حالة معينة من طريقة الصياغة الصحيحة للمشكلة. تم اقتراح تقنية للتحقق من صحة SLAE التي تم تجميعها بواسطة طريقة الإمكانات العقدية، والتي تحتوي على مصفوفة غير متحللة ومتماثلة، وإذا لزم الأمر، تحويلها إلى النموذج الصحيح.

الكلمات المفتاحية: النظام، النمذجة، المشكلة غير المطروحة، سوء التكييف، نظام المعادلات الجبرية الخطية، طريقة الجهود العقدية، طريقة الصياغة الصحيحة للمشكلة، التحقق من صحتها.

خلاصة. يوضح البحث أن موثوقية نتائج محاكاة الأجسام المادية التي يوصف بها النموذج المنفصل بنظام المعادلات الجبرية الخطية (SLAE) لا تعتمد على مصفوفة سيئة التكييف ولكن على اختيار غير صحيح لمتغير SLAE في مرحلة توليد المعادلات بواسطة طريقة العقدة المحتملة أو نظائرها، والطريقة هي حالة خاصة من طريقة البيان الصحيح للمشكلة. تم اقتراح طريقة التحقق من صحة SLAE، والتي تم إجراؤها بواسطة طريقة العقدة المحتملة، ذات المصفوفة غير المفردة والمتماثلة وإذا كان ذلك ضروريًا تحويلها إلى النموذج الصحيح.

الكلمات المفتاحية: نظام، محاكاة، مشكلة غير صحيحة، سيئة التكييف، نظام المعادلات الجبرية الخطية، طريقة العقدة المحتملة، طريقة البيان الصحيح للمشكلة، التحقق من الصحة.

1 المقدمة

تتلخص العديد من مشكلات نمذجة الأشياء المادية (التقنية) في حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (SLAEs). نظرًا لأن جميع الحسابات عند حل مثل هذه الأنظمة يتم إجراؤها بعدد محدود من الأرقام المهمة، فقد تفقد الدقة بشكل كبير بسبب أخطاء التقريب. يعتبر النظام سيئ التكييف (غير المستقر)، أو، في صياغة أكثر عمومية، المشكلة المطروحة بشكل غير صحيح، مشكلة لا تضمن أي دقة في الحل، نظرًا لمستوى ثابت من أخطاء بيانات الإدخال ودقة الحساب. يتم استخدام رقم الشرط كأسوأ تقدير مسبق للأخطاء المحتملة في حل SLAE. كما يلي من الأدبيات، فإن تطوير أساليب حل المشكلات غير المطروحة يعتبر مشكلة رياضية بحتة، لا تؤخذ فيها سمات الأشياء المادية (التقنية) بعين الاعتبار، على الرغم من أن الحل العددي للعديد من المشاكل الفيزياء الرياضية والنمذجة الرياضية للعمليات الفيزيائية المعقدة

© فولوبوف ف.ب.، كليمينكو ف.ب.، 2014

البوم والأنظمة التقنية مصدر لا ينضب لمشاكل الجبر الخطي. بالنسبة لفئة المشكلات المدرجة، عند تطوير طرق الحل، لا يتم أخذ مرحلة تجميع SLAE في الاعتبار، حيث يمكن بطريقة أو بأخرى مراعاة ميزات مشكلة معينة. حقيقة أن هذه المرحلة يجب أن تؤخذ في الاعتبار تؤكدها نتائج الأعمال التالية.

بادئ ذي بدء، تجدر الإشارة إلى العمل الذي يقدم أمثلة على المصفوفات التي يكون فيها فقدان الدقة عند حل SLAE صغيرًا، وقيمة رقم الشرط ضخمة، أي أنه يظهر أن المعيار المقبول عمومًا لـ من الضروري إجراء تقييم مسبق لدقة حل SLAEs بناءً على رقم الشرط، ولكنه غير كافٍ. تم اقتراح نهج جديد تمامًا لحل مشكلة سيئة الطرح في الأعمال. يكمن في حقيقة أنه من أجل زيادة دقة حل SLAEs، حتى مع وجود قيمة كبيرة لرقم الحالة، في مرحلة وصف نموذج منفصل لكائن مادي، يُقترح تكوين SLAEs بشكل صحيح. وهذا لا يعني وجود مثل هذه المصفوفات فحسب، كما ورد في العمل، ولكن أيضًا أنه تم اقتراح طريقة لتجميع مصفوفة SLAE التي تصف نموذجًا منفصلاً لكائن ما بشكل صحيح. يتم النظر في طريقة تجميع مصفوفة SLAEs فيما يتعلق بمشاكل نمذجة سلوك الدوائر الكهربائية وأنظمة الطاقة وأنظمة القضبان في الميكانيكا والمعادلات الإهليلجية للفيزياء الرياضية.

جوهر هذه الطريقة هو أنه، على عكس الطرق الحالية، عند تشكيل SLAE، يتم أخذ معلمات النموذج المنفصل لكائن مادي في الاعتبار من خلال الاختيار المستهدف للمتغيرات. تجدر الإشارة إلى أن الطريقة تنطبق فقط على تلك الكائنات التي يتم تمثيل طوبولوجيا النموذج المنفصلة لها بواسطة رسم بياني.

يتم استيفاء هذا المطلب من خلال نموذج تصميم الدائرة الكهربائية ونظام الطاقة. بالنسبة للعديد من مشاكل النمذجة الرياضية للعمليات الفيزيائية المعقدة والأنظمة التقنية والفيزياء الرياضية، لا يتم استخدام تمثيل طوبولوجيا النموذج المنفصل في شكل رسم بياني. تظهر الأعمال أنه تمت إزالة القيد أعلاه من خلال تمثيل طوبولوجيا عناصر مخططات التصميم لنموذج منفصل لجسم مادي في شكل رسم بياني. هناك أيضًا طريقة لتمثيل طوبولوجيا العناصر في شكل رسوم بيانية.

في هذا البحث، سنقترح طريقة لتصحيح مشكلة تم طرحها بشكل غير صحيح في الحالة التي لا يتم فيها تمثيل طوبولوجيا النموذج المنفصل في شكل رسم بياني. عند تطوير الطريقة، نأخذ في الاعتبار حقيقة أن الطريقة المقبولة عمومًا لوصف النماذج المنفصلة للمشاكل في الفيزياء الرياضية والعمليات الفيزيائية المعقدة والأنظمة التقنية (طريقة الإمكانات العقدية) هي حالة خاصة من طريقة تجميع مصفوفة SLAE بشكل صحيح .

2. العلاقة بين دقة حل SLAE الذي يصف نموذجًا منفصلاً للكائن وطريقة تكوين المعادلات

الأكاديمي فويفودين ف. أظهر في عمله أن أعلى دقة لنتائج حل SLAEs باستخدام الطريقة الغوسية يتم تحقيقها عند استخدام الطريقة مع اختيار العنصر الرئيسي. تم نشر عدد كبير من الأعمال بناءً على هذه الفكرة. ومع ذلك، فقد أظهر حل المشكلات العملية أن دقة حل SLAEs، خاصة في حالة المصفوفات سيئة التكييف، تُفقد بشكل كبير بسبب أخطاء التقريب، أي أنه لا يكفي لتحسين دقة النتائج في مرحلة الحل ببساطة استخدام الطريقة الغوسية مع اختيار العناصر الرئيسية.

التطوير الإضافي لهذه الفكرة هو الطريقة المقترحة في العمل، حيث يُقترح، في مرحلة تجميع وصف النموذج المنفصل للكائن، تشكيل العناصر القطرية للمصفوفة باعتبارها العناصر الرئيسية. للقيام بذلك، عند تجميع الوصف، يتم استخدام معلومات إضافية، وهي معلمات النموذج المنفصل. وتتمثل فعالية هذا النهج في الاعتماد على دقة حل SLAE الذي يصف المنفصل

ردمك 1028-9763. الآلات والأنظمة الرياضية، 2014، العدد 4

سيتم عرض نموذج جديد للكائن من طريقة تركيب المعادلات باستخدام مثال نموذجي. سننظر أدناه في تجميع وصف لمثال نموذجي باستخدام الطريقة الموضحة في اختيار العنصر الرئيسي وحله، مع وبدونه.

تم اختيار الدائرة الكهربائية الموضحة في الشكل 1 كمثال نموذجي. 1.

أرز. 1. الدائرة الكهربائية

من المعروف أن شرطية SLAE التي تصف الدائرة الكهربائية تعتمد على مدى انتشار قيم التوصيل (المقاومة) لمكونات الدائرة. يضمن نطاق التغييرات المحدد في توصيل مكونات الدائرة الكهربائية، والذي يساوي 15 أمرًا، سوء حالة SLAE وبالتالي، كما هو شائع، عدم صحة المشكلة. باستخدام مثال حساب إمكانات العقدة 2 (الجهد على المكون G2)، سيتم تحليل اعتماد موثوقية نتائج الحساب على طريقة تشكيل العنصر القطري عند تجميع وصف الدائرة الكهربائية.

فيما يلي الأحكام الأساسية اللازمة لحل مثال نموذجي باستخدام طريقة صياغة المشكلة بشكل صحيح. يعتمد بناء نموذج رياضي للدائرة الكهربائية باستخدام هذه الطريقة على النظام الأساسي لمعادلات الدائرة الكهربائية، والذي يتضمن معادلات مكونة ومعادلات مجمعة على أساس قوانين كيرشوف. بالنسبة لمثال النموذج، فإن المعادلة المكونة لها الشكل

حيث U i هو الجهد الكهربي المسقط عبر المكون، وI هو التيار المتدفق عبر المكون، وGt هو موصلية المكون.

لوصف الرسم البياني للدائرة الكهربائية، وبالتالي، المعادلات المستندة إلى قوانين كيرشوف، يتم استخدام المصفوفات الطوبولوجية للخطوط والأقسام. الرسم البياني للدائرة يتزامن مع الدائرة الكهربائية. يتضمن تجميع المصفوفات الطوبولوجية للخطوط والأقسام اختيار شجرة الرسم البياني للدوائر ورسم الخطوط العريضة للشجرة المحددة. يتم تحديد شجرة الرسم البياني للدائرة الكهربائية بحيث يتم تضمين جميع مصادر الجهد في الشجرة وجميع مصادر التيار في الأوتار. يتم تجميع العناصر الموجودة في ناقلات الجهد U والتيارات I لمكونات الدائرة في تلك المدرجة في الشجرة (الفهرس D)، أي الفروع والأوتار (الفهرس X)، وبالتالي:

يتم تشكيل الملامح من خلال ربط الحبال بشجرة الرسم البياني للدائرة. في هذه الحالة

المصفوفة الطوبولوجية للخطوط لها الشكل

حيث 1 هو وحدة المصفوفة الفرعية للأوتار، ر

يشير إلى تبديل المصفوفة، وتكون المصفوفة الطوبولوجية للأقسام من الشكل |1 -F، حيث 1 هي وحدة المصفوفة الفرعية للفروع. على النحو التالي من الشروط القطرية للمصفوفة

ردمك 1028-9763. الآلات والأنظمة الرياضية، 2014، العدد 4

ستكون أهمها في الحالة التي تكون فيها موصلية مكونات الشجرة في الدوائر ذات موصلية قصوى. مع الأخذ في الاعتبار نوع المصفوفات الطوبولوجية، يمكن كتابة معادلات الدائرة المجمعة على أساس قوانين كيرشوف في شكل مصفوفة على النحو التالي:

= - Бid، (3)

يتم اختيار متغيرات نظام المعادلات المترجم من الفولتية و/أو التيارات للمكونات نتيجة لتحليل النظام الرئيسي للمعادلات. إذا تم اختيار المكونات المتضمنة في فروع الشجرة كجهود متغيرة، فيمكن تحويل معادلات المكونات (1) والمعادلات (3)، (4) إلى الشكل التالي:

Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.

أدناه سوف نقدم تجميع المعادلات للحصول على مثال نموذجي. أولاً، يتم وضع وصف للدائرة الكهربائية بحيث تكون الحدود القطرية للمصفوفة هي الحدود الرئيسية. يتم استيفاء هذا المطلب من خلال مجموعة المكونات E1 وG6 وG3 وG2 المضمنة في الشجرة (في الشكل 1، يتم تمييز فروع الشجرة بخط غامق). تتوافق ناقلات الفولتية والتيارات للمكونات التالية مع الشجرة المحددة:

والمصفوفات الطوبولوجية

المعادلة (5) مع الأخذ في الاعتبار (6)، (7) والمعادلات المركبة بعد التحويلات، يكون لها الشكل التالي:

- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5

SLAE (8) غير مشروط، لأن القيم الذاتية للمصفوفة \= 1.5857864376253، R2 = 5.0E +14+j5.0E +14، A، = 5.0E +14 - j5.0E +14. من أجل تحديد مدى اعتماد دقة نتائج حل النظام على اختيار خيار تكوين المعادلات، سيتم إجراء حساب Uq المحتمل للعقدة 2 بالشكل العام:

ردمك 1028-9763. الآلات والأنظمة الرياضية، 2014، العدد 4

(g1+g2 +g4 +g5)-

ويترتب على تحليل العملية الحسابية (9-11) أنه على الرغم من النطاق الكبير للتغيرات في قيم الموصلية (15 مرتبة من حيث الحجم)، لا توجد متطلبات صارمة للدقة النهائية لتمثيل الأرقام سواء عندما تكوين المعادلات وعند حلها. للحصول على نتيجة موثوقة، يكفي إجراء العملية الحسابية لتجميع وحل SLAEs بدقة تمثيل الأرقام إلى رقمين مهمين.

تجدر الإشارة إلى أنه في SLAE (8)، يكون العنصر القطري للصف الثاني (العمود) من المصفوفة G+G4+G5I أكبر بكثير (بمقدار 15 مرة من حيث الحجم) من مجموع الحدود المتبقية

الصفوف (الأعمدة) | جي 4 + 2 جي 51. وهذا يعني أنه بأخذ UG = 0، يمكننا تبسيط SLAE

(8) الحفاظ على موثوقية النتائج. في عصر العد اليدوي، تتوافق هذه التقنية مع الجمع بين العقدة 2 مع 3 (الشكل 1).

في الحالة الثانية (دون تحديد العنصر القطري باعتباره العنصر الرئيسي)، يكفي تحديد المكونات Ex، G6، G4، G2 في الشجرة (في الشكل 1، تم تمييز فروع الشجرة بخطوط متقطعة

خط). يتوافق انخفاض الجهد على هذه المكونات مع إمكانات العقدة 1، 4، 3، 2، محسوبة من العقدة الصفرية. وهذا يعني أنه مع مثل هذا الاختيار للمكونات في الشجرة، فإن طريقة تكوين مصفوفة SLAE بشكل صحيح تتزامن مع طريقة الإمكانات العقدية. تتوافق ناقلات الفولتية وتيارات المكونات التالية مع الشجرة والأوتار المحددة:

U D = UG UG G4، Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4، Ix = G1 IG3 IG

UG G2 G5 إيغ G2 G5

والمصفوفات الطوبولوجية

المعادلة (5) مع الأخذ في الاعتبار (12) و(13) والمعادلات المكونة لها ستأخذ ما يلي

ردمك 1028-9763. الآلات والأنظمة الرياضية، 2014، العدد 4

G5 + G6 -G5 0 يو جي G6 0

G5 G3 + G4 + G5 -G3 يو. = 0

0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1

نظام المعادلات (14) غير مشروط لأنه يحتوي على القيم الذاتية التالية للمصفوفة: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. كما في الإصدار الأول من المثال، سيتم حساب UG المحتمل للعقدة 2 بشكل عام:

(ز + ز + ز)-----------

ف 3 4 ف (ز + ز)

+ (ج1 + ج2 + ج3)

3 4 5 بوصة (G5 + G6)

ومن تحليل العملية الحسابية لحل نظام المعادلات (15-17) يترتب على ذلك أن موثوقية النتائج تعتمد عند تكوين وحل المعادلات على الدقة النهائية لتمثيل الأرقام. فإذا أجريت العملية الحسابية لحل النظام (15-17) بدقة أقل من 15 رقماً معنوياً فإن النتيجة ستكون

1015 +1015 ~ س,

وفي حالة أن الدقة أكثر من 15 رقمًا معنويًا، فسيكون كذلك

1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)

من مقارنة المصفوفتين (8) و (14)، وكذلك العمليات الحسابية لحل أنظمة المعادلات، تتبع الاستنتاجات التالية.

تعد طريقة الإمكانات العقدية حالة خاصة من الطريقة المقترحة في ، وهي طريقة الإمكانات العقدية، حيث يتم دائمًا تحديد حواف الرسم البياني التي تربط العقدة الأساسية بالباقي في الشجرة.

العناصر القطرية للمصفوفة أكبر في المعامل من العناصر الأخرى، سواء في الصفوف أو الأعمدة، بغض النظر عما إذا كانت المصفوفة مكونة مع أو بدون تحديد الحد الأقصى للأقطار. والفرق الوحيد هو مقدار العناصر القطرية أكبر من العناصر غير القطرية. وهذا يعني أن حل هذا النوع من SLAE باستخدام الطريقة الغوسية مع اختيار العنصر الرئيسي لا يزيد من دقة النتائج لهذا النوع من المشاكل.

ردمك 1028-9763. الآلات والأنظمة الرياضية، 2014، العدد 4

يعتمد العدد النهائي للأشكال المهمة المستخدمة في الحل الغوسي بشكل كبير على ما إذا كانت المصفوفة مبنية مع أو بدون تحديد الحد الأقصى للعناصر القطرية. الفرق بين نسخة واحدة من المشكلة وأخرى هو أنه في مرحلة تكوين المعادلات، في إحدى الحالات، يتم اختيار المكون ذو الموصلية القصوى في الشجرة وبالتالي يعمل جهد هذا المكون كمتغير في SLAE. تشارك موصلية هذا المكون فقط في تكوين العنصر القطري للمصفوفة. وفي حالة أخرى، يقع هذا المكون في الحبال. وكما يلي من المعادلة (3)، يتم تحديد إجهاد المكون من خلال إجهاد مكونات الشجرة. ويترتب على المعادلة (4) أن موصلية المكون تدخل في تكوين عناصر الصفوف والأعمدة، وبالتالي فإن موصلية الوتر تحدد حجم عناصر المصفوفة هذه.

3. تحويل مصفوفة SLAE التي تم تجميعها بواسطة طريقة الإمكانات العقدية إلى نموذج يتوافق مع الصياغة الصحيحة

عند حل مشاكل الفيزياء الرياضية عدديًا والنمذجة الرياضية للعمليات الفيزيائية المعقدة والأنظمة التقنية لتجميع SLAEs التي تصف النماذج المنفصلة لهذه المشكلات، يتم استخدام طريقة الإمكانات العقدية أو نظائرها بشكل أساسي. السمة المميزة لهذه الطريقة هي أن إمكانات مخطط التصميم للنموذج المنفصل، المحسوبة من العقدة الأساسية إلى العقد المتبقية، وخوارزمية بسيطة لتكوين المعادلات، ومصفوفة مملوءة بشكل ضعيف لـ SLAE تستخدم كمتغيرات SLAE. قد يكون ثمن هذه الكفاءة هو عدم صحة المهمة. مع الأخذ في الاعتبار أن طريقة الإمكانات العقدية هي مجرد واحدة من متغيرات طريقة طرح المشكلة بشكل صحيح، يمكن تصحيح المشكلة المطروحة بشكل غير صحيح عن طريق تطبيق تحويل المصفوفة. أدناه سننظر في خوارزمية لتحويل مشكلة مؤلفة بشكل غير صحيح من خلال طريقة الإمكانات العقدية.

من بين المجموعة الكاملة للأشياء المادية، سيتم اعتبار فقط تلك الكائنات التي يتم وصف نموذجها الخطي المنفصل بواسطة SLAE بمصفوفة غير متحللة ومتماثلة.

3.1. خوارزمية تحويل المصفوفة

عند تطوير خوارزمية تحويل المصفوفة، يتم استخدام حقيقة أن العنصر j-th غير القطري للصف i-th من المصفوفة يتم تضمينه في المصفوفة بعلامة ناقص ويحتوي على معلمة نموذج منفصلة تصف الاتصال بين العقدتين i-th و j-th للنموذج المنفصل. يتم تضمين العنصر القطري في المصفوفة بعلامة إيجابية، ويحتوي على مجموع العناصر غير القطرية ومعلمة نموذج منفصلة تصف الاتصال بين العقدة i والعقدة الأساسية. عادة، عند ترقيم العقد لنموذج منفصل، تعتبر العقدة الأساسية صفراً.

على النحو التالي من الدراسة التي تم إجراؤها أعلاه، فإن عدم صحة المشكلة على مستوى SLAE المترجم يحدث فقط إذا كان واحد على الأقل من العناصر غير القطرية للخط أكبر بكثير من معلمة النموذج المنفصل، والذي تم تضمينه فقط في العنصر القطري. فيما يلي منهجية للتحقق من صحة SLAE المجمعة.

اسمح لـ SLAE بالحصول على النموذج

حيث x هو متجه الإمكانات العقدية (التأثيرات العقدية)، y هو متجه التدفقات الخارجية، A هي مصفوفة النموذج

ردمك 1028-9763. الآلات والأنظمة الرياضية، 2014، العدد 4

а11 а1i a1j a1n

аi1 аj العين (21)

aJ1 an1 و aJJ آن

حيث n هو حجم المصفوفة. تلبي عناصر المصفوفة المتطلبات التالية:

منظمة العفو الدولية> 0، أ.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)

أدناه سننظر في التحقق من صحة الصف الأول من المصفوفة وتصحيحها إذا لزم الأمر.

بادئ ذي بدء، يتم تحديد معلمة النموذج المنفصلة، ​​والتي يتم تضمينها فقط في العنصر القطري للصف الأول من المصفوفة،

يعتبر الصف الأول من المصفوفة مكونًا بشكل صحيح إذا كانت المعلمة تفي بالشرط

1 < j < n, при j Ф і.

إذا لم يتم استيفاء الشرط (24)، يتم تعديل الصف الأول. أولا، يتم تحديد أكبر العناصر غير القطرية. دع هذا يكون العنصر j -th من الصف i -th. من السهل التحقق من ذلك، نظرًا لخصائص تكوين المصفوفة (الشرط (22))، فإن معلمة النموذج المنفصل، والتي تشارك في تكوين العناصر o. و a.^ للخطين i-th و j-th، يتم تضمينهما كجزء لا يتجزأ من العنصرين aii وa. . جوهر ضبط الصف i هو تحويل الصفين i-th و j-th من المصفوفة بحيث تكون قيمة العنصر a. تم تضمينه فقط في العنصر aii. ومن السهل أن نرى ذلك، وهو يمثل المتغير xi في النموذج

س = س ي + س ي (25)

وإجراء التحويل التالي لعناصر العمود j لمصفوفة SLAE

س = منظمة العفو الدولية. + منظمة العفو الدولية، 1< 1 < n , (26)

نحصل على عمود j جديد من المصفوفة، حيث تكون العناصر المحولة هي a. و أ. لا تحتوي على معلمة النموذج المنفصل الذي شكل العناصر أ. و أ. .

الخطوة التالية هي تحويل الصف j باستخدام الصيغة

آجي = آي + آيي، 1< l < n . (27)

لم تعد العناصر a i من السلسلة j المحولة تحتوي على معلمة النموذج المنفصلة المقابلة للعنصر a i .

ردمك 1028-9763. الآلات والأنظمة الرياضية، 2014، العدد 4

يتم التحقق من صحة مصفوفة SLAE وتصحيح الصفوف غير الصحيحة للمصفوفة بأكملها. في هذا العمل، يتم النظر فقط في طريقة بناء خوارزمية لتحويل المصفوفة إلى النموذج الصحيح. لا يتم تناول المشكلات المتعلقة بتطوير خوارزمية فعالة لتحويل المصفوفة إلى النموذج الصحيح في هذا العمل. أدناه سنقدم مثالاً لتحويل مصفوفة SLAE (14)، التي تم تجميعها بواسطة طريقة الإمكانات العقدية.

3.2. مثال تجريبي

بداية، تجدر الإشارة إلى أن المصفوفة (14) متماثلة وغير متحللة. معاملات المصفوفة تحقق الشرط (22). تتوافق الإمكانات العقدية مع انخفاض الجهد عبر المكونات

U4 = UG^، U3 = UG، U2 = UG

ومع الأخذ في الاعتبار الرقم (28)، يمكن تمثيل مستوى خسائر الخسائر (14) على النحو التالي:

ج5 + ج6 - ج50 ش40

G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0

0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA

يتضمن التحقق من صحة المصفوفة العمليات التالية.

التحديد بالصيغة (23) لمعلمة النموذج المنفصل ait، متضمن فقط

في عنصر قطري. للصف الأول من المصفوفة سيكون G6، للصف الثاني G4 وللثالث - (Gl + G2).

يتم التحقق من صحة صفوف المصفوفة وفقًا للصيغة (24). ونتيجة لهذا الفحص، تبين أن السطر الثاني لا يستوفي شرط الصحة، حيث أن (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . يتم تضمين المعلمة G3 أيضًا في الصف الثالث من المصفوفة، وبالتالي، وفقًا للصيغة (25)، يتم اختيار تمثيل المتغير U3 بالشكل

U3 = U2 + U23، (30)

ونتيجة لتحويل عناصر العمود الثالث وفقا للصيغة (26) نحصل على المصفوفة (29) بالشكل التالي:

ج5 + ج6 - ج5 - ج5

G5 g3 + g4 + g5 g4+g5

وبعد تحويل الصف الثالث، وفقا للصيغة (27)، سيكون للمصفوفة (31) الشكل

(ج5 + ج6) - ج5 - ج5 يو 4 0

G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U 23 = 0 . (32)

G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E

يفي SLAE (32) بمتطلبات الصحة، لذلك يعتبر التعديل كاملاً. تتوافق متغيرات SLAE (32) مع متغيرات SLAE (8)، أي في

ردمك 1028-9763. الآلات والأنظمة الرياضية، 2014، العدد 4

نتيجة للتحول إلى شجرة، تم اختيار نفس المكونات كما في طريقة الصياغة الصحيحة للمشكلة. من المقارنة بين SLAEs (8) و (32) يترتب على ذلك أن العناصر غير القطرية للمصفوفة (32) للعمود الثاني والصف الثاني تختلف في الإشارة عن المصفوفة (8). وهذا نتيجة لحقيقة أنه عند تحويل المصفوفة (14)، تم اختيار اتجاه تيار المكون G3، عكس الاتجاه المختار عند تجميع SLAE (8). وباستبدال المتغير U23 بـ U23 = -U23 وتغيير إشارات العناصر في المعادلة الثانية إلى العكس نحصل على المصفوفة (8).

4. الخلاصة

أصبحت النمذجة جزءا لا يتجزأ من النشاط الفكري للبشرية، وموثوقية نتائج النمذجة هي المعيار الرئيسي لتقييم نتائج النمذجة. لضمان موثوقية النتائج، هناك حاجة إلى أساليب جديدة لتطوير الأساليب والخوارزميات لوصف الكائنات المعقدة وحلولها.

على النقيض من النهج الحالي لتطوير أساليب حل المشكلات غير المطروحة، تقترح هذه الورقة جلب المشكلة غير المطروحة (غير المشروطة) إلى الشكل الصحيح. لقد تبين أنه ليس سوء حالة المصفوفة هو الذي يجعل من الصعب الحصول على نتائج موثوقة عند حل SLAEs التي تصف النماذج المنفصلة للأشياء المادية، ولكن الاختيار غير الصحيح لمتغيرات SLAE في مرحلة تكوين المعادلات، وطريقة العقدي تعد الإمكانات ونظائرها، والتي تستخدم لتجميع SLAEs التي تصف نموذجًا منفصلاً، حالة خاصة من طريقة الصياغة الصحيحة للمشكلة. تم اقتراح تقنية للتحقق من صحة SLAE التي تم تجميعها بواسطة طريقة الإمكانات العقدية للحالة عندما تكون مصفوفة SLAE غير مفردة ومتماثلة. تم النظر في خوارزمية لتحويل المصفوفة إلى النموذج الصحيح.

فهرس

1. كاليتكين ن. معيار الشرطية الكمية لأنظمة المعادلات الجبرية الخطية / ن.ن. كاليتكين، ل.ف. يوخنو، إل.في. كوزمينا // النمذجة الرياضية. - 2011. ت23، رقم 2. - ص3 - 26.

2. فولوبوف ف.ب. في أحد أساليب نمذجة الأنظمة المعقدة / ف.ب. فولوبوف ، ف.ب. كليمينكو // الآلات والأنظمة الرياضية. - 2008. - العدد 4. - ص111 - 122.

3. فولوبوف ف.ب. في أحد أساليب نمذجة أنظمة الطاقة / ف.ب. فولوبوف ، ف.ب. كليمينكو // الآلات والأنظمة الرياضية. - 2009. - العدد 4. - ص106 - 118.

4. فولوبوف ف.ب. ميكانيكا الأنظمة القضيبية ونظرية المخططات / ف.ب. فولوبوف ، ف.ب. كليمينكو // الآلات والأنظمة الرياضية. - 2012. - العدد 2. - ص 81 - 96.

5. فولوبوف ف.ب. طريقة العناصر المحدودة ونظرية الرسم البياني / ف.ب. فولوبوف ، ف.ب. كليمينكو // الآلات والأنظمة الرياضية. - 2013. - العدد 4. - ص114 - 126.

6. بوخوف جي. أسئلة مختارة من نظرية الآلات الرياضية / Pukhov G.E. - كييف: دار النشر التابعة لأكاديمية العلوم في جمهورية أوكرانيا الاشتراكية السوفياتية، 1964. - 264 ص.

7. Seshu S. الرسوم البيانية الخطية والدوائر الكهربائية / S. Seshu, M.B. ريد. - م: الثانوية العامة 1971. - 448 ص.

8. Zenkevich O. العناصر المحدودة والتقريب / O. Zenkevich، K. Morgan. - م: مير، 1986. -318 ص.

9. فويفودين ف.ف. الأسس الحسابية للجبر الخطي / Voevodin V.V. - م: نوكا، 1977. -304 ص.

10. الأسس النظرية للهندسة الكهربائية: كتاب مدرسي للجامعات / ك.س. دميرشيان، إل.آر. نيمان، ن.ف. كوروفكين، ف.ل. شيشورين. - . - بطرس، 2003. - ت 2. - 572 ص.

من المعروف ما هي الصعوبات المرتبطة بحل ما يسمى بأنظمة المعادلات الجبرية الخطية غير المشروطة: يمكن أن تتوافق التغييرات الصغيرة في الجوانب اليمنى من هذه الأنظمة مع تغييرات كبيرة (تتجاوز الحدود المقبولة) في الحل.

النظر في نظام المعادلات

أز = ش، (3; 2,1)

أين أ --مصفوفة مع عناصر i ، أ=(a ij ), z -- المتجه المطلوب بإحداثيات z j , ض=(ض ي)، و --ناقلات معروفة مع الإحداثيات و أنا ، ش= (u i )، i، j =1، 2، ...، ص.يتم استدعاء النظام (3؛ 2،1). منحط,إذا كان محدد النظام هو صفر، detA = 0. في هذه الحالة المصفوفة ألديه صفر القيم الذاتية. بالنسبة للأنظمة سيئة التكييف من هذا النوع، يتم استخدام المصفوفة ألديه قيم ذاتية قريبة من الصفر.

إذا تم إجراء الحسابات بدقة محدودة، ففي بعض الحالات لا يمكن تحديد ما إذا كان نظام معين من المعادلات فاسدًا أو سيئ التكييف. وبالتالي، قد لا يمكن تمييز الأنظمة السيئة التكييف والمتدهورة ضمن دقة معينة. ومن الواضح أن هذا الوضع يحدث في الحالات التي تكون فيها المصفوفة ألديه قيم ذاتية قريبة جدًا من الصفر.

في المسائل العملية، يكون الجانب الأيمن غالبًا ووعناصر المصفوفة أ،أي أن معاملات النظام (3؛ 2،1) معروفة تقريبًا. في هذه الحالات، بدلا من النظام (3;2,1) نحن نتعامل مع نظام آخر من الألف إلى الياء= وبحيث ||أ-أ||<=h, ||u-u||<=--d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы أالمصفوفة أ، لا يمكننا جميعًا إصدار حكم محدد حول انحطاط النظام أو عدم انحطاطه (3؛ 2.1).

في هذه الحالات، حول النظام الدقيق أز=ش، والتي يجب تحديد حلها، نحن نعرف ذلك فقط بالنسبة للمصفوفة أوالجانب الأيمن وعدم المساواة ||أ-أ||<=h, ||u-u||<=--d. Но систем с такими исходными данными (يد)كثيرة جدًا، وفي حدود مستوى الخطأ المعروف لنا لا يمكن تمييزها. لأنه بدلا من النظام الدقيق (3؛ 2.1) لدينا نظام تقريبي ع = و،عندها لا يسعنا إلا أن نتحدث عن إيجاد حل تقريبي. لكن النظام التقريبي من الألف إلى الياء = شقد تكون غير قابلة للذوبان. استخراج أو تكوين السؤال:

ما الذي ينبغي فهمه كحل تقريبي للنظام (3؛ 2.1) في الحالة الموصوفة؟

من بين "الأنظمة الدقيقة المحتملة" قد تكون هناك أيضًا أنظمة متدهورة. إذا كانت قابلة للحل، فلديها عدد لا نهائي من الحلول. أي منهم يجب أن نتحدث عن النتيجة التقريبية؟

وبالتالي، في عدد كبير من الحالات، يجب علينا النظر في فئة كاملة من أنظمة المعادلات التي لا يمكن تمييزها عن بعضها البعض (ضمن مستوى معين من الخطأ)، والتي قد يكون من بينها أنظمة متدهورة وغير قابلة للحل. يجب أن تكون طرق بناء الحلول التقريبية لأنظمة هذه الفئة متماثلة وعامة. يجب أن تكون هذه الحلول قوية للتغييرات الصغيرة في البيانات الأولية (3؛ 2.1).

يعتمد بناء مثل هذه الأساليب على فكرة "الاختيار". يمكن إجراء الاختيار باستخدام وظائف خاصة محددة مسبقًا W[ z ] المضمنة في بيان المشكلة.

يتم استدعاء دالة غير سالبة W[ z ] محددة في مجموعة فرعية كثيفة في كل مكان F 1 من F في F وظيفة الاستقرار،لو:

• أ) ينتمي العنصر z T إلى مجال تعريفه؛
• ب) لأي رقم d>0 المجموعة F 1,d العناصر z من F 1 التي
• ث [ض]

لذلك، دعونا نفكر في نظام عشوائي من المعادلات الجبرية الخطية (باختصار، SLAEs)

من الألف إلى الياء = ش, (3; 2,2)

حيث z وu متجهان، z=(z 1, z 2, ...,z n)-OR n، و=(ش 1 ، ش 2 , ... ،ش ن)--أو م ، أ--مصفوفة مع عناصر i ، أ= (a ij )، حيث j =1, 2, ..., n; ط= 1، 2، ...، تي،والرقم صلا يجب أن يكون مساويا للرقم ت.

يمكن أن يكون هذا النظام قابلاً للحل بشكل فريد، ومنحطًا (ويحتوي على عدد لا نهائي من الحلول) وغير قابل للحل.

الحل الزائفالنظام (3; 2,2) يسمى المتجه z الذي يقلل من التناقض || من الألف إلى الياء - ش || على كامل المساحة Rn. قد يحتوي النظام (3، 2،2) على أكثر من حل زائف. دع F A تكون مجموعة جميع حلولها الزائفة ودع z 1 يكون متجهًا ثابتًا من آر إن،عادة ما يتم تحديدها من خلال بيان المشكلة.

عادي بالنسبة للناقلسيتم تسمية حل النظام z 1 (3;2,2) بالحل الزائف z 0 مع الحد الأدنى من القاعدة || ض - ض 1 ||، أي هكذا

|| ض 0 - ض 1 || =

هنا. فيما يلي، لتبسيط التدوين، سنفترض أن z 1 = 0 والحل الطبيعي بالنسبة للمتجه z 1 = 0 سيتم استدعاؤه ببساطة الحل الطبيعي.

لأي نظام من النموذج (3، 2،2) يوجد حل عادي وهو فريد من نوعه.

الملاحظة 1. يمكن أيضًا تعريف الحل الطبيعي z° للنظام (3;2,2) على أنه حل زائف يقلل من شكل تربيعي محدد إيجابي معين فيما يتعلق بإحداثيات المتجه z--z 1 . جميع النتائج المعروضة أدناه تظل صالحة.

الملاحظة 2. دع رتبة المصفوفة أالنظام المنحل (3؛ 2،1) يساوي ص < n و z r+1 ,z r+2 , … , z n - أساس الفضاء الخطي ن أ , تتكون من عناصر ض التي أز = 0،ن أ = ( ض؛ أز= 0). الحل z° للنظام (3؛ 2،1)، يلبي شروط التعامد n-r

(ض 0 - ض 1 , ض S)= 0, S= ص + 1, ص + 2, .. ,n, (3; 2,3)

يتم تحديده بشكل فريد ويتزامن مع الحل الطبيعي.

من السهل أن نرى أن مشكلة إيجاد حل طبيعي للنظام (3؛ 2،2) ليست في محلها. في الواقع، اسمحوا أ --مصفوفة متماثلة. إذا كان غير منحط، ثم عن طريق التحول المتعامد

ض = Vz*، ش = Vu*

هايمكن اختزاله إلى شكل قطري وسيكون للنظام المحول الشكل

l i z i *=u i * , i= 1, 2,. .., ف،

حيث l i هي القيم الذاتية للمصفوفة أ.

إذا كانت المصفوفة متماثلة أ --غير منحط وله رتبة r، ثم n - r من قيمه الذاتية تساوي الصفر. يترك

ل أنا №0 ل أنا=1, 2, ..., ص;

ل أنا =0 ل أنا=ص+1,ص+2, …, ن.

ونفترض أن النظام (3، 2،2) قابل للحل. في هذه الحالة، u i *= 0 لـ i =r + 1, ..., n.

دع "البيانات الأولية" للنظام (أو و)المحدد مع خطأ، أي بدلا من أو ويتم إعطاء تقريباتهم أو ش:

|| أ - أ ||<=h, ||u - u||<=d . При этом

دعني -- القيم الذاتية للمصفوفة أ.ومن المعروف أنهم يعتمدون بشكل مستمر على A في القاعدة (3؛ 2.4). وبالتالي فإن القيم الذاتية l r+1 , l r+2 , …,l n يمكن أن تكون صغيرة بشكل تعسفي لصغيرة بما فيه الكفاية ح .

إذا لم تكن تساوي الصفر، إذن

وبالتالي، سيكون هناك اضطرابات في النظام ضمن أي خطأ صغير بما فيه الكفاية أو و،حيث أن بعض z i * سوف تأخذ أي قيم محددة مسبقًا. وهذا يعني أن مشكلة إيجاد الحل الطبيعي للنظام (3؛ 2،2) غير مستقرة.

يوجد أدناه وصف لطريقة إيجاد حل طبيعي للنظام (3؛ 2.2)، مستقر إلى صغير (في القاعدة (3؛ 2.4)) اضطرابات الجانب الأيمن و،على أساس طريقة التنظيم.

ناقلات المطلوبة

إذا، فإن النظام (1) يسمى سيئ التكييف. في هذه الحالة، يمكن أن تؤدي الأخطاء في معاملات المصفوفة والجوانب اليمنى أو أخطاء التقريب في الحسابات إلى تشويه الحل بشكل كبير.

عند حل العديد من المسائل، يكون الجانب الأيمن من النظام (1) ومعاملات المصفوفة A معروفة بشكل تقريبي. في هذه الحالة، بدلاً من النظام الدقيق (1) لدينا نظام آخر

مثل ذلك

نفترض أن قيم و d معروفة.

نظرًا لأنه بدلاً من النظام (1) لدينا النظام (2)، فلا يمكننا العثور إلا على حل تقريبي للنظام (1). يجب أن تكون طريقة بناء الحل التقريبي للنظام (1) مستقرة للتغيرات الصغيرة في البيانات الأولية.

الحل الزائف للنظام (1) هو ناقل يقلل من التناقض على كامل المساحة.

دع x 1 يكون متجهًا ثابتًا من ، يتم تحديده عادةً بواسطة بيان المشكلة.

حل النظام (1) الطبيعي بالنسبة إلى المتجه x 1 هو حل زائف x 0 مع الحد الأدنى من القاعدة، أي

حيث F هي مجموعة الحلول الزائفة للنظام (1).

علاوة على ذلك

حيث ¾ هي مكونات المتجه x.

بالنسبة لأي نظام من النوع (1)، يوجد حل عادي ويكون فريدًا. إن مشكلة إيجاد حل طبيعي لنظام سيئ التكييف (1) هي مشكلة غير مطروحة.

لإيجاد حل طبيعي تقريبي للنظام (1)، نستخدم طريقة الانتظام.

وفقا لهذه الطريقة، نقوم ببناء وظيفة تجانس للنموذج

وابحث عن المتجه الذي يقلل من هذه الوظيفة. علاوة على ذلك، يتم تحديد معلمة التنظيم a بشكل فريد من الشرط

أين .

قد لا يمكن تمييز الأنظمة المتدهورة والمكيفة ضمن دقة معينة. أما إذا كانت هناك معلومات حول قابلية حل النظام (1) فيجب بدلاً من الشرط (5) استخدام الشرط التالي:

عناصر المتجهات هي حلول لنظام المعادلات الجبرية الخطية، والتي يتم الحصول عليها من شرط الحد الأدنى للدالة (4)

ويبدو

حيث E هي مصفوفة الهوية،

¾ المصفوفة المترافقة الهرمسية.

ومن الناحية العملية، يتطلب اختيار المتجه اعتبارات إضافية. إذا لم يكونوا موجودين، فافترض =0.

من أجل =0 نكتب النظام (7) في الصورة

أين

سيكون المتجه الموجود بمثابة حل طبيعي تقريبي للنظام (1).

دعونا نركز على اختيار المعلمة أ. إذا كانت a=0، فإن النظام (7) يتحول إلى نظام سيئ التكييف. إذا كان a كبيرًا، فسيكون النظام (7) مكيفًا جيدًا، لكن الحل المنتظم لن يكون قريبًا من الحل المطلوب للنظام (1). ولذلك، كبيرة جدا أو صغيرة جدا ليست مناسبة.

عادة، في الممارسة العملية، يتم إجراء الحسابات مع عدد من قيم المعلمة أ. على سبيل المثال،

لكل قيمة لـ a، أوجد العنصر الذي يقلل الدالة (4). تؤخذ القيمة المطلوبة لمعلمة التنظيم على أنها الرقم a الذي تتحقق عنده المساواة (5) أو (6) بالدقة المطلوبة.

ثالثا. يمارس

1. أنشئ نظام معادلات جبرية خطية يتكون من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل ومحدد قيمته في حدود 10 -6.

2. إنشاء نظام ثاني مشابه للأول ولكن به شروط حرة أخرى تختلف عن الشروط الحرة للنظام الأول بمقدار 0.00006.

3. حل الأنظمة المبنية باستخدام طريقة التنظيم (بافتراض =0 و d=10 -4) وبعض الطرق الأخرى (على سبيل المثال، الطريقة الغوسية).

4. مقارنة النتائج التي تم الحصول عليها واستخلاص النتائج حول إمكانية تطبيق الطرق المستخدمة.

رابعا. صياغة التقرير

يجب أن يتضمن التقرير:

1. عنوان العمل.

2. بيان المشكلة.

3. وصف خوارزمية الحل (الطريقة).

4. نص البرنامج مع الوصف.

5. نتائج البرنامج.

القائمة الببليوغرافية

1. تيخونوف أ.ن.، أرسينين ف.يا. طرق حل المشكلات المطروحة. - م: ناوكا، 1979. 286 ص.

2. باخفالوف إن إس، تشيدكوف إن بي، كوبيلكوف جي إم. الطرق العددية. - م: بينوم. مختبر المعرفة، 2007 ص 636.

العمل المخبري رقم 23

8.2.3. أنظمة متدهورة وسيئة التكييف

دعونا نعود مرة أخرى إلى SLAE Ax=b مع مصفوفة مربعة A بحجم MxN، والتي، على النقيض من الحالة "الجيدة" المذكورة أعلاه (انظر القسم 8. د)، تتطلب نهجًا خاصًا. دعونا ننتبه إلى نوعين متشابهين من SLAE:

• نظام منحط (مع محدد صفر |A|=0)؛
• نظام سيئ التكييف (المحدد A لا يساوي صفراً، لكن رقم الشرط كبير جداً).

على الرغم من حقيقة أن هذه الأنواع من أنظمة المعادلات تختلف اختلافًا كبيرًا عن بعضها البعض (للأول لا يوجد حل، ولكن للثاني يوجد حل واحد فقط)، من الناحية العملية للكمبيوتر، هناك الكثير من القواسم المشتركة بينهما هم.

SLAEs المتدهورة

النظام المنحل هو نظام موصوف بمصفوفة ذات محدد صفر |A|=0 (مصفوفة مفردة). وبما أن بعض المعادلات المضمنة في مثل هذا النظام يتم تمثيلها من خلال مجموعة خطية من المعادلات الأخرى، فإن النظام نفسه في الواقع غير محدد. من السهل أن ندرك أنه، اعتمادًا على النوع المحدد لمتجه الجانب الأيمن b، يوجد إما عدد لا نهائي من الحلول أو لا شيء على الإطلاق. يتمثل الخيار الأول في إنشاء حل زائف عادي (أي الاختيار من بين مجموعة لا حصر لها من الحلول، وهو الحل الأقرب إلى متجه معين، على سبيل المثال، الصفر). تمت مناقشة هذه الحالة بالتفصيل في القسم. 8.2.2 (انظر القوائم 8.11-8.13).

أرز. 8.7. تمثيل رسومي لنظام غير متناسق من معادلتين مع مصفوفة مفردة

دعونا نفكر في الحالة الثانية، عندما لا يكون لـ SLAE Ax=b مع مصفوفة مربعة مفردة A حل واحد. يتم توضيح مثال على هذه المشكلة (لنظام من معادلتين) في الشكل. 8.7، في الجزء العلوي يتم تقديم المصفوفة A والمتجه b، ويتم إجراء محاولة (غير ناجحة، لأن المصفوفة A مفردة) لحل النظام باستخدام وظيفة isolve. يوضح الرسم البياني الذي يشغل الجزء الرئيسي من الشكل أن المعادلتين اللتين تحددان النظام تحددان خطين متوازيين على المستوى (x0,xi). لا تتقاطع الخطوط عند أي نقطة في المستوى الإحداثي، وبالتالي لا يوجد حل للنظام.

ملحوظة

أولاً، لاحظ أن SLAE المعرفة بواسطة مصفوفة مربعة غير مفردة بحجم 2x2 تحدد زوجًا من الخطوط المتقاطعة في المستوى (انظر الشكل 8.9 أدناه). ثانيًا، تجدر الإشارة إلى أنه إذا كان النظام متسقًا، فإن التمثيل الهندسي للمعادلات سيكون عبارة عن خطين متطابقين يصفان عددًا لا نهائيًا من الحلول.

أرز. 8.8. رسم بياني لأقسام الدالة المتبقية f (x) = |Ax-b|

من السهل تخمين ذلك في الحالة المفردة للحلول الزائفة للنظام التي تقلل من التناقض |Ax-b| ، سيكون هناك عددًا لا نهائيًا، وسيقعون على الخط المستقيم الثالث، الموازي للخطين الموضحين في الشكل. 8.7 ويقع في المنتصف بينهما. البقاء على اتصال معنا. 8.8، والذي يوضح عدة أقسام من الدالة f(x) = = | الفأس ب | مما يدل على وجود عائلة دنيا بنفس العمق. إذا حاولت استخدام الدالة المضمنة "تصغير" للعثور عليها، فستجد طريقتها الرقمية دائمًا أي نقطة من السطر المذكور (اعتمادًا على الظروف الأولية). لذلك، لتحديد حل فريد، ينبغي للمرء أن يختار من بين مجموعة الحلول الزائفة بأكملها الحل الذي يحتوي على أصغر معيار. يمكنك محاولة صياغة مشكلة التصغير متعددة الأبعاد هذه في Mathcad باستخدام مجموعات من دوال التصغير المضمنة، ولكن الطريقة الأكثر فعالية هي استخدام التنظيم (انظر أدناه) أو تحلل المصفوفات المتعامدة (انظر القسم 8.3).

أنظمة سيئة التكييف

النظام سيئ التكييف هو نظام لا يساوي فيه المحدد A الصفر، بل الرقم الشرطي |A -1 | |أ| كبيرة جدًا. على الرغم من أن الأنظمة سيئة التكييف لديها حل فريد من نوعه، إلا أنه في الممارسة العملية غالبًا ما يكون من غير المنطقي البحث عن هذا الحل. دعونا نفكر في خصائص SLAEs سيئة التكييف باستخدام مثالين محددين (القائمة 8.14).

القائمة 8.14. حل اثنين من SLAEs قريبة من سوء التكييف

يحتوي كل سطر من القائمة 8.14 على حل اثنين من مستويات مستوى الخدمة (SLAE) المتقاربة جدًا والمشروطة بشكل سيئ (مع نفس الجانب الأيمن ب ومصفوفات مختلفة قليلاً أ). على الرغم من قربها، فإن الحلول الدقيقة لهذه الأنظمة بعيدة جدًا عن بعضها البعض. تجدر الإشارة إلى أنه من السهل الحصول على حل دقيق لنظام مكون من معادلتين، ولكن عند حل SLAE عالي الأبعاد، فإن أخطاء التقريب البسيطة التي تتراكم حتمًا أثناء العمليات الحسابية (بما في ذلك خوارزمية غاوس "الدقيقة") تؤدي إلى أخطاء فادحة في النتيجة. السؤال الذي يطرح نفسه: هل من المنطقي البحث عن حل عددي إذا كان معروفًا مسبقًا أنه بسبب عدم استقرار المشكلة نفسها قد يتبين أنها خاطئة تمامًا؟

هناك اعتبار آخر يجبرنا على البحث عن طرق خاصة لحل SLAEs غير المشروطة (حتى نظام المعادلتين الوارد كمثال في القائمة 8.14) ويرتبط بتفسيرها الفيزيائي كنتائج تجريبية. إذا كان من المعروف في البداية أنه تم الحصول على بيانات الإدخال مع بعض الأخطاء، فإن حل الأنظمة سيئة التكييف لا معنى له على الإطلاق، لأن الأخطاء الصغيرة في النموذج (المصفوفة أ والمتجه ب) تؤدي إلى أخطاء كبيرة في الحل. تسمى المشاكل المتعلقة بهذه الخصائص بسوء الطرح.

لفهم سبب الخطأ بشكل أفضل، من المفيد مقارنة التفسير الرسومي لنظام جيد (الشكل 8.9) ونظام مشروط سيئ (الشكل 8.10) لمعادلتين. يتم تصور حل النظام من خلال نقطة تقاطع خطين مستقيمين يمثلان كل من المعادلات.

أرز. 8.9. رسم بياني لنظام مكيف بشكل جيد من معادلتين

أرز. 8.10. رسم بياني لنظام غير مشروط من معادلتين

من الشكل. في الشكل 8.10 من الواضح أن الخطوط المستقيمة المقابلة لـ SLAE سيئة التكييف تقع على مقربة من بعضها البعض (متوازية تقريبًا). وفي هذا الصدد، يمكن أن تؤدي الأخطاء الصغيرة في موقع كل من الخطوط إلى أخطاء كبيرة في تحديد موقع نقطة تقاطعها (حلول SLAE)، على عكس حالة النظام المكيف، عندما تكون الأخطاء الصغيرة في لمنحدر الخطوط تأثير ضئيل على موقع نقطة تقاطعها (الشكل 8.9).

ملحوظة

يعد سوء تكييف المصفوفة أمرًا نموذجيًا أيضًا عند إعادة بناء البيانات التجريبية المحددة بواسطة SLAEs المحددة بشكل مفرط (غير المتسقة) (على سبيل المثال، في مشاكل التصوير المقطعي). هذه هي الحالة الموضحة في القسم التالي (انظر القائمة 8.16 أدناه).

طريقة التنظيم

لحل المشاكل غير المطروحة، على وجه الخصوص، SLAEs المتدهورة والمشروطة، تم تطوير تقنية فعالة للغاية تسمى التنظيم. يعتمد على مراعاة المعلومات المسبقة الإضافية حول بنية الحل (متجه التقدير المسبق xo)، والذي غالبًا ما يكون موجودًا في الحالات العملية. نظرًا لحقيقة أن التنظيم تمت مناقشته بالتفصيل في القسم. 6.3.3، نذكر فقط أن مشكلة حل SLAE Ax=b يمكن استبدالها بمشكلة إيجاد الحد الأدنى من دالة تيخونوف:

Ω (س، lect) = |الفأس-ب| 2 + lect |x-x0| 2. (8.3)

هنا R، عبارة عن معلمة تنظيم إيجابية صغيرة، والتي يجب تحديدها بطريقة مثالية. يمكن إثبات أن مشكلة تقليل وظيفة Tikhonov يمكن بدورها تقليلها إلى حل SLAE آخر:

(أ ت أ+ lect I)-x=A T B+ lect x0, (8.4)

الذي في λ ->0 يذهب إلى النظام الأصلي غير المكيف، وبالنسبة لـ x الكبيرة، كونها مكيفة جيدًا، فلها حل x 0. ومن الواضح أن بعض القيمة المتوسطة لـ A ستكون الأمثل، مما يؤدي إلى حل وسط معين بين المشروطية المقبولة والقرب من المشكلة الأصلية. لاحظ أن نهج التنظيم يقلل من المشكلة غير المطروحة إلى المشكلة المشروطة بشكل جيد (وفقًا لتيخونوف) المتمثلة في إيجاد حل للنظام (8.4)، والتي، نظرًا لخطية المشكلة، تكون فريدة ومستقرة.

دعونا نقدم، دون تعليقات غير ضرورية، حلاً منتظمًا للنظام المنحل، والذي تم تقديمه في الشكل 1. 8.8. توضح القائمة 8.15 إيجاد حل للمشكلة (8.4)، ويظهر في الشكل الاعتماد الناتج للمتبقي والحل نفسه على معلمة التنظيم R. 8.11 و8.12 على التوالي. ومن المهم التأكيد على أن حلول النظام الأصلي، وبالتالي النظام (8.4) في λ =0 غير موجود.

القائمة 8.15 تسوية SLAE المتدهورة

الخطوة الأخيرة للتنظيم هي اختيار الأمثل λ . هناك اعتباران على الأقل يمكن من خلالهما اختيار معلمة التنظيم بناءً على اعتماد المتبقي عليها. في المثال قيد النظر، نطبق معيار التحديد λ ، بناءً على اختيار القاعدة المتبقية المساوية للتقدير المسبق للأخطاء في تحديد بيانات الإدخال: المصفوفة A والمتجه b، أي القيمة | أ | + |5ẫ|. على سبيل المثال، يمكنك تحديد القاعدة المتبقية، وبالتالي المعلمة λ والحل س( λ ), والتي تم وضع علامة عليها في الشكل. 8.11 و 8.12 خطوط منقطه.

ملاحظة 1

خيار آخر λ ، والتي لا تتطلب أي اعتبارات مسبقة فيما يتعلق بأخطاء النموذج، هي ما يسمى بالطريقة شبه المثالية، والتي تمت مناقشتها في القسم. 6.3.3.

ملاحظة 2

ومن المفيد التحقق من أن الصيغة (8.4) في حالة المسألة الخطية تعطي نفس نتيجة الصيغة العامة (8.3). وللقيام بذلك، يكفي تغيير السطر الأخير في القائمة 8.15، الذي يعبر عن حل SLAE (8.4)، إلى كود ينفذ التصغير بطريقة عددية، كما هو موضح في القائمة 8.16. الحسابات (التي تتطلب وقتًا أطول بكثير للكمبيوتر) تعطي نفس النتيجة كما هو موضح في الشكل. 8.11 و 8.12.

ملاحظة 3

حاول في حسابات القائمتين 8.15 و8.16 أن تأخذ تقديرًا أوليًا مختلفًا، على سبيل المثال، أكثر واقعية للحل (بدلاً من المتجه الصفري x0 المستخدم فيهما) وانظر كيف يؤثر ذلك على النتيجة.

أرز. 8.11. اعتماد المتبقي من المحلول المنظم لـ SLAE المنحل على المعلمة أ. (استمرار القائمة 8.15)

ملاحظة 4

ومن المثير للاهتمام أيضًا استخدام اعتماد آخر بدلاً من الصيغة (8.3) كدالة تيخونوف: أوم (س،λ ) = |الفأس-ب|+ λ |x-x0 | . ستجد مثالًا مناسبًا للحسابات على القرص المضغوط.

أرز. 8.12. حل منظم يعتمد على π (تابع للقائمة 8.15)

القائمة 8.16. تنظيم اتفاقيات مستوى الخدمة باستخدام خوارزمية التقليل (استمرار للقائمة 8.15)