الشريحة 19

يتناقص بشكل رتيب على R. محور Ox هو خط مقارب أفقي يزيد بشكل رتيب على R 8. لأي قيم حقيقية لـ x و y؛ أ>0، أ≠1؛ ب>0، ب≠1. 7. الخط المقارب 6. النقاط القصوى 5. الرتابة 4. الزوجية والفردية 3. فترات مقارنة قيم الدالة بالوحدة 2. نطاق قيم الدالة 1 نطاق تعريف الدالة خصائص الدالة الأسية المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها الدالة الأسية ليس لها قيم متطرفة، فالدالة ليست زوجية ولا فردية (دالة ذات شكل عام).

الشريحة 20

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حل المهمة رقم 1 ابحث عن مجال تعريف الدالة

الشريحة 21

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حل المهمة رقم 2 تحديد القيم

الشريحة 22

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حل المهمة رقم 3 تحديد نوع الدالة زيادة متناقصة متزايدة متناقصة

الشريحة 23

إدخال المعرفة الجديدة

الشريحة 24

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها تعريف أبسط المتباينات الأسية: ليكن a عددا موجبا معلوما لا يساوي واحدا و b يكون عددا حقيقيا معلوما. ثم المتباينات ax>b (ax≥b) والفأس

الشريحة 25

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها ماذا يسمى حل المتباينة؟ الحل لمتباينة مجهولة x هو الرقم x0، والذي عند استبداله في المتراجحة ينتج متباينة عددية حقيقية.

الشريحة 26

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها ماذا يعني حل المتباينة؟ حل المتباينة يعني إيجاد جميع حلولها أو إظهار عدم وجودها.

الشريحة 27

دعونا نفكر في الموضع النسبي للرسم البياني للدالة y=ax, a>0, a≠1والخط المستقيم y=b المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 ×0 ×0

الشريحة 28

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها الخلاصة رقم 1: عند b<0، لا يتقاطع الخط المستقيم y=b مع الرسم البياني للدالة y=ax، لأن يقع أسفل المنحنى y=ax، وبالتالي فإن التفاوتات ax>b(ax≥b) تكون راضية عن xR، والتفاوتات ax

الشريحة 29

الخلاصة رقم 2: y x ​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها إذا كانت a>1 و b > 0، فكل x1 x0- أسفل الخط المستقيم y=b . 1 بالنسبة لـ b> 0، يتقاطع الخط المستقيم y = b مع الرسم البياني للدالة y = ax عند نقطة واحدة، وحرفها الإحداثي x0 = logab

الشريحة 30

الاستنتاج رقم 2: y x ​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها إذا كانت a>1 و b > 0، فكل x1 >x0 النقطة المقابلة للرسم البياني لـ تقع الدالة y=ax فوق الخط المستقيم y=b، ولكل x2 0 يتقاطع الخط المستقيم y = b مع الرسم البياني للدالة y = ax عند نقطة واحدة، حيث يكون الإحداثي المحوري x0 = logab x2

الشريحة 31

أبسط المتباينات الأسية المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها

الشريحة 32

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها مثال رقم 1.1 الإجابة: الزيادات على كامل مجال التعريف، الحل:

الشريحة 33

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها مثال رقم 1.2 الحل: الإجابة: تتناقص على كامل مجال التعريف،

الشريحة 34

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها المثال رقم 1.3 الحل: الإجابة: الزيادات على نطاق التعريف بأكمله،

الشريحة 35

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها أنواع المتباينات الأسية وطرق حلها 1) المتباينات الأسية، التي يتم اختزالها إلى أبسطها، تزيد على مجال التعريف بأكمله مثال رقم 1 الإجابة: الحل:

الشريحة 36

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها المثال رقم 1.4 الحل: الزيادات على كامل مجال التعريف، الإجابة:

الشريحة 37

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها أنواع المتباينات الأسية وطرق حلها المتباينات الأسية مختزلة إلى أبسط مثال رقم 2 يزيد على مجال التعريف بأكمله الإجابة: الحل:

الشريحة 38

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها أنواع المتباينات الأسية وطرق حلها 2) المتباينات الأسية التبسيطية إلى المتباينات التربيعية مثال لنعود إلى المتغير x يزيد لجميع x من مجال التعريف الإجابة: الحل:

الشريحة 39

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها أنواع المتباينات الأسية وطرق حلها 3) المتباينات الأسية المتجانسة من الدرجة الأولى والثانية. المتباينات الأسية المتجانسة من الدرجة الأولى المثال رقم 1 يزيد على كامل مجال التعريف الإجابة: الحل:

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها أنواع المتباينات الأسية وطرق حلها 4) المتباينات الأسية، الاختزال إلى المتباينات العقلانية مثال دعنا نعود إلى المتغير x يزيد على نطاق التعريف بأكمله الإجابة: الحل:

الشريحة 43

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها أنواع المتباينات الأسية وطرق حلها 5) المتباينات الأسية غير القياسية مثال الحل: دعونا نحل كل عبارة من المجموعة على حدة. عدم المساواة يساوي المجموع

الشريحة 44

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها أنواع المتباينات الأسية وطرق حلها 5) المتباينات الأسية غير القياسية مثال الإجابة: الحل: تحقق أظهر الاختبار أن x=1، x=3، x=1.5 هي حلول للمتباينات الأسية المعادلة، و x=2 ليس حلاً للمعادلة. لذا،

الشريحة 45

توحيد المعرفة

ما هي عدم المساواة تسمى الأسي؟ متى يكون للمتباينة الأسية حل لأي قيمة لـ x؟ متى لا يكون للمتباينة الأسية حلول؟ ما أنواع المتباينات التي تعلمتها في هذا الدرس؟ كيف يتم حل أبسط المتباينات؟ كيف يتم حل عدم المساواة التي تقلل إلى عدم المساواة التربيعية؟ كيف يتم حل عدم المساواة المتجانسة؟ كيف يمكن حل حالات عدم المساواة التي يمكن اختزالها إلى حالات عقلانية؟

الشريحة 46

ملخص الدرس

اكتشف ما تعلمه الطلاب الجدد في هذا الدرس. قم بإعطاء درجات للطلاب على عملهم في الدرس من خلال التعليقات التفصيلية

الشريحة 47

العمل في المنزل

الكتاب المدرسي للصف العاشر "الجبر وبدايات التحليل" المؤلف S. M. نيكولسكي دراسة الفقرات 6.4 و 6.6 ورقم 6.31-6.35 ورقم 6.45-6.50 حل

الشريحة 48

المتباينات الأسية وأنواعها وطرق حلها

الموضوع 6. المعادلات والمتباينات الأسية واللوغاريتمية (11 ساعة)
موضوع الدرس. يتم تقليل عدم المساواة إلى أبسطها عن طريق استبدال المجهول.
الغرض من الدرس: تنمية المهارات في حل المتباينات الأسية واللوغاريتمية، من خلال تقليلها إلى أبسطها، عن طريق استبدال المجهول.
مهام:
التعليمية: كرر وتوحيد المعرفة حول موضوع "حل أبسط المتباينات الأسية واللوغاريتمية"، وتعلم كيفية حل المتباينات اللوغاريتمية والأسية باستخدام طريقة الاستبدال.
تنموية: تنمية قدرة الطالب على تحديد نوعين من عدم المساواة وتحديد طرق حلهما (التفكير المنطقي والحدسي، تبرير الأحكام، التصنيف، المقارنة)، تنمية مهارات ضبط النفس واختبار الذات، القدرة على الحركة وفقًا لخوارزمية معينة، قم بتقييم وتصحيح النتيجة التي تم الحصول عليها.
التعليمية: الاستمرار في تطوير صفات الطلاب مثل: القدرة على الاستماع لبعضهم البعض؛ القدرة على ممارسة السيطرة المتبادلة واحترام الذات.
نوع الدرس: مدمج.
كتاب الجبر الصف 10 S.M. نيكولسكي، م.ك. بوتابوف، ن. ريشيتنيكوف، أ.ف. شيفكين
خلال الفصول الدراسية
تنظيم الوقت.
التحقق من الواجبات المنزلية.
تحديث المعرفة الأساسية.
أمامي:
1. ما هي المتباينات التي تسمى أبسط المتباينات الأسية؟
2. اشرح معنى حل المتباينات الأسية البسيطة.
3. ما هي المتباينات التي تسمى أبسط المتباينات اللوغاريتمية؟
4. شرح معنى حل المتباينات اللوغاريتمية البسيطة.
مع الكتابة على السبورة (طالب واحد لكل منهما):
حل عدم المساواة
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2شرح المادة الجديدة وتعزيزها خطوة بخطوة.
1.1. شرح مادة جديدة .
1. حل عدم المساواة:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2 طن<142t<2-2т. к. основание 2>1، ثم
ر<-2Обратная замена:
×2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
نحن مهتمون بالعلامة "-−" ثم نحصل عليها
الجواب:س∈(1;2)
2. حل عدم المساواة

1.2. التوحيد خطوة بخطوة.
رقم 6.49(أ،ج).
رقم 6.52(د).
أ) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4 x2=1
الإجابة: -∞;1∪54;+∞в) (13)5x2-4x-3>95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
الإجابة: -15;1د) log5x2-2x-3<1
سجل5x2-2x-3 00<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0x2-2x-8<0х2-2х-3>0

الإجابة: -2;-1∪3;42.1. شرح مادة جديدة .
3. حل عدم المساواة

ثم يكون عدم المساواة 1 منطقيًا لكل x والثاني

2.2. التوحيد خطوة بخطوة.
حل المتباينة رقم 6.56(ج)
3.1. شرح مادة جديدة .
4. حل عدم المساواة

3.2. التوحيد خطوة بخطوة.
حل المتباينة رقم 6.60(أ)
تلخيص الدرس.
انعكاس.
العمل في المنزل.
ص 6.6
رقم 6.49 (ب، د)
رقم 52.6 (أ، ب)
رقم 56.6 (د)
رقم 6.60 (ب)

الملفات المرفقة

الجبر وبداية التحليل الرياضي. الصف 10. كتاب مدرسي. نيكولسكي إس إم. وإلخ.

المستويات الأساسية والشخصية

الطبعة الثامنة. - م: التربية، 2009. - 430 ص.

يتوافق الكتاب المدرسي مع المكونات الفيدرالية لمعيار الولاية للتعليم العام في الرياضيات ويحتوي على مواد للمستويين الأساسي والمتخصص. يمكنك العمل معه بغض النظر عن الكتب المدرسية التي درسها تلاميذ المدارس في السنوات السابقة.

يهدف الكتاب المدرسي إلى إعداد الطلاب لدخول الجامعات.

شكل: djvu

مقاس: 15.2 ميجابايت

شاهد، حمل:Drive.google ; شبح

شكل:بي دي إف

مقاس: 42.3 ميجابايت

شاهد، حمل:Drive.google ; شبح

ملحوظة:جودة PDF أفضل، ممتازة تقريبًا. مصنوعة من نفس المسح، 150 نقطة في البوصة، اللون. ولكن في DJVU اتضح أن الأمر أسوأ قليلاً. هذه هي الحالة التي يكون فيها الحجم مهمًا.

جدول المحتويات
الفصل الأول: الجذور والقوى واللوغاريتمات
§ 1. الأعداد الحقيقية 3
1.1. مفهوم العدد الحقيقي 3
1.2. الكثير من الأرقام. خصائص الأعداد الحقيقية. ... 10
1.3*. طريقة الاستقراء الرياضي 16
1.4. التباديل 22
1.5. المواضع 25
1.6. الجمع 27
1.7*. إثبات المتباينات العددية 30
1.8*. قسمة الأعداد الصحيحة 35
1.9*. وحدة المقارنات ر 38
1.10*. مشاكل مع عدد صحيح مجهول 40
§ 2. المعادلات العقلانية والمتباينات 44
2.1. العبارات العقلانية 44
2.2. صيغ نيوتن ذات الحدين والمبالغ والاختلافات في القوى. . 48
2.3*. قسمة كثيرات الحدود مع الباقي. الخوارزمية الإقليدية...53
2.4*. نظرية بيزوت 57
2.5*. جذر كثير الحدود 60
2.6. المعادلات العقلانية 65
2.7. نظم المعادلات العقلانية 70
2.8. طريقة الفترات لحل عدم المساواة 75
2.9. عدم المساواة العقلانية 79
2.10. عدم المساواة غير الصارمة 84
2.11. نظم عدم المساواة العقلانية 88
§ 3. جذر الدرجة ن 93
3.1. مفهوم الدالة ورسمها البياني93
3.2. الدالة ص = س" 96
3.3. مفهوم جذر الدرجة ن 100
3.4. جذور القوى الزوجية والفردية 102
3.5. الجذر الحسابي 106
3.6. خواص الجذور من الدرجة ل 111
3.7*. الدالة y = nx (x > 0) 114
3.8*. الدالة ذ = nVx 117
3.9*. جذر ن العدد الطبيعي 119
§ 4. قوة الرقم الموجب 122
4.1. القوة ذات الأس العقلاني 122
4.2. خصائص الدرجات ذات الأس العقلاني 125
4.3. مفهوم حد التسلسل131
4.4*. خواص الحدود134
4.5. تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي. . . 137
4.6. رقم هـ 140
4.7. مفهوم الدرجة ذات الأس غير العقلاني....142
4.8. الدالة الأسية 144
§ 5. اللوغاريتمات 148
5.1. مفهوم اللوغاريتم148
5.2. خصائص اللوغاريتمات151
5.3. الدالة اللوغاريتمية 155
5.4*. اللوغاريتمات العشرية 157
5.5*. وظائف الطاقة 159
§ 6. المعادلات والمتباينات الأسية واللوغاريتمية. . 164
6.1. أبسط المعادلات الأسية 164
6.2. المعادلات اللوغاريتمية البسيطة 166
6.3. اختزال المعادلات إلى أبسطها عن طريق استبدال المجهول 169
6.4. أبسط المتباينات الأسية 173
6.5. أبسط المتباينات اللوغاريتمية 178
6.6. تقليل عدم المساواة إلى أبسطها عن طريق استبدال المجهول 182
معلومات تاريخية 187
الباب الثاني. الصيغ المثلثية. الدوال المثلثية
§ 7. جيب التمام وجيب التمام للزاوية 193
7.1. مفهوم الزاوية 193
7.2. راديان قياس الزاوية 200
7.3. تحديد الجيب وجيب التمام للزاوية 203
7.4. الصيغ الأساسية لـ sin a وcos a 211
7.5. أركسين 216
7.6. قوس جيب التمام 221
7.7*. أمثلة على استخدام أركسين وأركوسين....225
7.8*. صيغ أركسين وأركوسين 231
§ 8. ظل وظل الزاوية 233
8.1. تحديد الظل وظل التمام للزاوية 233
8.2. الصيغ الأساسية لـ tg a وctg a 239
8.3. القطب الشمالي 243
8.4*. قوس الظل 246
8.5*. أمثلة على استخدام ظل الزاوية القوسية و ظل التمام القوسي. . 249
8.6*. صيغ ظل التمام و ظل التمام 255
§ 9. صيغ الجمع 258
9.1. جيب التمام للفرق وجيب التمام لمجموع الزاويتين 258
9.2. صيغ الزوايا التكميلية262
9.3. جيب المجموع وجيب الفرق بين الزاويتين 264
9.4. مجموع وفرق الجيب وجيب التمام 266
9.5. صيغ الزوايا المزدوجة والنصف 268
9.6*. منتج الجيوب وجيب التمام 273
9.7*. صيغ الظلال 275
§ 10. الدوال المثلثية للوسيطة العددية 280
10.1. الدالة ص = الخطيئة × 281
10.2. الدالة ص = جتا × 285
10.3. الدالة ص = تيراغرام * 288
10.4. الدالة ص = ctg × 292
§ 11. المعادلات المثلثية والمتباينات 295
11.1. المعادلات المثلثية البسيطة 295
11.2. تم تقليل المعادلات إلى أبسطها عن طريق استبدال المجهول بـ 299
11.3. تطبيق الصيغ المثلثية الأساسية لحل المعادلات 303
11.4. المعادلات المتجانسة 307
11.5*. أبسط المتباينات للجيب وجيب التمام....310
11.6*. أبسط المتباينات للظل وظل التمام. . . 315
11.7*. تقليل عدم المساواة إلى أبسطها عن طريق استبدال المجهول 319
11.8*. مقدمة من الزاوية المساعدة 322
11.9*. استبدال المجهول t = sin x + cos x 327
معلومات تاريخية 330
الفصل الثالث. عناصر نظرية الاحتمالية
§ 12. احتمالية الحدث 333
12.1. مفهوم احتمال الحدث 333
12.2. خصائص احتمالات الحدث 338
§ 13*. تكرار. الاحتمال الشرطي 342
13.1*. التكرار النسبي للحدث 342
13.2*. احتمال مشروط. الأحداث المستقلة 344
§ 14*. القيمة المتوقعة. قانون الأعداد الكبيرة 348
14.1*. التوقع الرياضي 348
14.2*. تجربة صعبة 353
14.3*. صيغة برنولي. قانون الأعداد الكبيرة 355
معلومات تاريخية359
مهام المراجعة 362
فهرس الموضوع 407
الردود 410

يعتقد الكثير من الناس أن عدم المساواة الأسية أمر معقد وغير مفهوم. وأن تعلم حلها يكاد يكون فنًا عظيمًا، لا يستطيع فهمه إلا المختارون...

هراء كامل! إن عدم المساواة الأسية سهلة. ويتم حلها دائمًا ببساطة. حسنًا ، دائمًا تقريبًا. :)

اليوم سننظر في هذا الموضوع من الداخل والخارج. سيكون هذا الدرس مفيدًا جدًا لأولئك الذين بدأوا للتو في فهم هذا القسم من الرياضيات المدرسية. لنبدأ بالمشكلات البسيطة وننتقل إلى المشكلات الأكثر تعقيدًا. لن يكون هناك أي عمل شاق اليوم، ولكن ما ستقرأه الآن سيكون كافيًا لحل معظم المتباينات في جميع أنواع الاختبارات والعمل المستقل. وفي امتحانك هذا أيضًا.

كما هو الحال دائمًا، لنبدأ بالتعريف. المتباينة الأسية هي أي متباينة تحتوي على دالة أسية. وبعبارة أخرى، يمكن دائمًا اختزالها إلى عدم مساواة في الشكل

\[((أ)^(x)) \gt ب\]

حيث يمكن أن يكون دور $b$ رقمًا عاديًا، أو ربما شيئًا أكثر صرامة. أمثلة؟ نعم من فضلك:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ رباعي ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(خ)). \\\النهاية(محاذاة)\]

أعتقد أن المعنى واضح: هناك دالة أسية $((a)^(x))$، تتم مقارنتها بشيء ما، ثم يُطلب منها العثور على $x$. في الحالات السريرية بشكل خاص، بدلاً من المتغير $x$، يمكنهم وضع بعض الوظائف $f\left(x \right)$ وبالتالي تعقيد عدم المساواة قليلاً. :)

وبطبيعة الحال، في بعض الحالات قد يبدو عدم المساواة أكثر خطورة. على سبيل المثال:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

أو حتى هذا:

بشكل عام، يمكن أن يكون تعقيد هذه المتباينات مختلفًا تمامًا، لكنها في النهاية لا تزال تختصر إلى البناء البسيط $((a)^(x)) \gt b$. وسوف نفهم بطريقة أو بأخرى مثل هذا البناء (في الحالات السريرية بشكل خاص، عندما لا يتبادر إلى الذهن أي شيء، ستساعدنا اللوغاريتمات). لذلك، سنعلمك الآن كيفية حل مثل هذه الإنشاءات البسيطة.

حل المتباينات الأسية البسيطة

دعونا نفكر في شيء بسيط للغاية. على سبيل المثال، هذا:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

من الواضح أنه يمكن إعادة كتابة الرقم الموجود على اليمين كقوة لاثنين: $4=((2)^(2))$. ومن ثم، يمكن إعادة كتابة المتباينة الأصلية بصيغة ملائمة للغاية:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

والآن تتلهف يدي على "شطب" الاثنين في قواعد القوى من أجل الحصول على الإجابة $x \gt 2$. لكن قبل شطب أي شيء، دعونا نتذكر قوة الاثنين:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

كما ترون، كلما زاد الرقم في الأس، كلما زاد رقم الإخراج. "شكرا كاب!" - سوف يهتف أحد الطلاب. هل هو مختلف؟ لسوء الحظ، يحدث ذلك. على سبيل المثال:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ يمين))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

هنا أيضًا كل شيء منطقي: كلما زادت الدرجة، زاد عدد مرات ضرب الرقم 0.5 في نفسه (أي مقسم إلى النصف). وبالتالي فإن تسلسل الأرقام الناتج يتناقص، ويكون الفرق بين التسلسل الأول والثاني في القاعدة فقط:

• إذا كان أساس الدرجة $a \gt 1$، فكلما زاد الأس $n$، سيزيد الرقم $((a)^(n))$ أيضًا؛
• والعكس صحيح، إذا كان $0 \lt a \lt 1$، فكلما زاد الأس $n$، سينخفض ​​الرقم $((a)^(n))$.

بتلخيص هذه الحقائق، نحصل على البيان الأكثر أهمية الذي يرتكز عليه الحل الكامل للمتباينات الأسية:

إذا كان $a \gt 1$، فإن عدم المساواة $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ يعادل عدم المساواة $x \gt n$. إذا $0 \lt a \lt 1$، فإن عدم المساواة $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ يعادل عدم المساواة $x \lt n$.

بمعنى آخر، إذا كانت القاعدة أكبر من واحد، فيمكنك ببساطة إزالتها - لن تتغير علامة المتباينة. وإذا كانت القاعدة أقل من واحد، فيمكن إزالتها أيضا، ولكن في نفس الوقت سيتعين عليك تغيير علامة عدم المساواة.

يرجى ملاحظة أننا لم نأخذ في الاعتبار الخيارين $a=1$ و $a\le 0$. لأنه في هذه الحالات ينشأ عدم اليقين. لنفترض كيف نحل عدم المساواة في النموذج $((1)^(x)) \gt 3$؟ سوف يعطي واحد لأي قوة واحدًا مرة أخرى - لن نحصل أبدًا على ثلاثة أو أكثر. أولئك. لا توجد حلول.

مع الأسباب السلبية، يصبح كل شيء أكثر إثارة للاهتمام. على سبيل المثال، النظر في هذا عدم المساواة:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

للوهلة الأولى، كل شيء بسيط:

يمين؟ لكن لا! يكفي استبدال عددين زوجيين وعددين فرديين بدلاً من $x$ للتأكد من أن الحل غير صحيح. إلق نظرة:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

كما ترون، فإن العلامات تتناوب. ولكن هناك أيضًا قوى كسرية وهراء آخر. كيف، على سبيل المثال، يمكنك طلب حساب $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (ناقص اثنين أس سبعة)؟ مستحيل!

لذلك، من أجل التحديد، نفترض أنه في جميع المتباينات الأسية (والمعادلات بالمناسبة أيضًا) $1\ne a \gt 0$. وبعد ذلك يتم حل كل شيء بكل بساطة:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(محاذاة) \يمين.\]

بشكل عام، تذكر القاعدة الرئيسية مرة أخرى: إذا كان الأساس في المعادلة الأسية أكبر من واحد، فيمكنك ببساطة إزالته؛ وإذا كان الأساس أقل من واحد، فيمكن إزالته أيضًا، ولكن إشارة المتباينة ستتغير.

أمثلة على الحلول

لذا، دعونا نلقي نظرة على بعض المتباينات الأسية البسيطة:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\النهاية(محاذاة)\]

المهمة الأساسية في جميع الحالات هي نفسها: تقليل المتباينات إلى أبسط صورة $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. وهذا بالضبط ما سنفعله الآن مع كل متباينة، وفي نفس الوقت سنكرر خصائص الدرجات والدوال الأسية. إذا هيا بنا!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

ماذا يمكنك ان تفعل هنا؟ حسنًا، على اليسار لدينا بالفعل تعبير إرشادي - لا يلزم تغيير أي شيء. ولكن على اليمين هناك نوع من حماقة: الكسر، وحتى الجذر في المقام!

ومع ذلك، دعونا نتذكر قواعد التعامل مع الكسور والقوى:

\[\begin(align) & \frac(1)(((أ)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\النهاية(محاذاة)\]

ماذا يعني ذلك؟ أولًا، يمكننا بسهولة التخلص من الكسر عن طريق تحويله إلى قوة ذات أس سالب. وثانيًا، نظرًا لأن المقام له جذر، فسيكون من الجيد تحويله إلى قوة - هذه المرة باستخدام أس كسري.

دعونا نطبق هذه الإجراءات بالتسلسل على الجانب الأيمن من المتراجحة ونرى ما سيحدث:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=(\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \يمين))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \يمين)))=((2)^ (-\frac(1)(3))))\]

لا تنس أنه عند رفع درجة إلى قوة، فإن أسس هذه الدرجات تكون مضافة. وبشكل عام، عند العمل مع المعادلات الأسية والمتباينات، من الضروري للغاية معرفة أبسط قواعد التعامل مع القوى على الأقل:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\النهاية(محاذاة)\]

في الواقع، قمنا للتو بتطبيق القاعدة الأخيرة. وبالتالي، سيتم إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ فارك (1)(3))))\]

الآن نتخلص من الاثنين في القاعدة. بما أن 2 > 1، فإن علامة المتباينة ستظل كما هي:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right). \\\end(align)\]

هذا هو الحل! الصعوبة الرئيسية ليست على الإطلاق في الدالة الأسية، ولكن في التحويل الكفء للتعبير الأصلي: تحتاج إلى إحضاره بعناية وبسرعة إلى أبسط أشكاله.

النظر في عدم المساواة الثانية:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

لا بأس. الكسور العشرية تنتظرنا هنا. كما قلت عدة مرات، في أي تعبيرات ذات قوى، يجب عليك التخلص من الكسور العشرية - غالبًا ما تكون هذه هي الطريقة الوحيدة لرؤية حل سريع وبسيط. وهنا سوف نتخلص من:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ يمين))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\النهاية(محاذاة)\]

هنا مرة أخرى لدينا أبسط المتباينة، وحتى مع أساس 1/10، أي. أقل من واحد. حسنًا، نزيل القواعد، ونغير الإشارة في نفس الوقت من "أقل" إلى "أكثر"، ونحصل على:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& س \lt -1. \\\النهاية(محاذاة)\]

لقد تلقينا الإجابة النهائية: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. يرجى ملاحظة: الإجابة هي مجموعة محددة، وليست بأي حال من الأحوال بناء النموذج $x \lt -1$. لأنه رسميًا، مثل هذا البناء ليس مجموعة على الإطلاق، ولكنه عدم مساواة بالنسبة للمتغير $x$. نعم، الأمر بسيط للغاية، لكنه ليس الجواب!

ملاحظة مهمة. يمكن حل هذه المتباينة بطريقة أخرى، عن طريق اختزال كلا الطرفين إلى قوة ذات قاعدة أكبر من واحد. إلق نظرة:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

بعد هذا التحول، سنحصل مرة أخرى على متباينة أسية، ولكن بقاعدة 10 > 1. وهذا يعني أنه يمكننا ببساطة شطب العشرة - ولن تتغير علامة المتباينة. نحن نحصل:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & س \lt -1. \\\النهاية(محاذاة)\]

كما ترون، كان الجواب هو نفسه تماما. في الوقت نفسه، أنقذنا أنفسنا من الحاجة إلى تغيير العلامة وتذكر أي قواعد بشكل عام. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

ومع ذلك، لا تدع هذا يخيفك. وبغض النظر عما هو موجود في المؤشرات، فإن تكنولوجيا حل عدم المساواة نفسها تظل كما هي. لذلك، دعونا نلاحظ أولاً أن 16 = 2 4. دعونا نعيد كتابة المتباينة الأصلية مع أخذ هذه الحقيقة بعين الاعتبار:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

مرحا! لقد حصلنا على عدم المساواة التربيعية المعتادة! لم تتغير العلامة في أي مكان، لأن القاعدة اثنان - وهو رقم أكبر من واحد.

أصفار الدالة على خط الأعداد

نقوم بترتيب علامات الدالة $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - من الواضح أن الرسم البياني الخاص بها سيكون عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى، لذلك سيكون هناك "إيجابيات" " على الجوانب. نحن مهتمون بالمنطقة التي تكون فيها الدالة أقل من الصفر، أي. $x\in \left(2;5 \right)$ هو الحل للمسألة الأصلية.

أخيرًا، لننظر إلى متباينة أخرى:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

مرة أخرى، نرى دالة أسية تحتوي على كسر عشري في قاعدتها. دعونا نحول هذا الكسر إلى كسر عادي:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

في هذه الحالة، استخدمنا الملاحظة المذكورة سابقًا - قمنا بتقليل الأساس إلى الرقم 5 > 1 لتبسيط الحل الإضافي. دعونا نفعل الشيء نفسه مع الجانب الأيمن:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ صحيح))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

دعونا نعيد كتابة المتباينة الأصلية مع الأخذ بعين الاعتبار كلا التحويلين:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \يمين)))\ge ((5)^(-2))\]

القواعد على كلا الجانبين هي نفسها وتتجاوز واحدا. لا توجد مصطلحات أخرى على اليمين واليسار، لذلك نحن ببساطة "نشطب" الخمسات ونحصل على تعبير بسيط للغاية:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(محاذاة)\]

هذا هو المكان الذي يجب أن تكون فيه أكثر حذراً. يحب العديد من الطلاب أن يأخذوا ببساطة الجذر التربيعي لطرفي المتراجحة ويكتبوا شيئًا مثل $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. لا ينبغي القيام بذلك تحت أي ظرف من الظروف. ، نظرًا لأن جذر المربع الدقيق هو معامل، وليس بأي حال من الأحوال متغيرًا أصليًا:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| س\يمين|\]

ومع ذلك، فإن العمل مع الوحدات ليس تجربة ممتعة للغاية، أليس كذلك؟ لذلك لن نعمل. بدلًا من ذلك، نقوم ببساطة بنقل جميع الحدود إلى اليسار وحل المتباينة المعتادة باستخدام طريقة الفاصل الزمني:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(محاذاة)$

نحتفل مرة أخرى بالنقاط التي تم الحصول عليها على خط الأعداد وننظر إلى العلامات:

وبما أننا كنا نحل متباينة غير صارمة، فإن جميع النقاط على التمثيل البياني مظللة. لذلك، ستكون الإجابة: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ليس فاصلًا زمنيًا، بل قطعة.

بشكل عام، أود أن أشير إلى أنه لا يوجد شيء معقد فيما يتعلق بعدم المساواة الأسية. إن معنى جميع التحولات التي أجريناها اليوم يعود إلى خوارزمية بسيطة:

• ابحث عن الأساس الذي سنختزل إليه جميع الدرجات؛
• قم بإجراء التحويلات بعناية للحصول على متباينة بالشكل $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. بالطبع، بدلاً من المتغيرين $x$ و $n$ يمكن أن تكون هناك وظائف أكثر تعقيدًا، لكن المعنى لن يتغير؛
• شطب أساسات الدرجات. في هذه الحالة، قد تتغير علامة المتباينة إذا كان الأساس $a \lt 1$.

في الواقع، هذه خوارزمية عالمية لحل جميع حالات عدم المساواة هذه. وكل شيء آخر سيخبرونك به حول هذا الموضوع هو مجرد تقنيات وحيل محددة من شأنها تبسيط عملية التحويل وتسريعها. سنتحدث عن إحدى هذه التقنيات الآن. :)

طريقة الترشيد

دعونا نفكر في مجموعة أخرى من عدم المساواة:

\[\begin(align) & ((\text()\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text()\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \يمين))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

إذن ما الذي يميزهم؟ إنهم خفيفون. على الرغم من التوقف! هل الرقم π مرفوع إلى قوة ما؟ ما هذا الهراء؟

كيفية رفع الرقم $2\sqrt(3)-3$ إلى قوة؟ أو $3-2\sqrt(2)$؟ من الواضح أن كتاب المشكلة شربوا الكثير من الزعرور قبل الجلوس للعمل. :)

في الواقع، لا يوجد شيء مخيف في هذه المهام. اسمحوا لي أن أذكرك: الدالة الأسية هي تعبير بالصيغة $((a)^(x))$، حيث الأساس $a$ هو أي رقم موجب باستثناء واحد. الرقم π موجب - ونحن نعرف ذلك بالفعل. الأرقام $2\sqrt(3)-3$ و$3-2\sqrt(2)$ هي أيضًا أرقام موجبة - يسهل معرفة ذلك إذا قارنتها بالصفر.

هل اتضح أن جميع حالات عدم المساواة "المخيفة" هذه لا تختلف عن تلك البسيطة التي تمت مناقشتها أعلاه؟ وهل يتم حلها بنفس الطريقة؟ نعم، هذا صحيح تماما. ومع ذلك، باستخدام مثالهم، أود أن أفكر في تقنية واحدة توفر الكثير من الوقت في العمل المستقل والامتحانات. سنتحدث عن طريقة الترشيد. لذا انتبه:

أي متباينة أسية بالشكل $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ تعادل المتباينة $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ صحيح) \gt 0 $.

هذه هي الطريقة بأكملها :) هل تعتقد أنه سيكون هناك نوع آخر من اللعبة؟ لا شيء من هذا القبيل! ولكن هذه الحقيقة البسيطة، المكتوبة حرفيا في سطر واحد، سوف تبسط عملنا إلى حد كبير. إلق نظرة:

\[\begin(matrix) ((\text()\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text()\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\!\pi\!\!\text() -1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

لذلك لا يوجد المزيد من الوظائف الأسية! وليس عليك أن تتذكر ما إذا كانت العلامة قد تغيرت أم لا. ولكن تظهر مشكلة جديدة: ماذا تفعل بالمضاعف اللعين \[\left(\text()\!\!\pi\!\!\text() -1 \right)\]؟ نحن لا نعرف ما هي القيمة الدقيقة للرقم π. ومع ذلك، يبدو أن القبطان يلمح إلى ما هو واضح:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text()\approx 3.14... \gt 3\Rightarrow \text()\!\!\pi\!\!\text() - 1\gt 3-1=2\]

بشكل عام، القيمة الدقيقة لـ π لا تهمنا حقًا - من المهم فقط بالنسبة لنا أن نفهم أنه على أي حال $\text( )\!\!\pi\!\!\text() -1 \gt 2 $، ر.ه. وهذا ثابت موجب، ويمكننا قسمة طرفي المتراجحة عليه:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\! \pi\!\!\text() -1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

كما ترون، في لحظة معينة كان علينا القسمة على سالب واحد - وتغيرت علامة المتباينة. في النهاية، قمت بتوسيع ثلاثية الحدود التربيعية باستخدام نظرية فييتا - من الواضح أن الجذور تساوي $((x)_(1))=5$ و $((x)_(2))=-1$ . ثم يتم حل كل شيء باستخدام طريقة الفاصل الكلاسيكي:

تمت إزالة جميع النقاط لأن المتباينة الأصلية صارمة. نحن مهتمون بالمنطقة ذات القيم السالبة، لذا فإن الإجابة هي $x\in \left(-1;5 \right)$. هذا هو الحل .:)

دعنا ننتقل إلى المهمة التالية:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

كل شيء هنا بسيط بشكل عام، لأن هناك وحدة على اليمين. ونتذكر أن الواحد هو أي عدد مرفوع للأس صفر. حتى لو كان هذا الرقم تعبيرًا غير منطقي في القاعدة على اليسار:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \يمين))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \يمين))^(0)); \\\النهاية(محاذاة)\]

حسنًا، دعونا نبرر الأمر:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

كل ما تبقى هو معرفة العلامات. العامل $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ لا يحتوي على المتغير $x$ - إنه مجرد ثابت، ونحن بحاجة إلى معرفة علامته. للقيام بذلك، لاحظ ما يلي:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \يمين)=0 \\\end(مصفوفة)\]

وتبين أن العامل الثاني ليس مجرد ثابت، بل هو ثابت سلبي! وعند القسمة عليها تتغير إشارة المتباينة الأصلية إلى العكس:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

الآن أصبح كل شيء واضحًا تمامًا. جذور ثلاثية الحدود المربعة على اليمين هي: $((x)_(1))=0$ و$((x)_(2))=2$. نضع علامة عليها على خط الأعداد وننظر إلى علامات الدالة $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

نحن مهتمون بالفواصل الزمنية المميزة بعلامة الجمع. كل ما تبقى هو كتابة الجواب:

دعنا ننتقل إلى المثال التالي:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ صحيح))^(16-x))\]

حسنًا، كل شيء واضح تمامًا هنا: تحتوي القواعد على قوى بنفس العدد. لذلك سأكتب كل شيء باختصار:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \السهم السفلي \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ يسار(16-س \يمين))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

كما ترون، أثناء عملية التحويل كان علينا الضرب في عدد سالب، لذلك تغيرت علامة المتباينة. في النهاية، قمت مرة أخرى بتطبيق نظرية فييتا لتحليل ثلاثية الحدود التربيعية. ونتيجة لذلك، ستكون الإجابة كما يلي: $x\in \left(-8;4 \right)$ - يمكن لأي شخص التحقق من ذلك عن طريق رسم خط أرقام، ووضع علامة على النقاط وحساب العلامات. وفي الوقت نفسه، سوف ننتقل إلى المتباينة الأخيرة من "المجموعة":

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

كما ترون، يوجد في القاعدة مرة أخرى رقم غير نسبي، وعلى اليمين توجد وحدة مرة أخرى. لذلك، نعيد كتابة المتباينة الأسية على النحو التالي:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ صحيح))^(0))\]

نحن نطبق الترشيد:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

ومع ذلك، فمن الواضح تمامًا أن $1-\sqrt(2) \lt 0$، نظرًا لأن $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$. ولذلك، فإن العامل الثاني هو أيضًا ثابت سلبي، يمكن من خلاله قسمة طرفي المتراجحة:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\النهاية(مصفوفة)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

الانتقال إلى قاعدة أخرى

هناك مشكلة منفصلة عند حل المتباينات الأسية وهي البحث عن الأساس "الصحيح". لسوء الحظ، ليس من الواضح دائمًا للوهلة الأولى في المهمة ما الذي يجب اتخاذه كأساس، وما يجب القيام به وفقًا لدرجة هذا الأساس.

لكن لا تقلق: لا توجد تكنولوجيا سحرية أو "سرية" هنا. في الرياضيات، أي مهارة لا يمكن خوارزميتها يمكن تطويرها بسهولة من خلال الممارسة. ولكن لهذا سيتعين عليك حل المشكلات بمستويات مختلفة من التعقيد. على سبيل المثال، مثل هذا:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ النهاية (محاذاة) \]

صعب؟ مخيف؟ إنه أسهل من ضرب الدجاجة على الأسفلت! دعونا نحاول. أولا: عدم المساواة:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

حسنًا، أعتقد أن كل شيء واضح هنا:

نعيد كتابة المتباينة الأصلية، ونختصر كل شيء إلى الأساس الثاني:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \يمين)\cdot \left(2-1 \يمين) \lt 0\]

نعم، نعم، لقد سمعت ذلك بشكل صحيح: لقد قمت للتو بتطبيق طريقة التبرير الموضحة أعلاه. الآن نحن بحاجة إلى العمل بعناية: لدينا متباينة كسرية عقلانية (هذه هي المتباينة التي تحتوي على متغير في المقام)، لذا قبل مساواة أي شيء بالصفر، نحتاج إلى تقريب كل شيء إلى مقام مشترك والتخلص من العامل الثابت .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

الآن نستخدم طريقة الفاصل القياسي. أصفار البسط: $x=\pm 4$. يذهب المقام إلى الصفر فقط عندما يكون $x=0$. هناك ثلاث نقاط في المجمل يجب تحديدها على خط الأعداد (جميع النقاط مثبتة لأن علامة المتباينة صارمة). نحن نحصل:

كما قد تتخيل، فإن التظليل يمثل تلك الفواصل الزمنية التي يأخذ فيها التعبير الموجود على اليسار قيمًا سالبة. ولذلك فإن الإجابة النهائية ستتضمن فترتين في وقت واحد:

لم يتم تضمين نهايات الفترات في الإجابة لأن المتباينة الأصلية كانت صارمة. ليس هناك حاجة لمزيد من التحقق من هذه الإجابة. في هذا الصدد، تكون المتباينات الأسية أبسط بكثير من المتباينات اللوغاريتمية: لا توجد ODZ، ولا قيود، وما إلى ذلك.

دعنا ننتقل إلى المهمة التالية:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

لا توجد مشاكل هنا أيضًا، لأننا نعلم بالفعل أن $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$، لذا يمكن إعادة كتابة المتراجحة بأكملها على النحو التالي:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\يسار(-2 \يمين) \يمين. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

يرجى ملاحظة: في السطر الثالث قررت عدم إضاعة الوقت في تفاهات وتقسيم كل شيء على الفور على (−2). ذهب مينول إلى الشريحة الأولى (الآن هناك إيجابيات في كل مكان)، وتم تخفيض اثنين بعامل ثابت. هذا هو بالضبط ما يجب عليك فعله عند إعداد حسابات حقيقية للعمل المستقل والاختباري - لست بحاجة إلى وصف كل إجراء وتحول بشكل مباشر.

بعد ذلك، يأتي دور الطريقة المألوفة للفواصل الزمنية. أصفار البسط: ولكن لا يوجد شيء. لأن المميز سيكون سلبيا. وفي المقابل، تتم إعادة تعيين المقام فقط عندما يكون $x=0$ - تمامًا مثل المرة السابقة. حسنًا، من الواضح أنه على يمين $x=0$، سيأخذ الكسر قيمًا موجبة، وعلى اليسار - سالبًا. وبما أننا مهتمون بالقيم السالبة، فإن الإجابة النهائية هي: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

ماذا يجب أن تفعل بالكسور العشرية في المتباينات الأسية؟ هذا صحيح: تخلص منهم، وتحويلهم إلى عاديين. وهنا سوف نقوم بترجمة:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\يمين))^(x)). \\\النهاية(محاذاة)\]

إذن، ما الذي حصلنا عليه في أساسيات الدوال الأسية؟ وحصلنا على رقمين معكوسين:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ يمين))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ اليسار(\frac(4)(25) \اليمين))^(-x))\]

وبالتالي، يمكن إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \يمين))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\النهاية(محاذاة)\]

بالطبع، عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، فإن أسسها تتضاعف، وهو ما حدث في السطر الثاني. بالإضافة إلى ذلك، قمنا بتمثيل الوحدة الموجودة على اليمين، أيضًا كقوة في الأساس 4/25. ولم يبق إلا التبرير:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

لاحظ أن $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$، أي. والعامل الثاني هو ثابت سالب، وعند القسمة عليه تتغير إشارة المتباينة:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right). \\\end(align)\]

أخيرًا، المتباينة الأخيرة من "المجموعة" الحالية:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

من حيث المبدأ، فكرة الحل هنا واضحة أيضًا: جميع الدوال الأسية المتضمنة في المتراجحة يجب اختزالها إلى الأساس "3". ولكن لهذا سيتعين عليك العبث قليلاً بالجذور والقوى:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\رباعية 81=((3)^(4)). \\\النهاية(محاذاة)\]

وبأخذ هذه الحقائق بعين الاعتبار، يمكن إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\يمين))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\النهاية(محاذاة)\]

انتبه إلى السطرين الثاني والثالث من العمليات الحسابية: قبل القيام بأي شيء يتعلق بالمتباينة، تأكد من إحضارها إلى الصيغة التي تحدثنا عنها منذ بداية الدرس: $((a)^(x)) \ لتر ((أ)^(ن))$. طالما أن لديك بعض العوامل اليسرى والثوابت الإضافية وما إلى ذلك على اليسار أو اليمين، لا يمكن إجراء أي ترشيد أو "شطب" للأسباب! لقد تم إكمال عدد لا يحصى من المهام بشكل غير صحيح بسبب الفشل في فهم هذه الحقيقة البسيطة. أنا شخصياً ألاحظ هذه المشكلة باستمرار مع طلابي عندما بدأنا للتو في تحليل عدم المساواة الأسية واللوغاريتمية.

ولكن دعونا نعود إلى مهمتنا. دعونا نحاول الاستغناء عن الترشيد هذه المرة. دعونا نتذكر: أساس الدرجة أكبر من واحد، لذلك يمكن ببساطة شطب الثلاثيات - لن تتغير علامة المتباينة. نحن نحصل:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12؛ \\ & x \lt 3. \\\end(محاذاة)\]

هذا كل شئ. الإجابة النهائية: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

عزل تعبير مستقر واستبدال متغير

في الختام، أقترح حل أربع متباينات أسية أخرى، والتي تعتبر بالفعل صعبة للغاية بالنسبة للطلاب غير المستعدين. للتعامل معهم، عليك أن تتذكر قواعد العمل بالدرجات. وعلى وجه الخصوص، وضع العوامل المشتركة بين قوسين.

لكن الشيء الأكثر أهمية هو أن تتعلم كيف تفهم بالضبط ما يمكن إزالته من الأقواس. يسمى هذا التعبير مستقرًا - يمكن الإشارة إليه بمتغير جديد وبالتالي التخلص من الدالة الأسية. لذلك، دعونا ننظر إلى المهام:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

لنبدأ من السطر الأول. دعونا نكتب هذا عدم المساواة بشكل منفصل:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

لاحظ أن $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$، وبالتالي فإن اليد اليمنى يمكن إعادة كتابة الجانب:

لاحظ أنه لا توجد دوال أسية أخرى باستثناء $((5)^(x+1))$ في المتراجحة. وبشكل عام، المتغير $x$ لا يظهر في أي مكان آخر، لذلك دعونا نقدم متغيرًا جديدًا: $((5)^(x+1))=t$. نحصل على البناء التالي:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(محاذاة)\]

نعود إلى المتغير الأصلي ($t=((5)^(x+1))$)، وفي نفس الوقت نتذكر أن 1=5 0 . لدينا:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا هو الحل! الإجابة: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. دعنا ننتقل إلى عدم المساواة الثانية:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

كل شيء هو نفسه هنا. لاحظ أن $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . ثم يمكن إعادة كتابة الجانب الأيسر:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \يمين. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\النهاية(محاذاة)\]

هذه هي الطريقة التي تحتاجها تقريبًا لوضع حل للاختبارات الحقيقية والعمل المستقل.

حسنًا، دعونا نجرب شيئًا أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، هنا هو عدم المساواة:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

ما هي المشكلة هنا؟ أولًا، أساسات الدوال الأسية على اليسار مختلفة: 5 و25. ومع ذلك، 25 = 5 2، لذلك يمكن تحويل الحد الأول:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2س+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(محاذاة )\]

كما ترون، في البداية أحضرنا كل شيء إلى نفس الأساس، ثم لاحظنا أنه يمكن بسهولة تقليل الحد الأول إلى الثاني - تحتاج فقط إلى توسيع الأس. يمكنك الآن إدخال متغير جديد بأمان: $((5)^(2x+2))=t$، وستتم إعادة كتابة المتراجحة بأكملها على النحو التالي:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(محاذاة)\]

ومرة أخرى، لا توجد صعوبات! الإجابة النهائية: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. دعنا ننتقل إلى عدم المساواة النهائية في درس اليوم:

\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

أول شيء يجب عليك الانتباه إليه هو بالطبع الكسر العشري الموجود في أساس القوة الأولى. من الضروري التخلص منه، وفي الوقت نفسه إحضار جميع الدوال الأسية إلى نفس الأساس - الرقم "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\سهم لليمين ((16)^(x+1.5))=(\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

عظيم، لقد اتخذنا الخطوة الأولى – كل شيء أدى إلى نفس الأساس. أنت الآن بحاجة إلى تحديد تعبير مستقر. لاحظ أن $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. إذا أدخلنا متغيرًا جديدًا $((2)^(4x+6))=t$، فيمكن إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\النهاية(محاذاة)\]

ومن الطبيعي أن يطرح السؤال: كيف اكتشفنا أن 256 = 2 8؟ لسوء الحظ، هنا تحتاج فقط إلى معرفة قوى الاثنين (وفي نفس الوقت قوى الثلاثة والخمسة). حسنًا، أو اقسم 256 على 2 (يمكنك القسمة، نظرًا لأن 256 رقم زوجي) حتى نحصل على النتيجة. سيبدو شيئا من هذا القبيل:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(محاذاة )\]

وينطبق الشيء نفسه على ثلاثة (الأرقام 9، 27، 81 و 243 هي درجاتها)، ومع سبعة (الأرقام 49 و 343 سيكون من الجيد أيضًا أن نتذكرها). حسنًا، لدى الخمسة أيضًا درجات "جميلة" تحتاج إلى معرفتها:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\النهاية(محاذاة)\]

وبطبيعة الحال، إذا كنت ترغب في ذلك، يمكن استعادة كل هذه الأرقام في عقلك بمجرد ضربها على التوالي في بعضها البعض. ومع ذلك، عندما يتعين عليك حل العديد من المتباينات الأسية، وكل واحدة تالية تكون أكثر صعوبة من السابقة، فإن آخر شيء تريد التفكير فيه هو قوى بعض الأرقام. وبهذا المعنى، تكون هذه المسائل أكثر تعقيدًا من المتباينات "الكلاسيكية" التي يتم حلها بطريقة الفترات.

آمل أن يكون هذا الدرس قد ساعدك في إتقان هذا الموضوع. إذا كان هناك شيء غير واضح، اسأل في التعليقات. والى اللقاء في الدروس القادمة :)