أرقام الصيغة n للتقدم الحسابي. صيغة الحد n من التقدم الحسابي

للرياضيات جمالها الخاص، تمامًا مثل الرسم والشعر.

العالم الروسي الميكانيكي ن. جوكوفسكي

المهام الشائعة جدًا في امتحانات القبول في الرياضيات هي المشكلات المتعلقة بالمفهوم المتوالية العددية. لحل مثل هذه المشكلات بنجاح، يجب أن تكون لديك معرفة جيدة بخصائص التقدم الحسابي وأن تكون لديك مهارات معينة في تطبيقها.

دعونا نتذكر أولاً الخصائص الأساسية للتقدم الحسابي ونقدم أهم الصيغ, المتعلقة بهذا المفهوم.

تعريف. تسلسل رقمي, حيث يختلف كل مصطلح لاحق عن السابق بنفس العدد, تسمى المتوالية الحسابية في هذه الحالة الرقميسمى فرق التقدم.

بالنسبة للتقدم الحسابي، تكون الصيغ التالية صالحة:

, (1)

أين . تُسمى الصيغة (1) بصيغة الحد العام للتقدم الحسابي، وتمثل الصيغة (2) الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي: يتزامن كل حد من حدود التقدم مع المتوسط ​​الحسابي للمصطلحات المجاورة له و.

لاحظ أنه بسبب هذه الخاصية بالتحديد يُطلق على التقدم قيد النظر اسم "الحساب".

يتم تعميم الصيغتين (1) و (2) أعلاه على النحو التالي:

(3)

لحساب المبلغأولاً شروط التقدم الحسابيعادة ما يتم استخدام الصيغة

(٥) أين و.

إذا أخذنا في الاعتبار الصيغة (1), ثم من الصيغة (5) يتبع

إذا دلنا على ذلك

أين . وبما أن الصيغتين (7) و (8) هما تعميم للصيغتين المقابلتين (5) و (6).

بخاصة ، من الصيغة (5) يلي ذلك، ماذا

لا يعرف معظم الطلاب إلا القليل عن خاصية التقدم الحسابي، والتي تمت صياغتها من خلال النظرية التالية.

نظرية.اذا ثم

دليل.اذا ثم

لقد تم إثبات النظرية.

على سبيل المثال ، باستخدام النظرية، يمكن أن يظهر ذلك

دعنا ننتقل إلى النظر في الأمثلة النموذجية لحل المشكلات حول موضوع "التقدم الحسابي".

مثال 1.فليكن. يجد .

حل.وبتطبيق الصيغة (6) نحصل على . منذ و ، ثم أو .

مثال 2.وليكن أكبر بثلاث مرات، وإذا قسم على خارج القسمة يكون الناتج 2 والباقي 8. حدد و .

حل.ومن شروط المثال يتبع نظام المعادلات

منذ و و و ثم من نظام المعادلات (10) نحصل عليه

الحل لهذا النظام من المعادلات هو و .

مثال 3.ابحث عما إذا كان و .

حل.وفقا للصيغة (5) لدينا أو . ولكن باستخدام الخاصية (9) نحصل على .

منذ و ، ثم من المساواة المعادلة التاليةأو .

مثال 4.اكتشف ما إذا كان .

حل.وفقا للصيغة (5) لدينا

ومع ذلك، باستخدام النظرية، يمكننا الكتابة

ومن هنا ومن الصيغة (11) نحصل على .

مثال 5. منح: . يجد .

حل.منذ ذلك الحين. ومع ذلك، لذلك.

مثال 6.اسمحوا و . يجد .

حل.وباستخدام الصيغة (9) نحصل على . لذلك، إذا، ثم أو.

منذ و ثم هنا لدينا نظام المعادلات

حل الذي نحصل عليه و .

الجذر الطبيعي للمعادلةيكون .

مثال 7.ابحث عما إذا كان و .

حل.وبما أننا حسب الصيغة (3) لدينا ذلك، فإن نظام المعادلات يتبع من شروط المشكلة

إذا قمنا باستبدال التعبيرفي المعادلة الثانية للنظام، ثم نحصل على أو .

جذور المعادلة التربيعية هيو .

دعونا ننظر في حالتين.

1. دع إذن . منذ و ثم .

في هذه الحالة، وفقا للصيغة (6)، لدينا

2. إذا، ثم، و

الجواب: و.

مثال 8.ومن المعروف أن و. يجد .

حل.مع مراعاة الصيغة (5) وشرط المثال نكتب و .

وهذا يعني نظام المعادلات

إذا ضربنا المعادلة الأولى للنظام في 2 ثم أضفناها إلى المعادلة الثانية، نحصل على

وفقا للصيغة (9) لدينا. ويتبع في هذا الصدد (12)أو .

منذ و ثم .

إجابة: .

مثال 9.ابحث عما إذا كان و .

حل.منذ ، وبشرط ، ثم أو .

ومن الصيغة (5) يعرف، ماذا . منذ ذلك الحين.

لذلك ، هنا لدينا نظام المعادلات الخطية

من هنا نحصل على و . ومع مراعاة الصيغة (8) نكتب .

مثال 10.حل المعادلة.

حل.من المعادلة المعطاة يتبع ذلك . لنفترض أن ، و . في هذه الحالة .

وفقا للصيغة (1)، يمكننا أن نكتب أو .

وبما أن المعادلة (13) لها الجذر الوحيد المناسب.

مثال 11.ابحث عن القيمة القصوى بشرط أن و .

حل.منذ ذلك الحين فإن التقدم الحسابي قيد النظر آخذ في التناقص. وفي هذا الصدد، يأخذ التعبير قيمته القصوى عندما يكون رقم الحد الأدنى الإيجابي للتقدم.

دعونا نستخدم الصيغة (1) والحقيقة، ذلك و . ثم نحصل على ذلك أو .

منذ ذلك الحين أو . ومع ذلك، في هذا عدم المساواةأكبر عدد طبيعي، لهذا .

إذا تم استبدال قيم و في الصيغة (6)، نحصل على .

إجابة: .

مثال 12.تحديد مجموع كل رقمين الأعداد الطبيعيةوالتي إذا قسمت على 6 يبقى 5

حل.دعونا نشير إلى مجموعة الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين، أي: . بعد ذلك، سنقوم بإنشاء مجموعة فرعية تتكون من عناصر (أرقام) المجموعة التي، عند قسمتها على الرقم 6، تعطي الباقي 5.

سهل التنصيب، ماذا . بوضوح ، أن عناصر المجموعةتشكيل التقدم الحسابي، فيها و .

لتحديد العدد الأصلي (عدد العناصر) للمجموعة، نفترض أن . منذ و، فإنه يتبع من الصيغة (1) أو . وبأخذ الصيغة (5) في الاعتبار نحصل على .

لا يمكن بأي حال من الأحوال أن تدعي الأمثلة المذكورة أعلاه لحل المشكلات أنها شاملة. تمت كتابة هذه المقالة بناءً على التحليل الأساليب الحديثةحل المشكلات النموذجية حول موضوع معين. للحصول على دراسة أكثر تعمقًا لأساليب حل المشكلات المتعلقة بالتقدم الحسابي، يُنصح بالرجوع إلى قائمة الأدبيات الموصى بها.

1. مجموعة من المشاكل في الرياضيات للمتقدمين للكليات / إد. م. سكانافي. – م: السلام والتعليم، 2013. – 608 ص.

2. سوبرون ف.ب. الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية: أقسام إضافية من المنهج المدرسي. - م: ليناند / URSS، 2014. – 216 ص.

3. ميدينسكي م. دورة كاملة في الرياضيات الابتدائية في المسائل والتمارين. الكتاب الثاني: المتتاليات العددية والتقدمات. - م: إيديتوس، 2015. – 208 ص.

لا تزال لديك أسئلة؟

للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

يتعامل بعض الناس مع كلمة "التقدم" بحذر، باعتبارها مصطلحًا معقدًا جدًا من فروع الرياضيات العليا. وفي الوقت نفسه، فإن أبسط تقدم حسابي هو عمل عداد سيارات الأجرة (حيث لا يزال موجودا). وفهم الجوهر (وفي الرياضيات لا يوجد شيء أكثر أهمية من "فهم الجوهر") للتسلسل الحسابي ليس بالأمر الصعب، بعد تحليل بعض المفاهيم الأولية.

تسلسل الأرقام الرياضية

عادة ما يسمى التسلسل الرقمي بسلسلة من الأرقام، كل منها له رقم خاص به.

1 هو العضو الأول في التسلسل؛

و2 هو الحد الثاني من المتتابعة؛

و7 هو العضو السابع في التسلسل؛

و n هو العضو n في التسلسل؛

ومع ذلك، ليست أي مجموعة عشوائية من الأرقام والأعداد تهمنا. وسوف نركز اهتمامنا على المتتابعة العددية التي ترتبط فيها قيمة الحد النوني بعدده الترتيبي بعلاقة يمكن صياغتها رياضيا بشكل واضح. بمعنى آخر: القيمة العددية للرقم n هي إحدى وظائف n.

a هي قيمة عضو في التسلسل العددي؛

ن - له رقم سري;

f(n) هي دالة، حيث الرقم الترتيبي في التسلسل الرقمي n هو الوسيطة.

تعريف

عادةً ما يُطلق على التقدم الحسابي اسم التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد لاحق أكبر (أقل) من الحد السابق بنفس الرقم. صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية هي كما يلي:

أ ن - قيمة العضو الحالي في التقدم الحسابي؛

ن+1 - صيغة الرقم التالي؛

د - الفرق (عدد معين).

من السهل تحديد أنه إذا كان الفرق موجبًا (d>0)، فإن كل عضو لاحق في السلسلة قيد النظر سيكون أكبر من العضو السابق، وسوف يتزايد هذا التقدم الحسابي.

في الرسم البياني أدناه، من السهل معرفة سبب تسمية التسلسل الرقمي بـ "تزايد".

وفي الحالات التي يكون فيها الفرق سلبيا (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

قيمة العضو المحددة

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة أي حد تعسفي n للتقدم الحسابي. ويمكن القيام بذلك عن طريق حساب قيم جميع أعضاء المتوالية الحسابية بشكل تسلسلي، بدءاً من الأول إلى المطلوب. ومع ذلك، فإن هذا المسار ليس مقبولًا دائمًا، على سبيل المثال، إذا كان من الضروري العثور على قيمة الحد خمسة آلاف أو ثمانية ملايين. سوف تستغرق الحسابات التقليدية الكثير من الوقت. ومع ذلك، يمكن دراسة تقدم حسابي محدد باستخدام صيغ معينة. هناك أيضًا صيغة للحد النوني: يمكن تحديد قيمة أي حد من المتوالية الحسابية على أنها مجموع الحد الأول من المتتابعة مع فرق المتتابعة مضروبًا في عدد الحد المطلوب مختزلًا بمقدار واحد.

الصيغة عالمية لزيادة وخفض التقدم.

مثال لحساب قيمة مصطلح معين

دعونا نحل المشكلة التالية لإيجاد قيمة الحد النوني للتقدم الحسابي.

الحالة: يوجد تقدم حسابي مع المعلمات:

الحد الأول من التسلسل هو 3؛

الفرق في سلسلة الأرقام هو 1.2.

المهمة: تحتاج إلى إيجاد قيمة 214 مصطلحًا

الحل: لتحديد قيمة حد معين، نستخدم الصيغة:

أ(ن) = أ1 + د(ن-1)

باستبدال البيانات من بيان المشكلة في التعبير، لدينا:

أ(214) = أ1 + د(ن-1)

أ(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

الإجابة: الحد 214 من المتتابعة يساوي 258.6.

مزايا طريقة الحساب هذه واضحة - الحل بأكمله لا يستغرق أكثر من سطرين.

مجموع عدد معين من المصطلحات

في كثير من الأحيان، في سلسلة حسابية معينة، من الضروري تحديد مجموع قيم بعض قطاعاتها. للقيام بذلك، ليست هناك حاجة أيضًا لحساب قيم كل مصطلح ثم جمعها. تنطبق هذه الطريقة إذا كان عدد المصطلحات التي يجب العثور على مجموعها صغيرًا. وفي حالات أخرى، يكون من الملائم أكثر استخدام الصيغة التالية.

مجموع حدود المتتابعة الحسابية من 1 إلى n يساوي مجموع الحدين الأول والنوني مضروبًا في عدد الحد n مقسومًا على اثنين. إذا تم استبدال قيمة الحد n في الصيغة بالتعبير من الفقرة السابقة من المقالة، نحصل على:

مثال للحساب

على سبيل المثال، دعونا نحل مشكلة بالشروط التالية:

الحد الأول من المتتابعة هو صفر؛

الفرق هو 0.5.

تتطلب المشكلة تحديد مجموع حدود المتسلسلة من 56 إلى 101.

حل. دعنا نستخدم الصيغة لتحديد مقدار التقدم:

ق(ن) = (2∙أ1 + د∙(ن-1))∙ن/2

أولاً، نحدد مجموع قيم 101 حدًا للتقدم عن طريق استبدال الشروط المعطاة لمشكلتنا في الصيغة:

ق 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

من الواضح أنه من أجل معرفة مجموع شروط التقدم من 56 إلى 101، من الضروري طرح S 55 من S 101.

ق 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

وبالتالي فإن مجموع التقدم الحسابي لهذا المثال هو:

ق 101 - ق 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

مثال على التطبيق العملي للتقدم الحسابي

في نهاية المقال، نعود إلى مثال التسلسل الحسابي الوارد في الفقرة الأولى - عداد التاكسي (عداد سيارة الأجرة). دعونا نفكر في هذا المثال.

تبلغ تكلفة ركوب سيارة الأجرة (التي تشمل مسافة 3 كيلومترات) 50 روبل. يتم دفع كل كيلومتر لاحق بمعدل 22 روبل / كم. مسافة السفر 30 كم. احسب تكلفة الرحلة.

1. دعونا نتخلص من أول 3 كيلومترات، والتي يتم تضمين سعرها في تكلفة الهبوط.

30 - 3 = 27 كم.

2. الحساب الإضافي ليس أكثر من تحليل سلسلة أرقام حسابية.

رقم العضو - عدد الكيلومترات المقطوعة (مطروحًا منها الثلاثة الأولى).

قيمة العضو هو المبلغ.

الحد الأول في هذه المشكلة سيكون مساوياً لـ 1 = 50 روبل.

فرق التقدم د = 22 ص.

الرقم الذي يهمنا هو قيمة الحد (27+1) من المتتابعة الحسابية - قراءة العداد في نهاية الكيلومتر السابع والعشرين هي 27.999... = 28 كم.

أ 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

تعتمد حسابات بيانات التقويم لفترة طويلة بشكل تعسفي على صيغ تصف تسلسلات رقمية معينة. في علم الفلك، يعتمد طول المدار هندسيًا على مسافة الجسم السماوي إلى النجم. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام سلاسل الأرقام المختلفة بنجاح في الإحصاء والمجالات التطبيقية الأخرى في الرياضيات.

نوع آخر من التسلسل الرقمي هو هندسي

يتميز التقدم الهندسي بمعدلات تغيير أكبر مقارنة بالتقدم الحسابي. وليس من قبيل المصادفة أنه في السياسة وعلم الاجتماع والطب، من أجل إظهار السرعة العالية لانتشار ظاهرة معينة، على سبيل المثال، مرض أثناء الوباء، يقولون إن العملية تتطور في تقدم هندسي.

يختلف الحد N من سلسلة الأرقام الهندسية عن الحد السابق من حيث أنه مضروب في بعض الأرقام الثابتة - المقام، على سبيل المثال، الحد الأول هو 1، والمقام يساوي 2، ثم:

ن=1: 1 ∙ 2 = 2

ن=2: 2 ∙ 2 = 4

ن=3: 4 ∙ 2 = 8

ن=4: 8 ∙ 2 = 16

ن=5: 16 ∙ 2 = 32،

ب ن - قيمة الحد الحالي للتقدم الهندسي؛

ب ن+1 - صيغة الحد التالي من التقدم الهندسي؛

q هو مقام التقدم الهندسي (رقم ثابت).

إذا كان الرسم البياني للتقدم الحسابي عبارة عن خط مستقيم، فإن التقدم الهندسي يرسم صورة مختلفة قليلاً:

كما هو الحال في الحساب، فإن التقدم الهندسي له صيغة لقيمة حد عشوائي. أي حد نوني من التقدم الهندسي يساوي حاصل ضرب الحد الأول ومقام التقدم إلى قوة n مخصومًا بواحد:

مثال. لدينا تقدم هندسي حيث الحد الأول يساوي 3 ومقام التقدم يساوي 1.5. دعونا نجد الحد الخامس من التقدم

ب 5 = ب 1 ∙ ف (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

يتم أيضًا حساب مجموع عدد معين من المصطلحات باستخدام صيغة خاصة. مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي يساوي الفرق بين منتج الحد n للتقدم ومقامه والحد الأول للتقدم، مقسومًا على المقام مخفضًا بواحد:

إذا تم استبدال b n باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه، فإن قيمة مجموع حدود n الأولى من سلسلة الأرقام قيد النظر سوف تأخذ الشكل:

مثال. يبدأ التقدم الهندسي بالحد الأول الذي يساوي 1. والمقام مضبوط على 3. فلنوجد مجموع الحدود الثمانية الأولى.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3280

نوع الدرس:تعلم مواد جديدة.

أهداف الدرس:

• توسيع وتعميق فهم الطلاب للمشكلات التي يتم حلها باستخدام التقدم الحسابي؛ تنظيم أنشطة بحث الطلاب عند استخلاص صيغة مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي؛
• تطوير القدرة على اكتساب المعرفة الجديدة بشكل مستقل واستخدام المعرفة المكتسبة بالفعل لتحقيق مهمة معينة؛
• تنمية الرغبة والحاجة إلى تعميم الحقائق التي تم الحصول عليها وتنمية الاستقلال.

مهام:

• تلخيص وتنظيم المعرفة الموجودة حول موضوع "التقدم الحسابي"؛
• استخلاص الصيغ لحساب مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي؛
• تعليم كيفية تطبيق الصيغ التي تم الحصول عليها عند حل المشاكل المختلفة؛
• لفت انتباه الطلاب إلى الإجراء الخاص بإيجاد قيمة التعبير العددي.

معدات:

• بطاقات بمهام العمل في مجموعات وأزواج؛
• ورقة التقييم؛
• عرض تقديمي"المتوالية العددية."

I. تحديث المعرفة الأساسية.

1. العمل المستقل في أزواج.

الخيار الأول:

تعريف التقدم الحسابي. اكتب صيغة التكرار التي تحدد التقدم الحسابي. يرجى تقديم مثال على التقدم الحسابي وبيان الفرق فيه.

الخيار الثاني:

اكتب صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية. أوجد الحد المائة للمتتابعة الحسابية ( ن}: 2, 5, 8 …
في هذا الوقت، يقوم طالبان على الجزء الخلفي من اللوحة بإعداد إجابات لنفس الأسئلة.
يقوم الطلاب بتقييم عمل شركائهم من خلال التحقق منه على السبورة. (يتم تسليم الأوراق التي تحتوي على الإجابات.)

2. لحظة اللعبة.

التمرين 1.

مدرس.فكرت في بعض التقدم الحسابي. اسألني سؤالين فقط حتى تتمكن بعد الإجابات من تسمية الفصل السابع من هذا التقدم بسرعة. (1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15…)

أسئلة من الطلاب.

1. ما هو الفصل السادس من التقدم وما الفرق؟
2. ما هو الفصل الثامن من التقدم وما الفرق؟

إذا لم تكن هناك أسئلة أخرى، فيمكن للمعلم تحفيزها - "حظر" على D (الفرق)، أي أنه من غير المسموح به أن نسأل ما هو الفرق يساوي. يمكنك طرح الأسئلة: ما هو الحد السادس من التقدم وما هو الحد الثامن من التقدم؟

المهمة 2.

يوجد 20 رقمًا مكتوبًا على السبورة: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

يقف المعلم وظهره إلى السبورة. يقوم الطلاب باستدعاء الرقم، ويقوم المعلم على الفور باستدعاء الرقم نفسه. اشرح كيف يمكنني القيام بذلك؟

يتذكر المعلم صيغة الحد النوني أ ن = 3ن – 2ومن خلال استبدال القيم المحددة n، يجد القيم المقابلة ن.

ثانيا. تحديد مهمة التعلم.

أقترح حل مشكلة قديمة يعود تاريخها إلى الألفية الثانية قبل الميلاد، وجدت في البرديات المصرية.

مهمة:«ليقال لكم: اقسموا عشرة أكيال من الشعير على عشرة، فإن الفرق بين كل إنسان وجاره ثمان الكيل».

• كيف ترتبط هذه المشكلة بموضوع التقدم الحسابي؟ (كل شخص تالي يحصل على 1/8 من المقياس أكثر، مما يعني أن الفرق هو d=1/8، 10 أشخاص، وهو ما يعني n=10.)
• في رأيك ماذا يعني الرقم 10؟ (مجموع كل شروط التقدم.)
• ما الذي تحتاج إلى معرفته أيضًا لتسهيل وبساطة تقسيم الشعير وفقًا لظروف المشكلة؟ (الفصل الأول من التقدم.)

هدف الدرس– الحصول على اعتماد مجموع حدود المتتابعة على عددها والحد الأول والفرق والتحقق مما إذا كانت المشكلة قد تم حلها بشكل صحيح في العصور القديمة.

قبل أن نستنتج الصيغة، دعونا ننظر إلى كيفية قيام المصريين القدماء بحل المشكلة.

وقاموا بحلها كالآتي:

1) 10 قياسات: 10 = مقياس واحد – متوسط ​​الحصة؛
2) قياس واحد ∙ = قياسان – مضاعف متوسطيشارك.
تضاعف متوسطالسهم هو مجموع أسهم الشخص الخامس والسادس.
3) قياسان – 1/8 قياس = 1 7/8 قياس – ضعف حصة الشخص الخامس.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - جزء من الخمس؛ وهكذا، يمكنك العثور على نصيب كل شخص سابق ولاحق.

نحصل على التسلسل:

ثالثا. حل مشكلة.

1. العمل في مجموعات

المجموعة الأولى:أوجد مجموع 20 عدداً طبيعياً متتالياً: ق 20 =(20+1)∙10 =210.

على العموم

المجموعة الثانية:أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100 (أسطورة ليتل غاوس).

ق 100 = (1+100)∙50 = 5050

خاتمة:

المجموعة الثالثة:أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 21.

الحل: 1+21=2+20=3+19=4+18…

خاتمة:

المجموعة الرابعة:أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 101.

خاتمة:

تسمى هذه الطريقة لحل المشكلات قيد النظر "طريقة غاوس".

2. تعرض كل مجموعة حل المشكلة على السبورة.

3. تعميم الحلول المقترحة للتقدم الحسابي التعسفي:

أ 1، أ 2، أ 3،…، أ ن-2، أ ن-1، أ ن.
S n =أ 1 + أ 2 + أ 3 + أ 4 +…+ أ ن-3 + أ ن-2 + أ ن-1 + أ ن.

دعونا نجد هذا المبلغ باستخدام منطق مماثل:

4. هل قمنا بحل المشكلة؟(نعم.)

رابعا. الفهم الأساسي وتطبيق الصيغ التي تم الحصول عليها عند حل المشكلات.

1. التحقق من حل مشكلة قديمة باستخدام الصيغة.

2. تطبيق الصيغة في حل المشكلات المختلفة.

3. تمارين لتنمية القدرة على تطبيق الصيغ عند حل المشكلات.

أ) رقم 613

منح: ( ن) –المتوالية العددية؛

(ن): 1، 2، 3، …، 1500

يجد: س 1500

حل: , أ 1 = 1، و 1500 = 1500،

ب) معطى : ( ن) –المتوالية العددية؛
(أ ن): 1، 2، 3، …
س ن = 210

يجد: ن
حل:

V. العمل المستقل مع التحقق المتبادل.

بدأ دينيس العمل كساعي. في الشهر الأول كان راتبه 200 روبل، وفي كل شهر لاحق زاد بمقدار 30 روبل. كم كان إجمالي دخله في السنة؟

منح: ( ن) –المتوالية العددية؛
أ 1 = 200، د = 30، ن = 12
يجد: س 12
حل:

الجواب: حصل دينيس على 4380 روبل لهذا العام.

السادس. تعليمات الواجبات المنزلية.

1. القسم 4.3 - تعلم اشتقاق الصيغة.
2. №№ 585, 623 .
3. أنشئ مسألة يمكن حلها باستخدام صيغة مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي.

سابعا. تلخيص الدرس.

1. ورقة النتائج

2. أكمل الجمل

• اليوم في الصف تعلمت...
• الصيغ المستفادة...
• أعتقد أن …

3. هل يمكنك العثور على مجموع الأرقام من 1 إلى 500؟ ما الطريقة التي ستستخدمها لحل هذه المشكلة؟

فهرس.

1. الجبر، الصف التاسع. كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام. إد. ج.ف. دوروفيفا.م: "التنوير"، 2009.

عند دراسة الجبر في المدرسة الثانوية (الصف التاسع)، أحد الموضوعات المهمة هو دراسة التسلسل العددي، والذي يتضمن التقدم - الهندسي والحسابي. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على التقدم الحسابي والأمثلة مع الحلول.

ما هو التقدم الحسابي؟

لفهم ذلك، من الضروري تحديد التقدم المعني، بالإضافة إلى توفير الصيغ الأساسية التي سيتم استخدامها لاحقًا في حل المشكلات.

المتوالية الحسابية أو الجبرية هي مجموعة من الأعداد النسبية المرتبة، يختلف كل حد منها عن سابقه بقيمة ثابتة معينة. وتسمى هذه القيمة الفرق. وهذا هو، معرفة أي عضو في سلسلة مرتبة من الأرقام والفرق، يمكنك استعادة التقدم الحسابي بأكمله.

دعونا نعطي مثالا. سيكون التسلسل التالي من الأرقام بمثابة تقدم حسابي: 4، 8، 12، 16، ...، لأن الفرق في هذه الحالة هو 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). لكن مجموعة الأرقام 3، 5، 8، 12، 17 لم يعد من الممكن أن تعزى إلى نوع التقدم قيد النظر، لأن الفرق بالنسبة لها ليس قيمة ثابتة (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

صيغ مهمة

دعونا الآن نقدم الصيغ الأساسية التي ستكون ضرورية لحل المسائل باستخدام التقدم الحسابي. دعونا نشير بالرمز a n إلى العضو n في التسلسل، حيث n هو عدد صحيح. نشير إلى الفرق بالحرف اللاتيني d. ثم التعبيرات التالية صالحة:

1. لتحديد قيمة الحد n، الصيغة التالية مناسبة: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. لتحديد مجموع حدود n الأولى: S n = (a n +a 1)*n/2.

لفهم أي أمثلة على التقدم الحسابي مع الحلول في الصف التاسع، يكفي أن نتذكر هاتين الصيغتين، لأن أي مشاكل من النوع قيد النظر تعتمد على استخدامها. يجب أن تتذكر أيضًا أن فرق التقدم يتم تحديده بواسطة الصيغة: d = a n - a n-1.

المثال رقم 1: العثور على مصطلح غير معروف

دعونا نعطي مثالا بسيطا على التقدم الحسابي والصيغ التي يجب استخدامها لحلها.

دع التسلسل 10، 8، 6، 4، ... معطى، تحتاج إلى العثور على خمسة حدود فيه.

ويترتب على شروط المشكلة أن الحدود الأربعة الأولى معروفة. ويمكن تعريف الخامس بطريقتين:

1. دعونا أولا نحسب الفرق. لدينا: د = 8 - 10 = -2. وبالمثل، يمكنك أن تأخذ أي عضوين آخرين يقفان بجانب بعضهما البعض. على سبيل المثال، د = 4 - 6 = -2. وبما أنه من المعروف أن d = a n - a n-1، فإن d = a 5 - a 4، ومنه نحصل على: a 5 = a 4 + d. نعوض بالقيم المعروفة: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. وتتطلب الطريقة الثانية أيضًا معرفة اختلاف التتابع المعني، لذا عليك أولاً تحديده كما هو موضح أعلاه (d = -2). مع العلم أن الحد الأول a 1 = 10، نستخدم صيغة الرقم n في التسلسل. لدينا: أ ن = (ن - 1) * د + أ 1 = (ن - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*ن. بالتعويض بـ n = 5 في التعبير الأخير، نحصل على: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

كما ترون، كلا الحلين أدى إلى نفس النتيجة. لاحظ أنه في هذا المثال يكون فرق التقدم d قيمة سالبة. تسمى هذه التسلسلات بالتناقص، لأن كل حد تالٍ أقل من الحد السابق.

المثال رقم 2: اختلاف التقدم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً، ونعطي مثالاً عن كيفية القيام بذلك

من المعروف أن الحد الأول عند البعض يساوي 6 والحد السابع يساوي 18. ومن الضروري إيجاد الفرق واستعادة هذا التسلسل إلى الحد السابع.

دعونا نستخدم الصيغة لتحديد الحد المجهول: a n = (n - 1) * d + a 1 . لنستبدل بها البيانات المعروفة من الشرط، أي الرقمين a 1 و a 7، لدينا: 18 = 6 + 6 * d. من هذا التعبير يمكنك بسهولة حساب الفرق: d = (18 - 6) /6 = 2. وبذلك نكون قد أجبنا على الجزء الأول من المشكلة.

لاستعادة التسلسل إلى الحد السابع، يجب عليك استخدام تعريف التقدم الجبري، أي أ 2 = أ 1 + د، أ 3 = أ 2 + د، وهكذا. ونتيجة لذلك، فإننا نستعيد التسلسل بأكمله: أ 1 = 6، أ 2 = 6 + 2 = 8، أ 3 = 8 + 2 = 10، أ 4 = 10 + 2 = 12، أ 5 = 12 + 2 = 14 ، أ 6 = 14 + 2 = 16، أ 7 = 18.

المثال رقم 3: رسم التقدم

دعونا تعقيد المشكلة أكثر. الآن نحن بحاجة للإجابة على سؤال كيفية العثور على التقدم الحسابي. يمكن إعطاء المثال التالي: تم إعطاء رقمين، على سبيل المثال - 4 و 5. من الضروري إنشاء تقدم جبري بحيث يتم وضع ثلاثة حدود أخرى بينهما.

قبل البدء في حل هذه المشكلة، عليك أن تفهم المكان الذي ستحتله الأرقام المحددة في التقدم المستقبلي. وبما أنه سيكون هناك ثلاثة حدود أخرى بينهما، فإن 1 = -4 و5 = 5. وبعد تحديد ذلك، ننتقل إلى المشكلة، التي تشبه المشكلة السابقة. مرة أخرى، بالنسبة للحد n الذي نستخدم فيه الصيغة، نحصل على: a 5 = a 1 + 4 * d. من: د = (أ 5 - أ 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. ما حصلنا عليه هنا ليس قيمة صحيحة للفرق، ولكنه عدد نسبي، لذا تظل صيغ التقدم الجبري كما هي.

الآن دعونا نضيف الفرق الموجود إلى 1 ونستعيد الحدود المفقودة للتقدم. نحصل على: أ 1 = - 4، أ 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75، أ 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5، أ 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75، أ 5 = 2.75 + 2.25 = 5، وهو ما تزامن مع ظروف المشكلة

مثال رقم 4: الفصل الأول من التقدم

دعنا نستمر في إعطاء أمثلة على التقدم الحسابي مع الحلول. في جميع المسائل السابقة كان الرقم الأول من المتتابعة الجبرية معروفا. الآن دعونا نفكر في مشكلة من نوع مختلف: دعنا نعطي رقمين، حيث 15 = 50 و43 = 37. من الضروري العثور على الرقم الذي يبدأ به هذا التسلسل.

تفترض الصيغ المستخدمة حتى الآن معرفة 1 وd. في بيان المشكلة، لا يوجد شيء معروف عن هذه الأرقام. ومع ذلك، سنكتب تعبيرات لكل حد تتوفر عنه معلومات: a 15 = a 1 + 14 * d وa 43 = a 1 + 42 * d. لقد حصلنا على معادلتين يوجد فيهما كميتين مجهولتين (أ 1 ود). وهذا يعني أن المشكلة تقتصر على حل نظام من المعادلات الخطية.

أسهل طريقة لحل هذا النظام هي التعبير عن الرقم 1 في كل معادلة ثم مقارنة التعبيرات الناتجة. المعادلة الأولى: أ 1 = أ 15 - 14 * د = 50 - 14 * د؛ المعادلة الثانية: أ 1 = أ 43 - 42 * د = 37 - 42 * د. بمساواة هذه التعبيرات، نحصل على: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d، ومن هنا الفرق d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (يتم إعطاء 3 منازل عشرية فقط).

بمعرفة d، يمكنك استخدام أي من التعبيرين أعلاه للحصول على 1. على سبيل المثال، أولاً: أ 1 = 50 - 14 * د = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، فيمكنك التحقق منها، على سبيل المثال، تحديد المدة 43 للتقدم، المحدد في الحالة. نحصل على: أ 43 = أ 1 + 42 * د = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. يرجع الخطأ البسيط إلى حقيقة أنه تم استخدام التقريب إلى الألف في الحسابات.

مثال رقم 5: المبلغ

الآن دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة مع حلول لمجموع التقدم الحسابي.

دعونا نعطي تقدمًا رقميًا بالشكل التالي: 1، 2، 3، 4، ...،. كيف تحسب مجموع 100 من هذه الأرقام؟

بفضل تطور تكنولوجيا الكمبيوتر، أصبح من الممكن حل هذه المشكلة، أي إضافة جميع الأرقام بشكل تسلسلي، وهو ما سيقوم به الكمبيوتر بمجرد قيام الشخص بالضغط على مفتاح Enter. ومع ذلك، يمكن حل المشكلة عقليًا إذا انتبهت إلى أن سلسلة الأرقام المعروضة هي تقدم جبري، وفرقها يساوي 1. وبتطبيق صيغة المجموع نحصل على: S n = n * (a 1 + أ ن) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أن هذه المشكلة تسمى "غاوسية" لأنه في بداية القرن الثامن عشر تمكن الألماني الشهير، الذي كان لا يزال عمره 10 سنوات فقط، من حلها في رأسه في بضع ثوان. لم يكن الصبي يعرف صيغة مجموع المتوالية الجبرية، لكنه لاحظ أنه إذا قمت بجمع الأرقام في نهايات المتتابعة في أزواج، فإنك تحصل دائمًا على نفس النتيجة، وهي 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ...، وبما أن هذه المجاميع ستكون بالضبط 50 (100 / 2)، للحصول على الإجابة الصحيحة يكفي ضرب 50 في 101.

مثال رقم 6: مجموع الحدود من n إلى m

مثال نموذجي آخر لمجموع التقدم الحسابي هو ما يلي: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام: 3، 7، 11، 15، ...، عليك أن تجد ما يساوي مجموع حدودها من 8 إلى 14 .

يتم حل المشكلة بطريقتين. الأول يتضمن إيجاد الحدود المجهولة من 8 إلى 14، ثم جمعها بالتسلسل. نظرًا لوجود عدد قليل من المصطلحات، فإن هذه الطريقة لا تتطلب عمالة كثيفة. ومع ذلك، يقترح حل هذه المشكلة باستخدام طريقة ثانية، وهي أكثر عالمية.

تتمثل الفكرة في الحصول على صيغة لمجموع التقدم الجبري بين الحدين m وn، حيث n > m أعداد صحيحة. وفي كلتا الحالتين نكتب تعبيرين للمجموع:

1. س م = م * (أ م + أ 1) / 2.
2. س ن = ن * (أ ن + أ 1) / 2.

بما أن n > m، فمن الواضح أن المجموع الثاني يشمل الأول. الاستنتاج الأخير يعني أننا إذا أخذنا الفرق بين هذه المجاميع وأضفنا إليها الحد a m (في حالة أخذ الفرق يطرح من المجموع S n)، فسنحصل على الإجابة اللازمة للمسألة. لدينا: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * ن/2 + ا م * (1- م/2). من الضروري استبدال الصيغ لـ n وm في هذا التعبير. ثم نحصل على: S mn = أ 1 * (ن - م) / 2 + ن * (أ 1 + (ن - 1) * د) / 2 + (أ 1 + (م - 1) * د) * (1) - م / 2) = أ 1 * (ن - م + 1) + د * ن * (ن - 1) / 2 + د *(3 * م - م 2 - 2) / 2.

الصيغة الناتجة مرهقة إلى حد ما، ومع ذلك، فإن المبلغ S mn يعتمد فقط على n وm وa 1 وd. في حالتنا، أ 1 = 3، د = 4، ن = 14، م = 8. وباستبدال هذه الأرقام نحصل على: S mn = 301.

كما يتبين من الحلول المذكورة أعلاه، تعتمد جميع المشاكل على معرفة تعبير الحد النوني وصيغة مجموع مجموعة الحدود الأولى. قبل البدء في حل أي من هذه المشكلات، يوصى بقراءة الشرط بعناية، وفهم ما تحتاج إلى العثور عليه بوضوح، وبعد ذلك فقط متابعة الحل.

نصيحة أخرى هي السعي لتحقيق البساطة، أي إذا كان بإمكانك الإجابة على سؤال دون استخدام حسابات رياضية معقدة، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك، لأنه في هذه الحالة يكون احتمال ارتكاب الخطأ أقل. على سبيل المثال، في مثال المتتابعة الحسابية مع الحل رقم 6، يمكن التوقف عند الصيغة S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m، و قم بتقسيم المشكلة الإجمالية إلى مهام فرعية منفصلة (في هذه الحالة، ابحث أولاً عن المصطلحين a n وa m).

إذا كانت لديك شكوك حول النتيجة التي تم الحصول عليها، فمن المستحسن التحقق منها، كما حدث في بعض الأمثلة المذكورة. اكتشفنا كيفية العثور على التقدم الحسابي. إذا عرفت ذلك، فالأمر ليس بهذه الصعوبة.

على سبيل المثال، التسلسل \(2\); \(5\); \(8\); \(أحد عشر\)؛ \(14\)... هي متوالية حسابية، لأن كل عنصر لاحق يختلف عن العنصر السابق بثلاثة (يمكن الحصول على العنصر السابق بإضافة ثلاثة):

في هذا التقدم، يكون الفرق \(d\) موجبًا (يساوي \(3\)) وبالتالي فإن كل حد تالٍ أكبر من الحد السابق. تسمى مثل هذه التقدمات في ازدياد.

ومع ذلك، يمكن أن يكون \(d\) أيضًا رقمًا سالبًا. على سبيل المثال، في التقدم الحسابي \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... فرق التقدم \(d\) يساوي سالب ستة.

وفي هذه الحالة، سيكون كل عنصر تالٍ أصغر من العنصر السابق. وتسمى هذه التقدمات متناقص.

تدوين التقدم الحسابي

تتم الإشارة إلى التقدم بحرف لاتيني صغير.

يتم استدعاء الأرقام التي تشكل تقدمًا أعضاء(أو العناصر).

يتم الإشارة إليها بنفس الحرف كمتتالية حسابية، ولكن بمؤشر رقمي يساوي رقم العنصر بالترتيب.

على سبيل المثال، يتكون التقدم الحسابي \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) من العناصر \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) وهكذا.

بمعنى آخر، بالنسبة للتقدم \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

حل مسائل التقدم الحسابي

من حيث المبدأ، فإن المعلومات المقدمة أعلاه كافية بالفعل لحل أي مشكلة تقدم حسابي تقريبًا (بما في ذلك تلك المقدمة في OGE).

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(b_1=7; d=4\). ابحث عن \(b_5\).
حل:

إجابة: \(b_5=23\)

مثال (أوجي). معطاة الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة الحسابية: \(62; 49; 36…\) أوجد قيمة الحد السالب الأول من هذه المتوالية..
حل:

	لقد حصلنا على العناصر الأولى من المتتابعة ونعلم أنها متوالية حسابية. أي أن كل عنصر يختلف عن جاره بنفس العدد. دعنا نكتشف أي منها عن طريق طرح العنصر السابق من العنصر التالي: \(d=49-62=-13\).
	الآن يمكننا استعادة تقدمنا ​​إلى العنصر (السلبي الأول) الذي نحتاجه.
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(-3\)

مثال (أوجي). بمعرفة عدة عناصر متتالية للتقدم الحسابي: \(...5; x; 10; 12.5...\) أوجد قيمة العنصر المحدد بالحرف \(x\).
حل:

	للعثور على \(x\)، نحتاج إلى معرفة مدى اختلاف العنصر التالي عن العنصر السابق، بمعنى آخر، اختلاف التقدم. لنجدها من عنصرين متجاورين معروفين: \(d=12.5-10=2.5\).
	والآن يمكننا بسهولة العثور على ما نبحث عنه: \(x=5+2.5=7.5\).
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(7,5\).

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط التالية: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) أوجد مجموع الحدود الستة الأولى من هذا التقدم.
حل:

	علينا إيجاد مجموع الحدود الستة الأولى للتقدم. ولكننا لا نعرف معانيها، ولم يُعطَ لنا سوى العنصر الأول. لذلك نقوم أولاً بحساب القيم واحدة تلو الأخرى باستخدام ما هو معطى لنا: \(ن=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(ن=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(ن=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) وبعد حساب العناصر الستة التي نحتاجها، نجد مجموعها.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	تم العثور على المبلغ المطلوب.

إجابة: \(S_6=9\).

مثال (أوجي). في التقدم الحسابي \(a_(12)=23\); \(أ_(16)=51\). أوجد الفرق في هذا التقدم.
حل:

إجابة: \(د=7\).

صيغ مهمة للتقدم الحسابي

كما ترون، يمكن حل العديد من المسائل المتعلقة بالتقدم الحسابي ببساطة عن طريق فهم الشيء الرئيسي - وهو أن التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام، ويتم الحصول على كل عنصر لاحق في هذه السلسلة عن طريق إضافة نفس الرقم إلى العنصر السابق (الرقم اختلاف التقدم).

ومع ذلك، في بعض الأحيان تكون هناك مواقف يكون فيها اتخاذ القرار "المباشر" غير مريح للغاية. على سبيل المثال، تخيل أننا في المثال الأول لا نحتاج إلى العثور على العنصر الخامس \(b_5\)، ولكن العنصر الثلاثمائة والسادس والثمانين \(b_(386)\). هل يجب أن نضيف أربع \(385\) مرات؟ أو تخيل أنك تحتاج في المثال قبل الأخير إلى إيجاد مجموع العناصر الثلاثة والسبعين الأولى. سوف تتعب من العد..

لذلك، في مثل هذه الحالات، لا يقومون بحل الأمور "مباشرة"، بل يستخدمون صيغًا خاصة مشتقة من التقدم الحسابي. وأهمها هي صيغة الحد n من التقدم وصيغة مجموع \(n\) الحدود الأولى.

صيغة الحد \(n\)الثالث: \(a_n=a_1+(n-1)d\)، حيث \(a_1\) هو الحد الأول من التقدم؛
\(n\) – عدد العنصر المطلوب;
\(a_n\) – مدة التقدم بالرقم \(n\).

تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور بسرعة على العنصر الثلاثمائة أو العنصر المليون، بمعرفة العنصر الأول فقط والفرق في التقدم.

مثال. يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(b_1=-159\); \(د=8.2\). ابحث عن \(b_(246)\).
حل:

إجابة: \(ب_(246)=1850\).

صيغة مجموع الحدود n الأولى: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)، حيث

\(a_n\) – الحد الأخير الملخص؛

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(a_n=3.4n-0.6\). أوجد مجموع الحدود \(25\) الأولى لهذا التقدم.
حل:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		لحساب مجموع أول خمسة وعشرين حدًا، علينا معرفة قيمة الحدين الأول والخامس والعشرين. يتم إعطاء تقدمنا ​​من خلال صيغة الحد n اعتمادًا على رقمه (لمزيد من التفاصيل، انظر). لنحسب العنصر الأول عن طريق استبدال \(n\) بواحد.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		والآن دعونا نوجد الحد الخامس والعشرين بالتعويض بخمسة وعشرين بدلاً من \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		حسنًا، يمكننا الآن حساب المبلغ المطلوب بسهولة.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		الجواب جاهز.

إجابة: \(س_(25)=1090\).

بالنسبة لمجموع \(n\) الحدود الأولى، يمكنك الحصول على صيغة أخرى: تحتاج فقط إلى \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) بدلاً من \(a_n\) استبدل الصيغة \(a_n=a_1+(n-1)d\). نحن نحصل:

صيغة مجموع حدود n الأولى: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)، حيث

\(S_n\) – المبلغ المطلوب لعناصر \(n\) الأولى؛
\(a_1\) – الحد الأول المجمع؛
\(د\) - فرق التقدم؛
\(n\) – عدد العناصر في المجموع.

مثال. أوجد مجموع الحدود \(33\)-ex الأولى للتقدم الحسابي: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
حل:

إجابة: \(S_(33)=-231\).

مشاكل التقدم الحسابي الأكثر تعقيدًا

الآن لديك كل المعلومات التي تحتاجها لحل أي مسألة تقدم حسابي تقريبًا. دعونا ننهي الموضوع من خلال النظر في المسائل التي لا تحتاج فيها إلى تطبيق الصيغ فحسب، بل تحتاج أيضًا إلى التفكير قليلاً (قد يكون هذا مفيدًا في الرياضيات ☺)

مثال (أوجي). أوجد مجموع كل الحدود السلبية للتقدم: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
حل:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		المهمة مشابهة جدًا للمهمة السابقة. نبدأ في حل نفس الشيء: أولاً نجد \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		الآن أود استبدال \(d\) في صيغة المجموع... وهنا يظهر فارق بسيط - نحن لا نعرف \(n\). بعبارة أخرى، لا نعرف عدد الحدود التي يجب إضافتها. كيفية معرفة ذلك؟ دعونا نفكر. سوف نتوقف عن إضافة العناصر عندما نصل إلى العنصر الإيجابي الأول. أي أنك بحاجة إلى معرفة عدد هذا العنصر. كيف؟ دعونا نكتب الصيغة لحساب أي عنصر من عناصر التقدم الحسابي: \(a_n=a_1+(n-1)d\) في حالتنا.
\(a_n=a_1+(n-1)د\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		نحتاج أن يصبح \(a_n\) أكبر من الصفر. دعونا نكتشف ماذا سيحدث \(n\) هذا.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		نقسم طرفي المتراجحة على \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		ننقل ناقص واحد، دون أن ننسى تغيير العلامات
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		دعونا نحسب...
\(ن>65,333…\)		...ويتضح أن العنصر الموجب الأول سيكون له الرقم \(66\). وبناء على ذلك، فإن آخر سالب له \(n=65\). فقط في حالة، دعونا التحقق من هذا.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		لذلك نحن بحاجة إلى إضافة العناصر \(65\) الأولى.
\(س_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		الجواب جاهز.

إجابة: \(S_(65)=-630.5\).

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). أوجد المجموع من \(26\)العنصر \(42\) شاملاً.
حل:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	في هذه المشكلة، تحتاج أيضًا إلى إيجاد مجموع العناصر، ولكن ليس بدءًا من العنصر الأول، بل من \(26\)الرقم. لمثل هذه الحالة ليس لدينا صيغة. كيف تقرر؟ من السهل - للحصول على المجموع من \(26\)الرقم \(42\)، يجب عليك أولاً العثور على المجموع من \(1\)الرقم إلى \(42\)ثم طرحه منه المجموع من الأول إلى (25) (انظر الصورة).
	بالنسبة لتقدمنا ​​\(a_1=-33\)، والفرق \(d=4\) (بعد كل شيء، الأربعة هي التي نضيفها إلى العنصر السابق للعثور على العنصر التالي). بمعرفة ذلك نجد مجموع عناصر \(42\)-y الأولى.
\(س_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	الآن مجموع العناصر \(25\) الأولى.
\(س_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	وأخيرًا، نحسب الإجابة.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

إجابة: \(س=1683\).

بالنسبة للتقدم الحسابي، هناك العديد من الصيغ الأخرى التي لم نأخذها في الاعتبار في هذه المقالة بسبب فائدتها العملية المنخفضة. ومع ذلك، يمكنك العثور عليها بسهولة.