بناء مماس للدوائر المماسية. الموقع النسبي لدائرتين

عادة في مثل هذه المشكلة يتم إعطاؤك دائرة ونقطة. مطلوب إنشاء مماس للدائرة، ويجب أن يمر المماس بنقطة معينة.

إذا لم يتم تحديد موقع النقطة، فيجب تحديد ثلاث حالات محتملة لموقع النقطة بشكل منفصل.

1. إذا كانت هناك نقطة تقع داخل دائرة محددة بدائرة معينة، فلا يمكن إنشاء مماس من خلالها.
2. إذا كانت نقطة تقع على دائرة، يتم إنشاء المماس عن طريق إنشاء خط عمودي على نصف القطر المرسوم على النقطة المعطاة.
3. إذا كانت هناك نقطة تقع خارج الدائرة التي تحدها دائرة، فقبل إنشاء المماس، يتم البحث عن نقطة على الدائرة يجب أن تمر من خلالها.

لحل الحالة الثانية، على الخط المستقيم الذي يقع عليه نصف القطر، يتم إنشاء قطعة تساوي نصف القطر وتقع على الجانب الآخر من النقطة على الدائرة. وبالتالي، فإن النقطة الموجودة على الدائرة هي منتصف قطعة تساوي ضعف نصف القطر. بعد ذلك، يتم إنشاء دائرتين يساوي نصف قطرهما ضعف نصف قطر الدائرة الأصلية، ويكون المركز في طرفي القطعة يساوي ضعف نصف القطر. يتم رسم خط مستقيم من خلال أي نقطة تقاطع هذه الدوائر ونقطة تحددها شروط المشكلة. سيكون الوسيط العمودي على نصف قطر الدائرة الأصلية، أي عموديًا عليها، وبالتالي مماسًا للدائرة.

ويمكنك حل الحالة الثالثة، عندما تكون النقطة خارج الدائرة التي تحدها الدائرة، كما يلي. من الضروري إنشاء قطعة تربط بين مركز دائرة معينة ونقطة معينة. بعد ذلك، ابحث عن منتصفه عن طريق إنشاء خط متوسط ​​عمودي (كما هو موضح في الفقرة السابقة). بعد ذلك، ارسم دائرة (أو جزءًا منها). نقطة تقاطع الدائرة المبنية مع تلك المحددة بشروط المشكلة هي النقطة التي يمر بها المماس، والتي تمر أيضًا بالنقطة المحددة بشروط المشكلة. يتم رسم خط المماس من خلال نقطتين معروفتين.

لإثبات أن الخط المستقيم المبني هو مماس، ينبغي النظر في الزاوية التي يشكلها نصف قطر الدائرة المعطاة من شروط المسألة والقطعة التي تصل نقطة تقاطع الدائرتين مع النقطة المعطاة من شروط مشكلة. ترتكز هذه الزاوية على نصف دائرة (قطر الدائرة المبنية)، مما يعني أنها مستقيمة. أي أن نصف القطر عمودي على الخط المبني. ولذلك، فإن الخط الذي تم إنشاؤه هو الظل.

أهداف الدرس

• التعليمية - التكرار والتعميم واختبار المعرفة حول موضوع: "ظل الدائرة"؛ تنمية المهارات الأساسية.
• التنموية - لتنمية انتباه الطلاب والمثابرة والمثابرة والتفكير المنطقي والكلام الرياضي.
• التعليمية - من خلال الدرس، تنمية موقف يقظ تجاه بعضنا البعض، وغرس القدرة على الاستماع إلى الرفاق، والمساعدة المتبادلة، والاستقلال.
• تقديم مفهوم الظل، نقطة الاتصال.
• النظر في خاصية المماس وإشارته وإظهار تطبيقهما في حل المشكلات في الطبيعة والتكنولوجيا.

أهداف الدرس

• تطوير المهارات في بناء الظلال باستخدام مسطرة المقياس والمنقلة ورسم المثلث.
• اختبار مهارات حل المشكلات لدى الطلاب.
• التأكد من إتقان التقنيات الخوارزمية الأساسية لإنشاء مماس للدائرة.
• تطوير القدرة على تطبيق المعرفة النظرية لحل المشكلات.
• تنمية تفكير الطلاب وكلامهم.
• العمل على تنمية مهارات الملاحظة وملاحظة الأنماط والتعميم والاستدلال بالقياس.
• -غرس الاهتمام بالرياضيات.

خطة الدرس

1. ظهور مفهوم الظل.
2. تاريخ الظل.
3. التعاريف الهندسية.
4. النظريات الأساسية.
5. بناء مماس للدائرة.
6. الدمج.

ظهور مفهوم الظل

يعد مفهوم المماس من أقدم المفاهيم في الرياضيات. في الهندسة، يتم تعريف مماس الدائرة على أنه الخط الذي له نقطة تقاطع واحدة بالضبط مع تلك الدائرة. تمكن القدماء، باستخدام البوصلات والمساطر، من رسم مماسات الدائرة، وبعد ذلك إلى المقاطع المخروطية: القطع الناقص، والقطع الزائد، والقطع المكافئ.

تاريخ الظل

تم إحياء الاهتمام بالظلال في العصر الحديث. ثم تم اكتشاف منحنيات لم تكن معروفة لدى العلماء القدماء. على سبيل المثال، قدم غاليليو الشكل الدائري، وقام ديكارت وفيرمات ببناء مماس له. في الثلث الأول من القرن السابع عشر. لقد بدأوا يفهمون أن المماس هو خط مستقيم، "الأقرب مجاورًا" لمنحنى يقع في منطقة صغيرة من نقطة معينة. من السهل أن نتخيل موقفًا حيث يكون من المستحيل إنشاء مماس للمنحنى عند نقطة معينة (الشكل).

التعاريف الهندسية

دائرة- المحل الهندسي للنقاط على المستوى المتساوية البعد عن نقطة معينة تسمى مركزها.

دائرة.

التعريفات ذات الصلة

• يُطلق على القطعة التي تربط مركز الدائرة بأي نقطة عليها (وكذلك طول هذا المقطع). نصف القطرالدوائر.
• يسمى الجزء من المستوى الذي تحيط به الدائرة في كل مكان.
• يسمى الجزء الذي يربط بين نقطتين على الدائرة وتر. يسمى الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة قطر الدائرة.
• أي نقطتين متباعدتين على الدائرة تقسمها إلى قسمين. ويسمى كل جزء من هذه الأجزاء قوسالدوائر. يمكن أن يكون قياس القوس هو قياس الزاوية المركزية المقابلة له. يسمى القوس نصف دائرة إذا كان الجزء الذي يربط طرفيه قطرًا.
• يسمى الخط المستقيم الذي له نقطة مشتركة واحدة مع الدائرة الظلإلى دائرة، والنقطة المشتركة بينهما تسمى نقطة تماس الخط والدائرة.
• يسمى الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين على الدائرة قاطع.
• الزاوية المركزية في الدائرة هي زاوية مستوية يوجد رأسها في مركزها.
• تسمى الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع هذه الدائرة زاوية مكتوبة.
• يتم استدعاء دائرتين لهما مركز مشترك متحدة المركز.

خط المماس- خط مستقيم يمر بنقطة على منحنى ويتوافق معها عند هذه النقطة حتى الدرجة الأولى.

مماس لدائرةهو خط مستقيم له نقطة مشتركة مع الدائرة.

خط مستقيم يمر بنقطة على دائرة في نفس المستوى عمودي على نصف القطر المرسوم على هذه النقطة يسمى الظل. وفي هذه الحالة، تسمى هذه النقطة على الدائرة بنقطة التماس.

حيث أن "أ" في حالتنا هو خط مستقيم مماس لدائرة معينة، فإن النقطة "أ" هي نقطة التماس. في هذه الحالة، a⊥OA (الخط المستقيم a متعامد مع نصف القطر OA).

ويقولون ان دائرتان تتلامسان، إذا كان لديهم نقطة مشتركة واحدة. هذه النقطة تسمى نقطة اتصال الدوائر. من خلال نقطة التماس، يمكنك رسم مماس لإحدى الدائرتين، وهو أيضًا مماس للدائرة الأخرى. يمكن أن تكون دوائر اللمس داخلية أو خارجية.

يسمى التماس داخليًا إذا كانت مراكز الدوائر تقع على نفس الجانب من الظل.

يسمى التماس خارجيًا إذا كانت مراكز الدوائر تقع على طرفي ظل متقابلين

a هو المماس المشترك للدائرتين، K هو نقطة التماس.

النظريات الأساسية

نظريةحول الظل والقاطع

إذا تم رسم المماس والقاطع من نقطة تقع خارج الدائرة، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب القاطع وجزءه الخارجي: MC 2 = MA MB.

نظرية.نصف القطر المرسوم على نقطة مماس الدائرة يكون عموديًا على المماس.

نظرية.إذا كان نصف القطر عموديًا على خط عند نقطة تقاطعه مع دائرة، فإن هذا الخط مماس لهذه الدائرة.

دليل.

لإثبات هذه النظريات، علينا أن نتذكر ما هو العمود العمودي من نقطة إلى خط مستقيم. هذه هي أقصر مسافة من هذه النقطة إلى هذا الخط. لنفترض أن الزراعة العضوية ليست عمودية على المماس، ولكن هناك خط مستقيم OS عمودي على المماس. يتضمن طول نظام التشغيل طول نصف القطر وقطعة معينة قبل الميلاد، وهو بالتأكيد أكبر من نصف القطر. وهكذا يمكن إثبات ذلك لأي سطر. نستنتج أن نصف القطر، نصف القطر المرسوم إلى نقطة التماس، هو أقصر مسافة للمماس من النقطة O، أي. نظام التشغيل عمودي على الظل. في إثبات النظرية العكسية، سننطلق من حقيقة أن المماس له نقطة مشتركة واحدة فقط مع الدائرة. دع هذا الخط المستقيم يحتوي على نقطة مشتركة أخرى هي B مع الدائرة. المثلث AOB مستطيل وضلعاه متساويان في نصف القطر، وهذا لا يمكن أن يكون كذلك. وهكذا نجد أن هذا الخط المستقيم ليس له أي نقاط مشتركة مع الدائرة باستثناء النقطة أ، أي. هو الظل.

نظرية.قطع المماس المرسومة من نقطة واحدة إلى الدائرة متساوية، والخط المستقيم الذي يصل هذه النقطة بمركز الدائرة يقسم الزاوية بين المماستين.

دليل.

والدليل بسيط جدا. باستخدام النظرية السابقة، نؤكد أن OB عمودي على AB، وأن OS عمودي على AC. المثلثان القائمان ABO وACO متساويان في الساق والوتر (OB=OS - نصف القطر، AO - الإجمالي). وبالتالي، فإن أضلاعهما AB=AC والزاويتان OAC وOAB متساويتان.

نظرية.مقدار الزاوية التي يشكلها مماس ووتر لهما نقطة مشتركة على دائرة يساوي نصف المقدار الزاوي للقوس المحصور بين ضلعيه.

دليل.

خذ بعين الاعتبار الزاوية NAB التي شكلها المماس والوتر. دعونا نرسم قطر التيار المتردد. يكون المماس عموديًا على القطر المرسوم حتى نقطة التلامس، وبالتالي، ∠CAN=90 o. وبمعرفة النظرية نرى أن الزاوية ألفا (أ) تساوي نصف القيمة الزاوية للقوس BC أو نصف الزاوية BOS. ∠NAB=90 o -a، من هنا نحصل على ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB أو = نصف القيمة الزاوية للقوس BA. إلخ.

نظرية.إذا تم رسم مماس وقاطع من نقطة إلى دائرة، فإن مربع قطعة المماس من نقطة معينة إلى نقطة التماس يساوي حاصل ضرب أطوال القطع القاطعة من نقطة معينة إلى النقاط من تقاطعه مع الدائرة .

دليل.

تبدو هذه النظرية في الشكل كما يلي: MA 2 = MV * MC. دعونا نثبت ذلك. وفقًا للنظرية السابقة، فإن الزاوية MAC تساوي نصف القيمة الزاوية للقوس AC، ولكن أيضًا الزاوية ABC تساوي نصف القيمة الزاوية للقوس AC وفقًا للنظرية، وبالتالي فإن هذه الزوايا تساوي كل منها آخر. مع الأخذ في الاعتبار أن المثلثين AMC و BMA لهما زاوية مشتركة في الرأس M، فإننا نذكر تشابه هذين المثلثين في زاويتين (العلامة الثانية). ومن التشابه لدينا: MA/MB=MC/MA، ومنه نحصل على MA 2 =MB*MC

بناء مماسات الدائرة

الآن دعونا نحاول معرفة ذلك ومعرفة ما يجب القيام به لبناء مماس للدائرة.

في هذه الحالة، كقاعدة عامة، تعطي المشكلة دائرة ونقطة. ويتعين علينا أنا وأنت إنشاء مماس للدائرة بحيث يمر هذا المماس بنقطة معينة.

في حالة أننا لا نعرف موقع نقطة ما، فلننظر في حالات المواقع المحتملة للنقاط.

أولاً، قد تكون هناك نقطة داخل دائرة، وهي محدودة بدائرة معينة. في هذه الحالة، لا يمكن بناء مماس من خلال هذه الدائرة.

وفي الحالة الثانية تقع النقطة على دائرة، ويمكننا بناء مماس عن طريق رسم خط عمودي على نصف القطر، والذي يرسم على النقطة المعروفة لدينا.

ثالثا، لنفترض أن النقطة تقع خارج الدائرة، وهي محدودة بالدائرة. في هذه الحالة، قبل إنشاء المماس، من الضروري العثور على نقطة على الدائرة التي يجب أن يمر من خلالها المماس.

بالنسبة للحالة الأولى، أتمنى أن يكون كل شيء واضحًا بالنسبة لك، ولكن لحل الخيار الثاني، نحتاج إلى إنشاء قطعة على الخط المستقيم الذي يقع عليه نصف القطر. يجب أن تكون هذه القطعة مساوية لنصف القطر والقطعة التي تقع على الدائرة على الجانب الآخر.

نلاحظ هنا أن النقطة الموجودة على الدائرة هي منتصف القطعة المستقيمة التي تساوي ضعف نصف القطر. ستكون الخطوة التالية هي بناء دائرتين. أنصاف أقطار هذه الدوائر ستكون مساوية لضعف نصف قطر الدائرة الأصلية، مع مراكز في نهايات القطعة، وهو ما يساوي ضعف نصف القطر. يمكننا الآن رسم خط مستقيم عبر أي نقطة تقاطع هذه الدوائر مع نقطة معينة. مثل هذا الخط المستقيم هو الوسيط العمودي على نصف قطر الدائرة التي تم رسمها في البداية. وهكذا نرى أن هذا الخط عمودي على الدائرة، ويترتب على ذلك أنه مماس للدائرة.

في الخيار الثالث، لدينا نقطة تقع خارج الدائرة، وهي محدودة بدائرة. في هذه الحالة، نقوم أولاً بإنشاء قطعة تربط بين مركز الدائرة المقدمة والنقطة المحددة. ومن ثم نجد وسطه. ولكن لهذا من الضروري بناء منصف عمودي. وأنت تعرف بالفعل كيفية بنائه. ثم نحتاج إلى رسم دائرة، أو على الأقل جزء منها. نلاحظ الآن أن نقطة تقاطع الدائرة المعطاة والدائرة المنشأة حديثًا هي النقطة التي يمر بها المماس. كما أنه يمر عبر النقطة التي تم تحديدها حسب ظروف المشكلة. وأخيرًا، من خلال النقطتين اللتين تعرفهما، يمكنك رسم خط مماس.

وأخيرًا، لكي نثبت أن الخط المستقيم الذي أنشأناه هو مماس، علينا أن ننتبه إلى الزاوية التي تكونت من نصف قطر الدائرة والقطعة المعروفة بالشرط والتي تصل نقطة تقاطع الدائرتين مع النقطة التي قدمها شرط المشكلة. نلاحظ الآن أن الزاوية الناتجة تقع على نصف دائرة. ويترتب على ذلك أن هذه الزاوية صحيحة. وبالتالي، سيكون نصف القطر عموديًا على الخط المنشأ حديثًا، وهذا الخط هو المماس.

بناء الظل.

يعد إنشاء خطوط الظل إحدى تلك المشكلات التي أدت إلى ولادة حساب التفاضل والتكامل. أول عمل منشور يتعلق بحساب التفاضل، كتبه لايبنيز، كان بعنوان "طريقة جديدة للقيم القصوى والصغرى، وكذلك المماسات، التي لا تشكل الكميات الكسرية أو غير المنطقية، ولا نوع خاص من حساب التفاضل والتكامل، عائقًا أمامها."

المعرفة الهندسية عند المصريين القدماء.

إذا لم نأخذ في الاعتبار المساهمة المتواضعة جدًا لسكان الوادي القدامى بين نهري دجلة والفرات وآسيا الصغرى، فإن الهندسة نشأت في مصر القديمة قبل عام 1700 قبل الميلاد. خلال موسم الأمطار الاستوائية، جدد نهر النيل احتياطياته المائية وفاض. غطت المياه مساحات من الأراضي المزروعة، ولأغراض الضرائب كان من الضروري تحديد مساحة الأراضي المفقودة. استخدم المساحون حبلًا مشدودًا بإحكام كأداة قياس. وكان الحافز الآخر لتراكم المعرفة الهندسية لدى المصريين هو أنشطتهم مثل بناء الأهرامات والفنون الجميلة.

يمكن الحكم على مستوى المعرفة الهندسية من خلال المخطوطات القديمة المخصصة خصيصًا للرياضيات وهي تشبه الكتب المدرسية، أو بالأحرى، كتب المشكلات، حيث يتم تقديم حلول لمختلف المشكلات العملية.

أقدم مخطوطة رياضية عند المصريين نسخها أحد الطلاب في الفترة ما بين 1800 - 1600. قبل الميلاد. من النص الأقدم. تم العثور على البردية من قبل عالم المصريات الروسي فلاديمير سيمينوفيتش جولينيشيف. إنه محفوظ في موسكو - في متحف الفنون الجميلة الذي يحمل اسم أ.س. بوشكين، وتسمى بردية موسكو.

وهناك بردية رياضية أخرى، كتبت بعد مائتين إلى ثلاثمائة سنة من بردية موسكو، محفوظة في لندن. تسمى: "تعليمات عن كيفية تحقيق المعرفة بكل الأشياء المظلمة، كل الأسرار التي تخفيها الأشياء في نفسها... وبحسب الآثار القديمة، كتب ذلك الكاتب أحمس"، وتسمى المخطوطة "بردية أحمس"، أو بردية ريند - على اسم الرجل الإنجليزي الذي عثر على هذه البردية واشتراها في مصر. تقدم بردية أحمس حلولاً لـ 84 مسألة تتضمن حسابات مختلفة قد تكون ضرورية في الممارسة العملية.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي

المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية

مدينة نوفوسيبيرسك "صالة الألعاب الرياضية رقم 4"

القسم: الرياضيات

بحث

حول هذا الموضوع:

خصائص دائرتين مؤثرتين

طلاب الصف العاشر:

خازياخمتوف راديك إلداروفيتش

زوباريف يفغيني فلاديميروفيتش

مشرف:

إل إل. بارينوفا

مدرس رياضيات

أعلى فئة مؤهلة

§ 1.مقدمة…………………………………………………………………………………………….3

§ 1.1 الموقع النسبي لدائرتين ………………………………………………3

§ 2 الممتلكات وأدلتها ............................................................................................................................ 4

§ 2.1 الخاصية 1 ……………………………………………………………….4

§ 2.2 الخاصية 2 ........................................................................... 5

§ 2.3 الخاصية 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.4 الخاصية 4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 الخاصية 5 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… الممتلكات 5

§ 2.6 الخاصية 6 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§ 3 المهام………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

المراجع ……………………………………………………………………………………………………………………………….13

§ 1. مقدمة

العديد من المسائل التي تتضمن دائرتين مماستين يمكن حلها بشكل مختصر وببساطة من خلال معرفة بعض الخصائص التي سيتم عرضها بعد ذلك.

الموقع النسبي لدائرتين

في البداية، دعونا نحدد الموقع النسبي المحتمل للدائرتين. قد يكون هناك 4 حالات مختلفة.

1. لا يجوز أن تتقاطع الدوائر.

2. تقاطع.

3. المس نقطة واحدة من الخارج.

4. المس نقطة واحدة بالداخل.

§ 2. الخصائص وأدلتها

دعنا ننتقل مباشرة إلى إثبات الخصائص.

§ 2.1 الملكية 1

المقاطع الواقعة بين نقاط تقاطع مماسات الدوائر متساوية مع بعضها البعض وتساوي متوسطين هندسيين لنصف قطر الدائرة المعطاة.

دليل 1. O 1 A 1 و O 2 B 1 - أنصاف الأقطار مرسومة إلى نقاط الاتصال.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1، О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (حسب النقطة 1)

1. ▲O 1 O 2 D - مستطيل، لأن أو 2 د ┴ أو 2 في 1
2. O 1 O 2 = R + r، O 2 D = R – r

1. حسب نظرية فيثاغورس A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

أ 2 ب 2 = 2√Rr (أثبت بالمثل)

1) لنرسم أنصاف الأقطار عند نقاط تقاطع المماسات مع الدوائر.

2) أنصاف الأقطار تكون متعامدة مع مماساتها ومتوازية مع بعضها البعض.

3) دعونا نخفض عموديًا من مركز الدائرة الصغيرة إلى نصف قطر الدائرة الكبرى.

4) الوتر في المثلث القائم الناتج يساوي مجموع أنصاف أقطار الدوائر. الساق تساوي اختلافهم.

5) باستخدام نظرية فيثاغورس نحصل على العلاقة المطلوبة.

§ 2.2 الملكية 2

نقاط تقاطع الخط المستقيم الذي يتقاطع مع نقطة مماس الدوائر ولا يقع في أي منها مع مماساتها تقسم إلى نصف شرائح المماسات الخارجية المحددة بنقاط التماس إلى أجزاء كل منها يساوي الوسط الهندسي لنصف قطر هذه الدوائر.

دليل 1.آنسة= MA 1 (كقطاعات مماسية)

2.MC = MV 1 (كقطاعات مماسية)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr، A 2 N = NB 2 = √Rr (حسب النقطتين 1 و 2) )

الأقوال المستعملة في الإثبات قطع المماس المرسومة من نقطة واحدة إلى دائرة معينة متساوية. نستخدم هذه الخاصية لكلتا الدائرتين المعطاتين.

§ 2.3 الملكية 3

طول قطعة المماس الداخلي المحصورة بين المماسات الخارجية يساوي طول قطعة المماس الخارجي بين نقاط الاتصال ويساوي متوسطين هندسيين لنصف القطر للدوائر المعطاة.

دليل هذا الاستنتاج يتبع من الخاصية السابقة.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 الخاصية 4

المثلث الذي يتكون من مراكز الدوائر المماسية ونقطة منتصف القطعة المماسية بين أنصاف الأقطار المرسومة على نقاط التماس هو مثلث مستطيل. نسبة أرجلها تساوي حاصل قسمة جذور أنصاف أقطار هذه الدوائر.

دليل 1.MO 1 هو منصف الزاوية A 1 MS، MO 2 هو منصف الزاوية B 1 MS، لأن يقع مركز الدائرة المرسومة بزاوية على منصف هذه الزاوية.

2. وفقًا للنقطة 1 РО 1 MS + РСМО 2 = 0.5(РА1МС + РСМВ 1) = 0.5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – مباشر. MC هو ارتفاع المثلث O 1 MO 2 لأن يكون المماس MN متعامدًا مع نصف القطر المرسوم على نقاط الاتصال → المثلثات O 1 MC و MO 2 C متشابهتان.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (مشابه)

الأقوال المستعملة في الإثبات 1) يقع مركز الدائرة المرسومة بزاوية على منصف هذه الزاوية. أرجل المثلث هي منصفات الزوايا.

2) باستخدام حقيقة أن الزوايا المتكونة بهذه الطريقة متساوية نجد أن الزاوية التي نبحث عنها هي زاوية قائمة. نستنتج أن هذا المثلث قائم الزاوية بالفعل.

3) نثبت تشابه المثلثات التي فيها الارتفاع (حيث أن المماس متعامد مع أنصاف الأقطار المرسومة على نقاط التماس) يقسم المثلث القائم، وبالتشابه نحصل على النسبة المطلوبة.

§ 2.5 الخاصية 5

المثلث الذي يتكون من نقطة تماس الدوائر مع بعضها البعض ونقاط تقاطع الدوائر مع المماس هو مثلث مستطيل. نسبة أرجلها تساوي حاصل قسمة جذور أنصاف أقطار هذه الدوائر.

دليل

1. ▲A 1 MC و▲SMV 1 متساوي الساقين → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α، ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

1. 2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p، α + β = p/2

1. لكن RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – مباشر → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

1. ▲A 1 MC و ▲CO 2 B 1 متشابهان → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

الأقوال المستعملة في الإثبات 1) نكتب مجموع زوايا المثلثات مع الاستفادة من كونها متساوية الساقين. تم إثبات متساوي الساقين في المثلثات باستخدام خاصية تساوي القطع المماسية.

2) بعد كتابة مجموع الزوايا بهذه الطريقة نجد أن المثلث المعني له زاوية قائمة، وبالتالي فهو مستطيل. وقد ثبت الجزء الأول من البيان.

3) باستخدام تشابه المثلثات (لتبرير ذلك نستخدم إشارة التشابه في زاويتين) نجد النسبة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية.

§ 2.6 الخاصية 6

الشكل الرباعي الذي يتكون من نقاط تقاطع الدوائر مع المماس هو شبه منحرف يمكن أن تُدرج فيه الدائرة.

دليل 1.▲A 1 RA 2 و ▲B 1 PB 2 متساوي الساقين لأن A 1 P = RA 2 و B 1 P = PB 2 كقطاعات مماسة → ▲A 1 RA 2 و ▲B 1 PB 2 – متشابهان.

2.أ 1 أ 2 ║ ب 1 ب 2، لأن الزوايا المقابلة المتكونة عند تقاطع القاطع A 1 B 1 متساوية.

1. MN – الخط الأوسط حسب الخاصية 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → في شبه المنحرف A 2 A 1 B 1 B 2 مجموع القواعد متساوي إلى مجموع أضلاعه، وهذا شرط ضروري وكافي لوجود الدائرة المنقوشة.

الأقوال المستعملة في الإثبات 1) دعونا نستخدم مرة أخرى خاصية المقاطع المماسية. بمساعدتها، سنثبت متساوي الساقين للمثلثات التي تتكون من نقطة تقاطع الظلال ونقاط التماس.

2) يتبين من ذلك أن هذه المثلثات متشابهة وقواعدها متوازية. وعلى هذا الأساس نستنتج أن هذا الشكل الرباعي هو شبه منحرف.

3) باستخدام الخاصية (2) التي أثبتناها سابقًا، نجد خط الوسط لشبه المنحرف. ويساوي متوسطين هندسيين لنصف قطر الدائرة. وفي شبه المنحرف الناتج يكون مجموع القواعد مساوياً لمجموع الجوانب، وهذا شرط ضروري وكافي لوجود دائرة منقوشة.

§ 3. المشاكل

دعونا نلقي نظرة على مثال عملي لكيفية تبسيط حل المشكلة باستخدام الخصائص الموضحة أعلاه.

المشكلة 1

في المثلث ABC طول الضلع AC = 15 سم، توجد دائرة داخل المثلث. الدائرة الثانية تلامس الدائرة الأولى والجانبين AB و BC. على الجانب AB، يتم تحديد النقطة F، وعلى الجانب BC، يتم تحديد النقطة M بحيث يكون المقطع FM مماسًا مشتركًا للدوائر. أوجد النسبة بين مساحتي المثلث BFM والشكل الرباعي AFMC، إذا كانت FM تساوي 4 سم، وتقع النقطة M على بعد ضعف المسافة من مركز إحدى الدائرة عن مركز الدائرة الأخرى.

منح: FM-إجمالي الظل AC = 15 سم FM = 4 سم O 2 M = 2O 1 M

ابحث عن S BFM /S AFMC

حل:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0.5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P و▲BO 2 Q متشابهان → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0.25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; أس + بي كيو = 15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

المشكلة 2

تم إدراج دائرتين مماستين مع النقطة المشتركة بينهما D والظل المشترك FK الذي يمر عبر هذه النقطة في مثلث متساوي الساقين ABC. أوجد المسافة بين مراكز هذه الدوائر إذا كانت قاعدة المثلث أ = 9 سم، وقطعة ضلع المثلث المحصور بين نقاط تماس الدائرتين تساوي 4 سم.

منح: ABC – مثلث متساوي الساقين. FK - الظل المشترك للدوائر المنقوشة. أس = 9 سم؛ شمال شرق = 4 سم

حل:

دع الخطوط المستقيمة AB وCD تتقاطع عند النقطة O. ثم OA = OD، OB = OC، إذن CD = = AB = 2√Rr

تقع النقطتان O 1 و O 2 على منصف الزاوية AOD. منصف مثلث متساوي الساقين AOD هو ارتفاعه، لذلك AD ┴ O 1 O 2 و BC ┴ O 1 O 2، مما يعني

AD ║ BC وABCD – شبه منحرف متساوي الساقين.

القطعة MN هي خط المنتصف، لذا AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

لذلك، يمكن إدراج دائرة في هذا شبه المنحرف.

دع AP هو ارتفاع شبه المنحرف، المثلثان القائمان ARB و O 1 FO 2 متشابهان، وبالتالي AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

ومن هنا نجد ذلك

فهرس

• ملحق لصحيفة “الأول من سبتمبر” “الرياضيات” العدد 43 لسنة 2003
• امتحان الدولة الموحدة 2010. الرياضيات. المهمة ج4. جوردين ر.ك.