التوقع الرياضي (متوسط ​​عدد السكان) هو. التوقع الرياضي هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي التوقع الرياضي x y

القيمة المتوقعةهي القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المتقطع هو مجموع منتجات جميع قيمه الممكنة واحتمالاتها:

مثال.

× -4 6 10
ص 0.2 0.3 0.5

الحل: التوقع الرياضي يساوي مجموع حاصل ضرب جميع القيم الممكنة لـ X واحتمالاتها:

م (س) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6.

لحساب التوقع الرياضي، من المناسب إجراء العمليات الحسابية في Excel (خاصة عندما يكون هناك الكثير من البيانات)، نقترح استخدام قالب جاهز ().

مثال ل قرار مستقل(يمكنك استخدام الآلة الحاسبة).
أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل X المحدد بقانون التوزيع:

× 0.21 0.54 0.61
ص 0.1 0.5 0.4

التوقع الرياضي له الخصائص التالية.

الخاصية 1. التوقع الرياضي قيمة ثابتةيساوي الأكثر ثباتًا: M(C)=C.

الخاصية 2. يمكن إخراج العامل الثابت كعلامة على التوقع الرياضي: M(CX)=CM(X).

الخاصية 3. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة المتبادلة يساوي منتج التوقعات الرياضية للعوامل: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*م (Xn)

الخاصية 4. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +م(Xن).

مسألة 189. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

الحل: باستخدام خصائص التوقع الرياضي (التوقع الرياضي للمجموع يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات؛ ويمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التوقع الرياضي)، نحصل على M(Z) )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. باستخدام خصائص التوقع الرياضي، أثبت أن: أ) M(X - Y) = M(X) - M (Y)؛ ب) التوقع الرياضي للانحراف X-M(X) يساوي الصفر.

191. يأخذ المتغير العشوائي المنفصل X ثلاث قيم محتملة: x1= 4 مع احتمال p1 = 0.5؛ xЗ = 6 مع الاحتمال P2 = 0.3 وx3 مع الاحتمال p3. أوجد: x3 وp3، مع العلم أن M(X)=8.

192. تم تقديم قائمة بالقيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل X: x1 = -1، x2 = 0، x3= 1؛ التوقعات الرياضية لهذه القيمة ومربعها معروفة أيضًا: M(X) = 0.1 , م(X^2) = 0,9. أوجد الاحتمالات p1، p2، ​​p3 المقابلة للقيم المحتملة لـ xi

194. تحتوي الدفعة المكونة من 10 أجزاء على ثلاثة أجزاء غير قياسية. تم اختيار جزأين عشوائيا. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل X - عدد الأجزاء غير القياسية بين جزأين مختارين.

196. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل X لعدد رميات خمسة أحجار نرد، في كل منها ستظهر نقطة واحدة على حجري نرد، إذا كان العدد الإجمالي للرميات عشرين.

القيمة المتوقعة توزيع ثنائييساوي حاصل ضرب عدد المحاولات واحتمال وقوع حدث في تجربة واحدة:

متغير عشوائييسمى المتغير بالمتغير الذي، نتيجة لكل اختبار، يأخذ قيمة واحدة غير معروفة سابقًا، اعتمادًا على أسباب عشوائية. المتغيرات العشوائيةيُشار إليها بالأحرف اللاتينية الكبيرة: $X,\Y,\Z,\\dots $ حسب نوعها، يمكن تحديد المتغيرات العشوائية منفصلةو مستمر.

المتغير العشوائي المنفصل- هذا متغير عشوائي لا يمكن أن تكون قيمه أكثر من قابلة للعد، أي إما منتهية أو قابلة للعد. نعني بقابلية العد أنه يمكن ترقيم قيم المتغير العشوائي.

مثال 1 . فيما يلي أمثلة للمتغيرات العشوائية المنفصلة:

أ) عدد الضربات على الهدف بلقطات $n$، هنا القيم المحتملة هي $0,\1,\dots ,\n$.

ب) عدد الشعارات التي تم إسقاطها عند رمي العملة المعدنية، هنا القيم المحتملة هي $0,\1,\\dots ,\n$.

ج) عدد السفن القادمة على متنها (مجموعة من القيم المعدودة).

د) عدد المكالمات التي تصل إلى PBX (مجموعة من القيم القابلة للعد).

1. قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل.

يمكن للمتغير العشوائي المنفصل $X$ أن يأخذ القيم $x_1,\dots ,\ x_n$ مع الاحتمالات $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. يسمى المراسلات بين هذه القيم واحتمالاتها قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل. كقاعدة عامة، يتم تحديد هذه المراسلات باستخدام جدول، يشير السطر الأول منه إلى القيم $x_1,\dots ,\ x_n$، ويحتوي السطر الثاني على الاحتمالات $p_1,\dots ,\p_n$ المقابلة لـ هذه القيم.

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(صفيف)$

مثال 2 . دع المتغير العشوائي $X$ هو عدد النقاط التي تم رميها عند رمي حجر النرد. مثل هذا المتغير العشوائي $X$ يمكن أن يأخذ القيم التالية: $1,\2,\3,\4,\5,\6$. احتمالات كل هذه القيم تساوي 1/6$. ثم قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي $X$:

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(صفيف)$

تعليق. نظرًا لأنه في قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل $X$، تشكل الأحداث $1,\2,\dots,\6$ مجموعة كاملة من الأحداث، فإن مجموع الاحتمالات يجب أن يساوي واحدًا، أي $ \sum(p_i)=1$.

2. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي متقطع.

توقع وجود متغير عشوائييحدد معناها "المركزي". بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل، يتم حساب التوقع الرياضي على أنه مجموع حاصل ضرب القيم $x_1,\dots ,\ x_n$ والاحتمالات $p_1,\dots ,\p_n$ المقابلة لهذه القيم، أي : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. في أدب اللغة الإنجليزية، يتم استخدام رمز آخر $E\left(X\right)$.

خصائص التوقع الرياضي$M\يسار(X\يمين)$:

1. يقع $M\left(X\right)$ بين الأصغر و أعلى القيمالمتغير العشوائي $X$.
2. التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه، أي. $M\left(C\right)=C$.
3. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي منتج توقعاتها الرياضية: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

مثال 3 . لنجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $X$ من المثال $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\فوق (6))=3.5.$$

يمكننا أن نلاحظ أن $M\left(X\right)$ يقع بين القيمتين الأصغر (1$) والأكبر (6$) للمتغير العشوائي $X$.

مثال 4 . ومن المعروف أن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $X$ يساوي $M\left(X\right)=2$. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $3X+5$.

باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه، نحصل على $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ كدوت 2 +5 = 11 دولارًا.

مثال 5 . ومن المعروف أن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $X$ يساوي $M\left(X\right)=4$. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $2X-9$.

باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه، نحصل على $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ كدوت 4 -9=-1$.

3. تشتت متغير عشوائي منفصل.

يمكن للقيم المحتملة للمتغيرات العشوائية ذات التوقعات الرياضية المتساوية أن تتفرق بشكل مختلف حول قيمها المتوسطة. على سبيل المثال، في مجموعتين من الطلاب المعدل التراكميبالنسبة لامتحان نظرية الاحتمالات، اتضح أنه يساوي 4، ولكن في مجموعة واحدة تبين أن الجميع طلاب جيدون، وفي المجموعة الأخرى لم يكن هناك سوى طلاب C وطلاب ممتازين. ولذلك فإن هناك حاجة إلى خاصية عددية للمتغير العشوائي تبين مدى انتشار قيم المتغير العشوائي حول توقعه الرياضي. هذه الخاصية هي التشتت.

تباين المتغير العشوائي المنفصل$X$ يساوي:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

في الأدب الإنجليزي يتم استخدام الترميز $V\left(X\right)،\Var\left(X\right)$. في كثير من الأحيان يتم حساب التباين $D\left(X\right)$ باستخدام الصيغة $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ يسار(X \يمين)\يمين))^2$.

خصائص التشتت$D\يسار(X\يمين)$:

1. يكون التباين دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر، أي. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. تباين الثابت هو صفر، أي. $D\left(C\right)=0$.
3. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بشرط أن تكون مربعة، أي. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. إن تباين مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي مجموع تبايناتها، أي. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. إن تباين الفرق بين المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي مجموع تبايناتها، أي. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

مثال 6 . لنحسب تباين المتغير العشوائي $X$ من المثال $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\فوق (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\حوالي 2.92.$$

مثال 7 . ومن المعروف أن تباين المتغير العشوائي $X$ يساوي $D\left(X\right)=2$. أوجد تباين المتغير العشوائي $4X+1$.

باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه، نجد $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ يسار(X\يمين)=16\cdot 2=32$.

مثال 8 . ومن المعروف أن تباين المتغير العشوائي $X$ يساوي $D\left(X\right)=3$. أوجد تباين المتغير العشوائي $3-2X$.

باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه، نجد $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ يسار(X\يمين)=4\cdot 3=12$.

4. دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل.

إن طريقة تمثيل المتغير العشوائي المنفصل في شكل سلسلة توزيع ليست الوحيدة، والأهم من ذلك أنها ليست عالمية، حيث لا يمكن تحديد متغير عشوائي مستمر باستخدام سلسلة التوزيع. هناك طريقة أخرى لتمثيل المتغير العشوائي وهي دالة التوزيع.

وظيفة التوزيعيسمى المتغير العشوائي $X$ دالة $F\left(x\right)$، والتي تحدد احتمالية أن يأخذ المتغير العشوائي $X$ قيمة أقل من قيمة ثابتة $x$، أي $F\ يسار (x\يمين)=P\يسار(X< x\right)$

خصائص وظيفة التوزيع:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي $X$ قيمًا من الفاصل الزمني $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ يساوي الفرق بين قيم دالة التوزيع في نهايات هذا الفاصل الزمني: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - غير متناقص.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \يمين)=1\ )$.

مثال 9 . دعونا نجد دالة التوزيع $F\left(x\right)$ لقانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل $X$ من المثال $2$.

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(صفيف)$

إذا كان $x\le 1$، فمن الواضح أن $F\left(x\right)=0$ (بما في ذلك $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

إذا 1 دولار< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

إذا 2 دولار< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

إذا 3 دولار< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

إذا 4 دولار< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

إذا 5 دولار< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

إذا كان $x > 6$، فإن $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\يمين)+P\left(X=5\يمين)+P\left(X=6\يمين)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1 دولار.

إذن $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ في\ س\لو 1,\\
1/6، في 1< x\le 2,\\
1/3،\في\2< x\le 3,\\
1/2، في\ 3< x\le 4,\\
2/3،\في\4< x\le 5,\\
5/6،\في\4< x\le 5,\\
1,\ل\س > 6.
\end(matrix)\right.$

1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه م (ق) = ج .
2. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي: م (CX) = سم (X)
3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية: م(XY)=م(X) م(Y).
4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات: م(س+ص)=م(س)+م(ص).

نظرية. التوقع الرياضي M(x) لعدد تكرارات الأحداث A في n من التجارب المستقلة يساوي حاصل ضرب هذه التجارب في احتمال وقوع الأحداث في كل تجربة: M(x) = np.

يترك X - المتغير العشوائي و م (س) - توقعاتها الرياضية. دعونا نعتبر الفرق كمتغير عشوائي جديد س - م(س).

الانحراف هو الفرق بين المتغير العشوائي وتوقعه الرياضي.

الانحراف لديه قانون التوزيع التالي:

الحل: لنجد التوقع الرياضي:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

لنكتب قانون توزيع الانحراف التربيعي:

الحل: دعونا نوجد التوقع الرياضي لـ M(x): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5

لنكتب قانون توزيع المتغير العشوائي X2

× 2
ص	0.1	0.6	0.3

دعونا نجد التوقع الرياضي م (× 2): م (× 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

التباين المطلوب هو D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05

خصائص التشتت:

1. تباين قيمة ثابتة مع يساوي الصفر: د(ج)=0
2. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بتربيعها. د(Cx)=ج 2 د(س)
3. إن تباين مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. د(X 1 +X 2 +...+X n)=د(X 1)+د(X 2)+...+د(X n)
4. إن تباين التوزيع ذي الحدين يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات واحتمالات حدوث وعدم وقوع حدث في تجربة واحدة D(X)=npq

ولتقدير تشتت القيم المحتملة للمتغير العشوائي حول قيمته المتوسطة، بالإضافة إلى التشتت، يتم استخدام بعض الخصائص الأخرى أيضًا. وتشمل هذه الانحراف المعياري.

الانحراف المعياري للمتغير العشوائي Xيسمى الجذر التربيعي للتباين :

σ(X) = √D(X) (4)

مثال. يتم إعطاء المتغير العشوائي X بواسطة قانون التوزيع

X
ص	0.1	0.4	0.5

أوجد الانحراف المعياري σ(x)

الحل: دعونا نوجد التوقع الرياضي لـ X: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
لنجد التوقع الرياضي لـ X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
لنجد التباين: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
الانحراف المعياري المطلوب σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

نظرية. الانحراف المعياري لمجموع عدد محدود من المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات الانحرافات المعيارية لهذه المتغيرات:

مثال. على رف 6 كتب، 3 كتب في الرياضيات و3 في الفيزياء. يتم اختيار ثلاثة كتب عشوائيا. أوجد قانون توزيع عدد كتب الرياضيات على الكتب المختارة. أوجد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.

د(X)= م(X 2) - م(X) 2 = 2.7 – 1.5 2 = 0.45

وكما هو معروف، فإن قانون التوزيع يميز بشكل كامل المتغير العشوائي. ومع ذلك، غالبًا ما يكون قانون التوزيع غير معروف ويجب على المرء أن يقتصر على معلومات أقل. في بعض الأحيان يكون من المربح أكثر استخدام الأرقام التي تصف المتغير العشوائي إجمالاً؛ تسمى هذه الأرقام الخصائص العددية للمتغير العشوائي.

إحدى الخصائص العددية المهمة هي التوقع الرياضي.

والتوقع الرياضي يساوي تقريباً متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصلهو مجموع منتجات جميع قيمها المحتملة واحتمالاتها.

إذا كان المتغير العشوائي يتميز بسلسلة توزيع محدودة:

X	× 1	× 2	× 3	…	س ن
ر	ص 1	ص 2	ص 3	…	ص ص

ثم التوقع الرياضي م (س)تحددها الصيغة:

يتم تحديد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر من خلال المساواة:

أين هي الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي X.

مثال 4.7.أوجد التوقع الرياضي لعدد النقاط التي تظهر عند رمي حجر النرد.

حل:

قيمة عشوائية Xتأخذ القيم 1، 2، 3، 4، 5، 6. لنضع قانون توزيعها:

X
ر

ثم التوقع الرياضي هو:

خصائص التوقع الرياضي:

1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه:

م (ق) = س.

2. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي:

م (CX) = سم (X).

3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية:

م(س ص) = م(س)م(ص).

مثال 4.8. المتغيرات العشوائية المستقلة Xو ييتم منحها بواسطة قوانين التوزيع التالية:

X					ي
ر	0,6	0,1	0,3		ر	0,8	0,2

أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي XY.

حل.

لنجد التوقعات الرياضية لكل من هذه الكميات:

المتغيرات العشوائية Xو يمستقلة، وبالتالي فإن التوقع الرياضي المطلوب هو:

م(س ص) = م(س)م(ص)=

عاقبة.إن التوقع الرياضي لمنتج عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض يساوي منتج توقعاتها الرياضية.

4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات:

م (س + ص) = م (س) + م (ص).

عاقبة.التوقع الرياضي لمجموع عدة متغيرات عشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.

مثال 4.9.تم إطلاق 3 طلقات مع احتمالات إصابة الهدف تساوي ص 1 = 0,4; ص2= 0.3 و ص 3= 0.6. أوجد التوقع الرياضي لإجمالي عدد الزيارات.

حل.

عدد الضربات في اللقطة الأولى هو متغير عشوائي × 1، والتي يمكن أن تأخذ قيمتين فقط: 1 (ضربة) مع الاحتمال ص 1= 0.4 و0 (خطأ) مع الاحتمال س 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

التوقع الرياضي لعدد الضربات في اللقطة الأولى يساوي احتمال الضربة:

وبالمثل نجد التوقعات الرياضية لعدد الضربات للطلقتين الثانية والثالثة:

م (× 2)= 0.3 و م(× 3)= 0,6.

الرقم الإجماليالزيارات هي أيضًا متغير عشوائي يتكون من مجموع النتائج في كل من اللقطات الثلاث:

س = × 1 + × 2 + × 3.

التوقع الرياضي المطلوب Xنجدها باستخدام نظرية التوقع الرياضي للمجموع.