3.1. الإحداثيات القطبية

كثيرا ما تستخدم على متن الطائرة نظام الإحداثيات القطبية . يتم تعريفه إذا تم إعطاء نقطة O، تسمى عمودوالشعاع المنبعث من القطب (بالنسبة لنا هذا هو المحور الثور) – المحور القطبي.يتم تحديد موضع النقطة M برقمين: نصف القطر (أو ناقل نصف القطر) والزاوية φ بين المحور القطبي والمتجه.تسمى الزاوية φ زاوية قطبية تقاس بالراديان وتحسب عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور القطبي.

يتم تحديد موضع نقطة ما في نظام الإحداثيات القطبية من خلال زوج مرتب من الأرقام (r; φ). عند القطب ص = 0،وφ غير محدد. لجميع النقاط الأخرى ص > 0،ويتم تعريف φ حتى مصطلح مضاعف لـ 2π. في هذه الحالة، ترتبط أزواج الأرقام (r; φ) و (r 1 ; φ 1) بنفس النقطة إذا .

لنظام الإحداثيات مستطيلة xOyيمكن التعبير بسهولة عن الإحداثيات الديكارتية لنقطة ما بدلالة إحداثياتها القطبية على النحو التالي:

3.2. التفسير الهندسي للعدد المركب

دعونا نفكر في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل على المستوى xOy.

أي عدد مركب z=(a, b) يرتبط بنقطة على المستوى بإحداثيات ( س، ص)، أين الإحداثيات س = أ، أي الجزء الحقيقي من العدد المركب، والإحداثي y = bi هو الجزء التخيلي.

المستوى الذي نقاطه أعداد مركبة هو مستوى مركب.

في الشكل العدد المركب ض = (أ، ب)يتوافق مع نقطة م (س، ص).

يمارس.رسم الأعداد المركبة على المستوى الإحداثي:

3.3. الشكل المثلثي لعدد مركب

العدد المركب الموجود على المستوى له إحداثيات نقطة م (س؛ ص). حيث:

كتابة عدد مركب - الشكل المثلثي لعدد مركب.

يسمى الرقم r وحدة عدد مركب ضويتم تعيينه. المعامل هو عدد حقيقي غير سالب. ل .

المعامل هو صفر إذا وفقط إذا ض = 0، أي أ = ب = 0.

الرقم φ يسمى حجة ض ويتم تعيينه. يتم تعريف الوسيطة z بشكل غامض، مثل الزاوية القطبية في نظام الإحداثيات القطبية، أي حتى حد مضاعف لـ 2π.

ثم نقبل: حيث φ هي أصغر قيمة للوسيطة. من الواضح أن

.

عند دراسة الموضوع بمزيد من التعمق، يتم تقديم حجة مساعدة φ*، مثل ذلك

مثال 1. أوجد الصورة المثلثية للعدد المركب.

حل. 1) النظر في الوحدة: ;

2) البحث عن φ : ;

3) الشكل المثلثي:

مثال 2.أوجد الصورة الجبرية للعدد المركب .

هنا يكفي استبدال القيم الدوال المثلثيةوتحويل التعبير:

مثال 3.أوجد معامل ووسيطة العدد المركب؛

1) ;

2) ; φ - في 4 أرباع:

3.4. العمليات على الأعداد المركبة في الشكل المثلثي

· جمع وطرحمن الأفضل التعامل مع الأعداد المركبة في صورة جبرية:

· عمليه الضرب- بمساعدة بسيطة التحولات المثلثيةيمكن أن يظهر ذلك عند الضرب، يتم ضرب وحدات الأرقام، وتضاف الوسائط: ;

لتحديد موضع نقطة ما على المستوى، يمكنك استخدام الإحداثيات القطبية [ز، (ص)، أين زهي مسافة النقطة من الأصل، و (ر- الزاوية التي تشكل نصف القطر - متجه هذه النقطة بالاتجاه الموجب للمحور أوه.الاتجاه الإيجابي لتغير الزاوية (رالاتجاه الذي يتم النظر فيه هو عكس اتجاه عقارب الساعة. الاستفادة من الارتباط بين الإحداثيات الديكارتية والقطبية: x = g cos avg,y = g sin (p,

نحصل على الشكل المثلثي لكتابة عدد مركب

ض - ص (الخطيئة (ع + أنا الخطيئة

أين ز

Xi + y2, (p هي وسيطة الرقم المركب، والتي تم العثور عليها من

ل س . ذ ذ

الصيغ كوس (ع --, الخطيئة^9 ​​= - أو بسبب ذلك تيراغرام (ع --, (ص-arctg

لاحظ أنه عند اختيار القيم تزوجمن المعادلة الأخيرة من الضروري أن تأخذ في الاعتبار العلامات س و ص.

مثال 47. اكتب عددًا مركبًا على الصورة المثلثية 2 = -1 + ل/ض / .

حل. دعونا نجد المعامل والوسيطة للرقم المركب:

= ي ج 1 + 3 = 2 . ركن تزوجنجد من العلاقات كوس (ص = -, الخطيئة (ع = - .ثم

نحن نحصل كوس (ع = -،حساء

ش/ض ز~

• - -. من الواضح أن النقطة z = -1 + V3-/ تقع
• 2 ل 3

في الربع الثاني: (ر= 120 درجة

أستعاض

2 ك.. ضرب بالعصا؛ خطيئة

في الصيغة (1) تم العثور على 27Г لتر

تعليق. لا يتم تعريف وسيطة الرقم المركب بشكل فريد، ولكن ضمن مصطلح يعد من مضاعفاته 2 ص.ثم من خلال س ^ زدل

قيمة الوسيطة المغلقة داخل (ص 0 %2 ثم

أ)^ز = + 2 ك ك.

باستخدام صيغة أويلر الشهيرة هـ، نحصل على الصيغة الأسية لكتابة عدد مركب.

لدينا r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

العمليات على الأعداد المركبة

• 1. مجموع رقمين مركبين r، = X] + ذ س/ و ز2 - س 2 + ص 2/ يتم تحديده وفق الصيغة r ! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' ص
• 2. تُعرف عملية طرح الأعداد المركبة بأنها عملية الجمع العكسية. عدد مركب ز = ز س - ز 2،لو ز 2 + ز = ز س،

هو الفرق بين الأعداد المركبة 2 و ز 2.ثم ص = (س، - × 2) + (ص، - في 2) /.

• 3. منتج عددين مركبين ز س= س، +ص، -ض و 2 2 = × 2+ يو2‘ يتم تحديد r بواسطة الصيغة
• *1*2 =(* + ش"0(×2+ ت 2 -0= × 1 × 2 ص 1 2 -1 +x Y2 " * + ش1 ش2 " ^ =

= (xx 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2U)-"-

بخاصة، ذ-ص= (س + ص-ص)(س-ص /)= س 2 + ص 2.

يمكنك الحصول على صيغ لضرب الأعداد المركبة في الأشكال الأسية والمثلثية. لدينا:

• 1^ 2 - ج س ه 1 = )ز 2 ه > = ز]ز 2 cOs((P + متوسط ​​2) + isin
• 4. يتم تعريف تقسيم الأعداد المركبة على أنه العملية العكسية

الضرب، أي رقم ز--يسمى حاصل القسمة r! على ز 2،

لو ز س -1 2 ? 2 . ثم

X + تي _ (*і + وحدة دولية 2 ~ 1 U2 ) × 2 + إي يو2( 2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

س، س 2 + /ص، س 2 - التاسع × ص 2 - ط 2 ذ س ص 2 (س س س 2 + ص س ص 2)+ /(- س,ص 2 + س 2 ص])

2 2 × 2 + ص 2

1 ه

أنا (ر ز

• - 1U ه "(1 Fg) - I.сОї((Р -сп 1)+ І- (ر-,)] >2 >2
• 5. من الأفضل رفع رقم مركب إلى قوة عدد صحيح موجب إذا كان الرقم مكتوبًا في صورة أسية أو مثلثية.

في الواقع، إذا ز = جنرال الكتريك 1 ثم

=(جي،) = ز ع ه ر = ز"(co8 psr+it gkr).

الصيغة ز" =r n (cosn(p+is n(p)تسمى صيغة Moivre.

6. استخراج الجذر ف-يتم تعريف القوة رقم مركب على أنها العملية العكسية للرفع إلى قوة ص، ص- 1،2،3،... أي. عدد مركب = ذ[زيسمى الجذر ف-القوة رقم مركب

ز، إذا ز = ز س. ومن هذا التعريف يتبع ذلك ز - ز"، أ ز س= لتر/جم. (ص-بر س،أ سر^-سر/ن، والتي تتبع صيغة Moivre المكتوبة للرقم = r/*+ إيييب(ص).

كما هو مذكور أعلاه، لا يتم تعريف وسيطة الرقم المركب بشكل فريد، ولكن يصل إلى حد يمثل مضاعفًا للعدد 2 و.لهذا = (ع + 2pk، وحجة الرقم r، اعتمادًا على ل،دعونا نشير (ر كوبو

ماركا ألمانيا حساب باستخدام الصيغة (ر ك= - + . ومن الواضح أن هناك صكوم-

ارقام مركبة، ص- القوة التي تساوي الرقم 2. هذه الأرقام لها واحد

ونفس الوحدة على قدم المساواة ص [ز،ويتم الحصول على حجج هذه الأرقام بواسطة ل = 0, 1, ف - 1. وهكذا، في شكل مثلثي الجذر طيتم حساب الدرجات باستخدام الصيغة:

(ع + 2 ك.ب . . الأربعاء + 2 كيلو بايت

, ل = 0, 1, 77-1,

.(ع+2ktg

وفي الشكل الأسي - حسب الصيغة ل[ز - ذ[جنرال الكتريك ص

مثال 48. إجراء العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية:

أ) (1-/ح/2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 لتر/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - زل/2/ - 6 + 2ل/2/DZ + /)=(- 5 - ل/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

مثال 49. ارفع الرقم r = Uz - / للقوة الخامسة.

حل. نحصل على الشكل المثلثي لكتابة الرقم r.

ز =ل/3+1 =2، C08 (ع --، 5ІІ7 (ر =

• (1 - 2/X2 + /)
• (ض-،)

يا - 2.-X2 + س

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (ض-O" (ض-O

ض/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-ط) 'з+/
• 9 + 1 ض_±.
• 5 2 1 "

من هنا س--، أ ص = 2

نحصل على Moivre: ط -2

/ ^ _ 7G، . ؟ز

• -سس-- ІБІП -

• --ب / -

= -(ل/ث + ز)= -2 .

مثال 50: ابحث عن جميع القيم

الحل، ص = 2، أ تزوجنجد من المعادلة تنهد (ع = -، zt--.

هذه النقطة 1 - /d/z تقع في الربع الرابع، أي. و =--. ثم

• 1 - 2
• ( (يو جي إل

نجد القيم الجذرية من التعبير

V1 - /l/z = l/2

• --+ 2أ:/г ---ь 2 ك.ك
• 3 . . 3

S08--1- و81P-

في ل - 0 لدينا 2 0 = لتر/2

يمكنك العثور على قيم جذر الرقم 2 من خلال تمثيل الرقم في الشاشة

-* ل/ 3 + 2 cl

في ل= 1 لدينا قيمة جذر أخرى:

• 7 جرام. 7 جرام_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . ح

7 جرام . . 7 جرام لتر-С05- + 181P - 6 6

• --ن-

شارك؟ - 7 جيجا + /5SH - اي"

ل/3__ر_

شكل تيليال. لأن ص = 2، أ تزوج= , ثم g = 2e 3 , أ ذ[ز = ص/2ه 2

العمليات على الأعداد المركبة المكتوبة بالصورة الجبرية

الصورة الجبرية للعدد المركب z =(أ,ب).يسمى تعبير جبري للنموذج

ض = أ + ثنائية.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة ض 1 = أ 1 + ب 1 أناو ض 2 = أ 2 + ب 2 أنا، مكتوبة في شكل جبري، ويتم تنفيذها على النحو التالي.

1. مجموع (الفرق) من الأعداد المركبة

ض 1 ± ض 2 = (أ 1 ± أ 2) + (ب 1 ± ب 2)∙أنا,

أولئك. يتم إجراء الجمع (الطرح) وفقًا لقاعدة إضافة كثيرات الحدود مع تقليل المصطلحات المتشابهة.

2. منتج الأعداد المركبة

ض 1 ∙ض 2 = (أ 1 ∙أ 2 -ب 1 ∙ب 2) + (أ 1 ∙ب 2 + أ 2 ∙ب 1)∙أنا,

أولئك. يتم الضرب وفقًا للقاعدة المعتادة لضرب كثيرات الحدود، مع مراعاة حقيقة ذلك أنا 2 = 1.

3. تتم قسمة عددين مركبين وفقا للقاعدة التالية:

, (ض 2 ≠ 0),

أولئك. تتم عملية القسمة عن طريق ضرب المقسوم والمقسوم عليه في العدد المرافق للمقسوم عليه.

يتم تعريف الأس للأعداد المركبة على النحو التالي:

ومن السهل إظهار ذلك

أمثلة.

1. أوجد مجموع الأعداد المركبة ض 1 = 2 – أناو ض 2 = – 4 + 3أنا.

ض 1 + ض 2 = (2 + (–1)∙أنا)+ (–4 + 3أنا) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) أنا = –2+2أنا.

2. أوجد حاصل ضرب الأعداد المركبة ض 1 = 2 – 3أناو ض 2 = –4 + 5أنا.

= (2 – 3أنا) ∙ (–4 + 5أنا) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3أنا)+ 2∙5أنا– 3أنا∙ 5أنا = 7+22أنا.

3. أوجد حاصل القسمة ضمن الانقسام ض 1 = 3 - 2نا ض 2 = 3 – أنا.

ض = .

4. حل المعادلة : , سو ذ Î ر.

(2س+ص) + (س+ص)أنا = 2 + 3أنا.

نظرا لتساوي الأعداد المركبة لدينا:

أين س =–1 , ذ= 4.

5. احسب: أنا 2 ,أنا 3 ,أنا 4 ,أنا 5 ,أنا 6 ,أنا -1 ، أنا -2 .

6. احسب إذا .

.

7. حساب مقلوب الرقم ض=3-أنا.

الأعداد المركبة في الشكل المثلثي

طائرة معقدةتسمى الطائرة ذات الإحداثيات الديكارتية ( س، ص) ، إذا كانت كل نقطة بإحداثيات ( أ، ب) يرتبط بعدد مركب ض = أ + ثنائية. في هذه الحالة، يسمى محور الإحداثي المحور الحقيقي، والمحور الإحداثي هو خيالي. ثم كل عدد مركب أ + ثنائيةتم تصويره هندسيًا على المستوى كنقطة أ (أ، ب) أو ناقلات.

وبالتالي فإن موقف هذه النقطة أ(وبالتالي رقم مركب ض) يمكن تحديدها بطول المتجه | | = صوالزاوية ي، يتكون من المتجه | | مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي. طول المتجه يسمى معامل العدد المركبويشار إليه بـ | ض |= ص، والزاوية يمُسَمًّى حجة الرقم المركبويتم تعيينه ي = أرج ض.

ومن الواضح أن | ض| ³ 0 و | ض | = 0 Û ض = 0.

من الشكل. 2 ومن الواضح أن .

يتم تحديد وسيطة الرقم المركب بشكل غامض، ولكن بدقة 2 بك، كÎ ز.

من الشكل. 2 ومن الواضح أيضا أنه إذا ض=أ+ثنائيةو ي = أرج ض،الذي - التي

كوس ي =,الخطيئة ي =، تيراغرام ي = .

لو زيرو ض> 0، ثم ارج ض = 0 +2pk;

لو ض أورو ض< 0، ثم ارج ض = ع + 2pk;

لو ض = 0,أرج ضغير محدد.

يتم تحديد القيمة الرئيسية للوسيطة على الفاصل الزمني 0 £ أرج ض 2 جنيه استرليني ص،

أو -ص£ أرج ض جنيه ص.

أمثلة:

1. أوجد معامل الأعداد المركبة ض 1 = 4 – 3أناو ض 2 = –2–2أنا.

2. تحديد المناطق على المستوى المركب المحددة بالشروط:

1) | ض | = 5; 2) | ض| 6 جنيهات إسترلينية؛ 3) | ض – (2+أنا) | 3 جنيهات إسترلينية؛ 4) 6 جنيهات إسترلينية | ض – أنا| 7 جنيهات إسترلينية.

الحلول والأجوبة:

1) | ض| = 5 Û Û - معادلة دائرة نصف قطرها 5 ومركزها عند نقطة الأصل.

2) دائرة نصف قطرها 6 ومركزها نقطة الأصل.

3) دائرة نصف قطرها 3 ومركزها عند النقطة ض 0 = 2 + أنا.

4) حلقة محاطة بدوائر نصف قطرها 6 و 7 ومركزها عند نقطة ض 0 = أنا.

3. ابحث عن معامل ووسيطة الأرقام: 1) ؛ 2) .

1) ; أ = 1, ب = Þ ,

Þ ي1= .

2) ض 2 = –2 – 2أنا; أ =–2, ب =-2 ص ,

.

تلميح: عند تحديد الوسيطة الرئيسية، استخدم المستوى المركب.

هكذا: ض 1 = .

2) , ص 2 = 1، ي 2 =، .

3) , ص 3 = 1، ي 3 =، .

4) , ص 4 = 1، ي 4 =، .