الطريقة البديهية لبناء النظرية العلمية في الرياضيات. الطريقة البديهية لبناء النظرية العلمية الطريقة البديهية لبناء النظرية

الطريقة البديهية هي طريقة للبناء النظرية الرياضيةوالتي يرتكز أساسها على بعض الأحكام المقبولة بلا برهان (بديهيات)، وكل الباقي يستمد منها بطريقة منطقية بحتة. مع التطبيق الجذري لهذا النهج، يتم اختزال الرياضيات إلى المنطق البحت، ويتم طرد أشياء مثل الحدس والتمثيلات الهندسية البصرية والتفكير الاستقرائي وما إلى ذلك. ما هو جوهر الإبداع الرياضي يختفي. لماذا إذن تم اختراع هذه الطريقة؟ للإجابة على هذا السؤال علينا العودة إلى بدايات الرياضيات.

1. البديهيات: فهمان

وكما نتذكر من المدرسة ظهرت البراهين الرياضية والبديهيات والنظريات اليونان القديمة. تم تقديس البناء البديهي للهندسة في الكتاب الذي تعلمت منه أجيال عديدة الرياضيات - في عناصر إقليدس. ومع ذلك، في تلك الأيام كان مفهوم البديهية يُفهم بشكل مختلف عما هو عليه الآن. حتى الآن، تقول الكتب المدرسية أحيانًا أن البديهيات هي حقائق واضحة مقبولة دون دليل. وفي القرن التاسع عشر، تغير هذا المفهوم كثيرًا بسبب اختفاء كلمة "واضح". لم تعد البديهيات واضحة؛ فهي لا تزال مقبولة دون دليل، ولكن يمكن، من حيث المبدأ، أن تكون بيانات اعتباطية تمامًا. وراء هذا التغيير الصغير، للوهلة الأولى، هناك تغيير جذري إلى حد ما في الموقف الفلسفي - رفض الاعتراف بالواقع الرياضي الوحيد الممكن. الدور الرئيسي في هذا التغيير، بالطبع، لعب تاريخ ظهور الهندسة غير الإقليدية، التي حدثت في القرن التاسع عشر بفضل عمل هؤلاء العلماء مثل N. I. Lobachevsky و J. Bolyai.

2. مشكلة بديهية الخطوط المتوازية

بدأ تاريخ الهندسة غير الإقليدية بمحاولات إثبات ما يسمى بالمسلمة الخامسة لإقليدس - بديهية المتوازيات الشهيرة: من خلال نقطة خارج الخط، لا يمكن رسم أكثر من خط موازٍ للخط المحدد. كان هذا البيان مختلفًا بشكل ملحوظ في طبيعته عن بقية بديهيات إقليدس. وبدا للكثيرين أنها بحاجة إلى إثبات؛ ولم تكن واضحة مثل البديهيات الأخرى. لم تكن هذه المحاولات ناجحة لعدة قرون؛ حيث اقترح العديد من علماء الرياضيات "حلولهم" الخاصة، والتي وجد فيها علماء رياضيات آخرون أخطاء فيما بعد. (الآن نحن نعلم أن هذه المحاولات كان محكوم عليها بالفشل بشكل واضح؛ وكان هذا أحد الأمثلة الأولى للبيانات الرياضية غير القابلة للإثبات).

3. هندسة لوباتشيفسكي

فقط في القرن التاسع عشر تم إدراك أنه ربما كان هذا البيان في الواقع غير قابل للإثبات، وأن هناك هندسة أخرى، مختلفة تمامًا عن هندستنا، حيث كانت هذه البديهية خاطئة. ماذا فعل لوباتشيفسكي؟ لقد فعل ما يفعله علماء الرياضيات غالبًا عندما يحاولون إثبات عبارة ما. الأسلوب المفضل هو البرهان بالتناقض: افترض ذلك هذا البيانخطأ. ماذا يتبع من هذا؟ لإثبات النظرية، يحاول علماء الرياضيات استخلاص تناقض من الافتراض الذي تم وضعه. لكن في هذه الحالة، تلقى Lobachevsky المزيد والمزيد من العواقب الرياضية والهندسية الجديدة من الافتراض المقدم، لكنها اصطفت في نظام جميل جدًا ومتسق داخليًا، والذي مع ذلك يختلف عن النظام الإقليدي الذي اعتدنا عليه. كان عالم جديد من الهندسة غير الإقليدية، على عكس ما اعتدنا عليه، يتكشف أمام عينيه. أدى هذا إلى إدراك لوباتشيفسكي أن مثل هذه الهندسة ممكنة. في الوقت نفسه، تناقضت بديهية المتوازيات في هندسة لوباتشيفسكي بوضوح مع حدسنا الهندسي اليومي: لم تكن غير واضحة بشكل حدسي فحسب، بل كانت خاطئة من وجهة نظر هذا الحدس.

ومع ذلك، فإن تخيل أن هذا ممكن من حيث المبدأ شيء، وإثبات رياضيًا صارمًا أن مثل هذا النظام من البديهيات للهندسة متسق شيء آخر. تم تحقيق ذلك بعد عدة عقود في أعمال علماء الرياضيات الآخرين - بلترامي وكلاين وبوانكاريه، الذين اقترحوا نماذج لبديهيات الهندسة غير الإقليدية في إطار الهندسة الإقليدية العادية. لقد أثبتوا بالفعل أن عدم اتساق هندسة لوباتشيفسكي من شأنه أن يستلزم عدم اتساق الهندسة الإقليدية المألوفة لدينا. والعكس صحيح أيضًا، أي من وجهة نظر المنطق، يتبين أن كلا النظامين متساويان تمامًا.

بعد قولي هذا، هناك تحذير واحد يجب القيام به. إن تاريخ الهندسة غير الإقليدية يتضح جيدًا من خلال ظاهرة أخرى لوحظت أكثر من مرة في تاريخ العلم. في بعض الأحيان لا يظهر حل المشكلة بعد ذلك، ولكن قبل أن تتلقى المشكلة نفسها صياغة دقيقة يفهمها الجميع جيدًا. كان هذا هو الحال في هذه الحالة: في منتصف القرن التاسع عشر القائمة الكاملةبديهيات الهندسة الأولية لم تكن موجودة بعد. لم تكن عناصر إقليدس متسقة بما فيه الكفاية من حيث تنفيذها للطريقة البديهية. استندت العديد من حجج إقليدس إلى الحدس البصري؛ ومن الواضح أن بديهياته لم تكن كافية حتى لصياغة ذات معنى لمشكلة عدم إمكانية إثبات الافتراض الموازي. وكان لوباتشيفسكي مع بولياي، وبيلترامي مع كلاين وبوانكاريه في وضع مماثل. إن تحديد مشكلة عدم إمكانية الإثبات على المستوى المناسب من الدقة يتطلب تطوير جهاز جديد تمامًا للمنطق الرياضي ونفس الطريقة البديهية.

4. إنشاء طريقة بديهية

تم فهم الوضع بعد نشر كتاب د.هيلبرت "أسس الهندسة" الذي اقترح فيه مفهوم الطريقة البديهية التي بدأنا بها. أدرك هيلبرت أنه من أجل فهم أسس الهندسة، كان من الضروري استبعاد كل شيء من البديهيات باستثناء المنطق. لقد عبر عن هذه الفكرة بشكل ملون على النحو التالي: "لن تتزعزع صحة البديهيات والنظريات على الإطلاق إذا استبدلنا المصطلحات المعتادة "نقطة، خط، مستوى" بمصطلحات أخرى تقليدية بنفس القدر: "كرسي، طاولة، كوب بيرة"!

كان هيلبرت هو من قام ببناء أول نظام متسق وكامل من البديهيات للهندسة الأولية، وقد حدث هذا في نهاية القرن التاسع عشر. وهكذا، تم إنشاء الطريقة البديهية في الواقع لإثبات استحالة إثبات بعض العبارات، وهي في هذه الحالة هندسية.

كان هيلبرت فخورًا باكتشافه واعتقد أن هذه الطريقة يمكن أن تمتد إلى جميع الرياضيات ككل: ليس فقط للهندسة الأولية، ولكن أيضًا إلى الحساب والتحليل ونظرية المجموعات. أعلن "برنامج هيلبرت"، الذي كان هدفه تطوير أنظمة البديهيات لجميع أجزاء الرياضيات (وحتى أجزاء من الفيزياء) ومن ثم إنشاء اتساق الرياضيات بوسائل محدودة. وبمجرد أن أدرك هيلبرت إمكانيات الطريقة البديهية، بدا أن الطريق المباشر مفتوح لمثل هذا التطور. حتى أن هيلبرت قال عبارة مشهورة في عام 1930، والتي ترجمت إلى الأصوات الروسية مثل "يجب أن نعرف، وسوف نعرف"، وهذا يعني أن كل ما يجب أن يعرفه علماء الرياضيات، سوف يتعلمونه عاجلاً أم آجلاً. لكن تبين أن هذا الهدف غير واقعي، وهو ما أصبح واضحا بعد ذلك بكثير. والأكثر إثارة للدهشة هو أن النظرية التي دحضت هذه الآمال بشكل فعال، وهي نظرية عدم الاكتمال لكورت جودل، تم الإعلان عنها في نفس المؤتمر عام 1930 الذي ألقى فيه هيلبرت خطابه الشهير، قبل يوم واحد بالضبط من هذا الحدث.

5. إمكانيات الطريقة البديهية

تسمح طريقة هيلبرت البديهية ببناء نظريات رياضية على عبارات رياضية محددة بوضوح، والتي يمكن استخلاص غيرها منها بشكل منطقي. في الواقع، ذهب هيلبرت إلى أبعد من ذلك وقرر أنه من الممكن الاستمرار في اختزال الرياضيات في المنطق. يمكنك أيضًا طرح السؤال التالي: "هل من الممكن التخلص من شرح معنى العملية المنطقية؟" يمكن إزالة المنطق نفسه من الطريقة البديهية. من النظريات البديهية ننتقل إلى النظريات البديهية الرسمية - وهي نظريات مكتوبة في شكل رمزي، في حين أن الرياضيات لا تتحول فقط إلى سلسلة من الاستنتاجات المنطقية، ولكن إلى نوع من لعبة إعادة كتابة التعبيرات الشكلية وفقًا لقواعد معينة. هذه اللعبة، التي لا معنى لها على الإطلاق إذا نظرت إليها بسذاجة، هي التي توفر النموذج الرياضي الدقيق لماهية "الدليل". من خلال تحليل هذه اللعبة، يمكن للمرء أن يثبت أنه لا يمكن إثبات النظريات الرياضية. ولكن الشيء الرئيسي: نتيجة لإضفاء الطابع الرسمي، قام علماء الرياضيات لأول مرة ببناء لغات رسمية بالكامل، مما أدى إلى إنشاء لغات البرمجة ولغات قواعد البيانات. التطور الحديثتعتمد تكنولوجيا الكمبيوتر في النهاية على الاكتشافات التي تم إجراؤها في الرياضيات في بداية القرن العشرين.

6. نقد المنهج البديهي

ينتقد العديد من علماء الرياضيات الطريقة البديهية لما أنشئت من أجله: فهي تأخذ المعنى من الرياضيات. لأننا أولاً نخلص الرياضيات من المفاهيم الهندسية المختلفة، ومن الحدس. بالانتقال إلى نظرية بديهية رسمية، فإننا، بشكل عام، نستبعد المنطق من الرياضيات. ونتيجة لذلك، فإن كل ما تبقى من الدليل الموضوعي هو هيكل يتكون من رموز صورية. وميزة الأخير هي على وجه التحديد أننا لا نعرف ما هو "المعنى" و"الحدس"، لكننا نعرف بالضبط ما هي التلاعبات بسلاسل محدودة من الأحرف. وهذا يسمح لنا ببناء نموذج رياضي دقيق لظاهرة معقدة - دليل - وإخضاعها للتحليل الرياضي.

كان الدليل الرياضي في الأصل عملية نفسية لإقناع المحاور بصحة عبارة معينة. ليس هذا هو الحال في النظام الرسمي: فقد تم اختزال كل شيء إلى عملية ميكانيكية بحتة. يمكن إجراء هذه العملية الميكانيكية البحتة بواسطة الكمبيوتر. ومع ذلك، مثل أي نموذج، فإن العملية الميكانيكية تنقل فقط بعض ميزات الأدلة الحقيقية. هذا النموذج له حدوده في التطبيق. من الخطأ الاعتقاد بأن البراهين الشكلية هي براهين رياضية "حقيقية" أو أن علماء الرياضيات يعملون فعليًا ضمن أنظمة صورية معينة.

بشكل منفصل، تجدر الإشارة إلى تدريس الرياضيات. ليس هناك ما هو أسوأ من أن يعتمد تعليم تلاميذ المدارس على أداء الإجراءات الميكانيكية (الخوارزميات) أو على بناء استنتاجات منطقية رسمية. بهذه الطريقة يمكنك تدمير أي بداية إبداعية لدى أي شخص. وعليه، عند تدريس الرياضيات، لا يجب أن تتعامل معها من موقف الطريقة البديهية الصارمة بمعنى هيلبرت - فهذا ليس ما خلقت من أجله.

تم تطبيق الطريقة البديهية لأول مرة بنجاح بواسطة إقليدس لبناء الهندسة الأولية. منذ ذلك الوقت، شهدت هذه الطريقة تطورًا كبيرًا ووجدت العديد من التطبيقات ليس فقط في الرياضيات، ولكن أيضًا في العديد من فروع العلوم الطبيعية الدقيقة (الميكانيكا، والبصريات، والديناميكا الكهربائية، والنظرية النسبية، وعلم الكونيات، وما إلى ذلك).

لقد تم تطوير وتحسين الطريقة البديهية عبر خطين رئيسيين: أولا، تعميم الطريقة نفسها، وثانيا، تطوير التقنيات المنطقية المستخدمة في عملية استخلاص النظريات من البديهيات. لتخيل طبيعة التغييرات التي حدثت بشكل أكثر وضوحا، دعونا ننتقل إلى البديهيات الأصلية لإقليدس. كما هو معروف، يتم تفسير المفاهيم والبديهيات الأولية للهندسة بطريقة واحدة فقط. يُقصد بالنقطة والخط والمستوى، كمفاهيم أساسية للهندسة، الأجسام المكانية المثالية، وتعتبر الهندسة نفسها دراسة لخصائص الفضاء المادي. أصبح من الواضح تدريجيًا أن بديهيات إقليدس أثبتت صحتها ليس فقط في وصف خصائص الأجسام الهندسية، ولكن أيضًا في الكائنات الرياضية وحتى الفيزيائية الأخرى. لذلك، إذا كنا نعني بنقطة ما ثلاثة أرقام حقيقية، أو بخط مستقيم أو مستوى - فإن ذلك هو المقابل المعادلات الخطيةفإن خصائص كل هذه الأجسام غير الهندسية سوف تلبي البديهيات الهندسية لإقليدس. والأكثر إثارة للاهتمام هو تفسير هذه البديهيات بمساعدة الأشياء المادية، على سبيل المثال، حالات النظام الميكانيكي والفيزيائي الكيميائي أو مجموعة متنوعة من الأحاسيس اللونية. يشير كل هذا إلى أنه يمكن تفسير بديهيات الهندسة باستخدام كائنات ذات طبيعة مختلفة تمامًا.

تم إعداد هذا النهج التجريدي للبديهيات إلى حد كبير من خلال اكتشاف الهندسة غير الإقليدية بواسطة N. I. Lobachevsky، J. Bolyai، C. F. Gauss و B. Riemann. التعبير الأكثر اتساقا نظرة جديدةعلى البديهيات كأشكال مجردة تسمح بالعديد من التفسيرات المختلفة، الموجودة في العمل الشهير لـ D. Hilbert "أسس الهندسة" (1899). كتب في هذا الكتاب: «نفكر في ثلاثة أنظمة مختلفة للأشياء: نطلق على أشياء النظام الأول نقاط ونشير إلى أ، ب، ج،...؛ نحن نسمي أشياء النظام الثاني مباشرة ونشير إلى a، b، c،...؛ نحن نطلق على أشياء النظام الثالث مستويات ونسميها بـ a، B، y،...". من هذا يتضح أنه يمكننا أن نعني بـ "النقطة" و"الخط المستقيم" و"المستوى" أي نظام من الكائنات. من المهم فقط أن يتم وصف خصائصها من خلال البديهيات المقابلة. ترتبط الخطوة التالية على طريق التجريد من محتوى البديهيات بتمثيلها الرمزي في شكل صيغ، بالإضافة إلى التحديد الدقيق لقواعد الاستدلال تلك التي تصف كيف من بعض الصيغ (البديهيات) صيغ أخرى (نظريات) تم الحصول عليهم. ونتيجة لذلك يتحول الاستدلال الهادف بالمفاهيم في هذه المرحلة من البحث إلى بعض العمليات بالصيغ وفق قواعد مقررة مسبقاً. وبعبارة أخرى، ينعكس التفكير الهادف هنا في حساب التفاضل والتكامل. غالبًا ما تسمى الأنظمة البديهية من هذا النوع بالأنظمة النحوية الرسمية، أو الحسابات.

يتم استخدام جميع الأنواع الثلاثة من البديهيات التي تم النظر فيها العلم الحديث. يتم اللجوء إلى الأنظمة البديهية الرسمية بشكل أساسي عند دراسة الأسس المنطقية لعلم معين. لقد اكتسب مثل هذا البحث نطاقًا أوسع في الرياضيات فيما يتعلق باكتشاف المفارقات في نظرية المجموعات. تلعب الأنظمة الرسمية دورًا مهمًا في إنشاء لغات علمية خاصة، والتي من الممكن من خلالها إزالة الأخطاء في اللغة الطبيعية العادية قدر الإمكان.

يعتبر بعض العلماء أن هذه النقطة هي الشيء الرئيسي تقريبًا في عملية تطبيق الأساليب المنطقية الرياضية في علوم محددة. وهكذا يرى العالم الإنجليزي آي وودجر، وهو أحد رواد استخدام الطريقة البديهية في علم الأحياء، أن تطبيق هذا الأسلوب في علم الأحياء وفروع العلوم الطبيعية الأخرى يتمثل في خلق لغة مثالية علميا يتم فيها حساب التفاضل والتكامل ممكن. أساس بناء مثل هذه اللغة هو طريقة بديهية، يتم التعبير عنها في شكل نظام رسمي، أو حساب التفاضل والتكامل. تعمل الرموز الأولية لنوعين بمثابة الأبجدية للغة الرسمية: المنطقية والفردية.

تمثل الرموز المنطقية الروابط والعلاقات المنطقية المشتركة بين العديد من النظريات أو معظمها. تمثل الرموز الفردية أشياء من النظرية قيد الدراسة، مثل الرياضيات أو الفيزيائية أو البيولوجية. مثلما يشكل تسلسل معين من الحروف الأبجدية كلمة، فإن مجموعة محدودة من الرموز المرتبة تشكل صيغ وتعبيرات لغة رسمية. للتمييز بين التعبيرات ذات المعنى للغة، يتم تقديم مفهوم الصيغة التي تم إنشاؤها بشكل صحيح. لإكمال عملية بناء لغة مصطنعة، يكفي أن نوصف بوضوح قواعد اشتقاق أو تحويل صيغة إلى أخرى وتسليط الضوء على بعض الصيغ التي تم إنشاؤها بشكل صحيح كبديهيات. وهكذا، فإن بناء لغة رسمية يحدث بنفس طريقة بناء نظام بديهي ذو معنى. نظرًا لأن التفكير المنطقي باستخدام الصيغ غير مقبول في الحالة الأولى، فإن الاشتقاق المنطقي للعواقب هنا يتلخص في إجراء عمليات محددة بدقة للتعامل مع الرموز ومجموعاتها.

الغرض الرئيسي من استخدام اللغات الرسمية في العلوم هو التحليل النقدي للمنطق الذي يتم من خلاله الحصول على معرفة جديدة في العلوم. وبما أن اللغات الرسمية تعكس بعض جوانب التفكير الهادف، فيمكن استخدامها أيضًا لتقييم إمكانيات أتمتة النشاط الفكري.

تُستخدم الأنظمة البديهية المجردة على نطاق واسع في الرياضيات الحديثة، والتي تتميز بنهج عام للغاية لموضوع البحث. بدلاً من الحديث عن الأعداد الملموسة، والوظائف، والخطوط، والأسطح، والمتجهات، وما شابه ذلك، يدرس عالم الرياضيات الحديث مجموعات مختلفة من الأشياء المجردة، والتي يتم صياغة خصائصها بدقة عن طريق البديهيات. غالبًا ما تسمى هذه المجموعات أو المجموعات، جنبًا إلى جنب مع البديهيات التي تصفها، بالهياكل الرياضية المجردة.

ما هي المزايا التي ستعطيها الطريقة البديهية للرياضيات؟ أولا، يوسع بشكل كبير نطاق تطبيق الأساليب الرياضية وغالبا ما يسهل عملية البحث. عند دراسة ظواهر وعمليات محددة في منطقة معينة، يمكن للعالم استخدام الأنظمة البديهية المجردة كأدوات تحليل جاهزة. بعد التأكد من أن الظواهر قيد النظر تلبي بديهيات بعض النظريات الرياضية، يمكن للباحث استخدام جميع النظريات التي تتبع من البديهيات على الفور دون عمل إضافي كثيف العمالة. يحفظ النهج البديهي المتخصص في علم معين من إجراء بحث رياضي معقد وصعب إلى حد ما.

بالنسبة لعالم الرياضيات، تتيح هذه الطريقة فهم موضوع البحث بشكل أفضل، وتسليط الضوء على الاتجاهات الرئيسية فيه، وفهم وحدة واتصال الأساليب والنظريات المختلفة. إن الوحدة التي يتم تحقيقها بمساعدة الطريقة البديهية، بالتعبير المجازي لن. بورباكي، ليست الوحدة “التي تعطي هيكلًا عظميًا خاليًا من الحياة. إنه العصير المغذي للجسم في طور النمو الكامل، وأداة بحث مرنة ومثمرة..." بفضل الطريقة البديهية، وخاصة في شكلها الرسمي، يصبح من الممكن الكشف بشكل كامل عن البنية المنطقية نظريات مختلفة. وينطبق هذا في أكمل صوره على النظريات الرياضية. في معرفة العلوم الطبيعية علينا أن نقتصر على تبسيط الجوهر الرئيسي للنظريات. علاوة على ذلك، فإن استخدام الطريقة البديهية يجعل من الممكن التحكم بشكل أفضل في مسار تفكيرنا، وتحقيق الدقة المنطقية اللازمة. لكن القيمة الرئيسيةالبديهية، خاصة في الرياضيات، هي أنها تعمل كوسيلة لدراسة أنماط جديدة، وإقامة روابط بين المفاهيم والنظريات التي بدت في السابق معزولة عن بعضها البعض.

يرجع الاستخدام المحدود للمنهج البديهي في العلوم الطبيعية في المقام الأول إلى حقيقة أن نظرياته يجب أن تخضع باستمرار للمراقبة من خلال التجربة.

ولهذا السبب، فإن نظرية العلوم الطبيعية لا تسعى أبدًا إلى الكمال والعزلة الكاملة. وفي الوقت نفسه، يفضلون في الرياضيات التعامل مع أنظمة البديهيات التي تلبي متطلبات الاكتمال. ولكن كما أظهر K. Gödel، فإن أي نظام ثابت من البديهيات ذات الطبيعة غير التافهة لا يمكن أن يكون كاملاً.

إن شرط اتساق نظام البديهيات أكثر أهمية بكثير من شرط اكتمالها. إذا كان نظام البديهيات متناقضا، فلن يكون له أي قيمة للمعرفة. ومن خلال قصر أنفسنا على الأنظمة غير المكتملة، يمكننا تبسيط المحتوى الرئيسي فقط بشكل طبيعي النظريات العلميةمما يترك إمكانية مواصلة تطوير وصقل النظرية عن طريق التجربة. حتى هذا الهدف المحدود في عدد من الحالات يكون مفيدًا جدًا، على سبيل المثال، لاكتشاف بعض المقدمات والافتراضات الضمنية للنظرية، ومراقبة النتائج التي تم الحصول عليها، وتنظيمها، وما إلى ذلك.

إن التطبيق الواعد للطريقة البديهية هو في تلك العلوم حيث تتمتع المفاهيم المستخدمة باستقرار كبير وحيث يمكن للمرء أن يستخلص من تغيرها وتطورها.

وفي ظل هذه الظروف يصبح من الممكن تحديد الروابط المنطقية الشكلية بين المكونات المختلفة للنظرية. وبالتالي، فإن الطريقة البديهية، إلى حد أكبر من الطريقة الاستنتاجية الافتراضية، يتم تكييفها لدراسة المعرفة الجاهزة والمحققة.

إن تحليل نشوء المعرفة وعملية تكوينها يتطلب اللجوء إلى الديالكتيك المادي باعتباره المذهب الأعمق والأشمل للتنمية.

الطريقة البديهية لبناء النظرية العلمية في الرياضيات

ظهرت الطريقة البديهية في اليونان القديمة، وتستخدم الآن في جميع العلوم النظرية، وخاصة في الرياضيات.

الطريقة البديهية لبناء النظرية العلمية هي كما يلي: يتم تحديد المفاهيم الأساسية، وصياغة بديهيات النظرية، واستنباط جميع العبارات الأخرى منطقيا، بناء عليها.

يتم تسليط الضوء على المفاهيم الرئيسية على النحو التالي. ومن المعلوم أنه يجب شرح مفهوم واحد بمساعدة مفهوم آخر، والذي بدوره يتم تعريفه أيضًا بمساعدة بعض المفاهيم المعروفة. وهكذا نصل إلى مفاهيم أولية لا يمكن تعريفها من خلال الآخرين. وتسمى هذه المفاهيم الأساسية.

عندما نثبت عبارة أو نظرية، فإننا نعتمد على مقدمات تعتبر مثبتة بالفعل. لكن هذه المقدمات تم إثباتها أيضًا، وكان لا بد من تبريرها. وفي النهاية نصل إلى أقوال غير قابلة للإثبات ونقبلها دون دليل. تسمى هذه العبارات البديهيات. يجب أن تكون مجموعة البديهيات بحيث يمكن، بناءً عليها، إثبات المزيد من العبارات.

وبعد تحديد المفاهيم الأساسية وصياغة البديهيات، نقوم بعد ذلك باستخلاص النظريات والمفاهيم الأخرى بطريقة منطقية. هذا هو الهيكل المنطقي للهندسة. البديهيات والمفاهيم الأساسية تشكل أسس علم القياس.

وبما أنه من المستحيل إعطاء تعريف واحد للمفاهيم الأساسية لجميع الأشكال الهندسية، فيجب تعريف المفاهيم الأساسية للهندسة على أنها كائنات من أي طبيعة تلبي بديهيات هذه الهندسة. وهكذا، في البناء البديهي للنظام الهندسي، نبدأ من نظام معين من البديهيات، أو البديهيات. تصف هذه البديهيات خصائص المفاهيم الأساسية للنظام الهندسي، ويمكننا تمثيل المفاهيم الأساسية على شكل كائنات من أي طبيعة كانت لها الخصائص المحددة في البديهيات.

بعد صياغة وإثبات العبارات الهندسية الأولى، يصبح من الممكن إثبات بعض العبارات (النظريات) بمساعدة غيرها. تُنسب أدلة العديد من النظريات إلى فيثاغورس وديموقريطس.

يرجع الفضل إلى أبقراط خيوس في تجميع أول دورة منهجية في الهندسة بناءً على التعريفات والبديهيات. هذه الدورة ومعالجاتها اللاحقة كانت تسمى "العناصر".

ثم في القرن الثالث. قبل الميلاد، ظهر في الإسكندرية كتاب لإقليدس يحمل نفس الاسم، في الترجمة الروسية لكتاب "البدايات". مصطلح "الهندسة الأولية" يأتي من الاسم اللاتيني "البدايات". وعلى الرغم من أن أعمال أسلاف إقليدس لم تصل إلينا، إلا أنه يمكننا تكوين رأي حول هذه الأعمال بناءً على عناصر إقليدس. يوجد في "المبادئ" أقسام قليلة جدًا من الناحية المنطقية مرتبطة بالأقسام الأخرى. لا يمكن تفسير مظهرها إلا من خلال حقيقة أنها تم تقديمها وفقًا للتقاليد ونسخ "عناصر" أسلاف إقليدس.

يتكون كتاب العناصر لإقليدس من 13 كتابًا. الكتب من 1 إلى 6 مخصصة لقياس التخطيط، والكتب من 7 إلى 10 مخصصة للكميات الحسابية وغير القابلة للقياس التي يمكن تكوينها باستخدام البوصلة والمسطرة. تم تخصيص الكتب من 11 إلى 13 للقياس المجسم.

يبدأ كتاب المبادئ بعرض يتضمن 23 تعريفًا و10 بديهيات. البديهيات الخمس الأولى هي "مفاهيم عامة"، والباقي يسمى "المسلمات". تحدد الفرضيتان الأوليان الإجراءات باستخدام المسطرة المثالية، والثالثة - باستخدام البوصلة المثالية. الرابع، "جميع الزوايا القائمة متساوية مع بعضها البعض"، هو زائد عن الحاجة، لأنه يمكن استخلاصه من البديهيات المتبقية. والمسلمة الخامسة والأخيرة تقول: "إذا وقع خط مستقيم على خطين مستقيمين وشكل زوايا داخلية من جانب واحد في مجموع أقل من خطين مستقيمين، فإنهما مع امتداد غير محدود لهذين الخطين المستقيمين سيتقاطعان على الضلع الذي تكون زواياه أقل من خطين مستقيمين."

خمسة" المفاهيم العامة"المبادئ الإقليدية لقياس الأطوال والزوايا والمساحات والأحجام: "المتساويون متساوون لبعضهم البعض"، "إذا أضيفت المتساوية إلى متساوية، كانت المجاميع متساوية"، "إذا طرحت المتساوية من المتساوية، كانت البقايا متساوية"، "أولئك المتحدون مع بعضهم البعض متساوون"، "الكل أكبر من الجزء".

بعد ذلك بدأ انتقاد هندسة إقليدس. تم انتقاد إقليدس لثلاثة أسباب: لأنه أخذ في الاعتبار فقط تلك الكميات الهندسية التي يمكن تكوينها باستخدام البوصلة والمسطرة؛ لأنه فصل بين الهندسة والحساب وأثبت للأعداد الصحيحة ما أثبته بالفعل للكميات الهندسية، وأخيرًا لبديهيات إقليدس. كانت الفرضية الأكثر انتقادًا هي الفرضية الخامسة، وهي الفرضية الأكثر تعقيدًا لإقليدس. اعتبرها الكثيرون غير ضرورية، وأنه يمكن ويجب استنتاجها من البديهيات الأخرى. ورأى آخرون أنه ينبغي الاستعاضة عنه بآخر أبسط وأوضح يعادله: «من نقطة خارج الخط المستقيم لا يمكن رسم أكثر من خط مستقيم واحد في مستواها لا يتقاطع مع الخط المعطى».

أدى انتقاد الفجوة بين الهندسة والحساب إلى توسيع مفهوم العدد إلى عدد حقيقي. أدت الخلافات حول الافتراض الخامس إلى حقيقة أنه في بداية القرن التاسع عشر ن. لوباكزيوسكي، ج. بولياي، وك.ف. قام غاوس ببناء هندسة جديدة تحققت فيها جميع بديهيات هندسة إقليدس، باستثناء المسلمة الخامسة. وتم استبدالها بالعبارة المقابلة: "في المستوى، من خلال نقطة خارج الخط، يمكن رسم أكثر من خط لا يتقاطع مع الخط المعطى". وكانت هذه الهندسة متسقة مثل هندسة إقليدس.

تم بناء نموذج قياس مسطح لوباتشيفسكي على المستوى الإقليدي من قبل عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه في عام 1882.

لنرسم خطًا أفقيًا على المستوى الإقليدي (انظر الشكل 1). ويسمى هذا الخط المطلق (س). نقاط المستوى الإقليدي الواقعة فوق المطلق هي نقاط مستوى لوباتشيفسكي. مستوى لوباتشيفسكي هو نصف مستوى مفتوح يقع فوق المستوى المطلق. المقاطع غير الإقليدية في نموذج بوانكاريه هي أقواس من الدوائر المتمركزة على المطلق أو شرائح من الخطوط المستقيمة المتعامدة مع المطلق (AB، CD). الشكل الموجود على مستوى Lobachevsky هو شكل نصف مستوي مفتوح يقع فوق المطلق (F). الحركة غير الإقليدية هي عبارة عن تركيب لعدد محدود من الانقلابات المتمركزة حول التماثلات المطلقة والمحورية التي تكون محاورها متعامدة مع المطلق. يكون القطعان غير الإقليديان متساويين إذا أمكن نقل أحدهما إلى الآخر بحركة غير إقليدية. هذه هي المفاهيم الأساسية لبديهيات قياس Lobachevsky Planimetry.

جميع بديهيات قياس Lobachevsky Planimetry متسقة. وتعريف الخط المستقيم هو كما يلي: «الخط المستقيم غير الإقليدي هو نصف دائرة طرفيه عند المطلق، أو شعاع بدايته عند المطلق وعمودي على المطلق». وبالتالي، فإن بيان بديهية التوازي لوباشيفسكي يكون راضيًا ليس فقط عن خط ما ونقطة A لا تقع على هذا الخط، ولكن أيضًا لأي خط أ وأي نقطة A لا تقع عليه (انظر الشكل 2).

بعد هندسة لوباتشيفسكي، ظهرت هندسات أخرى متسقة: الهندسة الإسقاطية المنفصلة عن الإقليدية، وظهرت الهندسة الإقليدية متعددة الأبعاد، وظهرت الهندسة الريمانية (النظرية العامة للفراغات مع قانون اعتباطي لقياس الأطوال)، وغيرها من علم الأشكال في ثلاثي الأبعاد الواحد. الفضاء الإقليدي، تحولت الهندسة لمدة 40 إلى 50 عامًا إلى مجموعة من النظريات المختلفة، فقط تشبه إلى حد ما سلفها - الهندسة الإقليدية. 60,896.

تُستخدم هذه الطريقة لبناء نظريات الرياضيات والعلوم الدقيقة. تم تحقيق مزايا هذه الطريقة في القرن الثالث على يد إقليدس عند بناء نظام معرفي للهندسة الأولية. في البناء البديهي للنظريات، يتم تمييز الحد الأدنى من المفاهيم والبيانات الأولية بدقة عن الباقي. تُفهم النظرية البديهية على أنها نظام علمي، تُشتق جميع أحكامه بشكل منطقي بحت من مجموعة معينة من الأحكام المقبولة في هذا النظام دون دليل وتسمى البديهيات، ويتم اختزال جميع المفاهيم إلى فئة ثابتة معينة من المفاهيم تسمى غير قابلة للتعريف. يتم تعريف النظرية إذا تم تحديد نظام البديهيات ومجموعة الوسائل المنطقية المستخدمة - قواعد الاستدلال. المفاهيم المشتقة في النظرية البديهية هي اختصارات لمجموعات من المفاهيم الأساسية. يتم تحديد مقبولية المجموعات من خلال البديهيات وقواعد الاستدلال. وبعبارة أخرى، فإن التعريفات في النظريات البديهية هي تعريفات اسمية.

يجب أن تكون البديهية أقوى منطقيًا من العبارات الأخرى المشتقة منها كعواقب. من المحتمل أن يحتوي نظام بديهيات النظرية على جميع العواقب أو النظريات التي يمكن إثباتها بمساعدتها. وهكذا يتركز فيه كل المحتوى الأساسي للنظرية. اعتمادا على طبيعة البديهيات ووسائل الاستدلال المنطقي، يتم التمييز بين ما يلي:

• 1) الأنظمة البديهية الرسمية، حيث تكون البديهيات صيغًا أولية، ويتم الحصول على النظريات منها وفقًا لقواعد تحويل معينة ومدرجة بدقة، ونتيجة لذلك يتحول بناء النظام إلى نوع من التلاعب بالصيغ. يعد اللجوء إلى مثل هذه الأنظمة ضروريًا لتقديم المقدمات الأولية للنظرية والوسائل المنطقية للاستنتاج بأكبر قدر ممكن من الدقة. البديهيات. أدى فشل محاولات لوباتشيفسكي لإثبات بديهية إقليدس الموازية إلى اقتناعه بإمكانية وجود هندسة أخرى. لو كانت عقيدة البديهيات والمنطق الرياضي موجودة في ذلك الوقت، لكان من السهل تجنب البراهين الخاطئة؛
• 2) الأنظمة البديهية شبه الرسمية أو المجردة، التي لا تؤخذ فيها وسائل الاستدلال المنطقي في الاعتبار، ولكن يُفترض أنها معروفة، والبديهيات نفسها، على الرغم من أنها تسمح بالعديد من التفسيرات، لا تعمل كصيغ. عادة ما يتم التعامل مع مثل هذه الأنظمة في الرياضيات؛
• 3) النظم البديهية ذات المعنى تفترض تفسيرا واحدا، ووسائل الاستدلال المنطقي معروفة؛ تستخدم لتنظيم المعرفة العلمية في العلوم الطبيعية الدقيقة وغيرها من العلوم التجريبية المتقدمة.

هناك فرق كبير بين البديهيات الرياضية والبديهيات التجريبية هو أيضًا أنها تتمتع باستقرار نسبي، بينما في النظريات التجريبية يتغير محتواها مع اكتشاف نتائج مهمة جديدة للبحث التجريبي. يجب أن نأخذها في الاعتبار باستمرار عند تطوير النظريات، وبالتالي فإن الأنظمة البديهية في مثل هذه العلوم لا يمكن أن تكون كاملة أو مغلقة للاشتقاق.

يعتبر المنهج البديهي أحد طرق بناء النظريات العلمية استنتاجيا، وفيه:
1. يتم اختيار مجموعة معينة من الافتراضات لنظرية معينة (بديهيات) مقبولة دون دليل؛
2. المفاهيم الواردة فيها ليست محددة بشكل واضح في إطار هذه النظرية؛
3. قواعد التعريف وقواعد اختيار نظرية معينة ثابتة، مما يسمح للمرء بإدخال مصطلحات (مفاهيم) جديدة في النظرية واستنتاج بعض المقترحات من البعض الآخر بشكل منطقي؛
4. جميع الافتراضات الأخرى لهذه النظرية (النظرية) مستمدة من 1 على أساس 3.

في الرياضيات، نشأت AM في أعمال علماء الهندسة اليونانيين القدماء. رائع، بقي الوحيد حتى القرن التاسع عشر. كان نموذج استخدام AM هندسيًا. النظام المعروف باسم "بدايات" إقليدس (حوالي 300 قبل الميلاد). على الرغم من أن مسألة وصف المنطق لم تطرح بعد في ذلك الوقت. الوسائل المستخدمة لاستخراج نتائج ذات معنى من البديهيات، في النظام الإقليدي، تم بالفعل تنفيذ فكرة الحصول على المحتوى الأساسي الكامل للهندسة بشكل واضح تمامًا. النظريات بطريقة استنتاجية بحتة من عدد معين وصغير نسبيًا من العبارات - البديهيات التي بدت حقيقتها واضحة تمامًا.

الافتتاح في البداية القرن ال 19 كانت الهندسة غير الإقليدية لـ N. I. Lobachevsky وJ. Bolyai هي الدافع لمزيد من التطوير لـ AM. لقد أثبتوا أنه، ليحل محل الافتراض المعتاد، والذي يبدو أنه مسلمة V الوحيدة "الصحيحة موضوعيًا" لإقليدس حول أوجه التشابه مع نفيها، يمكنك تطوير منطقي بحت. بواسطة هندسية وهي نظرية متناغمة وغنية المحتوى مثل هندسة إقليدس. هذه الحقيقة أجبرت علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر. إيلاء اهتمام خاص للطريقة الاستنتاجية لبناء الرياضيات. النظريات التي أدت إلى ظهور مشاكل جديدة مرتبطة بمفهوم الرياضيات الرياضية ذاته والرياضيات الرسمية (البديهية). نظريات. كما تراكمت الخبرة البديهية. عرض رياضي النظريات - هنا من الضروري أن نلاحظ، أولاً وقبل كل شيء، الانتهاء من بناء لا تشوبه شائبة منطقيًا (على عكس عناصر إقليدس) للهندسة الأولية [M. Pash (M. Pasch)، J. Peano (G. Peano)، D. Hilbert (D. Hilbert)] والمحاولات الأولى لتبسيط الحساب (J. Peano)، - تم توضيح مفهوم البديهيات الرسمية. الأنظمة (انظر أدناه)؛ نشأت ميزة محددة. المشاكل على أساسها ما يسمى نظرية الأدلةباعتبارها القسم الرئيسي في الرياضيات الحديثة. منطق.

نشأ فهم الحاجة إلى إثبات الرياضيات والمهام المحددة في هذا المجال بشكل أكثر أو أقل وضوحًا بالفعل في القرن التاسع عشر. في الوقت نفسه، من ناحية، تم إجراء توضيح المفاهيم الأساسية وتقليل المفاهيم الأكثر تعقيدا إلى أبسطها على أساس دقيق ومنطقي أكثر صرامة. وصول. في مجال التحليل [A. Cauchy، المفاهيم النظرية الوظيفية لـ B. Bolzano وK. Weierstrass، سلسلة متصلة من G. Cantor وR. Dedekind (R.Dedekind)]؛ ومن ناحية أخرى، فإن اكتشاف الهندسة غير الإقليدية حفز تطور الرياضيات الرياضية، وظهور أفكار جديدة وصياغة مشاكل ما وراء الرياضيات الأكثر عمومية. الشخصية، أولا وقبل كل شيء، هي المشاكل المرتبطة بمفهوم البديهية التعسفية. النظريات، مثل مشاكل الاتساق والاكتمال والاستقلالية لنظام معين من البديهيات. تم التوصل إلى النتائج الأولى في هذا المجال من خلال طريقة التفسير، والتي يمكن وصفها تقريبًا على النحو التالي. دع كل مفهوم أولي وعلاقة بديهية معينة. يتم وضع النظرية T بالتوافق مع نظرية رياضية محددة. شيء. يسمى جمع هذه الأشياء. مجال التفسير. إن كل بيان للنظرية T يرتبط الآن بشكل طبيعي ببيان معين حول عناصر مجال التفسير، والذي يمكن أن يكون صحيحًا أو خاطئًا. ومن ثم يقال إن عبارة النظرية T صحيحة أو خاطئة، على التوالي، بموجب هذا التفسير. إن مجال التفسير وخصائصه نفسها عادة ما تكون موضوع دراسة نظرية رياضية، وبشكل عام نظرية رياضية أخرى. النظرية T 1، على وجه الخصوص، يمكن أن تكون بديهية أيضًا. تسمح لنا طريقة التفسير بإثبات حقيقة الاتساق النسبي بالطريقة التالية، أي إثبات افتراضات مثل: "إذا كانت النظرية T 1 متسقة، فإن النظرية T متسقة أيضًا". دع النظرية T تفسر في النظرية T 1 بحيث يتم تفسير جميع بديهيات النظرية T من خلال الأحكام الحقيقية للنظرية T 1 . ثم كل نظرية للنظرية T، أي كل عبارة A تستنتج منطقيا من البديهيات في T، تفسر في T 1 بعبارة معينة تستنتج في T 1 من تفسيرات البديهيات أنا،وبالتالي صحيح. يعتمد البيان الأخير على افتراض آخر نفترضه ضمنيًا بوجود تشابه معين في المنطق. وسائل النظريات T و T 1، ولكن في الممارسة العملية عادة ما يتم استيفاء هذا الشرط. (في فجر تطبيق طريقة التفسير، لم يتم حتى التفكير في هذا الافتراض على وجه التحديد: لقد تم اعتباره أمرا مفروغا منه؛ في الواقع، في حالة التجارب الأولى، كانت براهين النظريات حول الاتساق النسبي للمنطق المنطقي وسائل النظريات T و T 1 تزامنت ببساطة - كان هذا هو المنطق الكلاسيكي للمسندات. ) الآن دع النظرية T متناقضة، أي أنه يمكن استنتاج بعض التأكيد A لهذه النظرية إلى جانب نفيها. ومن ثم يترتب على ما سبق أن الأقوال وستكون في نفس الوقت أقوالا صحيحة للنظرية ت1، أي أن النظرية ت1 متناقضة. وقد تم إثبات هذه الطريقة، على سبيل المثال، [F. Klein (F. Klein)، A. Poincare (N. Poincare)] اتساق هندسة لوباتشيفسكي غير الإقليدية على افتراض أن الهندسة الإقليدية متسقة؛ وتم تقليص مسألة اتساق بديهيات هيلبرت للهندسة الإقليدية (د. هيلبرت) إلى مشكلة اتساق الحساب. تتيح لنا طريقة التفسير أيضًا حل مسألة استقلال أنظمة البديهيات: إثبات أن بديهية النظرية T لا تعتمد على البديهيات الأخرى لهذه النظرية، أي أنها لا يمكن استنتاجها منها، و، لذلك، من الضروري الحصول على النطاق الكامل لهذه النظرية، ويكفي إنشاء مثل هذا التفسير للنظرية T، حيث تكون البديهية أبيل خاطئة، وجميع البديهيات الأخرى لهذه النظرية صحيحة. شكل آخر من أشكال هذه الطريقة لإثبات الاستقلال هو إنشاء اتساق النظرية، والذي يتم الحصول عليه إذا تم استبدال TaxiomA في نظرية معينة بنفيها. إن الاختزال المذكور أعلاه لمشكلة اتساق هندسة لوباتشيفسكي في مشكلة اتساق الهندسة الإقليدية، وهذه الأخيرة - في مسألة اتساق الحساب، يؤدي إلى القول بأن مسلمة إقليدس لا يمكن استنتاجها من البديهيات الأخرى للهندسة، ما لم يكن الحساب متسقا الأعداد الطبيعية. تكمن نقطة الضعف في طريقة التفسير في أنه في مسائل الاتساق والاستقلالية للأنظمة البديهية، فإنها تجعل من الممكن الحصول على نتائج ذات طبيعة نسبية فقط. لكن الإنجاز المهم لهذه الطريقة هو حقيقة أنه بمساعدتها تم الكشف عن الدور الخاص للحساب كعلم رياضي على أساس دقيق إلى حد ما. النظريات، سؤال مماثل لعدد من النظريات الأخرى يتلخص في مسألة الاتساق.

مزيد من التطوير- وبمعنى ما كانت هذه الذروة - وردت في أعمال د. هيلبرت ومدرسته في شكل ما يسمى ب. طريقة الشكليةفي أسس الرياضيات. وفي إطار هذا الاتجاه تم تطوير المرحلة التالية في توضيح مفهوم البديهيات. النظريات، وهي المفهوم النظام الرسمي.ونتيجة لهذا التوضيح أصبح من الممكن تمثيل الرياضيات نفسها. النظريات الرياضية الدقيقة الأشياء وبناء نظرية عامة، أو ما وراء النظرية,مثل هذه النظريات. في الوقت نفسه، بدا الاحتمال مغريا (وكان د. هيلبرت مفتونا به في وقت واحد) لحل جميع الأسئلة الرئيسية حول أساس الرياضيات على هذا المسار. المفهوم الرئيسي لهذا الاتجاه هو مفهوم النظام الرسمي. يتم إنشاء أي نظام رسمي كفئة محددة بدقة من التعبيرات - الصيغ، حيث يتم تمييز فئة فرعية من الصيغ، تسمى الصيغ، بطريقة دقيقة معينة. نظريات هذا النظام الرسمي. في الوقت نفسه، لا تحمل صيغ النظام الرسمي أي معنى ذي معنى بشكل مباشر، ويمكن بناؤها من أيقونات أو رموز أولية اعتباطية، بشكل عام، تسترشد فقط باعتبارات الملاءمة التقنية. في الواقع، يتم اختيار طريقة بناء الصيغ ومفهوم نظرية نظام صوري معين بطريقة يمكن من خلالها استخدام هذا الجهاز الشكلي بأكمله للتعبير، ربما بشكل أكمل وأكثر اكتمالًا، عن رياضيات معينة (وغير رياضية) ) النظرية، على نحو أدق، باعتبارها واقعية المحتوى وبنيته الاستنتاجية. المخطط العام لبناء (تحديد) نظام رسمي تعسفي S هو كما يلي.

I. لغة النظام S:

أ) الأبجدية - قائمة الرموز الأولية للنظام؛

ب) قواعد التكوين (بناء الجملة) - القواعد التي بموجبها يتم إنشاء صيغ النظام S من الرموز الأولية؛ في هذه الحالة، يعتبر تسلسل الرموز الأولية صيغة إذا وفقط إذا كان من الممكن إنشاؤها باستخدام قواعد التكوين .

ثانيا. بديهيات النظام S. يتم تحديد مجموعة معينة من الصيغ (عادة ما تكون محدودة أو قابلة للعد)، والتي تسمى. بديهيات النظام س.

ثالثا. قواعد سحب النظام س.يتم تثبيت مجموعة من المسندات (عادةً ما تكون محدودة) على مجموعة جميع صيغ النظام س.دع - ك.-ل. من هذه المسندات، إذا كان البيان صحيحا لهذه الصيغ، فإنهم يقولون أن الصيغة تتبع مباشرة من الصيغ وفقا للقاعدة

7. نظرية الاحتمالات:

نظرية الاحتمالات -علم رياضي يدرس الأنماط في الظواهر العشوائية. أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات هو المفهوم حدث عشوائي (أو ببساطة الأحداث ).

حدثهي أي حقيقة قد تحدث أو لا تحدث نتيجة للتجربة. أمثلة على الأحداث العشوائية: سقوط ستة عند رمي النرد، فشل الجهاز الفني، تشويه الرسالة عند إرسالها عبر قناة اتصال. ترتبط بعض الأحداث أعداد ، الذي يصف درجة الاحتمال الموضوعي لحدوث هذه الأحداث، يسمى احتمالات الأحداث .

هناك عدة طرق لمفهوم "الاحتمال".

يعتمد البناء الحديث لنظرية الاحتمالات على النهج البديهي ويستند إلى المفاهيم الأولية لنظرية المجموعات. ويسمى هذا النهج نظرية المجموعة.

دع بعض التجارب يتم تنفيذها بنتيجة عشوائية. خذ بعين الاعتبار المجموعة W لجميع النتائج المحتملة للتجربة؛ سوف نسمي كل عنصر من عناصره الحدث الابتدائيوالمجموعة Ω هي مساحة الأحداث الأولية. أي حدث أفي التفسير النظري للمجموعات هناك مجموعة فرعية معينة من المجموعة Ω: .

موثوقيسمى الحدث W الذي يحدث في كل تجربة.

مستحيليسمى الحدث Æ، والذي لا يمكن أن يحدث نتيجة للتجربة.

غير متوافقهي أحداث لا يمكن أن تحدث في وقت واحد في نفس التجربة.

كمية(جمع) بين حدثين أو ب(يعني أ+ب, أÈ ب) هو حدث يتكون من وقوع حدث واحد على الأقل، أي. أأو ب، أو كليهما في نفس الوقت.

العمل(تقاطع) حدثين أو ب(يعني أ× ب, أÇ ب) هو حدث حيث يقع كلا الحدثين أو بمعاً.

عكسإلى الحدث أويسمى مثل هذا الحدث، وهو هذا الحدث ألا يحدث.

الأحداث ك(ك=1, 2, …, ن) استمارة مجموعة كاملة ، إذا كانا غير متوافقين بشكل زوجي ويشكلان حدثًا موثوقًا به.

احتمالية وقوع الحدثأيسمون نسبة عدد النتائج المفضلة لهذا الحدث إلى العدد الإجمالي لجميع النتائج الأولية غير المتوافقة المحتملة والتي تشكل المجموعة الكاملة. لذلك، يتم تحديد احتمال الحدث A بواسطة الصيغة

حيث m هو عدد النتائج الأولية المفضلة لـ A؛ n هو عدد جميع نتائج الاختبار الابتدائي الممكنة.

هنا يفترض أن النتائج الأولية غير متوافقة وممكنة بشكل متساوي وتشكل مجموعة كاملة. الخصائص التالية تتبع من تعريف الاحتمال:
المادة الخاصة به 1. احتمال وقوع حدث موثوق يساوي واحدًا.في الواقع، إذا كان الحدث موثوقًا به، فإن كل نتيجة أولية للاختبار تفضل الحدث. في هذه الحالة م = ن، لذلك،

ف (أ) = م / ن = ن / ن = 1.

S في حوالي مع t في حوالي 2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.في الواقع، إذا كان حدث ما مستحيلًا، فلن تكون أي من النتائج الأولية للاختبار لصالح الحدث. في هذه الحالة م = 0، وبالتالي،

ف (أ) = م / ن = 0 / ن = 0.

مع حوالي مع t في حوالي 3. احتمال وقوع حدث عشوائي هو رقم موجب يقع بين صفر وواحد.في الواقع، فإن الحدث العشوائي يفضل جزءًا فقط من الرقم الإجمالينتائج الاختبار الابتدائي. في هذه الحالة 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 <Р (А) < 1

لذا فإن احتمال أي حدث يحقق المتباينة المزدوجة