أمثلة على الحلول. تكاملات الدوال المثلثية

ستكون هناك أيضًا مشكلات يتعين عليك حلها بنفسك، ويمكنك رؤية الإجابات عليها.

يمكن تحويل التكامل من منتج الدوال المثلثية إلى المجموع

دعونا نفكر في التكاملات التي يكون التكامل فيها هو حاصل ضرب جيب التمام وجيب التمام من الدرجة الأولى لـ x مضروبًا في عوامل مختلفة، أي تكاملات النموذج

استخدام الصيغ المثلثية المعروفة

(2)
(3)
(4)
يمكن تحويل كل منتج من تكاملات الشكل (31) إلى مجموع جبري وتكامله حسب الصيغ

(5)

(6)

مثال 1.يجد

حل. وفقا للصيغة (2) في

مثال 2.يجد تكامل الدالة المثلثية

حل. وفقا للصيغة (3) في

مثال 3.يجد تكامل الدالة المثلثية

حل. وفقا للصيغة (4) في نحصل على التحويل التالي للتكامل:

وبتطبيق الصيغة (6) نحصل على

تكامل حاصل ضرب قوى الجيب وجيب التمام لنفس الحجة

دعونا الآن نفكر في تكاملات الدوال التي هي حاصل ضرب قوى الجيب وجيب التمام لنفس الحجة، أي.

(7)

وفي حالات خاصة، أحد المؤشرات ( مأو ن) قد يكون صفراً.

عند دمج مثل هذه الوظائف، يتم استخدامه أنه يمكن التعبير عن القوة الزوجية لجيب التمام من خلال جيب التمام، ويكون تفاضل الجيب مساويًا لجيب التمام × دي إكس(أو حتى قوة الجيب يمكن التعبير عنها بدلالة جيب التمام، والتفاضل في جيب التمام يساوي - الخطيئة × دي إكس ) .

وينبغي التمييز بين حالتين: 1) واحد على الأقل من المؤشرات مو نغريب؛ 2) كلا المؤشرين متساويان.

لتكن الحالة الأولى هي المؤشر ن = 2ك+ 1 - غريب. ثم نظرا لذلك

يتم تقديم التكامل بطريقة يكون جزء منها دالة للجيب فقط، والآخر هو تفاضل الجيب. الآن باستخدام استبدال متغير ر= خطيئة سالحل يقلل من تكامل كثير الحدود فيما يتعلق ر. إلا إذا كانت الدرجة مأمر غريب، ثم يفعلون الشيء نفسه، ويعزلون عامل الخطيئة س، معبراً عن بقية التكامل بدلالة cos سوالاعتقاد ر=cos س. يمكن أيضًا استخدام هذه التقنية عندما دمج قوى حاصل الجيب وجيب التمام ، متى واحد على الأقل من المؤشرات غريب . بيت القصيد هو أن حاصل قسمة قوى الجيب وجيب التمام هو حالة خاصة لناتجهما : عندما تكون الدالة المثلثية في مقام التكامل تكون درجتها سالبة. ولكن هناك أيضًا حالات لدوال مثلثية جزئية، عندما تكون قواها متساوية فقط. عنهم - في الفقرة التالية.

إذا كان كلا المؤشرين مو ن- حتى باستخدام الصيغ المثلثية

تقليل أسس الجيب وجيب التمام، وبعد ذلك يتم الحصول على تكامل من نفس النوع المذكور أعلاه. ولذلك ينبغي أن يستمر التكامل وفق نفس المخطط. إذا كان أحد الأسس الزوجية سالبًا، أي أنه يتم أخذ حاصل الضرب الزوجي لقوى الجيب وجيب التمام في الاعتبار، فإن هذا المخطط غير مناسب . ثم يتم استخدام تغيير المتغير اعتمادًا على كيفية تحويل التكامل. سيتم النظر في مثل هذه الحالة في الفقرة التالية.

مثال 4.يجد تكامل الدالة المثلثية

حل. الأس جيب التمام غريب. لذلك، دعونا نتخيل

ر= خطيئة س(ثم dt=cos س dx ). ثم نحصل

وبالعودة إلى المتغير القديم، نجد أخيرا

مثال 5.يجد تكامل الدالة المثلثية

حل. أس جيب التمام، كما في المثال السابق، غريب، ولكنه أكبر. دعونا نتخيل

وإجراء تغيير المتغير ر= خطيئة س(ثم dt=cos س dx ). ثم نحصل

دعونا نفتح الأقواس

ونحصل

وبالعودة إلى المتغير القديم، حصلنا على الحل

مثال 6.يجد تكامل الدالة المثلثية

حل. أسس الجيب وجيب التمام متساوية. لذلك نقوم بتحويل الدالة التكاملية كما يلي:

ثم نحصل

في التكامل الثاني نقوم بتغيير المتغير، الإعداد ر= الخطيئة2 س. ثم (1/2)dt= كوس2 س dx . لذلك،

أخيرا وصلنا

استخدام طريقة الاستبدال المتغير

طريقة الاستبدال المتغيرةعند تكامل الدوال المثلثية، يمكن استخدامه في الحالات التي يحتوي فيها التكامل على جيب التمام فقط أو جيب التمام فقط، منتج الجيب وجيب التمام، حيث يكون الجيب أو جيب التمام في الدرجة الأولى، الظل أو ظل التمام، وكذلك حاصل قسمة حتى قوى الجيب وجيب التمام لنفس الحجة. في هذه الحالة، من الممكن إجراء التباديل ليس فقط الخطيئة س = روالخطيئة س = ر، ولكن أيضًا تيراغرام س = رو CTG س = ر .

مثال 8.يجد تكامل الدالة المثلثية

حل. دعونا نغير المتغير: , ثم . يمكن دمج التكامل الناتج بسهولة باستخدام جدول التكاملات:

مثال 9.يجد تكامل الدالة المثلثية

حل. دعونا نحول الظل إلى نسبة الجيب وجيب التمام:

دعونا نغير المتغير: , ثم . التكامل الناتج هو تكامل الجدولمع علامة ناقص:

وبالعودة إلى المتغير الأصلي، نحصل أخيرا على:

مثال 10.يجد تكامل الدالة المثلثية

حل. دعونا نغير المتغير: ثم .

دعونا نحول التكامل لتطبيق الهوية المثلثية :

نقوم بتغيير المتغير، دون أن ننسى وضع علامة الطرح أمام التكامل (انظر أعلاه، ما يساوي dt). بعد ذلك، نقوم بتحليل التكامل والتكامل باستخدام الجدول:

وبالعودة إلى المتغير الأصلي، نحصل أخيرا على:

أوجد تكامل الدالة المثلثية بنفسك، ثم انظر إلى الحل

الاستبدال المثلثي العالمي

الاستبدال المثلثي العالمي يمكن استخدامه في الحالات التي لا يندرج فيها التكامل ضمن الحالات التي تمت مناقشتها في الفقرات السابقة. في الأساس، عندما يكون جيب التمام أو جيب التمام (أو كليهما) في مقام الكسر. لقد ثبت أنه يمكن استبدال الجيب وجيب التمام بتعبير آخر يحتوي على ظل نصف الزاوية الأصلية كما يلي:

لكن لاحظ أن الاستبدال المثلثي العام غالبًا ما يستلزم تحويلات جبرية معقدة جدًا، لذلك من الأفضل استخدامه عندما لا تنجح أي طريقة أخرى. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة التي يتم فيها استخدام الاستبدال تحت العلامة التفاضلية وطريقة المعاملات غير المحددة، إلى جانب الاستبدال المثلثي الشامل.

مثال 12.يجد تكامل الدالة المثلثية

حل. حل. دعونا نستفيد الاستبدال المثلثي العالمي. ثم
.

نضرب الكسور في البسط والمقام في ، ونخرج الاثنين ونضعهما أمام علامة التكامل. ثم

لتكامل الدوال العقلانية من النموذج R(sin x, cos x)، يتم استخدام الاستبدال، وهو ما يسمى الاستبدال المثلثي العالمي. ثم . غالبًا ما يؤدي الاستبدال المثلثي الشامل إلى عمليات حسابية كبيرة. ولذلك، كلما أمكن ذلك، استخدم البدائل التالية.

تكامل الدوال التي تعتمد عقلانيا على الدوال المثلثية

1. تكاملات النموذج ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , ن> 0
أ) إذا كانت n فردية، فيجب إدخال قوة واحدة لـ sinx (أو cosx) تحت إشارة التفاضل، ومن القوة الزوجية المتبقية يجب تمريرها إلى الدالة المعاكسة.
ب) إذا كانت n زوجية، فإننا نستخدم صيغًا لتقليل الدرجة
2. تكاملات النموذج ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , حيث n عدد صحيح.
يجب استخدام الصيغ

3. تكاملات النموذج ∫ sin n x cos m x dx
أ) دع m و n يكونان من تكافؤات مختلفة. نستخدم التعويض t=sin x إذا كان n فرديًا أو t=cos x إذا كان m فرديًا.
ب) إذا كان m وn متساويين، فإننا نستخدم صيغًا لتقليل الدرجة
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. تكاملات النموذج

إذا كان العددان m وn لهما نفس التكافؤ، فإننا نستخدم التعويض t=tg x. غالبًا ما يكون من المناسب استخدام تقنية الوحدة المثلثية.
5. ∫ cos(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

دعونا نستخدم الصيغ لتحويل منتج الدوال المثلثية إلى مجموعها:

الخطيئة α cos β = ½(الخطيئة (α+β)+الخطيئة (α-β))
cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
الخطيئة α الخطيئة β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

أمثلة
1. احسب التكامل ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
نقوم بالتعويض cos(x)=t. ثم ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. احسب التكامل.
بإجراء الاستبدال sin x=t نحصل عليه

3. أوجد التكامل.
نقوم بالاستبدال tg(x)=t . استبدال، نحصل على

تكامل التعبيرات بالشكل R(sinx, cosx)

المثال رقم 1. حساب التكاملات:

حل.
أ) تكامل تعبيرات النموذج R(sinx, cosx)، حيث R هي دالة كسرية لـ sin x وcos x، يتم تحويلها إلى تكاملات الدوال الكسرية باستخدام الاستبدال المثلثي الشامل tg(x/2) = t.
ثم لدينا

يتيح الاستبدال المثلثي الشامل الانتقال من تكامل الشكل ∫ R(sinx, cosx) dx إلى تكامل دالة عقلانية كسرية، ولكن غالبًا ما يؤدي هذا الاستبدال إلى تعبيرات مرهقة. في ظل ظروف معينة، تكون البدائل الأبسط فعالة:

إذا كانت المساواة R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx مستوفاة، فسيتم تطبيق الاستبدال cos x = t.
إذا كانت المساواة R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx صحيحة، فإن الاستبدال sin x = t.
إذا كانت المساواة R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx صحيحة، فإن الاستبدال tgx = t أو ctg x = t.

في هذه الحالة، للعثور على التكامل

دعونا نطبق الاستبدال المثلثي العالمي tg(x/2) = t.
ثم أجب:

يتم عرض الصيغ المثلثية الأساسية والبدائل الأساسية. تم توضيح طرق تكامل الدوال المثلثية - تكامل الدوال العقلانية، وحاصل ضرب دوال القوة لـ sin x وcos x، وحاصل ضرب كثيرة الحدود، والأسي وجيب التمام أو جيب التمام، وتكامل الدوال المثلثية العكسية. تتأثر الطرق غير القياسية.

محتوى

الطرق القياسية لدمج الدوال المثلثية

النهج العام

أولاً، إذا لزم الأمر، يجب تحويل التكامل بحيث تعتمد الدوال المثلثية على وسيطة واحدة، وهي نفس متغير التكامل.

على سبيل المثال، إذا كان التكامل يعتمد على الخطيئة (س + أ)و كوس (س + ب)، فيجب عليك إجراء التحويل:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = كوس (س+أ) كوس (ب-أ) + الخطيئة ( x+a ) الخطيئة (ب-أ).
ثم قم بالتعويض z = x+a.

عندما تعتمد الدوال المثلثية على وسيطة واحدة تتزامن مع متغير التكامل (على سبيل المثال، z)، أي أن التكامل يتكون فقط من دوال مثل الخطيئة ض, كوس ض, تيراغرام ض, سي تي جي ض، فأنت بحاجة إلى إجراء استبدال
.
يؤدي هذا الاستبدال إلى تكامل الوظائف العقلانية أو غير العقلانية (إذا كانت هناك جذور) ويسمح للمرء بحساب التكامل إذا تم دمجه في الوظائف الأولية.

ومع ذلك، يمكنك غالبًا العثور على طرق أخرى تسمح لك بتقييم التكامل بطريقة أقصر، استنادًا إلى تفاصيل التكامل. وفيما يلي ملخص لهذه الأساليب الرئيسية.

طرق لتكامل الوظائف العقلانية لـ sin x وcos x

وظائف عقلانية من الخطيئة سو كوس سهي وظائف تشكلت من الخطيئة س, كوس سوأي ثوابت تستخدم عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والرفع إلى قوة عدد صحيح. وقد تم تصنيفهم على النحو التالي: ر (الخطيئة س، كوس س).
قد يشمل هذا أيضًا الظل وظل التمام، حيث يتم تشكيلهما بقسمة جيب التمام على جيب التمام والعكس.
.

تكاملات الوظائف العقلانية لها الشكل:
طرق دمج الدوال المثلثية العقلانية هي كما يلي.
1) الاستبدال يؤدي دائمًا إلى تكامل الكسر النسبي. ومع ذلك، في بعض الحالات، هناك بدائل (هذه معروضة أدناه) تؤدي إلى حسابات أقصر. (الخطيئة س، كوس س) 2) إذا ر الخطيئة س.
كوس س → - كوس س (الخطيئة س، كوس س) 3) إذا ر مضروبًا في -1 عند الاستبدالالخطيئة س → - الخطيئة س كوس س.
، ثم الاستبدال t = (الخطيئة س، كوس س) 4) إذا ر 2) إذا رلا يتغير كما هو الحال مع الاستبدال المتزامن مضروبًا في -1 عند الاستبدال، و ، ثم الاستبدال t =تيراغرام س أو ر =.

سي تي جي ×
, , .

أمثلة:

منتج وظائف الطاقة لـ cos x وsin x

تكاملات النموذج

هي تكاملات الدوال المثلثية العقلانية. ولذلك، يمكن تطبيق الأساليب الموضحة في القسم السابق عليها. وتناقش أدناه الطرق القائمة على تفاصيل هذه التكاملات. الخطيئة ستيراغرام س كوس سإذا كان m وn عددين نسبيين، فإن أحد البدائل t =

يتم تقليل التكامل إلى تكامل ذات الحدين التفاضلي.

;
;
;
.

إذا كان m وn أعدادًا صحيحة، فسيتم إجراء التكامل باستخدام صيغ الاختزال:
.

مثال:

تكاملات منتج كثير الحدود وجيب التمام أو جيب التمام
, ,
تكاملات النموذج:

;
.

سي تي جي ×
, .

حيث P(x) هي كثيرة الحدود في x، ومتكاملة بالأجزاء. وهذا ينتج الصيغ التالية:

تكاملات منتج كثير الحدود وجيب التمام أو جيب التمام
, ,
تكاملات منتج كثير الحدود، الأسي والجيب أو جيب التمام
حيث P(x) هي كثيرة الحدود في x، متكاملة باستخدام صيغة أويلر إياكس =فأس كوس + فأس إيسين 1 ).
(حيث أنا 2 = -
.
ومن خلال فصل الأجزاء الحقيقية والتخيلية عن النتيجة، يتم الحصول على التكاملات الأصلية.

إذا كان m وn أعدادًا صحيحة، فسيتم إجراء التكامل باستخدام صيغ الاختزال:
.

الطرق غير القياسية لدمج الدوال المثلثية

فيما يلي عدد من الطرق غير القياسية التي تسمح لك بتنفيذ أو تبسيط تكامل الدوال المثلثية.

الاعتماد على (أ الخطيئة x + ب كوس x)

إذا كان التكامل يعتمد فقط على أ الخطيئة س + ب كوس سفمن المفيد تطبيق الصيغة:
,
أين .

على سبيل المثال

حل الكسور من الجيب وجيب التمام إلى كسور أبسط

النظر في التكامل
.
إن أبسط طريقة للتكامل هي تحليل الكسر إلى أجزاء أبسط باستخدام التحويل:
خطيئة(أ - ب) = خطيئة(س + أ - (س + ب)) = الخطيئة(س+أ) كوس(س+ب) - كوس (س + أ) الخطيئة (س + ب)

تكامل الكسور من الدرجة الأولى

عند حساب التكامل
,
من الملائم عزل الجزء الصحيح من الكسر ومشتقة المقام
أ 1 خطيئة س + ب 1 كوس س =أ (أ الخطيئة س + ب كوس س) +ب (أ الخطيئة س + ب كوس س)' .
تم العثور على الثوابت A و B من خلال مقارنة الجانبين الأيسر والأيمن.

الأدب المستخدم:
ن.م. غونتر، آر.أو. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.

أنظر أيضا:

تكاملات الدوال المثلثية.
أمثلة على الحلول

في هذا الدرس سوف نلقي نظرة على تكاملات الدوال المثلثية، أي أن ملء التكاملات سيكون الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في مجموعات مختلفة. سيتم تحليل جميع الأمثلة بالتفصيل، ويمكن الوصول إليها ومفهومة حتى بالنسبة لإبريق الشاي.

لدراسة تكاملات الدوال المثلثية بنجاح، يجب أن يكون لديك فهم جيد لأبسط التكاملات، بالإضافة إلى إتقان بعض تقنيات التكامل. يمكنك التعرف على هذه المواد في المحاضرات تكامل غير محدد. أمثلة على الحلولو .

والآن نحتاج إلى: جدول التكاملات, جدول المشتقاتو دليل الصيغ المثلثية. جميع الوسائل التعليمية تجدونها على الصفحة الصيغ والجداول الرياضية. أوصي بطباعة كل شيء. أركز بشكل خاص على الصيغ المثلثية، ينبغي أن يكونوا أمام عينيك– وبدون ذلك، ستنخفض كفاءة العمل بشكل ملحوظ.

لكن أولاً، حول ماهية التكاملات الموجودة في هذه المقالة لا. لا توجد تكاملات النموذج، - جيب التمام، جيب التمام، مضروبًا في بعض كثيرات الحدود (في كثير من الأحيان شيء ذو ظل أو ظل التمام). يتم التكامل بالأجزاء، ولمعرفة الطريقة، قم بزيارة درس التكامل بالأجزاء. أمثلة على الحلول هنا أيضًا لا توجد تكاملات مع "الأقواس" - قوس الزاوية، قوس الجيب، وما إلى ذلك، وغالبًا ما يتم دمجها أيضًا بالأجزاء.

عند إيجاد تكاملات الدوال المثلثية، يتم استخدام عدد من الطرق:

(4) نستخدم الصيغة الجدولية الفرق الوحيد هو أنه بدلاً من "X" لدينا تعبير معقد.

مثال 2

مثال 3

أوجد التكامل غير المحدد.

كلاسيكي من هذا النوع لأولئك الذين يغرقون في المنافسة. كما لاحظت على الأرجح، لا يوجد تكامل بين الظل وظل التمام في جدول التكاملات، ولكن مع ذلك، يمكن العثور على مثل هذه التكاملات.

(1) نستخدم الصيغة المثلثية

(2) نضع الدالة تحت علامة التفاضل.

(3) نستخدم تكامل الجدول .

مثال 4

أوجد التكامل غير المحدد.

وهذا مثال لحل مستقل، الحل الكامل والإجابة موجودة في نهاية الدرس.

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد.

ستزداد درجاتنا تدريجياً =).
أولا الحل:

(1) نستخدم الصيغة

(2) نستخدم الهوية المثلثية الرئيسية ، ومنه يترتب على ذلك .

(3) قسمة البسط على حد المقام على حده.

(4) نستخدم الخاصية الخطية للتكامل غير المحدد.

(5) نتكامل باستخدام الجدول.

مثال 6

أوجد التكامل غير المحدد.

وهذا مثال لحل مستقل، الحل الكامل والإجابة موجودة في نهاية الدرس.

هناك أيضًا تكاملات الظل وظل التمام، والتي تكون في قوى أعلى. تمت مناقشة تكامل المماس المكعب في الدرس كيفية حساب مساحة الشكل المسطح؟يمكن الحصول على تكاملات الظل (ظل التمام) للقوى الرابعة والخامسة على الصفحة التكاملات المعقدة.

تقليل درجة التكامل

تعمل هذه التقنية عندما تكون الدوال التكاملية محشوة بالجيب وجيب التمام حتىدرجات. لتقليل الدرجة، استخدم الصيغ المثلثية , و، وغالبًا ما تُستخدم الصيغة الأخيرة في الاتجاه المعاكس: .

مثال 7

أوجد التكامل غير المحدد.

حل:

من حيث المبدأ، لا جديد هنا سوى أننا طبقنا الصيغة (خفض درجة التكامل). يرجى ملاحظة أنني اختصرت الحل. كلما اكتسبت الخبرة، يمكن العثور على تكامل شفهيًا، وهذا يوفر الوقت وهو مقبول تمامًا عند الانتهاء من المهام. في هذه الحالة، من المستحسن عدم وصف القاعدة ، أولاً نأخذ تكامل 1 لفظيًا، ثم .

مثال 8

أوجد التكامل غير المحدد.

وهذا مثال لحل مستقل، الحل الكامل والإجابة موجودة في نهاية الدرس.

وهذه هي الزيادة الموعودة في الدرجة:

مثال 9

أوجد التكامل غير المحدد.

أولا الحل ثم التعليقات:

(1) قم بإعداد التكامل لتطبيق الصيغة .

(2) نحن نطبق الصيغة بالفعل.

(٣) نقوم بتربيع المقام وإخراج الثابت من إشارة التكامل. كان من الممكن القيام بذلك بطريقة مختلفة قليلاً، لكن في رأيي، كان الأمر أكثر ملاءمة.

(4) نستخدم الصيغة

(5) في الحد الثالث نقوم مرة أخرى بتقليل الدرجة، ولكن باستخدام الصيغة .

(6) نقدم مصطلحات مماثلة (هنا قسمت المصطلح على المصطلح وقام بالإضافة).

(7) في الواقع، نحن نأخذ التكامل، قاعدة الخطية ويتم تنفيذ طريقة إدراج دالة تحت العلامة التفاضلية شفويا.

(8) تمشيط الجواب.

! في التكامل غير المحدد، غالبًا ما يمكن كتابة الإجابة بعدة طرق

في المثال الذي تم النظر فيه للتو، كان من الممكن كتابة الإجابة النهائية بشكل مختلف - فتح الأقواس وحتى القيام بذلك قبل دمج التعبير، أي أن النهاية التالية للمثال مقبولة تمامًا:

من الممكن أن يكون هذا الخيار أكثر ملاءمة، لقد شرحته للتو بالطريقة التي اعتدت على حلها بنفسي). فيما يلي مثال نموذجي آخر لحل مستقل:

مثال 10

أوجد التكامل غير المحدد.

يمكن حل هذا المثال بطريقتين، وقد تنجح إجابتين مختلفتين تماما(بتعبير أدق، سوف تبدو مختلفة تماما، ولكن من وجهة نظر رياضية ستكون متكافئة). على الأرجح، لن ترى الطريقة الأكثر عقلانية وستعاني عند فتح الأقواس واستخدام الصيغ المثلثية الأخرى. يتم تقديم الحل الأكثر فعالية في نهاية الدرس.

ولتلخيص الفقرة نستنتج: أي تكامل النموذج وأين و- حتىيتم حل الأرقام بطريقة تقليل درجة التكامل.
من الناحية العملية، صادفت تكاملات ذات 8 و10 درجات، وكان علي حل هذه الفوضى الرهيبة عن طريق خفض الدرجة عدة مرات، مما أدى إلى إجابات طويلة جدًا.

طريقة الاستبدال المتغيرة

كما ذكر في المقال طريقة التغيير المتغير في التكامل غير المحدد، الشرط الأساسي لاستخدام طريقة الاستبدال هو حقيقة وجود دالة معينة ومشتقتها في التكامل:
(الوظائف ليست بالضرورة في المنتج)

مثال 11

أوجد التكامل غير المحدد.

ننظر إلى جدول المشتقات ونلاحظ الصيغ، ، أي أنه في تكاملنا هناك دالة ومشتقتها. ولكننا نرى أنه أثناء التفاضل يتحول جيب التمام وجيب التمام إلى بعضهما البعض، والسؤال الذي يطرح نفسه: كيف يتم تغيير المتغير وماذا نعني بجيب التمام أو جيب التمام؟! يمكن حل السؤال عن طريق الوخز العلمي: إذا قمنا بإجراء الاستبدال بشكل غير صحيح، فلن يأتي أي شيء جيد.

إرشادات عامة: في حالات مماثلة، تحتاج إلى تعيين الدالة الموجودة في المقام.

نقاطع الحل ونقوم بالاستبدال

كل شيء على ما يرام في القاسم، كل شيء يعتمد فقط على، الآن يبقى معرفة ما سيتحول إليه.
للقيام بذلك، نجد التفاضل:

أو باختصار:
ومن المساواة الناتجة، وباستخدام قاعدة التناسب، نعبر عن التعبير الذي نحتاجه:

لذا:

الآن، يعتمد التكامل بأكمله على الحل ويمكننا مواصلة الحل

مستعد. اسمحوا لي أن أذكرك أن الغرض من الاستبدال هو تبسيط التكامل؛ في هذه الحالة، كان كل شيء يتعلق بتكامل دالة الطاقة وفقًا للجدول.

وليس من قبيل الصدفة أنني وصفت هذا المثال بهذا التفصيل؛ فقد تم ذلك بغرض التكرار وتعزيز مواد الدرس طريقة التغيير المتغير في التكامل غير المحدد.

والآن مثالان للحل الخاص بك:

مثال 12

أوجد التكامل غير المحدد.

مثال 13

أوجد التكامل غير المحدد.

الحلول والأجوبة كاملة في نهاية الدرس.

مثال 14

أوجد التكامل غير المحدد.

هنا مرة أخرى، في التكامل، هناك جيب وجيب التمام (دالة بمشتقة)، ولكن في المنتج تنشأ معضلة - ماذا نعني بجيب التمام أو جيب التمام؟

يمكنك محاولة إجراء الاستبدال باستخدام الوخز العلمي، وإذا لم ينجح شيء، فقم بتعيينه كوظيفة أخرى، ولكن هناك:

المبدأ التوجيهي العام: تحتاج إلى تعيين الوظيفة التي، بالمعنى المجازي، في "وضع غير مريح".

نرى أنه في هذا المثال، "يعاني" جيب تمام الطالب من الدرجة، ويجلس جيب التمام بحرية، من تلقاء نفسه.

لذلك، دعونا نجعل بديلا:

إذا كان أي شخص لا يزال يواجه صعوبات في خوارزمية استبدال المتغير وإيجاد التفاضل، فيجب عليك العودة إلى الدرس طريقة التغيير المتغير في التكامل غير المحدد.

مثال 15

أوجد التكامل غير المحدد.

دعونا نحلل التكامل، ما الذي ينبغي الإشارة إليه؟
دعونا نتذكر إرشاداتنا:
1) الدالة على الأرجح في المقام؛
2) الوظيفة في "وضع غير مريح".

بالمناسبة، هذه الإرشادات صالحة ليس فقط للدوال المثلثية.

يناسب الجيب كلا المعيارين (خاصة الثاني)، لذلك يقترح البديل نفسه. من حيث المبدأ، يمكن بالفعل إجراء الاستبدال، ولكن أولا سيكون من الجيد معرفة ما يجب القيام به؟ أولاً، نقوم "بتقليص" جيب تمام واحد:

نحن نحتفظ بفرقنا "المستقبلي".

ونعبر عنها من خلال جيب الجيب باستخدام الهوية المثلثية الأساسية:

والآن إليك الاستبدال:

القاعدة العامة: إذا كانت إحدى الدوال المثلثية (جيب الجيب أو جيب التمام) موجودة في التكامل غريبالدرجة، فأنت بحاجة إلى "إزالة" وظيفة واحدة من الدرجة الفردية، وتعيين وظيفة أخرى خلفها.نحن نتحدث فقط عن التكاملات حيث يوجد جيب التمام والجيب.

في المثال الذي تم النظر فيه، كان لدينا جيب تمام عند قوة فردية، لذلك قمنا بإزالة جيب تمام واحد من القوة، وقمنا بتعيينه كجيب.

مثال 16

أوجد التكامل غير المحدد.

الدرجات تقلع =).
هذا مثال عليك حله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

الاستبدال المثلثي العالمي

الاستبدال المثلثي العالمي هو حالة شائعة لطريقة الاستبدال المتغير. يمكنك محاولة استخدامه عندما "لا تعرف ماذا تفعل". ولكن في الواقع هناك بعض المبادئ التوجيهية لتطبيقه. التكاملات النموذجية التي يلزم فيها تطبيق الاستبدال المثلثي الشامل هي التكاملات التالية: , , , إلخ.

مثال 17

أوجد التكامل غير المحدد.

يتم تنفيذ الاستبدال المثلثي العالمي في هذه الحالة على النحو التالي. فلنقم بالاستبدال : . أنا لا أستخدم الحرف، لكن الحرف، هذا ليس نوعًا من القاعدة، إنه فقط، مرة أخرى، أنا معتاد على حل الأمور بهذه الطريقة.

هنا هو أكثر ملاءمة للعثور على التفاضل، من المساواة، أعرب عن:
أقوم بإرفاق قوس ظلي لكلا الجزأين:

قوس الظل والظل يلغي بعضهما البعض: