في العديد من المشاكل المتعلقة بالمتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي، من الضروري تحديد احتمالية سقوط متغير عشوائي، يخضع لقانون عادي مع المعلمات، على المقطع من إلى . لحساب هذا الاحتمال نستخدم الصيغة العامة

أين هي دالة توزيع الكمية

لنجد دالة التوزيع لمتغير عشوائي موزعة وفق قانون عادي مع المعلمات. كثافة توزيع القيمة تساوي:

ومن هنا نجد دالة التوزيع

. (6.3.3)

دعونا نقوم بتغيير المتغير في التكامل (6.3.3)

ولنضعها بهذا الشكل:

(6.3.4)

لا يتم التعبير عن التكامل (6.3.4) من خلال الدوال الأولية ولكن يمكن حسابه من خلال دالة خاصة تعبر عن تكامل محددمن التعبير أو (ما يسمى بالتكامل الاحتمالي) الذي تم تجميع الجداول له. هناك العديد من أنواع هذه الوظائف، على سبيل المثال:

;

إلخ. أي من هذه الوظائف التي يجب استخدامها هي مسألة ذوق. سوف نختار مثل هذه الوظيفة

. (6.3.5)

من السهل أن نرى أن هذه الوظيفة ليست أكثر من دالة توزيع لمتغير عشوائي موزع بشكل طبيعي مع معلمات.

دعونا نتفق على تسمية الدالة بوظيفة التوزيع الطبيعي. يحتوي الملحق (الجدول 1) على جداول قيم الوظائف.

دعونا نعبر عن دالة التوزيع (6.3.3) للكمية بالمعلمات ومن خلال دالة التوزيع الطبيعي. بوضوح،

الآن دعونا نوجد احتمال وقوع متغير عشوائي في القسم من إلى . حسب الصيغة (6.3.1)

وبالتالي، عبرنا عن احتمال وجود متغير عشوائي، موزع وفق قانون عادي مع أي معلمات، يدخل إلى المنطقة من خلال دالة التوزيع القياسية المقابلة لأبسط قانون طبيعي مع المعلمات 0.1. لاحظ أن وسيطات الدالة في الصيغة (6.3.7) لها معنى بسيط للغاية: هناك المسافة من الطرف الأيمن للقسم إلى مركز التشتت، معبرًا عنها بالانحرافات المعيارية؛ - نفس المسافة بالنسبة للنهاية اليسرى للمقطع، وتعتبر هذه المسافة موجبة إذا كانت النهاية تقع على يمين مركز التشتت، وسالبة إذا كانت على اليسار.

مثل أي دالة توزيع، تتميز الدالة بالخصائص التالية:

3. - دالة غير متناقصة.

بالإضافة إلى ذلك، من تماثل التوزيع الطبيعي مع المعلمات المتعلقة بالأصل، يتبع ذلك

باستخدام هذه الخاصية، بالمعنى الدقيق للكلمة، سيكون من الممكن قصر جداول الوظائف على قيم الوسيطات الإيجابية فقط، ولكن لتجنب عملية غير ضرورية (الطرح من واحد)، يوفر جدول الملحق 1 قيمًا لكل من الوسيطات الإيجابية والسلبية.

من الناحية العملية، غالبًا ما نواجه مشكلة حساب احتمالية سقوط متغير عشوائي موزع بشكل طبيعي في منطقة متناظرة بالنسبة إلى مركز التشتت. دعونا نفكر في هذا القسم من الطول (الشكل 6.3.1). لنحسب احتمالية الوصول إلى هذه المنطقة باستخدام الصيغة (6.3.7):

مع الأخذ في الاعتبار الخاصية (6.3.8) للدالة وإعطاء الجانب الأيسر من الصيغة (6.3.9) شكلاً أكثر إحكاما، نحصل على صيغة لاحتمال وقوع متغير عشوائي موزع حسب القانون العادي في مساحة متناظرة بالنسبة لمركز التشتت:

. (6.3.10)

دعونا نحل المشكلة التالية. دعونا نرسم مقاطع طولية متتالية من مركز التشتت (الشكل 6.3.2) ونحسب احتمال سقوط متغير عشوائي في كل منها. وبما أن المنحنى الطبيعي متماثل، فإنه يكفي رسم هذه المقاطع في اتجاه واحد فقط.

وباستخدام الصيغة (6.3.7) نجد:

(6.3.11)

وكما يتبين من هذه البيانات، فإن احتمالات إصابة كل من القطع التالية (الخامس، السادس، الخ) بدقة 0.001 تساوي صفر.

بتقريب احتمالات الدخول إلى الشرائح إلى 0.01 (إلى 1%)، نحصل على ثلاثة أرقام يسهل تذكرها:

0,34; 0,14; 0,02.

مجموع هذه القيم الثلاث هو 0.5. وهذا يعني أنه بالنسبة للمتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي، فإن كل التشتت (بدقة كسور مئوية) يتناسب مع المنطقة.

وهذا يسمح بمعرفة الانحراف المعياري والتوقع الرياضي للمتغير العشوائي، للإشارة بشكل تقريبي إلى نطاق قيمه الممكنة عمليًا. هذه الطريقة لتقدير نطاق القيم المحتملة للمتغير العشوائي معروفة في الإحصائيات الرياضيةتسمى "قاعدة الثلاثة سيجما". تتضمن قاعدة ثلاثة سيجما أيضًا طريقة تقريبية لتحديد الانحراف المعياري لمتغير عشوائي: خذ أقصى انحراف ممكن عمليًا عن المتوسط ​​وقسمه على ثلاثة. بالطبع، لا يمكن التوصية بهذه التقنية التقريبية إلا في حالة عدم وجود طرق أخرى أكثر دقة لتحديدها.

مثال 1. المتغير العشوائي الموزع وفق قانون عادي يمثل خطأ في قياس مسافة معينة. عند القياس، يُسمح بوجود خطأ منهجي في اتجاه المبالغة بمقدار 1.2 (م)؛ الانحراف المعياري لخطأ القياس هو 0.8 (م). أوجد احتمال ألا يتجاوز انحراف القيمة المقاسة عن القيمة الحقيقية 1.6 (م) في القيمة المطلقة.

حل. خطأ القياس هو متغير عشوائي يخضع للقانون العادي مع المعلمات و. نحن بحاجة إلى إيجاد احتمال سقوط هذه الكمية على القسم من إلى . وفقا للصيغة (6.3.7) لدينا:

باستخدام جداول الدالة (ملحق، جدول 1) نجد:

; ,

مثال 2. أوجد نفس الاحتمال كما في المثال السابق، لكن بشرط عدم وجود خطأ منهجي.

حل. باستخدام الصيغة (6.3.10) بافتراض نجد:

مثال 3. تم إطلاق هدف على شكل شريط (طريق سريع)، يبلغ عرضه 20 مترًا، في اتجاه عمودي على الطريق السريع. يتم تنفيذ الهدف على طول الخط الأوسط للطريق السريع. الانحراف المعياري في اتجاه الرمي يساوي m. هناك خطأ نظامي في اتجاه الرمي: اللقطة السفلية 3 m أوجد احتمال الاصطدام بالطريق السريع بطلقة واحدة.

القانون الأكثر شهرة والأكثر استخدامًا في نظرية الاحتمالات هو قانون التوزيع الطبيعي أو قانون غاوس .

الميزة الرئيسيةقانون التوزيع الطبيعي هو أنه كذلك القانون النهائيلقوانين التوزيع الأخرى.

لاحظ أنه بالنسبة للتوزيع الطبيعي، فإن الدالة التكاملية لها الشكل:

.

دعونا نظهر الآنأن المعنى الاحتمالي للمعلمات هو كما يلي: أ هو التوقع الرياضي - الانحراف المعياري (أي) للتوزيع الطبيعي:

أ) من خلال تعريف التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر، لدينا

حقًا

,

لأنه تحت علامة التكامل هناك وظيفة غريبةوحدود التكامل متناظرة حول الأصل؛

- تكامل بواسون .

لذا، فإن التوقع الرياضي للتوزيع الطبيعي يساوي المعلمة أ .

ب) من خلال تعريف تباين المتغير العشوائي المستمر ومع الأخذ في الاعتبار أنه يمكننا الكتابة

.

التكامل بالأجزاء، وضع ، دعونا نجد

لذلك .

وبالتالي، فإن الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي يساوي المعلمة.

في حالة و التوزيع الطبيعييسمى التوزيع الطبيعي (أو الطبيعي القياسي). بعد ذلك، من الواضح أنه سيتم كتابة الكثافة الطبيعية (التفاضلية) ودالة التوزيع التكاملي الطبيعية على التوالي في النموذج:

(الدالة، كما تعلم، تسمى دالة لابلاس (انظر المحاضرة 5) أو التكامل الاحتمالي. كلتا الدالتين، أي وتبويبها وتسجيل قيمها في الجداول المقابلة).

خصائص التوزيع الطبيعي (خصائص المنحنى الطبيعي):

1. من الواضح أنها دالة على خط الأعداد بأكمله.

2. أي أن المنحنى الطبيعي يقع فوق المحور أوه .

3. ، أي المحور أوه بمثابة الخط المقارب الأفقي للرسم البياني.

4. المنحنى الطبيعي متماثل حول خط مستقيم س = أ (وبالتالي فإن الرسم البياني للدالة متماثل حول المحور أوه ).

ولذلك يمكننا أن نكتب: .

5. .

6. من السهل إظهار تلك النقاط و هي نقاط انعطاف للمنحنى الطبيعي (أثبت ذلك بنفسك).

7.من الواضح أن

ولكن منذ ذلك الحين ، الذي - التي . بجانب وبالتالي فإن جميع العزوم الفردية تساوي صفرًا.

حتى للحظات يمكننا أن نكتب:

8. .

9. .

10. ، أين .

11. بالنسبة للقيم السالبة للمتغير العشوائي : حيث .

13. احتمال وقوع المتغير العشوائي في مقطع متماثل بالنسبة لمركز التوزيع يساوي:

مثال 3. تبين أن متغير عشوائي موزعة بشكل طبيعي X ينحرف عن التوقعات الرياضية م(X) ليس أكثر من .

حل. للتوزيع الطبيعي: .

وبعبارة أخرى، احتمال أن تكون القيمة المطلقة للانحراف سوف تتجاوزثلاثة أضعاف الانحراف المعياري صغير جدًا، أي يساوي 0.0027، وهذا يعني أنه في 0.27٪ فقط من الحالات يمكن أن يحدث ذلك. مثل هذه الأحداث، بناء على مبدأ استحالة الأحداث غير المتوقعة، يمكن اعتبارها مستحيلة عمليا.

لذا فإن الحدث الذي يبلغ احتماله 0.9973 يمكن اعتباره موثوقًا من الناحية العملية، أي أن المتغير العشوائي ينحرف عن التوقع الرياضي بما لا يزيد عن 0.9973.

مثال 4. معرفة خصائص التوزيع الطبيعي للمتغير العشوائي X - قوة شد الفولاذ: كجم/مم2 و كجم/مم2، أوجد احتمال الحصول على فولاذ بقوة شد من 31 كجم/مم2 إلى 35 كجم/مم2.

حل.

3. التوزيع الأسي (قانون التوزيع الأسي)

الأسي هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر. X ، والتي توصف بوظيفة تفاضلية (كثافة التوزيع)

حيث هي قيمة إيجابية ثابتة.

يتم تعريف التوزيع الأسي واحدالمعلمة. تشير ميزة التوزيع الأسي هذه إلى ميزتها مقارنة بالتوزيعات التي تعتمد على عدد أكبر من المعلمات. عادةً ما تكون المعلمات غير معروفة ويجب العثور على تقديراتها (القيم التقريبية)؛ وبطبيعة الحال، من الأسهل تقييم معلمة واحدة بدلاً من اثنين أو ثلاثة، وما إلى ذلك.

من السهل كتابة دالة التوزيع الأسي التكاملي:

لقد حددنا التوزيع الأسي باستخدام دالة تفاضلية؛ فمن الواضح أنه يمكن تحديدها باستخدام الدالة التكاملية.

تعليق: النظر في متغير عشوائي مستمر ت - طول مدة التشغيل غير الفاشل للمنتج. يتم الإشارة إلى قيمها المقبولة بواسطة ر ، . دالة التوزيع التراكمي يحدد احتمال الفشلالمنتجات على مدى فترة من الزمن ر . وبالتالي، فإن احتمالية التشغيل الخالي من الفشل خلال نفس الوقت والمدة ر أي أن احتمال وقوع الحدث المعاكس يساوي

التوزيع الطبيعي ( التوزيع الطبيعي) - يلعب دورا هاما في تحليل البيانات.

في بعض الأحيان بدلا من هذا المصطلح طبيعي توزيعاستخدم المصطلح توزيع غاوسيتكريما لـ K. Gauss (المصطلحات القديمة التي لا تستخدم عمليا في الوقت الحاضر: قانون غاوس، توزيع غاوس لابلاس).

التوزيع الطبيعي أحادي المتغير

التوزيع الطبيعي له كثافة::

في هذه الصيغة، المعلمات الثابتة هي متوسط, - معيار انحراف.

وترد الرسوم البيانية الكثافة لمختلف المعلمات.

الوظيفة المميزة للتوزيع الطبيعي لها الشكل:

التمييز بين الوظيفة المميزة والإعداد ر = 0، نحصل على لحظات من أي أمر.

يكون منحنى كثافة التوزيع الطبيعي متماثلًا بالنسبة إلى وله حد أقصى واحد عند هذه النقطة يساوي

تتراوح معلمة الانحراف المعياري من 0 إلى ∞.

متوسط يختلف من -∞ إلى +∞.

مع زيادة المعلمة، ينتشر المنحنى على طول المحور X، عندما يقترب من 0، فإنه يتقلص حول القيمة المتوسطة (تميز المعلمة بالانتشار والتشتت).

عند التغيير يتحول المنحنى على طول المحور X(انظر الرسوم البيانية).

ومن خلال تغيير المعلمات، نحصل على نماذج مختلفة المتغيرات العشوائية، الناشئة في الهاتف.

أحد التطبيقات النموذجية للقانون العادي في تحليل بيانات الاتصالات، على سبيل المثال، هو نمذجة الإشارات ووصف الضوضاء والتداخل والأخطاء وحركة المرور.

مؤامرات التوزيع الطبيعي أحادي المتغير

الشكل 1. مخطط الكثافة للتوزيع الطبيعي: المتوسط ​​هو 0، والانحراف المعياري هو 1

الشكل 2. مخطط الكثافة للتوزيع الطبيعي القياسي مع المناطق التي تحتوي على 68% و95% من جميع الملاحظات

الشكل 3. الرسوم البيانية للكثافة للتوزيعات الطبيعية بمتوسط ​​صفر وانحرافات مختلفة (=0.5، =1، =2)

الشكل 4: رسوم بيانية لتوزيعين طبيعيين N(-2,2) وN(3,2).

لاحظ أن مركز التوزيع قد تحول عند تغيير المعلمة.

تعليق

في البرنامج إحصائياتيشير التعيين N(3,2) إلى القانون العادي أو القانون الغوسي مع المعلمات: المتوسط ​​= 3 والانحراف المعياري =2.

في الأدب، في بعض الأحيان يتم تفسير المعلمة الثانية على أنها تشتت، أي. مربعالانحراف المعياري.

حساب النقاط المئوية للتوزيع الطبيعي باستخدام حاسبة الاحتمالية إحصائيات

باستخدام حاسبة الاحتمالية إحصائياتيمكنك حساب الخصائص المختلفة للتوزيعات دون اللجوء إلى الجداول المرهقة المستخدمة في الكتب القديمة.

الخطوة 1.هيا نطلق تحليل / حاسبة الاحتمالية / توزيعات.

في قسم التوزيع، حدد طبيعي.

الشكل 5. تشغيل حاسبة التوزيع الاحتمالي

الخطوة 2.نشير إلى المعلمات التي تهمنا.

على سبيل المثال، نريد حساب نسبة 95% من التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​0 وانحراف معياري 1.

دعنا نشير إلى هذه المعلمات في حقول الآلة الحاسبة (انظر متوسط ​​حقول الآلة الحاسبة والانحراف المعياري).

لندخل المعلمة p=0.95.

خانة الاختيار "عكس f.r." سوف تظهر تلقائيا. حدد مربع "الجدول الزمني".

انقر فوق الزر "احسب" في الزاوية اليمنى العليا.

الشكل 6. تحديد المعلمات

الخطوة 3.في الحقل Z نحصل على النتيجة: القيمة الكمية هي 1.64 (انظر النافذة التالية).

الشكل 7. عرض نتيجة الآلة الحاسبة

الشكل 8. قطع الكثافة ووظائف التوزيع. خط مستقيم س = 1.644485

الشكل 9. الرسوم البيانية لوظيفة التوزيع الطبيعي. الخطوط المنقطة العمودية - x=-1.5، x=-1، x=-0.5، x=0

الشكل 10. الرسوم البيانية لوظيفة التوزيع الطبيعي. الخطوط المنقطة العمودية - س=0.5، س=1، س=1.5، س=2

تقدير معلمات التوزيع الطبيعي

يمكن حساب قيم التوزيع الطبيعي باستخدام آلة حاسبة تفاعلية.

التوزيع الطبيعي ثنائي المتغير

التوزيع الطبيعي أحادي البعد يعمم بشكل طبيعي ثنائي الأبعادالتوزيع الطبيعي.

على سبيل المثال، إذا كنت تفكر في إشارة عند نقطة واحدة فقط، فإن التوزيع أحادي البعد يكفيك، عند نقطتين - ثنائي الأبعاد، عند ثلاث نقاط - ثلاثي الأبعاد، وما إلى ذلك.

الصيغة العامة للتوزيع الطبيعي ثنائي المتغير هي:

أين العلاقة الزوجية بين × 1و × 2;

× 1على التوالى؛

المتوسط ​​والانحراف المعياري للمتغير × 2على التوالى.

إذا كانت المتغيرات عشوائية × 1و × 2مستقلة، فإن الارتباط يكون 0، = 0، على التوالي، ويختفي الحد الأوسط في الأس، ويصبح لدينا:

و(س 1، س 2) = و(س 1)*و(س 2)

بالنسبة للكميات المستقلة، تتحلل الكثافة ثنائية الأبعاد إلى حاصل ضرب كثافتين أحادية البعد.

مخططات الكثافة للتوزيعات الطبيعية ثنائية المتغير

الشكل 11. مخطط الكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي المتغير (متجه صفر للمتوسط، مصفوفة التغاير المشترك للوحدة)

الشكل 12. قسم من الرسم البياني للكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد بمستوى z=0.05

الشكل 13. مخطط الكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد (متجه صفر للقيمة المتوقعة، مصفوفة التغاير مع 1 على القطر الرئيسي و0.5 على القطر الجانبي)

الشكل 14. قسم من الرسم البياني للكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد (متجه صفر للتوقعات الرياضية، مصفوفة التغاير مع 1 على القطر الرئيسي و0.5 على القطر الجانبي) بالمستوى z= 0.05

الشكل 15. مخطط الكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد (متجه صفر للقيمة المتوقعة، مصفوفة التغاير مع 1 على القطر الرئيسي و-0.5 على القطر الجانبي)

الشكل 16. قسم من الرسم البياني للكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد (متجه صفر للتوقعات الرياضية، مصفوفة التغاير مع 1 على القطر الرئيسي و-0.5 على القطر الجانبي) بالمستوى z=0.05

الشكل 17. أقسام الرسوم البيانية للكثافة للتوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد بمستوى z=0.05

لفهم التوزيع الطبيعي ثنائي المتغير بشكل أفضل، حاول حل المشكلة التالية.

مهمة. انظر إلى الرسم البياني للتوزيع الطبيعي ثنائي المتغير. فكر في الأمر، هل يمكن تمثيله على أنه دوران في الرسم البياني للتوزيع الطبيعي أحادي البعد؟ متى يجب عليك استخدام تقنية التشوه؟

ومن الناحية العملية، فإن معظم المتغيرات العشوائية تتأثر عدد كبيرتخضع العوامل العشوائية لقانون التوزيع الاحتمالي الطبيعي. ولذلك، في التطبيقات المختلفة لنظرية الاحتمالات، هذا القانون له أهمية خاصة.

يخضع المتغير العشوائي $X$ لقانون التوزيع الاحتمالي الطبيعي إذا كانت كثافة التوزيع الاحتمالي له بالشكل التالي

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\سيجما )^2))$$

يظهر الرسم البياني للدالة $f\left(x\right)$ بشكل تخطيطي في الشكل ويسمى "منحنى غاوسي". على يمين هذا الرسم البياني توجد الورقة النقدية الألمانية فئة 10 مارك، والتي كانت تستخدم قبل طرح اليورو. إذا نظرت عن كثب، يمكنك أن ترى على هذه الورقة النقدية منحنى غاوس ومكتشفه، عالم الرياضيات الأكبر كارل فريدريش غاوس.

دعنا نعود إلى دالة الكثافة $f\left(x\right)$ ونقدم بعض التوضيحات المتعلقة بمعلمات التوزيع $a,\ (\sigma )^2$. تميز المعلمة $a$ مركز تشتت قيم المتغير العشوائي، أي أنها تحمل معنى توقعًا رياضيًا. عندما تتغير المعلمة $a$ وتبقى المعلمة $(\sigma )^2$ دون تغيير، يمكننا ملاحظة تحول في الرسم البياني للدالة $f\left(x\right)$ على طول الإحداثي السيني، بينما الرسم البياني للكثافة في حد ذاته لا يغير شكله.

المعلمة $(\sigma )^2$ هي التباين وتميز شكل منحنى الرسم البياني للكثافة $f\left(x\right)$. عند تغيير المعلمة $(\sigma )^2$ مع عدم تغيير المعلمة $a$، يمكننا ملاحظة كيف يتغير شكل الرسم البياني للكثافة، أو الضغط أو التمدد، دون التحرك على طول محور الإحداثي السيني.

احتمال وقوع متغير عشوائي موزع بشكل طبيعي في فترة زمنية معينة

كما هو معروف، يمكن حساب احتمال وقوع المتغير العشوائي $X$ في المجال $\left(\alpha ;\ \beta \right)$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

هنا الدالة $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ هي الدالة وظيفة لابلاس. قيم هذه الوظيفة مأخوذة من . يمكن ملاحظة الخصائص التالية للدالة $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$، أي أن الدالة $\Phi \left(x\right)$ غريبة.

2 . $\Phi \left(x\right)$ هي دالة متزايدة بشكل رتيب.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ يسار(س\يمين)\)=-0.5$.

لحساب قيم الدالة $\Phi \left(x\right)$، يمكنك أيضًا استخدام معالج الدالة $f_x$ في Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\يمين )-0.5$. على سبيل المثال، لنحسب قيم الدالة $\Phi \left(x\right)$ لـ $x=2$.

يمكن حساب احتمالية وقوع المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ في فترة زمنية متماثلة فيما يتعلق بالتوقع الرياضي $a$ باستخدام الصيغة

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

قاعدة ثلاثة سيجما. من شبه المؤكد أن المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي $X$ سوف يقع في الفاصل الزمني $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

مثال 1 . يخضع المتغير العشوائي $X$ لقانون التوزيع الاحتمالي الطبيعي مع المعلمات $a=2,\ \sigma =3$. أوجد احتمال وقوع $X$ في المجال $\left(0.5;1\right)$ واحتمال تحقيق المتراجحة $\left|X-a\right|< 0,2$.

باستخدام الصيغة

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

نجد $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3) ))\يمين)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right)=0.191- 0.129=0.062 دولار.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

مثال 2 . لنفترض أنه خلال العام يكون سعر أسهم شركة معينة متغيرا عشوائيا موزعا وفقا للقانون العادي مع توقع رياضي يساوي 50 وحدة نقدية تقليدية وانحراف معياري يساوي 10. ما هو احتمال أن يكون ذلك على مجموعة مختارة عشوائيا؟ في اليوم من الفترة قيد المناقشة، سيكون سعر العرض الترويجي:

أ) أكثر من 70 وحدة نقدية تقليدية؟

ب) أقل من 50 للسهم الواحد؟

ج) ما بين 45 و58 وحدة نقدية تقليدية للسهم الواحد؟

دع المتغير العشوائي $X$ هو سعر أسهم بعض الشركات. حسب الشرط، يخضع $X$ للتوزيع الطبيعي مع المعلمات $a=50$ - التوقع الرياضي، $\sigma =10$ - الانحراف المعياري. الاحتمال $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ أكثر من (10))\يمين)=0.5-\Phi \left(2\يمين)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

قانون التوزيع الاحتمالي الطبيعي

وبدون مبالغة يمكن تسميته بالقانون الفلسفي. من خلال مراقبة الأشياء والعمليات المختلفة في العالم من حولنا، غالبًا ما نواجه حقيقة أن شيئًا ما لا يكفي، وأن هناك قاعدة:


هنا وجهة نظر أساسية وظائف الكثافةالتوزيع الاحتمالي الطبيعي، وأرحب بكم في هذا الدرس المثير للاهتمام.

ما هي الأمثلة التي يمكنك تقديمها؟ هناك ببساطة ظلام منهم. هذا ، على سبيل المثال ، طول الأشخاص ووزنهم (وليس فقط) وقوتهم البدنية وقدراتهم العقلية وما إلى ذلك. هناك "الكتلة الرئيسية" (لسبب أو لآخر)وهناك انحرافات في كلا الاتجاهين.

هذه هي خصائص مختلفة للأشياء غير الحية (نفس الحجم والوزن). هذه مدة عشوائية للعمليات، على سبيل المثال، وقت سباق مائة متر أو تحويل الراتنج إلى العنبر. من الفيزياء، تذكرت جزيئات الهواء: بعضها بطيء، وبعضها سريع، ولكن معظمها يتحرك بسرعات "قياسية".

بعد ذلك، ننحرف عن المركز بانحراف معياري آخر ونحسب الارتفاع:

تحديد النقاط على الرسم (أخضر)ونحن نرى أن هذا يكفي.

في المرحلة النهائية، نرسم رسمًا بيانيًا بعناية، و بعناية خاصةتعكس ذلك محدب / مقعر! حسنًا، ربما أدركت منذ وقت طويل أن المحور السيني هو الخط المقارب الأفقي، ويمنع مطلقاً "الصعود" خلفه!

عند تقديم حل إلكترونيًا، من السهل إنشاء رسم بياني في Excel، وبشكل غير متوقع بالنسبة لي، قمت حتى بتسجيل مقطع فيديو قصير حول هذا الموضوع. لكن أولاً، دعونا نتحدث عن كيفية تغير شكل المنحنى الطبيعي اعتمادًا على قيم و.

عند زيادة أو نقصان "أ" (مع "سيجما" ثابت)يحتفظ الرسم البياني بشكله و يتحرك يمينًا/يسارًاعلى التوالى. لذلك، على سبيل المثال، عندما تأخذ الدالة النموذج ويتحرك الرسم البياني الخاص بنا بمقدار 3 وحدات إلى اليسار - بالضبط إلى أصل الإحداثيات:


تلقت الكمية الموزعة بشكل طبيعي مع توقع رياضي صفري اسمًا طبيعيًا تمامًا - تركزت; دالة الكثافة هي حتى، والرسم البياني متماثل حول الإحداثي.

في حالة تغيير "سيجما" (مع ثابت "أ")، "يظل الرسم البياني كما هو" ولكن يتغير شكله. وعندما تكبر تصبح أقل ومستطيلة، مثل الأخطبوط الذي يمد مخالبه. وعلى العكس من ذلك، عند تقليل الرسم البياني يصبح أضيق وأطول- اتضح أنه "أخطبوط متفاجئ". نعم متى ينقص"سيجما" مرتين: الرسم البياني السابق يضيق ويمتد للأعلى مرتين:

كل شيء يتوافق تماما مع التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

يسمى التوزيع الطبيعي بقيمة وحدة سيجما تطبيع، وإذا كان كذلك تركزت(حالتنا)، ثم يسمى هذا التوزيع معيار. لديها المزيد وظيفة بسيطةالكثافة، والتي تمت مواجهتها بالفعل في نظرية لابلاس المحلية: . لقد وجد التوزيع القياسي تطبيقًا واسعًا في الممارسة العملية، وسرعان ما سنفهم أخيرًا الغرض منه.

حسنًا، لنشاهد الفيلم الآن:

نعم، صحيح تماما - بطريقة أو بأخرى ظلت في الظل بشكل غير مستحق دالة التوزيع الاحتمالي. دعونا نتذكرها تعريف:
- احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة أقل من المتغير الذي "يمر عبر" جميع القيم الحقيقية إلى ما لا نهاية "زائد".

داخل التكامل، عادة ما يتم استخدام حرف مختلف بحيث لا يكون هناك "تداخلات" مع التدوين، لأن كل قيمة هنا مرتبطة بـ تكامل غير لائق، وهو ما يعادل بعض رقممن الفاصل .

لا يمكن حساب جميع القيم تقريبًا بدقة، ولكن كما رأينا للتو، فإن هذا ليس بالأمر الصعب مع قوة الحوسبة الحديثة. وبالتالي، بالنسبة لوظيفة التوزيع القياسية، تحتوي وظيفة Excel المقابلة بشكل عام على وسيطة واحدة:

=NORMSDIST(ض)

واحد، اثنان - وقد انتهيت:

ويبين الرسم بوضوح تنفيذ الجميع خصائص وظيفة التوزيعومن الفروق الفنية الدقيقة هنا يجب الانتباه إليها الخطوط المقاربة الأفقيةونقطة الانعطاف.

الآن دعونا نتذكر إحدى المهام الرئيسية للموضوع، وهي معرفة كيفية إيجاد احتمال وجود متغير عشوائي عادي سوف تأخذ القيمة من الفاصل الزمني. هندسيا، هذا الاحتمال يساوي منطقةبين المنحنى الطبيعي والمحور السيني في القسم المقابل:

ولكن في كل مرة أحاول الحصول على قيمة تقريبية غير معقول، وبالتالي فهو أكثر عقلانية للاستخدام صيغة "خفيفة".:
.

! يتذكر أيضا ، ماذا

هنا يمكنك استخدام Excel مرة أخرى، ولكن هناك بضع "تحفظات" مهمة: أولاً، ليس في متناول اليد دائمًا، وثانيًا، من المرجح أن تثير القيم "الجاهزة" أسئلة من المعلم. لماذا؟

لقد تحدثت عن هذا عدة مرات من قبل: في وقت ما (ومنذ وقت ليس ببعيد) كانت الآلة الحاسبة العادية ترفًا، وفي الأدب التربويلا تزال الطريقة "اليدوية" لحل المشكلة قيد النظر محفوظة. جوهرها هو توحيدقيم "ألفا" و"بيتا"، أي تقليل الحل إلى التوزيع القياسي:

ملحوظة : من السهل الحصول على الوظيفة من الحالة العامةباستخدام الخطية البدائل. ثم أيضاً:

ومن الاستبدال الذي يتم تنفيذه بالضبط يتبع صيغة الانتقال من قيم التوزيع التعسفي إلى القيم المقابلة للتوزيع القياسي.

لماذا هذا ضروري؟ والحقيقة هي أن القيم تم حسابها بدقة من قبل أسلافنا وجمعها في جدول خاص موجود في العديد من الكتب حول terwer. ولكن في كثير من الأحيان يوجد جدول القيم الذي تعاملنا معه بالفعل نظرية لابلاس التكاملية:

إذا كان لدينا جدول قيم لدالة لابلاس ، ثم نحل من خلاله:

يتم تقريب القيم الكسرية تقليديًا إلى 4 منازل عشرية، كما هو الحال في الجدول القياسي. وللسيطرة هناك النقطة 5 تَخطِيط.

وأذكركم بذلك، وتجنباً للالتباس السيطرة دائما، جدول ما هي الوظيفة أمام عينيك.

إجابةيجب أن تعطى كنسبة مئوية، لذلك يجب ضرب الاحتمال المحسوب بـ 100 وتقديم النتيجة مع تعليق ذي معنى:

- مع رحلة من 5 إلى 70 مترًا، سيسقط حوالي 15.87% من القذائف

نحن ندرب بأنفسنا:

مثال 3

قطر المحامل المصنعة في المصنع هو متغير عشوائي، يتم توزيعه طبيعيًا بتوقع رياضي قدره 1.5 سم وانحراف معياري قدره 0.04 سم. أوجد احتمال أن يتراوح حجم المحامل المأخوذة عشوائيًا من 1.4 إلى 1.6 سم.

في نموذج الحل وما يليه، سأستخدم دالة Laplace باعتبارها الخيار الأكثر شيوعًا. بالمناسبة، لاحظ أنه وفقًا للصياغة، يمكن تضمين نهايات الفاصل الزمني في الاعتبار هنا. ومع ذلك، هذا ليس حاسما.

وبالفعل واجهنا في هذا المثال حالة خاصة - عندما يكون الفاصل الزمني متماثلًا بالنسبة للتوقع الرياضي. في مثل هذه الحالة، يمكن كتابتها في النموذج، وباستخدام شذوذ دالة لابلاس، تبسيط صيغة العمل:

يتم استدعاء المعلمة دلتا انحرافمن التوقع الرياضي، ويمكن "تعبئة" المتباينة المزدوجة باستخدام وحدة:

– احتمال أن تنحرف قيمة المتغير العشوائي عن التوقع الرياضي بأقل من .

من الجيد أن الحل يتناسب مع سطر واحد :)
- احتمال أن يختلف قطر المحمل المأخوذ عشوائياً عن 1.5 سم بما لا يزيد عن 0.1 سم.

تبين أن نتيجة هذه المهمة قريبة من الوحدة، لكنني أرغب في الحصول على قدر أكبر من الموثوقية - أي معرفة الحدود التي يقع ضمنها القطر الجميع تقريبامحامل. هل هناك أي معيار لهذا؟ موجود! السؤال المطروح يجيب عليه ما يسمى

قاعدة ثلاثة سيجما

جوهرها هو ذلك موثوقة عمليا هي حقيقة أن المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي سيأخذ قيمة من الفاصل الزمني .

وبالفعل فإن احتمال الانحراف عن القيمة المتوقعة أقل من:
أو 99.73%

ومن حيث المحامل فهي 9973 قطعة بقطر من 1.38 إلى 1.62 سم ​​و 27 نسخة "دون المستوى" فقط.

في بحث عمليعادةً ما يتم تطبيق قاعدة سيجما الثلاثة في الاتجاه المعاكس: إذا إحصائياوقد وجد أن جميع القيم تقريبا المتغير العشوائي قيد الدراسةتقع ضمن فترة 6 انحرافات معيارية، فإن هناك أسبابا قاهرة للاعتقاد بأن هذه القيمة يتم توزيعها وفقا لقانون عادي. يتم التحقق باستخدام النظرية الفرضيات الإحصائية.

نواصل حل المشاكل السوفيتية القاسية:

مثال 4

يتم توزيع القيمة العشوائية لخطأ الوزن حسب القانون الطبيعي بتوقع رياضي صفر وانحراف معياري قدره 3 جرام. أوجد احتمال إجراء الوزن التالي بخطأ لا يتجاوز 5 جرام في القيمة المطلقة.

حلبسيط جدا. حسب الحالة، نلاحظ على الفور أنه في الوزن التالي (شيء أو شخص ما)سنحصل على النتيجة بنسبة 100٪ تقريبًا بدقة 9 جرام. لكن المشكلة تنطوي على انحراف أضيق ووفقا للصيغة:

- احتمالية إجراء الوزن التالي بخطأ لا يتجاوز 5 جرام.

إجابة:

تختلف المشكلة التي تم حلها اختلافًا جوهريًا عن المشكلة التي تبدو مشابهة. مثال 3درس حول توزيع موحد. كان هناك خطأ التقريبنتائج القياس، ونحن هنا نتحدث عن الخطأ العشوائي للقياسات نفسها. تنشأ مثل هذه الأخطاء بسبب الخصائص التقنية للجهاز نفسه. (يُشار عادةً إلى نطاق الأخطاء المقبولة في جواز سفره)وأيضًا من خلال خطأ المجرب - عندما نأخذ، على سبيل المثال، "بالعين" قراءات من إبرة نفس المقاييس.

من بين أمور أخرى، هناك أيضا ما يسمى منهجيأخطاء القياس. إنه بالفعل غير عشوائيالأخطاء التي تحدث بسبب الإعداد غير الصحيح أو تشغيل الجهاز. على سبيل المثال، يمكن للموازين الأرضية غير المنظمة أن "تضيف" كيلوغرامات بشكل مطرد، ويقوم البائع بوزن العملاء بشكل منهجي. أو يمكن حسابه بشكل غير منهجي. لكن في كل الأحوال فإن مثل هذا الخطأ لن يكون عشوائيا، وتوقعه يختلف عن الصفر.

…أعمل على تطوير دورة تدريبية في مجال المبيعات بشكل عاجل =)

دعونا نحل المشكلة العكسية بأنفسنا:

مثال 5

قطر الأسطوانة هو متغير عشوائي موزع بشكل طبيعي، وانحرافه المعياري يساوي ملم. أوجد طول الفترة المتناظرة بالنسبة للتوقع الرياضي، والتي من المحتمل أن يقع فيها طول قطر الأسطوانة.

النقطة 5* تخطيط التصميمللمساعدة. يرجى ملاحظة أن التوقع الرياضي غير معروف هنا، لكن هذا لا يمنعنا على الأقل من حل المشكلة.

و مهمة الامتحان، والذي أوصي به بشدة لتوحيد المادة:

مثال 6

يتم تحديد المتغير العشوائي الموزع توزيعاً طبيعياً من خلال معلماته (التوقع الرياضي) و (الانحراف المعياري). مطلوب:

أ) اكتب كثافة الاحتمالية ورسم الرسم البياني الخاص بها بشكل تخطيطي؛
ب) أوجد احتمال أن تأخذ قيمة من الفترة ;
ج) أوجد احتمال أن تنحرف القيمة المطلقة عن ما لا يزيد عن ؛
د) باستخدام قاعدة "ثلاثة سيجما"، أوجد قيم المتغير العشوائي.

يتم تقديم مثل هذه المشكلات في كل مكان، وعلى مدار سنوات الممارسة، قمت بحل المئات والمئات منها. تأكد من التدرب على رسم الرسم باليد واستخدام الجداول الورقية؛)

حسنًا، سألقي نظرة على مثال للتعقيد المتزايد:

مثال 7

كثافة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي لها الشكل . البحث، التوقع الرياضي، التشتت، دالة التوزيع، بناء الرسوم البيانية للكثافة ووظائف التوزيع، إيجاد.

حل: أولا وقبل كل شيء، دعونا نلاحظ أن الشرط لا يقول شيئا عن طبيعة المتغير العشوائي. إن وجود الأس في حد ذاته لا يعني شيئًا: فقد يتبين، على سبيل المثال، إرشاديةأو حتى تعسفيا التوزيع المستمر. وبالتالي فإن "الحالة الطبيعية" للتوزيع لا تزال بحاجة إلى تبرير:

منذ الوظيفة محدد في أيالقيمة الحقيقية، ويمكن اختزالها إلى الشكل، ومن ثم يتم توزيع المتغير العشوائي وفق القانون العادي.

ها نحن. لهذا حدد مربعًا كاملاًوتنظيم جزء من ثلاثة طوابق:


تأكد من إجراء فحص وإعادة المؤشر إلى شكله الأصلي:

، وهو ما أردنا رؤيته.

هكذا:
- بواسطة حكم العمليات مع السلطات"قرصة قبالة" وهنا يمكنك تدوين الخصائص العددية الواضحة على الفور:

الآن دعونا نجد قيمة المعلمة. بما أن مضاعف التوزيع الطبيعي له الشكل و، إذن:
، من حيث نعبر ونستبدل في وظيفتنا:
، وبعد ذلك سنراجع التسجيل بأعيننا مرة أخرى ونتأكد من أن الوظيفة الناتجة لها الشكل .

لنقم ببناء رسم بياني للكثافة:

والرسم البياني وظيفة التوزيع :

إذا لم يكن لديك برنامج Excel أو حتى آلة حاسبة عادية في متناول اليد، فيمكن إنشاء الرسم البياني الأخير يدويًا بسهولة! عند نقطة ما، تأخذ دالة التوزيع قيمة وتوجد هنا