قانون التوزيع الشرطي للمتغير العشوائي ثنائي الأبعاد. المتغيرات العشوائية ثنائية الأبعاد

من الأنسب تقديم النتيجة في شكل جدول 9.6.

الجدول 9.6

دعونا نستخدم معادلات اللحظات الأولية ونتائج الجدولين 9.3 و9.4 ونحسب التوقعات الرياضية للمكونات Xو ي:

نحسب التباينات باستخدام اللحظة الأولية الثانية ونتائج الجدول. 9.3 و 9.4:

لحساب التباين ل(س، ص) نستخدم صيغة مماثلة خلال اللحظة الأولى:

يتم تحديد معامل الارتباط بالصيغة:

يتم تعريف الاحتمال المطلوب على أنه احتمال الوقوع في منطقة على المستوى المحدد بالمتباينة المقابلة:

9.2. ترسل السفينة رسالة "SOS" التي يمكن استقبالها من خلال محطتي راديو. يمكن استقبال هذه الإشارة بواسطة محطة راديو واحدة بشكل مستقل عن الأخرى. احتمال استقبال الإشارة من قبل محطة الراديو الأولى هو 0.95؛ احتمال استقبال الإشارة من قبل محطة الراديو الثانية هو 0.85. أوجد قانون التوزيع لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد يميز استقبال الإشارة بواسطة محطتي راديو. اكتب دالة التوزيع.

حل:يترك X- حدث يتمثل في استقبال الإشارة بواسطة محطة الراديو الأولى. ي- الحدث هو استقبال الإشارة من قبل محطة راديو ثانية.

معاني متعددة .

X=1 – الإشارة التي استقبلتها محطة الراديو الأولى؛

X=0 – لم يتم استقبال الإشارة من قبل محطة الراديو الأولى.

معاني متعددة .

ي=l - الإشارة التي تستقبلها محطة الراديو الثانية،

ي=0 – لا تستقبل محطة الراديو الثانية الإشارة.

احتمال عدم استقبال الإشارة من قبل محطات الراديو الأولى أو الثانية هو:

احتمالية استقبال الإشارة من قبل المحطة الإذاعية الأولى:

احتمالية استقبال الإشارة من قبل محطة الراديو الثانية:

احتمال استقبال الإشارة من قبل محطتي الراديو الأولى والثانية يساوي: .

فإن قانون توزيع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد يساوي:

X,ذ) معنى F(X,ذ) يساوي مجموع احتمالات تلك القيم المحتملة للمتغير العشوائي ( X,ي)، والتي تقع داخل المستطيل المحدد.

ثم ستبدو وظيفة التوزيع كما يلي:

9.3. تنتج شركتان منتجات متطابقة. ويمكن لكل منهما، بشكل مستقل عن الآخر، أن يقرر تحديث الإنتاج. احتمال أن تتخذ الشركة الأولى مثل هذا القرار هو 0.6. احتمال اتخاذ مثل هذا القرار من قبل الشركة الثانية هو 0.65. اكتب قانون توزيع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد الذي يميز قرار تحديث إنتاج شركتين. اكتب دالة التوزيع.

إجابة:قانون التوزيع:

لكل قيمة ثابتة لنقطة ذات إحداثيات ( س,ذ) القيمة تساوي مجموع احتمالات تلك القيم المحتملة التي تقع داخل المستطيل المحدد .

9.4. حلقات المكبس لمحركات السيارات مصنوعة على مخرطة أوتوماتيكية. يتم قياس سمك الحلقة (قيمة عشوائية X) وقطر الثقب (قيمة عشوائية ي). من المعروف أن حوالي 5٪ من جميع حلقات المكبس معيبة. علاوة على ذلك، فإن 3% من العيوب تنتج عن أقطار ثقب غير قياسية، و1% - بسبب السُمك غير القياسي، و1% - يتم رفضها على كلا السببين. أوجد: التوزيع المشترك لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد ( X,ي); التوزيعات أحادية البعد للمكونات Xو ي؛ التوقعات الرياضية للمكونات Xو ي; لحظة الارتباط ومعامل الارتباط بين المكونات Xو يمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد ( X,ي).

إجابة:قانون التوزيع:

; ; ; ; ; .

9.5. منتجات المصنع معيبة بسبب العيوب أهو 4٪، وذلك بسبب وجود خلل في– 3.5%. الإنتاج القياسي هو 96%. تحديد النسبة المئوية لجميع المنتجات التي تحتوي على كلا النوعين من العيوب.

9.6. قيمة عشوائية ( X,ي)موزعة بكثافة ثابتة داخل الساحة ر، التي إحداثيات رؤوسها (-2;0)، (0;2)، (2;0)، (0;-2). تحديد كثافة التوزيع للمتغير العشوائي ( X,ي) وكثافات التوزيع الشرطية ر(X\في)، ر(في\X).

حل.دعونا نبني على متن الطائرة س 0ذالمربع المعطى (الشكل 9.5) وحدد معادلات أضلاع المربع ABCD باستخدام معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين: استبدال إحداثيات القمم أو فينحصل على معادلة الجانب بالتتابع أ.ب: أو .

وبالمثل، نجد معادلة الجانب شمس: ؛الجوانب قرص مضغوط: والجوانب د.أ.: . : .د × , ي) هو نصف الكرة الأرضية المتمركز عند أصل نصف القطر رأوجد كثافة التوزيع الاحتمالي.

إجابة:

9.10. بالنظر إلى متغير عشوائي منفصل ثنائي الأبعاد:

أوجد: أ) قانون التوزيع المشروط X، بشرط ص= 10;

ب) قانون التوزيع المشروط ي، بشرط س =10;

ج) التوقع الرياضي، التشتت، معامل الارتباط.

9.11. المتغير العشوائي المستمر ثنائي الأبعاد ( X,ي) موزعة بالتساوي داخل مثلث قائم الزاوية مع القمم عن(0;0), أ(0;8), في(8,0).

أوجد: أ) كثافة التوزيع الاحتمالي؛

دع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد $(X,Y)$ يعطى.

التعريف 1

قانون توزيع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد $(X,Y)$ هو مجموعة الأزواج المحتملة من الأرقام $(x_i,\ y_j)$ (حيث $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) وأرقامها الاحتمالات $p_(ij)$ .

في أغلب الأحيان، يتم كتابة قانون التوزيع للمتغير العشوائي ثنائي الأبعاد في شكل جدول (الجدول 1).

الشكل 1. قانون التوزيع لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد.

دعونا نتذكر الآن نظرية جمع احتمالات الأحداث المستقلة.

النظرية 1

يتم حساب احتمال مجموع عدد محدود من الأحداث المستقلة $(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ بواسطة الصيغة:

باستخدام هذه الصيغة يمكنك الحصول على قوانين التوزيع لكل مكون من متغير عشوائي ثنائي الأبعاد، وهي:

ويترتب على ذلك أن مجموع كل احتمالات النظام ثنائي الأبعاد له الشكل التالي:

دعونا نفكر بالتفصيل (خطوة بخطوة) في المشكلة المرتبطة بمفهوم قانون توزيع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد.

مثال 1

ويعطى قانون توزيع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد من خلال الجدول التالي:

الشكل 2.

أوجد قوانين توزيع المتغيرات العشوائية $X,\Y$, $X+Y$ وتأكد في كل حالة من أن مجموع الاحتمالات يساوي واحدًا.

1. دعونا أولا نجد توزيع المتغير العشوائي $X$. يمكن للمتغير العشوائي $X$ أن يأخذ القيم $x_1=2،$ $x_2=3$، $x_3=5$. للعثور على التوزيع سنستخدم النظرية 1.

دعونا أولاً نوجد مجموع الاحتمالات $x_1$ كما يلي:

الشكل 3.

وبالمثل، نجد $P\left(x_2\right)$ و$P\left(x_3\right)$:

\ \

الشكل 4.

1. دعونا الآن نجد توزيع المتغير العشوائي $Y$. يمكن للمتغير العشوائي $Y$ أن يأخذ القيم $x_1=1، $ $x_2=3$، $x_3=4$. للعثور على التوزيع سنستخدم النظرية 1.

دعونا أولا نجد مجموع الاحتمالات $y_1$ كما يلي:

الشكل 5.

وبالمثل، نجد $P\left(y_2\right)$ و$P\left(y_3\right)$:

\ \

وهذا يعني أن قانون توزيع القيمة $X$ له الشكل التالي:

الشكل 6.

دعونا نتحقق من مساواة مجموع الاحتمالات:

1. يبقى إيجاد قانون التوزيع للمتغير العشوائي $X+Y$.

من أجل التيسير، دعونا نشير إليه بـ $Z$: $Z=X+Y$.

أولًا، دعونا نوجد القيم التي يمكن أن تأخذها هذه الكمية. للقيام بذلك، سوف نقوم بإضافة قيم $X$ و $Y$ في أزواج. نحصل على القيم التالية: 3، 4، 6، 5، 6، 8، 6، 7، 9. الآن، مع التخلص من القيم المطابقة، نجد أن المتغير العشوائي $X+Y$ يمكن أن يأخذ القيم $z_1 =3,\ z_2=4 ,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

دعونا أولاً نعثر على $P(z_1)$. وبما أن قيمة $z_1$ هي واحد، فهي تجدها كما يلي:

الشكل 7.

تم العثور على جميع الاحتمالات باستثناء $P(z_4)$ بالمثل:

لنجد الآن $P(z_4)$ كما يلي:

الشكل 8.

وهذا يعني أن قانون توزيع القيمة $Z$ له الشكل التالي:

الشكل 9.

دعونا نتحقق من مساواة مجموع الاحتمالات:

ويسمى الزوج المرتب (X، Y) من المتغيرات العشوائية X و Y بمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد، أو متجه عشوائي في فضاء ثنائي الأبعاد. يُطلق على المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد (X,Y) أيضًا اسم نظام المتغيرات العشوائية X و Y. وتسمى مجموعة جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي منفصل مع احتمالاتها بقانون توزيع هذا المتغير العشوائي. يعتبر المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد (X، Y) معلومًا إذا كان قانون توزيعه معروفًا:

P(X=x i , Y=y j) = p j , i=1,2...,n, j=1,2...,m

الغرض من الخدمة. باستخدام الخدمة، وفقًا لقانون التوزيع المحدد، يمكنك العثور على:

• سلسلة التوزيع X و Y، التوقع الرياضي M[X]، M[Y]، التباين D[X]، D[Y]؛
• التغاير cov(x,y), معامل الارتباط r x,y, سلسلة التوزيع الشرطي X, التوقع الشرطي M;

تعليمات. تحديد بُعد مصفوفة التوزيع الاحتمالي (عدد الصفوف والأعمدة) ونوعها. يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word.

المثال رقم 1. يحتوي المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد على جدول التوزيع:

حل. نجد قيمة q من الشرط Σp ij = 1
Σp ij = 0.02 + 0.03 + 0.11 + … + 0.03 + 0.02 + 0.01 + ف = 1
0.91+q = 1. من أين تأتي q = 0.09؟

باستخدام الصيغة ∑P(x أنا، ذ ي) = ص أنا(j=1..n) نجد متسلسلة التوزيع X.

التغاير cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 ·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40 ·0.09 - 25.2 · 2.59 = -0.068
معامل الارتباط r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

مثال 2. تنعكس البيانات المستمدة من المعالجة الإحصائية للمعلومات المتعلقة بالمؤشرين X وY في جدول الارتباط. مطلوب:

1. كتابة سلسلة توزيع لـ X وY وحساب متوسطات العينة وعينة الانحرافات المعيارية لهما؛
2. كتابة سلسلة التوزيع الشرطي Y/x وحساب المتوسطات الشرطية Y/x؛
3. تصور بيانياً اعتماد المتوسطات الشرطية Y/x على قيم X؛
4. حساب معامل ارتباط العينة Y على X؛
5. كتابة نموذج لمعادلة الانحدار الأمامي؛
6. تصوير بيانات جدول الارتباط هندسيًا وإنشاء خط الانحدار.

التوقع الرياضي الشرطي M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
التباين الشرطي د = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
قانون التوزيع المشروط X(Y=30).
ف(س=11/ص=30) = 0/9 = 0
ف(س=16/ص=30) = 6/9 = 0.67
ف(س=21/ص=30) = 3/9 = 0.33
ف(س=26/ص=30) = 0/9 = 0
ف(س=31/ص=30) = 0/9 = 0
ف(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
التباين الشرطي د = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
قانون التوزيع المشروط X(Y=40).
ف(س=11/ص=40) = 0/55 = 0
ف(س=16/ص=40) = 0/55 = 0
ف(س=21/ص=40) = 6/55 = 0.11
ف(س=26/ص=40) = 45/55 = 0.82
ف(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
ف(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
التباين الشرطي د = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
قانون التوزيع المشروط X(Y=50).
ف(س=11/ص=50) = 0/16 = 0
ف(س=16/ص=50) = 0/16 = 0
ف(س=21/ص=50) = 2/16 = 0.13
ف(س=26/ص=50) = 8/16 = 0.5
ف(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
ف(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
التباين الشرطي د = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
قانون التوزيع المشروط X(Y=60).
ف(س=11/ص=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
ف(س=26/ص=60) = 4/14 = 0.29
ف(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
ف(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
التوقع الرياضي الشرطي M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
التباين الشرطي د = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. قانون التوزيع المشروط Y.
قانون التوزيع المشروط Y(X=11).
ف(ص=20/س=11) = 2/2 = 1
ف(ص=30/س=11) = 0/2 = 0
ف(ص=40/س=11) = 0/2 = 0
ف(ص=50/س=11) = 0/2 = 0
ف(ص=60/س=11) = 0/2 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
التباين الشرطي د = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
قانون التوزيع المشروط Y(X=16).
ف(ص=20/س=16) = 4/10 = 0.4
ف(ص=30/س=16) = 6/10 = 0.6
ف(ص=40/س=16) = 0/10 = 0
ف(ص=50/س=16) = 0/10 = 0
ف(ص=60/س=16) = 0/10 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
التباين الشرطي د = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
قانون التوزيع المشروط Y(X=21).
ف(ص=20/س=21) = 0/11 = 0
ف(ص=30/س=21) = 3/11 = 0.27
ف(ص=40/س=21) = 6/11 = 0.55
ف(ص=50/س=21) = 2/11 = 0.18
ف(ص=60/س=21) = 0/11 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
التباين الشرطي د = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
قانون التوزيع المشروط Y(X=26).
ف(ص=20/س=26) = 0/57 = 0
ف(ص=30/س=26) = 0/57 = 0
ف(ص=40/س=26) = 45/57 = 0.79
ف(ص=50/س=26) = 8/57 = 0.14
ف(ص=60/س=26) = 4/57 = 0.0702
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
التباين الشرطي د = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
قانون التوزيع المشروط Y(X=31).
ف(ص=20/س=31) = 0/17 = 0
ف(ص=30/س=31) = 0/17 = 0
ف(ص=40/س=31) = 4/17 = 0.24
ف(ص=50/س=31) = 6/17 = 0.35
ف(ص=60/س=31) = 7/17 = 0.41
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
التباين الشرطي د = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
قانون التوزيع المشروط Y(X=36).
ف(ص=20/س=36) = 0/3 = 0
ف(ص=30/س=36) = 0/3 = 0
ف(ص=40/س=36) = 0/3 = 0
ف(ص=50/س=36) = 0/3 = 0
ف(ص=60/س=36) = 3/3 = 1
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
التباين الشرطي د = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
التغاير.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25.3 42.3 = 38.11
إذا كانت المتغيرات العشوائية مستقلة فإن تباينها يساوي صفر. في حالتنا، cov(X,Y) ≠ 0.
معامل الارتباط.


معادلة الانحدار الخطي من y إلى x هي:

معادلة الانحدار الخطي من x إلى y هي:

دعونا نجد الخصائص العددية اللازمة.
متوسطات العينة:
س = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
ص = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
الفروق:
σ 2 س = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 ص = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25.3 2 = 24.01
من أين نحصل على الانحرافات المعيارية من:
σ x = 9.99 و σ y = 4.9
والتباين:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42.3 25.3 = 38.11
لنحدد معامل الارتباط:


دعونا نكتب معادلات خطوط الانحدار y(x):

وبالحساب نحصل على:
ص س = 0.38 س + 9.14
دعونا نكتب معادلات خطوط الانحدار x(y):

وبالحساب نحصل على:
س ص = 1.59 ص + 2.15
إذا قمنا برسم النقاط التي يحددها الجدول وخطوط الانحدار، فسنرى أن كلا الخطين يمران بالنقطة ذات الإحداثيات (42.3، 25.3) وتقع النقاط بالقرب من خطوط الانحدار.
أهمية معامل الارتباط.

باستخدام جدول الطالب بمستوى الأهمية α=0.05 ودرجات الحرية k=100-m-1 = 98، نجد t Crit:
t Crit (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
حيث m = 1 هو عدد المتغيرات التوضيحية.
إذا لوحظ t > t حرج، فإن القيمة الناتجة لمعامل الارتباط تعتبر مهمة (تم رفض الفرضية الصفرية التي تنص على أن معامل الارتباط يساوي الصفر).
وبما أن tobs > t Crit، فإننا نرفض الفرضية القائلة بأن معامل الارتباط يساوي 0. وبعبارة أخرى، فإن معامل الارتباط ذو دلالة إحصائية.

يمارس. ويرد في الجدول عدد مرات دخول أزواج قيم المتغيرات العشوائية X و Y في الفترات المقابلة. باستخدام هذه البيانات، ابحث عن معامل ارتباط العينة ومعادلات العينة لخطوط الانحدار المستقيمة لـ Y على X وX على Y.
حل

مثال. يتم إعطاء التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ثنائي الأبعاد (X، Y) بواسطة جدول. أوجد قوانين توزيع الكميات المكونة X وY ومعامل الارتباط p(X, Y).
تحميل الحل

يمارس. يتم إعطاء كمية منفصلة ثنائية الأبعاد (X، Y) بواسطة قانون التوزيع. أوجد قوانين توزيع المكونات X وY، والتباين ومعامل الارتباط.

ويسمى الزوج المرتب (X، Y) من المتغيرات العشوائية X و Y بمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد، أو متجه عشوائي في فضاء ثنائي الأبعاد. يُطلق على المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد (X,Y) أيضًا اسم نظام المتغيرات العشوائية X و Y. وتسمى مجموعة جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي منفصل مع احتمالاتها بقانون توزيع هذا المتغير العشوائي. يعتبر المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد (X، Y) معلومًا إذا كان قانون توزيعه معروفًا:

P(X=x i , Y=y j) = p j , i=1,2...,n, j=1,2...,m

الغرض من الخدمة. باستخدام الخدمة، وفقًا لقانون التوزيع المحدد، يمكنك العثور على:

• سلسلة التوزيع X و Y، التوقع الرياضي M[X]، M[Y]، التباين D[X]، D[Y]؛
• التغاير cov(x,y), معامل الارتباط r x,y, سلسلة التوزيع الشرطي X, التوقع الشرطي M;

بالإضافة إلى ذلك، تم تقديم إجابة السؤال "هل يعتمد المتغيران العشوائيان X وY؟".

تعليمات. تحديد بُعد مصفوفة التوزيع الاحتمالي (عدد الصفوف والأعمدة) ونوعها. يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word.

المثال رقم 1. يحتوي المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد على جدول التوزيع:

ص/س	1	2	3	4
10	0	0,11	0,12	0,03
20	0	0,13	0,09	0,02
30	0,02	0,11	0,08	0,01
40	0,03	0,11	0,05	س

أوجد قيمة q ومعامل الارتباط لهذا المتغير العشوائي.

حل. نجد قيمة q من الشرط Σp ij = 1
Σp ij = 0.02 + 0.03 + 0.11 + … + 0.03 + 0.02 + 0.01 + ف = 1
0.91+q = 1. من أين تأتي q = 0.09؟

باستخدام الصيغة ∑P(x أنا، ذ ي) = ص أنا(j=1..n) نجد متسلسلة التوزيع X.

التوقع م[ص].
م[ص] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
التباين د[ص] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
الانحراف المعياريσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801

التغاير cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 ·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40 ·0.09 - 25.2 · 2.59 = -0.068
معامل الارتباط r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736

مثال 2. تنعكس البيانات المستمدة من المعالجة الإحصائية للمعلومات المتعلقة بالمؤشرين X وY في جدول الارتباط. مطلوب:

1. كتابة سلسلة توزيع لـ X وY وحساب متوسطات العينة وعينة الانحرافات المعيارية لهما؛
2. كتابة سلسلة التوزيع الشرطي Y/x وحساب المتوسطات الشرطية Y/x؛
3. تصور بيانياً اعتماد المتوسطات الشرطية Y/x على قيم X؛
4. حساب معامل ارتباط العينة Y على X؛
5. كتابة نموذج لمعادلة الانحدار الأمامي؛
6. تصوير بيانات جدول الارتباط هندسيًا وإنشاء خط الانحدار.

حل. ويسمى الزوج المرتب (X,Y) من المتغيرات العشوائية X وY بمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد، أو متجه عشوائي في فضاء ثنائي الأبعاد. يسمى المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد (X,Y) أيضًا بنظام المتغيرات العشوائية X وY.
تسمى مجموعة جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي المنفصل مع احتمالاتها بقانون توزيع هذا المتغير العشوائي.
يعتبر المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد (X,Y) معلومًا إذا كان قانون توزيعه معروفًا:
P(X=x i , Y=y j) = p i , ط=1,2...,ن, ي=1,2..,م

س/ص	20	30	40	50	60
11	2	0	0	0	0
16	4	6	0	0	0
21	0	3	6	2	0
26	0	0	45	8	4
31	0	0	4	6	7
36	0	0	0	0	3

الأحداث (X=x i, Y=y j) تشكل مجموعة كاملة من الأحداث، وبالتالي فإن مجموع كل الاحتمالات p j ( ط=1,2...,ن, ي=1,2..,م) المشار إليها في الجدول يساوي 1.
1. الاعتماد على المتغيرات العشوائية X و Y.
أوجد سلسلة التوزيع X وY.
باستخدام الصيغة ∑P(x أنا، ذ ي) = ص أنا(j=1..n) نجد متسلسلة التوزيع X. التوقع م[ص].
م[ص] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42.3
التباين د[ص].
د[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42.3 2 = 99.71
الانحراف المعياري σ(ص).

بما أن P(X=11,Y=20) = 2≠2 6، فإن المتغيرين العشوائيين X وY متكل.
2. قانون التوزيع المشروط X.
قانون التوزيع المشروط X(Y=20).
ف(س=11/ص=20) = 2/6 = 0.33
ف(س=16/ص=20) = 4/6 = 0.67
ف(س=21/ص=20) = 0/6 = 0
ف(س=26/ص=20) = 0/6 = 0
ف(س=31/ص=20) = 0/6 = 0
ف(س=36/ص=20) = 0/6 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
التباين الشرطي د = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
قانون التوزيع المشروط X(Y=30).
ف(س=11/ص=30) = 0/9 = 0
ف(س=16/ص=30) = 6/9 = 0.67
ف(س=21/ص=30) = 3/9 = 0.33
ف(س=26/ص=30) = 0/9 = 0
ف(س=31/ص=30) = 0/9 = 0
ف(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
التباين الشرطي د = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
قانون التوزيع المشروط X(Y=40).
ف(س=11/ص=40) = 0/55 = 0
ف(س=16/ص=40) = 0/55 = 0
ف(س=21/ص=40) = 6/55 = 0.11
ف(س=26/ص=40) = 45/55 = 0.82
ف(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
ف(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
التباين الشرطي د = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
قانون التوزيع المشروط X(Y=50).
ف(س=11/ص=50) = 0/16 = 0
ف(س=16/ص=50) = 0/16 = 0
ف(س=21/ص=50) = 2/16 = 0.13
ف(س=26/ص=50) = 8/16 = 0.5
ف(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
ف(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
التباين الشرطي د = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
قانون التوزيع المشروط X(Y=60).
ف(س=11/ص=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
ف(س=26/ص=60) = 4/14 = 0.29
ف(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
ف(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
التوقع الرياضي الشرطي M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
التباين الشرطي د = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. قانون التوزيع المشروط Y.
قانون التوزيع المشروط Y(X=11).
ف(ص=20/س=11) = 2/2 = 1
ف(ص=30/س=11) = 0/2 = 0
ف(ص=40/س=11) = 0/2 = 0
ف(ص=50/س=11) = 0/2 = 0
ف(ص=60/س=11) = 0/2 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
التباين الشرطي د = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
قانون التوزيع المشروط Y(X=16).
ف(ص=20/س=16) = 4/10 = 0.4
ف(ص=30/س=16) = 6/10 = 0.6
ف(ص=40/س=16) = 0/10 = 0
ف(ص=50/س=16) = 0/10 = 0
ف(ص=60/س=16) = 0/10 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
التباين الشرطي د = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
قانون التوزيع المشروط Y(X=21).
ف(ص=20/س=21) = 0/11 = 0
ف(ص=30/س=21) = 3/11 = 0.27
ف(ص=40/س=21) = 6/11 = 0.55
ف(ص=50/س=21) = 2/11 = 0.18
ف(ص=60/س=21) = 0/11 = 0
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
التباين الشرطي د = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
قانون التوزيع المشروط Y(X=26).
ف(ص=20/س=26) = 0/57 = 0
ف(ص=30/س=26) = 0/57 = 0
ف(ص=40/س=26) = 45/57 = 0.79
ف(ص=50/س=26) = 8/57 = 0.14
ف(ص=60/س=26) = 4/57 = 0.0702
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
التباين الشرطي د = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
قانون التوزيع المشروط Y(X=31).
ف(ص=20/س=31) = 0/17 = 0
ف(ص=30/س=31) = 0/17 = 0
ف(ص=40/س=31) = 4/17 = 0.24
ف(ص=50/س=31) = 6/17 = 0.35
ف(ص=60/س=31) = 7/17 = 0.41
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
التباين الشرطي د = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
قانون التوزيع المشروط Y(X=36).
ف(ص=20/س=36) = 0/3 = 0
ف(ص=30/س=36) = 0/3 = 0
ف(ص=40/س=36) = 0/3 = 0
ف(ص=50/س=36) = 0/3 = 0
ف(ص=60/س=36) = 3/3 = 1
التوقع الرياضي الشرطي M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
التباين الشرطي د = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
التغاير.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25.3 42.3 = 38.11
إذا كانت المتغيرات العشوائية مستقلة فإن تباينها يساوي صفر. في حالتنا، cov(X,Y) ≠ 0.
معامل الارتباط.


معادلة الانحدار الخطي من y إلى x هي:

معادلة الانحدار الخطي من x إلى y هي:

دعونا نجد الخصائص العددية اللازمة.
متوسطات العينة:
س = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
ص = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
الفروق:
σ 2 س = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 ص = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25.3 2 = 24.01
من أين نحصل على الانحرافات المعيارية من:
σ x = 9.99 و σ y = 4.9
والتباين:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42.3 25.3 = 38.11
لنحدد معامل الارتباط:


دعونا نكتب معادلات خطوط الانحدار y(x):

وبالحساب نحصل على:
ص س = 0.38 س + 9.14
دعونا نكتب معادلات خطوط الانحدار x(y):

وبالحساب نحصل على:
س ص = 1.59 ص + 2.15
إذا قمنا برسم النقاط التي يحددها الجدول وخطوط الانحدار، فسنرى أن كلا الخطين يمران بالنقطة ذات الإحداثيات (42.3، 25.3) وتقع النقاط بالقرب من خطوط الانحدار.
أهمية معامل الارتباط.

باستخدام جدول الطالب بمستوى الأهمية α=0.05 ودرجات الحرية k=100-m-1 = 98، نجد t Crit:
t Crit (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
حيث m = 1 هو عدد المتغيرات التوضيحية.
إذا لوحظ t > t حرج، فإن القيمة الناتجة لمعامل الارتباط تعتبر مهمة (تم رفض الفرضية الصفرية التي تنص على أن معامل الارتباط يساوي الصفر).
وبما أن tobs > t Crit، فإننا نرفض الفرضية القائلة بأن معامل الارتباط يساوي 0. وبعبارة أخرى، فإن معامل الارتباط ذو دلالة إحصائية.

يمارس. ويرد في الجدول عدد مرات دخول أزواج قيم المتغيرات العشوائية X و Y في الفترات المقابلة. باستخدام هذه البيانات، ابحث عن معامل ارتباط العينة ومعادلات العينة لخطوط الانحدار المستقيمة لـ Y على X وX على Y.
حل

مثال. يتم إعطاء التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ثنائي الأبعاد (X، Y) بواسطة جدول. أوجد قوانين توزيع الكميات المكونة X وY ومعامل الارتباط p(X, Y).
تحميل الحل

يمارس. يتم إعطاء كمية منفصلة ثنائية الأبعاد (X، Y) بواسطة قانون التوزيع. أوجد قوانين توزيع المكونات X وY، والتباين ومعامل الارتباط.

ثنائي الأبعاد توزيع منفصلعشوائي

غالبًا ما يتم وصف نتيجة التجربة بعدة متغيرات عشوائية: . على سبيل المثال، الطقس في هذا المكانفي وقت معين من اليوم يمكن وصفه بالمتغيرات العشوائية التالية: X 1 - درجة الحرارة، X 2 - الضغط، X 3 - رطوبة الهواء، X 4- سرعة الرياح .

في هذه الحالة، نتحدث عن متغير عشوائي متعدد الأبعاد أو نظام من المتغيرات العشوائية.

خذ بعين الاعتبار متغيرًا عشوائيًا ثنائي الأبعاد تكون قيمه المحتملة عبارة عن أزواج من الأرقام. هندسيًا، يمكن تفسير المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد على أنه نقطة عشوائية على المستوى.

إذا كانت المكونات Xو يهي متغيرات عشوائية منفصلة، ​​إذن هي متغير عشوائي منفصل ثنائي الأبعاد، وإذا Xو يمستمرة، فهو متغير عشوائي مستمر ثنائي الأبعاد.

قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ثنائي الأبعاد هو المراسلات بين القيم المحتملة واحتمالاتها.

يمكن تحديد قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل ثنائي الأبعاد على شكل جدول ذو مدخلات مزدوجة (انظر الجدول 6.1)، حيث يكون احتمال أن المكون Xأخذت على المعنى س أنا، والمكون ي- معنى ذ ي .

الجدول 6.1.1.

	ذ 1	ذ 2		ذ ي		ذ م
س 1	ص 11	ص 12		ص 1 ي		ص 1 م
س 2	ص 21	ص 22		ص 2ي		ص 2 م
س أنا	ص i1	ص i2		ص اي جاي		ص أنا
س ن	ص ن1	ص ن2		ص نيوجيرسي		ص نانومتر

وبما أن الأحداث تشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة، فإن مجموع الاحتمالات يساوي 1، أي.

من الجدول 6.1 يمكنك العثور على قوانين توزيع المكونات أحادية البعد Xو ي.

مثال 6.1.1 . العثور على قوانين توزيع المكونات Xو ص،إذا كان توزيع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد معطى في شكل جدول 6.1.2.

الجدول 6.1.2.

فإذا قمنا بإصلاح قيمة إحدى الوسيطات، على سبيل المثال، فإن التوزيع الناتج للقيمة Xيسمى التوزيع المشروط يتم تعريف التوزيع الشرطي بالمثل ي.

مثال 6.1.2 . حسب توزيع المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد المبين في الجدول. 6.1.2 أوجد: أ) قانون التوزيع الشرطي للمكون Xبشرط؛ ب) قانون التوزيع المشروط يبشرط.

حل. الاحتمالات الشرطيةعناصر Xو يتحسب باستخدام الصيغ

قانون التوزيع المشروط Xبشرط أن يكون له النموذج

يتحكم: .

يمكن تحديد قانون التوزيع لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد في النموذج وظائف التوزيع، والذي يحدد لكل زوج من الأرقام احتمال ذلك Xسوف يستغرق قيمة أقل من X، وفيها يسوف يستغرق قيمة أقل من ذ:

هندسياً، تعني الدالة احتمال سقوط نقطة عشوائية في مربع لا نهائي يكون رأسه عند هذه النقطة (الشكل 6.1.1).

دعونا نلاحظ الخصائص.

• 1. نطاق قيم الدالة هو .
• 2. الدالة - دالة غير متناقصة لكل وسيطة.
• 3. هناك علاقات محدودة:

عندما تصبح وظيفة التوزيع للنظام مساوية لوظيفة التوزيع للمكون X، أي. .

على نفس المنوال، .

بمعرفة ذلك، يمكنك إيجاد احتمال وقوع نقطة عشوائية ضمن المستطيل ABCD.

يسمى،

مثال 6.1.3. يتم تحديد متغير عشوائي منفصل ثنائي الأبعاد بواسطة جدول التوزيع

ابحث عن دالة التوزيع.

حل. القيمة في حالة المكونات المنفصلة Xو يتم العثور عليها من خلال جمع كل الاحتمالات مع المؤشرات أناو ي، لأي منهم، . ثم إذا و إذًا (الأحداث و مستحيلة). وبالمثل نحصل على:

إذا و، ثم؛

إذا و، ثم؛

إذا و، ثم؛

إذا و، ثم؛

إذا و، ثم؛

إذا و، ثم؛

إذا و، ثم؛

إذا و، ثم؛

إذا و، ثم.

ولنعرض النتائج التي تم الحصول عليها في شكل جدول (6.1.3) للقيم:

ل ثنائي الأبعاد مستمرالمتغير العشوائي، تم تقديم مفهوم الكثافة الاحتمالية

كثافة الاحتمالية الهندسية هي سطح التوزيع في الفضاء

تتميز كثافة الاحتمال ثنائية الأبعاد بالخصائص التالية:

3. يمكن التعبير عن دالة التوزيع من خلال الصيغة

4. احتمال سقوط متغير عشوائي مستمر في المنطقة يساوي

5. طبقاً للخاصية (4) للدالة، فإن الصيغ التالية تحمل:

مثال 6.1.4.يتم إعطاء دالة التوزيع لمتغير عشوائي ثنائي الأبعاد