مجموع زوايا المثلث. نظرية مجموع زوايا المثلث

نظرية. مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي زاويتين قائمتين.

لنأخذ المثلث ABC (الشكل 208). دعونا نشير إلى زواياه الداخلية بالأرقام 1 و 2 و 3. ولنثبت ذلك

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

دعونا نرسم من خلال أحد رؤوس المثلث، على سبيل المثال B، خطًا مستقيمًا MN موازيًا لـ AC.

عند الرأس B، حصلنا على ثلاث زوايا: ∠4، ∠2، و∠5. مجموعها زاوية مستقيمة، وبالتالي فهي تساوي 180 درجة:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

لكن ∠4 = ∠1 هي زوايا عرضية داخلية ذات خطوط متوازية MN وAC والقاطع AB.

∠5 = ∠3 - هذه زوايا عرضية داخلية ذات خطوط متوازية MN وAC والقاطع BC.

هذا يعني أنه يمكن استبدال ∠4 و∠5 بما يساويهما ∠1 و∠3.

وبالتالي، ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. لقد تم إثبات النظرية.

2. خاصية الزاوية الخارجية للمثلث.

في الواقع، في المثلث ABC (الشكل 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3، ولكن أيضًا ∠ВСD، الزاوية الخارجية لهذا المثلث، غير المجاورة لـ ∠1 و∠2، تساوي أيضًا 180° - ∠3 .

هكذا:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

لذلك، ∠1 + ∠2= ∠BCD.

توضح الخاصية المشتقة للزاوية الخارجية للمثلث محتوى النظرية المثبتة مسبقًا حول الزاوية الخارجية للمثلث، والتي تنص فقط على أن الزاوية الخارجية للمثلث أكبر من كل زاوية داخلية للمثلث غير مجاورة لها؛ وثبت الآن أن الزاوية الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين لها.

3. خاصية المثلث القائم الزاوية بزاوية 30 درجة.

لتكن الزاوية B في المثلث القائم ACB مساوية 30° (شكل 210). فيكون قياس الزاوية الحادة الأخرى 60 درجة.

دعونا نثبت أن الساق AC تساوي نصف الوتر AB. دعونا نمد الساق AC إلى ما بعد قمة الزاوية القائمة C ونضع جانبًا القطعة CM المساوية للقطعة AC. دعونا نربط النقطة M بالنقطة B. المثلث الناتج ВСМ يساوي المثلث ACB. نرى أن قياس كل زاوية من زوايا المثلث ABM يساوي 60 درجة، وبالتالي فإن هذا المثلث مثلث متساوي الأضلاع.

الساق AC تساوي نصف AM، وبما أن AM يساوي AB، فإن الساق AC ستكون مساوية لنصف الوتر AB.

متابعة من الأمس:

هيا نلعب بفسيفساء مستوحاة من قصة هندسية خيالية:

ذات مرة كان هناك مثلثات. متشابهة لدرجة أنها مجرد نسخ من بعضها البعض.
لقد وقفوا بطريقة ما جنبًا إلى جنب في خط مستقيم. وبما أنهم كانوا جميعا بنفس الارتفاع -
ثم كانت قممها على نفس المستوى، تحت المسطرة:

المثلثات تحب أن تتعثر وتقف على رؤوسها. صعدوا إلى الصف العلوي ووقفوا في الزاوية كالأكروبات.
ونحن نعلم بالفعل - عندما يقفون وقممهم في خط واحد تمامًا،
ثم يتبع باطنهم أيضًا المسطرة - لأنه إذا كان شخص ما بنفس الارتفاع، فهو أيضًا بنفس الارتفاع رأسًا على عقب!

لقد كانا متماثلين في كل شيء، نفس الطول، ونفس النعال،
والشرائح الموجودة على الجانبين - واحدة أكثر انحدارًا والأخرى أكثر استواءً - هي نفسها في الطول
ولهما نفس المنحدر. حسنًا، توأمان فقط! (فقط بملابس مختلفة، ولكل منها قطعة اللغز الخاصة بها).

- أين المثلثات لها أضلاع متطابقة؟ أين هي الزوايا نفسها؟

وقف المثلثون على رؤوسهم، ووقفوا هناك، ثم قرروا الانزلاق والاستلقاء في الصف السفلي.
انزلقوا وانزلقوا إلى أسفل التل. لكن شرائحهم هي نفسها!
لذا فهي تتناسب تمامًا بين المثلثات السفلية، دون فجوات، ولا يدفع أحد أحدًا جانبًا.

نظرنا حول المثلثات ولاحظنا ميزة مثيرة للاهتمام.
وحيثما اجتمعت زواياهم، فلا شك أن الزوايا الثلاث ستلتقي:
الأكبر هي "زاوية الرأس"، والزاوية الأكثر حدة، والثالثة هي الزاوية المتوسطة الأكبر.
حتى أنهم ربطوا أشرطة ملونة حتى يتضح على الفور أي منها.

واتضح أن زوايا المثلث الثلاث، إذا قمت بدمجها -
تشكل زاوية واحدة كبيرة، "زاوية مفتوحة" - مثل غلاف كتاب مفتوح،

______________________يا _____

يطلق عليه زاوية تحول.

أي مثلث يشبه جواز السفر: ثلاث زوايا معًا تساوي الزاوية المفتوحة.
هناك من يطرق بابك:- نوك نوك، أنا مثلث، دعني أقضي الليل!
وأنت تقول له - أرني مجموع الزوايا في الصورة الموسعة!
ومن الواضح على الفور ما إذا كان هذا مثلثًا حقيقيًا أم محتالًا.
لم ينجح في الاختبار - استدر مئة وثمانين درجة وارجع إلى المنزل!

عندما يقولون "استدر 180 درجة" فهذا يعني الاستدارة للخلف و
اذهب في الاتجاه المعاكس.

نفس الشيء في تعبيرات أكثر دراية، دون "كان ياما كان":

دعونا نجري ترجمة موازية للمثلث ABC على طول محور OX
إلى المتجه أ.بيساوي طول القاعدة AB.
خط DF يمر عبر القمم C و C 1 للمثلثات
موازيًا لمحور OX، لأنه عمودي على محور OX
القطع h و h 1 (ارتفاعات المثلثات المتساوية) متساوية.
وبالتالي فإن قاعدة المثلث A 2 B 2 C 2 موازية للقاعدة AB
ويساويها في الطول (نظرًا لأن الرأس C 1 يتم إزاحته بالنسبة إلى C بمقدار AB).
المثلثان A 2 B 2 C 2 و ABC متساويان من ثلاثة أضلاع.
وبالتالي فإن الزوايا ∠A 1 ∠B ∠C 2 التي تشكل زاوية مستقيمة تساوي زوايا المثلث ABC.
=> مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة

مع الحركات - "الترجمات"، فإن ما يسمى بالبرهان أقصر وأوضح،
حتى الطفل يمكنه فهم قطع الفسيفساء.

لكن المدرسة التقليدية:

على أساس تساوي الزوايا الداخلية المتقاطعة المقطوعة على خطوط متوازية

قيمة لأنها تعطي فكرة عن سبب حدوث ذلك،
لماذامجموع زوايا المثلث يساوي الزاوية العكسية؟

لأنه بخلاف ذلك لن يكون للخطوط المتوازية الخصائص المألوفة في عالمنا.

النظريات تعمل في كلا الاتجاهين. من بديهية الخطوط المتوازية يتبع
المساواة بين الزوايا المستقيمة والعمودية ومنهم - مجموع زوايا المثلث.

لكن العكس هو الصحيح أيضًا: طالما أن زوايا المثلث تساوي 180 درجة، فهناك خطوط متوازية
(بحيث يمكن من خلال نقطة لا تقع على خط رسم خط فريد || من الخط المعطى).
إذا ظهر في العالم في يوم من الأيام مثلث لا يساوي مجموع زواياه الزاوية المفتوحة -
عندها ستتوقف المتوازيات عن أن تكون متوازية، وسوف ينحني العالم كله وينحرف.

إذا تم وضع خطوط ذات أنماط مثلثية واحدة فوق الأخرى -
يمكنك تغطية الحقل بأكمله بنمط متكرر، مثل الأرضية بالبلاط:

يمكنك رسم أشكال مختلفة على مثل هذه الشبكة - الأشكال السداسية والمعينات،
المضلعات النجمية والحصول على مجموعة متنوعة من الباركيه

إن تبليط الطائرة بالباركيه ليس مجرد لعبة مسلية فحسب، بل هو أيضًا مسألة رياضية ذات صلة:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

وبما أن كل شكل رباعي هو مستطيل أو مربع أو معين الخ.
يمكن أن تتكون من مثلثين
على التوالي، مجموع زوايا الشكل الرباعي: 180° + 180° = 360°

يتم طي المثلثات المتساوية الساقين إلى مربعات بطرق مختلفة.
مربع صغير من جزأين. متوسط ​​4. والأكبر من 8.
ما عدد الأشكال الموجودة في الرسم والتي تتكون من 6 مثلثات؟

هل يمكنك إثبات أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة؟ وحصلت على أفضل إجابة

إجابة من Top_ed[المعلم]
لماذا نثبت شيئًا تم إثباته بالفعل منذ وقت طويل جدًا.
تنص نظرية مجموع زوايا المثلث، وهي نظرية كلاسيكية في الهندسة الإقليدية، على ذلك
مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.
دع ABC يكون مثلثًا عشوائيًا. دعونا نرسم خطًا يمر بالرأس B موازيًا للخط AC. دعونا نحدد النقطة D عليها بحيث تقع النقطتان A وD على طرفي نقيض من الخط BC.
تتطابق الزاويتان DBC وACB كزاويتين متقاطعتين داخليتين تشكلهما BC المستعرضة مع الخطوط المتوازية AC وBD. وبالتالي فإن مجموع زوايا المثلث عند الرؤوس B وC يساوي الزاوية ABD.
مجموع الزوايا الثلاث للمثلث يساوي مجموع الزوايا ABD وBAC. وبما أن هذه الزوايا الداخلية أحادية الجانب للتوازيين AC وBD والقاطع AB، فإن مجموعها هو 180 درجة. لقد تم إثبات النظرية.

الإجابة من بوريسكا (ج)[المعلم]
أستطيع، ولكن لا أتذكر كيف))

الإجابة من موراشكينا[المعلم]
يستطيع. هل الأمر عاجل بالنسبة لك؟ ؟ هل ستتقدم لامتحان الصف الخامس؟ ؟ :))

الإجابة من أوري سيميكين[المعلم]
1. يعتمد ذلك على هندسة الفضاء. على مستوى ريمان > 180، على المربع. لوباتشيفسكي< 180. На Эвклидовой - равенство.
2. ارسم خطًا عبر الرأس موازيًا لأحد الجانبين وافحص الزوايا العرضية التي يشكلها الجانبان والخط الإضافي. الزاوية الناتجة (180) تساوي مجموع زوايا المثلث الثلاث.

ويعتمد الدليل بشكل أساسي على حقيقة أنه لا يمكن رسم سوى خط متوازي واحد. هناك الكثير من الأشكال الهندسية حيث ليس هذا هو الحال.

الإجابة من يوري[المعلم]
لماذا تثبت ما تم إثباته؟)) اقطع المربع إلى قسمين إذا كنت تريد شيئًا جديدًا))

الإجابة من نيكولاي إيفجينيفيتش[المعلم]
انا لااستطيع.

الإجابة من أليكس بريشكا[خبير]
نعم، لا يوجد شيء يمكن إثباته هنا، ما عليك سوى إضافة الزوايا لبعضها البعض وهذا كل شيء.

الإجابة من 2 إجابات[المعلم]

مرحبًا! فيما يلي مجموعة مختارة من المواضيع التي تحتوي على إجابات لسؤالك: هل يمكنك إثبات أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة؟