حل المعادلات الأسية التي يتم اختزالها إلى الدرجة التربيعية. حل المعادلات الأسية

1 درجة. المعادلات الأسيةتسمى المعادلات التي تحتوي على متغير في الأس.

يعتمد حل المعادلات الأسية على خاصية القوى: قوتان لهما نفس الأساس متساويان إذا وفقط إذا كانت أسسهما متساوية.

2 درجة. الطرق الأساسية لحل المعادلات الأسية:

1) أبسط معادلة لها حل.

2) معادلة النموذج اللوغاريتمي للقاعدة أ تقليل إلى الشكل؛

3) معادلة الشكل تعادل المعادلة ;

4) معادلة النموذج يعادل المعادلة.

5) يتم اختزال معادلة من الشكل من خلال التعويض في معادلة، ثم يتم حل مجموعة من المعادلات الأسية البسيطة؛

6) المعادلة مع المقلوبات عن طريق الاستبدال يختزلون إلى معادلة، ثم يحلون مجموعة من المعادلات؛

7) المعادلات المتجانسة فيما يتعلق ز(خ)و ب ز(خ)بشرط عطوف ومن خلال الاستبدال يتم اختزالها إلى معادلة، ومن ثم يتم حل مجموعة من المعادلات.

تصنيف المعادلات الأسية.

1. حل المعادلات بالذهاب إلى قاعدة واحدة.

مثال 18. حل المعادلة .

الحل: لنستفيد من أن جميع قواعد القوى هي قوى الرقم 5: .

2. المعادلات التي تم حلها بالتمرير إلى الأس واحد.

يتم حل هذه المعادلات عن طريق تحويل المعادلة الأصلية إلى النموذج ، والتي تم اختزالها إلى أبسط حالاتها باستخدام خاصية التناسب.

مثال 19. حل المعادلة:

3. حل المعادلات بإخراج العامل المشترك من الأقواس.

إذا كان كل أس في معادلة يختلف عن الآخر بعدد معين، يتم حل المعادلات بوضع الأس ذو الأس الأصغر خارج القوسين.

مثال 20. حل المعادلة.

الحل: لنأخذ الدرجة ذات الأس الأصغر بين قوسين على الجانب الأيسر من المعادلة:

مثال 21. حل المعادلة

الحل: لنجمع بشكل منفصل على الجانب الأيسر من المعادلة الحدود التي تحتوي على القوى ذات الأساس 4، وعلى الجانب الأيمن - مع الأساس 3، ثم نضع القوى ذات الأس الأصغر بين قوسين:

4. المعادلات التي يتم اختزالها إلى معادلات تربيعية (أو مكعبة)..

تم تحويل المعادلات التالية إلى معادلة تربيعية للمتغير الجديد y:

أ) نوع الاستبدال في هذه الحالة.

ب) نوع الاستبدال و .

مثال 22. حل المعادلة .

الحل: لنغير المتغير ونحل المعادلة التربيعية:

الجواب: 0؛ 1.

5. المعادلات المتجانسة فيما يتعلق بالدوال الأسية.

معادلة الشكل هي معادلة متجانسة من الدرجة الثانية بالنسبة إلى المجهولات فأسو ب س. يتم اختزال مثل هذه المعادلات عن طريق قسمة الطرفين أولاً ثم استبدالهما بمعادلات تربيعية.

مثال 23. حل المعادلة.

الحل: قسمة طرفي المعادلة على:

وبذلك نحصل على معادلة تربيعية ذات جذور.

الآن تكمن المشكلة في حل مجموعة من المعادلات . من المعادلة الأولى نجد أن . المعادلة الثانية ليس لها جذور، لأنه لأي قيمة س.

الجواب: -1/2.

6. المعادلات المنطقية فيما يتعلق بالوظائف الأسية.

مثال 24. حل المعادلة.

الحل: قسمة بسط الكسر ومقامه على 3 ×وبدلاً من اثنين نحصل على دالة أسية واحدة:

7. معادلات النموذج .

مثل هذه المعادلات ذات مجموعة القيم المقبولة (APV)، التي يحددها الشرط، عن طريق أخذ لوغاريتم طرفي المعادلة، يتم اختزالها إلى معادلة مكافئة، والتي بدورها تعادل مجموعة من معادلتين أو.

مثال 25. حل المعادلة: .

المادة التعليمية.

حل المعادلات:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. أوجد حاصل ضرب جذور المعادلة .

27. أوجد مجموع جذور المعادلة .

ابحث عن معنى العبارة:

28. حيث × 0- جذر المعادلة ;

29. حيث × 0- الجذر الكامل للمعادلة .

حل المعادلة:

31. ; 32. .

الإجابات: 10؛ 2.-2/9؛ 3. 1/36؛ 4.0، 0.5؛ 50؛ 6.0; 7. -2؛ 8.2؛ 9. 1، 3؛ 10. 8؛ 11.5؛ 12.1؛ 13. ¼؛ 14.2؛ 15. -2، -1؛ 16. -2، 1؛ 17.0; 18.1؛ 19.0; 20. -1، 0؛ 21. -2، 2؛ 22. -2، 2؛ 23.4؛ 24. -1، 2؛ 25. -2، -1، 3؛ 26. -0.3؛ 27.3؛ 28.11؛ 29.54؛ 30. -1، 0، 2، 3؛ 31.؛ 32. .

الموضوع رقم 8.

عدم المساواة الأسية.

1 درجة. تسمى المتباينة التي تحتوي على متغير في الأس عدم المساواة الأسية.

2 درجة. يعتمد حل المتباينات الأسية للنموذج على العبارات التالية:

إذا، فإن عدم المساواة يعادل؛

إذا، فإن عدم المساواة يعادل .

عند حل المتباينات الأسية، يتم استخدام نفس الأساليب المستخدمة عند حل المعادلات الأسية.

المثال 26. حل عدم المساواة (طريقة الانتقال إلى قاعدة واحدة).

الحل: لأنه ، فيمكن كتابة عدم المساواة المعطاة على النحو التالي: . وبما أن هذه المتباينة تعادل المتباينة .

وبحل المتباينة الأخيرة نحصل على .

مثال 27. حل المتراجحة: ( وذلك بإخراج العامل المشترك من الأقواس).

الحل: نخرج الأقواس الموجودة على الجانب الأيسر من المتراجحة، وعلى الجانب الأيمن من المتراجحة ونقسم طرفي المتراجحة على (-2)، ونغير إشارة المتراجحة إلى العكس:

منذ ذلك الحين، عند الانتقال إلى عدم المساواة في المؤشرات، تتغير علامة عدم المساواة مرة أخرى إلى العكس. نحن نحصل. ومن ثم، فإن مجموعة جميع الحلول لهذه المتباينة هي الفترة.

مثال 28. حل عدم المساواة ( وذلك من خلال إدخال متغير جديد).

الحل : اسمح . ثم سوف يأخذ هذا عدم المساواة الشكل: أو ، الذي حله هو الفاصل الزمني.

من هنا. وبما أن الدالة تزيد، إذن .

المادة التعليمية.

حدد مجموعة الحلول للمتباينة:

1. ; 2. ; 3. ;

6. بأي قيم سهل تقع النقاط على الرسم البياني للدالة أسفل الخط المستقيم؟

7. بأي قيم سهل النقاط على الرسم البياني للدالة تقع على الأقل عند مستوى الخط المستقيم؟

حل عدم المساواة:

8. ; 9. ; 10. ;

13. حدد أكبر حل صحيح للمتراجحة .

14. أوجد حاصل ضرب أكبر عدد صحيح وأصغر عدد صحيح في حلول المتراجحة .

حل عدم المساواة:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

أوجد مجال الدالة:

27. ; 28. .

29. ابحث عن مجموعة قيم الوسيطات التي تكون قيم كل دالة فيها أكبر من 3:

و .

الإجابات: 11.3؛ 12.3؛ 13. -3؛ 14.1؛ 15. (0; 0.5); 16.؛ 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2؛ 2]؛ 19. (0; +∞); 20. (0؛ 1)؛ 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24.(-١;١); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)ش (4; +∞); 27. (-∞; 3)ش(5); 28.

قد يبدو البعض منهم أكثر تعقيدا بالنسبة لك، والبعض الآخر، على العكس من ذلك، بسيط للغاية. ولكن لديهم جميعًا ميزة واحدة مهمة مشتركة: يحتوي ترميزهم على الدالة الأسية $f\left(x \right)=((a)^(x))$. وهكذا، دعونا نقدم التعريف:

المعادلة الأسية هي أي معادلة تحتوي على دالة أسية، أي. تعبير عن النموذج $((a)^(x))$. بالإضافة إلى الوظيفة المشار إليها، يمكن أن تحتوي هذه المعادلات على أي تركيبات جبرية أخرى - متعددات الحدود، والجذور، وعلم المثلثات، واللوغاريتمات، وما إلى ذلك.

حسنا إذا. لقد قمنا بفرز التعريف. والسؤال الآن هو: كيف نحل كل هذه الهراء؟ الإجابة بسيطة ومعقدة معا.

لنبدأ بالأخبار الجيدة: من تجربتي في تدريس العديد من الطلاب، أستطيع أن أقول إن معظمهم يجدون المعادلات الأسية أسهل بكثير من نفس اللوغاريتمات، وحتى علم المثلثات.

ولكن هناك أخبار سيئة: في بعض الأحيان يصاب مؤلفو المسائل المتعلقة بجميع أنواع الكتب المدرسية والامتحانات بـ "الإلهام"، وتبدأ أدمغتهم الملتهبة بالمخدرات في إنتاج مثل هذه المعادلات الوحشية التي يصبح حلها مشكلة ليس فقط للطلاب - بل وحتى للعديد من المعلمين تتعثر في مثل هذه المشاكل.

ومع ذلك، دعونا لا نتحدث عن الأشياء المحزنة. ودعونا نعود إلى تلك المعادلات الثلاث التي تم تقديمها في بداية القصة. دعونا نحاول حل كل واحد منهم.

المعادلة الأولى: $((2)^(x))=4$. حسنًا، إلى أي قوة يجب عليك رفع الرقم 2 للحصول على الرقم 4؟ ربما الثاني؟ بعد كل شيء، $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - وحصلنا على المساواة العددية الصحيحة، أي. في الواقع $x=2$. حسنًا، شكرًا يا كاب، لكن هذه المعادلة كانت بسيطة جدًا حتى أن قطتي استطاعت حلها. :)

لننظر إلى المعادلة التالية:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

لكن الأمر هنا أكثر تعقيدًا بعض الشيء. يعرف العديد من الطلاب أن $((5)^(2))=25$ هو جدول الضرب. يشك البعض أيضًا في أن $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ هو في الأساس تعريف القوى السالبة (مشابه للصيغة $((a)^(-n))= \ فارك (1) (((أ)^(ن))))$).

وأخيرًا، لا يدرك سوى عدد قليل من الأشخاص أن هذه الحقائق يمكن دمجها والتوصل إلى النتيجة التالية:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

وبالتالي، سيتم إعادة كتابة معادلتنا الأصلية على النحو التالي:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

ولكن هذا بالفعل قابل للحل تماما! على يسار المعادلة توجد دالة أسية، وعلى اليمين في المعادلة توجد دالة أسية، ولا يوجد شيء آخر في أي مكان باستثناءهما. لذلك يمكننا "التخلص" من الأسس ومساواة المؤشرات بغباء:

لقد حصلنا على أبسط معادلة خطية يمكن لأي طالب حلها في سطرين فقط. طيب في أربعة أسطر:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

إذا لم تفهم ما حدث في الأسطر الأربعة الأخيرة، فاحرص على العودة إلى موضوع "المعادلات الخطية" وتكراره. لأنه بدون فهم واضح لهذا الموضوع، فمن السابق لأوانه التعامل مع المعادلات الأسية.

\[((9)^(x))=-3\]

فكيف يمكننا حل هذا؟ الفكرة الأولى: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

ثم نتذكر أنه عند رفع قوة إلى قوة يتم ضرب الأسس:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

ولهذا القرار سنحصل على اثنين مستحقين بصدق. لأننا، برباطة جأش البوكيمون، أرسلنا علامة الطرح أمام الثلاثة إلى قوة هذا الثلاثة بالذات. لكن لا يمكنك فعل ذلك. وهذا هو السبب. ألقِ نظرة على القوى المختلفة للثلاثة:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

عند تجميع هذا الجهاز اللوحي، لم أحرف أي شيء: نظرت إلى القوى الإيجابية والسلبية وحتى الكسرية ... حسنًا، أين يوجد رقم سالب واحد على الأقل هنا؟ لقد رحل! ولا يمكن أن يكون الأمر كذلك، لأن الدالة الأسية $y=((a)^(x))$، أولاً، تأخذ دائمًا قيمًا موجبة فقط (بغض النظر عن مقدار ضرب الواحد أو قسمته على اثنين، فستظل قيمة رقم موجب)، وثانيًا، أساس هذه الدالة - الرقم $a$ - هو بحكم التعريف رقم موجب!

حسنًا، كيف يمكن حل المعادلة $((9)^(x))=-3$؟ لكن مستحيل: لا توجد جذور. وبهذا المعنى، فإن المعادلات الأسية تشبه إلى حد كبير المعادلات التربيعية - وقد لا يكون لها جذور أيضًا. ولكن إذا تم تحديد عدد الجذور في المعادلات التربيعية بواسطة المميز (المتميز الموجب - جذران، السالب - لا توجد جذور)، فإن كل شيء في المعادلات الأسية يعتمد على ما هو على يمين علامة المساواة.

وبالتالي، فإننا نقوم بصياغة الاستنتاج الرئيسي: أبسط معادلة أسية من الشكل $((a)^(x))=b$ لها جذر إذا وفقط إذا كان $b \gt 0$. بمعرفة هذه الحقيقة البسيطة، يمكنك بسهولة تحديد ما إذا كانت المعادلة المقترحة لك لها جذور أم لا. أولئك. هل يستحق حلها على الإطلاق أو تدوينها على الفور أنه لا توجد جذور.

ستساعدنا هذه المعرفة عدة مرات عندما يتعين علينا حل مشكلات أكثر تعقيدًا. في الوقت الحالي، ما يكفي من الكلمات - حان الوقت لدراسة الخوارزمية الأساسية لحل المعادلات الأسية.

كيفية حل المعادلات الأسية

لذلك، دعونا صياغة المشكلة. من الضروري حل المعادلة الأسية:

\[((أ)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

وفقًا للخوارزمية “الساذجة” التي استخدمناها سابقًا، من الضروري تمثيل الرقم $b$ كقوة للرقم $a$:

بالإضافة إلى ذلك، إذا كان هناك أي تعبير بدلاً من المتغير $x$، فسنحصل على معادلة جديدة يمكن حلها بالفعل. على سبيل المثال:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\النهاية(محاذاة)\]

والغريب أن هذا المخطط يعمل في حوالي 90٪ من الحالات. فماذا بعد عن الـ 10% المتبقية؟ أما الـ 10% المتبقية فهي عبارة عن معادلات أسية "انفصامية" قليلاً من الشكل:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

حسنًا، إلى أي قوة تحتاج إلى رفع 2 للحصول على 3؟ أولاً؟ لكن لا: $((2)^(1))=2$ ليس كافيًا. ثانية؟ لا أيضًا: $((2)^(2))=4$ كثير جدًا. أي واحد إذن؟

ربما يكون الطلاب المطلعون قد خمنوا بالفعل: في مثل هذه الحالات، عندما لا يكون من الممكن حل المشكلة "بشكل جميل"، فإن "المدفعية الثقيلة" - اللوغاريتمات - تلعب دورًا. اسمحوا لي أن أذكرك أنه باستخدام اللوغاريتمات، يمكن تمثيل أي رقم موجب كقوة لأي رقم موجب آخر (باستثناء رقم واحد):

تذكر هذه الصيغة؟ عندما أخبر طلابي عن اللوغاريتمات، فإنني أحذر دائمًا: هذه الصيغة (وهي أيضًا الهوية اللوغاريتمية الأساسية أو، إذا أردت، تعريف اللوغاريتم) سوف تطاردك لفترة طويلة جدًا و"تنبثق" في أغلب الأحيان أماكن غير متوقعة. حسنًا، لقد ظهرت على السطح. دعونا نلقي نظرة على معادلتنا وهذه الصيغة:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

إذا افترضنا أن $a=3$ هو الرقم الأصلي الموجود على اليمين، وأن $b=2$ هو أساس الدالة الأسية التي نريد تصغير الجانب الأيمن إليها، فسنحصل على ما يلي:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\سجل )_(2))3. \\\النهاية(محاذاة)\]

لقد تلقينا إجابة غريبة بعض الشيء: $x=((\log )_(2))3$. في بعض المهام الأخرى، قد يكون لدى الكثيرين شكوك حول مثل هذه الإجابة وسيبدأون في التحقق مرة أخرى من الحل: ماذا لو تسلل خطأ إلى مكان ما؟ أسارع إلى إرضائك: لا يوجد خطأ هنا، واللوغاريتمات في جذور المعادلات الأسية هي حالة نموذجية تمامًا. حتى تعتاد على ذلك. :)

الآن دعونا نحل المعادلتين المتبقيتين بالقياس:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا كل شئ! بالمناسبة، يمكن كتابة الإجابة الأخيرة بشكل مختلف:

لقد قدمنا مضاعفًا لحجة اللوغاريتم. لكن لا أحد يمنعنا من إضافة هذا العامل إلى القاعدة:

علاوة على ذلك، فإن الخيارات الثلاثة كلها صحيحة - فهي مجرد أشكال مختلفة لكتابة نفس الرقم. أي واحد تختاره وتكتبه في هذا الحل هو الأمر متروك لك لتقرره.

وهكذا، تعلمنا حل أي معادلات أسية على الصورة $((a)^(x))=b$، حيث يكون الرقمان $a$ و$b$ موجبين تمامًا. ومع ذلك، فإن الواقع القاسي لعالمنا هو أن مثل هذه المهام البسيطة نادرًا ما تتم مواجهتها. في أغلب الأحيان سوف تصادف شيئًا مثل هذا:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\النهاية(محاذاة)\]

فكيف يمكننا حل هذا؟ هل يمكن حل هذا على الإطلاق؟ وإذا كان الأمر كذلك، كيف؟

لا تُصب بالذعر. يتم اختزال كل هذه المعادلات بسرعة وسهولة إلى الصيغ البسيطة التي درسناها بالفعل. كل ما عليك فعله هو أن تتذكر بعض الحيل من دورة الجبر. وبالطبع لا توجد قواعد للعمل بالدرجات العلمية. سأخبرك بكل هذا الآن :)

تحويل المعادلات الأسية

أول شيء يجب أن تتذكره: أي معادلة أسية، بغض النظر عن مدى تعقيدها، يجب اختزالها بطريقة أو بأخرى إلى أبسط المعادلات - تلك التي درسناها بالفعل والتي نعرف كيفية حلها. بمعنى آخر، يبدو مخطط حل أي معادلة أسية كما يلي:

اكتب المعادلة الأصلية. على سبيل المثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
القيام ببعض القرف غريب. أو حتى بعض الهراء الذي يسمى "تحويل المعادلة"؛
في الإخراج، احصل على أبسط التعبيرات من النموذج $((4)^(x))=4$ أو شيء آخر من هذا القبيل. علاوة على ذلك، يمكن لمعادلة أولية واحدة أن تعطي عدة تعبيرات من هذا القبيل في وقت واحد.

كل شيء واضح بالنسبة للنقطة الأولى - حتى قطتي يمكنها كتابة المعادلة على قطعة من الورق. يبدو أن النقطة الثالثة أيضًا أكثر أو أقل وضوحًا - لقد قمنا بالفعل بحل مجموعة كاملة من هذه المعادلات أعلاه.

لكن ماذا عن النقطة الثانية؟ أي نوع من التحولات؟ تحويل ماذا إلى ماذا؟ وكيف؟

حسنا، دعونا معرفة ذلك. بادئ ذي بدء، أود أن أشير إلى ما يلي. تنقسم جميع المعادلات الأسية إلى نوعين:

تتكون المعادلة من دوال أسية لها نفس الأساس. مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
تحتوي الصيغة على دوال أسية ذات أسس مختلفة. أمثلة: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ و$((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0.09.

لنبدأ بمعادلات من النوع الأول - فهي الأسهل في الحل. وفي حلها سوف تساعدنا تقنية مثل تسليط الضوء على التعبيرات المستقرة.

عزل تعبير مستقر

لننظر إلى هذه المعادلة مرة أخرى:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

ماذا نرى؟ والأربعة مرفوعة بدرجات مختلفة. لكن كل هذه القوى عبارة عن مجاميع بسيطة للمتغير $x$ مع أرقام أخرى. لذلك، من الضروري أن نتذكر قواعد العمل بالدرجات:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(ص)). \\\النهاية(محاذاة)\]

ببساطة، يمكن تحويل الجمع إلى حاصل ضرب القوى، ويمكن بسهولة تحويل الطرح إلى قسمة. دعونا نحاول تطبيق هذه الصيغ على الدرجات من معادلتنا:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (خ))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\النهاية(محاذاة)\]

دعونا نعيد كتابة المعادلة الأصلية مع أخذ هذه الحقيقة بعين الاعتبار، ثم نجمع كل الحدود الموجودة على اليسار:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -أحد عشر؛ \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\النهاية(محاذاة)\]

تحتوي الحدود الأربعة الأولى على العنصر $((4)^(x))$ - لنخرجه من القوس:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\النهاية(محاذاة)\]

يبقى تقسيم طرفي المعادلة على الكسر $-\frac(11)(4)$، أي. اضرب بشكل أساسي في الكسر المقلوب - $-\frac(4)(11)$. نحن نحصل:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& س=1. \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا كل شئ! لقد قمنا بتبسيط المعادلة الأصلية إلى أبسط صورة وحصلنا على الإجابة النهائية.

في الوقت نفسه، أثناء عملية الحل، اكتشفنا (وحتى أخرجناه من القوس) العامل المشترك $((4)^(x))$ - وهذا تعبير مستقر. يمكن تعيينه كمتغير جديد، أو يمكنك ببساطة التعبير عنه بعناية والحصول على الإجابة. وعلى أية حال، فإن المبدأ الأساسي للحل هو كما يلي:

ابحث في المعادلة الأصلية عن تعبير ثابت يحتوي على متغير يسهل تمييزه عن جميع الدوال الأسية.

والخبر السار هو أن كل المعادلات الأسية تقريبًا تسمح لك بعزل مثل هذا التعبير المستقر.

لكن الخبر السيئ هو أن هذه التعبيرات يمكن أن تكون صعبة للغاية وقد يكون من الصعب جدًا التعرف عليها. لذلك دعونا ننظر إلى مشكلة أخرى:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

ربما سيكون لدى شخص ما الآن سؤال: "باشا، هل رجمت؟ " هناك قواعد مختلفة هنا - 5 و0.2." ولكن دعونا نحاول تحويل الطاقة إلى قاعدة 0.2. على سبيل المثال، دعونا نتخلص من الكسر العشري عن طريق تحويله إلى كسر عادي:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

كما ترون، لا يزال الرقم 5 يظهر، وإن كان في المقام. وفي الوقت نفسه، تمت إعادة كتابة المؤشر على أنه سلبي. الآن دعونا نتذكر إحدى أهم قواعد العمل بالدرجات العلمية:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

هنا، بالطبع، كنت أكذب قليلا. لأنه من أجل الفهم الكامل، كان لا بد من كتابة صيغة التخلص من المؤشرات السلبية على النحو التالي:

\[((أ)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\سهم لليمين ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ يمين))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

ومن ناحية أخرى، لا شيء يمنعنا من التعامل مع الكسور فقط:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ يمين))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

ولكن في هذه الحالة، يجب أن تكون قادرًا على رفع القوة إلى قوة أخرى (دعني أذكرك: في هذه الحالة، تتم إضافة المؤشرات معًا). لكنني لم أضطر إلى "عكس" الكسور - ربما يكون هذا أسهل بالنسبة للبعض. :)

على أية حال، سيتم إعادة كتابة المعادلة الأسية الأصلية على النحو التالي:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\النهاية(محاذاة)\]

لذلك اتضح أن المعادلة الأصلية يمكن حلها بشكل أكثر بساطة من تلك التي تم النظر فيها سابقًا: هنا لا تحتاج حتى إلى تحديد تعبير مستقر - فقد تم تقليل كل شيء من تلقاء نفسه. يبقى فقط أن نتذكر أن $1=((5)^(0))$، والتي نحصل منها على:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& س=-2. \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا هو الحل! لقد حصلنا على الإجابة النهائية: $x=-2$. وفي الوقت نفسه، أود أن أشير إلى تقنية واحدة سهّلت علينا جميع الحسابات إلى حد كبير:

في المعادلات الأسية، تأكد من التخلص من الكسور العشرية وتحويلها إلى عادية. سيسمح لك ذلك برؤية نفس أسس الدرجات وتبسيط الحل بشكل كبير.

لننتقل الآن إلى معادلات أكثر تعقيدًا، حيث توجد أسس مختلفة لا يمكن اختزالها إلى بعضها البعض باستخدام القوى على الإطلاق.

استخدام خاصية الدرجات

اسمحوا لي أن أذكركم أن لدينا معادلتين أكثر قسوة:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\النهاية(محاذاة)\]

تكمن الصعوبة الرئيسية هنا في أنه ليس من الواضح ما يجب تقديمه وعلى أي أساس. أين التعبيرات الثابتة؟ أين هي نفس الأسباب؟ لا يوجد شيء من هذا.

ولكن دعونا نحاول أن نسير بطريقة مختلفة. إذا لم تكن هناك قواعد متطابقة جاهزة، يمكنك محاولة العثور عليها عن طريق تحليل القواعد الموجودة.

ولنبدأ بالمعادلة الأولى:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ كدوت((3)^(3x)). \\\النهاية(محاذاة)\]

ولكن يمكنك أن تفعل العكس - اصنع الرقم 21 من الرقمين 7 و 3. ومن السهل بشكل خاص القيام بذلك على اليسار، لأن مؤشرات كلتا الدرجتين هي نفسها:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& س=3. \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا كل شئ! لقد أخذت الأس خارج حاصل الضرب وحصلت على الفور على معادلة جميلة يمكن حلها في سطرين.

والآن لننظر إلى المعادلة الثانية. كل شيء أكثر تعقيدًا هنا:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

في هذه الحالة، تبين أن الكسور غير قابلة للاختزال، ولكن إذا كان من الممكن تقليل شيء ما، فتأكد من تقليله. في كثير من الأحيان، ستظهر أسباب مثيرة للاهتمام يمكنك العمل بها بالفعل.

لسوء الحظ، لم يظهر أي شيء خاص بالنسبة لنا. لكننا نرى أن الأسس الموجودة على اليسار في حاصل الضرب متضادة:

اسمحوا لي أن أذكرك: للتخلص من علامة الطرح في المؤشر، ما عليك سوى "قلب" الكسر. حسنًا، لنعيد كتابة المعادلة الأصلية:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\النهاية(محاذاة)\]

في السطر الثاني، قمنا ببساطة بإخراج إجمالي الأس من حاصل الضرب من القوس وفقًا للقاعدة $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) \cdot b \right))^ (x))$، وفي الأخير قاموا ببساطة بضرب الرقم 100 بكسر.

لاحظ الآن أن الأرقام الموجودة على اليسار (في القاعدة) وعلى اليمين متشابهة إلى حد ما. كيف؟ نعم، هذا واضح: إنهما قوى بنفس العدد! لدينا:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \يمين))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \صحيح))^(2)). \\\النهاية(محاذاة)\]

وبالتالي، سيتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\يمين))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \يمين))^(3\left(x-1 \يمين)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

في هذه الحالة، على اليمين، يمكنك أيضًا الحصول على درجة بنفس الأساس، والتي يكفي ببساطة "قلب" الكسر:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=(\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

سوف تأخذ معادلتنا أخيرًا الشكل:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا هو الحل. تتلخص فكرته الرئيسية في حقيقة أنه حتى مع اختلاف القواعد، فإننا نحاول، بالخطاف أو الاحتيال، اختزال هذه القواعد إلى نفس الشيء. تساعدنا التحولات الأولية للمعادلات وقواعد العمل مع القوى في ذلك.

ولكن ما هي القواعد ومتى تستخدم؟ كيف تفهم أنه في معادلة واحدة تحتاج إلى قسمة الطرفين على شيء ما، وفي معادلة أخرى تحتاج إلى تحليل أساس الدالة الأسية؟

الجواب على هذا السؤال سيأتي مع الخبرة. جرب معادلات بسيطة أولاً، ثم قم بعقد المشكلات تدريجيًا - وقريبًا جدًا ستكون مهاراتك كافية لحل أي معادلة أسية من نفس اختبار الدولة الموحدة أو أي عمل مستقل/اختباري.

ولمساعدتك في هذه المهمة الصعبة أقترح عليك تحميل مجموعة من المعادلات من موقعي لحلها بنفسك. جميع المعادلات لها إجابات، لذلك يمكنك دائمًا اختبار نفسك.

على العموم أتمنى لك تدريبا ناجحا. ونراكم في الدرس التالي - حيث سنقوم بتحليل المعادلات الأسية المعقدة حقًا، حيث لم تعد الطرق الموضحة أعلاه كافية. والتدريب البسيط لن يكون كافيًا أيضًا. :)

أمثلة:

$4^س=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

كيفية حل المعادلات الأسية

عند حل أي معادلة أسية، نسعى جاهدين إلى إيصالها إلى الصورة $a^(f(x))=a^(g(x))$، ثم نقوم بالانتقال إلى مساواة الأسس، أي:

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

على سبيل المثال:$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

مهم! ومن نفس المنطق، هناك متطلبان لمثل هذا التحول:
- رقم في يجب أن يكون اليسار واليمين هو نفسه؛
- يجب أن تكون الدرجات التي على اليسار واليمين "طاهرة"أي أنه لا ينبغي أن يكون هناك ضرب أو قسمة أو ما إلى ذلك.

على سبيل المثال:

لتقليل المعادلة إلى الشكل $a^(f(x))=a^(g(x))$ ويتم استخدامها.

مثال . حل المعادلة الأسية $\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$
حل:

$\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3))))^(2x)$

نحن نعلم أن $27 = 3^3$. وبأخذ هذا في الاعتبار، نحول المعادلة.

$\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3))))^(2x)$

بواسطة خاصية الجذر $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ نحصل على ذلك $\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))$. بعد ذلك، باستخدام خاصية الدرجة $(a^b)^c=a^(bc)$، نحصل على $((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))$.

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

ونعلم أيضًا أن $a^b·a^c=a^(b+c)$. وبتطبيق ذلك على الجانب الأيسر، نحصل على: $3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + س-1)=3^(س+0.5)$.

$3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

تذكر الآن أن: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$. يمكن أيضًا استخدام هذه الصيغة في الاتجاه المعاكس: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$. ثم $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$.

$3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)$

وبتطبيق الخاصية $(a^b)^c=a^(bc)$ على الجانب الأيمن، نحصل على: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$.

$3^(x+0.5)=3^(-2x)$

والآن قواعدنا متساوية ولا توجد معاملات تداخل، وما إلى ذلك. حتى نتمكن من إجراء التحول.

مثال . حل المعادلة الأسية $4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$
حل:

$4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$		نستخدم مرة أخرى خاصية الطاقة $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ في الاتجاه المعاكس.
$4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0$		تذكر الآن أن $4=2^2$.
$(2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0$		باستخدام خصائص الدرجات، نقوم بتحويل: $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.$
$2·(2^x)^2-5·2^x+2=0$		ننظر بعناية إلى المعادلة ونرى أن الاستبدال $t=2^x$ يقترح نفسه.

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		ومع ذلك، فقد وجدنا قيم $t$، ونحتاج إلى $x$. نعود إلى X، ونجري استبدالًا عكسيًا.
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		لنحول المعادلة الثانية باستخدام خاصية القوة السالبة...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		...ونحن نقرر حتى الجواب.
$x_1=1$ $x_2=-1$

إجابة : $-1; 1$.

يبقى السؤال - كيف نفهم متى نستخدم أي طريقة؟ وهذا يأتي مع الخبرة. حتى تقوم بتطويره، استخدم التوصية العامة لحل المشكلات المعقدة - "إذا كنت لا تعرف ماذا تفعل، فافعل ما تستطيع". أي ابحث عن كيفية تحويل المعادلة من حيث المبدأ، وحاول القيام بذلك - ماذا لو حدث ماذا؟ الشيء الرئيسي هو إجراء التحولات الرياضية فقط.

المعادلات الأسية بدون حلول

دعونا نلقي نظرة على موقفين آخرين غالبًا ما يربكان الطلاب:
- الرقم الموجب للأس يساوي صفر، على سبيل المثال، $2^x=0$;
- الرقم الموجب يساوي قوة الرقم السالب، على سبيل المثال، $2^x=-4$.

دعونا نحاول حلها بالقوة الغاشمة. إذا كان x رقمًا موجبًا، فمع نمو x، ستزداد القوة بأكملها $2^x$ فقط:

$س=1$; $2^1=2$
$س=2$; $2^2=4$
$س=3$; $2^3=8$.

$س=0$; $2^0=1$

ايضا بواسطة. تبقى علامة X السالبة. تذكر الخاصية $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$، نتحقق من:

$س=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$س=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$س=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

ورغم أن الرقم يقل مع كل خطوة، إلا أنه لن يصل إلى الصفر أبدًا. لذا فإن الدرجة السلبية لم تنقذنا. نصل إلى نتيجة منطقية:

الرقم الموجب بأي درجة سيظل رقمًا موجبًا.

وبالتالي، كلا المعادلتين أعلاه ليس لهما حلول.

المعادلات الأسية ذات الأساسات المختلفة

من الناحية العملية، نواجه أحيانًا معادلات أسية ذات أسس مختلفة لا يمكن اختزالها إلى بعضها البعض، وفي نفس الوقت بنفس الأسس. تبدو كالتالي: $a^(f(x))=b^(f(x))$، حيث $a$ و $b$ أرقام موجبة.

على سبيل المثال:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

يمكن حل مثل هذه المعادلات بسهولة عن طريق القسمة على أي طرف من أطراف المعادلة (عادةً ما يتم القسمة على الجانب الأيمن، أي على $b^(f(x))$. يمكنك القسمة بهذه الطريقة لأن الرقم الموجب موجب لأي قوة (أي أننا لا نقسم على صفر) نحصل على:

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x))))$ $=1$

مثال . حل المعادلة الأسية $5^(x+7)=3^(x+7)$
حل:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		لن نتمكن هنا من تحويل الرقم خمسة إلى ثلاثة، أو العكس (على الأقل بدون استخدام ). هذا يعني أننا لا نستطيع الوصول إلى الصيغة $a^(f(x))=a^(g(x))$. ومع ذلك، فإن المؤشرات هي نفسها. دعونا نقسم المعادلة على الجانب الأيمن، أي على $3^(x+7)$ (يمكننا القيام بذلك لأننا نعلم أن ثلاثة لن يساوي صفرًا بأي درجة).
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		تذكر الآن الخاصية $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ واستخدمها على اليسار في الاتجاه المعاكس. على اليمين، نقوم ببساطة بتبسيط الكسر.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		ويبدو أن الأمور لم تتحسن. لكن تذكر خاصية أخرى للقوة: $a^0=1$، بمعنى آخر: "أي عدد أس صفر يساوي $1$." والعكس صحيح أيضًا: "يمكن تمثيل الواحد بأي رقم أس صفر". دعونا نستفيد من ذلك من خلال جعل القاعدة الموجودة على اليمين هي نفسها الموجودة على اليسار.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		هاهو! دعونا نتخلص من القواعد.
		نحن نكتب الرد.

إجابة : $-7$.

في بعض الأحيان لا يكون "تشابه" الأسس واضحًا، لكن الاستخدام الماهر لخصائص الأسس يحل هذه المشكلة.

مثال . حل المعادلة الأسية $7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$
حل:

$7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		تبدو المعادلة حزينة للغاية... ليس فقط أنه لا يمكن اختزال الأسس إلى نفس العدد (سبعة لن تساوي بأي حال من الأحوال $\frac(1)(3)$) ولكن الأسس مختلفة أيضًا. .. ومع ذلك، دعونا نستخدم الأس الأيسر الشيطان.
$7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		تذكر الخاصية $(a^b)^c=a^(b·c)$ ، نقوم بالتحويل من اليسار: $7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$.
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		الآن، تذكر خاصية الدرجة السالبة $a^(-n)=\frac(1)(a)^n$، نحول من اليمين: $(\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		الحمد لله! المؤشرات هي نفسها! بالتصرف وفقًا للمخطط المألوف لنا بالفعل، نحل قبل الإجابة.

إجابة : $2$.

قم بزيارة قناة اليوتيوب الخاصة بموقعنا لتبقى على اطلاع بكل جديد دروس الفيديو.

أولا، دعونا نتذكر الصيغ الأساسية للقوى وخصائصها.

منتج من عدد أيحدث على نفسه n مرات، يمكننا كتابة هذا التعبير بالشكل a … a=a n

1. أ 0 = 1 (أ ≠ 0)

3. أ ن أ م = أ ن + م

4. (ن) م = نانومتر

5. أ ن ب ن = (أب) ن

7. أ ن / أ م = أ ن - م

معادلات القوة أو الأسية- هذه معادلات تكون فيها المتغيرات في القوى (أو الأسس)، وأساسها رقم.

أمثلة على المعادلات الأسية:

في هذا المثال، الرقم 6 هو الأساس، وهو دائمًا في الأسفل، وهو المتغير سدرجة أو مؤشر.

دعونا نعطي المزيد من الأمثلة على المعادلات الأسية.
2 × *5=10
16 س - 4 س - 6=0

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية حل المعادلات الأسية؟

لنأخذ معادلة بسيطة:

2 س = 2 3

يمكن حل هذا المثال حتى في رأسك. يمكن ملاحظة أن x=3. بعد كل شيء، لكي يكون الجانبان الأيسر والأيمن متساويين، تحتاج إلى وضع الرقم 3 بدلاً من x.
الآن دعونا نرى كيفية إضفاء الطابع الرسمي على هذا القرار:

2 س = 2 3
س = 3

ومن أجل حل هذه المعادلة، قمنا بإزالة أسباب متطابقة(أي مثنى) وكتب ما بقي فهذه درجات. لقد حصلنا على الجواب الذي كنا نبحث عنه.

الآن دعونا نلخص قرارنا.

خوارزمية حل المعادلة الأسية:
1. بحاجة للتحقق نفس الشيءما إذا كانت المعادلة لها قواعد على اليمين واليسار. إذا كانت الأسباب ليست واحدة، فإننا نبحث عن خيارات لحل هذا المثال.
2. بعد أن تصبح القواعد هي نفسها، يساويدرجات وحل المعادلة الجديدة الناتجة.

الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

لنبدأ بشيء بسيط.

القاعدتان الموجودتان على الجانبين الأيسر والأيمن تساويان الرقم 2، مما يعني أنه يمكننا التخلص من القاعدة ومساواة قوتهما.

x+2=4 تم الحصول على أبسط معادلة.
س=4 – 2
س = 2
الجواب: س=2

في المثال التالي يمكنك أن ترى أن القاعدتين مختلفتان: 3 و9.

3 3س - 9 س+8 = 0

أولا، ننقل التسعة إلى الجانب الأيمن، فنحصل على:

الآن أنت بحاجة إلى إنشاء نفس القواعد. نحن نعلم أن 9=32. دعونا نستخدم صيغة الطاقة (أ ن) م = نانو متر.

3 3س = (2 3) س+8

نحصل على 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 الآن من الواضح أن القاعدتين على الجانبين الأيسر والأيمن متماثلتان وتساويان ثلاثة، مما يعني أنه يمكننا التخلص منهما ومساواة الدرجات.

3x=2x+16 نحصل على أبسط معادلة
3س - 2س=16
س = 16
الجواب: س=16.

لننظر إلى المثال التالي:

2 2س+4 - 10 4 س = 2 4

أولًا، ننظر إلى القاعدتين، القاعدتان الثانية والرابعة. ونريدهم أن يكونوا متماثلين. نحول الأربعة باستخدام الصيغة (a n) m = a nm.

4 س = (2 2) س = 2 2س

ونستخدم أيضًا صيغة واحدة a n a m = a n + m:

2 2س+4 = 22س 2 4

أضف إلى المعادلة:

2 2س 2 4 - 10 2 2س = 24

لقد قدمنا مثالا لنفس الأسباب. لكن الأرقام الأخرى 10 و 24 تزعجنا، فماذا نفعل بها؟ إذا نظرت عن كثب يمكنك أن ترى أنه على الجانب الأيسر لدينا 2 2x متكررة، إليك الإجابة - يمكننا وضع 2 2x بين قوسين:

2 2س (2 4 - 10) = 24

دعونا نحسب التعبير بين قوسين:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

نقسم المعادلة بأكملها على 6:

لنتخيل 4=2 2:

2 2x = 2 2 القاعدتان متماثلتان، نتخلص منهما ونساوي الدرجات.
2x = 2 هي أبسط معادلة. نقسمها على 2 فنحصل على
س = 1
الجواب: س = 1.

دعونا نحل المعادلة:

9 س – 12*3 س +27= 0

دعونا تحويل:
9 س = (2 3) س = 2 س

نحصل على المعادلة:
3 2س - 12 3 س +27 = 0

قواعدنا هي نفسها، تساوي ثلاثة، في هذا المثال، يمكنك أن ترى أن الثلاثة الأولى لها درجة ضعف (2x) من الثانية (فقط x). في هذه الحالة، يمكنك حلها طريقة الاستبدال. نستبدل الرقم بالدرجة الأصغر:

ثم 3 2س = (3 س) 2 = ر 2

نستبدل جميع قوى x في المعادلة بـ t:

ر 2 - 12ط+27 = 0
نحصل على معادلة تربيعية. بالحل من خلال المميز نحصل على:
د = 144-108 = 36
ر 1 = 9
ر2 = 3

العودة إلى المتغير س.

خذ ر 1:
ر 1 = 9 = 3 س

إنه،

3 × = 9
3 × = 3 2
× 1 = 2

تم العثور على جذر واحد. نحن نبحث عن الثاني من t 2:
ر 2 = 3 = 3 س
3 × = 3 1
× 2 = 1
الجواب: × 1 = 2؛ × 2 = 1.

على الموقع يمكنك طرح أي أسئلة قد تكون لديكم في قسم المساعدة في اتخاذ القرار، وسوف نقوم بالرد عليك بالتأكيد.

انضم إلى المجموعة

هذا هو اسم المعادلات ذات الصورة حيث يكون المجهول في كل من الأس وأساس القوة.

يمكنك تحديد خوارزمية واضحة تمامًا لحل معادلة النموذج. للقيام بذلك، عليك أن تنتبه إلى حقيقة أنه متى أوه)لا تساوي صفرًا وواحدًا وسالبًا واحدًا، فإن تساوي الدرجات مع نفس الأساس (سواء كان موجبًا أو سالبًا) لا يكون ممكنًا إلا إذا كانت الأسس متساوية، أي أن جميع جذور المعادلة ستكون جذور المعادلة و(س) = ز(خ)العبارة العكسية غير صحيحة، متى أوه)< 0 والقيم الكسرية و (خ)و ز (خ)التعبيرات أوه) و (خ) و

أوه) ز (خ) تفقد معناها. أي عند الانتقال من إلى و(س) = ز(خ)(لأنه قد تظهر جذور غريبة، والتي يجب استبعادها عن طريق التحقق من المعادلة الأصلية. والحالات أ = 0، أ = 1، أ = -1تحتاج إلى النظر فيها بشكل منفصل.

لذا، لحل المعادلة بالكامل، فإننا نعتبر الحالات:

أ(س) = س و (خ)و ز (خ)ستكون أرقام موجبة فهذا هو الحل بخلاف ذلك لا

أ(س) = 1. جذور هذه المعادلة هي أيضًا جذور المعادلة الأصلية.

أ(س) = -1. إذا كانت قيمة x تحقق هذه المعادلة، و (خ)و ز (خ)هي أعداد صحيحة من نفس التكافؤ (إما زوجية أو فردية)، فهذا هو الحل. بخلاف ذلك لا

متى ونحل المعادلة و(س)= ز(خ)ومن خلال استبدال النتائج التي تم الحصول عليها في المعادلة الأصلية قمنا بقطع الجذور الدخيلة.

أمثلة على حل معادلات القوة الأسية.

المثال رقم 1.

1) س - 3 = 0، س = 3. لأن 3 > 0، و 3 2 > 0، إذن x 1 = 3 هو الحل.

2) س - 3 = 1، س 2 = 4.

3) س - 3 = -1، س = 2. كلا المؤشرين متساويين. هذا الحل هو × 3 = 1.

4) س - 3 ؟ 0 و س؟ ± 1. x = x 2, x = 0 أو x = 1. بالنسبة لـ x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - هذا الحل صحيح: x 4 = 0. بالنسبة لـ x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - هذا الحل صحيح × 5 = 1.

الجواب: 0، 1، 2، 3، 4.