المشتق 2 4. كيفية العثور على المشتق؟ أمثلة على الحلول

اشتقاق صيغة مشتق دالة القدرة (x إلى قوة a). تعتبر المشتقات من جذور x. صيغة مشتقة دالة القدرة أعلى ترتيب. أمثلة على حساب المشتقات.

محتوى

أنظر أيضا: دالة القوة والجذور والصيغ والرسم البياني
الرسوم البيانية لوظائف الطاقة

الصيغ الأساسية

مشتق x أس a يساوي ضرب x أس ناقص واحد:
(1) .

مشتقة الجذر النوني لـ x للأس m هي:
(2) .

اشتقاق صيغة مشتق دالة القدرة

الحالة س > 0

خذ بعين الاعتبار دالة القوة للمتغير x مع الأس a:
(3) .
هنا تعسفي عدد حقيقي. دعونا ننظر أولا في هذه القضية.

لإيجاد مشتقة الدالة (3) نستخدم خصائص دالة القوة ونحولها إلى الصورة التالية:
.

الآن نجد المشتقة باستخدام:
;
.
هنا .

تم إثبات الصيغة (1).

اشتقاق صيغة مشتق جذر الدرجة n لـ x إلى درجة m

الآن فكر في دالة تمثل جذر النموذج التالي:
(4) .

للعثور على المشتقة، نحول الجذر إلى دالة قوى:
.
وبالمقارنة مع الصيغة (3) نرى ذلك
.
ثم
.

باستخدام الصيغة (1) نجد المشتقة:
(1) ;
;
(2) .

ومن الناحية العملية، ليست هناك حاجة لحفظ الصيغة (2). من الأفضل أن تقوم أولاً بتحويل الجذور إلى دوال قوى، ثم العثور على مشتقاتها باستخدام الصيغة (1) (انظر الأمثلة في نهاية الصفحة).

الحالة س = 0

إذا، يتم تعريف دالة الطاقة لقيمة المتغير x = 0 . لنجد مشتقة الدالة (3) عند x = 0 . للقيام بذلك، نستخدم تعريف المشتق:
.

دعونا نستبدل x = 0 :
.
في هذه الحالة، بالمشتقة نعني الحد الأيمن الذي .

لذلك وجدنا:
.
ومن هذا يتضح أن .
في ، .
في ، .
يتم الحصول على هذه النتيجة أيضًا من الصيغة (1):
(1) .
ولذلك، فإن الصيغة (1) صالحة أيضًا لـ x = 0 .

الحالة س< 0

خذ بعين الاعتبار الوظيفة (3) مرة أخرى:
(3) .
بالنسبة لقيم معينة للثابت a، يتم تعريفه أيضًا للقيم السالبة للمتغير x. وهي أن يكون عددا عقلانيا. ومن ثم يمكن تمثيله ككسر غير قابل للاختزال:
,
حيث m و n عددان صحيحان ليس لهما قاسم مشترك.

إذا كانت n فردية، فسيتم تعريف دالة القوة أيضًا للقيم السالبة للمتغير x. على سبيل المثال، عندما ن = 3 و م = 1 لدينا الجذر التكعيبي لـ x:
.
ويتم تعريفه أيضًا للقيم السالبة للمتغير x.

دعونا نجد مشتق دالة القدرة (3) للقيم العقلانية للثابت a الذي تم تعريفه من أجله. للقيام بذلك، دعونا نمثل x في النموذج التالي:
.
ثم ،
.
نجد المشتقة بوضع الثابت خارج إشارة المشتقة وتطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة:

.
هنا . لكن
.
منذ ذلك الحين
.
ثم
.
أي أن الصيغة (1) صالحة أيضًا لـ:
(1) .

مشتقات الترتيب العالي

الآن دعونا نجد مشتقات ذات رتبة أعلى لدالة الطاقة
(3) .
لقد وجدنا بالفعل مشتق الدرجة الأولى:
.

وبأخذ الثابت a خارج الإشارة للمشتقة، نجد المشتقة من الدرجة الثانية:
.
وبالمثل نجد مشتقات الأمرين الثالث والرابع:
;

.

ومن هذا يتضح أن مشتق من الترتيب التعسفيلديه النموذج التالي:
.

لاحظ أن إذا كان عدد طبيعي ، فإن المشتقة n ثابتة:
.
ثم جميع المشتقات اللاحقة تساوي الصفر:
,
في .

أمثلة على حساب المشتقات

مثال

العثور على مشتق من وظيفة:
.

دعنا نحول الجذور إلى قوى:
;
.
ثم تأخذ الدالة الأصلية الشكل:
.

إيجاد مشتقات القوى:
;
.
مشتقة الثابت هي صفر:
.

المشتق

يعد حساب مشتق دالة رياضية (التمايز) مشكلة شائعة جدًا عند حل الرياضيات العليا. بالنسبة للوظائف الرياضية البسيطة (الابتدائية)، يعد هذا أمرًا بسيطًا إلى حد ما، حيث تم تجميع جداول المشتقات للوظائف الأولية منذ فترة طويلة ويمكن الوصول إليها بسهولة. ومع ذلك، فإن العثور على مشتقة دالة رياضية معقدة ليس مهمة تافهة وغالبا ما يتطلب جهدا كبيرا ووقتا.

البحث عن مشتق على الانترنت

تتيح لك خدمتنا عبر الإنترنت التخلص من الحسابات الطويلة التي لا طائل من ورائها العثور على مشتق على الانترنتخلال لحظة واحدة. علاوة على ذلك، باستخدام خدمتنا الموجودة على الموقع www.site، يمكنك الحساب مشتق على الانترنتسواء من وظيفة أولية أو من وظيفة معقدة للغاية ليس لها حل تحليلي. المزايا الرئيسية لموقعنا مقارنة بالمواقع الأخرى هي: 1) لا توجد متطلبات صارمة لطريقة إدخال دالة رياضية لحساب المشتق (على سبيل المثال، عند إدخال دالة sine x، يمكنك إدخالها كـ sin x أو sin (x) أو الخطيئة[x]، إلخ. د.)؛ 2) يحدث حساب المشتقات عبر الإنترنت على الفور في الوضع متصلوعلى الاطلاق مجانا; 3) نسمح لك بالعثور على مشتقة دالة اي طلبتغيير ترتيب المشتقة أمر سهل ومفهوم للغاية؛ 4) نحن نسمح لك بالعثور على مشتق أي دالة رياضية تقريبًا عبر الإنترنت، حتى تلك المعقدة جدًا والتي لا يمكن حلها بواسطة خدمات أخرى. الاستجابة المقدمة دقيقة دائمًا ولا يمكن أن تحتوي على أخطاء.

سيسمح لك استخدام خادمنا بما يلي: 1) حساب المشتق عبر الإنترنت نيابةً عنك، مما يلغي العمليات الحسابية التي تستغرق وقتًا طويلاً والمملة والتي يمكن أن ترتكب خلالها خطأً أو خطأً مطبعيًا؛ 2) إذا قمت بحساب مشتق دالة رياضية بنفسك، فإننا نوفر لك الفرصة لمقارنة النتيجة التي تم الحصول عليها مع حسابات خدمتنا والتأكد من صحة الحل أو العثور على خطأ تسلل إليه؛ 3) استخدم خدمتنا بدلاً من استخدام جداول مشتقات الدوال البسيطة، حيث يستغرق العثور على الدالة المطلوبة وقتًا في كثير من الأحيان.

كل ما عليك فعله هو العثور على مشتق على الانترنت- هو استخدام خدمتنا على

من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا، دعونا لا نذهب بعيدًا، فلننظر إلى الأمر على الفور وظيفة عكسية. ما هي الدالة المعكوسة للدالة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا، الأساس هو الرقم:

يُطلق على مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) اسم "طبيعي" ، ونستخدم له رمزًا خاصًا: نكتب بدلاً من ذلك.

ما هو يساوي؟ بالطبع، .

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. ما هو مشتق الدالة؟

الإجابات: اللوغاريتم الأسي والطبيعي هما دالتان بسيطتان بشكل فريد من منظور مشتق. إن الدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي أساس آخر سيكون لها مشتق مختلف، وهو ما سنحلله لاحقا، بعد أن نتعرف على قواعد الاشتقاق.

قواعد التمايز

قواعد ماذا؟ مرة أخرى مصطلح جديد، مرة أخرى؟!...

التفاضلهي عملية العثور على المشتق.

هذا كل شئ. ماذا يمكنك أن تسمي هذه العملية في كلمة واحدة؟ ليست مشتقة... يطلق علماء الرياضيات على التفاضل نفس زيادة الدالة عند. يأتي هذا المصطلح من التمايز اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند استخلاص كل هذه القواعد، سنستخدم دالتين، على سبيل المثال، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة.

إذا - بعض الأرقام الثابتة (ثابت)، إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا على الاختلاف: .

دعونا نثبت ذلك. فليكن، أو أبسط.

أمثلة.

أوجد مشتقات الدوال:

1. عند نقطة ما؛
2. عند نقطة ما؛
3. عند نقطة ما؛
4. عند هذه النقطة.

حلول:

1. (المشتق هو نفسه في جميع النقاط، لأن هذا دالة خطية، يتذكر؟)؛

مشتق من المنتج

كل شيء مشابه هنا: فلنقدم دالة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

1. أوجد مشتقات الدوال و؛
2. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتقة أي دالة أسية، وليس فقط الأسس (هل نسيت ما هو حتى الآن؟).

لذلك، أين هو بعض العدد.

نحن نعرف بالفعل مشتقة الدالة، لذا دعونا نحاول اختزال الدالة إلى أساس جديد:

للقيام بذلك، سوف نستخدم قاعدة بسيطة: . ثم:

حسنًا، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

حدث؟

وهنا راجع نفسك:

تبين أن الصيغة مشابهة جدًا لمشتقة الأس: كما كانت، ظلت كما هي، ولم يظهر سوى عامل، وهو مجرد رقم، ولكنه ليس متغيرًا.

أمثلة:
أوجد مشتقات الدوال:

الإجابات:

هذا مجرد رقم لا يمكن حسابه بدون آلة حاسبة، أي أنه لا يمكن تدوينه بعد الآن في شكل بسيط. ولذلك نتركها على هذه الصورة في الجواب.

لاحظ أن هنا حاصل ضرب وظيفتين، لذلك نطبق قاعدة التمايز المقابلة:

في هذا المثال، ناتج وظيفتين:

مشتق من دالة لوغاريتمية

الأمر مشابه هنا: أنت تعرف بالفعل مشتقة اللوغاريتم الطبيعي:

ولذلك، للعثور على لوغاريتم اختياري مع قاعدة مختلفة، على سبيل المثال:

علينا اختزال هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف يمكنك تغيير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط سنكتب بدلاً من ذلك:

المقام هو ببساطة ثابت (رقم ثابت، بدون متغير). يتم الحصول على المشتق بكل بساطة:

لا يتم العثور على مشتقات الوظائف الأسية واللوغاريتمية أبدًا في امتحان الدولة الموحدة، لكن معرفتها لن تكون زائدة عن الحاجة.

مشتق من وظيفة معقدة.

ماذا حدث " وظيفة معقدة"؟ لا، هذا ليس لوغاريتمًا، وليس ظلًا قوسيًا. يمكن أن يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنك إذا وجدت اللوغاريتمات صعبة، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وستكون بخير)، ولكن من وجهة نظر رياضية، فإن كلمة "معقدة" لا تعني "صعبة".

تخيل حزامًا ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الإجراءات باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال، يقوم الأول بتغليف قطعة من الشوكولاتة في غلاف، والثاني يربطها بشريط. والنتيجة هي كائن مركب: قطعة من الشوكولاتة ملفوفة ومربوطة بشريط. لتناول قطعة من الشوكولاتة، عليك القيام بالخطوات العكسية بترتيب عكسي.

لنقم بإنشاء مسار رياضي مماثل: أولاً سنجد جيب تمام الرقم، ثم نقوم بتربيع الرقم الناتج. لذلك، حصلنا على رقم (الشوكولاتة)، وأجد جيب تمامها (الغلاف)، ثم قمت بتربيع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال على دالة معقدة: للعثور على قيمتها، نقوم بالإجراء الأول مباشرة مع المتغير، ثم الإجراء الثاني بما نتج عن الأول.

بعبارة أخرى، الدالة المعقدة هي دالة تكون حجتها دالة أخرى: .

على سبيل المثال لدينا، .

يمكننا بسهولة القيام بنفس الخطوات بترتيب عكسي: أولاً تقوم بتربيعه، ثم أبحث عن جيب التمام للرقم الناتج: . من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. من السمات المهمة للوظائف المعقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات، تتغير الوظيفة.

المثال الثاني: (نفس الشيء). .

سيتم استدعاء الإجراء الذي قمنا به أخيرًا وظيفة "خارجية".، ويتم تنفيذ الإجراء أولاً - وفقًا لذلك وظيفة "داخلية".(هذه أسماء غير رسمية، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأي وظيفة داخلية:

الإجابات:إن فصل الوظائف الداخلية والخارجية يشبه إلى حد كبير تغيير المتغيرات: على سبيل المثال، في دالة

1. ما الإجراء الذي سنقوم به أولاً؟ أولاً، دعونا نحسب جيب الجيب، وبعد ذلك فقط نقوم بتكعيبه. وهذا يعني أنها وظيفة داخلية، ولكنها وظيفة خارجية.
   والوظيفة الأصلية هي تركيبها : .
2. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
3. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
4. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
5. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا، الآن سوف نستخرج لوح الشوكولاتة الخاص بنا ونبحث عن المشتق. يتم دائمًا عكس الإجراء: أولاً نبحث عن مشتقة الدالة الخارجية، ثم نضرب النتيجة في مشتقة الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي، يبدو كما يلي:

مثال آخر:

لذا، دعونا أخيرًا صياغة القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو الأمر بسيطا، أليس كذلك؟

دعونا نتحقق من الأمثلة:

حلول:

1) داخلي: ;

خارجي: ؛

2) داخلي: ;

(فقط لا تحاول قطعها الآن! لا شيء يخرج من تحت جيب التمام، تذكر؟)

3) داخلي: ;

خارجي: ؛

من الواضح على الفور أن هذه وظيفة معقدة من ثلاثة مستويات: فهي بالفعل وظيفة معقدة في حد ذاتها، ونقوم أيضًا باستخراج الجذر منها، أي أننا نقوم بالإجراء الثالث (وضع الشوكولاتة في غلاف) ومع شريط في الحقيبة). ولكن لا يوجد سبب للخوف: مازلنا "نفك" هذه الوظيفة بنفس الترتيب المعتاد: من النهاية.

وهذا يعني أننا نفرق أولاً بين الجذر، ثم جيب التمام، وعندها فقط التعبير بين قوسين. وبعد ذلك نضرب كل شيء.

في مثل هذه الحالات، يكون من المناسب ترقيم الإجراءات. وهذا هو، دعونا نتخيل ما نعرفه. بأي ترتيب سننفذ الإجراءات لحساب قيمة هذا التعبير؟ لنلقي نظرة على مثال:

كلما تم تنفيذ الإجراء لاحقًا، أصبحت الوظيفة المقابلة أكثر "خارجية". تسلسل الإجراءات هو نفسه كما كان من قبل:

هنا يكون التعشيش بشكل عام على مستوى 4. دعونا نحدد مسار العمل.

1. التعبير الراديكالي. .

2. الجذر. .

3. جيب. .

4. ساحة. .

5. تجميع كل ذلك معًا:

المشتق. باختصار عن الأشياء الرئيسية

مشتق من وظيفة- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة:

مشتق من المبلغ:

مشتق من المنتج:

مشتق الحاصل:

مشتق من وظيفة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

1. نحدد الدالة "الداخلية" ونجد مشتقتها.
2. نحدد الدالة "الخارجية" ونجد مشتقتها.
3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

إثبات واشتقاق صيغ مشتقة الأسي (e إلى القوة x) والدالة الأسية (a إلى القوة x). أمثلة لحساب مشتقات e^2x وe^3x وe^nx. صيغ المشتقات ذات الرتب العليا.

محتوى

أنظر أيضا: الدالة الأسية - الخصائص، الصيغ، الرسم البياني
الأس، e إلى القوة x - الخصائص، الصيغ، الرسم البياني

الصيغ الأساسية

مشتق الأس يساوي الأس نفسه (مشتق e أس x يساوي e أس x):
(1) (ه س )′ = ه س.

مشتق الدالة الأسية ذات الأساس a يساوي الدالة نفسها مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي لـ a:
(2) .

الأسية هي دالة أسية أساسها يساوي الرقم e، وهو الحد التالي:
.
هنا يمكن أن يكون عددًا طبيعيًا أو عددًا حقيقيًا. بعد ذلك، نشتق الصيغة (1) لمشتقة الأسي.

اشتقاق صيغة المشتقة الأسية

النظر في الأسي، e إلى القوة x:
ص = ه س .
يتم تعريف هذه الوظيفة للجميع. دعونا نجد مشتقتها بالنسبة للمتغير x. بحكم التعريف، المشتق هو الحد التالي:
(3) .

دعونا نحول هذا التعبير لتقليله إلى التعبيرات المعروفة الخصائص الرياضيةوالقواعد. وللقيام بذلك نحتاج إلى الحقائق التالية:
أ)خاصية الأس:
(4) ;
ب)خاصية اللوغاريتم:
(5) ;
في)استمرارية اللوغاريتم وخاصية الحدود للدالة المستمرة:
(6) .
هذه دالة لها نهاية وهذه النهاية موجبة.
ز)معنى الحد الثاني الملحوظ:
(7) .

فلنطبق هذه الحقائق على حدنا (٣). نستخدم الخاصية (4):
;
.

دعونا نجعل الاستبدال. ثم ؛ .
ونظرا لاستمرارية الأسي ،
.
لذلك، عندما . ونتيجة لذلك نحصل على:
.

دعونا نجعل الاستبدال. ثم . في ، . ونحن لدينا:
.

لنطبق خاصية اللوغاريتم (5):
. ثم
.

فلنطبق الخاصية (٦). وبما أن هناك نهاية موجبة واللوغاريتم مستمر، فإن:
.
هنا استخدمنا أيضًا الثانية حد ملحوظ(7). ثم
.

وهكذا حصلنا على الصيغة (1) لمشتقة الأسي.

اشتقاق صيغة مشتقة الدالة الأسية

الآن نشتق الصيغة (2) لمشتقة الدالة الأسية ذات الأساس من الدرجة أ. ونحن نعتقد أن و. ثم الدالة الأسية
(8)
محددة للجميع.

دعونا نحول الصيغة (8). للقيام بذلك، سوف نستخدم خصائص الدالة الأسية واللوغاريتم.
;
.
لذلك قمنا بتحويل الصيغة (8) إلى الصيغة التالية:
.

مشتقات ذات ترتيب أعلى من e إلى القوة x

الآن دعونا نجد مشتقات الطلبات العليا. دعونا ننظر إلى الأس أولا:
(14) .
(1) .

نرى أن مشتقة الدالة (14) تساوي الدالة (14) نفسها. بالتفاضل (1) نحصل على مشتقات من الرتبة الثانية والثالثة:
;
.

يوضح هذا أن مشتق الرتبة n يساوي أيضًا الدالة الأصلية:
.

مشتقات ذات رتبة أعلى من الدالة الأسية

الآن فكر في دالة أسية ذات قاعدة من الدرجة أ:
.
لقد وجدنا مشتقته من الدرجة الأولى:
(15) .

بالتفاضل (15) نحصل على مشتقات من الرتبة الثانية والثالثة:
;
.

نرى أن كل تمايز يؤدي إلى ضرب الدالة الأصلية بـ . وبالتالي فإن مشتق الرتبة n له الشكل التالي:
.

أنظر أيضا:

إذا اتبعت التعريف، فإن مشتقة الدالة عند نقطة ما هو حد نسبة زيادة الدالة Δ ذإلى زيادة الوسيطة Δ س:

يبدو أن كل شيء واضح. لكن حاول استخدام هذه الصيغة لحساب مشتقة الدالة، على سبيل المثال F(س) = س 2 + (2س+ 3) · ه سخطيئة س. إذا فعلت كل شيء بحكم التعريف، فبعد بضع صفحات من الحسابات، سوف تغفو ببساطة. ولذلك، هناك طرق أبسط وأكثر فعالية.

في البداية، نلاحظ أنه من بين مجموعة الوظائف المتنوعة، يمكننا التمييز بين ما يسمى بالوظائف الأولية. هذه تعبيرات بسيطة نسبيًا، وقد تم حساب وتبويب مشتقاتها منذ فترة طويلة. من السهل جدًا تذكر مثل هذه الوظائف - بالإضافة إلى مشتقاتها.

مشتقات الوظائف الأولية

الوظائف الأولية هي جميع تلك المذكورة أدناه. ويجب أن تكون مشتقات هذه الوظائف معروفة عن ظهر قلب. علاوة على ذلك، فإن حفظها ليس بالأمر الصعب على الإطلاق - ولهذا السبب فهي أولية.

لذلك، مشتقات الوظائف الأولية:

اسم	وظيفة	المشتق
ثابت	F(س) = ج, ج ∈ ر	0 (نعم، صفر!)
القوة مع الأس العقلاني	F(س) = س ن	ن · س ن − 1
التجويف	F(س) = خطيئة س	كوس س
جيب التمام	F(س) = كوس س	-الخطيئة س(ناقص جيب)
الظل	F(س) = تيراغرام س	1/كوس 2 س
ظل التمام	F(س) =ctg س	- 1/الخطيئة 2 س
اللوغاريتم الطبيعي	F(س) = سجل س	1/س
اللوغاريتم التعسفي	F(س) = سجل أ س	1/(س ln أ)
الدالة الأسية	F(س) = ه س	ه س(لا شيء تغير)

إذا تم ضرب دالة أولية بثابت اختياري، فيمكن أيضًا حساب مشتق الدالة الجديدة بسهولة:

(ج · F)’ = ج · F ’.

بشكل عام، يمكن إخراج الثوابت من إشارة المشتقة. على سبيل المثال:

(2س 3)' = 2 · ( س 3)' = 2 3 س 2 = 6س 2 .

من الواضح أنه يمكن إضافة الوظائف الأولية إلى بعضها البعض وضربها وتقسيمها - وغير ذلك الكثير. هكذا ستظهر الوظائف الجديدة، التي لم تعد أولية بشكل خاص، بل يتم تمييزها أيضًا وفقًا لقواعد معينة. وتناقش هذه القواعد أدناه.

مشتق من المجموع والفرق

دع الوظائف تعطى F(س) و ز(س) ومشتقاته معروفة لدينا. على سبيل المثال، يمكنك أن تأخذ الوظائف الأولية التي تمت مناقشتها أعلاه. ثم يمكنك العثور على مشتق مجموع هذه الوظائف والفرق بينها:

1. (F + ز)’ = F ’ + ز ’
2. (F − ز)’ = F ’ − ز ’

لذا، فإن مشتق مجموع (الفرق) لوظيفتين يساوي مجموع (الفرق) للمشتقات. قد يكون هناك المزيد من الشروط. على سبيل المثال، ( F + ز + ح)’ = F ’ + ز ’ + ح ’.

بالمعنى الدقيق للكلمة، لا يوجد مفهوم "الطرح" في الجبر. هناك مفهوم "العنصر السلبي". ولذلك الفرق F − زيمكن إعادة كتابتها كمجموع F+ (−1) زوبعد ذلك تبقى صيغة واحدة فقط - مشتق المجموع.

F(س) = س 2 + الخطيئة س؛ ز(س) = س 4 + 2س 2 − 3.

وظيفة F(س) هو مجموع وظيفتين أساسيتين، وبالتالي:

F ’(س) = (س 2 + الخطيئة س)’ = (س 2)' + (خطيئة س)’ = 2س+ كوس س؛

نحن نسبب بالمثل لهذه الوظيفة ز(س). فقط هناك بالفعل ثلاثة مصطلحات (من وجهة نظر الجبر):

ز ’(س) = (س 4 + 2س 2 − 3)’ = (س 4 + 2س 2 + (−3))’ = (س 4)’ + (2س 2)’ + (−3)’ = 4س 3 + 4س + 0 = 4س · ( س 2 + 1).

إجابة:
F ’(س) = 2س+ كوس س؛
ز ’(س) = 4س · ( س 2 + 1).

مشتق من المنتج

الرياضيات علم منطقي، لذلك يعتقد الكثير من الناس أنه إذا كانت مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات، فإن مشتقة حاصل الضرب يضرب">يساوي منتج المشتقات. لكن اللعنة عليك! يتم حساب مشتق المنتج باستخدام صيغة مختلفة تمامًا. وهي:

(F · ز) ’ = F ’ · ز + F · ز ’

الصيغة بسيطة، ولكن غالبا ما يتم نسيانها. وليس فقط تلاميذ المدارس، ولكن الطلاب أيضا. والنتيجة هي مشاكل تم حلها بشكل غير صحيح.

مهمة. البحث عن مشتقات الوظائف: F(س) = س 3 كوس س؛ ز(س) = (س 2 + 7س− 7) · ه س .

وظيفة F(س) هو نتاج وظيفتين أساسيتين، لذلك كل شيء بسيط:

F ’(س) = (س 3 كوس س)’ = (س 3) كوس س + س 3 (كوس س)’ = 3س 2 كوس س + س 3 (- الخطيئة س) = س 2 (3كوس س − سخطيئة س)

وظيفة ز(س) المضاعف الأول أكثر تعقيدًا بعض الشيء، لكن المخطط العام لا يتغير. من الواضح أن العامل الأول للوظيفة ز(س) هي كثيرة الحدود ومشتقتها هي مشتقة المجموع. لدينا:

ز ’(س) = ((س 2 + 7س− 7) · ه س)’ = (س 2 + 7س− 7)’ · ه س + (س 2 + 7س− 7) · ( ه س)’ = (2س+ 7) · ه س + (س 2 + 7س− 7) · ه س = ه س· (2 س + 7 + س 2 + 7س −7) = (س 2 + 9س) · ه س = س(س+ 9) · ه س .

إجابة:
F ’(س) = س 2 (3كوس س − سخطيئة س);
ز ’(س) = س(س+ 9) · ه س .

يرجى ملاحظة أنه في الخطوة الأخيرة يتم تحليل المشتق. رسميًا، لا يلزم القيام بذلك، لكن معظم المشتقات لا يتم حسابها من تلقاء نفسها، ولكن لفحص الدالة. وهذا يعني أنه بعد ذلك سيتم مساواة المشتقة بالصفر، وسيتم تحديد علاماتها، وما إلى ذلك. في مثل هذه الحالة، من الأفضل أن يتم تحليل التعبير.

إذا كان هناك وظيفتين F(س) و ز(س)، و ز(س) ≠ 0 في المجموعة التي نهتم بها، يمكننا تحديد وظيفة جديدة ح(س) = F(س)/ز(س). لمثل هذه الوظيفة يمكنك أيضًا العثور على المشتق:

ليس ضعيفا، هاه؟ من أين أتى الناقص؟ لماذا ز 2؟ ومثل هذا! هذه واحدة من أكثر الصيغ تعقيدًا - لا يمكنك اكتشافها بدون زجاجة. لذلك من الأفضل دراستها بأمثلة محددة.

مهمة. البحث عن مشتقات الوظائف:

يحتوي بسط ومقام كل كسر على دوال أولية، لذا كل ما نحتاجه هو صيغة مشتقة خارج القسمة:

وفقًا للتقاليد، دعونا نحلل البسط إلى عوامل - وهذا سيبسط الإجابة إلى حد كبير:

الوظيفة المعقدة ليست بالضرورة صيغة طولها نصف كيلومتر. على سبيل المثال، يكفي أن تأخذ الوظيفة F(س) = خطيئة سواستبدال المتغير س، يقول على س 2 + ج س. سوف تنجح F(س) = الخطيئة ( س 2 + ج س) - هذه وظيفة معقدة. كما أن لديها مشتق، ولكن لن يكون من الممكن العثور عليه باستخدام القواعد التي تمت مناقشتها أعلاه.

ماذا علي أن أفعل؟ في مثل هذه الحالات، يساعد استبدال المتغير والصيغة لمشتقة دالة معقدة على:

F ’(س) = F ’(ر) · ر'، لو سلقد بدل بواسطة ر(س).

كقاعدة عامة، فإن الوضع مع فهم هذه الصيغة أكثر حزنا من مشتق الحاصل. لذلك، من الأفضل أيضًا شرح ذلك بأمثلة محددة وصف تفصيليكل خطوة.

مهمة. البحث عن مشتقات الوظائف: F(س) = ه 2س + 3 ; ز(س) = الخطيئة ( س 2 + ج س)

لاحظ أنه إذا كان في الوظيفة F(س) بدلاً من التعبير 2 س+ 3 سيكون سهلا س، ثم نحصل على وظيفة أولية F(س) = ه س. لذلك، نقوم بإجراء استبدال: دع 2 س + 3 = ر, F(س) = F(ر) = ه ر. نحن نبحث عن مشتق دالة معقدة باستخدام الصيغة:

F ’(س) = F ’(ر) · ر ’ = (ه ر)’ · ر ’ = ه ر · ر ’

والآن - انتبه! نقوم بإجراء الاستبدال العكسي: ر = 2س+ 3. نحصل على:

F ’(س) = ه ر · ر ’ = ه 2س+ 3 (2 س + 3)’ = ه 2س+ 2 3 = 2 ه 2س + 3

الآن دعونا نلقي نظرة على الوظيفة ز(س). من الواضح أنه يحتاج إلى استبداله س 2 + ج س = ر. لدينا:

ز ’(س) = ز ’(ر) · ر= (خطيئة ر)’ · ر' = كوس ر · ر ’

الاستبدال العكسي: ر = س 2 + ج س. ثم:

ز ’(س) = كوس ( س 2 + ج س) · ( س 2 + ج س)' = كوس ( س 2 + ج س) · (2 س + 1/س).

هذا كل شئ! وكما يتبين من التعبير الأخير، فقد تم اختصار المشكلة برمتها إلى حساب مجموع المشتقات.

إجابة:
F ’(س) = 2 · ه 2س + 3 ;
ز ’(س) = (2س + 1/س) كوس ( س 2 + ج س).

في كثير من الأحيان في دروسي، بدلاً من مصطلح "مشتق"، أستخدم كلمة "رئيسي". على سبيل المثال، حد المجموع يساوي مجموع الحدود. هل هذا أوضح؟ حسنا هذا جيد.

وبالتالي، فإن حساب المشتق يأتي للتخلص من هذه الضربات نفسها وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه. كمثال أخير، دعونا نعود إلى القوة المشتقة مع الأس العقلاني:

(س ن)’ = ن · س ن − 1

قليل من الناس يعرفون ذلك في هذا الدور نقد يكون عددا كسريا. على سبيل المثال، الجذر هو س 0.5. ماذا لو كان هناك شيء فاخر تحت الجذر؟ مرة أخرى، ستكون النتيجة وظيفة معقدة - فهم يحبون إعطاء مثل هذه الإنشاءات الاختباراتوالامتحانات.

مهمة. العثور على مشتق من وظيفة:

أولاً، دعونا نعيد كتابة الجذر كقوة ذات أس نسبي:

F(س) = (س 2 + 8س − 7) 0,5 .

الآن نقوم بإجراء بديل: دع س 2 + 8س − 7 = ر. نجد المشتق باستخدام الصيغة:

F ’(س) = F ’(ر) · ر ’ = (ر 0.5)' · ر' = 0.5 · ر-0.5 · ر ’.

لنقم بالاستبدال العكسي: ر = س 2 + 8س− 7. لدينا:

F ’(س) = 0.5 · ( س 2 + 8س− 7) −0.5 · ( س 2 + 8س− 7)' = 0.5 · (2 س+ 8) ( س 2 + 8س − 7) −0,5 .

وأخيراً العودة إلى الجذور: