كيفية الإشارة إلى الأرقام باستخدام pi في دائرة الأرقام؟ درس "تعريف الجيب وجيب التمام على دائرة الوحدة" ملخص وصيغ أساسية.

درس وعرض حول موضوع: "دائرة الأرقام على المستوى الإحداثي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
مسائل جبرية مع المعلمات، الصفوف 9-11
نحن نحل المشاكل في الهندسة. مهام البناء التفاعلية للصفوف 7-10

ما سوف ندرسه :
1. التعريف.
2. إحداثيات مهمة لدائرة الأعداد.
3. كيف تجد إحداثيات دائرة الأرقام؟
4. جدول الإحداثيات الرئيسية لدائرة الأرقام.
5. أمثلة على حل المشكلات.

تعريف دائرة الأعداد على المستوى الإحداثي

لنضع دائرة الأرقام في المستوى الإحداثي بحيث يتطابق مركز الدائرة مع أصل الإحداثيات، ونأخذ نصف قطرها كقطعة وحدة. تتم محاذاة نقطة البداية لدائرة الأرقام A مع النقطة (1؛0).

كل نقطة على دائرة الأعداد لها إحداثيات x وy الخاصة بها في المستوى الإحداثي، و:
1) لـ $x > 0$، $y > 0$ - في الربع الأول؛
2) مقابل $x 0$ - في الربع الثاني؛
3) لـ $x 4) لـ $x > 0$، $y
بالنسبة لأي نقطة $M(x; y)$ على دائرة الأرقام، يتم تحقيق المتباينات التالية: $-1
تذكر معادلة دائرة الأعداد: $x^2 + y^2 = 1$.

من المهم بالنسبة لنا أن نتعلم كيفية إيجاد إحداثيات النقاط الموجودة على دائرة الأعداد الموضحة في الشكل.

لنجد إحداثيات النقطة $\frac(π)(4)$

النقطة $M(\frac(π)(4))$ هي منتصف الربع الأول. دعونا نسقط العمود MR من النقطة M إلى الخط المستقيم OA ونأخذ في الاعتبار المثلث OMP بما أن القوس AM يساوي نصف القوس AB، فإن $∠MOP=45°$.
إذن المثلث OMP متساوي الساقين مثلث قائمو$OP=MP$، أي عند النقطة M يكون الإحداثي والإحداثي متساويين: $x = y$.
بما أن إحداثيات النقطة $M(x;y)$ تلبي معادلة دائرة الأعداد، فللعثور عليها عليك حل نظام المعادلات:
$\begin (الحالات) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \النهاية (الحالات)$
وبعد حل هذا النظام نحصل على: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
وهذا يعني أن إحداثيات النقطة M المقابلة للرقم $\frac(π)(4)$ ستكون $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
يتم حساب إحداثيات النقاط الموضحة في الشكل السابق بطريقة مماثلة.

إحداثيات النقاط على دائرة الأعداد

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة

مثال 1.
أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: $P(45\frac(π)(4))$.

حل:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
هذا يعني أن الرقم $45\frac(π)(4)$ يتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأرقام مثل الرقم $\frac(5π)(4)$. بالنظر إلى قيمة النقطة $\frac(5π)(4)$ في الجدول، نحصل على: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

مثال 2.
أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: $P(-\frac(37π)(3))$.

حل:

لأن الأرقام $t$ و $t+2π*k$، حيث k عدد صحيح، تتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأعداد، ثم:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
هذا يعني أن الرقم $-\frac(37π)(3)$ يتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأرقام مثل الرقم $–\frac(π)(3)$، والرقم –$\frac(π) (3)$ يتوافق مع نفس النقطة $\frac(5π)(3)$. بالنظر إلى قيمة النقطة $\frac(5π)(3)$ في الجدول، نحصل على:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

مثال 3.
ابحث عن النقاط على دائرة الأعداد ذات الإحداثية $y =\frac(1)(2)$ واكتب الأرقام $t$ التي تتوافق معها؟

حل:
يتقاطع الخط المستقيم $y =\frac(1)(2)$ مع دائرة الأرقام عند النقطتين M وP. وتتوافق النقطة M مع الرقم $\frac(π)(6)$ (من بيانات الجدول). هذا يعني أي رقم بالشكل: $\frac(π)(6)+2π*k$. النقطة P تقابل الرقم $\frac(5π)(6)$، وبالتالي أي رقم على الصورة $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
لقد تلقينا، كما يقال غالبًا في مثل هذه الحالات، سلسلتين من القيم:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ و $\frac(5π)(6) +2π*k$.
الإجابة: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ و$t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

مثال 4.
ابحث عن النقاط في دائرة الأعداد التي تحتوي على الإحداثي الإحداثي $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ واكتب الأرقام $t$ التي تتوافق معها.

حل:

الخط المستقيم $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ يتقاطع مع دائرة الأعداد عند النقطتين M وP. والمتباينة $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ تقابل إلى نقاط القوس PM. النقطة M تتوافق مع الرقم $3\frac(π)(4)$ (من بيانات الجدول). هذا يعني أي رقم على شكل $-\frac(3π)(4) +2π*k$. النقطة P تقابل الرقم $-\frac(3π)(4)$، وبالتالي أي رقم على الصورة $-\frac(3π)(4) +2π*k$.

ثم نحصل على $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≥t≥\frac(3π)(4) +2πk$.

الإجابة: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≥t≥\frac(3π)(4) +2πk$.

مشاكل لحلها بشكل مستقل

1) أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: $P(\frac(61π)(6))$.
2) أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) ابحث عن النقاط على دائرة الأعداد ذات الإحداثية $y = -\frac(1)(2)$ واكتب الأرقام $t$ التي تتوافق معها.
4) ابحث عن النقاط على دائرة الأعداد ذات الإحداثي $y ≥ -\frac(1)(2)$ واكتب الأرقام $t$ التي تتوافق معها.
5) ابحث عن النقاط على دائرة الأعداد التي تحتوي على الإحداثي الإحداثي $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ واكتب الأرقام $t$ التي تتوافق معها.

عند دراسة علم المثلثات في المدرسة، يواجه كل طالب مفهومًا مثيرًا للاهتمام وهو "دائرة الأرقام". يعتمد مدى جودة تعلم الطالب لعلم المثلثات لاحقًا على قدرة معلم المدرسة على شرح ماهيته وسبب الحاجة إليه. لسوء الحظ، لا يستطيع كل معلم شرح هذه المادة بوضوح. ونتيجة لذلك، فإن العديد من الطلاب يشعرون بالارتباك حتى بشأن كيفية وضع العلامات النقاط على دائرة الأعداد. إذا قرأت هذا المقال حتى النهاية، فسوف تتعلم كيفية القيام بذلك دون أي مشاكل.

اذا هيا بنا نبدأ. لنرسم دائرة نصف قطرها 1. لنشير إلى النقطة "أقصى اليمين" في هذه الدائرة بالحرف يا:

تهانينا، لقد رسمت للتو دائرة الوحدة. وبما أن نصف قطر هذه الدائرة هو 1، فإن طولها هو .

لكل عدد حقيقييمكنك مطابقة طول المسار على طول دائرة الأرقام من النقطة يا. ويؤخذ اتجاه الحركة عكس اتجاه عقارب الساعة كاتجاه إيجابي. للسالب - في اتجاه عقارب الساعة:

موقع النقاط على دائرة الأعداد

كما لاحظنا من قبل، فإن طول دائرة الأعداد (دائرة الوحدة) يساوي . فأين سيكون الرقم في هذه الدائرة؟ ومن الواضح، من هذه النقطة ياعكس اتجاه عقارب الساعة نحتاج إلى السير نصف طول الدائرة وسنجد أنفسنا عند النقطة المطلوبة. دعنا نشير إلى ذلك بالحرف ب:

لاحظ أنه يمكن الوصول إلى نفس النقطة عن طريق السير نصف دائرة في الاتجاه السلبي. ثم نرسم العدد على دائرة الوحدة. أي أن الأرقام تتوافق مع نفس النقطة.

علاوة على ذلك، فإن هذه النقطة نفسها تتوافق أيضًا مع الأرقام، و، وبشكل عام، مع مجموعة لا حصر لها من الأرقام التي يمكن كتابتها في النموذج، حيث، أي، تنتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة. كل هذا لأنه من هذه النقطة بيمكنك القيام برحلة "حول العالم" في أي اتجاه (إضافة أو طرح المحيط) والوصول إلى نفس النقطة. لقد حصلنا على نتيجة مهمة يجب فهمها وتذكرها.

كل رقم يتوافق مع نقطة واحدة على دائرة الأرقام. لكن كل نقطة على دائرة الأعداد تقابل عدداً لا نهائياً من الأعداد.

دعونا الآن نقسم نصف الدائرة العلوي من دائرة الأعداد إلى أقواس متساوية الطول بنقطة ج. فمن السهل أن نرى أن طول القوس أوك.يساوي . دعونا نؤجل الآن من هذه النقطة جقوس بنفس الطول في اتجاه عكس عقارب الساعة. ونتيجة لذلك، سوف نصل إلى هذه النقطة ب. والنتيجة متوقعة تماما، منذ . لنضع هذا القوس في نفس الاتجاه مرة أخرى، ولكن الآن من النقطة ب. ونتيجة لذلك، سوف نصل إلى هذه النقطة د، والذي سيتوافق بالفعل مع الرقم:

لاحظ مرة أخرى أن هذه النقطة لا تتوافق مع الرقم فقط، بل أيضًا على سبيل المثال مع الرقم، لأنه يمكن الوصول إلى هذه النقطة عن طريق الابتعاد عن النقطة ياربع دائرة في اتجاه عقارب الساعة (الاتجاه السلبي).

وبشكل عام، نلاحظ مرة أخرى أن هذه النقطة تتوافق مع عدد لا نهائي من الأرقام التي يمكن كتابتها في الصورة . ولكن من الممكن أيضًا كتابتها بالشكل . أو، إذا كنت تفضل ذلك، في شكل . كل هذه السجلات متكافئة تمامًا، ويمكن الحصول عليها من بعضها البعض.

دعونا الآن نقسم القوس إلى أوك.نصف نقطة م. الآن اكتشف ما هو طول القوس أوم؟ هذا صحيح، نصف القوس أوك.. إنه . ما هي الأرقام التي تتوافق معها النقطة؟ معلى دائرة الأرقام؟ أنا متأكد من أنك ستدرك الآن أنه يمكن كتابة هذه الأرقام بالشكل .

ولكن يمكن القيام بذلك بشكل مختلف. لنأخذ . ثم حصلنا على ذلك . أي أنه يمكن كتابة هذه الأرقام على الصورة . ويمكن الحصول على نفس النتيجة باستخدام دائرة الأعداد. وكما قلت سابقًا، كلا السجلين متساويان، ويمكن الحصول عليهما من بعضهما البعض.

يمكنك الآن بسهولة إعطاء مثال على الأرقام التي تتوافق معها النقاط ن, صو كعلى دائرة الأرقام. على سبيل المثال، الأرقام، و:

غالبًا ما يتم أخذ الحد الأدنى من الأرقام الموجبة لتعيين النقاط المقابلة في دائرة الأرقام. على الرغم من أن هذا ليس ضروريا على الإطلاق، هذه الفترة نكما تعلمون، يتوافق مع عدد لا حصر له من الأرقام الأخرى. بما في ذلك، على سبيل المثال، الرقم.

إذا كسرت القوس أوك.إلى ثلاثة أقواس متساوية بالنقاط سو ل، هذه هي النقطة سسوف تقع بين النقاط ياو لثم طول القوس نظام التشغيلسيكون مساوياً ل، وطول القوس رأسيكون مساويا ل . باستخدام المعرفة التي اكتسبتها في الجزء السابق من الدرس، يمكنك بسهولة معرفة كيفية ظهور النقاط المتبقية في دائرة الأرقام:

الأرقام ليست مضاعفات π في دائرة الأرقام

دعونا الآن نسأل أنفسنا السؤال: أين يجب أن نحدد النقطة المقابلة للرقم 1 على خط الأعداد؟ للقيام بذلك، عليك أن تبدأ من النقطة "الأيمن" في دائرة الوحدة ياارسم قوسًا طوله يساوي 1. يمكننا فقط الإشارة إلى موقع النقطة المطلوبة بشكل تقريبي. دعونا المضي قدما على النحو التالي.

أتمنى أن تكون قد قرأت بالفعل عن دائرة الأعداد وتعرف سبب تسميتها بدائرة الأعداد، ومكان أصل الإحداثيات عليها وأي جانب هو الاتجاه الموجب. إذا لم يكن كذلك، ثم تشغيل! ما لم تكن بالطبع ستجد نقاطًا على دائرة الأعداد.

نشير إلى الأرقام \(2π\)، \(π\)، \(\frac(π)(2)\)، \(-\frac(π)(2)\)، \(\frac(3π) (2 )\)

كما تعلم من المقالة السابقة فإن نصف قطر دائرة الأعداد هو \(1\). هذا يعني أن المحيط يساوي \(2π\) (محسوب باستخدام الصيغة \(l=2πR\)). وبأخذ ذلك بعين الاعتبار، نضع علامة \(2π\) على دائرة الأعداد. لتحديد هذا الرقم، علينا الانتقال من \(0\) على طول دائرة الأرقام إلى مسافة تساوي \(2π\) في الاتجاه الموجب، وبما أن طول الدائرة هو \(2π\)، فإنه يتحول من أننا سوف نفعل بدوره الكامل. أي أن الرقم \(2π\) و \(0\) يتوافقان مع نفس النقطة. لا تقلق، فالقيم المتعددة لنقطة واحدة تعتبر طبيعية لدائرة الأعداد.

الآن دعنا نشير إلى الرقم \(π\) الموجود على دائرة الأرقام. \(π\) هو نصف \(2π\). وبالتالي، لتحديد هذا الرقم والنقطة المقابلة، عليك أن تذهب نصف دائرة من \(0\) في الاتجاه الإيجابي.

لنضع علامة على النقطة \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) هو نصف \(π\)، وبالتالي، لتحديد هذا الرقم، عليك الانتقال من \(0\) في الاتجاه الإيجابي مسافة تساوي نصف \( π\)، أي ربع الدائرة.

دعونا نشير إلى النقاط الموجودة على الدائرة \(-\)\(\frac(π)(2)\) . نتحرك بنفس المسافة التي قطعناها في المرة السابقة، ولكن في اتجاه سلبي.

لنضع \(-π\). للقيام بذلك، دعونا نسير مسافة تساوي نصف دائرة في الاتجاه السلبي.

الآن دعونا نلقي نظرة على مثال أكثر تعقيدا. لنضع علامة على الرقم \(\frac(3π)(2)\) على الدائرة. للقيام بذلك، نترجم الكسر \(\frac(3)(2)\) إلى \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ )، أي ه. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . وهذا يعني أنك تحتاج إلى الانتقال من \(0\) في الاتجاه الإيجابي مسافة نصف دائرة وربع آخر.

التمرين 1. حدد النقاط \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) على دائرة الأرقام.

نشير إلى الأرقام \(\frac(π)(4)\)، \(\frac(π)(3)\)، \(\frac(π)(6)\)

أعلاه وجدنا القيم عند نقاط تقاطع دائرة الأعداد مع المحورين \(x\) و\(y\). الآن دعونا نحدد موضع النقاط الوسيطة. أولاً، دعونا نرسم النقاط \(\frac(π)(4)\) ، \(\frac(π)(3)\) و \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) هو نصف \(\frac(π)(2)\) (أي، \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) ، وبالتالي فإن المسافة \(\frac(π)(4)\) هي نصف ربع دائرة.

\(\frac(π)(4)\) هو ثلث \(π\) (بمعنى آخر،\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)))، وبالتالي فإن المسافة \ (\frac(π)(3)\) هي ثلث نصف الدائرة.

\(\frac(π)(6)\) هو نصف \(\frac(π)(3)\) (بعد كل شيء، \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) وبالتالي فإن المسافة \(\frac(π)(6)\) هي نصف المسافة \(\frac(π)(3)\) .

وهذه هي الطريقة التي يقعون بها بالنسبة لبعضهم البعض:

تعليق:موقع النقاط ذات القيمة \(\\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) من الأفضل أن تتذكر فقط. بدونها، تبدو دائرة الأرقام، مثل جهاز كمبيوتر بدون شاشة، شيئًا مفيدًا، ولكنها غير مريحة للغاية للاستخدام.

تظهر بوضوح المسافات المختلفة على الدائرة:

نشير إلى الأرقام \(\frac(7π)(6)\)، \(-\frac(4π)(3)\)، \(\frac(7π)(4)\)

دعونا نشير إلى النقطة الموجودة على الدائرة \(\frac(7π)(6)\) ، وللقيام بذلك نقوم بإجراء التحويلات التالية: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ فارك(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . من هذا يمكننا أن نرى أنه من الصفر في الاتجاه الإيجابي نحتاج إلى السفر مسافة \(π\)، ثم \(\frac(π)(6)\) أخرى.

حدد النقطة \(-\)\(\frac(4π)(3)\) على الدائرة. التحويل: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . هذا يعني أنه من \(0\) عليك أن تسير في الاتجاه السلبي للمسافة \(π\) وأيضًا \(\frac(π)(3)\) .

دعونا نرسم النقطة \(\frac(7π)(4)\) ، وللقيام بذلك نقوم بتحويل \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4 )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π) )(4)\) . هذا يعني أنه من أجل وضع نقطة ذات القيمة \(\frac(7π)(4)\)، عليك الانتقال من النقطة ذات القيمة \(2π\) إلى الجانب السلبي على مسافة \(\ فارك(π)(4)\) .

المهمة 2. ضع علامة على النقاط \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) على دائرة الأعداد (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

نشير إلى الأرقام \(\10π\)، \(-3π\)، \(\frac(7π)(2)\)، \(\frac(16π)(3)\)، \(\frac(21π) )( 2)\)، \(-\frac(29π)(6)\)

دعونا نكتب \(10π\) بالصيغة \(5 \cdot 2π\). تذكر أن \(2π\) هي المسافة يساوي الطولالدوائر، لذا لتحديد النقطة \(10π\)، عليك الانتقال من الصفر إلى مسافة تساوي \(5\) دوائر. ليس من الصعب تخمين أننا سنجد أنفسنا مرة أخرى عند النقطة \(0\)، فقط قم بخمس دورات.

ومن هذا المثال يمكننا أن نستنتج:

الأرقام ذات الفرق \(2πn\)، حيث \(n∈Z\) (أي \(n\) هو أي عدد صحيح) تتوافق مع نفس النقطة.

أي أنه لوضع رقم بقيمة أكبر من \(2π\) (أو أقل من \(-2π\))، تحتاج إلى استخراج رقم زوجي منه \(π\) (\(2π\)، \(8π\)، \(-10π\)...) وتجاهل. وبذلك سنحذف "الثورات الفارغة" من الأرقام التي لا تؤثر على موضع النقطة.

استنتاج آخر:

النقطة التي يتوافق معها \(0\) تتوافق أيضًا مع جميع الكميات الزوجية \(π\) (\(±2π\)،\(±4π\)،\(±6π\)...).

الآن دعونا نطبق \(-3π\) على الدائرة. \(-3π=-π-2π\)، وهو ما يعني \(-3π\) و \(–π\) موجودان في نفس المكان على الدائرة (نظرًا لأنهما يختلفان بـ "دورة فارغة" في \(-2π \)).

بالمناسبة، كل الغريب \(π\) سيكون هناك أيضًا.

النقطة التي يتوافق معها \(π\) تتوافق أيضًا مع جميع الكميات الفردية \(π\) (\(±π\)،\(±3π\)،\(±5π\)...).

الآن دعنا نشير إلى الرقم \(\frac(7π)(2)\) . كالعادة، نقوم بالتحويل: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . نتجاهل اثنين pi، وتبين أنه لتعيين الرقم \(\frac(7π)(2)\) عليك الانتقال من الصفر في الاتجاه الموجب إلى مسافة تساوي \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (أي نصف دائرة وربع آخر).

لا يعرف طلاب المدارس الثانوية أبدًا متى قد يواجهون مشاكل في دراستهم. أي موضوع يتم دراسته في المدرسة، من اللغة الروسية إلى سلامة الحياة، يمكن أن يسبب صعوبات. واحد من التخصصات الأكاديميةالمادة التي تجعل أطفال المدارس يتعرقون بانتظام هي الجبر. يبدأ علم الجبر في ترويع عقول الأطفال من الصف السابع ويستمر هذا العمل في السنوات الدراسية العاشرة والحادية عشرة. يمكن للمراهقين أن يجعلوا حياتهم أسهل باستخدام مجموعة متنوعة من الوسائل، والتي تشمل دائمًا الحلول.

مجموعة GDZ للصفوف 10-11 في الجبر (Sh.A. Alimov، Yu.M. Kolyagin، M.V. Tkacheva)إضافة ممتازة للكتاب الرئيسي. عبر ال معلومات مرجعيةأن يكون الطالب جاهزاً لحل أي تمرين. تتضمن المهام تحليل المواضيع التالية:

• الدوال والمعادلات المثلثية؛
• اللوغاريتمات.
• درجات.

تحتوي الإجابات والتعليقات المقدمة على ملاحظات المؤلف الضرورية التي ستساعد الطفل بالتأكيد.

لماذا تحتاج إلى حلال؟

يمنح المنشور جميع تلاميذ المدارس الفرصة للعمل من خلال المواد بشكل مستقل، وفي حالة سوء الفهم أو فقدان الموضوع، لتصفحه بأنفسهم دون المساس بالجودة. كما تتيح لك البيانات المرجعية الاستعداد بفعالية للمستقبل المستقل و الاختبارات. يمكن للطلاب الأكثر فضوليين المتابعة مقررإلى الأمام، والذي سيكون له في المستقبل تأثير إيجابي على استيعاب المعرفة وزيادة في متوسط ​​الدرجات.

بالإضافة إلى طلاب الصف العاشر والحادي عشر دليل عليموف في الجبر للصفوف 10-11يمكن للوالدين والمعلمين استخدامه بسهولة: بالنسبة للأول، سيصبح أداة لمراقبة معرفة الطفل، وبالنسبة للأخير، سيصبح أساسًا لتطوير المواد الخاصة بهم و مهام الاختبارللأنشطة الصفية.

كيف يتم تنظيم المجموعة

المورد يتبع تماما هيكل الكتاب المدرسي. في الداخل، يتمتع المستخدم بفرصة عرض إجابات 1624 تمرينًا، بالإضافة إلى مهام قسم "اختبر نفسك" المقسم إلى ثلاثة عشر فصلاً. المفاتيح متاحة 24 ساعة يوميا، ويمكن العثور على الرقم من خلال حقل البحث أو من خلال التنقل المريح.

5. الدوال المثلثية لأي وسيطة

§ 20. دائرة الوحدة

948. ما العلاقة بين طول قوس دائرة الوحدة وقياس الراديان؟

949. على دائرة الوحدة، قم ببناء النقاط المقابلة للأرقام: 0؛ 1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5؛ .... هل يمكن أن تتطابق أي من هذه النقاط؟ لماذا؟

950. يتم إعطاء الأرقام بالصيغة α = 1 / 2 ك، أين ك= 0؛ ±1; ±2؛ ....
أنشئ نقاطًا على خط الأعداد وعلى دائرة الوحدة تتوافق مع هذه الأعداد. ما عدد هذه النقاط الموجودة على خط الأعداد وكم عددها على دائرة الوحدة؟

951. حدد النقاط الموجودة على دائرة الوحدة وعلى محور الأرقام التي تتوافق مع الأرقام:
1) α = π ك, ك= 0؛ ±1، ±2، ...؛
2) α = π / 2 (2ك + 1), ك= 0؛ ± 1؛ ±2; ...;
3) α = π ك / 6 , ك= 0؛ ±1; ±2; ... .
ما عدد هذه النقاط الموجودة على خط الأعداد وكم عددها على دائرة الوحدة؟

952. كيف هي النقاط المقابلة للأرقام الموجودة على محور الأعداد وعلى دائرة الوحدة:
1) أو - أ; 2) أو أ± π; 3) أ+ π و أ- π؛ 4) أو أ+ 2π ك, ك= 0؛ ±1; ±2; ...؟

953. ما الفرق الأساسي بين تمثيل الأعداد بالنقاط على محور الأعداد وتمثيلها بالنقاط على دائرة الوحدة؟

954. 1) ابحث عن أصغر الأرقام غير السالبة المقابلة لنقاط تقاطع دائرة الوحدة: أ) مع محاور الإحداثيات؛ ب) مع منصفات الزوايا الإحداثية.

2) اكتب في كل حالة صيغة عامةالأرقام المقابلة للنقاط المشار إليها في دائرة الوحدة.

955. مع العلم أن أهو أحد الأعداد المقابلة لنقطة معينة على دائرة الوحدة، أوجد:
1) جميع الأرقام المقابلة لنقطة معينة؛
2) جميع الأرقام المقابلة لنقطة على دائرة الوحدة متناظرة مع النقطة المعطاة:
أ) نسبة إلى المحور السيني؛ ب) نسبة إلى المحور الإحداثي؛ ج) نسبة إلى الأصل.
حل المشكلة بالقبول أ = 0; π / 2 ; 1 ؛ 2 ; π / 6؛ - π / 4 .

956. أوجد الشرط الذي تحققه الأرقام أ، مُتَجَانِس:
1) نقاط الربع الأول من دائرة الوحدة؛
2) نقاط الربع الثاني من دائرة الوحدة؛
3) نقاط الربع الثالث من دائرة الوحدة؛
4) نقاط الربع الرابع من دائرة الوحدة.

957. الرأس A للمثمن المنتظم ABCDEFKL المدرج في دائرة الوحدة له إحداثيات (1؛ 0) (الشكل 39).

1) تحديد إحداثيات القمم المتبقية للمثمن.
2) قم بإنشاء صيغة عامة لأقواس نهاية دائرة الوحدة:
أ) عند النقاط A وC وE وK؛ ب) عند النقاط B وD وF وL؛ ج) عند النقاط A وB وC وD وE وF وK وL.

958. 1) أنشئ نقطة على دائرة الوحدة إحداثيتها 0.5. ما عدد النقاط الموجودة على دائرة الوحدة التي لها إحداثيات معينة؟ كيف تقع هذه النقاط بالنسبة للمحور الإحداثي؟

2) قس بالمنقلة (بدقة 1°) أصغر قوس من حيث القيمة المطلقة، وإحداثيات نهايته 0.5، وارسم صيغة عامة لأقواس دائرة الوحدة التي تنتهي عند نقاط بإحداثيات 0.5 0.5.

959. حل المشكلة 958 بأخذ الإحداثيات فييساوي:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) أنشئ نقطة على دائرة الوحدة طولها الإحداثي 0.5. كم عدد النقاط على دائرة الوحدة التي تحتوي على الإحداثي المعطى؟ كيف تقع هذه النقاط بالنسبة للمحور السيني؟

2) قم بقياس أصغر قوس موجب باستخدام المنقلة (بدقة 1°)، والذي يكون في نهايته حد قاطع يساوي 0.5، ثم قم بوضع صيغة عامة لأقواس دائرة الوحدة التي تنتهي عند نقاط بحد أقصى 0.5.

961. حل مسألة 960 بأخذ الإحداثي الإحداثي Xيساوي:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. تحديد إحداثيات نهايات أقواس دائرة الوحدة المعطاة بالصيغة ( ك= 0؛ ±1; ±2؛ ...):

1) α = 30 درجة (2 ك+ 1)؛ 2) α = π ك / 3 .

963. عبر عن متسلسلة الزوايا التالية ( ك= 0؛ ±1; ±2؛ ...):

1) α 1 = 180° ك+ 120° و α 2 = 180° ك+ 30 درجة؛

2) α 1 = π ك + π / 6 و α 2 = π ك - π / 3 ;

3) α 1 = 90° كو α 2 = 45 درجة (2 ك + 1);

4) α 1 = π كو α 2 = π / 3 (3ك± 1);

5) α 1 = 120° ك± 15° و α 2 = 120° ك± 45 درجة؛

6) α 1 = π ك; α2 = 2π ك ± π / 3 و α 3 = 2 لتر ك± 2π / 3 ;

7) α 1 = 180° ك+ 140 درجة؛ α 2 = 180 درجة ك+ 80° و α 3 = 180° ك+ 20 درجة؛

8) α 1 = 180° ك + (-1)ك 60° و α 2 = 180° ك - (-1)ك 60 درجة.

964. إزالة الزوايا المكررة في الصيغ التالية ( ك= 0-±1؛ ±2؛ ...):

1) α 1 = 90° كو α 2 = 60 درجة ك+ 30 درجة؛

2) α 1 = π ك / 2 و α 2 = π ك / 5 ;

3) α 1 = 1 / 4 π كو α 2 = 1 / 2 π ك± 1/4 π؛

4) α 1 = π (2 ك+ 1) - π / 6 و α 2 = 2 / 5 π ك+ 1 / 30 ط؛

5) α 1 = 72° ك+ 36° و α 2 = 120° ك+ 60 درجة.