تاريخ الكسور العادية. مشروع "من تاريخ الكسور" عمل علمي حقائق مثيرة للاهتمام حول الكسور الدورية

إيشينكو الكسندرا

أحد العروض التي قدمها طلاب الصف السادس ضمن مشروع "من تاريخ الكسور". خلال الأنشطة البحثيةكان على الطلاب الإجابة على السؤال: هل الكسر الشائع من اختراع علماء الرياضيات أم مفهوم من الأنشطة العمليةشخص. أثناء دراسة تاريخ ظهور الكسور في بلدان مختلفة وفي العصور التاريخية المختلفة، يجيب الطلاب على هذا السؤال. يحتوي العرض حقائق مثيرة للاهتمامويتم عرض صور فوتوغرافية لكتب رياضية قديمة. يمكن استخدام هذا العرض التقديمي في الدروس المتعلقة بموضوع "الكسور" لتنمية الاهتمام بالموضوع.

تحميل:

التسميات التوضيحية للشرائح:

منذ العصور القديمة، كان على الناس ليس فقط عد الأشياء،

الأمر الذي يتطلب أرقامًا طبيعية، ولكن أيضًا لقياس الطول والوقت والمساحة. لم يتم التعبير عن نتيجة القياس دائمًا عدد طبيعي، كان لا بد من أخذ الأجزاء والأسهم بعين الاعتبار. هكذا ظهرت الكسور.

إيشينكو ساشا، فئة 6D،

المؤسسة التعليمية البلدية "صالة الألعاب الرياضية رقم 87" 2009.

تم العثور على الإشارات الأولى للكسور على الألواح الطينية في بابل القديمة.

وكانت هذه الدولة تقع في وديان نهري دجلة والفرات حوالي ثلاثة آلاف سنة قبل الميلاد.

تأتي "النصوص" البابلية إلينا على شكل ألواح طينية، عادة ما تكون بحجم كف اليد. وهي مكتوبة بالخط المسماري، وهي أبجدية على شكل إسفين.

كان أساس حسابهم 60، وفي الرياضيات البابلية استخدموا النظام الستيني للأعداد الصحيحة والكسور، وكانت الكسور مكتوبة بمقام ثابت يساوي 60.

على سبيل المثال،

في وقت لاحق، قدم المصريون القدماء الكسور 1/2، 1/3، 1/28 - كانوا يطلق عليهم الأساسية أو الوحدة، وكان هناك تسمية خاصة للكسر 2/3، والتي لم تتزامن مع تسميات الكسور الأخرى.

حاول المصريون كتابة جميع الكسور الأخرى كمجموع أسهم، أي. كسور النموذج 1/ن.

على سبيل المثال، بدلاً من 8/15 كتبوا 1/3+1/5. في بعض الأحيان كان الأمر مريحًا

البرديات المصرية القديمة حوالي عام 2000 قبل الميلاد.

طرق الحساب باستخدام كسور الوحدة انتقلت من المصريين إلى اليونان، ومن اليونانيين إلى العرب، ومنهم إلى اليونان أوروبا الغربية.

كان هناك نظام مثير للاهتمام للكسور في روما القديمة. تم تقسيم وحدة الكتلة، 1 حمار، إلى 12 جزءًا، وبناء على ذلك، استخدم الرومان الكسور الاثني عشرية.

الكسر الذي نسميه 1/12 كان يطلق عليه الرومان "الأونصة"، حتى لو تم استخدامه لقياس الطول أو أي كمية أخرى؛ الكسر الذي نسميه 1/8 كان يسمى "أوقية ونصف" من قبل الرومان وما شابه.

يمكن للروماني أن يقول إنه مشى 7 أوقيات من الطريق أو قرأ 5 أوقيات من كتاب. وفي نفس الوقت، بالطبع، لم يزنوا الطريق ولا الكتاب.

وهذا يعني أنه تمت تغطية 7/12 جزء من المسار أو تمت قراءة 5/12 جزء من الكتاب.

تم إنشاء النظام الحديث لكتابة الكسور ذات البسط والمقام في الهند القديمة، لكن الهنود لم يكتبوا خطوط الكسور.
إن قواعد التعامل مع الكسور، التي وضعها العالم الهندي براهماجوبتا (القرن الثامن الميلادي)، لا تختلف إلا قليلاً عن قواعدنا. وقد تم تعلم تسمية الكسور الهندية وقواعد التعامل معها في القرن التاسع في البلدان الإسلامية بفضل العالم الأوزبكي محمد الخوارزمي (الخوارزمي).

تم إحضارهم إلى أوروبا الغربية بواسطة التاجر والعالم الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي من بيزا (القرن الثالث عشر).

ليوناردو بيزا

حوالي 1170 - 1250

كانت الكسور في روسيا القديمة تسمى بالأسهم، ثم أصبحت فيما بعد أرقامًا مكسورة. لذا فإن الكسور ذات البسط 1 لها أسماءها الخاصة.

1/2 - نصف، نصف.

1\3 هو الثلث.

1\4 - حتى.

1\6 - نصف الثلث .

1\8 - نصف.

1\12 - نصف الثلث.

1\10 - العشور (1.09 هكتار)

ماجنيتسكي

ليونتي فيليبوفيتش (1669-1739)

الصفحة الأولى

الكتاب المدرسي الروسي "الحساب"

تم استخدام الترقيم السلافي في روسيا حتى القرن السادس عشر. وفقط في عهد بطرس الأول تم تقديم نظام الأرقام العشرية، والذي بقي حتى يومنا هذا. في عام 1903، تم نشر "الحساب" من تأليف L. F. Magnitsky. حيث يصف الجزء الأول العمليات مع الأعداد الصحيحة، والثاني - مع أرقام مكسورة، أي. في الكسور.

وبعد دراسة هذا الموضوع في الأدبيات المختلفة والإنترنت،

لقد توصلت إلى الاستنتاج:

الكسر المشترك ليس من اختراع علماء الرياضيات، بل هو مفهوم

أي ناس دول مختلفةوفي فترات تاريخية مختلفة نفسها

لقد توصلنا إليه واستخدمناه في حياتنا.

توصلت كل دولة إلى أسمائها ورموزها للكسور.

لقد قام علماء الرياضيات بتنظيم هذا و

لقد توصلنا إلى نموذج تسجيل مناسب.

4. http://images.yandex.ru/yandsearch?

5. http://ru.wikipedia.org/wiki

3. http://kosilova.textdriven.com/narod/studia3/math/translatio/babylon.htm

الأدب

2. الموسوعة. أنا أستكشف العالم. علماء عظماء. – م: دار النشر AST LLC، 2003؛

1. الموسوعة. أنا أستكشف العالم. الرياضيات. - م: شركة ذات مسؤولية محدودة "دار النشر AST"،

ظهرت الكسور العشرية في القرن الثالث. قبل الميلاد. في الصين القديمة، حيث تم استخدام نظام الأرقام العشرية. عالم الرياضيات الصيني في القرن الثالث. أوصى ليو هوي باستخدام الكسور ذات المقام 10، 100، وما إلى ذلك. عند استخراج الجذور التربيعية كان يقصد القاعدة

والتي استخدمها لاحقًا العديد من علماء الرياضيات العرب والأوروبيين. كانت هذه القاعدة، إلى جانب بعض التقنيات الحسابية الأخرى، هي التي ساهمت إلى حد كبير في إدخال الكسور العشرية إلى العلم.

في القرن الخامس عشر تم تطوير النظرية الكاملة للكسور العشرية من قبل عالم الفلك السمرقندي جمشيد الكاشي في أطروحة “مفتاح الحساب” (1427). وأوضح بالتفصيل قواعد العمل مع الكسور العشرية. ومن المحتمل أن الكاشي لم يكن على علم باستخدام الكسور العشرية في الصين. هو نفسه اعتبرهم اختراعه. لا شك أن الاستخدام المستمر للكسور العشرية ووصف قواعد العمل بها هو الفضل المباشر للعالم. لكن أطروحاته لم تكن معروفة للعلماء الأوروبيين. لقد طوروا بشكل مستقل نظرية الكسور العشرية.

ظهرت فكرة بناء مثل هذا النظام من الكسور من وقت لآخر في الكتب المدرسية الحسابية منذ القرن الثالث عشر. كتب جوردان نيموراريوس عن هذا في كتابه "الحساب المنصوص عليه في عشرة كتب".

نشر العالم الفرنسي فرانسوا فييت كتابه “القانون الرياضي” في باريس عام 1579، والذي قدم فيه جداول مثلثية استخدم في تجميعها الكسور العشرية. عند كتابة الكسور العشرية، لم يلتزم بأي أسلوب معين: في بعض الأحيان كان يفصل الجزء الكامل عن الجزء الكسري بخط عمودي، وأحياناً يصور أرقام الجزء الكامل بالخط العريض، وأحياناً يكتب أرقام الجزء الكسري بأحرف أصغر. وهكذا، بفضل فييتا، بدأت الكسور العشرية في اختراق الحسابات العلمية، لكنها لم تدخل الممارسة اليومية.

يعتقد العالم الهولندي سيمون ستيفين أنه يجب استخدام الكسور العشرية في جميع الحسابات العملية. وقد خصص لذلك مؤلفه "العاشر" (1585) الذي أدخل فيه الكسور العشرية وطور القواعد عمليات حسابيةمعهم واقترح النظام العشري للوحدات النقدية والمقاييس والأوزان.

وسرعان ما أصبح "العاشر" مشهوراً في أوروبا. بعد أن نشر الكتاب عام 1585 باللغة الفلمنكية، قام المؤلف بترجمته إلى اللغة الفلمنكية فرنسيوفي عام 1601 تم نشره باللغة الإنجليزية.

كتب ستيفين الكسور بطريقة مختلفة عما يفعل الآن. تم استخدام دائرة 0 للإشارة إلى الجزء الكسري. المرة الأولى التي استخدمت فيها الفاصلة عند كتابة الكسور كانت في عام 1592. في إنجلترا، تم استخدام النقطة بدلاً من الفاصلة، وفي الولايات المتحدة الأمريكية لا تزال تستخدم حتى اليوم. واقترح استخدام الفاصلة كعلامة فاصلة، مثل النقطة، في 1616-1617. مشهور عالم رياضيات إنجليزيجون نابير. استخدم عالم الفلك يوهانس كيبلر العلامة العشرية في أعماله.

في روسيا، تم شرح عقيدة الكسور العشرية لأول مرة من قبل L. F. ماغنيتسكي في كتابه "الحساب".

بافليكوفا إي.في. (، مدرسة ماو دياتكوفسكايا الثانوية رقم 5)

1. Anishchenko E. A. الرقم كمفهوم أساسي للرياضيات. ماريوبول، 2002.

2. فيلينكين إن.يا.، جوخوف في.إي.، تشيسنوكوف إيه.إس.، شفارتسبورد إس.آي. الرياضيات. الصف الخامس: تعليمي المؤسسات التعليمية. – الطبعة 26، محذوفة. – م: منيموسين، 2009. – 280 ص.

3. السخان جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة. دليل للمعلمين. – م: التربية، 1981. – 239 ص.

4. الرياضيات. الصف الخامس: التربوي للتعليم العام. المؤسسات / س.م. نيكولسكي، م.ك. بوتابوف، ن. ريشيتنيكوف، أ.ف. شيفكين. الطبعة الحادية عشرة، المنقحة. – م: التربية، 2016. – 272 ص. – (جامعة ولاية ميشيغان – المدرسة).

5. الرياضيات القاموس الموسوعي. – م، 1988.

6. Dragunsky V. يجب أن تتمتع بروح الدعابة. – وضع الوصول: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. من تاريخ الكسور. وضع الوصول: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. المادة من ويكيبيديا – الموسوعة الحرة. وضع الوصول: http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. الاقتباسات. وضع الوصول: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

دراسة الكسور تمليها الحياة نفسها. تعد القدرة على إجراء العمليات الحسابية المختلفة أمرًا ضروريًا لكل شخص، لأننا نواجه كسورًا في الحياة اليومية. أردت أن أعرف من أين جاء اسم هذه الأرقام؛ الذي جاء بهذه الأرقام، هو موضوع "الكسور" الذي ندرسه في المدرسة، وهو موضوع ضروري في حياتي.

موضوع الدراسة:تاريخ أصل الكسور العادية.

موضوع الدراسة: الكسور المشتركة.

فرضية: لو لم تكن هناك كسور هل يمكن أن تتطور الرياضيات؟

الهدف من العمل: تزيين منصة "الرياضيات من حولنا" في فصل الرياضيات بحقائق مثيرة للاهتمام حول الكسور.

مهام:

1. دراسة تاريخ ظهور الكسور في الرياضيات؛

2. حدد الحقائق الأكثر إثارة للاهتمام حول الكسور التي يمكن استخدامها لتجميع أقسام الحامل.

3. قم بإعداد منصة في فصل الرياضيات.

عندما نعيش محاطين بالكسور، فإننا لا نلاحظها بوضوح دائمًا. ومع ذلك، فإننا نواجهه كثيرًا: في المنزل، في الشارع، في المتجر. الاستيقاظ في الصباح، ننظر إلى المنبه ونواجه الكسور. نستخدم الكسور عند وزن العناصر في المتاجر. في القياسات عند تحديد حجم البضائع. الكسور تحيط بنا في كل مكان. بمساعدة الكسور يمكننا قياس الأطوال وتقسيم الكل إلى أجزاء. كيف يمكنك قياس طول الشخص أو المسافة بين الأشياء دون معرفة الكسور؟ كل شيء حوله كسور!

ملاءمة: الحياة الحديثة تجعل مسائل الكسور ذات صلة، حيث أن نطاق التطبيقات العملية للكسور آخذ في الاتساع.

طرق البحث:

1. ابحث عن معلومات حول الكسور في مصادر مختلفة: الإنترنت، خياليالكتب المدرسية.

2. تحليل ومقارنة وتوليف وتنظيم المعلومات.

من تاريخ الكسور العادية

ظهور الكسور

منذ العصور القديمة، من أجل حل القضايا العملية الحيوية، كان على الناس إحصاء الأشياء وقياس الكميات، أي الإجابة على الأسئلة "كم عددها؟": كم عدد الأغنام في القطيع، وكم عدد الحبوب التي يتم جمعها من الحقل ، كم ميلا من مركز المنطقة، الخ. هكذا ظهرت الأرقام. لم يكن من الممكن دائمًا التعبير عن نتيجة القياس أو تكلفة المنتج بعدد طبيعي. عندما يحتاج الشخص إلى التوصل إلى أرقام كسرية جديدة، ظهرت الكسور. في العصور القديمة، تم التعامل مع الأعداد الصحيحة والكسرية بشكل مختلف: كانت التفضيلات في جانب الأعداد الصحيحة. "إذا كنت ترغب في تقسيم وحدة، فسوف يسخر منك علماء الرياضيات ولن يسمحوا لك بذلك"، كتب مؤسس أكاديمية أثينا، أفلاطون.

في جميع الحضارات، نشأ مفهوم الكسر من عملية تقسيم الكل إلى أجزاء متساوية. المصطلح الروسي "الكسر"، مثل نظائره في اللغات الأخرى، يأتي من اللاتينية. "كسر"، وهو بدوره ترجمة لمصطلح عربي بنفس المعنى: كسر، كسر. لذلك، ربما كانت الكسور الأولى في كل مكان كسورًا بالصيغة 1/n. مزيد من التطويرومن الطبيعي أن نتجه نحو اعتبار هذه الكسور وحدات يمكن أن تتكون منها الكسور m/n - الأعداد النسبية. إلا أن هذا المسار لم تتبعه جميع الحضارات: على سبيل المثال، لم يتحقق قط في الرياضيات المصرية القديمة.

أول جزء تم تعريف الناس به كان النصف. على الرغم من أن أسماء جميع الكسور التالية مرتبطة بأسماء مقاماتها (ثلاثة هي "الثالث"، وأربعة هي "الربع"، وما إلى ذلك)، إلا أن الأمر ليس كذلك بالنسبة للنصف - فاسمه في جميع اللغات ليس له أي علاقة افعل مع كلمة "اثنين".

اختلف نظام تسجيل الكسور وقواعد التعامل معها بشكل ملحوظ بين مختلف الشعوب وفي أوقات مختلفةمن نفس الناس. لعبت العديد من استعارات الأفكار أيضًا دورًا مهمًا أثناء الاتصالات الثقافية بين الحضارات المختلفة.

الكسور في روس

في اللغة الروسية، ظهرت كلمة "الكسر" في القرن الثامن، وهي تأتي من الفعل "Droblit" - لكسر، وكسر إلى قطع. التدوين الحديث للكسور ينشأ في الهند القديمة: كما بدأ العرب في استخدامه.

في الأدلة القديمة نجد الأسماء التالية للكسور في روس:

تم استخدام الترقيم السلافي في روسيا حتى القرن السادس عشر، ثم بدأ نظام الأرقام الموضعية العشرية يتغلغل تدريجيًا في البلاد. لقد حل أخيرًا محل الترقيم السلافي في عهد بيتر الأول.

كان مقياس الأرض المستخدم في روسيا هو الربع وأصغر - نصف الربع، والذي كان يسمى أوكمينا. كانت هذه كسورًا ملموسة، وحدات لقياس مساحة الأرض، لكن الأوكتينا لم تتمكن من قياس الوقت أو السرعة، وما إلى ذلك. وبعد ذلك بكثير، بدأت الأوكتينا تعني الكسر المجرد 1/8، والذي يمكنه التعبير عن أي قيمة. حول استخدام الكسور في روسيا السابع عشرفي القرن السابع عشر، يمكنك أن تقرأ في كتاب V. Bellustin "كيف وصل الناس تدريجيًا إلى الحساب الحقيقي" ما يلي: "في مخطوطة من القرن السابع عشر. "المادة الخاصة بجميع كسور المرسوم "تبدأ مباشرة بالتسمية المكتوبة للكسور وبإشارة البسط والمقام. عند نطق الكسور، فإن الميزات التالية مثيرة للاهتمام: تم تسمية الجزء الرابع بالربع، في حين تم التعبير عن الكسور ذات المقام من 5 إلى 11 بكلمات تنتهي بـ "ina"، بحيث يكون 1/7 أسبوعًا، و1/5 أسبوعًا. خمس نقاط، 1/10 هو العشر؛ تم نطق الأسهم ذات المقامات الأكبر من 10 باستخدام الكلمات "الكثير"، على سبيل المثال 5/13 - خمسة أجزاء من ثلاثة عشر من القرت. تم استعارة ترقيم الكسور مباشرة من المصادر الغربية. كان البسط يسمى الرقم العلوي، والمقام يسمى الرقم السفلي.

الكسور في دول أخرى من العصور القديمة

كانت جميع قواعد العد عند المصريين القدماء تعتمد على القدرة على الجمع والطرح والأعداد المضاعفة وإكمال الكسور إلى الواحد. كانت هناك رموز خاصة للكسور. استخدم المصريون كسورًا على الصورة 1/n، حيث n هو عدد طبيعي. وتسمى هذه الكسور قسامة. في بعض الأحيان، بدلًا من قسمة m:n، قاموا بضرب m. ن.

ولهذا الغرض، تم استخدام جداول خاصة. ويجب القول أن العمليات على الكسور كانت سمة من سمات الحساب المصري، حيث تتحول أبسط الحسابات أحيانًا إلى مسائل معقدة. (طلب).

طلب

موقف "الرياضيات من حولنا"

جدول "كتابة الكسور في مصر"

ساعد هذا الجدول في إجراء العمليات الحسابية المعقدة وفقًا للشرائع المقبولة. ويبدو أن الكتبة كانوا يحفظونها عن ظهر قلب، تمامًا كما يحفظ تلاميذ المدارس الآن جدول الضرب. تم استخدام هذا الجدول أيضًا لتقسيم الأرقام. عرف المصريون أيضًا كيفية ضرب الكسور وقسمتها. ولكن للضرب، كان عليك ضرب الكسور في الكسور، وبعد ذلك، ربما، استخدم الجدول مرة أخرى. كان الوضع مع الانقسام أكثر تعقيدًا.

المصريون دخلوا بالفعل العصور القديمةلقد عرفوا كيفية تقسيم تفاحتين إلى ثلاثة أشخاص: حتى أنه كان لديهم رمز خاص لهذا الرقم. بالمناسبة، كان هذا هو الكسر الوحيد الذي استخدمه الكتبة المصريون والذي لم يكن لديه وحدة في البسط - ومن المؤكد أن جميع الكسور الأخرى كان بها 1 في البسط (ما يسمى بالكسور الأساسية): 1/2، 1/3 ، 1/17، ... وما إلى ذلك. هذا الموقف تجاه الكسور كان موجودًا لفترة طويلة جدًا. لقد ماتت الحضارة بالفعل مصر القديمة، ابتلعت رمال الصحراء المنطقة الخضراء ذات يوم ، وتم وضع جميع الكسور في مجموع الكسور الأساسية - حتى عصر النهضة!

في الصين، تم إنشاء جميع العمليات الحسابية تقريبًا باستخدام الكسور العادية بحلول القرن الثاني. قبل الميلاد هـ؛ تم وصفها في الجسم الأساسي للمعرفة الرياضية الصين القديمة- "الرياضيات في تسعة كتب"، الطبعة الأخيرة منها تعود إلى تشانغ كانغ. الحساب بناءً على قاعدة مشابهة لخوارزمية إقليدس (القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام)، قام علماء الرياضيات الصينيون بتقليل الكسور. كان يُعتقد أن ضرب الكسور هو إيجاد مساحة قطعة أرض مستطيلة، يتم التعبير عن طولها وعرضها بالكسور. تم التفكير في القسمة باستخدام فكرة المشاركة، بينما لم يرتبك علماء الرياضيات الصينيون بحقيقة أن عدد المشاركين في القسمة يمكن أن يكون كسريًا، على سبيل المثال، 3 1/2 أشخاص.

في البداية، استخدم الصينيون الكسور البسيطة، والتي تم تسميتها باستخدام الهيروغليفية الحمامية:

الحظر ("النصف") -1\2؛

شاو بان ("نصف صغير") -1\3؛

تاي بانه ("النصف الكبير") -2\3.

ومن المثير للاهتمام أن البابليين فضلوا المقام الثابت (يساوي 60، على ما يبدو لأن نظام أعدادهم كان ستيني).

كما استخدم الرومان مقامًا واحدًا فقط، وهو 12.

تم تحقيق مزيد من التطوير لمفهوم الكسر المشترك في الهند. تمكن علماء الرياضيات في هذا البلد من الانتقال بسرعة من كسور الوحدة إلى الكسور العامة. ولأول مرة، تم العثور على مثل هذه الكسور في "قواعد الحبل" لأباستامبا (القرنين السابع والخامس قبل الميلاد)، والتي تحتوي على إنشاءات هندسية ونتائج بعض الحسابات. في الهند، تم استخدام نظام تدوين - ربما من أصل صيني، وربما من أصل يوناني متأخر - حيث كان بسط الكسر يكتب فوق المقام - مثل نظامنا، ولكن بدون خط الكسر، ولكن تم وضع الكسر بأكمله في خط إطار مستطيل.

كسور مثيرة للاهتمام

"بدون معرفة الكسور، لا يمكن التعرف على أحد على أنه يعرف الحساب!"

عندما يستخدم الناس المال، فإنهم يصادفون دائمًا كسورًا: في العصور الوسطى، 1 بنس إنجليزي = 1/12 شلن؛ حاليا، كوبيك روسي = 1/100 من الروبل.

تحمل أنظمة القياس الكسور: 1 سنتيمتر = 1/10 ديسيمتر = 1/100 متر.

لقد كانت الكسور دائما في الموضة. نمط الأكمام الثلاثة أرباع مناسب دائمًا. والسراويل القصيرة مقاس 7/8 هي تفاصيل رائعة في خزانة الملابس.

يمكنك التعرف على الكسور في دروس مختلفة. على سبيل المثال، في الجغرافيا: «خلال وجود الاتحاد السوفييتي، احتلت روسيا سدس الأرض. والآن تحتل روسيا تسع مساحة اليابسة. في الفنون الجميلة- عند تصوير شخصية بشرية. في الموسيقى، الإيقاع، مقياس القطعة الموسيقية.

يصادف الإنسان في حياته كلمة "كسر":

كرات رصاص صغيرة لإطلاق النار من بندقية صيد - طلقة.

أصوات متكررة ومتقطعة - الطبول.

في البحرية أمر "أطلق النار!" - وقف إطلاق النار.

ترقيم المنازل. يتم وضع رقم مفصول بكسر على المنازل المرقمة على طول شارعين متقاطعين.

جزء في الرقص. من المستحيل تخيل الرقص الشعبي الروسي بدون كسور وجري.

اطرق جزءًا بأسنانك - ثرثر بأسنانك (ترتعش من البرد والخوف).

في الخيال. دينيسكا، بطل قصة فيكتور دراغونسكي "يجب أن تتمتع بروح الدعابة"، سأل صديقه ميشكا ذات مرة مشكلة: كيفية تقسيم تفاحتين بالتساوي على ثلاث تفاحات؟ وعندما استسلم ميشكا أخيرًا، أعلن الجواب منتصرًا: "اصنع كومبوت!" لم يتعلم ميشكا ودينيس الكسور بعد وكانا يعلمان على وجه اليقين أن 2 لا يقبل القسمة على 3؟

بالمعنى الدقيق للكلمة، "كومبوت الطبخ" هي عملية مع الكسور. دعونا نقطع التفاح إلى قطع وسنجمع ونطرح كميات هذه القطع ونضربها ونقسمها - من سيمنعنا؟.. من المهم فقط أن نتذكر كم قطعة صغيرة تشكل تفاحة كاملة...

ولكن الأمر ليس كذلك القرار الوحيدهذه المهمة! تحتاج إلى تقسيم كل تفاحة إلى ثلاثة أجزاء وتوزيع جزأين على الثلاثة.

لعدة قرون، في لغات الشعوب، كان الرقم المكسور يسمى الكسر. على سبيل المثال، تحتاج إلى تقسيم شيء بالتساوي، على سبيل المثال، الحلوى، تفاحة، قطعة من السكر، وما إلى ذلك. للقيام بذلك، يجب تقسيم قطعة السكر أو تقسيمها إلى نصفين متساويين. الشيء نفسه بالنسبة للأرقام، للحصول على النصف، تحتاج إلى تقسيم أو "كسر" وحدة واحدة إلى جزأين. ومن هنا يأتي اسم الأرقام "المكسورة".

هناك ثلاثة أنواع من الكسور:

1. الوحدات (القسامات) أو الكسور (على سبيل المثال، 1/2، 1/3، 1/4، إلخ).

2. نظامي، أي الكسور التي يتم فيها التعبير عن المقام بواسطة قوة الرقم (على سبيل المثال، قوة 10 أو 60، وما إلى ذلك).

3. النوع العام، حيث يمكن أن يكون البسط والمقام أي رقم.

هناك كسور "كاذبة" - غير منتظمة و"حقيقية" - صحيحة.

الكسر في الرياضيات - شكل من أشكال التمثيل الكميات الرياضيةباستخدام عملية القسمة، والتي تعكس في الأصل مفهوم غير الأعداد الصحيحة، أو الكسور. في أبسط الحالات - جزء رقمي- نسبة رقمين

في الكسر m/n (اقرأ: "em nths")، الرقم m الموجود فوق السطر يسمى البسط، والرقم n الموجود أسفل السطر يسمى المقام. يوضح المقام عدد الأجزاء المتساوية التي تم تقسيم الكل إليها، ويوضح البسط عدد هذه الأجزاء المأخوذة. يمكن فهم خط الكسر على أنه علامة القسمة.

كان أول عالم أوروبي بدأ في استخدام ونشر التدوين الحديث للكسور هو تاجر ومسافر إيطالي، وهو ابن كاتب المدينة فيبوناتشي (ليوناردو بيزا).

في عام 1202 قدم كلمة "كسر".

تم تقديم أسماء البسط والمقام في القرن الثالث عشر على يد ماكسيموس بلانود، وهو راهب يوناني وعالم وعالم رياضيات.

تم إنشاء النظام الحديث لكتابة الكسور في الهند. هناك فقط كتبوا المقام في الأعلى والبسط في الأسفل، ولم يكتبوا خطًا كسريًا. وبدأ العرب في كتابة الكسور كما يفعلون الآن. كانت العمليات مع الكسور في العصور الوسطى تعتبر أصعب مجال في الرياضيات. وحتى يومنا هذا يقول الألمان عن الشخص الذي يجد نفسه في موقف صعب أنه "سقط في حالة من الكسور".

لعبت الكسور أيضًا دورًا في الموسيقى. والآن في تدوين موسيقي معين، يتم تقسيم النوتة الطويلة - الكاملة - إلى نصفين (نصف طول)، وأرباع، وأجزاء من السادس عشر، وثلاثين ثانية. وبالتالي، فإن النمط الإيقاعي لأي عمل موسيقي، بغض النظر عن مدى تعقيده، يتم تحديده من خلال الكسور العادية. وتبين أن الانسجام يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالكسور، وهو ما أكد الفكرة الرئيسية للأوروبيين: "الرقم يحكم العالم".

"الإنسان كالكسر: البسط هو نفسه، والمقام هو ما يعتقده عن نفسه. كلما زاد المقام، كلما كان الكسر أصغر" (L. N. تولستوي).

النتائج الرئيسية للدراسة

تعتبر دراسة الكسور من أصعب أقسام الرياضيات في كل العصور وبين جميع الشعوب. أولئك الذين عرفوا الكسور كانوا يتمتعون بتقدير كبير. مؤلف مخطوطة سلافية قديمة من القرن الخامس عشر. يكتب: "ليس رائعًا أن ... في كليته، ولكن من الجيد أن يكون في أجزاء ...".

أثناء العمل، تعلمت الكثير من الأشياء الجديدة والمثيرة للاهتمام. قرأت العديد من الكتب والأقسام من الموسوعات. تعرفت على الكسور الأولى التي تعامل معها الناس، مع مفهوم الكسر القسمة، وتعرفت على أسماء جديدة للعلماء الذين ساهموا في تطوير عقيدة الكسور. في عملية القيام بالعمل، تعلمت الكثير من الأشياء الجديدة، وأعتقد أن هذه المعرفة ستكون مفيدة في دراستي.

الاستنتاج: نشأت الحاجة إلى الكسور في مرحلة مبكرة جدًا من التطور البشري. في الحياة، لم يكن على الشخص أن يحسب الأشياء فحسب، بل كان عليه أيضًا قياس الكميات. قام الناس بقياس الأطوال ومساحات الأرض والأحجام وكتل الجسم والوقت ودفع ثمن البضائع المشتراة أو المباعة. لم يكن من الممكن دائمًا التعبير عن نتيجة القياس أو تكلفة المنتج بعدد طبيعي. هكذا ظهرت الكسور وقواعد التعامل معها.

الأهمية العملية للعمل

لقد أتقنت مهارات العمل في محرر النصوص وعملت مع موارد الإنترنت. لقد قمت باختيار مادة لتزيين منصة "الرياضيات من حولنا" في فصل الرياضيات بحقائق مثيرة للاهتمام حول الكسور (الملحق). وصمم الموقف (الملحق).

نتيجة للبحث، أكدت الفرضية: لا يستطيع الناس الاستغناء عن الكسور، بدون الكسور، لا يمكن أن تتطور الرياضيات.

الرابط الببليوغرافي

بالبوتسكايا أ.أ. مثيرة للاهتمام حول الكسور // ابدأ بالعلم. – 2017. – رقم 5-2. – ص265-268؛
عنوان URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=874 (تاريخ الوصول: 29/08/2019).

المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية

المدرسة الثانوية رقم 2

خلاصة

الانضباط: "الرياضيات"

حول هذا الموضوع: "أجزاء غير عادية"

إجراء:

طالب في الصف الخامس

فرولوفا ناتاليا

مشرف:

دروشينكو إي.

مدرس رياضيات

منطقة ستريزيفوي تومسك


	مقدمة
	من تاريخ الكسور العادية.
	ظهور الكسور.
	الكسور في مصر القديمة.
	الكسور في بابل القديمة.
	الكسور في روما القديمة.
	الكسور في اليونان القديمة.
	الكسور في روس.
	الكسور في الصين القديمة.
	الكسور في دول أخرى من العصور القديمة والعصور الوسطى.
	تطبيق الكسور العادية.
	كسور قسامة.
	بدلا من الفصوص الصغيرة، الكبيرة.
	الانقسامات في الظروف الصعبة.
ثالثا.	كسور مثيرة للاهتمام.
	كسور الدومينو.
	من أعماق القرون.
	خاتمة
	فهرس
	الملحق 1. النطاق الطبيعي.
	الملحق 2. المسائل القديمة باستخدام الكسور العادية.
	الملحق 3. مسائل ممتعة مع الكسور المشتركة.
	الملحق 4. كسور الدومينو

مقدمة

بدأنا هذا العام بالتعرف على الكسور. أرقام غير عادية للغاية، بدءًا من تدوينها غير المعتاد وتنتهي بـ قواعد معقدةالإجراءات معهم. على الرغم من أنه كان من الواضح منذ التعارف الأول معهم أننا لا نستطيع الاستغناء عنهم حتى في الحياة العادية، حيث يتعين علينا كل يوم أن نواجه مشكلة تقسيم الكل إلى أجزاء، وحتى في لحظة معينة بدا لي أننا لم تعد محاطة بالكل، ولكن بأعداد الكسور. معهم، تبين أن العالم أكثر تعقيدا، ولكن في نفس الوقت أكثر إثارة للاهتمام. لدي بعض الاسئلة. هل الكسور ضرورية؟ هل هم مهمون؟ أردت أن أعرف من أين أتت الكسور إلينا ومن توصل إلى قواعد العمل معهم. على الرغم من أن الكلمة المخترعة ربما لا تكون مناسبة جدًا، لأنه في الرياضيات يجب التحقق من كل شيء، حيث أن جميع العلوم والصناعات في حياتنا تعتمد على قوانين رياضية واضحة تنطبق في جميع أنحاء العالم. لا يمكن أن تتم عملية إضافة الكسور في بلدنا وفقًا لقاعدة واحدة، لكن الأمر مختلف في مكان ما في إنجلترا.

أثناء العمل على المقال، كان علي أن أواجه بعض الصعوبات: مع مصطلحات ومفاهيم جديدة، كان علي أن أجهد ذهني، وحل المشكلات وتحليل الحل الذي اقترحه العلماء القدماء. أيضًا، عند الكتابة، واجهت لأول مرة الحاجة إلى كتابة الكسور والتعبيرات الكسرية.

الغرض من مقالتي: تتبع تاريخ تطور مفهوم الكسر العادي، وإظهار ضرورة وأهمية استخدام الكسور العادية في حل المشكلات العملية. المهام التي حددتها لنفسي: جمع المواد المتعلقة بموضوع المقال وتنظيمه، دراسة المشكلات القديمة، تلخيص المواد المعالجة، إعداد المادة المعممة، إعداد عرض تقديمي، تقديم الملخص.

يتكون عملي من ثلاثة فصول. قمت بدراسة وتجهيز مواد من 7 مصادر منها المؤلفات التربوية والعلمية والموسوعية، وموقع إلكتروني. لقد قمت بتصميم تطبيق يحتوي على مجموعة مختارة من المسائل من المصادر القديمة، وبعض المسائل المثيرة للاهتمام المتعلقة بالكسور العادية، كما قمت أيضًا بإعداد عرض تقديمي تم تقديمه في محرر Power Point.

أنا. من تاريخ الكسور العادية

1.1 ظهور الكسور

تظهر العديد من الدراسات التاريخية والرياضية أن الأعداد الكسرية ظهرت بين الشعوب المختلفة في العصور القديمة، بعد فترة وجيزة من الأعداد الطبيعية. يرتبط ظهور الكسور بالاحتياجات العملية: كانت المهام التي كان من الضروري تقسيمها إلى أجزاء شائعة جدًا. بالإضافة إلى ذلك، في الحياة، كان على الشخص ألا يحسب الأشياء فحسب، بل يقيس الكميات أيضًا. واجه الناس قياسات الأطوال ومساحات الأرض والأحجام وكتل الأجسام. وفي هذه الحالة حدث أن وحدة القياس لم تتناسب مع القيمة المقاسة لعدد صحيح من المرات. على سبيل المثال، عند قياس طول مقطع بالخطوات، واجه الشخص الظاهرة التالية: عشر خطوات تتناسب مع الطول، والباقي أقل من خطوة واحدة. ولذلك، ينبغي النظر في السبب الثاني المهم لظهور الأرقام الكسرية هو قياس الكميات باستخدام وحدة القياس المختارة.

وهكذا، في جميع الحضارات، نشأ مفهوم الكسر من عملية تقسيم الكل إلى أجزاء متساوية. المصطلح الروسي "الكسر"، مثل نظائره في اللغات الأخرى، يأتي من اللاتينية. كسر، وهو بدوره ترجمة لمصطلح عربي بنفس المعنى: كسر، شظية. لذلك، ربما كانت الكسور الأولى في كل مكان كسورًا بالصيغة 1/n. مزيد من التطوير يتحرك بشكل طبيعي نحو اعتبار هذه الكسور وحدات يمكن من خلالها تكوين الكسور m/n - الأعداد النسبية. إلا أن هذا المسار لم تتبعه جميع الحضارات: على سبيل المثال، لم يتحقق قط في الرياضيات المصرية القديمة.

أول جزء تم تعريف الناس به كان النصف. على الرغم من أن أسماء جميع الكسور التالية مرتبطة بأسماء مقاماتها (ثلاثة هي "الثالث"، وأربعة هي "الربع"، وما إلى ذلك)، إلا أن هذا ليس صحيحًا بالنسبة للنصف، فاسمه في جميع اللغات ليس له أي علاقة افعل بكلمة "اثنين".

اختلف نظام تسجيل الكسور وقواعد التعامل معها بشكل ملحوظ بين الأمم المختلفة، وفي أوقات مختلفة بين نفس الأشخاص. لعبت العديد من استعارات الأفكار أيضًا دورًا مهمًا أثناء الاتصالات الثقافية بين الحضارات المختلفة.

1.2 الكسور في مصر القديمة

في مصر القديمة، كانوا يستخدمون فقط أبسط الكسور، التي يكون بسطها يساوي واحدًا (تلك التي نسميها "الكسور"). يطلق علماء الرياضيات على هذه الكسور قسامة (من القسمة اللاتينية - عدة). يتم أيضًا استخدام الكسور الأساسية للاسم أو كسور الوحدة.

وضع المصريون الهيروغليفية

(إيه، "[واحد] من" أو يكرر، الفم) أعلى الرقم للإشارة إلى كسر الوحدة في التدوين العادي، ولكن في النصوص المقدسة تم استخدام الخط. على سبيل المثال:

معظم العين

1/2 (أو 32/64)

1/8 (أو 8/64)

قطرة دمعة (؟)

1/32 (أو ²/64)

بالإضافة إلى ذلك، استخدم المصريون أشكال الكتابة المعتمدة على الهيروغليفية عين حورس (الأداة). وتميز القدماء بتشابك صورة الشمس والعين. في الأساطير المصرية، كثيرا ما يذكر الإله حورس، الذي يجسد الشمس المجنحة وأحد الرموز المقدسة الأكثر شيوعا. في المعركة مع أعداء الشمس المتجسدين في صورة ست، هُزم حورس في البداية. سيث يخطف العين منه - عين رائعة - ويمزقها إلى أشلاء. تحوت - إله التعلم والعقل والعدالة - قام مرة أخرى بتجميع أجزاء العين في وحدة واحدة، مما أدى إلى إنشاء "عين حورس السليمة". تم استخدام صور أجزاء العين المقطوعة في الكتابة في مصر القديمة لتمثيل الكسور من 1/2 إلى 1/64.

مجموع الأحرف الستة المضمنة في Wadget واختزالها إلى قاسم مشترك: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

تم استخدام هذه الكسور مع أشكال أخرى من الكسور المصرية للتقسيم هيكات، المقياس الرئيسي للحجم في مصر القديمة. تم استخدام هذا التسجيل المدمج أيضًا لقياس حجم الحبوب والخبز والبيرة. إذا كان هناك بعض الباقي بعد تسجيل الكمية ككسر من عين حورس، فإنها تكتب بالشكل المعتاد كمضاعف للرو، وهي وحدة قياس تساوي 1/320 من الهيكات.

على سبيل المثال، مثل هذا:

وفي هذه الحالة تم وضع “الفم” أمام جميع الحروف الهيروغليفية.

هيكاتالشعير: 1/2 + 1/4 + 1/32 (أي 25/32 وعاء من الشعير).

هيكاتكان حوالي 4.785 لترًا.

كان المصريون يمثلون أي كسر آخر كمجموع كسور قسامة، على سبيل المثال 9/16 = 1/2+1/16؛ 7/8=1/2+1/4+1/8 وهكذا.

لقد تمت كتابته على النحو التالي: /2 /16; /2 /4 /8.

في بعض الحالات يبدو هذا بسيطا بما فيه الكفاية. على سبيل المثال، 2/7 = 1/7 + 1/7. لكن هناك قاعدة أخرى للمصريين وهي عدم تكرار الأرقام في سلسلة من الكسور. أي أن 2/7 في رأيهم كان 1/4 + 1/28.

الآن يسمى مجموع عدة كسور قسامة بالكسر المصري. بمعنى آخر، كل كسر من المجموع له بسط يساوي واحدًا ومقامًا يساوي عددًا طبيعيًا.

إن إجراء حسابات مختلفة، والتعبير عن جميع الكسور من حيث الوحدات، كان بالطبع أمرًا صعبًا للغاية ويستغرق وقتًا طويلاً. ولذلك اهتم علماء المصريات بتسهيل عمل الناسخ. قاموا بتجميع جداول خاصة لتحليل الكسور إلى جداول بسيطة. الوثائق الرياضية في مصر القديمة ليست أطروحات علمية عن الرياضيات، ولكنها كتب مدرسية عملية تحتوي على أمثلة مأخوذة من الحياة. ومن المهام التي كان على طالب مدرسة الكاتب حلها حسابات سعة الحظائر، وحجم السلة، ومساحة الحقل، وتقسيم الممتلكات بين الورثة، وغيرها. كان على الكاتب أن يتذكر هذه العينات وأن يكون قادرًا على استخدامها بسرعة لإجراء العمليات الحسابية.

واحدة من أولى المراجع المعروفة للكسور المصرية هي بردية ريند الرياضية. ثلاثة نصوص قديمة تذكر الكسور المصرية هي المخطوطة الجلدية الرياضية المصرية، وبردية موسكو الرياضية، ولوح أخميم الخشبي.

أقدم نصب تذكاري للرياضيات المصرية، يسمى "بردية موسكو"، هي وثيقة من القرن التاسع عشر قبل الميلاد. تم الحصول عليها في عام 1893 من قبل جامع الكنوز القديمة جولينيشيف، وفي عام 1912 أصبحت ملكًا لمتحف موسكو للفنون الجميلة. وكان يحتوي على 25 مشكلة مختلفة.

على سبيل المثال، فهو يأخذ في الاعتبار مشكلة قسمة 37 على رقم معطى بالشكل (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). من خلال مضاعفة هذا الكسر على التوالي والتعبير عن الفرق بين 37 والنتيجة، واستخدام إجراء مشابه بشكل أساسي لإيجاد القاسم المشترك، فإن الجواب هو: حاصل القسمة هو 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

تم العثور على أكبر وثيقة رياضية - وهي بردية في دليل الحساب للكاتب أحمس - في عام 1858 من قبل الجامع الإنجليزي ريند. تم تجميع ورق البردي في القرن السابع عشر قبل الميلاد. طوله 20 مترا وعرضه 30 سنتيمترا. يحتوي على 84 مسألة رياضية مع حلولها وإجاباتها، مكتوبة على شكل كسور مصرية.

تبدأ بردية أحمس بجدول تكتب فيه جميع الكسور من الشكل 2\n من 2/5 إلى 2/99 كمجموع كسور قسامية. عرف المصريون أيضًا كيفية ضرب الكسور وقسمتها. ولكن للضرب، كان عليك ضرب الكسور في الكسور، وبعد ذلك، ربما، استخدم الجدول مرة أخرى. كان الوضع مع الانقسام أكثر تعقيدًا. هنا، على سبيل المثال، كيفية قسمة 5 على 21:

مشكلة تتكرر في بردية أحمس: "ليُقال لك: اقسم 10 أكيال من الشعير على 10 أشخاص؛ الفرق بين كل إنسان وجاره هو 1/8 من المقياس. متوسط الحصة هو مقياس واحد. اطرح واحدًا من 10؛ الباقي 9. عوض نصف الفارق؛ هذا هو 1/16. خذها 9 مرات. قم بتطبيق هذا على الإيقاع الأوسط. اطرح من كل وجه 1/8 من القياس حتى تصل إلى النهاية».

مشكلة أخرى من بردية أحمس توضح استخدام الكسور القسامية: "تقسيم 7 أرغفة على 8 أشخاص."
إذا قمت بتقطيع كل رغيف إلى 8 قطع، فسيتعين عليك إجراء 49 قطعة.
وفي المصري تم حل هذه المشكلة بهذه الطريقة. تمت كتابة الكسر 7/8 على هيئة كسور: 1/2 + 1/4 + 1/8. وهذا يعني أن يُعطى كل إنسان نصف رغيف، وربع رغيف، وثمن رغيف؛ لذلك نقطع أربعة أرغفة إلى نصفين، ورغيفين إلى 4 أجزاء ورغيف واحد إلى 8 أسهم، وبعد ذلك نعطي كل واحد جزءًا.

تعد جداول الكسور المصرية والجداول البابلية المختلفة من أقدم الوسائل المعروفة لتسهيل العمليات الحسابية.

استمر استخدام الكسور المصرية في اليونان القديمة ومن ثم من قبل علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم حتى العصور الوسطى، على الرغم من تعليقات علماء الرياضيات القدماء عنها. على سبيل المثال، تحدث كلوديوس بطليموس عن صعوبة استخدام الكسور المصرية مقارنة بالنظام البابلي (نظام الأعداد الموضعية). قام عالم الرياضيات فيبوناتشي في القرن الثالث عشر بعمل مهم في دراسة الكسور المصرية في عمله "Liber Abaci" - وهي حسابات تستخدم الكسور العشرية والعادية، والتي حلت في النهاية محل الكسور المصرية. استخدم فيبوناتشي تدوينًا معقدًا للكسور، بما في ذلك تدوين القاعدة المختلطة وتدوين مجموع الكسور، وكثيرًا ما تم استخدام الكسور المصرية أيضًا. كما قدم الكتاب خوارزميات للتحويل من الكسور العادية إلى الكسور المصرية.

1.3 الكسور في بابل القديمة.

من المعروف أنهم استخدموا في بابل القديمة نظام الأعداد الستيني. ويعزو العلماء هذه الحقيقة إلى أن وحدات قياس النقد والوزن البابلية قسمت، بسبب الظروف التاريخية، إلى 60 جزءًا متساويًا: 1 موهبة = 60 دقيقة؛ 1 مينا = 60 شيكل. كانت الستينات شائعة في حياة البابليين. ولهذا السبب استخدموا الكسور الستينية، التي يكون مقامها دائمًا 60 أو قواها: 60 2 = 3600، 60 3 = 216000، إلخ. هذه هي الكسور المنهجية الأولى في العالم، أي. الكسور التي يكون المقام فيها قوى لها نفس العدد. باستخدام مثل هذه الكسور، كان على البابليين تمثيل العديد من الكسور تقريبًا. وهذا هو العيب وفي نفس الوقت ميزة هذه الكسور. أصبحت هذه الكسور أداة ثابتة للحسابات العلمية للعلماء اليونانيين ثم الناطقين بالعربية والعلماء الأوروبيين في العصور الوسطى حتى القرن الخامس عشر، عندما أفسحت المجال للكسور العشرية. لكن العلماء من جميع الدول استخدموا الكسور الستينية في علم الفلك حتى القرن السابع عشر، وأطلقوا عليها اسم الكسور الفلكية.

كان لنظام الأعداد الستيني دور كبير في رياضيات بابل في مختلف الجداول. كان جدول الضرب البابلي الكامل يحتوي على منتجات من 1x1 إلى 59x59، أي 1770 رقمًا، وليس 45 كجدول الضرب لدينا. يكاد يكون من المستحيل حفظ مثل هذا الجدول. حتى في شكل مكتوب سيكون مرهقا للغاية. لذلك، بالنسبة للضرب، كما هو الحال بالنسبة للقسمة، كانت هناك مجموعة واسعة من الجداول المختلفة. يمكن أن نطلق على عملية القسمة في الرياضيات البابلية "المشكلة رقم واحد". وقد اختصر البابليون قسمة العدد m على الرقم n إلى ضرب العدد m في الكسر 1\n، ولم يكن لديهم حتى مصطلح "قسمة". على سبيل المثال، عند حساب ما سنكتبه كـ x = m: n، كانوا دائمًا يفكرون على النحو التالي: خذ معكوس n، سترى 1\ n، اضرب m في 1\ n، وسترى x. بالطبع، بدلا من رسائلنا، أطلق سكان بابل أرقاما محددة. وهكذا، فإن الدور الأكثر أهمية في الرياضيات البابلية لعبته العديد من جداول المقلوبات.

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للحسابات مع الكسور، قام البابليون بتجميع جداول واسعة النطاق، والتي تعبر عن الكسور الرئيسية في الكسور الستينية. على سبيل المثال:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

تم تنفيذ عملية جمع وطرح الكسور من قبل البابليين بشكل مشابه للعمليات المقابلة مع الأعداد الصحيحة والكسور العشرية في نظام الأعداد الموضعية لدينا. ولكن كيف تم ضرب الكسر في الكسر؟ يشير التطور العالي إلى حد ما في قياس الهندسة (مسح الأراضي وقياس المساحة) إلى أن البابليين تغلبوا على هذه الصعوبات بمساعدة الهندسة: التغيير في المقياس الخطي بمقدار 60 مرة يعطي تغييرًا في مقياس المنطقة بمقدار 60 60 مرة. تجدر الإشارة إلى أنه في بابل، لم يحدث توسع في مجال الأعداد الطبيعية إلى منطقة الأعداد النسبية الإيجابية، حيث اعتبر البابليون فقط الكسور الستينية المحدودة، والتي لا يكون تقسيمها ممكنًا دائمًا. بالإضافة إلى ذلك، استخدم البابليون الكسور 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6 والتي كانت لها علامات فردية.

لا تزال آثار نظام الأعداد الستيني البابلي باقية في العلوم الحديثة في قياس الوقت والزوايا. تم الحفاظ على تقسيم الساعة إلى 60 دقيقة، والدقيقة إلى 60 ثانية، والدائرة إلى 360 درجة، والدرجة إلى 60 دقيقة، والدقيقة إلى 60 ثانية حتى يومنا هذا. الدقيقة تعني "جزء صغير" في اللاتينية، والثانية تعني "جزء صغير" في اللاتينية. "ثانية"

(جزء صغير).

1.4. الكسور في روما القديمة.

استخدم الرومان بشكل أساسي الكسور الخرسانية فقط، والتي استبدلت الأجزاء المجردة بتقسيمات فرعية للمقاييس المستخدمة. وكان نظام الكسور هذا يعتمد على تقسيم وحدة الوزن إلى 12 جزءًا، وهو ما كان يسمى الحمار. هكذا نشأت الكسور الاثني عشرية الرومانية، أي. الكسور التي مقامها دائمًا اثني عشر. الجزء الثاني عشر من الآس كان يسمى بالأوقية. بدلاً من 1/12، قال الرومان "أونصة واحدة"، 5/12 - "خمس أونصات"، وما إلى ذلك. ثلاث أونصات كانت تسمى ربعًا، وأربع أونصات ثلثًا، وستة أونصات نصفًا.

وتمت مقارنة المسار والوقت والكميات الأخرى بشيء مرئي - الوزن. على سبيل المثال، قد يقول أحد الرومانيين إنه مشى سبع أوقيات من الطريق أو قرأ خمس أوقيات من كتاب. في هذه الحالة، بالطبع، لم يكن الأمر يتعلق بوزن الطريق أو الكتاب. وهذا يعني أن 7/12 من الرحلة قد اكتمل أو تمت قراءة 5/12 من الكتاب. وبالنسبة للكسور التي تم الحصول عليها عن طريق تقليل الكسور ذات المقام 12 أو تقسيم الجزء الثاني عشر إلى أجزاء أصغر، كانت هناك أسماء خاصة. في المجمل، تم استخدام 18 اسمًا مختلفًا للكسور. على سبيل المثال، تم استخدام الأسماء التالية:

"الصرع" - 1/288 أسا،

"نصف" - نصف آسا،

"الجنس" هو الجزء السادس منه،

"semiounce" - نصف أونصة، أي. 1/24 الحمير، الخ.

للعمل مع مثل هذه الكسور، كان من الضروري أن نتذكر جدول الجمع وجدول الضرب لهذه الكسور. لذلك، عرف التجار الرومان بشكل راسخ أنه عند إضافة الترينات (1/3 آسا) والسدستان، تكون النتيجة نصف نهائي، وعند ضرب العفريت (2/3 آسا) في الساسكونس (2/3 أونصة، أي 1/8 آسا)، والنتيجة هي أوقية. ولتسهيل العمل تم تجميع جداول خاصة وصل إلينا بعضها.

تمت الإشارة إلى الأوقية بخط - نصف آسا (6 أونصات) - بالحرف S (الأول في الكلمة اللاتينية نصف - نصف). تعمل هاتان العلامتان على تسجيل أي جزء من الاثني عشري، ولكل منها اسم خاص بها. على سبيل المثال، 7\12 تمت كتابته هكذا: S-.

في القرن الأول قبل الميلاد، قال الخطيب والكاتب الروماني البارز شيشرون: «بدون معرفة الكسور، لا يمكن التعرف على أحد على أنه يعرف الحساب!»

المقتطف التالي من أعمال الشاعر الروماني الشهير هوراس في القرن الأول قبل الميلاد، حول محادثة بين مدرس وطالب في إحدى المدارس الرومانية في ذلك العصر، هو نموذجي:

المعلم: دع ابن ألبين يخبرني كم سيبقى إذا تم أخذ أوقية واحدة من الخمس أوقيات!

طالب: الثلث.

المعلم: هذا صحيح، أنت تعرف الكسور جيدًا وستكون قادرًا على حفظ ممتلكاتك.

1.5. الكسور في اليونان القديمة.

في اليونان القديمة، كان علم الحساب هو دراسة الخصائص العامةالأرقام - منفصلة عن الخدمات اللوجستية - فن الحساب. اعتقد اليونانيون أنه لا يمكن استخدام الكسور إلا في الخدمات اللوجستية. أجرى الإغريق جميع العمليات الحسابية بحرية مع الكسور، لكنهم لم يتعرفوا عليها كأرقام. لم يتم العثور على الكسور في الأعمال اليونانية في الرياضيات. اعتقد العلماء اليونانيون أن الرياضيات يجب أن تتعامل فقط مع الأعداد الصحيحة. لقد تركوا ترقيع الكسور للتجار والحرفيين وكذلك علماء الفلك والمساحين والميكانيكيين وغيرهم من "السود". كتب مؤسس أكاديمية أثينا، أفلاطون: "إذا أردت تقسيم وحدة، فسوف يسخر منك علماء الرياضيات ولن يسمحوا لك بذلك".

لكن لم يتفق جميع علماء الرياضيات اليونانيين القدماء مع أفلاطون. وهكذا، في أطروحته "حول قياس الدائرة"، يستخدم أرخميدس الكسور. كما تعامل مالك الحزين الإسكندري مع الكسور بحرية. مثل المصريين، قام بتقسيم الكسر إلى مجموع الكسور الأساسية. فبدلاً من 12\13 يكتب 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78، وبدلاً من 5\12 يكتب 1\3 + 1\12 وهكذا. حتى فيثاغورس، الذي تعامل مع الأعداد الطبيعية بالخوف المقدس، عند إنشاء نظرية المقياس الموسيقي، ربط الفترات الموسيقية الرئيسية بالكسور. صحيح أن فيثاغورس وطلابه لم يستخدموا مفهوم الكسور ذاته. لقد سمحوا لأنفسهم بالحديث فقط عن نسب الأعداد الصحيحة.

وبما أن اليونانيين تعاملوا مع الكسور بشكل متقطع فقط، فقد استخدموا رموزًا مختلفة. كتب هيرون وديوفانتوس الكسور حسب الترتيب الأبجدي، مع وضع البسط أسفل المقام. تم استخدام تسميات منفصلة لبعض الكسور، على سبيل المثال، 1\2 - L''، ولكن بشكل عام، فإن ترقيمها الأبجدي جعل من الصعب تسمية الكسور.

بالنسبة لكسور الوحدة، تم استخدام تدوين خاص: كان مقام الكسر مصحوبًا بضربة إلى اليمين، ولم تتم كتابة البسط. على سبيل المثال،
في النظام الأبجدي يعني 32، و " - الكسر 1\32. هناك مثل هذه التسجيلات للكسور العادية التي يتم فيها كتابة البسط ذو أول أولي والمقام المأخوذ مرتين بأوليتين جنبًا إلى جنب في سطر واحد. وهذه هي الطريقة على سبيل المثال، كتب مالك الحزين الإسكندري الكسر 3\4 :
.

يرجع عيب التدوين اليوناني للأعداد الكسرية إلى حقيقة أن الإغريق فهموا كلمة "رقم" على أنها مجموعة من الوحدات، لذا فإن ما نعتبره الآن رقمًا نسبيًا واحدًا - كسرًا - فهمه اليونانيون على أنه نسبة عددين صحيحين. وهذا ما يفسر سبب ندرة وجود الكسور في الحساب اليوناني. تم إعطاء الأفضلية للكسور ذات بسط الوحدة أو الكسور الستينية. كان المجال الذي كانت فيه الحسابات العملية في أمس الحاجة إلى الكسور الدقيقة هو علم الفلك، وهنا كان التقليد البابلي قويًا جدًا لدرجة أنه تم استخدامه من قبل جميع الأمم، بما في ذلك اليونان.

1.6. الكسور في روس

أول عالم رياضيات روسي، معروف لنا بالاسم، راهب دير نوفغورود كيريك، تناول قضايا التسلسل الزمني والتقويم. وفي كتابه بخط يده «تعليمه أن يخبر الإنسان بأرقام كل السنين» (١١٣٦) أي: ""التعليم كيف يعرف الإنسان عدد السنين"" ينطبق على تقسيم الساعة إلى أخماس، وخمس وعشرين، ونحو ذلك. الكسور، والتي أسماها “الساعات الكسرية” أو “العذاب”. ويصل إلى الكسور السابعة من الساعات، وهي في اليوم أو الليلة 937.500، ويقول: لا يأتي شيء من الكسور السابعة من الساعات.

في كتب الرياضيات المدرسية الأولى (القرن السابع)، كانت الكسور تسمى الكسور، وفيما بعد "الأعداد المكسورة". في اللغة الروسية، ظهرت كلمة "كسر" في القرن الثامن، وهي تأتي من الفعل "Droblit" - لكسر، وكسر إلى قطع. عند كتابة رقم، تم استخدام خط أفقي.

توجد في الكتيبات القديمة الأسماء التالية للكسور في روسيا:

1/2 - نصف، نصف

1/3 - الثالث

1/4 - متساوي

1/6 - نصف الثلث

1/8 - النصف

1/12 - نصف الثلث

1/16 - نصف ونصف

1/24 - نصف ونصف الثلث (الثلث الصغير)

1/32 - نصف نصف نصف (نصف صغير)

1/5 - بياتينا

1/7 - أسبوع

1/10 هو العشر.

تم استخدام مقياس الأرض للربع أو أصغر في روسيا -

نصف الربع الذي كان يسمى اوكتينا. كانت هذه كسورًا ملموسة، وحدات لقياس مساحة الأرض، لكن الأوكتينا لم تتمكن من قياس الوقت أو السرعة، وما إلى ذلك. وبعد ذلك بكثير، بدأت الأوكتينا تعني الكسر المجرد 1/8، والذي يمكنه التعبير عن أي قيمة.

حول استخدام الكسور في روسيا في القرن السابع عشر، يمكنك قراءة ما يلي في كتاب ف. بيلوستين "كيف وصل الناس تدريجيًا إلى الحساب الحقيقي": "في مخطوطة من القرن السابع عشر. تبدأ "المادة العددية الخاصة بمرسوم جميع الكسور" مباشرة بالتحديد المكتوب للكسور ومع الإشارة إلى البسط والمقام. عند نطق الكسور، فإن الميزات التالية مثيرة للاهتمام: تم تسمية الجزء الرابع بالربع، في حين تم التعبير عن الكسور ذات المقام من 5 إلى 11 بكلمات تنتهي بـ "ina"، بحيث يكون 1/7 أسبوعًا، و1/5 أسبوعًا. خمسة، 1/10 هو العشر؛ تم نطق الأسهم ذات المقامات الأكبر من 10 باستخدام الكلمات "الكثير"، على سبيل المثال 5/13 - خمسة أجزاء من ثلاثة عشر من القرت. تم استعارة ترقيم الكسور مباشرة من مصادر غربية... كان البسط يسمى الرقم الأعلى، والمقام يسمى الرقم السفلي.

منذ القرن السادس عشر، كان المعداد الخشبي يحظى بشعبية كبيرة في روسيا - حيث يتم إجراء العمليات الحسابية باستخدام جهاز كان بمثابة النموذج الأولي للمعداد الروسي. لقد جعل من الممكن إجراء العمليات الحسابية المعقدة بسرعة وسهولة. كان الحساب الخشبي منتشرًا على نطاق واسع بين التجار وموظفي أوامر موسكو و "المقيسين" - مساحي الأراضي والاقتصاديين الرهبان وما إلى ذلك.

في شكله الأصلي، تم تكييف العداد اللوحي خصيصًا ليناسب احتياجات الحساب المتقدم. هذا هو النظام الضريبي في روسيا في القرنين الخامس عشر والسابع عشر، حيث، إلى جانب الجمع والطرح والضرب وقسمة الأعداد الصحيحة، كان من الضروري إجراء نفس العمليات مع الكسور، لأن الوحدة التقليدية للضرائب - المحراث - تم تقسيمها إلى أجزاء.

يتكون الحساب الخشبي من صندوقين قابلين للطي. تم تقسيم كل صندوق إلى قسمين (لاحقًا في الأسفل فقط)؛ وكان الصندوق الثاني ضروريا نظرا لطبيعة الحساب النقدي. داخل الصندوق، كانت العظام معلقة على حبال أو أسلاك مشدودة. وفقًا لنظام الأرقام العشرية، كانت صفوف الأعداد الصحيحة تحتوي على 9 أو 10 أحجار نرد؛ تم إجراء العمليات مع الكسور على صفوف غير مكتملة: صف من ثلاثة أحجار نرد كان ثلاثة أثلاث، صف من أربعة زهر كان أربعة أرباع (أربعة). فيما يلي صفوف تحتوي على نرد واحد: يمثل كل نرد نصف الكسر الذي يقع تحته (على سبيل المثال، النرد الموجود تحت صف من ثلاثة أحجار نرد كان نصف الثلث، والنرد الموجود تحته كان نصف نصف الثلث الخ). إن إضافة كسرين متطابقين "متماسكين" يعطي الكسر من أقرب رتبة أعلى، على سبيل المثال، 1/12+1/12=1/6، إلخ. في المعداد، إضافة اثنين من هذه الكسور يتوافق مع الانتقال إلى أقرب قطعة دومينو أعلى.

تم جمع الكسور دون اختزال إلى قاسم مشترك، على سبيل المثال، “ربع ونصف ثلث، ونصف نصف” (1/4 + 1/6 + 1/16). في بعض الأحيان، يتم إجراء العمليات على الكسور كما هو الحال مع الكل من خلال مساواة الكل (المحراث) بمبلغ معين من المال. على سبيل المثال، إذا كانت السوخة = 48 وحدة نقدية، فإن الكسر أعلاه سيكون 12 + 8 + 3 = 23 وحدة نقدية.

في العمليات الحسابية المتقدمة كان على المرء أن يتعامل مع الكسور الأصغر. توفر بعض المخطوطات رسومات وأوصاف "لألواح العد" مشابهة لتلك التي ناقشناها للتو، ولكن مع عدد كبير من الصفوف ذات العظم الواحد، بحيث يمكن وضع الكسور التي تصل إلى 1/128 و1/96 عليها. ليس هناك شك في أنه تم تصنيع الأدوات المقابلة أيضًا. لراحة الآلات الحاسبة، تم تقديم العديد من قواعد "رمز العظام الصغيرة"، أي. إضافة الكسور المستخدمة عادة في الحسابات الشائعة، مثل: ثلاثة أربعة محاريث ونصف حرث ونصف حرث، إلخ. ما يصل إلى نصف نصف نصف نصف نصف نصف المحراث هو محراث بدون نصف نصف نصف نصف نصف، أي. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128، إلخ.

لكن من بين الكسور، تم أخذ 1/2 و1/3 فقط في الاعتبار، بالإضافة إلى تلك التي تم الحصول عليها منها باستخدام القسمة المتسلسلة على 2. لم يكن "العد الخشبي" مناسبًا للعمليات مع كسور من سلاسل أخرى. عند العمل معهم، كان من الضروري الرجوع إلى الجداول الخاصة التي تم فيها تقديم نتائج مجموعات مختلفة من الكسور.

في 1703 تم نشر أول كتاب مدرسي روسي مطبوع عن الرياضيات "الحساب". المؤلف ماغنيتسكي ليونتي فيليبوفيتش. في الجزء الثاني من هذا الكتاب، "في الأعداد المكسورة أو ذات الكسور"، يتم عرض دراسة الكسور بالتفصيل.

يتمتع Magnitsky بشخصية حديثة تقريبًا. يتناول Magnitsky حساب الأسهم بمزيد من التفصيل مقارنة بالكتب المدرسية الحديثة. يعتبر Magnitsky الكسور أرقامًا مسماة (ليس فقط 1/2، ولكن 1/2 الروبل والبود وما إلى ذلك)، ويدرس العمليات مع الكسور في عملية حل المشكلات. يجيب ماغنيتسكي بأن هناك رقمًا مكسورًا: "الرقم المكسور ليس شيئًا آخر، إنه فقط جزء من شيء تم الإعلان عنه كرقم، أي نصف روبل هو نصف روبل، وهو مكتوب على هيئة روبل، أو الروبل، أو الروبل، أو الخمسان، وجميع أنواع الأشياء التي يتم الإعلان عن أي جزء منها كرقم، أي رقم مكسور." يعطي Magnitsky أسماء جميع الكسور الصحيحة ذات المقامات من 2 إلى 10. على سبيل المثال، الكسور ذات المقام 6: واحد ستة عشر، اثنان ستة عشر، ثلاثة ستة عشر، أربعة ستة عشر، خمسة ستة عشر.

يستخدم Magnitsky اسم البسط، والمقام، ويعتبر الكسور غير الحقيقية، والأرقام المختلطة، بالإضافة إلى جميع الإجراءات، يعزل الجزء بأكمله من الكسر غير الصحيح.

ظلت دراسة الكسور دائمًا أصعب أقسام الحساب، ولكن في الوقت نفسه، في أي من العصور السابقة، أدرك الناس أهمية دراسة الكسور، وحاول المعلمون تشجيع طلابهم في الشعر والنثر. كتب L. ماغنيتسكي:

ولكن ليس هناك حسابية

Izho هو المتهم كله،

وفي هذه الأسهم لا يوجد شيء،

من الممكن الإجابة.

أوه، من فضلك، من فضلك،

تكون قادرة على أن تكون في أجزاء.

1.7. الكسور في الصين القديمة

في الصين، تم إنشاء جميع العمليات الحسابية تقريبًا باستخدام الكسور العادية بحلول القرن الثاني. قبل الميلاد هـ؛ تم وصفها في المجموعة الأساسية للمعرفة الرياضية في الصين القديمة - "الرياضيات في تسعة كتب"، والتي تنتمي الطبعة الأخيرة منها إلى Zhang Cang. الحساب بناءً على قاعدة مشابهة لخوارزمية إقليدس (القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام)، قام علماء الرياضيات الصينيون بتقليل الكسور. كان يُعتقد أن ضرب الكسور هو إيجاد مساحة قطعة أرض مستطيلة، يتم التعبير عن طولها وعرضها بالكسور. تم التفكير في القسمة باستخدام فكرة المشاركة، بينما لم يكن علماء الرياضيات الصينيون محرجين من حقيقة أن عدد المشاركين في القسمة يمكن أن يكون كسريًا، على سبيل المثال، 3⅓ أشخاص.

في البداية، استخدم الصينيون الكسور البسيطة، والتي تم تسميتها باستخدام الهيروغليفية الحمامية:

الحظر ("النصف") -1\2؛

شاو بان ("نصف صغير") -1\3؛

تاي بانه ("النصف الكبير") -2\3.

وكانت المرحلة التالية هي تطوير الفهم العام للكسور وتشكيل قواعد التعامل معها. إذا تم استخدام الكسور القسامية فقط في مصر القديمة، ففي الصين، كان يُنظر إليها على أنها كسور-فين، كواحدة من أنواع الكسور، وليست الوحيدة الممكنة. لقد تعاملت الرياضيات الصينية مع الأعداد المختلطة منذ العصور القديمة. أقدم النصوص الرياضية، تشو بي شوان جينغ (قانون حساب تشو جنومون/رسالة رياضية عن العقرب)، يحتوي على حسابات ترفع أرقامًا مثل 247 933 / 1460 إلى قوى.

في "Jiu Zhang Xuan Shu" ("قواعد العد في تسعة أقسام")، يعتبر الكسر جزءًا من الكل، والذي يتم التعبير عنه بالعدد n من كسوره - fen - m (n)

في القسم الأول من "Jiu Zhang Xuan Shu"، المخصص بشكل عام لقياس الحقول، يتم تقديم قواعد تقليل الكسور وإضافة وطرح وقسمة وضرب الكسور، بالإضافة إلى مقارنتها و"معادلةها"، بشكل منفصل. مثل هذه المقارنة بين ثلاثة كسور من الضروري فيها إيجاد وسطها الحسابي (لا توجد قاعدة أبسط لحساب الوسط الحسابي لعددين في الكتاب).

على سبيل المثال، للحصول على مجموع الكسور في المقال المشار إليه، يتم تقديم الإرشادات التالية: "اضرب (هو تشنغ) البسط بالتناوب في المقامات. أضف - هذا هو العائد (شي). اضرب المقامات - هذا هو المقسوم عليه (fa). اجمع المقسوم والمقسم في واحد (ق). فإن كان هناك باقي، وصله بالمقسوم عليه». تعني هذه التعليمات أنه إذا تم إضافة عدة كسور، فيجب ضرب بسط كل كسر في مقامات جميع الكسور الأخرى. عند "دمج" المقسوم (كمجموع نتائج هذا الضرب) مع المقسوم عليه (منتج جميع المقامات)، يتم الحصول على كسر، والذي يجب تخفيضه إذا لزم الأمر والذي يجب فصل الجزء بأكمله عنه بالقسمة ، فإن "الباقي" هو البسط، والمقسوم عليه هو المقام. مجموع مجموعة الكسور هو نتيجة هذا التقسيم، ويتكون من عدد صحيح بالإضافة إلى الكسر. عبارة "اضرب المقامات" تعني في الأساس اختزال الكسور إلى مقامها المشترك الأكبر.

تحتوي قاعدة تقليل الكسور في Jiu Zhang Xuan Shu على خوارزمية للعثور على القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام، والذي يتزامن مع ما يسمى بالخوارزمية الإقليدية، المصممة لتحديد القاسم المشترك الأكبر لعددين. ولكن إذا تم تقديم الأخير، كما هو معروف، في المبادئ في صيغة هندسية، فسيتم تقديم الخوارزمية الصينية حسابيا بحتة. تم إنشاء الخوارزمية الصينية للعثور على القاسم المشترك الأكبر، والتي تسمى دنغ شو ("نفس الرقم")، على أساس الطرح المتسلسل لعدد أصغر من رقم أكبر. يجب تقليل الكسر بهذا العدد من دن شو. على سبيل المثال، يقترح تقليل الكسر 49\91. نقوم بإجراء الطرح المتسلسل: 91 - 49 = 42؛ 49 - 42 = 7؛ 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. دان شو = 7. اختصر الكسر بهذا الرقم. نحصل على: 7\13.

يختلف تقسيم الكسور في Jiu Zhang Xuan Shu عن ذلك المقبول اليوم. تنص قاعدة "جينغ فين" ("ترتيب القسمة") على أنه قبل قسمة الكسور، يجب اختزالها إلى قاسم مشترك. وبالتالي، فإن إجراء تقسيم الكسور له خطوة غير ضرورية: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. فقط في القرن الخامس. تخلص Zhang Qiu-jian في عمله "Zhang Qiu-jian suan jing" ("قانون العد لـ Zhang Qiu-jian") من ذلك، حيث قسم الكسور وفقًا للقاعدة المعتادة: a/b: c/d = ad/ سي بي.

ربما كان الالتزام الطويل لعلماء الرياضيات الصينيين بخوارزمية متطورة لتقسيم الكسور يرجع إلى الرغبة في الحفاظ على عالميتها واستخدام لوحة العد. في الأساس، يتكون من تقليل تقسيم الكسور إلى تقسيم الأعداد الصحيحة. هذه الخوارزمية صالحة إذا كان العدد الصحيح قابلاً للقسمة على رقم مختلط. عند قسمة، على سبيل المثال، 2922 على 182 5 / 8، تم ضرب كلا الرقمين أولاً في 8، مما جعل من الممكن تقسيم الأعداد الصحيحة بشكل أكبر: 23376:1461= 16

1.8. الكسور في دول أخرى من العصور القديمة والعصور الوسطى.

على سبيل المثال، الكسر مسجلة ك

قواعد العمل مع الكسور التي وضعها العالم الهندي براماجوبتا (القرن الثامن) لم تكن مختلفة تقريبًا عن القواعد الحديثة. كما هو الحال في الصين، في الهند، لتحقيق قاسم مشترك، تم ضرب قواسم جميع المصطلحات لفترة طويلة، ولكن من القرن التاسع. لقد استخدمت بالفعل المضاعف المشترك الأصغر.

استخدم العرب في العصور الوسطى ثلاثة أنظمة لكتابة الكسور. أولاً، على الطريقة الهندية، كتابة المقام تحت البسط؛ ظهر الخط الكسري في نهاية القرن الثاني عشر - بداية القرن الثالث عشر. ثانيًا، استخدم المسؤولون ومساحو الأراضي والتجار حساب التفاضل والتكامل للكسور المقسمة، المشابه للحساب المصري، باستخدام الكسور التي لا تتجاوز مقاماتها 10 (فقط لمثل هذه الكسور تحتوي اللغة العربية على مصطلحات خاصة)؛ وغالبا ما تستخدم القيم التقريبية. وقد عمل العلماء العرب على تحسين هذا الحساب. ثالثًا، ورث العلماء العرب النظام الستيني البابلي اليوناني، حيث استخدموا، مثل اليونانيين، التدوين الأبجدي، وتوسيعه ليشمل أجزاء كاملة.

تم اعتماد التدوين الهندي للكسور وقواعد التعامل معها في القرن التاسع. في بلاد المسلمين بفضل محمد الخوارزمي (الخوارزمي). في الممارسات التجارية في البلدان الإسلامية، تم استخدام كسور الوحدة على نطاق واسع؛ وفي العلوم، تم استخدام الكسور الستينية، وبدرجة أقل بكثير، الكسور العادية. الكرجي (القرنين العاشر والحادي عشر)، الخصار (القرن الثاني عشر)، الكلأسادي (القرن الخامس عشر) وغيرهم من العلماء قدموا في أعمالهم قواعد تمثيل الكسور العادية في شكل مبالغ ومنتجات كسور الوحدة. تم نقل المعلومات حول الكسور إلى أوروبا الغربية بواسطة التاجر والعالم الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي من بيزا (القرن الثالث عشر). لقد أدخل كلمة الكسر، وبدأ في استخدام خط الكسر (1202)، وأعطى صيغًا للتقسيم المنهجي للكسور إلى كسور أساسية. تم تقديم أسماء البسط والمقام في القرن الثالث عشر على يد ماكسيموس بلانود، وهو راهب يوناني وعالم وعالم رياضيات. تم اقتراح طريقة لتقليل الكسور إلى قاسم مشترك في عام 1556 بواسطة N. Tartaglia. يعود المخطط الحديث لإضافة الكسور العادية إلى عام 1629. في أ.جيرارد.

ثانيا. تطبيق الكسور العادية

2.1 الكسور قسامة

تشكل المسائل التي تستخدم الكسور القسامية فئة كبيرة من المسائل غير القياسية، بما في ذلك تلك التي تعود إلى العصور القديمة. يتم استخدام الكسور القسمة عندما تحتاج إلى تقسيم شيء ما إلى عدة أجزاء بأقل قدر ممكن من الخطوات. يتم تنظيم تحليل الكسور من النموذج 2/n و2/(2n +1) إلى جزأين قساميين في شكل صيغ

التقسيم إلى ثلاثة، أربعة، خمسة، الخ. يمكن إنتاج كسور قسامة عن طريق تحليل أحد المصطلحات إلى كسرين، والحد التالي إلى جزأين آخرين، وما إلى ذلك.

لتمثيل رقم كمجموع كسور قسامة، عليك في بعض الأحيان إظهار براعة غير عادية. لنفترض أن الرقم 2/43 تم التعبير عنه على النحو التالي: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. من غير الملائم جدًا إجراء العمليات الحسابية على الأرقام وتفكيكها إلى مجموع كسور الواحد. لذلك، في عملية حل المشكلات المتعلقة بتحلل الكسور القسمة في شكل مجموع كسور قسامة أصغر، نشأت فكرة تنظيم تحلل الكسور في شكل صيغة. هذه الصيغة صالحة إذا كنت بحاجة إلى تحليل جزء قسامة إلى جزأين قسامتين.

تبدو الصيغة كما يلي:

1/ن=1/(ن+1) + 1/ن ·(ن+1)

أمثلة على توسيع الكسر:

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

يمكن تحويل هذه الصيغة للحصول على المساواة المفيدة التالية: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

على سبيل المثال، 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

أي أنه يمكن تمثيل الكسر القسمة بالفرق بين كسرين قسامتين، أو الفرق بين كسرين قسامتين، مقاماتهما عبارة عن أرقام متتالية تساوي منتجهما.

مثال.قم بتمثيل الرقم 1 كمجموع لكسور قسامة مختلفة

أ) ثلاثة حدود 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

ب) أربعة مصطلحات

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

ج) خمسة حدود

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 بدلًا من الكسور الصغيرة، استخدم الكسور الكبيرة

توجد في مصانع بناء الآلات مهنة مثيرة للغاية تسمى العلامة. تحدد العلامة الخطوط الموجودة على قطعة العمل التي يجب معالجة قطعة العمل من خلالها لمنحها الشكل المطلوب.

يتعين على العلامة حل مسائل هندسية مثيرة للاهتمام وصعبة في بعض الأحيان، وإجراء عمليات حسابية، وما إلى ذلك.
"كان من الضروري توزيع 7 لوحات مستطيلة متطابقة بطريقة أو بأخرى في حصص متساوية بين 12 جزءًا. لقد أحضروا هذه اللوحات السبعة إلى العلامة وطلبوا منه، إن أمكن، وضع علامة على اللوحات بحيث لا يتم سحق أي منها إلى أجزاء صغيرة جدًا لذا فإن الحل الأبسط هو - إن تقطيع كل لوحة إلى 12 جزءًا متساويًا لم يكن مناسبًا، لأن ذلك سيؤدي إلى العديد من الأجزاء الصغيرة.
هل من الممكن تقسيم هذه الصفائح إلى أجزاء أكبر؟ فكر العلامة، وأجرى بعض الحسابات الحسابية للكسور، وأخيراً وجد الطريقة الأكثر اقتصاداً لتقسيم هذه الألواح.
بعد ذلك، قام بسهولة بسحق 5 ألواح لتوزيعها بحصص متساوية بين ستة أجزاء، 13 لوحًا لـ 12 جزءًا، 13 لوحًا لـ 36 جزءًا، 26 لـ 21، إلخ.

وتبين أن العلامة قدمت الكسر 7\12 كمجموع كسور الوحدة 1\3 + 1\4. هذا يعني أنه إذا تم قطع 4 لوحات من أصل 7 إلى ثلاثة أجزاء متساوية، فإننا نحصل على 12 ثلثًا، أي ثلث لكل جزء. نقطع الألواح الثلاثة المتبقية إلى 4 أجزاء متساوية لكل منها، فنحصل على 12 ربعًا، أي ربعًا لكل جزء. وبالمثل، استخدام تمثيل الكسور في شكل مجموع كسور الوحدة 5\6=1\2+1\3؛ 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.

2.3 الانقسامات في الظروف الصعبة

هناك مثل شرقي مشهور مفاده أن أباً ترك 17 جملا لأبنائه وأمرهم أن يقتسموا فيما بينهم: النصف الأكبر، والأوسط ثلث، والأصغر تسعاً. لكن 17 لا يقبل القسمة على 2 أو 3 أو 9. التفت الأبناء إلى الحكيم. كان الحكيم على دراية بالكسور وكان قادرًا على المساعدة في هذا الموقف الصعب.

لقد لجأ إلى الحيلة. أضاف الحكيم جمله مؤقتاً إلى القطيع، فكان عددهم 18. وبعد تقسيم هذا العدد كما هو مذكور في الوصية، استعاد الحكيم جمله. السر هو أن الأجزاء التي سيقسم الأبناء القطيع إليها حسب الوصية لا يصل مجموعها إلى 1. في الواقع، 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

هناك الكثير من هذه المهام. على سبيل المثال، مشكلة من كتاب مدرسي روسي حول 4 أصدقاء عثروا على محفظة بها 8 أوراق ائتمان: واحدة بواحد، وثلاثة، وخمسة روبل، والباقي بعشرة روبل. بالاتفاق المتبادل، أراد أحدهم جزءًا ثالثًا، والثاني ربعًا، والثالث خمسًا، والرابع سدسًا. ومع ذلك، لم يتمكنوا من القيام بذلك بمفردهم: ساعد أحد المارة، بعد إضافة الروبل الخاص به. ولحل هذه الصعوبة، أضاف أحد المارة كسور الوحدة 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60، تلبيةً لطلبات أصدقائه وربح 2 روبل لنفسه.

ثالثا.كسور مثيرة للاهتمام

3.1 كسور الدومينو

الدومينو هي لعبة لوحية شائعة في جميع أنحاء العالم. تتكون لعبة الدومينو غالبًا من 28 قطعة مستطيلة. الدومينو عبارة عن بلاطة مستطيلة الشكل، ينقسم الجزء الأمامي منها بخط إلى جزأين مربعين. يحتوي كل جزء من صفر إلى ست نقاط. إذا قمت بإزالة النرد الذي لا يحتوي على نقاط في نصفه (الفراغات) على الأقل، فيمكن اعتبار النرد المتبقي كسورًا. النرد، الذي يحتوي نصفاه على نفس عدد النقاط (الزوجي)، عبارة عن كسور غير حقيقية تساوي واحدًا. إذا قمت بإزالة هذه العظام الإضافية، فسوف يتبقى لديك 15 عظمة. يمكن ترتيبها بطرق مختلفة والحصول على نتائج مثيرة للاهتمام.

1. الترتيب في 3 صفوف، مجموع الكسور في كل منها هو 2.

;
;

2. قم بترتيب جميع القطع الـ 15 في ثلاثة صفوف، كل منها مكون من 5 قطع، باستخدام بعض قطع الدومينو ككسور غير حقيقية، مثل 4/3، 6/1، 3/2، وما إلى ذلك، بحيث يكون مجموع الكسور في كل صف يساوي الرقم 10

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. ترتيب الكسور في صفوف يكون مجموعها عددًا صحيحًا (ولكنه يختلف في صفوف مختلفة).

3.2 منذ الأزل

"لقد درس هذه القضية بدقة." وهذا يعني أن المسألة تمت دراستها حتى النهاية، ولم يبق فيها أدنى غموض. والكلمة الغريبة "بدقة" تأتي من الاسم الروماني لـ 1/288 assa – "scrpulus".

"الدخول في الكسور." هذا التعبير يعني أن تجد نفسك في موقف صعب.

"الحمار" هي وحدة قياس الكتلة في علم الصيدلة (جنيه الصيدلي).

"الأونصة" هي وحدة الكتلة في نظام القياس الإنجليزي، وهي وحدة قياس الكتلة في الصيدلة والكيمياء.

رابعا. خاتمة.

وخلصت إلى أن تاريخ الكسور هو طريق متعرج مليء بالعقبات والصعوبات. أثناء العمل على مقالتي، تعلمت الكثير من الأشياء الجديدة والمثيرة للاهتمام. قرأت العديد من الكتب والأقسام من الموسوعات. تعرفت على الكسور الأولى التي تعامل معها الناس، مع مفهوم الكسر القسمة، وتعرفت على أسماء جديدة للعلماء الذين ساهموا في تطوير عقيدة الكسور. لقد حاولت بنفسي حل المشكلات الأولمبية والمسلية، وأمثلة مختارة بشكل مستقل لتحلل الكسور العادية إلى كسور قسامة، وقمت بتحليل حل الأمثلة والمسائل الواردة في النصوص. الإجابة على السؤال الذي طرحته على نفسي قبل البدء في العمل على المقال: الكسور العادية ضرورية، فهي مهمة. لقد كان إعداد العرض التقديمي مثيرًا للاهتمام، وكان علي أن أتوجه إلى المعلم وزملائي في الفصل للحصول على المساعدة. أيضًا، عند الكتابة، واجهت لأول مرة الحاجة إلى كتابة الكسور والتعبيرات الكسرية. لقد قدمت ملخصي في مؤتمر المدرسة. كما قامت بأداء أمام زملائها في الفصل. لقد استمعوا بعناية شديدة، وفي رأيي، كانوا مهتمين.

أعتقد أنني قد أكملت المهام التي حددتها قبل البدء في العمل على الملخص.

الأدب.

1. بورودين أ. من تاريخ الحساب . رئيس دار النشر "مدرسة فيششا"-كاليفورنيا، 1986

2. جليزر جي تاريخ الرياضيات في المدرسة: الصفوف من الرابع إلى السادس. دليل للمعلمين. - م: التربية، 1981.

3. إجناتيف إي. في مملكة العبقرية. مكتب التحرير الرئيسي للأدب الفيزيائي والرياضي لدار النشر "ناوكا"، م.، 1978.

4. كورديمسكوي جي أيه البراعة الرياضية - الطبعة العاشرة، منقحة. وإضافي - م: Unisam، MDS، 1994.

5. سترويك د.يا. مقالة مختصرةتاريخ الرياضيات. م: ناوكا، 1990.

6.موسوعة للأطفال. المجلد 11. الرياضيات. موسكو، أفانتا +، 1998.

7. /wiki.مادة من ويكيبيديا – الموسوعة الحرة.

المرفق 1.

مقياس طبيعي

يعلم الجميع أن فيثاغورس كان عالماً، وعلى وجه الخصوص، مؤلف النظرية الشهيرة. لكن حقيقة أنه كان أيضًا موسيقيًا لامعًا ليست معروفة على نطاق واسع. إن الجمع بين هذه المواهب سمح له بأن يكون أول من يخمن وجود مقياس طبيعي. لا يزال يتعين علي إثبات ذلك. قام فيثاغورس ببناء نصف أداة ونصف جهاز لتجاربه - "أحادية الوتر". لقد كان صندوقًا مستطيلًا به خيط ممتد فوقه. تحت الخيط، على الغطاء العلوي للصندوق، رسم فيثاغورس مقياسًا لتسهيل تقسيم الخيط بصريًا إلى أجزاء. أجرى فيثاغورس العديد من التجارب باستخدام نغمة أحادية، وفي النهاية، وصف رياضيًا سلوك سلسلة السبر. شكلت أعمال فيثاغورس أساس العلم الذي نسميه الآن الصوتيات الموسيقية. اتضح أنه بالنسبة للموسيقى، فإن سبعة أصوات ضمن الأوكتاف هي شيء طبيعي مثل عشرة أصابع على اليدين في الحساب. بالفعل سلسلة القوس الأول، التي تتأرجح بعد اللقطة، أعدت تلك المجموعة من الأصوات الموسيقية التي ما زلنا نستخدمها دون تغيير تقريبًا.

من وجهة نظر الفيزياء، الوتر والوتر هما نفس الشيء. وصنع الرجل الوتر مع مراعاة خصائص الوتر. لا يهتز وتر السبر ككل فحسب، بل يهتز أيضًا في النصفين والثلثين والأرباع، وما إلى ذلك. دعونا الآن نتناول هذه الظاهرة من الجانب الحسابي. يهتز النصفان مرتين أكثر من الوتر بأكمله، والثلث - ثلاث مرات، والأرباع - أربع مرات. باختصار، كم مرة يكون الجزء المهتز من السلسلة أصغر، يكون تردد اهتزازاته أكبر بنفس العدد من المرات. لنفترض أن السلسلة بأكملها تهتز بتردد 24 هرتز. من خلال حساب تقلبات الكسور حتى الجزء السادس عشر، نحصل على سلسلة الأعداد الموضحة في الجدول. ويسمى هذا التسلسل من الترددات طبيعيا، أي. طبيعي، مقياس.

الملحق 2.

المسائل القديمة باستخدام الكسور المشتركة.

في المخطوطات القديمة والكتب المدرسية الحسابية القديمة من مختلف البلدان، هناك العديد من المسائل المثيرة للاهتمام المتعلقة بالكسور. يتطلب حل كل من هذه المشكلات قدرًا كبيرًا من البراعة والبراعة والقدرة على التفكير.

1. يأتي الراعي ومعه 70 ثورًا. يُسأل:

كم تحضر من قطيعك الكثير؟

يجيب الراعي:

أحضر ثلثي ثلث الماشية. احسب كم عدد الثيران الموجودة في القطيع؟

بردية أحمس (مصر، حوالي 2000 قبل الميلاد).

2. أخذ أحدهم 1/13 من الخزانة. ومن ما بقي أخذ آخر 1/17. ترك 192 في الخزينة نريد معرفة كم كان في الخزينة في البداية

بردية أكميم (القرن السادس)

3. المسافر! تم دفن رماد ديوفانثوس هنا. ويمكن للأرقام أن تخبرنا كم كانت حياته.

الجزء السادس منه كان طفولة رائعة.

انقضى الجزء الثاني عشر من حياته ثم غطت ذقنه بالزغب.
قضى ديوفانتوس المرة السابعة في زواج بلا أطفال.

لقد مرت خمس سنوات؛ وبارك بولادة ابنه البكر الجميل.
الذي أعطى القدر نصف الحياة الجميلة والمشرقة على الأرض مقارنة بوالده.

وفي حزن عميق، قبل الرجل العجوز نهاية نصيبه الأرضي، بعد أن نجا من أربع سنوات منذ أن فقد ابنه.

أخبرني، كم سنة من الحياة تحملت ديوفانتوس الموت؟

4. وأوصى أحد المحتضرين: إذا ولدت زوجتي ولداً فليكن له ثلثي التركة، ولزوجته الباقي. فإذا ولدت بنتا فلها الثلث، وللزوجة الثلثين». ولد توأمان - ابن وابنة. كيفية تقسيم التركة؟

المشكلة الرومانية القديمة (القرن الثاني)

ابحث عن ثلاثة أرقام بحيث يتجاوز الأكبر المتوسط بجزء معين من الأصغر، بحيث يتجاوز المتوسط الأصغر بجزء معين من الأكبر، وبحيث يتجاوز الأصغر الرقم 10 بجزء معين من المتوسط.

رسالة ديوفانتوس الإسكندرانية في "الحساب" (القرنين الثاني والثالث الميلادي)

5. تطير البطة البرية من بحر الجنوب إلى بحر الشمال لمدة 7 أيام. تطير الإوزة البرية من البحر الشمالي إلى البحر الجنوبي لمدة 9 أيام. الآن تطير البطة والأوزة في نفس الوقت. بعد كم يوم سيجتمعون؟

الصين (القرن الثاني الميلادي)

6. «مر أحد التجار بثلاث مدن، ففي المدينة الأولى أخذوا منه الرسوم على نصف وثلث أمواله، وفي المدينة الثانية على نصف وثلث ما بقي من أمواله، وفي المدينة الثالثة على نصف أمواله وثلثها». النصف والثلث الباقي من ماله. وعندما وصل إلى المنزل، بقي معه 11 نقودًا. اكتشف مقدار المال الذي كان لدى التاجر في البداية. "

أناني شيراكاتسي. مجموعة "أسئلة وأجوبة" (سابعاالقرن الميلادي).

هناك زهرة الكادامبا،

لبتلة واحدة

لقد انخفض خمس النحل.

لقد نشأت في مكان قريب

كل ما في إزهار Simengda ،

والجزء الثالث يصلح عليه.

العثور على الفرق بينهما

قم بطيها ثلاث مرات

وزرع هؤلاء النحل على كوتاي.

لم يتم العثور على اثنين فقط

لا مكان لنفسك في أي مكان

كان الجميع يطيرون ذهابًا وإيابًا وفي كل مكان

استمتعت برائحة الزهور.

الآن أخبرني

والحساب في ذهني

كم عدد النحل هناك في المجموع؟

المشكلة الهندية القديمة (القرن الحادي عشر).

8. “ابحث عن رقم، مع العلم أنك إذا طرحت ثلثه وربعه، تحصل على 10”.

محمد بن موسى الخوارزمي “الحساب” (القرن التاسع)

9. ذهبت إحدى النساء إلى الحديقة لقطف التفاح. لمغادرة الحديقة، كان عليها أن تمر عبر أربعة أبواب، لكل منها حارس. أعطت المرأة نصف التفاحة التي قطفتها للحارس عند الباب الأول. بعد أن وصلت إلى الحارس الثاني، أعطته المرأة نصف الباقي. فعلت الشيء نفسه مع الحارس الثالث، وعندما تقاسمت التفاح مع الحارس الرابع، بقي لديها 10 تفاحات. كم عدد التفاحات التي قطفتها من الحديقة؟

"1001 ليلة"

10. فقط "هذا" و"هذا"، ونصف "ذلك" و"هذا" - ما هي النسبة المئوية لثلاثة أرباع "هذا" و"هذا"؟

الدستور الغذائي روس القديمة(القرون الحادي عشر والحادي عشر)

11. جاء ثلاثة قوزاق إلى الراعي لشراء الخيول.

قال الراعي: حسنًا، سأبيع لك خيولًا، سأبيع نصف قطيع ونصف حصان آخر للأول، ونصف الخيول المتبقية ونصف حصان آخر للثاني، والثالث سيحصل أيضًا على النصف من الخيول المتبقية بنصف حصان.

سأترك 5 خيول فقط لنفسي. "

تفاجأ القوزاق كيف يقوم الراعي بتقسيم الخيول إلى أجزاء. لكن بعد تفكير هدأوا، وتمت الصفقة.

كم عدد الخيول التي باعها الراعي لكل من القوزاق؟

12. سأل أحدهم المعلم: أخبرني كم طالبًا لديك في صفك، لأنني أريد تسجيل ابني معك. أجاب المعلم: إذا جاء عدد الطلاب مثلي ونصف العدد والربع وابنك، فسيكون لدي 100 طالب. السؤال هو كم عدد الطلاب لدى المعلم؟

إل إف ماغنيتسكي "الحساب" (1703)

13. وبعد أن لحق المسافر بالآخر، سأله: "كم تبعد القرية التي أمامنا؟" فأجاب مسافر آخر: المسافة من القرية التي أنت قادم منها تساوي ثلث المسافة بين القرى. وإذا مشيت ميلين آخرين، فسوف تكون بالضبط في المنتصف بين القرى. كم عدد الأميال التي تبقى للمسافر الأول ليقطعها؟

إل إف ماغنيتسكي "الحساب" (1703)

14. كانت امرأة فلاحة تبيع البيض في السوق. اشترى العميل الأول نصف بيضها ونصف بيضة آخر، والنصف الثاني الباقي ونصف آخر بيضة، والثالث آخر 10 بيضات.

كم عدد البيض الذي جلبته المرأة الفلاحة إلى السوق؟

إل إف ماغنيتسكي "الحساب" (1703)

15. أخذ الزوج والزوجة المال من نفس الصندوق، ولم يبق شيء. أخذ الزوج 7/10 من كل الأموال، وأخذت الزوجة 690 روبل. كم كان كل المال؟

L. N. تولستوي "الحساب"

16. ثمن العدد

خذها وأضف أي منها

نصف ثلاثمائة

وسوف يتفوق الثمانية

ليس قليلا - خمسين

ثلاثة أرباع. سأكون ممتنا،

إذا كان الشخص الذي يعرف النتيجة

سيخبرني بالرقم.

يوهان هيملينج، مدرس رياضيات (1800)

17. فاز ثلاثة أشخاص بمبلغ معين من المال. الأول يمثل 1/4 من هذا المبلغ، والثاني -1/7، والثالث - 17 فلورين. ما هو حجم إجمالي المكاسب؟

آدم ريس (ألمانيا، القرن السادس عشر) 18. بعد أن قرر تقسيم كل مدخراته بالتساوي بين جميع أبنائه، قام شخص ما بإعداد وصية. "يجب أن يحصل أكبر أبنائي على 1000 روبل وثمن الباقي؛ التالي - 2000 روبل وثمن الرصيد الجديد؛ الابن الثالث - 3000 روبل وثمن الرصيد التالي، وما إلى ذلك." تحديد عدد الأبناء ومقدار المدخرات الموروثة.

ليونارد أويلر (1780)

19. ثلاثة أشخاص يريدون شراء منزل بمبلغ 24000 جنيه. فاتفقوا على أن يعطي الأول النصف، والثاني الثلث، والثالث الباقي. كم من المال سيعطي الثالث؟

الكسور "،" عادي الكسور" لعبة "عن ماذا يمكن أن يتحدثوا... للحساب الذهني." المهام الخاصة بالموضوع " عادي الكسوروالأفعال عليهم" 1. أنت... فيلسوف، كاتب. ب. كان باسكال على نحو غير عاديموهوب ومتعدد المواهب، وكانت حياته...

يتم نشر نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملةالعمل متاح في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF

مقدمة

دراسة الكسور تمليها الحياة نفسها. تعد القدرة على إجراء العمليات الحسابية المختلفة والحسابات ضرورية لكل شخص، لأننا نواجه كسورًا في الحياة اليومية. أردت أن أعرف من أين جاء اسم هذه الأرقام؛ الذي جاء بهذه الأرقام، هو موضوع "الكسور" الذي ندرسه في المدرسة، وهو موضوع ضروري في حياتي.

موضوع الدراسة: تاريخ أصل الكسور العادية.

موضوع الدراسة: الكسور العادية.

فرضية: لو لم يكن هناك كسور، هل يمكن أن تتطور الرياضيات؟

الهدف من العمل: تزيين منصة "الرياضيات من حولنا" في فصل الرياضيات بحقائق مثيرة للاهتمام حول الكسور.

مهام:

دراسة تاريخ الكسور في الرياضيات.

حدد الحقائق الأكثر إثارة للاهتمام حول الكسور التي يمكن استخدامها لتجميع أقسام الحامل.

إعداد موقف في الفصول الدراسية الرياضيات.

ملاءمة: الحياة الحديثة تجعل مسائل الكسور ذات صلة، مع توسع نطاق التطبيقات العملية للكسور.

طرق البحث:

1. ابحث عن معلومات حول الكسور في مصادر مختلفة: الإنترنت، والخيال، والكتب المدرسية.

2. تحليل ومقارنة وتوليف وتنظيم المعلومات.

1. من تاريخ الكسور العادية

1.1. ظهور الكسور

في جميع الحضارات، نشأ مفهوم الكسر من عملية تقسيم الكل إلى أجزاء متساوية. المصطلح الروسي "الكسر"، مثل نظائره في اللغات الأخرى، يأتي من اللاتينية. "كسر"، وهو بدوره ترجمة لمصطلح عربي بنفس المعنى: كسر، كسر. لذلك، ربما كانت الكسور الأولى في كل مكان كسورًا بالصيغة 1/n. مزيد من التطوير يتحرك بشكل طبيعي نحو اعتبار هذه الكسور وحدات يمكن من خلالها تكوين الكسور m/n - الأعداد النسبية. إلا أن هذا المسار لم تتبعه جميع الحضارات: على سبيل المثال، لم يتحقق قط في الرياضيات المصرية القديمة.

1.2. الكسور في روس

في اللغة الروسية، ظهرت كلمة "الكسر" في القرن الثامن، وهي تأتي من الفعل "Droblit" - لكسر، وكسر إلى قطع. تعود أصول التدوين الحديث للكسور إلى الهند القديمة، حيث بدأ العرب أيضًا في استخدامها.

في الأدلة القديمة نجد الأسماء التالية للكسور في روس:

كان مقياس الأرض المستخدم في روسيا هو الربع وأصغر - نصف الربع، والذي كان يسمى أوكمينا. كانت هذه كسورًا ملموسة، وحدات لقياس مساحة الأرض، لكن الأوكتينا لم تتمكن من قياس الوقت أو السرعة، وما إلى ذلك. وبعد ذلك بكثير، بدأت الأوكتينا تعني الكسر المجرد 1/8، والذي يمكنه التعبير عن أي قيمة. حول استخدام الكسور في روسيا في القرن السابع عشر، يمكنك قراءة ما يلي في كتاب ف. بيلوستين "كيف وصل الناس تدريجيًا إلى الحساب الحقيقي": "في مخطوطة من القرن السابع عشر. "المادة الخاصة بجميع كسور المرسوم "تبدأ مباشرة بالتسمية المكتوبة للكسور وبإشارة البسط والمقام. عند نطق الكسور، فإن الميزات التالية مثيرة للاهتمام: تم تسمية الجزء الرابع بالربع، في حين تم التعبير عن الكسور ذات المقام من 5 إلى 11 بكلمات تنتهي بـ "ina"، بحيث يكون 1/7 أسبوعًا، و1/5 أسبوعًا. خمس نقاط، 1/10 هو العشر؛ تم نطق الأسهم ذات المقامات الأكبر من 10 باستخدام الكلمات "الكثير"، على سبيل المثال 5/13 - خمسة أجزاء من ثلاثة عشر من القرت. تم استعارة ترقيم الكسور مباشرة من المصادر الغربية. كان البسط يسمى الرقم العلوي، والمقام يسمى الرقم السفلي.

1.3. الكسور في دول أخرى من العصور القديمة

جميع قواعد الحساب المصريون القدماءكانت تعتمد على القدرة على جمع وطرح الأعداد المزدوجة وإكمال الكسور إلى واحد. كانت هناك رموز خاصة للكسور. استخدم المصريون كسورًا على الصورة 1/n، حيث n هو عدد طبيعي. تسمى هذه الكسور قسامة. في بعض الأحيان، بدلًا من قسمة m:n، قاموا بضرب m∙n.

ولهذا الغرض، تم استخدام جداول خاصة. ويجب القول أن العمليات على الكسور كانت سمة من سمات الحساب المصري، حيث تتحول أبسط الحسابات أحيانًا إلى مسائل معقدة. (الملحق 3)

بالفعل في العصور القديمة، عرف المصريون كيفية تقسيم تفاحتين إلى ثلاثة: حتى أنه كان لديهم رمز خاص لهذا الرقم. بالمناسبة، كان هذا هو الكسر الوحيد الذي استخدمه الكتبة المصريون والذي لم يكن لديه وحدة في البسط - ومن المؤكد أن جميع الكسور الأخرى كان بها 1 في البسط (ما يسمى بالكسور الأساسية): 1/2، 1/3 ، 1/17، ... وما إلى ذلك. هذا الموقف تجاه الكسور كان موجودًا لفترة طويلة جدًا. لقد هلكت حضارة مصر القديمة بالفعل، وقد ابتلعت رمال الصحراء الأرض الخضراء ذات يوم، وتم فرز جميع الكسور إلى مجموع العناصر الأساسية - حتى عصر النهضة!

في الصينتم إنشاء جميع العمليات الحسابية تقريبًا باستخدام الكسور العادية بحلول القرن الثاني. قبل الميلاد هـ؛ تم وصفها في المجموعة الأساسية للمعرفة الرياضية في الصين القديمة - "الرياضيات في تسعة كتب"، والتي تنتمي طبعتها الأخيرة إلى تشانغ تسانغ. الحساب بناءً على قاعدة مشابهة لخوارزمية إقليدس (القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام)، قام علماء الرياضيات الصينيون بتقليل الكسور. كان يُعتقد أن ضرب الكسور هو إيجاد مساحة قطعة أرض مستطيلة، يتم التعبير عن طولها وعرضها بالكسور. تم التفكير في القسمة باستخدام فكرة المشاركة، بينما لم يكن علماء الرياضيات الصينيون محرجين من حقيقة أن عدد المشاركين في القسمة يمكن أن يكون كسريًا، على سبيل المثال، 3⅓ أشخاص.

في البداية، استخدم الصينيون الكسور البسيطة، والتي تم تسميتها باستخدام الهيروغليفية الحمامية:

بنه ("النصف") -12؛

شاو بان ("نصف صغير") -13؛

تاي بانه ("النصف الكبير") -23. أتساءل ما البابليونلقد فضلوا المقام الثابت (يساوي 60، على ما يبدو لأن نظام الأعداد لديهم كان ستيني).

الرومانكما استخدموا أيضًا مقامًا واحدًا فقط، وهو 12.

تم تحقيق مزيد من التطوير لمفهوم الكسر المشترك في الهند. تمكن علماء الرياضيات في هذا البلد من الانتقال بسرعة من كسور الوحدة إلى الكسور العامة. ولأول مرة، تم العثور على مثل هذه الكسور في "قواعد الحبل" لأباستامبا (القرنين السابع والخامس قبل الميلاد)، والتي تحتوي على إنشاءات هندسية ونتائج بعض الحسابات. في الهند، تم استخدام نظام تدوين - ربما من أصل صيني، وربما من أصل يوناني متأخر - حيث كان بسط الكسر يكتب فوق المقام - مثل نظامنا، ولكن بدون خط الكسر، ولكن تم وضع الكسر بأكمله في خط إطار مستطيل.

كسور مثيرة للاهتمام

"بدون معرفة الكسور، لا يمكن التعرف على أحد على أنه يعرف الحساب!" (شيشرون)

تحمل أنظمة القياس الكسور: 1 سنتيمتر = 1/10 ديسيمتر = 1/100 متر.

يمكنك تلبية الكسور في دروس مختلفة. على سبيل المثال، في الجغرافيا: «خلال وجود الاتحاد السوفييتي، احتلت روسيا سدس الأرض. والآن تحتل روسيا تسع مساحة اليابسة. في الفنون الجميلة - عند تصوير شخصية بشرية. في الموسيقى، الإيقاع، مقياس القطعة الموسيقية.

يأتي الشخص عبر كلمة "جزء" في الحياة:

كرات رصاص صغيرة لإطلاق النار من بندقية صيد - طلقة.

أصوات متكررة ومتقطعة - الطبول.

في البحرية أمر "أطلق النار!" - وقف إطلاق النار.

ترقيم المنازل. يتم وضع رقم مفصول بكسر على المنازل المرقمة على طول شارعين متقاطعين.

جزء في الرقص. من المستحيل تخيل الرقص الشعبي الروسي بدون كسور وجري.

اطرق جزءًا بأسنانك - ثرثر بأسنانك (ترتعش من البرد والخوف).

في الخيال. دينيسكا، بطل قصة فيكتور دراغونسكي "يجب أن تتمتع بروح الدعابة"، سأل صديقه ميشكا ذات مرة مشكلة: كيفية تقسيم تفاحتين بالتساوي على ثلاث تفاحات؟ وعندما استسلم ميشكا أخيرًا، أعلن الجواب منتصرًا: "اصنع كومبوت!" لم يتعلم ميشكا ودينيس الكسور بعد وكانا يعلمان على وجه اليقين أن 2 لا يقبل القسمة على 3؟

لكن هذا ليس الحل الوحيد لهذه المشكلة! من الضروري تقسيم كل تفاحة إلى ثلاثة أجزاء وتوزيع جزأين على الثلاثة.

هناك ثلاثة أنواع من الكسور:

الوحدات (القسامات) أو الكسور (على سبيل المثال 1/2، 1/3، 1/4، وما إلى ذلك).

نظامي، أي الكسور التي يتم فيها التعبير عن المقام بواسطة قوة الرقم (على سبيل المثال، قوة 10 أو 60، وما إلى ذلك).

الشكل العام الذي يمكن أن يكون فيه البسط والمقام أي رقم.

هناك كسور "كاذبة" - غير منتظمة و"حقيقية" - صحيحة.

الكسر في الرياضيات- شكل من أشكال تمثيل الكميات الرياضية باستخدام عملية القسمة، يعكس في الأصل مفهوم الأعداد غير الصحيحة، أو الكسور. في أبسط الحالات، الكسر العددي هو نسبة بين رقمين.

م: ن = م/ن

في جزء م/n(قراءة: "أم نث") رقم م، الموجود فوق السطر، يسمى البسط، والرقم n، الموجود أسفل السطر، يسمى المقام. يوضح المقام عدد الأجزاء المتساوية التي تم تقسيم الكل إليها، ويوضح البسط عدد هذه الأجزاء المأخوذة. يمكن فهم خط الكسر على أنه علامة القسمة.

في عام 1202 قدم كلمة "كسر".

تم تقديم أسماء البسط والمقام في القرن الثالث عشر على يد ماكسيموس بلانود، وهو راهب يوناني وعالم وعالم رياضيات.

النتائج الرئيسية للدراسة

خاتمة: نشأت الحاجة إلى الكسور في مرحلة مبكرة جدًا من التطور البشري. في الحياة، لم يكن على الشخص أن يحسب الأشياء فحسب، بل كان عليه أيضًا قياس الكميات. قام الناس بقياس الأطوال ومساحات الأرض والأحجام وكتل الجسم والوقت ودفع ثمن البضائع المشتراة أو المباعة. لم يكن من الممكن دائمًا التعبير عن نتيجة القياس أو تكلفة المنتج بعدد طبيعي. هكذا ظهرت الكسور وقواعد التعامل معها.

الأهمية العملية للعمل:

لقد أتقنت مهارات العمل في محرر النصوص وعملت مع موارد الإنترنت. لقد قمت باختيار مادة لتزيين منصة "الرياضيات من حولنا" في فصل الرياضيات بحقائق مثيرة للاهتمام حول الكسور (الملحق 1). وصمم الموقف (الملحق).

نتيجة للدراسة لقد أكدت الفرضية: لا يستطيع الناس الاستغناء عن الكسور، وبدون الكسور، لا يمكن أن تتطور الرياضيات.

فهرس

Anishchenko E. A. الرقم كمفهوم أساسي للرياضيات. ماريوبول، 2002.

فيلينكين إن.يا.، جوخوف في.إي.، تشيسنوكوف إيه.إس.، شفارتسبورد إس.آي. الرياضيات. الصف الخامس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام/- الطبعة 26، ست. - م: منيموسين، 2009. - 280 ص.

السخان جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة. دليل للمعلمين. - م: التربية، 1981. - 239 ص.

الرياضيات. الصف الخامس: التربوي للتعليم العام. المؤسسات. [سم. نيكولسكي، م.ك.بوتابوف، ن.ن.ريشيتنيكوف، أ.ف. شيفكين]. – الطبعة الحادية عشرة، المنقحة. - م: التربية، 2016. - 272 ص. - (جامعة ولاية ميشيغان - المدرسة).

القاموس الموسوعي الرياضي. - م.، 1988.

الوصول عن بعد إلى الموارد الإلكترونية (الإنترنت)

3. المادة من ويكيبيديا – الموسوعة الحرة. وضع الوصول: http://ru.wikipedia.org/wiki

يقتبس. وضع الوصول: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

التطبيقات

موقف "الرياضيات من حولنا"

جدول "كتابة الكسور في مصر"