ما هي سلسلة الاختلاف في الإحصاء. سلسلة التوزيع والتجمع

متغيرتسمى سلسلة التوزيع المبنية على أساس كمي. قيم الخصائص الكمية في الوحدات الفردية من السكان ليست ثابتة وتختلف أكثر أو أقل عن بعضها البعض.

تفاوت- التقلب والتغير في قيمة الخاصية بين وحدات السكان. متفرق القيم الرقميةتسمى الخصائص الموجودة في المجتمع قيد الدراسة خياراتقيم. إن عدم كفاية القيمة المتوسطة لتوصيف السكان بالكامل يجبرنا على استكمال القيم المتوسطة بمؤشرات تسمح لنا بتقييم نموذجية هذه المتوسطات من خلال قياس التباين (التباين) للخاصية قيد الدراسة.

يرجع وجود التباين إلى تأثير عدد كبير من العوامل على تكوين مستوى السمة. تعمل هذه العوامل بقوة غير متساوية وفي اتجاهات مختلفة. تُستخدم مؤشرات التباين لوصف مقياس تباين السمات.

أهداف الدراسة الإحصائية للتباين:

• 1) دراسة طبيعة ودرجة تباين الخصائص في الوحدات الفردية من السكان؛
• 2) تحديد دور العوامل الفردية أو مجموعاتها في تباين خصائص معينة للسكان.

تستخدم في الإحصاء طرق خاصةدراسات التباين على أساس استخدام نظام المؤشرات، معوالتي يتم من خلالها قياس التباين.

البحث عن الاختلاف مهم. يعد قياس الاختلافات ضروريًا عند إجراء مراقبة العينات وتحليل الارتباط والتباين وما إلى ذلك. إرمولايف أو.يو. إحصائيات الرياضياتلعلماء النفس: كتاب مدرسي [نص]/ O.Yu. إرمولايف. - م: دار نشر فلينت التابعة لمعهد موسكو النفسي والاجتماعي، 2012. - 335 ص.

من خلال درجة التباين يمكن الحكم على تجانس السكان واستقرار القيم الفردية للخصائص ونموذجية المتوسط. وعلى أساسها يتم تطوير مؤشرات قرب العلاقة بين الخصائص ومؤشرات تقييم دقة ملاحظة العينة.

ويفرق بين اختلاف المكان واختلاف الزمان.

يُفهم التباين في الفضاء على أنه تقلب قيم السمات بين الوحدات السكانية التي تمثل المناطق الفردية. يشير التغير الزمني إلى التغيرات في قيم الخاصية خلال فترات زمنية مختلفة.

لدراسة الاختلاف في صفوف التوزيع، يتم ترتيب جميع متغيرات قيم السمات بترتيب تصاعدي أو تنازلي. تسمى هذه العملية ترتيب السلسلة.

أبسط علامات الاختلاف هي الحد الأدنى والحد الأقصى- الأقل و أعلى قيمةعلامات في المجموع. يُطلق على عدد التكرارات للمتغيرات الفردية لقيم الميزة اسم تردد التكرار (fi). من الملائم استبدال الترددات بالترددات - wi. التردد هو مؤشر نسبي للتكرار، والذي يمكن التعبير عنه بأجزاء من الوحدة أو النسبة المئوية ويسمح لك بمقارنة سلسلة التباين بأعداد مختلفة من الملاحظات. يتم التعبير عنها بالصيغة:

حيث Xmax، Xmin هي القيم القصوى والدنيا للخاصية في المجموع؛ ن - عدد المجموعات.

لقياس تباين الخاصية، يتم استخدام مؤشرات مطلقة ونسبية مختلفة. تشمل المؤشرات المطلقة للتباين نطاق التباين ومتوسط ​​الانحراف الخطي والتشتت والانحراف المعياري. تشمل المؤشرات النسبية للتذبذب معامل التذبذب، والانحراف الخطي النسبي، ومعامل الاختلاف.

العثور على مثال سلسلة الاختلاف

يمارس.لهذه العينة:

• أ) العثور على سلسلة الاختلاف؛
• ب) بناء وظيفة التوزيع.

رقم=42. عناصر العينة:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

حل.

• أ) بناء سلسلة التباين المرتبة:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• ب) بناء سلسلة الاختلاف المنفصلة.

لنحسب عدد المجموعات في سلسلة التباين باستخدام صيغة Sturgess:

لنأخذ عدد المجموعات يساوي 7.

وبمعرفة عدد المجموعات نحسب حجم الفاصل الزمني:

لتسهيل إنشاء الجدول، سنأخذ عدد المجموعات يساوي 8، وسيكون الفاصل الزمني 1.

أرز. 1 حجم مبيعات البضائع من قبل المتجر لفترة زمنية معينة

نتيجة لإتقان هذا الفصل يجب على الطالب أن: يعرف

• مؤشرات التباين وعلاقتها؛
• القوانين الأساسية لتوزيع الخصائص؛
• جوهر معايير الموافقة؛ يكون قادرا على
• حساب مؤشرات التباين ومعايير جودة الملاءمة؛
• تحديد خصائص التوزيع.
• تقييم الخصائص العددية الأساسية لسلسلة التوزيع الإحصائي؛

ملك

• طرق التحليل الإحصائي لسلسلة التوزيع.
• أساسيات تحليل التباين.
• تقنيات للتحقق من سلسلة التوزيع الإحصائي للامتثال للقوانين الأساسية للتوزيع.

مؤشرات التباين

في الدراسة الإحصائية لخصائص المجموعات الإحصائية المختلفة، من المهم جدًا دراسة التباين في خاصية الوحدات الإحصائية الفردية للسكان، وكذلك طبيعة توزيع الوحدات وفقًا لهذه الخاصية. تفاوت -وهي اختلافات في القيم الفردية للخاصية بين وحدات السكان محل الدراسة. تعتبر دراسة التباين ذات أهمية عملية كبيرة. ومن خلال درجة التباين، يمكن الحكم على حدود تباين إحدى الخصائص، وتجانس المجتمع لخاصية معينة، ونموذجية المتوسط، والعلاقة بين العوامل التي تحدد التباين. تُستخدم مؤشرات التباين لتوصيف وتنظيم المجموعات الإحصائية.

تمثل نتائج ملخص وتجميع مواد المراقبة الإحصائية، المقدمة في شكل سلسلة توزيع إحصائية، توزيعًا منظمًا لوحدات السكان قيد الدراسة إلى مجموعات وفقًا لمعايير التجميع (المتغيرة). إذا تم أخذ خاصية نوعية كأساس للتجميع، فسيتم استدعاء سلسلة التوزيع هذه عزوي(التوزيع حسب المهنة والجنس واللون وما إلى ذلك). إذا تم إنشاء سلسلة التوزيع على أساس كمي، تسمى هذه السلسلة متغير(التوزيع حسب الطول والوزن والراتب وما إلى ذلك). إن بناء سلسلة تباين يعني تنظيم التوزيع الكمي للوحدات السكانية حسب القيم المميزة، وحساب عدد الوحدات السكانية بهذه القيم (التكرار)، وترتيب النتائج في جدول.

بدلاً من تكرار المتغير، من الممكن استخدام نسبته إلى الحجم الإجمالي للملاحظات، وهو ما يسمى التردد (التردد النسبي).

هناك نوعان من سلسلة التباين: منفصلة وفاصلة. سلسلة منفصلة- هذه سلسلة متغيرة، يعتمد بنائها على خصائص ذات تغير متقطع (خصائص منفصلة). يشمل الأخير عدد الموظفين في المؤسسة وفئة التعريفة وعدد الأطفال في الأسرة وما إلى ذلك. تمثل سلسلة التباين المنفصلة جدولًا يتكون من عمودين. يشير العمود الأول إلى القيمة المحددة للسمة، ويشير العمود الثاني إلى عدد الوحدات في المجتمع بقيمة محددة للسمة. إذا كانت الخاصية لها تغيير مستمر (مبلغ الدخل، ومدة الخدمة، وتكلفة الأصول الثابتة للمؤسسة، وما إلى ذلك، والتي يمكن أن تأخذ أي قيم ضمن حدود معينة)، فمن الممكن بناء هذه الخاصية سلسلة الاختلافات الفاصلة.عند إنشاء سلسلة تباين الفاصل الزمني، يحتوي الجدول أيضًا على عمودين. يشير الأول إلى قيمة السمة في الفاصل الزمني "من - إلى" (الخيارات)، ويشير الثاني إلى عدد الوحدات المضمنة في الفاصل الزمني (التكرار). التردد (تكرار التكرار) - عدد التكرارات لمتغير معين من قيم السمات. يمكن أن تكون الفترات مغلقة أو مفتوحة. الفترات المغلقة محدودة من كلا الجانبين، أي. لها حدود سفلية ("من") وحدود عليا ("إلى"). الفترات المفتوحة لها حد واحد: إما العلوي أو السفلي. إذا تم ترتيب الخيارات بترتيب تصاعدي أو تنازلي، فسيتم استدعاء الصفوف مرتبة.

بالنسبة لسلسلة التباين، هناك نوعان من خيارات استجابة التردد: التردد المتراكم والتردد المتراكم. يوضح التكرار المتراكم عدد الملاحظات التي أخذت فيها قيمة الخاصية قيمًا أقل من قيمة معينة. يتم تحديد التردد التراكمي من خلال جمع القيم التكرارية لخاصية معينة لمجموعة معينة مع جميع ترددات المجموعات السابقة. يميز التردد المتراكم نسبة وحدات المراقبة التي لا تتجاوز قيم خصائصها الحد الأعلى للمجموعة المحددة. وبالتالي، فإن التكرار المتراكم يوضح نسبة الخيارات في المجموع التي لا تزيد قيمتها عن القيمة المعطاة. التردد والتردد والكثافة المطلقة والنسبية والتكرار المتراكم والتردد هي خصائص حجم المتغير.

تتم دراسة التباينات في خصائص الوحدات الإحصائية للسكان وكذلك طبيعة التوزيع باستخدام مؤشرات وخصائص سلسلة التباين والتي تشمل متوسط ​​مستوى السلسلة، متوسط ​​الانحراف الخطي، الانحراف المعياري، التشتت ، معاملات التذبذب، الاختلاف، عدم التماثل، التفرطح، الخ.

يتم استخدام القيم المتوسطة لوصف مركز التوزيع. المتوسط ​​هو خاصية إحصائية عامة يتم من خلالها تحديد المستوى النموذجي للخاصية التي يمتلكها أفراد المجتمع قيد الدراسة. ومع ذلك، قد تكون هناك حالات مصادفة للوسائل الحسابية مع أنماط توزيع مختلفة، لذلك، كخصائص إحصائية لسلسلة التباين، يتم حساب ما يسمى بالوسائل الهيكلية - الوضع، والوسيط، وكذلك الكميات، التي تقسم سلسلة التوزيع إلى متساوية أجزاء (الربعيات، العشريات، النسب المئوية، الخ).

موضة -هذه هي قيمة الخاصية التي تحدث في سلسلة التوزيع أكثر من قيمها الأخرى. بالنسبة للسلسلة المنفصلة، ​​هذا هو الخيار ذو التردد الأعلى. في سلسلة تباين الفاصل الزمني، من أجل تحديد الوضع، من الضروري أولاً تحديد الفاصل الزمني الذي يقع فيه، ما يسمى بالفاصل المشروط. في سلسلة متغيرة بفواصل زمنية متساوية، يتم تحديد الفاصل الزمني المشروط بأعلى تردد، في سلسلة بفواصل زمنية غير متساوية - ولكن بأعلى كثافة توزيع. يتم بعد ذلك استخدام الصيغة لتحديد الوضع في الصفوف على فترات زمنية متساوية

حيث Mo هي قيمة الموضة؛ xMo - الحد الأدنى للفاصل الزمني المشروط؛ ح-عرض الفاصل الزمني المشروط؛ / مو - تردد الفاصل الزمني. / Mo j هو تردد الفاصل الزمني الأولي؛ / Mo+1 هو تكرار الفاصل الزمني ما بعد الوسائط، وبالنسبة لسلسلة ذات فترات زمنية غير متساوية في صيغة الحساب هذه، بدلاً من الترددات / Mo، / Mo، / Mo، يجب استخدام كثافات التوزيع عقل 0 _| , عقل 0> أومو+"

إذا كان هناك وضع واحد، ثم التوزيع الاحتمالي متغير عشوائيتسمى أحادية الواسطة؛ إذا كان هناك أكثر من وضع واحد، فإنه يسمى متعدد الوسائط (متعدد الوسائط، متعدد الوسائط)، في حالة وضعين - ثنائي الوسائط. وكقاعدة عامة، يشير تعدد الوسائط إلى أن التوزيع قيد الدراسة لا يخضع للقانون التوزيع الطبيعي. تتميز المجموعات المتجانسة، كقاعدة عامة، بتوزيعات أحادية الرأس. يشير Multivertex أيضًا إلى عدم تجانس السكان قيد الدراسة. إن ظهور رأسين أو أكثر يجعل من الضروري إعادة تجميع البيانات من أجل تحديد مجموعات أكثر تجانساً.

في سلسلة تباين الفاصل الزمني، يمكن تحديد الوضع بيانيًا باستخدام الرسم البياني. للقيام بذلك، ارسم خطين متقاطعين من النقاط العليا لأعلى عمود في الرسم البياني إلى النقاط العليا في عمودين متجاورين. ثم، من نقطة تقاطعهما، يتم إنزال عمودي على محور الإحداثي السيني. قيمة الميزة على المحور السيني المقابل للخط المتعامد هي الوضع. في كثير من الحالات، عند وصف مجموعة سكانية كمؤشر معمم، يتم إعطاء الأفضلية للوضع بدلاً من المتوسط ​​الحسابي.

الوسيط -هذه هي القيمة المركزية للسمة، ويمتلكها العضو المركزي في سلسلة التوزيع المرتبة. في السلسلة المنفصلة، ​​للعثور على قيمة الوسيط، يتم تحديد رقمه التسلسلي أولاً. للقيام بذلك، إذا كان عدد الوحدات فرديًا، تتم إضافة وحدة واحدة إلى مجموع جميع التكرارات، ويتم تقسيم الرقم على اثنين. إذا كان هناك عدد زوجي من الوحدات في صف واحد، فسيكون هناك وحدتان متوسطتان، لذلك في هذه الحالة يتم تعريف الوسيط على أنه متوسط ​​قيم الوحدتين الوسيطتين. وبالتالي، فإن الوسيط في سلسلة التباين المنفصلة هو القيمة التي تقسم السلسلة إلى جزأين يحتويان على نفس عدد الخيارات.

في سلسلة الفاصل الزمني، بعد تحديد الرقم التسلسلي للوسيط، يتم العثور على الفاصل الزمني الوسيط باستخدام التكرارات المتراكمة (الترددات)، ثم باستخدام صيغة حساب الوسيط، يتم تحديد قيمة الوسيط نفسه:

حيث Me هي القيمة المتوسطة؛ × أنا -الحد الأدنى للفاصل الزمني المتوسط؛ ح-عرض الفاصل الزمني المتوسط؛ - مجموع ترددات سلسلة التوزيع؛ /D - التكرار المتراكم للفاصل الزمني المتوسط؛ / أنا - تردد الفاصل الزمني المتوسط.

يمكن العثور على الوسيط بيانياً باستخدام التراكم. للقيام بذلك، على مقياس الترددات المتراكمة (الترددات)، يتراكم من النقطة المقابلة ل رقم سريالوسيط، يتم رسم خط مستقيم موازٍ لمحور الإحداثي السيني حتى يتقاطع مع التراكم. بعد ذلك، من نقطة تقاطع الخط المشار إليه مع التراكم، يتم تخفيض عمودي على محور الإحداثي السيني. قيمة السمة على المحور السيني المقابل للإحداثي المرسوم (المتعامد) هي الوسيط.

يتميز الوسيط بالخصائص التالية.

• 1. لا يعتمد على قيم السمات الموجودة على جانبيه.
• 2. لها خاصية التصغير، مما يعني أن مجموع الانحرافات المطلقة لقيم السمات عن الوسيط يمثل قيمة دنيا مقارنة بانحراف قيم السمات عن أي قيمة أخرى.
• 3. عند الجمع بين توزيعين بمتوسطات معروفة، من المستحيل التنبؤ مسبقًا بقيمة متوسط ​​التوزيع الجديد.

تُستخدم خصائص الوسيط هذه على نطاق واسع عند تصميم موقع نقاط الخدمة العامة - المدارس والعيادات ومحطات الوقود ومضخات المياه وما إلى ذلك. على سبيل المثال، إذا كان من المخطط بناء عيادة في مبنى معين من المدينة، فسيكون من الأفضل تحديد موقعها في نقطة في المبنى لا تقلل من طول المبنى إلى النصف، بل عدد السكان.

تشير نسبة الوضع والوسيط والمتوسط ​​الحسابي إلى طبيعة توزيع الخاصية في المجموع وتسمح لنا بتقييم تماثل التوزيع. لو x Me ثم هناك عدم تناسق في الجانب الأيمن من السلسلة. مع التوزيع الطبيعي X -مذكرة.

قرر K. Pearson، استنادًا إلى محاذاة أنواع مختلفة من المنحنيات، أنه بالنسبة للتوزيعات غير المتماثلة إلى حد ما، تكون العلاقات التقريبية التالية بين المتوسط ​​الحسابي والوسيط والوضع صالحة:

حيث Me هي القيمة المتوسطة؛ مو - معنى الموضة؛ حساب x - قيمة الوسط الحسابي.

إذا كانت هناك حاجة لدراسة بنية سلسلة التباين بمزيد من التفصيل، فاحسب القيم المميزة المشابهة للوسيط. تقسم هذه القيم المميزة جميع وحدات التوزيع إلى أعداد متساوية، تسمى الكميات أو التدرجات. يتم تقسيم الكميات إلى ربعيات، عشرية، نسب مئوية، الخ.

تقسم الربعات السكان إلى أربعة أجزاء متساوية. يتم حساب الربع الأول بشكل مشابه للوسيط باستخدام صيغة حساب الربع الأول، بعد تحديد الفاصل الربع سنوي الأول مسبقًا:

حيث Qi هي قيمة الربع الأول؛ سس^-الحد الأدنى لنطاق الربع الأول؛ ح- عرض فترة الربع الأول؛ /، - ترددات السلسلة الفاصلة؛

التكرار التراكمي في الفترة التي تسبق الفاصل الربعي الأول؛ Jq ( - تردد الفاصل الربعي الأول.

ويبين الربع الأول أن 25% من الوحدات السكانية أقل من قيمتها، و75% أكثر. الربع الثاني يساوي الوسيط، أي. س2=أنا.

على سبيل القياس، يتم حساب الربع الثالث، بعد العثور على الفاصل الزمني الربع سنوي الثالث لأول مرة:

أين هو الحد الأدنى لنطاق الربع الثالث؛ ح- عرض الفاصل الربعي الثالث؛ /، - ترددات السلسلة الفاصلة؛ /X" -التردد المتراكم في الفترة السابقة

ز

الفاصل الربعي الثالث؛ Jq هو تكرار الفاصل الربعي الثالث.

ويبين الربع الثالث أن 75% من الوحدات السكانية أقل من قيمتها، و25% أكثر.

الفرق بين الربعين الثالث والأول هو المدى الربيعي:

حيث Aq هي قيمة المدى الربيعي؛ س 3 -القيمة الربعية الثالثة؛ Q هي قيمة الربع الأول.

العشريات تقسم السكان إلى 10 أجزاء متساوية. العشري هو قيمة إحدى الخصائص في سلسلة التوزيع التي تتوافق مع أعشار حجم السكان. وقياساً على الأرباع، يظهر العُشر الأول أن 10% من الوحدات السكانية أقل من قيمتها، و90% أكبر، ويكشف العُشر التاسع أن 90% من الوحدات السكانية أقل من قيمتها، و10% أقل من قيمتها. أكبر. نسبة العشرية التاسعة والأولى، أي. يستخدم المعامل العشري على نطاق واسع في دراسة تمايز الدخل لقياس نسبة مستويات الدخل لـ 10٪ الأكثر ثراءً و 10٪ من السكان الأقل ثراءً. تقسم النسب المئوية السكان المصنفين إلى 100 جزء متساوٍ. يشبه حساب النسب المئوية ومعناها وتطبيقها العشيرية.

يمكن تحديد الربعيات والعشريات والخصائص الهيكلية الأخرى بيانياً عن طريق القياس مع الوسيط باستخدام التراكمات.

لقياس حجم التباين يتم استخدام المؤشرات التالية: مدى التباين، متوسط ​​الانحراف الخطي، الانحراف المعياري، التشتت. يعتمد حجم نطاق التباين كليًا على عشوائية توزيع الأعضاء المتطرفين في السلسلة. يعد هذا المؤشر مهمًا في الحالات التي يكون فيها من المهم معرفة مدى التقلبات في قيم الخاصية:

أين ص-قيمة نطاق الاختلاف. x max - الحد الأقصى لقيمة السمة؛ س تي تي -الحد الأدنى لقيمة السمة.

عند حساب نطاق التباين، لا تؤخذ في الاعتبار قيمة الغالبية العظمى من أعضاء السلسلة، بينما يرتبط التباين بكل قيمة لعضو السلسلة. المؤشرات التي هي متوسطات تم الحصول عليها من انحرافات القيم الفردية للخاصية عن قيمتها المتوسطة لا تحتوي على هذا العيب: متوسط ​​الانحراف الخطي والانحراف المعياري. هناك علاقة مباشرة بين الانحرافات الفردية عن المتوسط ​​وتباين سمة معينة. كلما كان التقلب أقوى، كلما زاد الحجم المطلق للانحرافات عن المتوسط.

متوسط ​​الانحراف الخطي هو الوسط الحسابي للقيم المطلقة لانحرافات الخيارات الفردية عن قيمتها المتوسطة.

متوسط ​​الانحراف الخطي للبيانات غير المجمعة

حيث /pr هي قيمة متوسط ​​الانحراف الخطي؛ x، - هي قيمة السمة؛ X - ف -عدد الوحدات في السكان.

متوسط ​​الانحراف الخطي للسلسلة المجمعة

حيث / vz - قيمة متوسط ​​الانحراف الخطي؛ x، هي قيمة السمة؛ X -متوسط ​​قيمة الخاصية للمجتمع الذي تتم دراسته؛ / - عدد الوحدات السكانية في مجموعة منفصلة.

وفي هذه الحالة يتم تجاهل علامات الانحرافات، وإلا فإن مجموع الانحرافات سيكون مساوياً للصفر. يتم حساب متوسط ​​الانحراف الخطي، اعتمادًا على تجميع البيانات التي تم تحليلها، باستخدام صيغ مختلفة: للبيانات المجمعة وغير المجمعة. نادرًا ما يستخدم متوسط ​​​​الانحراف الخطي، بسبب مشروطيته، بشكل منفصل عن مؤشرات التباين الأخرى، في الممارسة العملية (على وجه الخصوص، لوصف الوفاء بالالتزامات التعاقدية لتوحيد التسليم؛ في تحليل رقم الأعمال التجارة الخارجية، تكوين العمال، إيقاع الإنتاج، جودة المنتج مع مراعاة الميزات التكنولوجية للإنتاج، وما إلى ذلك).

يميز الانحراف المعياري مدى انحراف القيم الفردية للخاصية التي تتم دراستها في المتوسط ​​عن متوسط ​​قيمة السكان، ويتم التعبير عنه بوحدات قياس الخاصية التي تتم دراستها. الانحراف المعياري، كونه أحد المقاييس الرئيسية للتباين، يستخدم على نطاق واسع في تقييم حدود تباين خاصية ما في مجتمع متجانس، وفي تحديد القيم الإحداثية لمنحنى التوزيع الطبيعي، وكذلك في الحسابات المتعلقة تنظيم مراقبة العينة وتحديد دقة خصائص العينة. يتم حساب الانحراف المعياري للبيانات غير المجمعة باستخدام الخوارزمية التالية: يتم تربيع كل انحراف عن الوسط، ويتم جمع جميع المربعات، وبعد ذلك يتم قسمة مجموع المربعات على عدد حدود السلسلة ويتم استخراج الجذر التربيعي من حاصل القسمة:

حيث Iip هي قيمة الانحراف المعياري؛ XJ-قيمة السمة؛ X- متوسط ​​قيمة الخاصية بالنسبة للمجتمع الذي تتم دراسته؛ ف -عدد الوحدات في السكان.

بالنسبة للبيانات المجمعة التي تم تحليلها، يتم حساب الانحراف المعياري للبيانات باستخدام الصيغة المرجحة

أين - قيمة الانحراف المعياري XJ-قيمة السمة؛ X -متوسط ​​قيمة الخاصية للمجتمع الذي تتم دراسته؛ و س -عدد الوحدات السكانية في مجموعة معينة.

ويسمى التعبير الموجود تحت الجذر في كلتا الحالتين بالتباين. وبالتالي، يتم حساب التشتت على أنه متوسط ​​مربع انحرافات قيم السمات عن قيمتها المتوسطة. بالنسبة لقيم السمات غير المرجحة (البسيطة)، يتم تحديد التباين على النحو التالي:

للقيم المميزة المرجحة

هناك أيضًا طريقة مبسطة خاصة لحساب التباين: بشكل عام

للقيم المميزة غير الموزونة (البسيطة). للقيم المميزة المرجحة
باستخدام الطريقة الصفرية

حيث 2 هي قيمة التشتت؛ x، - هي قيمة السمة؛ X -متوسط ​​قيمة الخاصية، ح-قيمة الفاصل الزمني للمجموعة, ر 1 -الوزن (أ=

للتشتت تعبيره الخاص في الإحصائيات وهو أحد أهم مؤشرات التباين. ويتم قياسها بالوحدات المقابلة لمربع وحدات قياس الخاصية محل الدراسة.

التشتت لديه الخصائص التالية.

• 1. التباين قيمة ثابتةيساوي الصفر.
• 2. تخفيض جميع قيم الخاصية بنفس القيمة A لا يغير قيمة التشتت. وهذا يعني أنه لا يمكن حساب متوسط ​​مربع الانحرافات من قيم معينة لخاصية معينة، ولكن من انحرافاتها عن بعض الأرقام الثابتة.
• 3. تقليل أي قيم مميزة في كمرات يقلل من التشتت بواسطة كمرتين، والانحراف المعياري موجود كمرات، أي. يمكن تقسيم جميع قيم السمة على رقم ثابت (على سبيل المثال، على قيمة الفاصل الزمني للسلسلة)، ويمكن حساب الانحراف المعياري، ثم ضربه في رقم ثابت.
• 4. إذا قمنا بحساب متوسط ​​مربع الانحرافات عن أي قيمة ويختلف بدرجة أو بأخرى عن الوسط الحسابي، فسيكون دائمًا أكبر من متوسط ​​مربع الانحرافات المحسوبة من الوسط الحسابي. سيكون متوسط ​​مربع الانحرافات أكبر بمقدار معين جدًا - بمربع الفرق بين المتوسط ​​وهذه القيمة المأخوذة تقليديًا.

يتمثل تباين الخاصية البديلة في وجود أو عدم وجود الخاصية المدروسة في وحدات من السكان. من الناحية الكمية، يتم التعبير عن تباين السمة البديلة بقيمتين: يُشار إلى وجود وحدة من الخاصية المدروسة بالواحد (1)، ويشار إلى غيابها بالصفر (0). نسبة الوحدات التي يوجد بها العقار قيد الدراسة يُرمز لها بالرمز P، ونسبة الوحدات التي لا يوجد بها هذا العقار يُرمز لها بالرمز P ز.وبالتالي فإن تباين صفة بديلة يساوي حاصل ضرب نسبة الوحدات التي تمتلك هذه الخاصية (P) في نسبة الوحدات التي لا تمتلك هذه الخاصية (ز).ويتحقق التباين الأكبر في عدد السكان في الحالات التي يكون فيها جزء من السكان، يشكل 50% من الحجم الإجمالي للسكان، يتمتع بهذه الخاصية، وجزء آخر من السكان، يساوي أيضًا 50%، لا يتمتع بهذه الخاصية، ويصل التشتت إلى قيمة قصوى تبلغ 0.25، t .e. ف = 0.5، ز= 1 - ف = 1 - 0.5 = 0.5 و س 2 = 0.5 0.5 = 0.25. الحد الأدنى لهذا المؤشر هو صفر، وهو ما يتوافق مع الحالة التي لا يوجد فيها اختلاف في المجموع. الاستخدام العملييتكون تباين الخاصية البديلة من بناء فترات الثقة عند إجراء ملاحظة العينة.

كلما كان التباين والانحراف المعياري أصغر، كلما كان المجتمع أكثر تجانسًا وكان المتوسط ​​أكثر نموذجية. في ممارسة الإحصاء، غالبًا ما تكون هناك حاجة لمقارنة الاختلافات في الخصائص المختلفة. على سبيل المثال، من المثير للاهتمام مقارنة الاختلافات في عمر العمال ومؤهلاتهم، ومدة الخدمة والأجور، والتكلفة والأرباح، وطول الخدمة وإنتاجية العمل، وما إلى ذلك. بالنسبة لمثل هذه المقارنات، فإن مؤشرات التباين المطلق للخصائص غير مناسبة: فمن المستحيل مقارنة تقلب خبرة العمل، المعبر عنها بالسنوات، مع تباين الأجور، المعبر عنها بالروبل. لإجراء مثل هذه المقارنات، وكذلك مقارنات التباين لنفس الخاصية في العديد من المجموعات السكانية ذات المتوسطات الحسابية المختلفة، يتم استخدام مؤشرات التباين - معامل التذبذب، ومعامل التباين الخطي ومعامل التباين، والتي توضح المقياس من تقلبات القيم المتطرفة حول المتوسط.

معامل التذبذب:

أين في آر -قيمة معامل التذبذب ر- قيمة نطاق الاختلاف؛ X -

معامل التباين الخطي".

أين Vj-قيمة المعامل الخطي للاختلاف. أنا -قيمة متوسط ​​الانحراف الخطي. X -متوسط ​​قيمة الخاصية للمجتمع محل الدراسة.

معامل الاختلاف:

أين الخامس أ -معامل قيمة الاختلاف. أ هي قيمة الانحراف المعياري؛ X -متوسط ​​قيمة الخاصية للمجتمع محل الدراسة.

معامل التذبذب هو النسبة المئوية لمدى التباين إلى متوسط ​​قيمة الخاصية محل الدراسة، ومعامل التباين الخطي هو نسبة متوسط ​​الانحراف الخطي إلى متوسط ​​قيمة الخاصية محل الدراسة، ويعبر عنه بـ نسبة مئوية. معامل الاختلاف هو نسبة الانحراف المعياري إلى متوسط ​​قيمة الخاصية محل الدراسة. كقيمة نسبية، يتم التعبير عنها كنسبة مئوية، يتم استخدام معامل التباين لمقارنة درجة التباين في الخصائص المختلفة. باستخدام معامل الاختلاف، يتم تقييم تجانس السكان الإحصائيين. وإذا كان معامل التباين أقل من 33% فإن المجتمع محل الدراسة متجانس والتباين ضعيف. إذا كان معامل التباين أكثر من 33%، فإن المجتمع قيد الدراسة غير متجانس، والتباين قوي، والقيمة المتوسطة غير نمطية ولا يمكن استخدامها كمؤشر عام لهذه السكان. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام معاملات الاختلاف لمقارنة تباين خاصية واحدة في مجاميع مختلفة. على سبيل المثال، لتقييم التباين في مدة خدمة العمال في مؤسستين. كلما ارتفعت قيمة المعامل، كلما كان التباين في الخاصية أكثر أهمية.

واستنادًا إلى الربعيات المحسوبة، من الممكن أيضًا حساب المؤشر النسبي للتغير ربع السنوي باستخدام الصيغة

حيث س 2 و

يتم تحديد النطاق الربيعي بواسطة الصيغة

يتم استخدام الانحراف الربعي بدلاً من نطاق التباين لتجنب العيوب المرتبطة باستخدام القيم المتطرفة:

بالنسبة لسلسلة تباين الفترات غير المتكافئة، يتم حساب كثافة التوزيع أيضًا. يتم تعريفه على أنه حاصل قسمة التردد أو التردد المقابل على قيمة الفاصل الزمني. في سلسلة الفواصل غير المتساوية، يتم استخدام كثافات التوزيع المطلقة والنسبية. كثافة التوزيع المطلقة هي التكرار لكل وحدة طول الفاصل الزمني. كثافة التوزيع النسبية - التردد لكل وحدة طول الفاصل الزمني.

كل ما سبق ينطبق على سلسلة التوزيع التي يوصف قانون التوزيع بشكل جيد بقانون التوزيع الطبيعي أو قريب منه.

تسمح لك طريقة التجميع أيضًا بالقياس تفاوت(التقلب والتقلب) من العلامات. عندما يكون عدد الوحدات في مجتمع ما صغيرًا نسبيًا، يتم قياس التباين بناءً على العدد المصنف للوحدات التي يتكون منها المجتمع. السلسلة تسمى مرتبة,إذا تم ترتيب الوحدات بترتيب تصاعدي (تنازلي) للخاصية.

ومع ذلك، فإن السلاسل المصنفة تعتبر إرشادية تمامًا عندما يكون ذلك ضروريًا الخصائص المقارنةالاختلافات. بالإضافة إلى ذلك، يتعين علينا في كثير من الحالات أن نتعامل مع مجموعات إحصائية تتكون من عدد كبير من الوحدات، والتي يصعب عمليًا تمثيلها في شكل سلسلة محددة. في هذا الصدد، من أجل التعرف العام الأولي على البيانات الإحصائية وخاصة لتسهيل دراسة التباين في الخصائص، عادة ما يتم دمج الظواهر والعمليات قيد الدراسة في مجموعات، ويتم عرض نتائج التجميع في شكل جداول جماعية.

إذا كان جدول المجموعة يحتوي على عمودين فقط - مجموعات حسب الخاصية المحددة (الخيارات) وعدد المجموعات (التكرار أو التكرار)، فإنه يسمى بالقرب من التوزيع.

نطاق التوزيع -أبسط نوع من التجميع الهيكلي يعتمد على خاصية واحدة، ويتم عرضه في جدول مجموعة بعمودين يحتويان على متغيرات وتكرارات الخاصية. في كثير من الحالات، مع مثل هذا التجمع الهيكلي، أي. ومع تجميع سلسلة التوزيع، تبدأ دراسة المادة الإحصائية الأولية.

يمكن تحويل التجميع الهيكلي في شكل سلسلة توزيع إلى تجميع هيكلي حقيقي إذا كانت المجموعات المختارة تتميز ليس فقط بالتكرارات، ولكن أيضًا بمؤشرات إحصائية أخرى. الغرض الرئيسي من سلسلة التوزيع هو دراسة تباين الخصائص. تم تطوير نظرية سلسلة التوزيع بالتفصيل عن طريق الإحصاء الرياضي.

وتنقسم سلسلة التوزيع إلى عزوي(التجميع وفقًا للخصائص المنسوبة، على سبيل المثال، تقسيم السكان حسب الجنس والجنسية والحالة الاجتماعية وما إلى ذلك) و متغير(التجميع حسب الخصائص الكمية).

سلسلة الاختلافهو جدول مجموعات يحتوي على عمودين: تجميع الوحدات حسب خاصية كمية واحدة وعدد الوحدات في كل مجموعة. عادة ما تكون الفواصل الزمنية في سلسلة التباين متساوية ومغلقة. سلسلة الاختلاف هي المجموعة التالية للسكان الروس حسب متوسط ​​​​نصيب الفرد من الدخل النقدي (الجدول 3.10).

الجدول 3.10

توزيع سكان روسيا حسب متوسط ​​دخل الفرد في الفترة 2004-2009.

المجموعات السكانية حسب متوسط ​​دخل الفرد النقدي، فرك/شهر	عدد السكان في المجموعة، % من الإجمالي
8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
أكثر من 25,000.0
مجموع السكان

تنقسم سلسلة التباين بدورها إلى منفصلة وفاصلة. منفصلةتجمع سلسلة التباين بين متغيرات الخصائص المنفصلة التي تختلف ضمن حدود ضيقة. مثال على سلسلة التباين المنفصلة هو التوزيع عائلات روسيةحسب عدد الاطفال المتاحين

فاصلةتجمع سلسلة التباين بين متغيرات الخصائص المستمرة أو الخصائص المنفصلة التي تختلف على نطاق واسع. الفاصل الزمني هو سلسلة التباين لتوزيع السكان الروس حسب متوسط ​​​​نصيب الفرد من الدخل النقدي.

لا يتم استخدام سلسلة التباين المنفصلة في كثير من الأحيان في الممارسة العملية. وفي الوقت نفسه، تجميعها ليس بالأمر الصعب، حيث يتم تحديد تكوين المجموعات من خلال المتغيرات المحددة التي تمتلكها بالفعل خصائص التجميع المدروسة.

تعد سلسلة الاختلافات الفاصلة أكثر انتشارًا. عند تجميعها، ينشأ هناك مسألة معقدةحول عدد المجموعات، وكذلك حجم الفواصل الزمنية التي ينبغي إنشاؤها.

تم توضيح مبادئ حل هذه المشكلة في الفصل الخاص بمنهجية بناء المجموعات الإحصائية (انظر الفقرة 3.3).

سلسلة التباين هي وسيلة لانهيار أو ضغط المعلومات المتنوعة في شكل مضغوط، ويمكن من خلالها إصدار حكم واضح إلى حد ما حول طبيعة التباين، ودراسة الاختلافات في خصائص الظواهر المضمنة في المجموعة قيد الدراسة. لكن الأهمية الأكثر أهمية لسلسلة التباين هي أنه على أساسها يتم حساب الخصائص العامة الخاصة للتباين (انظر الفصل 7).

سلسلة التوزيع الإحصائي– هذا هو التوزيع المنظم للوحدات السكانية إلى مجموعات وفقًا لخصائص معينة ومتغيرة.
اعتمادا على الخاصية الكامنة وراء تشكيل سلسلة التوزيع، هناك سلسلة التوزيع السمة والمتغيرة.

إن وجود صفة مشتركة هو أساس تكوين المجتمع الإحصائي الذي يمثل نتائج الوصف أو القياس السمات المشتركةكائنات البحث.

موضوع الدراسة في الإحصاء هو تغيير (متغير) الخصائص أو الخصائص الإحصائية.

أنواع الخصائص الإحصائية.

تسمى سلسلة التوزيع المنسوبةبنيت وفقا لمعايير الجودة. عزوي– هذه علامة لها اسم (مثلاً المهنة: خياطة، معلمة، إلخ).
وعادة ما يتم تقديم سلسلة التوزيع في شكل جداول. في الجدول 2.8 يوضح سلسلة توزيع السمات.
الجدول 2.8 - توزيع أنواع المساعدة القانونية التي يقدمها المحامون لمواطني إحدى مناطق الاتحاد الروسي.

سلسلة الاختلاف– هذه هي قيم الخاصية (أو فترات القيم) وتردداتها.
سلسلة الاختلاف هي سلسلة التوزيع، مبنية على أساس كمي. تتكون أي سلسلة متغيرة من عنصرين: الخيارات والترددات.
تعتبر المتغيرات هي القيم الفردية للخاصية التي تأخذها في سلسلة التباين.
الترددات هي أعداد المتغيرات الفردية أو كل مجموعة من سلسلة الاختلافات، أي. هذه أرقام توضح عدد مرات ظهور خيارات معينة في سلسلة التوزيع. يحدد مجموع جميع الترددات حجم السكان بأكمله وحجمهم.
التكرارات هي التكرارات التي يتم التعبير عنها كأجزاء من الوحدة أو كنسبة مئوية من الإجمالي. وعليه فإن مجموع التكرارات يساوي 1 أو 100%. تسمح سلسلة الاختلافات بتقدير شكل قانون التوزيع بناءً على البيانات الفعلية.

اعتمادا على طبيعة الاختلاف في السمة، هناك سلسلة الاختلاف المنفصلة والفاصلة.
ويرد في الجدول مثال على سلسلة التباين المنفصلة. 2.9.
الجدول 2.9 - توزيع الأسر حسب عدد الغرف المشغولة في الشقق الفردية في عام 1989 في الاتحاد الروسي.

يعرض العمود الأول من الجدول خيارات لسلسلة تباينات منفصلة، ​​ويحتوي العمود الثاني على ترددات سلسلة التباين، ويحتوي العمود الثالث على مؤشرات التكرار.

سلسلة الاختلاف

في سكانويجري التحقيق في سمة كمية معينة. ويتم استخراج عينة حجمية منه بشكل عشوائي نأي أن عدد عناصر العينة يساوي ن. في المرحلة الأولى من المعالجة الإحصائية تتراوحالعينات، أي. ترتيب الأرقام س 1 , س 2 , …, س نتصاعدي. كل قيمة ملحوظة × طمُسَمًّى خيار. تكرار م طهو عدد ملاحظات القيمة × طفي العينة. التردد النسبي(تكرار) ث طهي نسبة التردد م طلحجم العينة ن: .
عند دراسة سلسلة التباين، يتم أيضًا استخدام مفاهيم التردد المتراكم والتكرار المتراكم. يترك سبعض العدد. ثم عدد الخيارات , التي تكون قيمها أقل س، يسمى التردد المتراكم: لـ x i نويسمى التردد المتراكم ث ط ماكس.
تسمى الخاصية متغيرًا منفصلاً إذا كانت قيمها الفردية (المتغيرات) تختلف عن بعضها البعض بقيمة محدودة معينة (عادةً ما تكون عددًا صحيحًا). تسمى سلسلة التباين لهذه الخاصية بسلسلة التباين المنفصلة.

الجدول 1. منظر عام لسلسلة ترددات التباين المنفصلة

القيم المميزة	× ط	× 1	× 2	…	س ن
الترددات	م ط	م 1	م 2	…	م ن

تسمى الخاصية متغيرة باستمرار إذا كانت قيمها تختلف عن بعضها البعض بمقدار صغير اعتباطيا، أي. يمكن أن تأخذ الإشارة أي قيمة في فترة زمنية معينة. تسمى سلسلة التباين المستمرة لمثل هذه الخاصية بالفاصل الزمني.

الجدول 2. منظر عام لسلسلة تباين الفاصل الزمني للترددات

الجدول 3. الصور الرسومية لسلسلة الاختلاف

صف	مضلع أو رسم بياني		وظيفة التوزيع التجريبية
منفصلة
فاصلة

ومن خلال مراجعة نتائج الملاحظات، يتم تحديد عدد القيم المتغيرة التي تقع في كل فترة زمنية محددة. ومن المفترض أن كل فاصل ينتمي إلى أحد طرفيه: إما في جميع الحالات إلى اليسار (في أغلب الأحيان) أو في جميع الحالات إلى اليمين، والترددات أو الترددات توضح عدد الخيارات الواردة ضمن الحدود المحددة. اختلافات أنا - أنا +1تسمى فترات جزئية. لتبسيط الحسابات اللاحقة، يمكن استبدال سلسلة تباين الفاصل الزمني بسلسلة منفصلة مشروطة. في هذه الحالة، القيمة المتوسطة أنا-يتم أخذ الفاصل الزمني كخيار × ط، وتردد الفاصل الزمني المقابل م ط- لتكرار هذه الفترة.
للتمثيل الرسومي لسلسلة التباين، الأكثر استخدامًا هي المضلع والرسم البياني والمنحنى التراكمي ووظيفة التوزيع التجريبي.

في الجدول 2.3 (تجميع السكان الروس حسب متوسط ​​دخل الفرد في أبريل 1994) معروض سلسلة الاختلافات الفاصلة.
من السهل تحليل سلسلة التوزيع باستخدام صورة رسومية، مما يسمح للمرء بالحكم على شكل التوزيع. يتم تقديم تمثيل مرئي لطبيعة التغيرات في ترددات سلسلة التباين بواسطة المضلع والرسم البياني.
يتم استخدام المضلع عند تصوير سلسلة التباين المنفصلة.
دعونا، على سبيل المثال، نرسم بيانيًا توزيع مخزون المساكن حسب نوع الشقة (الجدول 2.10).
الجدول 2.10 - توزيع مخزون المساكن في المنطقة الحضرية حسب نوع الشقة (أرقام مشروطة).

أرز. منطقة توزيع المساكن

ليس فقط قيم التردد، ولكن أيضًا ترددات سلسلة التباين يمكن رسمها على المحاور الإحداثية.
يتم استخدام الرسم البياني لتصوير سلسلة تباين الفاصل الزمني. عند إنشاء الرسم البياني، يتم رسم قيم الفواصل الزمنية على محور الإحداثي السيني، ويتم تصوير الترددات بواسطة مستطيلات مبنية على الفواصل الزمنية المقابلة. يجب أن يكون ارتفاع الأعمدة في حالة الفترات المتساوية متناسبا مع الترددات. الرسم البياني هو رسم بياني يتم فيه تصوير سلسلة كأشرطة مجاورة لبعضها البعض.
دعونا نصور بيانيا سلسلة التوزيع الفاصلة الواردة في الجدول. 2.11.
الجدول 2.11 - توزيع الأسر حسب حجم مساحة المعيشة للشخص الواحد (أرقام مشروطة).

ن ص / ص	مجموعات العائلات حسب حجم مساحة المعيشة للشخص الواحد	عدد الأسر التي لديها حجم معين من مساحة المعيشة	العدد التراكمي للعائلات
1	3 – 5	10	10
2	5 – 7	20	30
3	7 – 9	40	70
4	9 – 11	30	100
5	11 – 13	15	115
المجموع		115	----

أرز. 2.2. رسم بياني لتوزيع الأسر حسب حجم مساحة المعيشة للشخص الواحد

باستخدام بيانات السلسلة المتراكمة (الجدول 2.11)، نقوم بالبناء التوزيع التراكمي.

أرز. 2.3. التوزيع التراكمي للأسر حسب حجم مساحة المعيشة للشخص الواحد

يعد تمثيل سلسلة التباين في شكل تراكم فعالًا بشكل خاص لسلاسل التباين التي يتم التعبير عن تردداتها ككسور أو نسب مئوية من مجموع ترددات السلسلة.
إذا قمنا بتغيير المحاور عند تصوير سلسلة التباين بيانياً في شكل تراكمات، فسنحصل على ذلك ogiva. في التين. يُظهر الشكل 2.4 ogive تم إنشاؤها على أساس البيانات الواردة في الجدول. 2.11.
يمكن تحويل الرسم البياني إلى مضلع توزيع من خلال إيجاد نقاط منتصف جوانب المستطيلات ثم ربط هذه النقاط بخطوط مستقيمة. يظهر مضلع التوزيع الناتج في الشكل. 2.2 بخط منقط.
عند إنشاء رسم بياني لتوزيع سلسلة التباين بفواصل زمنية غير متساوية، فليست الترددات هي التي يتم رسمها على طول المحور الإحداثي، ولكن كثافة توزيع الخاصية في الفواصل الزمنية المقابلة.
كثافة التوزيع هي التردد المحسوب لكل وحدة عرض الفاصل الزمني، أي. كم عدد الوحدات في كل مجموعة لكل وحدة قيمة الفاصل. ويرد في الجدول مثال لحساب كثافة التوزيع. 2.12.
الجدول 2.12 - توزيع المؤسسات حسب عدد الموظفين (أرقام مشروطة)

ن ص / ص	مجموعات الشركات حسب عدد الموظفين والأشخاص.	عدد المؤسسات	حجم الفاصل الزمني، والناس.	كثافة التوزيع
	أ	1	2	3=1/2
1	ما يصل إلى 20	15	20	0,75
2	20 – 80	27	60	0,25
3	80 – 150	35	70	0,5
4	150 – 300	60	150	0,4
5	300 – 500	10	200	0,05
	المجموع	147	----	----

يمكن استخدامه أيضًا لتمثيل سلسلة التباين بيانيًا المنحنى التراكمي. باستخدام التراكم (منحنى المجموع)، يتم تصوير سلسلة من الترددات المتراكمة. يتم تحديد التكرارات التراكمية من خلال جمع التكرارات بشكل تسلسلي عبر المجموعات وإظهار عدد الوحدات في المجتمع التي لها قيم سمات لا تزيد عن القيمة قيد النظر.

أرز. 2.4. أوجي توزيع الأسر حسب حجم مساحة المعيشة للشخص الواحد

عند إنشاء تراكمات سلسلة تباين الفاصل الزمني، يتم رسم متغيرات السلسلة على طول محور الإحداثي، ويتم رسم الترددات المتراكمة على طول المحور الإحداثي.

سلسلة التباين المستمر

سلسلة التباين المستمر - سلسلة مبنية على أساس خاصية إحصائية كمية. مثال. كان متوسط ​​مدة مرض المدانين (أيام للشخص الواحد) في فترة الخريف والشتاء هذا العام:

7,0	6,0	5,9	9,4	6,5	7,3	7,6	9,3	5,8	7,2
7,1	8,3	7,5	6,8	7,1	9,2	6,1	8,5	7,4	7,8
10,2	9,4	8,8	8,3	7,9	9,2	8,9	9,0	8,7	8,5