نظرية فييتا الموسعة. FizMat: دالة تربيعية

بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية، بالإضافة إلى صيغ الجذر، هناك علاقات أخرى مفيدة يتم تقديمها نظرية فييتا. سنقدم في هذه المقالة صياغة وبرهانًا لنظرية فييتا للمعادلة التربيعية. بعد ذلك، نعتبر أن النظرية تقابل نظرية فييتا. بعد ذلك، سنقوم بتحليل الحلول للأمثلة الأكثر نموذجية. وأخيرًا، نكتب صيغ فييتا التي تحدد العلاقة بين الجذور الحقيقية معادلة جبريةالدرجة n ومعاملاتها.

التنقل في الصفحة.

نظرية فييتا، الصياغة، الإثبات

من الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية a·x 2 +b·x+c=0 من النموذج، حيث D=b 2 −4·a·c، تتبع العلاقات التالية: x 1 +x 2 =− ب/أ, x 1 ·x 2 = ج/أ . تم تأكيد هذه النتائج نظرية فييتا:

نظرية.

لو x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية a x 2 +b x+c=0، فإن مجموع الجذور يساوي نسبة المعاملات b وa، مأخوذة بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور تساوي نسبة المعاملين c و a، أي .

دليل.

سنقوم ببرهان نظرية فييتا وفقًا للمخطط التالي: سنقوم بتكوين مجموع وحاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية باستخدام صيغ الجذر المعروفة، ثم سنقوم بتحويل التعبيرات الناتجة والتأكد من أنها تساوي - ب/أ و ج/أ، على التوالي.

لنبدأ بمجموع الجذور ونقوم بتكوينها. الآن نأتي الكسور إلى قاسم مشترك، لدينا. في بسط الكسر الناتج وبعد ذلك:. وأخيرا، بعد يوم 2، نحصل على . وهذا يثبت العلاقة الأولى لنظرية فييتا لمجموع جذور المعادلة التربيعية. دعنا ننتقل إلى الثانية.

نؤلف حاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية: . وفقا لقاعدة ضرب الكسور، يمكن كتابة المنتج الأخير كـ . نضرب الآن قوسًا في قوس في البسط، لكن من الأسرع طي هذا المنتج به صيغة الفرق المربع، لذا . ثم تذكر أننا نقوم بالانتقال التالي. وبما أن مميز المعادلة التربيعية يتوافق مع الصيغة D=b 2 −4·a·c، فبدلاً من D في الكسر الأخير يمكننا استبدال b 2 −4·a·c، نحصل عليه. بعد فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، نصل إلى الكسر، وتخفيضه بمقدار 4·a يعطي . وهذا يثبت العلاقة الثانية لنظرية فييتا لحاصل ضرب الجذور.

إذا حذفنا التفسيرات، فإن إثبات نظرية فييتا سيتخذ شكلاً مقتضبًا:
,
.

يبقى فقط أن نلاحظ أنه إذا كان المميز يساوي صفرًا، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد. ومع ذلك، إذا افترضنا أن المعادلة في هذه الحالة لها جذرين متطابقين، فإن المتساويات من نظرية فييتا صحيحة أيضًا. في الواقع، عندما D=0 جذر المعادلة التربيعية يساوي ، إذن و، وبما أن D=0، أي b 2 −4·a·c=0، حيث b 2 =4·a·c، إذن .

من الناحية العملية، تُستخدم نظرية فييتا في أغلب الأحيان فيما يتعلق بالمعادلة التربيعية المختزلة (مع معامل رئيسي يساوي 1) من النموذج x 2 +p·x+q=0. في بعض الأحيان يتم صياغتها للمعادلات التربيعية من هذا النوع فقط، والذي لا يحد من العمومية، حيث يمكن استبدال أي معادلة تربيعية بمعادلة مكافئة عن طريق قسمة كلا الطرفين على رقم غير الصفر أ. دعونا نعطي الصيغة المقابلة لنظرية فييتا:

نظرية.

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة x 2 +p x+q=0 يساوي معامل x مأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر، أي x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

نظرية تتحدث عن نظرية فييتا

تشير الصيغة الثانية لنظرية فييتا، الواردة في الفقرة السابقة، إلى أنه إذا كان x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية المختزلة x 2 +p x+q=0، فإن العلاقات x 1 +x 2 =−p , × 1 × 2 = ف. من ناحية أخرى، من العلاقات المكتوبة x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q يترتب على ذلك أن x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية x 2 +p x+q=0. وبعبارة أخرى، فإن عكس نظرية فييتا هو الصحيح. دعونا صياغة ذلك في شكل نظرية وإثبات ذلك.

نظرية.

إذا كان الرقمان x 1 و x 2 بحيث x 1 + x 2 =−p و x 1 · x 2 =q، فإن x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية المختزلة x 2 +p · x+q =0.

دليل.

بعد استبدال المعاملين p وq في المعادلة x 2 +p·x+q=0 بتعبيراتهم من خلال x 1 وx 2، يتم تحويلها إلى معادلة مكافئة.

دعونا نعوض بالرقم x 1 بدلاً من x في المعادلة الناتجة، ويصبح لدينا المساواة س 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0، والتي تمثل لأي x 1 و x 2 المساواة العددية الصحيحة 0=0، منذ ذلك الحين x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. لذلك، x 1 هو جذر المعادلة س 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0، مما يعني أن x 1 هو جذر المعادلة المكافئة x 2 +p·x+q=0.

إذا في المعادلة س 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0نعوض بالرقم x 2 بدلاً من x نحصل على المساواة x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. هذه هي المساواة الحقيقية، منذ ذلك الحين x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. لذلك، x 2 هو أيضًا جذر المعادلة س 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0، وبالتالي المعادلات x 2 +p·x+q=0.

وبهذا يكتمل إثبات نظرية العكس لنظرية فييتا.

أمثلة على استخدام نظرية فييتا

حان الوقت للحديث عن التطبيق العملي لنظرية فييتا ونظريتها العكسية. سنقوم في هذا القسم بتحليل الحلول للعديد من الأمثلة الأكثر شيوعًا.

لنبدأ بتطبيق نظرية العكس على نظرية فييتا. من السهل استخدامها للتحقق مما إذا كان الرقمان المعطاان هما جذور لمعادلة تربيعية معينة. وفي هذه الحالة يتم حساب مجموعها وفرقها، وبعد ذلك يتم التحقق من صحة العلاقات. إذا تحققت هاتان العلاقتان، فبموجب نظرية العكس مع نظرية فييتا، نستنتج أن هذه الأعداد هي جذور المعادلة. إذا لم تكن إحدى العلاقات على الأقل محققة، فإن هذه الأرقام ليست جذور المعادلة التربيعية. يمكن استخدام هذا الأسلوب عند حل المعادلات التربيعية للتحقق من الجذور الموجودة.

مثال.

أي من أزواج الأرقام 1) x 1 =−5, x 2 =3, أو 2) أو 3) هو زوج من جذور المعادلة التربيعية 4 x 2 −16 x+9=0؟

حل.

معاملات المعادلة التربيعية المعطاة 4 x 2 −16 x+9=0 هي a=4, b=−16, c=9. وفقًا لنظرية فييتا، يجب أن يكون مجموع جذور المعادلة التربيعية مساويًا لـ -b/a، أي 16/4=4، ويجب أن يكون حاصل ضرب الجذور مساويًا لـ c/a، أي 9 /4.

الآن دعونا نحسب مجموع وحاصل ضرب الأرقام في كل من الأزواج الثلاثة المعطاة، ونقارنها بالقيم التي حصلنا عليها للتو.

في الحالة الأولى لدينا x 1 +x 2 =−5+3=−2. تختلف القيمة الناتجة عن 4، لذلك لا يمكن إجراء مزيد من التحقق، ولكن باستخدام النظرية العكسية لنظرية فييتا، يمكن للمرء أن يستنتج على الفور أن الزوج الأول من الأرقام ليس زوجًا من جذور المعادلة التربيعية المعطاة.

دعنا ننتقل إلى الحالة الثانية. وهنا يعني أن الشرط الأول قد تحقق. نتحقق من الشرط الثاني: القيمة الناتجة مختلفة عن 9/4. وبالتالي، فإن الزوج الثاني من الأرقام ليس زوجًا من جذور المعادلة التربيعية.

هناك حالة أخيرة متبقية. هنا و. تم استيفاء كلا الشرطين، لذا فإن هذين الرقمين x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية المعطاة.

إجابة:

يمكن استخدام عكس نظرية فييتا عمليًا للعثور على جذور المعادلة التربيعية. عادة، يتم تحديد الجذور الصحيحة للمعادلات التربيعية المحددة ذات المعاملات الصحيحة، لأنه في حالات أخرى يصعب القيام بذلك. في هذه الحالة، يستخدمون حقيقة أنه إذا كان مجموع رقمين يساوي المعامل الثاني للمعادلة التربيعية، مأخوذة بعلامة الطرح، وحاصل ضرب هذه الأرقام يساوي الحد الحر، فإن هذه الأرقام هي جذور هذه المعادلة التربيعية. دعونا نفهم هذا مع مثال.

لنأخذ المعادلة التربيعية x 2 −5 x+6=0. لكي يكون الرقمان x 1 و x 2 هما جذور هذه المعادلة، يجب تحقيق معادلتين: x 1 + x 2 =5 و x 1 ·x 2 =6. كل ما تبقى هو اختيار هذه الأرقام. في هذه الحالة، يكون القيام بذلك أمرًا بسيطًا للغاية: هذه الأرقام هي 2 و3، حيث أن 2+3=5 و2·3=6. وبالتالي، 2 و 3 هما جذور هذه المعادلة التربيعية.

تعتبر النظرية المعكوسة لنظرية فيتا ملائمة بشكل خاص للاستخدام للعثور على الجذر الثاني لمعادلة تربيعية مختزلة عندما يكون أحد الجذور معروفًا أو واضحًا بالفعل. في هذه الحالة، يمكن العثور على الجذر الثاني من أي من العلاقات.

على سبيل المثال، لنأخذ المعادلة التربيعية 512 × 2 −509 × −3=0. من السهل هنا أن نرى أن الوحدة هي جذر المعادلة، لأن مجموع معاملات هذه المعادلة التربيعية يساوي صفرًا. إذن × 1 = 1. يمكن إيجاد الجذر الثاني x 2، على سبيل المثال، من العلاقة x 1 ·x 2 =c/a. لدينا 1 × 2 = −3/512، منها x 2 = −3/512. هذه هي الطريقة التي حددنا بها جذري المعادلة التربيعية: 1 و−3/512.

من الواضح أن اختيار الجذور ينصح به فقط في أبسط الحالات. في حالات أخرى، للعثور على الجذور، يمكنك تطبيق الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية من خلال المميز.

تطبيق عملي آخر لعكس نظرية فييتا هو إنشاء معادلات تربيعية بمعلومية الجذور x 1 و x 2 . للقيام بذلك، يكفي حساب مجموع الجذور، الذي يعطي معامل x مع الإشارة المعاكسة للمعادلة التربيعية المحددة، وحاصل ضرب الجذور، الذي يعطي الحد الحر.

مثال.

اكتب معادلة تربيعية جذورها هي العددان −11 و23.

حل.

لنشير إلى x 1 =−11 و x 2 =23. نحسب مجموع وحاصل ضرب هذه الأرقام: x 1 +x 2 =12 و x 1 ·x 2 =−253. لذلك، فإن الأرقام المشار إليها هي جذور المعادلة التربيعية المخفضة بمعامل ثانٍ قدره −12 وحد حر قدره −253. أي أن x 2 −12·x−253=0 هي المعادلة المطلوبة.

إجابة:

س 2 −12·x−253=0 .

تُستخدم نظرية فييتا غالبًا عند حل المشكلات المتعلقة بإشارات جذور المعادلات التربيعية. كيف ترتبط نظرية فييتا بإشارات جذور المعادلة التربيعية المختزلة x 2 +p·x+q=0؟ فيما يلي بيانان ذوا صلة:

• إذا كان الحد الحر q عددًا موجبًا وإذا كانت المعادلة التربيعية لها جذور حقيقية، فإما أن يكون كلاهما موجبًا أو كلاهما سالبًا.
• إذا كان الحد الحر q عددا سالبا وإذا كانت المعادلة التربيعية لها جذور حقيقية، فإن إشاراتهما مختلفة، بمعنى آخر، جذر واحد موجب والآخر سالب.

تتبع هذه العبارات الصيغة x 1 · x 2 =q، بالإضافة إلى قواعد ضرب الأرقام الموجبة والسالبة والأرقام ذات العلامات المختلفة. دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتطبيقها.

مثال.

ر أنها إيجابية. باستخدام صيغة التمييز نجد D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8، قيمة التعبير r 2 +8 موجبة لأي r حقيقي، وبالتالي D>0 لأي r حقيقي. وبالتالي، فإن المعادلة التربيعية الأصلية لها جذرين لأي قيم حقيقية للمعلمة r.

الآن دعونا نكتشف متى يكون للجذور علامات مختلفة. إذا كانت إشارات الجذور مختلفة، فإن حاصل ضربها سلبي، وبحسب نظرية فييتا فإن حاصل ضرب جذور المعادلة التربيعية المختزلة يساوي الحد الحر. لذلك، نحن مهتمون بقيم r التي يكون فيها الحد الحر r−1 سالبًا. وبالتالي، للعثور على قيم r التي نهتم بها، نحتاج حل عدم المساواة الخطيةص -1<0 , откуда находим r<1 .

إجابة:

في ص<1 .

صيغ فيتا

تحدثنا أعلاه عن نظرية فييتا للمعادلة التربيعية وقمنا بتحليل العلاقات التي تؤكدها. ولكن هناك صيغ تربط بين الجذور الحقيقية ومعاملات ليس فقط المعادلات التربيعية، ولكن أيضًا المعادلات التكعيبية، ومعادلات الدرجة الرابعة، وبشكل عام، المعادلات الجبريةدرجة ن. يطلق عليهم صيغ فييتا.

دعونا نكتب صيغة فييتا لمعادلة جبرية من الدرجة n من النموذج، وسنفترض أن لها n جذور حقيقية x 1، x 2، ...، x n (من بينها قد يكون هناك جذور متطابقة):

يمكن الحصول على صيغ فييتا نظرية تحلل كثير الحدود إلى عوامل خطية، وكذلك تعريف كثيرات الحدود المتساوية من خلال مساواة جميع معاملاتها المقابلة. لذا فإن كثيرة الحدود وتوسعها إلى عوامل خطية للنموذج متساويان. بفتح الأقواس في المنتج الأخير ومساواة المعاملات المقابلة، نحصل على صيغ فييتا.

على وجه الخصوص، بالنسبة لـ n=2، لدينا صيغ فييتا المألوفة بالفعل للمعادلة التربيعية.

بالنسبة للمعادلة التكعيبية، فإن صيغ فييتا لها الشكل

يبقى فقط أن نلاحظ أنه على الجانب الأيسر من صيغ فييتا يوجد ما يسمى بالابتدائية كثيرات الحدود المتماثلة.

مراجع.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. التعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ تم تحريره بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف الثامن. في ساعتين الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.
• الجبروبداية التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات / [يو. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ تم تحريره بواسطة أ.ب. زيزتشينكو. - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 2010.- 368 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-022771-1.

غالبًا ما تُستخدم نظرية فييتا للتحقق من الجذور التي تم العثور عليها بالفعل. إذا وجدت الجذور، فيمكنك استخدام الصيغ \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) لحساب قيم \(p \) و \(ف\ ). وإذا تبين أنها هي نفسها كما في المعادلة الأصلية، فسيتم العثور على الجذور بشكل صحيح.

على سبيل المثال، دعونا نستخدم , حل المعادلة \(x^2+x-56=0\) والحصول على الجذور: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). دعونا نتحقق مما إذا كنا قد ارتكبنا خطأ في عملية الحل. في حالتنا، \(p=1\)، و\(q=-56\). بواسطة نظرية فييتا لدينا:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

كلا العبارتين متقاربتان، مما يعني أننا حللنا المعادلة بشكل صحيح.

يمكن إجراء هذا الفحص شفويا. سيستغرق الأمر 5 ثوانٍ وسيوفر لك من الأخطاء الغبية.

نظرية فييتا العكسية

إذا كان \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\)، فإن \(x_1\) و \(x_2\) هما جذور المعادلة التربيعية \ (س^ 2+بكسل+ف=0\).

أو بطريقة بسيطة: إذا كان لديك معادلة من الشكل \(x^2+px+q=0\)، فحل النظام \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) ستجد جذوره.

بفضل هذه النظرية، يمكنك العثور بسرعة على جذور المعادلة التربيعية، خاصة إذا كانت هذه الجذور . هذه المهارة مهمة لأنها توفر الكثير من الوقت.

مثال . حل المعادلة \(x^2-5x+6=0\).

حل : باستخدام نظرية فييتا العكسية، نجد أن الجذور تحقق الشروط: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
انظر إلى المعادلة الثانية للنظام \(x_1 \cdot x_2=6\). إلى أي اثنين يمكن تحليل الرقم \(6\)؟ على \(2\) و \(3\) و \(6\) و \(1\) أو \(-2\) و \(-3\) و \(-6\) و \(- 1\). ستخبرك المعادلة الأولى للنظام بالزوج الذي يجب عليك اختياره: \(x_1+x_2=5\). \(2\) و\(3\) متشابهان، حيث أن \(2+3=5\).
إجابة : \(x_1=2\)، \(x_2=3\).

أمثلة . باستخدام عكس نظرية فييتا، أوجد جذور المعادلة التربيعية:
أ) \(x^2-15x+14=0\); ب) \(x^2+3x-4=0\); ج) \(x^2+9x+20=0\); د) \(x^2-88x+780=0\).

حل :
أ) \(x^2-15x+14=0\) - ما هي العوامل التي يتحلل إليها \(14\)؟ \(2\) و \(7\)، \(-2\) و \(-7\)، \(-1\) و \(-14\)، \(1\) و \(14\) ). ما أزواج الأرقام التي يصل مجموعها إلى \(15\)؟ الجواب: \(1\) و \(14\).

ب) \(x^2+3x-4=0\) - ما هي العوامل التي يتحلل إليها \(-4\)؟ \(-2\) و \(2\)، \(4\) و \(-1\)، \(1\) و \(-4\). ما أزواج الأرقام التي يصل مجموعها إلى \(-3\)؟ الإجابة: \(1\) و\(-4\).

ج) \(x^2+9x+20=0\) - ما هي العوامل التي يتحلل إليها \(20\)؟ \(4\) و \(5\)، \(-4\) و \(-5\)، \(2\) و \(10\)، \(-2\) و \(-10\ )، \(-20\) و \(-1\)، \(20\) و \(1\). ما أزواج الأرقام التي يصل مجموعها إلى \(-9\)؟ الإجابة: \(-4\) و \(-5\).

د) \(x^2-88x+780=0\) - ما هي العوامل التي يتحلل إليها \(780\)؟ \(390\) و \(2\). هل سيصل مجموعهم إلى \(88\)؟ لا. ما هي المضاعفات الأخرى الموجودة في \(780\)؟ \(78\) و \(10\). هل سيصل مجموعهم إلى \(88\)؟ نعم. الجواب: \(78\) و \(10\).

ليس من الضروري توسيع الحد الأخير ليشمل جميع العوامل المحتملة (كما في المثال الأخير). يمكنك التحقق على الفور مما إذا كان مجموعهم يعطي \(-p\).

مهم!تعمل نظرية فييتا والنظرية العكسية فقط مع واحد، حيث يكون معامل \(x^2\) يساوي واحدًا. إذا حصلنا في البداية على معادلة غير مختزلة، فيمكننا تقليلها ببساطة عن طريق القسمة على المعامل أمام \(x^2\).

على سبيل المثال، لنعطي المعادلة \(2x^2-4x-6=0\) ونريد استخدام إحدى نظريات فييتا. لكننا لا نستطيع ذلك، لأن معامل \(x^2\) يساوي \(2\). دعونا نتخلص منها بقسمة المعادلة بأكملها على \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(س^2-2س-3=0\)

مستعد. الآن يمكنك استخدام كلتا النظريتين.

إجابات على الأسئلة المتداولة

سؤال: باستخدام نظرية فييتا، يمكنك حل أي؟
إجابة: للأسف لا. إذا كانت المعادلة لا تحتوي على أعداد صحيحة أو أن المعادلة ليس لها جذور على الإطلاق، فلن تساعد نظرية فييتا. في هذه الحالة تحتاج إلى استخدام تمييزي . ولحسن الحظ، فإن 80% من المعادلات في الرياضيات المدرسية لها حلول أعداد صحيحة.

I. نظرية فييتاللمعادلة التربيعية المخفضة.

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة س 2 +بكسل+ف=0يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر:

x 1 + x 2 = -p; × 1 ∙ × 2 = ف.

أوجد جذور المعادلة التربيعية المعطاة باستخدام نظرية فييتا.

مثال 1) × 2 -س-30=0.هذه هي المعادلة التربيعية المخفضة ( × 2 +بكسل+ف=0)، المعامل الثاني ع=-1، والعضو الحر س=-30.أولاً، دعونا نتأكد من أن هذه المعادلة لها جذور، وأن الجذور (إن وجدت) سيتم التعبير عنها بأعداد صحيحة. للقيام بذلك، يكفي أن يكون المميز مربعًا كاملاً لعدد صحيح.

إيجاد التمييز د=ب 2 — 4ج=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

الآن، وفقًا لنظرية فييتا، يجب أن يكون مجموع الجذور مساويًا للمعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، أي. ( -ص)، والحاصل يساوي الحد الحر، أي. ( س). ثم:

س 1 + س 2 =1؛ × 1 ∙ × 2 = -30.علينا اختيار رقمين بحيث يكون حاصل ضربهما يساوي -30 ، والمبلغ هو وحدة. هذه أرقام -5 و 6 . الجواب: -5؛ 6.

مثال 2) × 2 +6س+8=0.لدينا المعادلة التربيعية المخفضة مع المعامل الثاني ع = 6وعضو حر س = 8. دعونا نتأكد من وجود جذور صحيحة. دعونا نجد المميز د 1 د 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . المميز D 1 هو المربع الكامل للرقم 1 مما يعني أن جذور هذه المعادلة هي أعداد صحيحة. دعونا نحدد الجذور باستخدام نظرية فييتا: مجموع الجذور يساوي –ص=-6، وحاصل ضرب الجذور يساوي س = 8. هذه أرقام -4 و -2 .

في الحقيقة: -4-2=-6=-Р; -4∙(-2)=8=ف. الجواب: -4؛ -2.

مثال 3) × 2 +2س-4=0. في هذه المعادلة التربيعية المخفضة، المعامل الثاني ع = 2، والعضو الحر س=-4. دعونا نجد المميز د 1لأن المعامل الثاني هو عدد زوجي. د 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. المميز ليس مربعًا كاملاً للعدد، لذلك نفعل ذلك خاتمة: جذور هذه المعادلة ليست أعدادًا صحيحة ولا يمكن إيجادها باستخدام نظرية فيتا.وهذا يعني أننا نحل هذه المعادلة، كالعادة، باستخدام الصيغ (في هذه الحالة، باستخدام الصيغ). نحصل على:

مثال 4).اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها if × 1 = -7، × 2 = 4.

حل.سيتم كتابة المعادلة المطلوبة على الشكل: س 2 +بكسل+ف=0، وعلى أساس نظرية فييتا -ع=س 1 + س 2=-7+4=-3 → ع = 3؛ ف=س 1 ∙س 2=-7∙4=-28 . عندها ستأخذ المعادلة الشكل: × 2 +3س-28=0.

مثال 5).اكتب معادلة تربيعية باستخدام جذورها إذا:

ثانيا. نظرية فييتاللحصول على معادلة تربيعية كاملة الفأس 2 +بx+ج=0.

مجموع الجذور ناقص ب، مقسمة على أ، منتج الجذور يساوي مع، مقسمة على ج:

س 1 + س 2 = -ب/أ؛ س 1 ∙ س 2 = ج/أ.

مثال 6).أوجد مجموع جذور المعادلة التربيعية 2س2 -7س-11=0.

إحدى طرق حل المعادلة التربيعية هي استخدام صيغ فييت، والذي سمي على اسم فرانسوا فييت.

كان محامياً مشهوراً خدم ​​الملك الفرنسي في القرن السادس عشر. كان يدرس في أوقات فراغه علم الفلك والرياضيات. أسس علاقة بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية.

مزايا الصيغة:

1 . من خلال تطبيق الصيغة، يمكنك العثور على حل بسرعة. لأنه ليست هناك حاجة لإدخال المعامل الثاني في المربع، ثم طرح 4ac منه، وإيجاد المميز، وتعويض قيمته في الصيغة لإيجاد الجذور.

2 . وبدون حل يمكنك تحديد علامات الجذور واختيار قيم الجذور.

3 . بعد حل نظام مكون من سجلين، ليس من الصعب العثور على الجذور نفسها. في المعادلة التربيعية أعلاه، مجموع الجذور يساوي قيمة المعامل الثاني بعلامة الطرح. حاصل ضرب الجذور في المعادلة التربيعية أعلاه يساوي قيمة المعامل الثالث.

4 . باستخدام هذه الجذور، اكتب معادلة تربيعية، أي حل المسألة العكسية. على سبيل المثال، يتم استخدام هذه الطريقة عند حل المشكلات في الميكانيكا النظرية.

5 . من الملائم استخدام الصيغة عندما يكون المعامل الرئيسي مساويًا لواحد.

عيوب:

1 . الصيغة ليست عالمية.

نظرية فييتا الصف الثامن

صيغة
إذا كان x 1 و x 2 هما جذور المعادلة التربيعية المختزلة x 2 + px + q = 0، فإن:

أمثلة
س 1 = -1؛ × 2 = 3 - جذور المعادلة × 2 - 2س - 3 = 0.

ف = -2، ف = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p،

× 1 × 2 = -1 3 = -3 = ف.

نظرية العكس

صيغة
إذا كانت الأرقام x 1، x 2، p، q مرتبطة بالشروط:

إذًا x 1 وx 2 هما جذور المعادلة x 2 + px + q = 0.

مثال
لنقم بإنشاء معادلة تربيعية باستخدام جذورها:

× 1 = 2 - ؟ 3 و س 2 = 2 + ؟ 3.

ف = س 1 + س 2 = 4؛ ع = -4؛ ف = س 1 × 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

المعادلة المطلوبة لها الشكل: x 2 - 4x + 1 = 0.

جوهر هذه التقنية هو إيجاد الجذور دون مساعدة المُميِّز. بالنسبة لمعادلة على الصورة x2 + bx + c = 0، حيث يوجد جذرين حقيقيين مختلفين، تكون العبارتان صحيحتين.

تنص العبارة الأولى على أن مجموع جذور هذه المعادلة يساوي قيمة معامل المتغير x (في هذه الحالة هو b)، ولكن بإشارة معاكسة. بصريًا يبدو الأمر كما يلي: x1 + x2 = −b.

العبارة الثانية لم تعد مرتبطة بالمجموع، بل بمنتج هذين الجذرين. هذا المنتج يساوي المعامل الحر، أي. ج. أو، x1 * x2 = ج. يتم حل كلا هذين المثالين في النظام.

تعمل نظرية فييتا على تبسيط الحل إلى حد كبير، ولكن لها قيد واحد. يجب تبسيط المعادلة التربيعية التي يمكن العثور على جذورها باستخدام هذه التقنية. في المعادلة أعلاه، المعامل a، الذي أمام x2، يساوي واحدًا. يمكن تحويل أي معادلة إلى شكل مماثل عن طريق قسمة التعبير على المعامل الأول، لكن هذه العملية ليست عقلانية دائمًا.

إثبات النظرية

في البداية، علينا أن نتذكر كيف جرت العادة أن نبحث عن جذور المعادلة التربيعية. تم العثور على الجذرين الأول والثاني، وهما: x1 = (-b-√D)/2، x2 = (-b+√D)/2. بشكل عام هو قابل للقسمة على 2a، ولكن كما ذكرنا سابقًا، لا يمكن تطبيق النظرية إلا عندما يكون a=1.

من المعروف من نظرية فييتا أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني بعلامة الطرح. هذا يعني أن x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

وينطبق الشيء نفسه على منتج الجذور غير المعروفة: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. في المقابل، D = b2-4c (مرة أخرى بـ a=1). وتبين أن النتيجة هي: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

من هذا البرهان البسيط، يمكن استخلاص استنتاج واحد فقط: تم تأكيد نظرية فييتا بالكامل.

الصيغة الثانية والبرهان

نظرية فييتا لها تفسير آخر. ولكي نكون أكثر دقة، فهو ليس تفسيرا، بل صياغة. والحقيقة هي أنه إذا تم استيفاء نفس الشروط كما في الحالة الأولى: هناك جذرين حقيقيين مختلفين، فيمكن كتابة النظرية بصيغة أخرى.

تبدو هذه المساواة كما يلي: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). إذا كانت الدالة P(x) تتقاطع عند نقطتين x1 وx2، فيمكن كتابتها بالشكل P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). في الحالة التي يكون فيها P من الدرجة الثانية، وهذا هو بالضبط ما يبدو عليه التعبير الأصلي، فإن R هو رقم أولي، أي 1. هذا البيان صحيح لأنه بخلاف ذلك لن تتحقق المساواة. يجب ألا يكون المعامل x2 عند فتح الأقواس أكبر من واحد، ويجب أن يظل التعبير مربعًا.