قواعد لحساب المشتقات. وظيفة معقدة

المهام نوع معقدليس صحيحًا تمامًا استخدام مصطلح "الوظيفة المعقدة". على سبيل المثال، يبدو مثيرا للإعجاب للغاية، ولكن هذه الوظيفة ليست معقدة، على عكس.

في هذه المقالة سوف نفهم هذا المفهوم وظيفة معقدة، سوف نتعلم التعرف عليه كجزء من الوظائف الأولية، ونقدم صيغة للعثور على مشتقها وننظر بالتفصيل في حل الأمثلة النموذجية.

عند حل الأمثلة، سنستخدم باستمرار جدول المشتقات وقواعد التفاضل، لذا احتفظ بها أمام عينيك.

وظيفة معقدةهي دالة تكون حجتها أيضًا دالة.

من وجهة نظرنا، هذا التعريف هو الأكثر مفهومة. تقليديًا، يمكن الإشارة إليه كـ f(g(x)) . أي أن g(x) يشبه وسيطة الدالة f(g(x)) .

على سبيل المثال، افترض أن f هي دالة ظل قوسية و g(x) = lnx هي دالة اللوغاريتم الطبيعي، ثم تكون الدالة المعقدة f(g(x)) هي arctan(lnx) . مثال آخر: f دالة الرفع إلى القوة الرابعة، و هي وظيفة عقلانية كاملة (انظر)، إذن .

في المقابل، يمكن أن تكون g(x) أيضًا دالة معقدة. على سبيل المثال، . تقليديا، يمكن الإشارة إلى مثل هذا التعبير على أنه . هنا f هي دالة الجيب، وهي دالة الجذر التربيعي، - دالة عقلانية كسرية. من المنطقي أن نفترض أن درجة تداخل الوظائف يمكن أن تكون محدودة عدد طبيعي.

يمكنك غالبًا سماع وظيفة معقدة تسمى تكوين الدوال.

صيغة لإيجاد مشتق دالة معقدة.

مثال.

أوجد مشتقة دالة معقدة.

حل.

في هذا المثال، f هي دالة التربيع وg(x) = 2x+1 هي الدالة الخطية.

فيما يلي الحل التفصيلي باستخدام صيغة مشتقة الوظيفة المعقدة:

دعونا نوجد هذه المشتقة عن طريق تبسيط صورة الدالة الأصلية أولًا.

لذلك،

كما ترون، النتائج هي نفسها.

حاول ألا تخلط بين الدالة f وأيها g(x) .

دعنا نوضح ذلك بمثال لإظهار انتباهك.

مثال.

البحث عن مشتقات الوظائف المعقدة و .

حل.

في الحالة الأولى، f هي دالة التربيع وg(x) هي دالة الجيب، لذا
.

في الحالة الثانية، f هي دالة جيبية، وهي دالة قوة. لذلك، من خلال صيغة منتج دالة معقدة لدينا

الصيغة المشتقة للدالة لها الشكل

مثال.

وظيفة التفريق .

حل.

في هذا المثال، يمكن كتابة الدالة المعقدة بشكل تقليدي كـ ، أين هي دالة الجيب، ودالة القوة الثالثة، ودالة اللوغاريتم الأساسي، ودالة ظل القوس، والدالة الخطية، على التوالي.

وفقا لصيغة مشتق دالة معقدة

الآن نجد

دعونا نجمع النتائج المتوسطة التي تم الحصول عليها:

لا يوجد شيء مخيف، قم بتحليل الوظائف المعقدة مثل دمى التعشيش.

قد تكون هذه نهاية المقال إن لم يكن لشيء واحد..

من المستحسن أن نفهم بوضوح متى يتم تطبيق قواعد التفاضل وجدول المشتقات، ومتى يتم تطبيق صيغة مشتقة دالة معقدة.

كن حذرًا للغاية الآن. سنتحدث عن الفرق بين الوظائف المعقدة والوظائف المعقدة. إن نجاحك في إيجاد المشتقات سيعتمد على مدى رؤيتك لهذا الاختلاف.

لنبدأ بأمثلة بسيطة. وظيفة يمكن اعتبارها معقدة: g(x) = tanx , . لذلك، يمكنك تطبيق صيغة مشتقة دالة معقدة على الفور

وهنا هي الوظيفة لم يعد من الممكن أن يسمى معقدة.

هذه الدالة هي مجموع ثلاث دوال، 3tgx و1. على الرغم من أن - هي دالة معقدة: - دالة قوة (القطع المكافئ التربيعي)، وf هي دالة ظل. لذلك، نطبق أولاً صيغة التمايز الإجمالي:

يبقى إيجاد مشتقة الدالة المعقدة:

لهذا .

نأمل أن تحصل على جوهر.

إذا نظرنا على نطاق أوسع، يمكن القول أن الوظائف من النوع المعقد يمكن أن تكون جزءًا من الوظائف المعقدة، والوظائف المعقدة يمكن أن تكون مكونات لوظائف من النوع المعقد.

على سبيل المثال، دعونا نحلل الوظيفة إلى الأجزاء المكونة لها .

أولاً، هذه دالة معقدة يمكن تمثيلها كـ ، حيث f هي دالة اللوغاريتم ذات الأساس 3، وg(x) هو مجموع دالتين و . إنه، .

ثانيًا، دعونا نتعامل مع الدالة h(x) . يمثل علاقة .

هذا هو مجموع وظيفتين و ، أين - دالة معقدة ذات معامل عددي 3. - وظيفة المكعب، - وظيفة جيب التمام، - وظيفة خطية.

هذا هو مجموع وظيفتين و أين - دالة معقدة، - دالة أسية، - دالة قوة.

هكذا، .

ثالث، انتقل إلى ، وهو نتاج دالة معقدة والوظيفة العقلانية بأكملها

دالة التربيع هي دالة اللوغاريتم للأساس e.

لذلك، .

دعونا نلخص:

الآن أصبح هيكل الوظيفة واضحًا وأصبح من الواضح ما هي الصيغ وبأي تسلسل يجب تطبيقه عند التمييز بينها.

في القسم الخاص بتفاضل دالة (العثور على المشتقة)، يمكنك التعرف على حل المشكلات المشابهة.

لا تتناسب الوظائف ذات النوع المعقد دائمًا مع تعريف الوظيفة المعقدة. إذا كانت هناك دالة بالشكل y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11، فلا يمكن اعتبارها معقدة، على عكس y = sin 2 x.

ستوضح هذه المقالة مفهوم الوظيفة المعقدة وتحديدها. دعونا نتعامل مع الصيغ لإيجاد المشتقة مع أمثلة للحلول في الاستنتاج. إن استخدام جدول المشتقات وقواعد التمايز يقلل بشكل كبير من الوقت اللازم للعثور على المشتق.

التعاريف الأساسية

التعريف 1

الدالة المعقدة هي التي تكون حجتها دالة أيضًا.

يتم الإشارة إليه بهذه الطريقة: f (g (x)). لدينا أن الدالة g (x) تعتبر وسيطة f (g (x)).

التعريف 2

إذا كانت هناك دالة f وكانت دالة ظل التمام، فإن g(x) = ln x هي دالة اللوغاريتم الطبيعي. نجد أن الدالة المعقدة f (g (x)) ستكتب بالشكل arctg(lnx). أو الدالة f وهي دالة مرفوعة للقوة الرابعة حيث g (x) = x 2 + 2 x - 3 تعتبر عددا صحيحا وظيفة عقلانيةنجد أن f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

من الواضح أن g(x) يمكن أن تكون معقدة. من المثال y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 يتضح أن قيمة g لها الجذر التكعيبي للكسر. يمكن الإشارة إلى هذا التعبير كـ y = f (f 1 (f 2 (x))). من هنا نجد أن f هي دالة جيبية، وf 1 هي دالة تقع تحت الجذر التربيعي، f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 هي دالة كسرية.

التعريف 3

يتم تحديد درجة التداخل بأي عدد طبيعي وتكتب بالشكل y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

التعريف 4

يشير مفهوم تكوين الوظيفة إلى عدد الوظائف المتداخلة وفقًا لظروف المشكلة. لحل هذه المشكلة، استخدم صيغة إيجاد مشتقة دالة معقدة في النموذج

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

أمثلة

مثال 1

أوجد مشتقة دالة مركبة بالصيغة y = (2 x + 1) 2.

حل

يوضح الشرط أن f هي دالة تربيعية، وأن g(x) = 2 x + 1 تعتبر دالة خطية.

دعونا نطبق الصيغة المشتقة لدالة معقدة ونكتب:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (ز (س)) ز " (س) = 2 (2 س + 1) 2 = 8 س + 4

من الضروري العثور على المشتق بشكل أصلي مبسط للدالة. نحن نحصل:

ص = (2 س + 1) 2 = 4 × 2 + 4 × + 1

من هنا لدينا ذلك

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · س 2 - 1 + 4 · 1 · س 1 - 1 = 8 س + 4

وكانت النتائج هي نفسها.

عند حل مشاكل من هذا النوع، من المهم أن نفهم أين ستكون وظيفة النموذج f و g (x).

مثال 2

يجب أن تجد مشتقات الدوال المعقدة بالشكل y = sin 2 x و y = sin x 2.

حل

ينص تدوين الدالة الأول على أن f هي دالة التربيع وg(x) هي دالة الجيب. ثم حصلنا على ذلك

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

يُظهر الإدخال الثاني أن f هي دالة جيبية، وg(x) = x 2 تشير إلى دالة طاقة. ويترتب على ذلك أننا نكتب منتج دالة معقدة كـ

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

صيغة المشتق y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) ستكتب بالشكل y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( ف ن (خ)))) · · ف ١ " (ف ٢ (ف ٣ (. . . (ف ن (خ)))) · · ف ٢ " (ف ٣ (. . . (ف ن (خ) ) )) )) · . . . الجبهة الوطنية "(خ)

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

حل

يوضح هذا المثال صعوبة الكتابة وتحديد أماكن الوظائف. ثم y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) تشير إلى حيث f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) هي دالة الجيب، دالة الرفع إلى 3 درجات، وظيفة مع اللوغاريتم والقاعدة e، والدالة الظلية والدالة الخطية.

من صيغة تحديد دالة معقدة لدينا ذلك

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) و 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

نحصل على ما نحتاج إلى العثور عليه

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) كمشتقة الجيب وفقًا لجدول المشتقات، ثم f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) كمشتق لدالة القدرة، ثم f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) كمشتق لوغاريتمي، ثم f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) كمشتقة ظل قوسي، ثم f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. عند إيجاد المشتقة f 4 (x) = 2 x، قم بإزالة 2 من علامة المشتقة باستخدام صيغة مشتقة دالة قوة ذات أس يساوي 1، ثم f 4 " (x) = (2 x) " = 2 × " = 2 · 1 · × 1 - 1 = 2 .

نحن نجمع بين النتائج المتوسطة ونحصل على ذلك

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

إن تحليل مثل هذه الوظائف يذكرنا بدمى التعشيش. لا يمكن دائمًا تطبيق قواعد التفاضل بشكل صريح باستخدام جدول مشتق. غالبًا ما تحتاج إلى استخدام صيغة للعثور على مشتقات الدوال المعقدة.

هناك بعض الاختلافات بين المظهر المعقد والوظائف المعقدة. مع القدرة الواضحة على التمييز بين ذلك، سيكون العثور على المشتقات أمرًا سهلاً بشكل خاص.

مثال 4

ومن الضروري النظر في إعطاء مثل هذا المثال. إذا كانت هناك دالة بالشكل y = t g 2 x + 3 t g x + 1، فيمكن اعتبارها دالة معقدة بالصيغة g (x) = t g x، f (g) = g 2 + 3 g + 1 . من الواضح أنه من الضروري استخدام الصيغة لمشتق معقد:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = 2 · ز 2 - 1 (س) + 3 جم " (س) + 0 = 2 جم (س) + 3 1 جم 1 - 1 (س) = = 2 جم (س) + 3 = 2 ر ز x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 كوس 2 س = 2 ر ج س + 3 كوس 2 س

دالة من الصيغة y = t g x 2 + 3 t g x + 1 لا تعتبر معقدة، لأنها تحتوي على مجموع t g x 2، 3 t g x و 1. ومع ذلك، t g x 2 تعتبر دالة معقدة، ثم نحصل على دالة قوة بالصيغة g (x) = x 2 و f، وهي دالة ظل. للقيام بذلك، قم بالتمييز حسب المبلغ. لقد حصلنا على ذلك

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 كوس 2 س

دعنا ننتقل إلى إيجاد مشتق دالة معقدة (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

نحصل على y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

يمكن تضمين الوظائف من النوع المعقد في الوظائف المعقدة، ويمكن أن تكون الوظائف المعقدة نفسها مكونات لوظائف من النوع المعقد.

مثال 5

على سبيل المثال، فكر في دالة معقدة على الصورة y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

يمكن تمثيل هذه الدالة بالشكل y = f (g (x))، حيث قيمة f هي دالة للوغاريتم ذو الأساس 3، ويعتبر g (x) مجموع وظيفتين من النموذج h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 و k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . من الواضح أن y = f (h (x) + k (x)).

خذ بعين الاعتبار الدالة h(x). هذه هي النسبة l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 إلى m (x) = e x 2 + 3 3

لدينا أن l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) هو مجموع الدالتين n (x) = x 2 + 7 و p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , حيث p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) هي دالة معقدة ذات معامل عددي 3، وp 1 هي دالة مكعبة، p 2 بواسطة دالة جيب التمام، p 3 (x) = 2 x + 1 بواسطة دالة خطية.

وجدنا أن m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) هو مجموع الدالتين q (x) = e x 2 و r (x) = 3 3، حيث q (x) = q 1 (q 2 (x)) هي دالة معقدة، q 1 هي دالة ذات أسية، q 2 (x) = x 2 هي دالة قوة.

هذا يوضح أن h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (خ))) ف 1 (ف 2 (س)) + ص (س)

عند الانتقال إلى تعبير بالشكل k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) فمن الواضح أن الدالة مقدمة في شكل s معقد ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) بعدد صحيح نسبي t (x) = x 2 + 1، حيث s 1 هي دالة تربيعية، وs 2 (x) = ln x لوغاريتمية قاعدة ه.

ويترتب على ذلك أن التعبير سوف يأخذ الشكل k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

ثم حصلنا على ذلك

y = سجل 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( س))) ف 1 (ف 2 (س)) = ص (س) + ق 1 (ق 2 (س)) ر (س)

بناءً على هياكل الدالة، أصبح من الواضح كيف وما هي الصيغ التي يجب استخدامها لتبسيط التعبير عند التمييز بينه. للتعرف على مثل هذه المشاكل ومفهوم حلها، من الضروري أن ننتقل إلى نقطة اشتقاق دالة، أي إيجاد مشتقتها.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

عملية إيجاد المشتق تسمى التمايز.

نتيجة لحل مشاكل إيجاد مشتقات أبسط الدوال (وليست البسيطة جدًا) من خلال تعريف المشتق باعتباره الحد الأقصى لنسبة الزيادة إلى زيادة الوسيطة، ظهر جدول المشتقات وقواعد التمايز المحددة بدقة . أول من عمل في مجال إيجاد المشتقات هما إسحاق نيوتن (1643-1727) وجوتفريد فيلهلم لايبنتز (1646-1716).

لذلك، في عصرنا هذا، للعثور على مشتقة أي دالة، لا تحتاج إلى حساب الحد المذكور أعلاه لنسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، ولكن ما عليك سوى استخدام جدول المشتقات وقواعد التفاضل. الخوارزمية التالية مناسبة للعثور على المشتق.

للعثور على المشتقة، أنت بحاجة إلى تعبير تحت العلامة الأولية تقسيم الوظائف البسيطة إلى مكوناتوتحديد ما هي الإجراءات (المنتج، المجموع، الحاصل)ترتبط هذه الوظائف. بعد ذلك، نجد مشتقات الدوال الأولية في جدول المشتقات، وصيغ مشتقات حاصل الضرب والمجموع والحاصل - في قواعد التفاضل. يتم إعطاء الجدول المشتق وقواعد التمايز بعد المثالين الأولين.

مثال 1.أوجد مشتقة الدالة

حل. ومن قواعد التفاضل نجد أن مشتقة مجموع الدوال هي مجموع مشتقات الدوال، أي.

من جدول المشتقات نجد أن مشتقة "x" تساوي واحدًا، ومشتقة الجيب تساوي جيب التمام. نعوض بهذه القيم في مجموع المشتقات ونجد المشتقة التي يتطلبها شرط المشكلة:

مثال 2.أوجد مشتقة الدالة

حل. نشتق كمشتقة مجموع فيها الحد الثاني عامل ثابت، ويمكن إخراجها من إشارة المشتقة:

إذا استمرت الأسئلة حول مصدر شيء ما، فعادةً ما يتم حلها بعد التعرف على جدول المشتقات وأبسط قواعد التفاضل. نحن ننتقل إليهم الآن.

جدول مشتقات الدوال البسيطة

1. مشتق من ثابت (رقم). أي رقم (1، 2، 5، 200...) موجود في تعبير الدالة. دائما يساوي الصفر. من المهم جدًا أن تتذكر ذلك، لأنه مطلوب في كثير من الأحيان
2. مشتق المتغير المستقل. في أغلب الأحيان "X". يساوي دائما واحدا. من المهم أيضًا أن نتذكر ذلك لفترة طويلة
3. مشتق الدرجة. عند حل المسائل، عليك تحويل الجذور غير التربيعية إلى قوى.
4. مشتق من متغير للقوة -1
5. مشتق الجذر التربيعي
6. مشتق من الجيب
7. مشتق من جيب التمام
8. مشتق الظل
9. مشتق ظل التمام
10. مشتق من أركسين
11. مشتق من قوس جيب التمام
12. مشتق من قوس الظل
13. مشتق ظل التمام القوسي
14. مشتق من اللوغاريتم الطبيعي
15. مشتق من دالة لوغاريتمية
16. مشتق الأس
17. مشتقة الدالة الأسية

قواعد التمايز

1. مشتق المجموع أو الفرق
2. مشتق من المنتج
2 أ. مشتق من التعبير مضروبا في عامل ثابت
3. مشتق الحاصل
4. مشتق من وظيفة معقدة

المادة 1.إذا كانت الوظائف

تكون قابلة للاشتقاق في مرحلة ما، وبالتالي تكون الوظائف قابلة للاشتقاق في نفس النقطة

و

أولئك. مشتق المجموع الجبري للدوال يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال.

عاقبة. إذا اختلف دالتان قابلتان للتفاضل في حد ثابت، فإن مشتقاتهما متساوية، أي.

القاعدة 2.إذا كانت الوظائف

قابلة للاشتقاق في مرحلة ما، فإن منتجها يكون قابلاً للاشتقاق في نفس النقطة

و

أولئك. مشتقة منتج دالتين يساوي مجموع منتجات كل من هذه الوظائف ومشتقة الأخرى.

النتيجة الطبيعية 1. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة:

النتيجة الطبيعية 2. مشتق منتج عدة وظائف قابلة للتفاضل يساوي مجموع منتجات مشتق كل عامل وجميع العوامل الأخرى.

على سبيل المثال، لثلاثة مضاعفات:

القاعدة 3.إذا كانت الوظائف

قابلة للتمييز في مرحلة ما و , ثم في هذه المرحلة يكون حاصلهم قابلاً للتمييز أيضًاش / ت، و

أولئك. مشتقة خارج قسمة دالتين يساوي كسرًا، بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتقة البسط ومشتقة البسط ومشتقة المقام، والمقام هو مربع البسط السابق.

أين تبحث عن الأشياء على الصفحات الأخرى

عند إيجاد مشتقة منتج وحاصل حاصل ضرب في مسائل حقيقية، من الضروري دائمًا تطبيق عدة قواعد للتفاضل في وقت واحد، لذلك هناك المزيد من الأمثلة على هذه المشتقات في المقالة"مشتق المنتج وحاصل الوظائف".

تعليق.يجب ألا تخلط بين الثابت (أي الرقم) كمصطلح في المجموع وكعامل ثابت! وفي حالة الحد تكون مشتقته تساوي صفرًا، وفي حالة العامل الثابت يتم إخراجها من إشارة المشتقات. هذا خطأ نموذجي، والذي يحدث على المرحلة الأوليةدراسة المشتقات، ولكن عندما تحل العديد من الأمثلة المكونة من جزأين وجزأين، فإن الطالب العادي لم يعد يرتكب هذا الخطأ.

وإذا كان لديك مصطلح عند التفريق بين منتج أو حاصل قسمة ما ش"الخامس، بحيث ش- رقم مثلا 2 أو 5 أي ثابت، فإن مشتقة هذا الرقم ستكون تساوي صفر، وبالتالي فإن الحد بأكمله سيكون يساوي صفر (هذه الحالة تمت مناقشتها في المثال 10).

خطأ شائع آخر هو حل مشتقة دالة معقدة ميكانيكيًا كمشتقة لدالة بسيطة. لهذا مشتق من وظيفة معقدةتم تخصيص مقالة منفصلة. ولكن أولا سوف نتعلم كيفية العثور على المشتقات وظائف بسيطة.

على طول الطريق، لا يمكنك الاستغناء عن تحويل التعبيرات. للقيام بذلك، قد تحتاج إلى فتح الدليل في نوافذ جديدة. الأفعال ذات القوى والجذورو العمليات مع الكسور .

إذا كنت تبحث عن حلول لمشتقات الكسور ذات القوى والجذور، أي عندما تبدو الدالة ثم اتبع الدرس "اشتقاق مجموع الكسور ذات القوى والجذور".

إذا كان لديك مهمة مثل ثم ستأخذ درس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة".

أمثلة خطوة بخطوة - كيفية العثور على المشتق

مثال 3.أوجد مشتقة الدالة

حل. نحدد أجزاء تعبير الدالة: التعبير بأكمله يمثل منتجًا، وعوامله عبارة عن مجاميع، في الثاني منها يحتوي أحد الحدود على عامل ثابت. نطبق قاعدة تمايز المنتجات: مشتق منتج دالتين يساوي مجموع منتجات كل من هذه الوظائف بمشتقة الأخرى:

بعد ذلك، نطبق قاعدة اشتقاق المجموع: مشتق المجموع الجبري للدوال يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال. في حالتنا، في كل مجموع، يحتوي الحد الثاني على علامة ناقص. في كل مجموع نرى متغيرًا مستقلًا، مشتقته تساوي واحدًا، وثابتًا (رقمًا)، مشتقته تساوي صفرًا. إذن، "X" يتحول إلى واحد، وسالب 5 يتحول إلى صفر. في التعبير الثاني، يتم ضرب "x" في 2، لذلك نضرب اثنين في نفس وحدة مشتقة "x". نحصل على القيم المشتقة التالية:

نعوض بالمشتقات الموجودة في مجموع المنتجات ونحصل على مشتقة الدالة بأكملها التي تتطلبها حالة المشكلة:

ويمكنك التحقق من حل مشكلة المشتقات على.

مثال 4.أوجد مشتقة الدالة

حل. مطلوب منا إيجاد مشتقة حاصل القسمة. نطبق صيغة اشتقاق حاصل القسمة: مشتقة حاصل قسمة دالتين يساوي كسرًا بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتقة البسط والبسط ومشتقة المقام المقام، والمقام هو مربع البسط السابق. نحن نحصل:

لقد وجدنا بالفعل مشتقة العوامل في البسط في المثال 2. ولا ننسى أيضًا أن حاصل الضرب، وهو العامل الثاني في البسط في المثال الحالي، يؤخذ بعلامة الطرح:

إذا كنت تبحث عن حلول للمسائل التي تحتاج فيها إلى إيجاد مشتقة دالة، حيث يوجد كومة متواصلة من الجذور والقوى، مثل، على سبيل المثال، ، ثم مرحبًا بك في الفصل "مشتقة مجموع الكسور ذات القوى والجذور" .

إذا كنت بحاجة لمعرفة المزيد عن مشتقات الجيب وجيب التمام والظل وغيرها الدوال المثلثية، أي عندما تبدو الوظيفة ، ثم درسا لك "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة" .

مثال 5.أوجد مشتقة الدالة

حل. في هذه الدالة نرى حاصل الضرب، أحد عوامله هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل، مشتقته التي تعرفنا عليها في جدول المشتقات. باستخدام قاعدة اشتقاق المنتج والقيمة الجدولية لمشتق الجذر التربيعي، نحصل على:

يمكنك التحقق من حل مشكلة المشتقات على حاسبة المشتقات على الانترنت .

مثال 6.أوجد مشتقة الدالة

حل. في هذه الدالة نرى حاصل القسمة الذي يكون مقسومه هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل. باستخدام قاعدة اشتقاق خارج القسمة التي كررناها وطبقناها في المثال 4، والقيمة الجدولية لمشتقة الجذر التربيعي، نحصل على:

للتخلص من الكسر في البسط، اضرب البسط والمقام ب .

يتم إعطاء أمثلة لحساب المشتقات باستخدام صيغة مشتقة دالة معقدة.

محتوى

أنظر أيضا: إثبات صيغة مشتقة دالة معقدة

الصيغ الأساسية

نعطي هنا أمثلة لحساب مشتقات الوظائف التالية:
; ; ; ; .

إذا كان من الممكن تمثيل الدالة كدالة معقدة بالشكل التالي:
,
ثم يتم تحديد مشتقه بالصيغة:
.
وفي الأمثلة أدناه سنكتب هذه الصيغة على النحو التالي:
.
أين .
هنا، تشير الحروف السفلية أو الموجودة تحت علامة المشتقة إلى المتغيرات التي يتم من خلالها إجراء التمايز.

عادة، في جداول المشتقات، يتم إعطاء مشتقات الوظائف من المتغير x. ومع ذلك، x هي معلمة رسمية. يمكن استبدال المتغير x بأي متغير آخر. لذلك، عند تمييز دالة من متغير، نقوم ببساطة بتغيير المتغير x إلى المتغير u في جدول المشتقات.

أمثلة بسيطة

مثال 1

أوجد مشتقة دالة معقدة
.

لنكتب الدالة المعطاة بالشكل المكافئ:
.
في جدول المشتقات نجد:
;
.

وفقًا لصيغة مشتقة دالة معقدة، لدينا:
.
هنا .

مثال 2

أوجد المشتقة
.

نخرج الثابت 5 من إشارة المشتقة ومن جدول المشتقات نجد:
.

.
هنا .

مثال 3

أوجد المشتقة
.

نحن نخرج ثابتا -1 من أجل علامة المشتقة ومن جدول المشتقات نجد:
;
من جدول المشتقات نجد:
.

نطبق صيغة مشتقة دالة معقدة:
.
هنا .

أمثلة أكثر تعقيدا

في المزيد أمثلة معقدةنطبق قاعدة التمييز بين دالة معقدة عدة مرات. في هذه الحالة، نحسب المشتقة من النهاية. أي أننا نقوم بتقسيم الدالة إلى الأجزاء المكونة لها وإيجاد مشتقات أبسط الأجزاء باستخدام جدول المشتقات. نحن نستخدم أيضا قواعد التمييز بين المبالغوالمنتجات والكسور. ثم نقوم بإجراء البدائل وتطبيق صيغة مشتقة دالة معقدة.

مثال 4

أوجد المشتقة
.

دعونا نختار أبسط جزء من الصيغة ونجد مشتقتها. .

.
لقد استخدمنا هنا الترميز
.

نجد مشتقة الجزء التالي من الدالة الأصلية باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها. نحن نطبق قاعدة التمييز بين المبلغ:
.

مرة أخرى، نطبق قاعدة التمييز بين الوظائف المعقدة.

.
هنا .

مثال 5

العثور على مشتق من وظيفة
.

دعنا نختار أبسط جزء من الصيغة ونجد مشتقته من جدول المشتقات. .

نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة.
.
هنا
.

دعونا نفرق بين الجزء التالي باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها.
.
هنا
.

دعونا نفرق الجزء التالي.

.
هنا
.

الآن نجد مشتقة الدالة المطلوبة.

.
هنا
.

أنظر أيضا:

والتي درسنا فيها أبسط المشتقات، وتعرفنا أيضًا على قواعد التفاضل وبعض التقنيات الفنية لإيجاد المشتقات. وبالتالي، إذا لم تكن جيدًا في التعامل مع مشتقات الدوال أو أن بعض النقاط في هذه المقالة ليست واضحة تمامًا، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. من فضلك، كن في حالة مزاجية جدية - المادة ليست بسيطة، لكنني سأظل أحاول تقديمها ببساطة ووضوح.

من الناحية العملية، يتعين عليك التعامل مع مشتقة دالة معقدة في كثير من الأحيان، بل وأود أن أقول، دائمًا تقريبًا، عندما يتم تكليفك بمهام للعثور على المشتقات.

وننظر إلى الجدول في القاعدة (رقم 5) للتمييز بين دالة معقدة:

دعونا معرفة ذلك. بادئ ذي بدء، دعونا ننتبه إلى الإدخال. لدينا هنا وظيفتان - و، والدالة، بالمعنى المجازي، متداخلة داخل الوظيفة. تسمى الوظيفة من هذا النوع (عندما تتداخل وظيفة واحدة داخل أخرى) بوظيفة معقدة.

سأتصل بالوظيفة وظيفة خارجية، والوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة)..

! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في التصميم النهائي للواجبات. أستخدم التعبيرات غير الرسمية مثل "وظيفة خارجية" و"وظيفة داخلية" فقط لتسهيل فهم المادة.

لتوضيح الموقف خذ بعين الاعتبار:

مثال 1

أوجد مشتقة الدالة

تحت جيب الزاوية ليس لدينا الحرف "X" فحسب، بل لدينا تعبير كامل، لذا فإن العثور على المشتقة مباشرة من الجدول لن ينجح. ونلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربع الأولى هنا، يبدو أن هناك فرقًا، لكن الحقيقة هي أن الجيب لا يمكن "تمزيقه إلى أجزاء":

في هذا المثال، أصبح من الواضح بالفعل من خلال شرحي أن الدالة هي دالة معقدة، وأن كثير الحدود هو دالة داخلية (تضمين)، ودالة خارجية.

الخطوة الأولىما عليك القيام به عند العثور على مشتق دالة معقدة هو فهم أي وظيفة داخلية وأيها خارجية.

في حالة الأمثلة البسيطة، يبدو من الواضح أن كثيرة الحدود مضمنة تحت جيب الجيب. ولكن ماذا لو لم يكن كل شيء واضحًا؟ كيف تحدد بدقة أي وظيفة خارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك، أقترح استخدام التقنية التالية، والتي يمكن القيام بها عقليًا أو في مسودة.

لنتخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير على الآلة الحاسبة (بدلاً من واحد يمكن أن يكون هناك أي رقم).

ماذا سنحسب أولا؟ أولاًستحتاج إلى تنفيذ الإجراء التالي: وبالتالي فإن كثيرة الحدود ستكون دالة داخلية:

ثانيًاسوف تحتاج إلى العثور عليها، لذا فإن sine – ستكون دالة خارجية:

بعد نحن نفذمع الوظائف الداخلية والخارجية، حان الوقت لتطبيق قاعدة التفريق بين الوظائف المعقدة .

لنبدأ في اتخاذ القرار. من الدرس كيفية العثور على المشتق؟نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:

في البدايهنجد مشتقة الدالة الخارجية (جيب الجيب)، وننظر إلى جدول مشتقات الدوال الأولية ونلاحظ ذلك. جميع صيغ الجدول قابلة للتطبيق أيضًا إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، في هذه الحالة:

يرجى ملاحظة أن الوظيفة الداخلية لم يتغير، نحن لا نلمسه.

حسنًا، من الواضح تمامًا ذلك

نتيجة تطبيق الصيغة في شكله النهائي يبدو مثل هذا:

عادة ما يتم وضع العامل الثابت في بداية التعبير:

إذا كان هناك أي سوء فهم، فاكتب الحل على الورق واقرأ الشرح مرة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

وكعادتنا نكتب:

دعونا نكتشف أين لدينا وظيفة خارجية وأين لدينا وظيفة داخلية. للقيام بذلك، نحاول (ذهنيًا أو في مسودة) حساب قيمة التعبير عند . ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ أولًا، عليك أن تحسب ما يساويه الأساس: وبالتالي فإن كثير الحدود هو دالة داخلية:

وعندها فقط يتم تنفيذ الأس، وبالتالي فإن وظيفة الطاقة هي وظيفة خارجية:

وفقا للصيغة ، عليك أولاً إيجاد مشتقة الدالة الخارجية، وهي الدرجة في هذه الحالة. نبحث عن الصيغة المطلوبة في الجدول: . ونكرر مرة أخرى: أي صيغة جدولية صالحة ليس فقط لـ "X"، ولكن أيضًا للتعبير المعقد. وبالتالي نتيجة تطبيق قاعدة التفريق بين دالة معقدة التالي:

وأؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتقة الدالة الخارجية فإن وظيفتنا الداخلية لا تتغير:

الآن كل ما تبقى هو العثور على مشتق بسيط جدًا للدالة الداخلية وتعديل النتيجة قليلاً:

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لتعزيز فهمك لمشتق وظيفة معقدة، سأقدم مثالا دون تعليقات، حاول معرفة ذلك بنفسك، والسبب حيث تكون الوظيفة الخارجية وأين الوظيفة الداخلية، لماذا يتم حل المهام بهذه الطريقة؟

مثال 5

أ) أوجد مشتقة الدالة

ب) أوجد مشتقة الدالة

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

لدينا هنا جذر، ومن أجل التمييز بين الجذر، يجب تمثيله كقوة. وبالتالي، نقوم أولاً بإحضار الدالة إلى الشكل المناسب للتمايز:

وبتحليل الدالة نستنتج أن مجموع الحدود الثلاثة هو دالة داخلية، والرفع إلى قوة هو دالة خارجية. نحن نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة :

نحن نمثل الدرجة مرة أخرى كجذر (جذر)، وبالنسبة لمشتقة الوظيفة الداخلية، فإننا نطبق قاعدة بسيطة للتمييز بين المجموع:

مستعد. يمكنك أيضًا اختصار التعبير إلى قاسم مشترك بين قوسين وكتابة كل شيء في صورة كسر واحد. إنها جميلة بالطبع، ولكن عندما تحصل على مشتقات طويلة مرهقة، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل أن تتشوش، وترتكب خطأً غير ضروري، وسيكون من غير المناسب للمعلم التحقق منه).

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه في بعض الأحيان بدلاً من قاعدة اشتقاق دالة معقدة، يمكنك استخدام قاعدة اشتقاق خارج القسمة ولكن مثل هذا الحل سيبدو وكأنه انحراف غير عادي. هنا هو مثال نموذجي:

مثال 8

أوجد مشتقة الدالة

هنا يمكنك استخدام قاعدة التمايز بين الحاصل ولكن من المربح أكثر العثور على المشتق من خلال قاعدة التمايز لوظيفة معقدة:

نجهز الدالة للاشتقاق - ننقل علامة الطرح من علامة المشتقة، ونرفع جيب التمام إلى البسط:

جيب التمام هو وظيفة داخلية، الأس هو وظيفة خارجية.
دعونا نستخدم القاعدة لدينا :

نجد مشتقة الوظيفة الداخلية ونعيد تعيين جيب التمام إلى الأسفل:

مستعد. في المثال المذكور، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة، حاول حلها باستخدام القاعدة ، يجب أن تتطابق الإجابات.

مثال 9

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك (الإجابة في نهاية الدرس).

لقد نظرنا حتى الآن في الحالات التي كان لدينا فيها تداخل واحد فقط في وظيفة معقدة. في المهام العملية، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات، حيث، مثل دمى التعشيش، واحدة داخل الأخرى، 3 أو حتى 4-5 وظائف متداخلة في وقت واحد.

مثال 10

أوجد مشتقة الدالة

دعونا نفهم مرفقات هذه الوظيفة. دعونا نحاول حساب التعبير باستخدام القيمة التجريبية. كيف يمكننا الاعتماد على الآلة الحاسبة؟

تحتاج أولاً إلى العثور على، مما يعني أن arcsine هو التضمين الأعمق:

يجب بعد ذلك تربيع قوس القوس هذا:

وأخيرًا، نرفع سبعة إلى قوة:

أي أنه في هذا المثال لدينا ثلاثة وظائف مختلفةواثنين من التضمينات، حيث تكون الدالة الأعمق هي قوس الجيب والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.

لنبدأ في اتخاذ القرار

وفقا للقاعدة عليك أولاً أن تأخذ مشتق الوظيفة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد مشتقة الدالة الأسية: الفرق الوحيد هو أنه بدلاً من "x" لدينا تعبير معقد، وهو ما لا ينفي صحة هذه الصيغة. إذن، نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة التالي.