الخاصية الرئيسية للكسر الجبري: الصياغة والإثبات وأمثلة التطبيق. الخاصية الرئيسية للكسر الجبري الكسور وخصائصها

عند دراسة الكسور العادية، نواجه مفاهيم الخصائص الأساسية للكسر. من الضروري صياغة مبسطة لحل الأمثلة ذات الكسور العادية. تتضمن هذه المقالة النظر في الكسور الجبرية وتطبيق خاصية أساسية عليها، والتي سيتم صياغتها مع أمثلة لنطاق تطبيقها.

الصياغة والأساس المنطقي

الخاصية الرئيسية للكسر لها الشكل:

التعريف 1

عندما يتم ضرب البسط والمقام أو قسمتهما في نفس الوقت على نفس الرقم، تظل قيمة الكسر دون تغيير.

أي أننا حصلنا على أن a · m b · m = a b و a: m b: m = a b متساويان، حيث a b = a · m b · m و a b = a: m b: m تعتبر عادلة. القيم a، b، m هي بعض الأعداد الطبيعية.

يمكن تمثيل قسمة البسط والمقام على رقم بالشكل a · m b · m = a b . وهذا مشابه لحل المثال 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3. عند القسمة، يتم استخدام المساواة بالشكل a: m b: m = a b، ثم 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. ويمكن أيضًا تمثيلها بالشكل a · m b · m = a b، أي 8 12 = 2 · 4 3 · 4 = 2 3.

أي أن الخاصية الرئيسية للكسر أ · م ب · م = أ ب و أ ب = أ · م ب · م سيتم النظر فيها بالتفصيل على النقيض من أ: م ب: م = أ ب و ب = أ: م ب: م.

إذا كان البسط والمقام يحتويان على أرقام حقيقية، فإن الخاصية قابلة للتطبيق. تحتاج أولاً إلى إثبات صحة عدم المساواة المكتوبة لجميع الأعداد. أي إثبات وجود a · m b · m = a b لجميع الحقيقي a , b , m حيث b و m قيمتان غير صفرية لتجنب القسمة على صفر.

الدليل 1

دع جزءًا من النموذج a b يعتبر جزءًا من السجل z، بمعنى آخر، a b = z، فمن الضروري إثبات أن a · m b · m يتوافق مع z، أي إثبات a · m b · m = z . فهذا سيسمح لنا بإثبات وجود المساواة a · m b · m = a b .

يمثل خط الكسر علامة القسمة. وبتطبيق العلاقة مع الضرب والقسمة نجد أنه من a b = z بعد التحويل نحصل على a = b · z. وفقًا لخصائص المتباينات العددية، يجب ضرب طرفي المتراجحة برقم غير الصفر. ثم نضرب في العدد m فنحصل على a · m = (b · z) · m. بالملكية، يحق لنا كتابة التعبير على الصورة a · m = (b · m) · z. وهذا يعني أنه من التعريف يترتب على ذلك أن ب = ض. هذا كل ما يثبت التعبير a · m b · m = a b .

إن مساواة الشكل a · m b · m = a b و a b = a · m b · m تكون منطقية عندما تكون هناك كثيرات الحدود بدلاً من a , b , m، وبدلاً من b و m تكون غير صفرية.

الخاصية الرئيسية للكسر الجبري: عندما نضرب البسط والمقام بنفس الرقم في نفس الوقت، نحصل على تعبير مطابق للتعبير الأصلي.

تعتبر الخاصية صالحة، لأن الإجراءات ذات الحدود المتعددة تتوافق مع الإجراءات ذات الأرقام.

مثال 1

دعونا نلقي نظرة على مثال الكسر 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3. من الممكن التحويل إلى الصيغة 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y).

تم إجراء الضرب في كثير الحدود x 2 + 2 · x · y. بنفس الطريقة، تساعد الخاصية الرئيسية على التخلص من x 2، الموجودة في جزء معين من النموذج 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) إلى النموذج 5 x + 5 x 3 + 3. وهذا ما يسمى التبسيط.

يمكن كتابة الخاصية الرئيسية كتعبيرات a · m b · m = a b و a b = a · m b · m، عندما تكون a، b، m كثيرة الحدود أو متغيرات عادية، ويجب أن تكون b وm غير صفر.

مجالات تطبيق الخاصية الأساسية للكسر الجبري

تطبيق الخاصية الرئيسية مناسب للاختزال إلى مقام جديد أو عند اختزال الكسر.

التعريف 2

التخفيض إلى قاسم مشترك هو ضرب البسط والمقام في كثير حدود مماثل للحصول على واحد جديد. الكسر الناتج يساوي الكسر الأصلي.

أي جزء من الصورة x + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1 عند ضربه في x 2 + 1 واختزاله إلى مقام مشترك (x + 1) · (x 2 + 1) ) سوف تتلقى النموذج x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

بعد إجراء العمليات على كثيرات الحدود نجد أن الكسر الجبري قد تحول إلى x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1.

يتم أيضًا إجراء التخفيض إلى قاسم مشترك عند إضافة أو طرح الكسور. إذا تم إعطاء المعاملات الكسرية، فيجب أولا إجراء التبسيط، مما سيؤدي إلى تبسيط المظهر وتحديد القاسم المشترك. على سبيل المثال، 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

يتم تطبيق الخاصية عند تقليل الكسور على مرحلتين: تحليل البسط والمقام إلى عوامل للعثور على المشترك m، ثم الانتقال إلى نوع الكسر a b، على أساس المساواة في الشكل a · m b · م = أ ب.

إذا تحول جزء من الصورة 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 بعد التوسيع إلى x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y، فمن الواضح أن المضاعف العام سوف تكون كثيرة الحدود 4 × 2 - y. بعد ذلك سيكون من الممكن تقليل الكسر وفقًا لخاصيته الرئيسية. لقد حصلنا على ذلك

س (4 × 2 - ص) 4 × 2 - ص 4 × 2 + ص = س 4 × 2 + ص. تم تبسيط الكسر، ثم عند استبدال القيم سيكون من الضروري القيام بالكثير عمل أقلمما كان عليه عند استبداله بالأصل.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

في الرياضيات، الكسر هو رقم يتكون من جزء أو أكثر (كسور) من الوحدة. وفقًا لشكل التسجيل، يتم تقسيم الكسور إلى عادية (مثال \frac(5)(8)) وعشرية (على سبيل المثال 123.45).

تعريف. الكسر العادي (أو الكسر البسيط)

الكسر العادي (البسيط).يُسمى رقمًا بالصيغة \pm\frac(m)(n) حيث m وn أعداد طبيعية. يسمى الرقم م البسطهذا الكسر، والرقم n هو الخاص به المقام - صفة مشتركة - حالة.

يشير الخط الأفقي أو المائل إلى علامة القسمة، أي \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

تنقسم الكسور الشائعة إلى نوعين: صحيحة وغير مناسبة.

تعريف. الكسور الصحيحة وغير الصحيحة

صحيحالكسر الذي بسطه أقل من مقامه يسمى كسرا. على سبيل المثال، \frac(9)(11) ، لأن 9

خطأيسمى الكسر الذي يكون فيه معامل البسط أكبر من أو يساوي معامل المقام. مثل هذا الكسر هو عدد نسبي معامله أكبر من أو يساوي واحدًا. على سبيل المثال، الكسور \frac(11)(2) ، \frac(2)(1) ، -\frac(7)(5) ، \frac(1)(1)

إلى جانب الكسر غير الحقيقي، هناك تمثيل آخر للرقم، وهو ما يسمى الكسر المختلط (الرقم المختلط). هذا ليس جزء عادي.

تعريف. الكسر المختلط (الرقم المختلط)

جزء مختلطهو كسر مكتوب كعدد صحيح وكسر حقيقي ويفهم على أنه مجموع هذا العدد والكسر. على سبيل المثال، 2\frac(5)(7)

(مكتوب كرقم مختلط) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (مكتوب على شكل كسر غير حقيقي)

الكسر هو مجرد تمثيل لرقم. يمكن أن يتوافق نفس الرقم مع كسور مختلفة، عادية وعشرية. دعونا نشكل إشارة تشير إلى تساوي كسرين عاديين.

تعريف. علامة المساواة بين الكسور

الكسران \frac(a)(b) و\frac(c)(d) هما متساوي، إذا كان a\cdot d=b\cdot c . على سبيل المثال، \frac(2)(3)=\frac(8)(12) منذ 2\cdot12=3\cdot8

من هذه السمة تتبع الخاصية الرئيسية للكسر.

ملكية. الخاصية الرئيسية للكسر

إذا تم ضرب أو قسمة بسط ومقام كسر معين على نفس الرقم، لا يساوي الصفر، فستحصل على كسر يساوي الكسر المحدد.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

باستخدام الخاصية الأساسية للكسر، يمكنك استبدال كسر معين بكسر آخر يساوي الكسر المحدد، ولكن ببسط ومقام أصغر. هذا الاستبدال يسمى تخفيض الكسر. على سبيل المثال، \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (هنا تم قسمة البسط والمقام أولاً على 2، ثم على 2 آخرين). يمكن تبسيط الكسر إذا وفقط إذا لم يكن بسطه ومقامه أعدادًا أولية متبادلة. إذا كان البسط والمقام لكسر معين أوليين بشكل متبادل، فلا يمكن اختزال الكسر، على سبيل المثال، \frac(3)(4) هو كسر غير قابل للاختزال.

قواعد الكسور الإيجابية:

من كسرين مع نفس القواسمالكسر الذي بسطه أكبر هو أكبر. على سبيل المثال، \frac(3)(15)

من كسرين مع نفس البسطينالأكبر هو الكسر الذي مقامه أصغر. على سبيل المثال، \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

لمقارنة كسرين لهما بسطان ومقامان مختلفان، يجب عليك تحويل كلا الكسرين بحيث يكون مقامهما متساويًا. يسمى هذا التحول اختزال الكسور إلى قاسم مشترك.

هذا الموضوع مهم جدًا، فكل الرياضيات والجبر الأخرى تعتمد على الخصائص الأساسية للكسور. خصائص الكسور التي تم تناولها، على الرغم من أهميتها، بسيطة للغاية.

لفهم الخصائص الأساسية للكسوردعونا نفكر في دائرة.

على الدائرة يمكنك أن ترى أن 4 أجزاء أو مظللة من الثمانية المحتملة. لنكتب الكسر الناتج \(\frac(4)(8)\)

في الدائرة التالية يمكنك أن ترى أن أحد الجزأين المحتملين مظلل. لنكتب الكسر الناتج \(\frac(1)(2)\)

إذا نظرنا عن كثب، فسنرى أنه في الحالة الأولى، في الحالة الثانية لدينا نصف الدائرة المظللة، وبالتالي فإن الكسور الناتجة تساوي \(\frac(4)(8) = \frac(1)( 2)\)، أي أنه نفس الرقم.

كيف تثبت هذا رياضيا؟ الأمر بسيط جدًا، تذكر جدول الضرب واكتب الكسر الأول إلى عوامل.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(red)(1) = \frac(1)(2)\)

ماذا فعلنا؟ قمنا بتحليل البسط والمقام \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\)، ثم قسمنا الكسور \(\frac(1) ) (2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). أربعة مقسومًا على أربعة يساوي 1، وواحد مضروبًا في أي رقم هو الرقم نفسه. ما فعلناه في المثال أعلاه يسمى تقليل الكسور.

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر ونقوم بتبسيط الكسر.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(red) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(red) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(red)(1) = \frac(3)(5)\)

لقد حللنا البسط والمقام مرة أخرى، وقمنا بتبسيط الأعداد نفسها إلى بسط ومقام. أي أن اثنين مقسومًا على اثنين يعطي واحدًا، وواحد مضروبًا في أي رقم يعطي العدد نفسه.

الخاصية الرئيسية للكسر.

وهذا يعني الخاصية الرئيسية للكسر:

إذا تم ضرب كل من البسط والمقام لكسر في نفس الرقم (ما عدا الصفر)، فإن قيمة الكسر لن تتغير.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

يمكنك أيضًا قسمة البسط والمقام على نفس الرقم في نفس الوقت.
لنلقي نظرة على مثال:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(أحمر) (2))(8 \div \color(red) (2)) = \frac(3)(4)\)

إذا تم قسمة كل من البسط والمقام لكسر على نفس الرقم (ما عدا الصفر)، فإن قيمة الكسر لن تتغير.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

تسمى الكسور التي لها عوامل أولية مشتركة في البسط والمقامات الكسور القابلة للاختزال.

مثال على كسر قابل للاختزال: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), ...\)

يوجد ايضا الكسور غير القابلة للاختزال.

جزء غير قابل للاختزالهو الكسر الذي ليس له عوامل أولية مشتركة في بسطه ومقامه.

مثال على كسر غير قابل للاختزال: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), ...\)

يمكن التعبير عن أي رقم على شكل كسر، لأن أي رقم يقبل القسمة على واحد.على سبيل المثال:

\(7 = \frac(7)(1)\)

أسئلة للموضوع:
هل تعتقد أنه يمكن تخفيض أي جزء أم لا؟
الجواب: لا، هناك كسور قابلة للاختزال وكسور غير قابلة للاختزال.

تحقق مما إذا كانت المساواة صحيحة: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)؟
الجواب: اكتب الكسر \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\)نعم هذا عادل.

مثال 1:
أ) أوجد كسرًا مقامه 15 يساوي الكسر \(\فارك(2)(3)\).
ب) أوجد الكسر الذي بسطه 8 يساوي الكسر \(\فارك(1)(5)\).

حل:
أ) نحتاج إلى الرقم 15 في المقام، والآن أصبح المقام يحمل الرقم 3. ما الرقم الذي يجب أن نضرب فيه الرقم 3 لنحصل على 15؟ لنتذكر جدول الضرب 3×5. نحتاج إلى استخدام الخاصية الأساسية للكسور وضرب كل من بسط الكسر ومقامه \(\فارك(2)(3)\)بحلول 5.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

ب) نحتاج أن يكون الرقم 8 في البسط، والآن الرقم 1 موجود في البسط، ما هو الرقم الذي يجب أن نضرب فيه الرقم 1 لنحصل على 8؟ بالطبع 1⋅8. نحتاج إلى استخدام الخاصية الأساسية للكسور وضرب كل من بسط الكسر ومقامه \(\فارك(1)(5)\)بواسطة 8. نحصل على:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

المثال رقم 2:
أوجد كسرًا غير قابل للاختزال يساوي الكسر: أ) \(\فارك(16)(36)\),ب) \(\فارك(10)(25)\).

حل:
أ) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

ب) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

المثال رقم 3:
اكتب الرقم في صورة كسر: أ) 13 ب) 123

حل:
أ) \(13 = \frac(13) (1)\)

ب) \(123 = \frac(123) (1)\)

جزء- شكل من أشكال تمثيل الرقم في الرياضيات. يشير شريط الكسر إلى عملية القسمة. البسطالكسر يسمى الأرباح، و المقام - صفة مشتركة - حالة- مقسم. على سبيل المثال، في الكسر، البسط هو 5 والمقام هو 7.

صحيحيسمى الكسر الذي يكون فيه معامل البسط أكبر من معامل المقام. إذا كان الكسر صحيحًا، فإن معامل قيمته يكون دائمًا أقل من 1. وجميع الكسور الأخرى كذلك خطأ.

يسمى الكسر مختلطإذا كان مكتوبا على شكل عدد صحيح وكسر. وهذا هو نفس مجموع هذا الرقم والكسر:

الخاصية الرئيسية للكسر

إذا تم ضرب بسط ومقام الكسر في نفس العدد، فإن قيمة الكسر لن تتغير، أي على سبيل المثال:

اختزال الكسور إلى قاسم مشترك

لجلب كسرين إلى قاسم مشترك، تحتاج إلى:

1. اضرب بسط الكسر الأول في مقام الثاني
2. اضرب بسط الكسر الثاني في مقام الأول
3. استبدل مقامات الكسرين بمنتجهما

العمليات مع الكسور

إضافة.لإضافة كسرين تحتاج

1. أضف البسطين الجديدين لكلا الكسرين واترك المقام دون تغيير

مثال:

الطرح.لطرح جزء واحد من آخر، تحتاج

1. تقليل الكسور إلى قاسم مشترك
2. اطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، واترك المقام دون تغيير

مثال:

عمليه الضرب.لضرب كسر في آخر، اضرب بسطيه ومقاميه.

تمت مناقشته بالتفصيل الخاصية الرئيسية للكسروقد تقدمت صياغته، وقدمت برهانًا ومثالًا. يتم أيضًا النظر في تطبيق الخاصية الأساسية للكسر عند اختزال الكسور واختزال الكسور إلى مقام جديد.

التنقل في الصفحة.

الخاصية الرئيسية للكسر هي الصياغة والإثبات والأمثلة التوضيحية

دعونا نلقي نظرة على مثال يوضح الخاصية الأساسية للكسر. لنفترض أن لدينا مربعًا مقسمًا إلى 9 مربعات "كبيرة"، وكل مربع من هذه المربعات "الكبيرة" مقسم إلى 4 مربعات "صغيرة". وبالتالي، يمكننا أيضًا أن نقول إن المربع الأصلي مقسم إلى 4 9 = 36 مربعًا "صغيرًا". لنرسم 5 مربعات "كبيرة". في هذه الحالة، 4·5=20 مربعًا "صغيرًا" سيتم تظليلها. هنا رسم يتوافق مع مثالنا.

الجزء المظلل هو 5/9 من المربع الأصلي، أو، وهو نفسه، 20/36 من المربع الأصلي، أي أن الكسور 5/9 و 20/36 متساوية: أو. من هذه التساويات، وكذلك من التساويات 20=5·4، 36=9·4، 20:4=5 و36:4=9، يتبع ذلك و.

لدمج المادة المفككة، فكر في حل المثال.

مثال.

البسط والمقام للبعض الكسر المشتركمضروبًا في 62، وبعد ذلك تم تقسيم البسط والمقام للكسر الناتج على 2. هل الكسر الناتج يساوي الكسر الأصلي؟

حل.

ضرب بسط الكسر ومقامه في أي كسر عدد طبيعي، على وجه الخصوص عند 62، يعطي كسرًا، نظرًا للخاصية الأساسية للكسر، يساوي الكسر الأصلي. الخاصية الرئيسية للكسر تسمح لنا بالقول أنه بعد قسمة البسط والمقام للكسر الناتج على 2، فإن الكسر الناتج سيكون مساويا للكسر الأصلي.

إجابة:

نعم، الكسر الناتج يساوي الكسر الأصلي.

تطبيق الخاصية الأساسية للكسر

تُستخدم الخاصية الأساسية للكسر بشكل أساسي في حالتين: أولاً، عند اختزال الكسور إلى مقام جديد، وثانيًا، عند اختزال الكسور.

تسمح لك الخاصية الرئيسية للكسر بتقليل الكسور، ونتيجة لذلك، انتقل من الكسر الأصلي إلى كسر مساوٍ، ولكن ببسط ومقام أصغر. يتكون تقليل الكسر من قسمة بسط ومقام الكسر الأصلي على أي بسط ومقام موجب غير واحد (إذا لم يكن هناك مثل هذه المقسومات المشتركة، فإن الكسر الأصلي غير قابل للاختزال، أي لا يمكن اختزاله). على وجه الخصوص، فإن القسمة على ستؤدي إلى تقليل الكسر الأصلي إلى شكل غير قابل للاختزال.

فهرس.

• فيلينكين إن.يا.، جوخوف في.إي.، تشيسنوكوف إيه.إس.، شفارتسبورد إس.آي. الرياضيات: كتاب مدرسي للصف الخامس. المؤسسات التعليمية.
• فيلينكين ن.يا. وغيرها الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام.

حقوق الطبع والنشر من قبل Smartstudents

كل الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من الموقع، بما في ذلك المواد الداخلية والمظهر، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.