وزارة التعليم والعلوم في أوكرانيا

جامعة ولاية سومي

قسم علوم الحاسوب

عمل الدورة

حسب الدورة:

الطرق العددية

"الطرق التكرارية لحل الأنظمة ليست كذلك المعادلات الخطية»

1. طرق حل أنظمة المعادلات غير الخطية. معلومات عامة

2.1 طريقة التكرار البسيطة

2.2 تحويل أيتكين

2.3 طريقة نيوتن

2.3.1 تعديلات طريقة نيوتن

2.3.2 طرق شبه نيوتن

2.4 طرق تكرارية أخرى لحل أنظمة المعادلات غير الخطية

2.4.1 طريقة بيكارد

2.4.2 طريقة النزول المتدرج

2.4.3 طريقة الاسترخاء

3. تنفيذ الطرق التكرارية برمجياً وباستخدام الحزمة الرياضية Maple

3.1 طريقة التكرار البسيطة

3.2 طريقة النسب المتدرج

3.3 طريقة نيوتن

3.4 طريقة نيوتن المعدلة

قائمة الأدب المستخدم

1. طرق حل المعادلات غير الخطية. معلومات عامة.

دعونا نعطي نظام المعادلات، حيث

- بعض العوامل غير الخطية: (1.1)

ويمكن أيضًا تمثيلها في شكل مصفوفة:

(1.1)

حلها يسمى هذه القيمة

، لأي منهم

من المشاكل الحسابية الشائعة جدًا إيجاد بعض أو كل حلول النظام (1.1) من نالمعادلات الجبرية غير الخطية أو المعادلات المتسامية نمجهول.

دعونا نشير بواسطة Xناقلات العمود ( X 1 ، اكس 2 ،...، س ن)تواكتب نظام المعادلات على شكل الصيغة (1.2): F(X) = 0، حيث و=(F 1 ،F 2 ،...، ف ن)ت.

يمكن أن تنشأ أنظمة المعادلات هذه بشكل مباشر، على سبيل المثال، أثناء تصميم الأنظمة الفيزيائية، أو بشكل غير مباشر. لذلك، على سبيل المثال، عند حل مشكلة تقليل وظيفة معينة ز(X) غالبًا ما يكون من الضروري تحديد تلك النقاط التي يكون فيها تدرج هذه الوظيفة صفرًا. الاعتقاد و=خريج ز،نحصل على نظام غير خطي.

على عكس أنظمة المعادلات الجبرية الخطية، لحلها يمكن استخدام كليهما مستقيم(أو دقيق)، و ترابطي(أو يغلق) الطرق، لا يمكن الحصول على حل أنظمة المعادلات غير الخطية إلا من خلال الطرق التقريبية التكرارية. إنها تسمح لك بالحصول على سلسلة من التقديرات التقريبية

. إذا تقاربت العملية التكرارية، فإن القيمة الحدية هي حل لنظام المعادلات المحدد.

لاستكمال فهم طرق إيجاد حل لنظام ما، من الضروري توضيح مفهوم مثل "معدل التقارب". إذا من أجل الاتساق س ن، تتقارب إلى الحد × *، الصيغة صحيحة

(ك- إيجابي عدد حقيقي)، الذي - التي كويسمى معدل تقارب هذا التسلسل.

2. الطرق التكرارية لحل أنظمة المعادلات غير الخطية

2.1 طريقة التكرار البسيطة

تعد طريقة التكرارات البسيطة (التقريبات المتعاقبة) إحدى الطرق الرئيسية في الرياضيات الحسابية وتستخدم لحل فئة واسعة من المعادلات. دعونا نعطي وصفًا وتبريرًا لهذه الطريقة لأنظمة المعادلات غير الخطية من النموذج

و أنا (x 1 ,x 2 ,...x n) = 0, أنا=1,2,..ن;

دعونا نأتي بنظام المعادلات إلى شكل خاص:

(2.1)

أو في شكل ناقلات

. (2.2)

علاوة على ذلك، فإن الانتقال إلى هذا النظام يجب أن يكون بشرط ذلك

هو رسم الخرائط الانكماش.

باستخدام بعض التقريب الأولي X (0) = (× 1 (0) ,× 2 (0) ,...× ن (0))

دعونا نبني عملية تكرارية X (k+1) =  (X (k)). وتستمر الحسابات حتى يتم استيفاء الشرط

. إذن حل نظام المعادلات هو النقطة الثابتة للرسم.

دعونا نثبت الطريقة بمعايير معينة

فضاء.

دعونا نقدم نظرية التقارب التي يؤدي تحقيق شروطها إلى إيجاد حل للنظام.

نظرية (حول التقارب).يترك

1). يتم تعريف وظيفة المتجه Ф(kh) في المنطقة

; تم استيفاء الشرط

3). عدم المساواة عادلة

ثم في العملية التكرارية:

, – حل نظام المعادلات; ,

تعليق. عدم مساواة الشرط 2) هو شرط ليبشيتز للدالة المتجهة Ф(x) في المجال سمع ثابت

(حالة الضغط). إنه يظهر أن Fهو مشغل الضغط في المنطقة س، أي بالنسبة للمعادلة (2.2) ينطبق مبدأ التعيينات المضغوطة. تعني بيانات النظرية أن المعادلة (2.2) لها حل في المنطقة س، وتتقارب التقريبات المتعاقبة إلى هذا الحل بمعدل تسلسل هندسي ذو مقام س.

دليل. بسبب ال

، ثم للتقريب بسبب الافتراض 3) لدينا. هذا يعني انه . دعونا نظهر أن k=2,3,... وبالنسبة للتقريبات التقريبية فإن عدم المساواة (2.3) محققة

سنجادل عن طريق الاستقراء. في

البيان صحيح، لأنه و . لنفترض أن التقريبات تنتمي إلى S، وأن عدم المساواة (2.3) ينطبق على . منذ ذلك الحين، لمراعاة الشرط 2) من النظرية لدينا.

عن طريق الفرضية الاستقرائية

حل المعادلات غير الخطية

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة

أين
- دالة مستمرة غير خطية.

تنقسم طرق حل المعادلات إلى مباشرة وتكرارية. الطرق المباشرة هي طرق تسمح لك بحساب الحل باستخدام صيغة (على سبيل المثال، العثور على جذور المعادلة التربيعية). الطرق التكرارية هي طرق يتم فيها تحديد بعض التقريبات الأولية وإنشاء تسلسل متقارب من التقريبات للحل الدقيق، مع حساب كل تقريب لاحق باستخدام الأساليب السابقة

يمكن تقسيم الحل الكامل للمشكلة إلى 3 مراحل:

تحديد عدد وطبيعة وموقع جذور المعادلة (1).

ابحث عن القيم التقريبية للجذور، أي. تشير إلى الفواصل الزمنية التي ستنمو فيها الجذور (افصل الجذور).

أوجد قيمة الجذور بالدقة المطلوبة (حدد الجذور).

هناك طرق رسومية وتحليلية مختلفة لحل المشكلتين الأوليين.

الطريقة الأكثر وضوحًا لفصل جذور المعادلة (1) هي تحديد إحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة
مع محور الإحداثي. الإحداثيات نقاط تقاطع الرسم البياني
مع المحور
هي جذور المعادلة (1)

يمكن الحصول على فترات العزل لجذور المعادلة (1) تحليليًا، استنادًا إلى نظريات حول خصائص الدوال المستمرة على فترة ما.

إذا، على سبيل المثال، الوظيفة
المستمر على الجزء
و
، ثم وفقًا لنظرية بولزانو-كوشي، على القطعة
يوجد جذر واحد على الأقل للمعادلة (1) (عدد فردي من الجذور).

إذا كانت الوظيفة
يحقق شروط نظرية بولزانو-كوشي ويكون رتيبًا في هذه الفترة، ثم في
يوجد جذر واحد فقط للمعادلة (1)، وبالتالي فإن المعادلة (1) لها
جذر واحد إذا تم استيفاء الشروط التالية:

إذا كانت الوظيفة قيد التشغيل الفاصل الزمني المحددإذا كانت قابلة للاشتقاق بشكل مستمر، فيمكننا استخدام نتيجة طبيعية من نظرية رول، والتي بموجبها توجد دائمًا نقطة ثابتة واحدة على الأقل بين زوج من الجذور. ستكون خوارزمية حل المشكلة في هذه الحالة كما يلي:

من الأدوات المفيدة لفصل الجذور أيضًا استخدام نظرية شتورم.

ويتم حل المسألة الثالثة بطرق تكرارية (عددية) مختلفة: طريقة الانقسام، طريقة التكرار البسيط، طريقة نيوتن، طريقة الوتر، إلخ.

مثالدعونا نحل المعادلة
طريقة تكرار بسيط. دعونا نضع
. دعونا نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة.

يوضح الرسم البياني أن جذر المعادلة ينتمي إلى القطعة المستقيمة
، أي.
هي قطعة العزل لجذر المعادلة. دعونا نتحقق من هذا تحليليا، أي. استيفاء الشروط (2):

ولنتذكر أن المعادلة الأصلية (1) في طريقة التكرار البسيطة تحولت إلى الشكل
ويتم تنفيذ التكرارات وفقًا للصيغة:

(3)

يُطلق على إجراء العمليات الحسابية باستخدام الصيغة (3) تكرارًا واحدًا. تتوقف التكرارات عند استيفاء الشرط
، أين - خطأ مطلق في العثور على الجذر، أو
، أين -خطأ نسبي.

تتقارب طريقة التكرار البسيطة إذا تم استيفاء الشرط
ل
. اختيار وظيفة
في الصيغة (3) للتكرارات، يمكنك التأثير على تقارب الطريقة. في أبسط الحالات
مع علامة زائد أو ناقص.

في الممارسة العملية يتم التعبير عنها في كثير من الأحيان
مباشرة من المعادلة (1). إذا لم يتحقق شرط التقارب حوله إلى النموذج (3) وقم بتحديده. دعونا نمثل المعادلة لدينا في النموذج
(اعبر عن x من المعادلة). دعونا نتحقق من حالة التقارب للطريقة:

ل
. يرجى ملاحظة أن شرط التقارب غير مستوفي
لذلك نأخذ شريحة من عزل الجذر
. وبشكل عابر، نلاحظ ذلك عند عرض المعادلة في الصورة
، لم يتم استيفاء شرط التقارب للطريقة:
على الجزء
. الرسم البياني يوضح ذلك
يزيد بشكل أسرع من الوظيفة
(|tg| زاوية ميل المماس ل
على الجزء
)

دعنا نختار
. نقوم بتنظيم التكرارات وفقًا للصيغة:

نقوم بتنظيم عملية التكرار برمجيًا بدقة معينة:

> فف:=بروك(f1,x0,eps)

> ك:=0:

س:=x1+1:

بينما تقوم القيمة abs(x1-x)> eps بذلك

x1:=f1(x):

طباعة (التقييم (x1،8)):

طباعة (عبس (x1-x)):

:printf("عدد التكرار.=%d"،k):

نهاية:

في التكرار 19 حصلنا على جذر المعادلة

مع الخطأ المطلق

دعونا نحل المعادلة لدينا طريقة نيوتن. يتم تنفيذ التكرارات في طريقة نيوتن وفقًا للصيغة:

يمكن اعتبار طريقة نيوتن طريقة تكرار بسيط مع دالة، فيتم كتابة شرط تقارب طريقة نيوتن على النحو التالي:

.

في تدويننا
واستيفاء شرط التقارب على القطعة
، كما هو واضح في الرسم البياني:

تذكر أن طريقة نيوتن تتقارب بمعدل تربيعي ويجب اختيار التقريب الأولي قريبًا بدرجة كافية من الجذر. دعونا نفعل الحسابات:
، التقريب الأولي، . نقوم بتنظيم التكرارات وفقًا للصيغة:

نقوم بتنظيم عملية التكرار برمجيًا بدقة معينة. في التكرار 4 نحصل على جذر المعادلة

مع
لقد نظرنا إلى طرق حل المعادلات غير الخطية باستخدام المعادلات التكعيبية كمثال، ومن الطبيعي أن تحل هذه الطرق أنواع مختلفةالمعادلات غير الخطية. على سبيل المثال، حل المعادلة

طريقة نيوتن مع
، أوجد جذر المعادلة عند [-1.5;-1]:

يمارس: حل المعادلات غير الخطية بدقة

0.

تقسيم قطعة إلى نصفين (ثنائية)

تكرار بسيط.

نيوتن (المماسات)

قاطعات - الحبال.

يتم حساب خيارات المهمة على النحو التالي: يتم تقسيم الرقم الموجود في القائمة على 5 (
) ، الجزء الصحيح يتوافق مع رقم المعادلة، والباقي - إلى رقم الطريقة.

قسم الكيمياء الفيزيائية SFU (RSU)
الطرق العددية والبرمجة
المواد اللازمة لدورة المحاضرة
محاضر - الفن. القس. شيرباكوف آي.إن.

أنظمة المعادلات غير الخطية

عند حل مشاكل نمذجة السلوك الأنظمة الكيميائيةفي كثير من الأحيان يتعين علينا حل أنظمة المعادلات غير الخطية فيما يتعلق بالمتغيرات. الأنظمة نالمعادلات الخطية ذات المجهول n x 1, x 2, ..., x n تتم كتابتها عمومًا على النحو التالي:

حيث F 1، F 2،...، F n هي أي وظائف للمتغيرات المستقلة، بما في ذلك المتغيرات غير الخطية فيما يتعلق بالمجهول.

كما هو الحال في أنظمة المعادلات الخطية، فإن حل النظام هو المتجه (أو المتجهات) (X *)، والذي، عند الاستبدال، يحول جميع معادلات النظام في نفس الوقت إلى هويات.

قد لا يكون لنظام المعادلات أي حلول، أو قد يكون له حل واحد، أو عدد محدود أو لا حصر له من الحلول. يجب حل مسألة عدد الحلول لكل مشكلة محددة على حدة.

دعونا نفكر في العديد من أبسط الطرق التكرارية لحل أنظمة المعادلات غير الخطية، وهي طريقة التكرار البسيطة، وطريقة سايدل، وطريقة نيوتن.

طريقة التكرار البسيطة

ولتنفيذ هذه الطريقة يجب تحويل نظام المعادلات المراد حلها إلى الشكل التالي من خلال التحويلات الجبرية، معبرا عن متغير واحد من كل معادلة على النحو التالي:

ثم اختيار متجه التقريب الأولي

استبدله في نظام المعادلات المحول. من المعادلة الأولى يتم الحصول على تقريب جديد للمتغير الأول، ومن الثانية - الثاني، وما إلى ذلك. ويتم استبدال القيمة المكررة الناتجة للمتغيرات مرة أخرى في هذه المعادلات، وما إلى ذلك. وهكذا، في الخطوة (i+1) من الإجراء التكراري لدينا

طريقة سيدل

يتكون تعديل Seidel لخوارزمية التكرار البسيطة من استخدام القيم المكررة للمتغيرات الموجودة بالفعل في خطوة التكرار الحالية. لذلك، لتوضيح قيم المتغير الأول، يتم استخدام قيم الخطوة السابقة فقط، للمتغير الثاني - القيمة × 1 من الخطوة الحالية، والباقي - من الخطوة السابقة، الخ. :

طريقة نيوتن-رافسون

الأساس الرياضيالطريقة هي خطية الوظائف F 1 , F 2 , الجبهة الوطنية (يتم تشكيل الجوانب اليسرى من المعادلات) من خلال التوسع في متسلسلة تايلور في محيط نقطة الاقتراب الأولي للحل وإهمال جميع حدود السلسلة باستثناء الحدود الخطية فيما يتعلق الزياداتالمتغيرات.

لنفكر في الطريقة باستخدام مثال نظام من معادلتين مع مجهولين:

دعونا نجعل الوظائف خطية F 1 , F 2 من خلال التوسع في سلسلة تايلور بالقرب من نقطة معينة (تقريب أولي) وإهمال جميع حدود السلسلة باستثناء تلك الخطية فيما يتعلق بزيادات المتغيرات.

تذكر أنه بالنسبة لدالة ذات متغير واحد، فإن توسعة متسلسلة تايلور في جوار نقطة ما x 0 لها الشكل التالي:

بعد إهمال جميع المصطلحات باستثناء المصطلح الخطي:

بالنسبة لدالة ذات عدة متغيرات، يتم إجراء التوسيع بالمثل.

لإيجاد حل لنظام المعادلات، دعونا نختار بعض التقريب الأولي

دعونا نكتب لهذه الوظيفة F 1 2- الجزء الخطي المتغير من امتداد سلسلة تايلور في محيط نقطة مختارة

وبالنسبة للمعادلة الثانية بالمثل

إذا كانت قيم المتغيرات س 1 و س 2 إذا كانت حلاً، فيجب أن تختفي معادلتا النظام، لذلك نساوي التوسعات الناتجة بالصفر.

وللإيجاز نطرح الملاحظة التالية:

زيادة المتغير i

قيمة المشتق الجزئي الأول للدالة F j بالمتغير x i بقيمة المتغيرات

- قيمة الدالة j -th مع القيم المقابلة للمتغيرات، أي تناقض المعادلة j -th.

نحصل على نظام المعادلات الخطية 2 × 2 بالنسبة لزيادة المتغيرات

أو على شكل مصفوفة

حيث تسمى مصفوفة القيم المشتقة الجزئية بمصفوفة جاكوبي (أو اليعقوبي). يعطي حل هذا النظام متجهًا لتصحيحات التقريب الأولي.

وإضافته إلى متجه التقريب الأولي يعطي قيمًا جديدة للمتغيرات.

وبالتالي فإن إجراءات الحل هي كما يلي:

1. تم اختيار تقريب أولي، وتم اختزال النظام إلى الصورة العادية، وتم العثور على المشتقات الجزئية للجانب الأيمن من معادلات النظام فيما يتعلق بجميع المتغيرات في الصورة التحليلية.

2. يتم حساب المصفوفة اليعقوبية لقيم المشتقات الجزئية عند نقطة التقريب الأولي

3. يتم حل نظام المعادلات الخطية بزيادات المتغيرات.

4. تتم إضافة متجه الزيادة إلى متجه التقريب الأولي

5. يتم التحقق من شرط التقارب وفي حالة عدم تحقيقه يتم تكرار الإجراء من الخطوة 2.

يتم تعميم الطريقة بسهولة على نظام المعادلات من أي بعد.

للوظيفة F 1 ن المتغيرات الخطية جزء من توسع سلسلة تايلور في جوار نقطة ما مكتوب مثل هذا

بعد تحليل جميع معادلات النظام واستخدام الترميز الذي قدمناه سابقًا، بعد التحويل نحصل على نظام من المعادلات الخطية من الرتبة n بالنسبة لزيادة المتغيرات Δ x i

أو على شكل مصفوفة

وبشكل مختصر يمكننا كتابتها هكذا - (F" )(Δ x ) = - (F ) ، حيث تسمى مصفوفة القيم المشتقة الجزئية - (F" ) - مصفوفة جاكوبيأو اليعقوبيأنظمة المعادلات.

يعطي حل هذا النظام متجهًا لتصحيحات التقريب الأولي. وإضافته إلى متجه التقريب الأولي يعطي قيمًا جديدة ومحسنة للمتغيرات.

المشتقات الجزئية المطلوبة للحساب المصفوفات اليعقوبية، يمكن حسابها تحليليًا، أو إذا كان ذلك مستحيلًا أو صعبًا، يمكن الحصول عليه باستخدام صيغ التمايز التقريبية، على سبيل المثال، كنسبة زيادة دالة إلى زيادة الوسيطة

أين إبسيلون- عدد صغير إلى حد ما.

طرق التحكم في تقارب الطرق التكرارية
حلول الأنظمة

يمكن التحكم في تقارب العملية التكرارية لحل نظام من المعادلات غير الخطية بعدة طرق، على سبيل المثال:

1. القاعدة (الإقليدية أو -الحد الأقصى) للناقل المتبقي

2. القاعدة الإقليدية لمتجه الانحرافات النسبية للمتغيرات

3. الحد الأقصى لمتجه الانحرافات النسبية

دعونا نطبق طريقة نيوتن لحل نظام المعادلات

مصفوفة مشتقة جزئية (في شكل تحليلي)

نظام المعادلات الخطية

يمكن حلها تحليليا أو بطريقة كرامر أو طريقة انعكاس المصفوفة. لنأخذ التقريب الأولي x = 0.15، y = 0.17

التكرار الأول:

مصفوفة جاكوبي - متجه قيم الدالة متجه التصحيحات المحسوب تقريب جديد x = 0.15 + 0.028704 = 0.178704، y = 0.17 + 0.090926 = 0.260926 التكرار الثاني: متجه التصحيح المحسوب التقريب الجديد x = 0.196656، y = 0.293359 التكرار الثالث: متجه التصحيح المحسوب تقريب جديد x = 0.199867، y = 0.299739 بالفعل في التكرار السادس، المعيار الإقليدي للمتجه المتبقي هو 2.8∙10 -13، الحد الأقصى للتغير النسبي في المتغيرات هو 1.6∙10 -12 ويتقارب الحل إلى x = 0.2 , y = 0.3 مع وجود خطأ مطلق أقل من 5∙10 -7. تتقارب طريقة التكرار البسيطة في ظل نفس الظروف الأولية بنفس الدقة في الخطوة 33، تعديل Seidel - في الخطوة 31. يوضح الشكل أدناه مثالاً لتنظيم العمليات الحسابية عند حل النظام المعني في MS Excel.
التفسيرات:تحتوي الخلايا B3 وB4 على تقديرات أولية تقريبية لحل النظام (القيم x 0 و y 0 على التوالي). في نطاق الخلايا D3:E4 توجد صيغ لحساب المصفوفة اليعقوبية، بشرط أن تكون x في الخلية B3، وy في الخلية B4 (تظهر الصيغ في الشكل أدناه). في الخلايا G3:G4، يتم حساب قيمة متجه القيم المتبقية بإشارة سالبة.
في الخلية H3، يتم حساب القاعدة الإقليدية للناقل المتبقي. في الخلايا I3:I4، يتم حل نظام المعادلات الخطية ويتم حساب متجه تصحيحات الحل. للقيام بذلك، يتم قلب مصفوفة معاملات النظام (مصفوفة جاكوبي) وضربها بمتجه العمود للمصطلحات الحرة (المتجه السلبي للبقايا). يتم إدخال الصيغة الموجودة في هذا النطاق من الخلايا كصيغة صفيف. في مكان قريب - في الخلية J3 - يتم حساب معيار متجه التصحيح للتحكم في التقارب (انظر الصيغ في الشكل أدناه).
تتم إضافة قيم التصحيح التي تم الحصول عليها في الخلايا I3:I4 في دورة التكرار الثانية إلى التقريب الأولي (في الخلايا B6:B7) ثم يتم تكرار الحسابات بشكل مشابه للدورة الأولى. يمكن نسخ الصيغ المكتوبة في السطرين 6 و 7 من ورقة العمل حتى يتم تحقيق الدقة المطلوبة.

المسائل التي تقلل من حل نظام المعادلات غير الخطية

مثال على مشكلة تستخدم حل أنظمة المعادلات غير الخطية هو تقريب دالة محددة في الجدول باستخدام النماذج الرياضية غير الخطية فيما يتعلق بالمعلمات. وقد تم وصفه بالتفصيل في وقت سابق. إذا كانت الوظيفة التقريبية ومعلماتها المحددة أ تعيين على النحو التالي عندئذ يمكن كتابة شرط مرور الرسم البياني للدالة عبر جميع النقاط المجدولة على شكل النظام التالي: مثال آخر هو البحث عن حد أقصى (أدنى أو أقصى) لدالة مكونة من عدة متغيرات، وشرط الحد الأقصى هو المساواة المتزامنة مع الصفر لجميع المشتقات الجزئية للدالة. وبالتالي لا بد من حل نظام المعادلات بالشكل التالي، والذي في الحالة العامة سيكون غير خطي

صيغة الحساب طريقة نيوتنلديه النموذج:

أين ن=0,1,2,..

هندسيا طريقة نيوتنيعني أن الاقتراب التالي من الجذر هو نقطة التقاطع مع محور OX. مماس للرسم البياني للوظيفة ص = و (س)عند نقطة .

نظرية على تقارب طريقة نيوتن.

ليكن جذرًا بسيطًا لمعادلة في أحد الأحياء التي تكون الدالة فيها قابلة للاشتقاق مرتين بشكل مستمر.

ثم هناك حي صغير من الجذر بحيث، مع اختيار تعسفي للتقريب الأولي من هذا الحي، فإن التسلسل التكراري لطريقة نيوتن لا يتجاوز الحي ويكون التقدير صالحًا

طريقة نيوتن(1) حساس لاختيار التقريب الأولي س 0 .

في الممارسة العملية، من أجل التقارب الرتيب للطريقة، فمن الضروري:

المشتقة الأولى و (خ)

المشتق الثاني و (خ) يجب أن تكون ذات إشارة ثابتة على الفاصل الزمني للتوطين [a، b] للجذر المعزول؛

للنهج الأولي س 0 يتم تحديد حدود الفاصل الزمني للتوطين الذي يكون فيه منتج الدالة بمشتقها الثاني أكبر من الصفر (f(c)f ’’ (c) > 0، حيث c هي أحد حدود الفاصل الزمني).

. للحصول على دقة معينة>

وكما هو مبين في النظرية، فإن طريقة نيوتن لها تقارب محلي، أي أن منطقة تقاربها عبارة عن حي صغير للجذر .

قد يؤدي الاختيار السيئ إلى تسلسل تكرار متباين.

طريقة التكرار البسيطة (طريقة التكرارات المتتابعة).

لتطبيق طريقة التكرار البسيطة، اتبع المعادلة الأولية تحويل إلى نموذج مناسب للتكرار .

يمكن إجراء هذا التحويل بطرق مختلفة.

تسمى الوظيفة وظيفة تكرارية.

صيغة الحساب لطريقة التكرار البسيطة هي:

أين ن=0,1,2,..

نظرية على تقارب طريقة التكرار البسيطة.

دع الدالة تكون قابلة للاشتقاق بشكل مستمر في بعض المناطق المجاورة للجذر وتلبي عدم المساواة

أين 0 < q < 1 - ثابت.

ثم، بغض النظر عن اختيار التقريب الأولي من الحي المحدد، فإن تسلسل التكرار لا يترك هذا الحي، تتقارب الطريقة

مع سرعة المتتابعة الهندسية وتقدير الخطأ صحيح :

معيار إنهاء العملية التكرارية .

للحصول على دقة معينة> 0، يجب إجراء الحسابات حتى يتم استيفاء عدم المساواة

إذا كانت القيمة هي، فيمكن استخدام معيار أبسط لإنهاء التكرارات:

إذا كان في عدم المساواة (5) ف > 1، ثم تتباعد الطريقة التكرارية (4).

إذا كان في عدم المساواة (5) س= 1 ، فإن الطريقة التكرارية (4) يمكن أن تتقارب أو تتباعد.

في حالة إذا س > = 1 , ثم تتباعد الطريقة التكرارية (4) و

ينطبق طريقة تكرار بسيطة مع معلمة التكرار.

النقطة الأساسية في التطبيق هي تحويل المعادلة بشكل متكافئ:

αf(س) = 0

س = س+αf(خ), (9)

أين α - معلمة التكرار (الثابت الحقيقي).

صيغة الحساب طريقة تكرار بسيطة مع معلمة التكرارلديه النموذج:

س (ن+1) = س (ن) + αf(x (ن) ) , (10)

أين ن=0,1,2,..

وتتقارب العملية التكرارية المبنية على الشكل (10).، لو:

المشتقة الأولى للدالة و (خ)ثابت في الإشارة ومحدود خلال الفاصل الزمني للتوطين للجذر المعزول؛

علامة المعلمة التكرارية α العلامة المعاكسة للمشتق الأول للدالة و (خ)على الفاصل الزمني للتوطين لجذر معزول؛

معامل قيمة المعلمة التكرارية α ويقدر من عدم المساواة

| α | < 2/M , (11)

حيث M هو الحد الأقصى لمعامل المشتق الأول للدالة و (خ)

ثم، مع مثل هذا الاختيار لمعلمة التكرار ، تتقارب الطريقة (10) لأي قيمة تقريبية أولية تنتمي إلى الفترة بمعدل التقدم الهندسي بمقام q يساوي

حيث m هو الحد الأدنى لمعامل المشتق الأول للدالة و (خ)على الفاصل الزمني للتوطين لجذر معزول.

نظام المعادلات غير الخطية له الشكل:

فيما يلي متغيرات غير معروفة، ويسمى النظام (7) بنظام الترتيب العادي إذا كانت إحدى الوظائف على الأقل غير خطية.

يعد حل أنظمة المعادلات غير الخطية إحدى المشكلات الصعبة في الرياضيات الحسابية. تكمن الصعوبة في تحديد ما إذا كان النظام لديه حل، وإذا كان الأمر كذلك، كم عدد الحلول. يعد تحسين الحلول في منطقة معينة مهمة أبسط.

دع الوظائف يتم تحديدها في المناطق. عندها ستكون المنطقة هي المنطقة التي يمكن إيجاد الحل فيها. الطرق الأكثر شيوعًا لتحسين الحل هي طريقة التكرار البسيطة وطريقة نيوتن.

طريقة تكرارية بسيطة لحل أنظمة المعادلات غير الخطية

ومن النظام الأصلي (7) ومن خلال التحويلات المكافئة ننتقل إلى نظام من الشكل:

عملية تكرارية تحددها الصيغ

يمكنك البدء بتحديد تقريب أولي. والشرط الكافي لتقارب العملية التكرارية هو أحد شرطين:

لنكتب الشرط الأول:

لنكتب الشرط الثاني:

دعونا نفكر في إحدى الطرق لتقليل النظام (7) إلى الشكل (8)، مما يسمح بالتكرارات المتقاربة.

دع نظام من الدرجة الثانية من النموذج:

يجب عليك إحضاره إلى هذا النموذج:

لنضرب المعادلة الأولى للنظام في ثابت مجهول، والثانية في ثابت مجهول، ثم نجمعهما ونضيفهما إلى طرفي المعادلة. نحصل على المعادلة الأولى للنظام المحول

نحدد الثوابت المجهولة من الشروط الكافية للتقارب

دعونا نكتب هذه الشروط بمزيد من التفصيل:

بافتراض أن التعبيرات تحت علامة المعامل تساوي الصفر، نحصل على نظام من أربع معادلات بأربعة مجاهيل لتحديد الثوابت:

وبهذا الاختيار للمعلمات سيتم استيفاء شروط التقارب إذا كانت المشتقات الجزئية للدوال لا تتغير بسرعة كبيرة في محيط النقطة.

لحل النظام، تحتاج إلى تحديد تخمين أولي وحساب قيم المشتقات وعند هذه النقطة. يتم إجراء الحساب في كل خطوة تكرار، بينما

طريقة التكرارات البسيطة ذاتية التصحيح وعالمية وسهلة التنفيذ على الكمبيوتر. إذا كان النظام لديه أمر كبير، ثم التطبيق هذه الطريقة، والتي لديها معدل تقارب بطيء، لا ينصح به. وفي هذه الحالة يتم استخدام طريقة نيوتن التي تتميز بالتقارب الأسرع.

طريقة نيوتن لحل أنظمة المعادلات غير الخطية

يجب أن يكون من الضروري حل نظام المعادلات غير الخطية من الشكل (7). لنفترض أن الحل موجود في مجال ما تكون فيه جميع الدوال متصلة ولها على الأقل المشتقة الأولى. طريقة نيوتن هي عملية تكرارية تتم وفق صيغة معينة على الشكل التالي:

صعوبات استخدام طريقة نيوتن:

هل هناك مصفوفة معكوسة؟

ألا يتجاوز الأمر المنطقة؟

طريقة نيوتن المعدلة تجعل المهمة الأولى أسهل. التعديل هو أن المصفوفة لا يتم حسابها عند كل نقطة، ولكن عند النقطة الأولية فقط. وبالتالي فإن طريقة نيوتن المعدلة لها الصيغة التالية:

لكن طريقة نيوتن المعدلة لا تجيب على السؤال الثاني.

تنتهي العملية التكرارية حسب الصيغتين (8) أو (10) إذا تم استيفاء الشرط التالي

وميزة طريقة نيوتن هي تقاربها السريع مقارنة بطريقة التكرار البسيطة.