كيفية العثور على مساحة أي شكل. نظريات المساحة للأشكال

فصل: 5

في رأيي، مهمة المعلم ليست فقط التدريس، ولكن تنمية الاهتمام المعرفي لدى الطالب. لذلك، كلما أمكن ذلك، أقوم بربط موضوعات الدرس بالمهام العملية.

خلال الدرس، يقوم الطلاب، بتوجيه من المعلم، بوضع خطة لحل المشكلات للعثور على مساحة "الرقم المعقد" (لحساب تقديرات الإصلاح)، وتوحيد المهارات في حل المشكلات للعثور على المنطقة؛ تنمية الاهتمام والقدرة على الأنشطة البحثية، تعليم النشاط، الاستقلال.

العمل في أزواج يخلق حالة من التواصل بين أولئك الذين لديهم المعرفة وأولئك الذين يكتسبونها؛ يعتمد هذا العمل على تحسين جودة التدريب في هذا الموضوع. يعزز تنمية الاهتمام بعملية التعلم واستيعاب المواد التعليمية بشكل أعمق.

لا ينظم الدرس معرفة الطلاب فحسب، بل يساهم أيضًا في تطوير القدرات الإبداعية والتحليلية. يتيح لنا استخدام المشكلات ذات المحتوى العملي في الفصل الدراسي إظهار أهمية المعرفة الرياضية في الحياة اليومية.

أهداف الدرس:

التعليمية:

• توحيد المعرفة بالصيغ الخاصة بمساحة المستطيل والمثلث القائم الزاوية؛
• تحليل المهام لحساب مساحة الشكل "المعقد" وطرق تنفيذها؛
• إكمال المهام بشكل مستقل لاختبار المعرفة والمهارات والقدرات.

التعليمية:

• تطوير أساليب النشاط العقلي والبحثي؛
• تنمية القدرة على الاستماع وشرح مسار القرار.

التعليمية:

• تطوير المهارات الأكاديمية للطلاب.
• تنمية ثقافة الكلام الرياضي الشفهي والمكتوب؛
• تطوير سلوك ودود في الفصل الدراسي والقدرة على العمل في مجموعات.

نوع الدرس:مجموع.

معدات:

• الرياضيات: كتاب مدرسي للصف الخامس. تعليم عام المؤسسات/ ن.يا. فيلينكين، ف. جوخوف وآخرون، م: "منيموسين"، 2010.
• بطاقات لمجموعات من الطلاب بأشكال لحساب مساحة شكل مركب.
• ادوات الرسم.

خطة الدرس:

1. تنظيم الوقت.
2. تحديث المعرفة.
   أ) الأسئلة النظرية (الاختبار).
   ب) بيان المشكلة.
3. تعلمت مادة جديدة.
   أ) إيجاد حل للمشكلة؛
   ب) حل المشكلة.
4. تحديد المواد.
   أ) حل المشكلات بشكل جماعي؛
   دقيقة التربية البدنية.
   ب) العمل المستقل.
5. العمل في المنزل.
6. ملخص الدرس. انعكاس.

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية.

سنبدأ الدرس بهذه الكلمات الفراق:

الرياضيات يا اصدقاء,
بالتأكيد الجميع يحتاج إليها.
العمل بجد في الصف
ومن المؤكد أن النجاح في انتظارك!

ثانيا. تحديث المعرفة.

أ)العمل الأمامي ببطاقات الإشارة (كل طالب لديه بطاقات بالأرقام 1، 2، 3، 4؛ عند الإجابة على سؤال اختباري، يرفع الطالب بطاقة بها رقم الإجابة الصحيحة).

1. السنتيمتر المربع هو:

1. مساحة مربع ضلعه 1 سم؛
2. مربع مع الجانب 1 سم؛
3. مربع محيطه 1 سم.

2. مساحة الشكل الموضح في الشكل تساوي:

1. 8 مارك ألماني
2. 8 مارك ألماني 2؛
3. 15 د2.

3. هل صحيح أن الأشكال المتساوية لها محيطات ومساحات متساوية؟

4. يتم تحديد مساحة المستطيل بواسطة الصيغة:

1. ق = أ 2 ;
2. ق = 2 (أ + ب)؛
3. س = أ ب.

5. مساحة الشكل الموضح في الشكل تساوي:

1. 12 سم؛
2. 8 سم؛
3. 16 سم.

ب) (صياغة المشكلة). مهمة. ما هي كمية الطلاء اللازمة لطلاء أرضية ذات الشكل التالي (انظر الشكل)، إذا تم استهلاك 200 جرام من الطلاء لكل 1 متر مربع؟

ثالثا. تعلم مواد جديدة.

ما الذي نحتاج إلى معرفته لحل المشكلة الأخيرة؟ (ابحث عن مساحة الأرضية التي تبدو وكأنها "شكل معقد".)

يقوم الطلاب بصياغة موضوع وأهداف الدرس (إذا لزم الأمر، يساعد المعلم).

النظر في مستطيل ا ب ت ث. دعونا نرسم خطا فيه كي بي إم إن، كسر المستطيل ا ب ت ثإلى قسمين: ABNMPKو KPMNCD.

ما هي المنطقة؟ ا ب ت ث؟ (15 سم2)

ما هي مساحة الشكل؟ ABMNPK؟ (7 سم2)

ما هي مساحة الشكل؟ KPMNCD؟ (8 سم2)

تحليل النتائج الخاصة بك. (15= = 7 + 8)

خاتمة؟ (مساحة الشكل بأكمله تساوي مجموع مساحات أجزائه.)

س = س 1 + س 2

كيف يمكننا تطبيق هذه الخاصية لحل مشكلتنا؟ (دعونا نقسم الشكل المعقد إلى أجزاء، ونجد مساحات الأجزاء، ثم مساحة الشكل بأكمله.)

ق 1 = 7 2 = 14 (م2)
ق2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (م2)
ق 3 = 7 3 = 21 (م2)
ق = ق 1 + ق 2 + س 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (م2)

دعنا نتفاهم خطة حل المسائل لإيجاد مساحة "الشكل المركب":

1. نحن نقسم الرقم إلى أرقام بسيطة.
2. إيجاد مساحات الأشكال البسيطة.

أ) المهمة 1. كم عدد البلاط المطلوب لتصميم موقع بالأبعاد التالية:

س = س 1 + س 2
ق 1 = (60 - 30) 20 = 600 (د م 2)
ق 2 = 30 50 = 1500 (د م 2)
ق = 600 + 1500 = 2100 (د م 2)

هل هناك طريقة أخرى للحل؟ (نحن ندرس الخيارات المقترحة).

الجواب: 2100 د2.

المهمة 2. (قرار جماعي على السبورة وفي دفاتر الملاحظات.)كم متر مربع من المشمع مطلوب لتجديد غرفة بالشكل التالي:

س = س 1 + س 2
ق 1 = 3 2 = 6 (م2)
ق2 = ((5 - 3) 2) : 2 = 2 (م2)
ق = 6 + 2 = 8 (م2)

الجواب: 8 م2.

دقيقة التربية البدنية.

والآن يا شباب، قفوا.
وسرعان ما رفعوا أيديهم.
إلى الجانبين، إلى الأمام، إلى الخلف.
استدرت يمينًا، يسارًا.
جلسوا بهدوء وعادوا إلى العمل.

ب) العمل المستقل (تعليمية) .

يتم تقسيم الطلاب إلى مجموعات (الطلاب رقم 5-8 هم الأقوى). كل مجموعة عبارة عن فريق إصلاح.

مهمة للفرق: حدد كمية الطلاء اللازمة لطلاء أرضية لها شكل الشكل الموضح على البطاقة، إذا كانت هناك حاجة إلى 200 جم من الطلاء لكل 1 م2.

يمكنك إنشاء هذا الشكل في دفتر ملاحظاتك وتدوين جميع البيانات وبدء المهمة. يمكنك مناقشة الحل (ولكن في مجموعتك فقط!). إذا تعاملت بعض المجموعات مع المهمة بسرعة، فسيتم تكليفهم بمهمة إضافية (بعد التحقق من العمل المستقل).

مهام للمجموعات:

خامسا الواجبات المنزلية.

الفقرة 18، ​​رقم 718، رقم 749.

مهمة إضافية.مخطط تخطيطي للحديقة الصيفية (سانت بطرسبرغ). احسب مساحتها.

السادس. ملخص الدرس.

انعكاس.أكمل الجملة:

• اليوم اكتشفت...
• كان مثيرا للاهتمام…
• كان من الصعب…
• الآن أستطيع…
• أعطتني درسا مدى الحياة..

لحل المسائل الهندسية، عليك معرفة الصيغ - مثل مساحة المثلث أو مساحة متوازي الأضلاع - بالإضافة إلى التقنيات البسيطة التي سنغطيها.

أولاً، دعونا نتعلم الصيغ الخاصة بمساحات الأشكال. لقد جمعناها خصيصًا في جدول مناسب. طباعة وتعلم وتطبيق!

بالطبع، ليست كل الصيغ الهندسية موجودة في طاولتنا. على سبيل المثال، لحل المسائل في الهندسة والقياس المجسم في الجزء الثاني الملف الشخصي امتحان الدولة الموحدةفي الرياضيات، يتم أيضًا استخدام صيغ أخرى لمنطقة المثلث. سنخبرك بالتأكيد عنهم.

ولكن ماذا لو كنت بحاجة إلى العثور على مساحة شبه منحرف أو مثلث، ولكن مساحة بعض الشكل المعقد؟ هناك طرق عالمية! سنعرض لهم باستخدام أمثلة من بنك مهام FIPI.

1. كيفية العثور على مساحة الشكل غير القياسي؟ على سبيل المثال، رباعي تعسفي؟ تقنية بسيطة - دعنا نقسم هذا الشكل إلى تلك التي نعرف كل شيء عنها، ونجد مساحتها - كمجموع مساحات هذه الأشكال.

قسّم هذا الشكل الرباعي بخط أفقي إلى مثلثين بقاعدة مشتركة تساوي . ارتفاعات هذه المثلثات متساوية و . إذن مساحة الشكل الرباعي تساوي مجموع مساحتي المثلثين: .

إجابة: .

2. في بعض الحالات يمكن تمثيل مساحة الشكل بالفرق بين بعض المساحات.

ليس من السهل حساب ما تساويه قاعدة هذا المثلث وارتفاعه! لكن يمكننا القول إن مساحته تساوي الفرق بين مساحة المربع الذي له ضلع وثلاثة المثلثات الصحيحة. هل تراهم في الصورة؟ نحن نحصل: .

إجابة: .

3. في بعض الأحيان، تحتاج في إحدى المهام إلى العثور على مساحة ليس الشكل بأكمله، بل جزءًا منه. عادة نتحدث عن مساحة قطاع - جزء من دائرة، أوجد مساحة قطاع من دائرة نصف قطرها طول قوسها يساوي .

في هذه الصورة نرى جزءا من الدائرة. مساحة الدائرة بأكملها تساوي . يبقى معرفة أي جزء من الدائرة تم تصويره. بما أن طول الدائرة بأكملها متساوي (لأن )، وطول قوس قطاع معين متساوي وبالتالي فإن طول القوس أقل بعدة مرات من طول الدائرة بأكملها. الزاوية التي يقع عندها هذا القوس هي أيضًا عامل أقل من دائرة كاملة (أي درجات). وهذا يعني أن مساحة القطاع ستكون أصغر بعدة مرات من مساحة الدائرة بأكملها.

في القسم السابق خصص لتحليل المعنى الهندسي تكامل محدد، لقد حصلنا على عدد من الصيغ لحساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع:

S (G) = ∫ a b f (x) d x لدالة مستمرة وغير سالبة y = f (x) على الفترة [ a ; ب ] ،

S (G) = - ∫ a b f (x) d x لدالة مستمرة وغير موجبة y = f (x) على الفترة [ a ; ب ] .

تنطبق هذه الصيغ على حل المشكلات البسيطة نسبيًا. في الواقع، سيتعين علينا في كثير من الأحيان العمل مع شخصيات أكثر تعقيدًا. وفي هذا الصدد، سنخصص هذا القسم لتحليل خوارزميات حساب مساحة الأشكال التي تقتصر على وظائف في شكل صريح، أي. مثل y = f(x) أو x = g(y).

نظرية

دع الوظائف y = f 1 (x) و y = f 2 (x) محددة ومستمرة على الفاصل الزمني [ a ; b ] و f 1 (x) ≥ f 2 (x) لأي قيمة x من [ a ; ب ] . ثم صيغة حساب مساحة الشكل G، المحصورة بالخطوط x = a، x = b، y = f 1 (x) و y = f 2 (x) ستبدو هكذا S (G) = ∫ أ ب و 2 (س) - و 1 (س) د س .

سيتم تطبيق صيغة مماثلة على مساحة الشكل الذي يحده الخطوط y = c و y = d و x = g 1 (y) و x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( ز 2 (ص) - ز 1 (ص) د ص .

دليل

دعونا نلقي نظرة على ثلاث حالات تكون الصيغة صالحة لها.

في الحالة الأولى، مع الأخذ بعين الاعتبار خاصية إضافة المساحة، فإن مجموع مساحات الشكل الأصلي G وشبه المنحرف المنحني G 1 يساوي مساحة الشكل G 2. هذا يعني انه

وبالتالي، S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

يمكننا إجراء الانتقال الأخير باستخدام الخاصية الثالثة للتكامل المحدد.

وفي الحالة الثانية تكون المساواة صحيحة: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( س) - و 1 (س)) د س

سيبدو الرسم التوضيحي كما يلي:

إذا كانت كلتا الدالتين غير موجبة، نحصل على: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (س) - و 1 (س)) د س . سيبدو الرسم التوضيحي كما يلي:

دعنا ننتقل إلى النظر في الحالة العامة عندما يتقاطع y = f 1 (x) و y = f 2 (x) مع المحور O x.

نشير إلى نقاط التقاطع كـ x i, i = 1, 2, . . . , ن - 1 . هذه النقاط تقسم المقطع [a؛ ب ] إلى أجزاء n x i - 1 ; س ط، ط = 1، 2، . . . ، ن، حيث α = س 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

لذلك،

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) د x = ∫ أ ب و 2 (س) - و 1 (س) د س

يمكننا إجراء الانتقال الأخير باستخدام الخاصية الخامسة للتكامل المحدد.

دعونا نوضح الحالة العامة على الرسم البياني.

يمكن اعتبار الصيغة S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x مثبتة.

الآن دعنا ننتقل إلى تحليل أمثلة لحساب مساحة الأشكال المحدودة بالخطين y = f (x) و x = g (y).

سنبدأ النظر في أي من الأمثلة من خلال إنشاء رسم بياني. ستسمح لنا الصورة بتمثيل الأشكال المعقدة كإتحادات لأشكال أبسط. إذا كان إنشاء الرسوم البيانية والأشكال عليها أمرًا صعبًا بالنسبة لك، فيمكنك دراسة القسم الخاص بالدوال الأولية الأساسية، والتحويل الهندسي للرسوم البيانية للدوال، بالإضافة إلى إنشاء الرسوم البيانية أثناء دراسة الدالة.

مثال 1

من الضروري تحديد مساحة الشكل المحدد بالقطع المكافئ y = - x 2 + 6 x - 5 والخطوط المستقيمة y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

حل

لنرسم الخطوط على الرسم البياني في نظام الإحداثيات الديكارتية.

على القطعة [ 1 ; 4 ] الرسم البياني للقطع المكافئ y = - x 2 + 6 x - 5 يقع أعلى الخط المستقيم y = - 1 3 x - 1 2. وفي هذا الصدد، للحصول على الإجابة نستخدم الصيغة التي حصلنا عليها سابقًا، وكذلك طريقة حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 س 2 - 9 2 x 1 4 = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

الجواب: س(ز) = 13

دعونا ننظر إلى مثال أكثر تعقيدا.

مثال 2

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على الخطوط y = x + 2، y = x، x = 7.

حل

في هذه الحالة، لدينا خط مستقيم واحد فقط موازي لمحور x. هذا هو س = 7. وهذا يتطلب منا أن نجد الحد الثاني للتكامل بأنفسنا.

دعونا نبني رسمًا بيانيًا ونرسم عليه الخطوط الواردة في بيان المشكلة.

بوجود الرسم البياني أمام أعيننا، يمكننا بسهولة تحديد أن الحد الأدنى للتكامل سيكون حدود نقطة تقاطع الرسم البياني للخط المستقيم y = x وشبه القطع المكافئ y = x + 2. للعثور على الإحداثي السيني نستخدم المعادلات:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

يتبين أن حدود نقطة التقاطع هي x = 2.

نلفت انتباهك إلى حقيقة أنه في المثال العام في الرسم، تتقاطع الخطوط y = x + 2، y = x عند النقطة (2؛ 2)، لذلك قد تبدو مثل هذه الحسابات التفصيلية غير ضرورية. لقد قدمنا ​​مثل هذا الحل التفصيلي هنا فقط لأنه في الحالات الأكثر تعقيدًا قد لا يكون الحل واضحًا جدًا. وهذا يعني أنه من الأفضل دائمًا حساب إحداثيات تقاطع الخطوط بشكل تحليلي.

على الفاصل الزمني [ 2 ; 7] الرسم البياني للدالة y = x يقع أعلى الرسم البياني للدالة y = x + 2. دعونا نطبق الصيغة لحساب المساحة:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

الجواب: س (ز) = 59 6

مثال 3

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على الرسوم البيانية للوظائف y = 1 x و y = - x 2 + 4 x - 2.

حل

دعونا نرسم الخطوط على الرسم البياني.

دعونا نحدد حدود التكامل. للقيام بذلك، نحدد إحداثيات نقاط تقاطع الخطوط عن طريق مساواة التعبيرات 1 x و - x 2 + 4 x - 2. بشرط ألا تكون x صفراً، فإن المساواة 1 x = - x 2 + 4 x - 2 تصبح معادلة لمعادلة الدرجة الثالثة - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 بمعاملات صحيحة. لتحديث ذاكرتك عن الخوارزمية الخاصة بحل مثل هذه المعادلات، يمكننا الرجوع إلى قسم "حل المعادلات التكعيبية".

جذر هذه المعادلة هو x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

بقسمة التعبير - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 على ذات الحدين x - 1، نحصل على: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

يمكننا إيجاد الجذور المتبقية من المعادلة x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 د = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3؛ س 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

لقد وجدنا الفاصل الزمني x ∈ 1؛ 3 + 13 2، حيث يكون الشكل G موجودًا فوق الخط الأزرق وتحت الخط الأحمر. وهذا يساعدنا على تحديد مساحة الشكل:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ع 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ع 1 = 7 + 13 3 - ع 3 + 13 2

الجواب: س (ز) = 7 + 13 3 - l 3 + 13 2

مثال 4

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على المنحنيات y = x 3، y = - log 2 x + 1 ومحور الإحداثي السيني.

حل

دعونا نرسم جميع الخطوط على الرسم البياني. يمكننا الحصول على الرسم البياني للدالة y = - log 2 x + 1 من الرسم البياني y = log 2 x إذا وضعناها بشكل متماثل حول المحور x وحركناها للأعلى بمقدار وحدة واحدة. معادلة المحور السيني هي y = 0.

دعونا نحدد نقاط تقاطع الخطوط.

كما يتبين من الشكل، فإن الرسوم البيانية للوظائف y = x 3 و y = 0 تتقاطع عند النقطة (0؛ 0). يحدث هذا لأن x = 0 هو الجذر الحقيقي الوحيد للمعادلة x 3 = 0.

x = 2 هو الجذر الوحيد للمعادلة - log 2 x + 1 = 0، وبالتالي فإن الرسوم البيانية للوظائف y = - log 2 x + 1 و y = 0 تتقاطع عند النقطة (2؛ 0).

x = 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة x 3 = - log 2 x + 1 . في هذا الصدد، تتقاطع الرسوم البيانية للوظائف y = x 3 و y = - log 2 x + 1 عند النقطة (1؛ 1). العبارة الأخيرة قد لا تكون واضحة، لكن المعادلة x 3 = - log 2 x + 1 لا يمكن أن يكون لها أكثر من جذر واحد، لأن الدالة y = x 3 تتزايد بشكل صارم، والدالة y = - log 2 x + 1 هي يتناقص بشدة.

يتضمن الحل الإضافي عدة خيارات.

الخيار 1

يمكننا أن نتخيل الشكل G كمجموع شبه منحرفين منحنيين يقعان فوق المحور السيني، يقع أولهما أسفل خط الوسط على القطعة x ∈ 0؛ 1، والثاني أسفل الخط الأحمر على القطعة x ∈ 1؛ 2. هذا يعني أن المساحة ستكون مساوية S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

الخيار رقم 2

يمكن تمثيل الشكل G بالفرق بين شكلين، يقع أولهما فوق المحور x وتحت الخط الأزرق على المقطع x ∈ 0؛ 2، والثاني بين الخطين الأحمر والأزرق على القطعة x ∈ 1؛ 2. هذا يتيح لنا العثور على المنطقة على النحو التالي:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 د x - ∫ 1 2 x 3 - (- سجل 2 x + 1) د x

في هذه الحالة، للعثور على المساحة، سيتعين عليك استخدام صيغة من الصيغة S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. في الواقع، يمكن تمثيل الخطوط التي تربط الشكل كدوال للوسيطة y.

دعونا نحل المعادلات y = x 3 و - log 2 x + 1 بالنسبة لـ x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - سجل 2 x + 1 ⇒ سجل 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

نحصل على المساحة المطلوبة:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) د y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

الجواب: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

مثال 5

من الضروري حساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط y = x، y = 2 3 x - 3، y = - 1 2 x + 4.

حل

باستخدام الخط الأحمر، نرسم الخط المحدد بواسطة الدالة y = x. نرسم الخط y = - 1 2 x + 4 باللون الأزرق، والخط y = 2 3 x - 3 باللون الأسود.

دعونا نحدد نقاط التقاطع.

لنجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية للدوال y = x و y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 × 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 تحقق: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ليس حل المعادلة x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 هو حل المعادلة ⇒ (4; 2) نقطة التقاطع i y = x و y = - 1 2 x + 4

لنجد نقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظائف y = x و y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 × 1 = 45 + 729 8 = 9، × 2 45 - 729 8 = 9 4 تحقق: × 1 = 9 = 3، 2 3 × 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 هو حل المعادلة ⇒ (9 ; 3) النقطة a s y = x و y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 لا يوجد حل للمعادلة

لنوجد نقطة تقاطع الخطين y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) نقطة التقاطع y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3

الطريقة رقم 1

دعونا نتخيل مساحة الشكل المطلوب كمجموع مساحات الأشكال الفردية.

ثم مساحة الشكل هي:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - س 2 3 + 3 × 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

الطريقة رقم 2

يمكن تمثيل مساحة الشكل الأصلي كمجموع شكلين آخرين.

ثم نحل معادلة الخط بالنسبة لـ x، وبعد ذلك فقط نطبق صيغة حساب مساحة الشكل.

y = x ⇒ x = y 2 خط أحمر y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 خط أسود y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

إذن المنطقة هي:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 ص + 9 2 - ص 2 د ص = = 7 4 ص 2 - 7 4 ص 1 2 + - ص 3 3 + 3 ص 2 4 + 9 2 ص 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

كما ترون، القيم هي نفسها.

الجواب: س (ز) = 11 3

نتائج

للعثور على مساحة الشكل المحدود خطوط معينةعلينا إنشاء خطوط على المستوى، وإيجاد نقاط تقاطعها، وتطبيق الصيغة لإيجاد المساحة. في هذا القسم، قمنا بفحص المتغيرات الأكثر شيوعًا للمهام.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

المساحة: المساحة هي الكمية التي تقيس حجم السطح. في الرياضيات، مساحة الشكل هي مفهوم هندسي وحجم شخصية مسطحة. مساحة السطح هي خاصية عددية للسطح. مربع في العمارة مفتوح... ... ويكيبيديا

مربع- ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر المساحة (المعاني). أبعاد المساحة L² وحدات SI m² ... ويكيبيديا

مساحة المثلث- التدوين القياسي المثلث هو أبسط مضلع له 3 رؤوس (زوايا) و3 جوانب؛ جزء من المستوى يحده ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط وثلاثة أجزاء تربط هذه النقاط في أزواج. رؤوس المثلث ويكيبيديا

ساحة لينين (بتروزافودسك)- ساحة لينين بتروزافودسك ... ويكيبيديا

المساحة (في الهندسة)- المساحة، إحدى الكميات الرئيسية المرتبطة بالأشكال الهندسية. وفي أبسط الحالات، يتم قياسه بعدد مربعات الوحدات التي تملأ الشكل المسطح، أي المربعات التي يساوي ضلعها وحدة طول واحدة. حساب P. كان بالفعل في العصور القديمة ... ...

مربع- إحدى الخصائص الكمية للمسطح الأشكال الهندسيةوالأسطح. مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب طولي ضلعين متجاورين. مساحة الشكل المتدرج (أي الذي يمكن تقسيمه إلى عدة مجاورة ... ... القاموس الموسوعي الكبير

المساحة (في الهندسة)- المساحة، وهي إحدى الخصائص الكمية للأشكال والأسطح الهندسية المسطحة. مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب طولي ضلعين متجاورين. مساحة الشكل المتدرج (أي الذي يمكن تقسيمه إلى عدة... ... القاموس الموسوعي

مربع- المساحة، المربعات، السابق. حول المنطقة و (عفا عليها الزمن) على المنطقة، الجمع. والمناطق النساء. (كتاب). 1. جزء من المستوى يحده خط مكسور أو منحني (جيوم.). مساحة المستطيل. مساحة الشكل المنحني. 2. وحدات فقط. فضاء،… … قاموسأوشاكوفا

المنطقة (مهندس معماري)- المربع، فضاء مفتوح منظم معماريا، تحيط به أي مباني أو منشآت أو مساحات خضراء، داخلة في نظام الفضاءات العمرانية الأخرى. كانت أسلاف القصور الحضرية هي الساحات الاحتفالية للقصور و... الموسوعة السوفيتية الكبرى

ساحة الذاكرة (تيومين)- ساحة الذاكرة تيومين معلومات عامة ... ويكيبيديا

كتب

• شخصيات في الرياضيات والفيزياء والطبيعة. المربعات والمثلثات والدوائر، كاثرين شيلدريك روس. حول الكتاب ميزات الكتاب سيساعد أكثر من 75 فصلًا رئيسيًا غير عادي في تحويل دراسة الهندسة إلى لعبة مثيرة يصف الكتاب الأشكال الرئيسية بأكبر قدر ممكن من التفاصيل: المربعات والدوائر و... اشترِ مقابل 1206 روبل
• أرقام في الرياضيات والفيزياء والطبيعة المربعات والمثلثات والدوائر، شيلدريك روس ك.. أكثر من 75 فصلًا رئيسيًا غير عادي سيساعد في تحويل دراسة الهندسة إلى لعبة مثيرة. يصف الكتاب الشخصيات الرئيسية بأكبر قدر ممكن من التفاصيل: المربعات والدوائر والمثلثات. الكتاب سوف يعلم...

ظهرت معرفة كيفية قياس الأرض في العصور القديمة وتبلورت تدريجياً في علم الهندسة. تتم ترجمة هذه الكلمة من اليونانية باسم "مسح الأراضي".

قياس مساحة الجزء المسطح من الأرض طولاً وعرضًا هو المساحة. في الرياضيات، يُشار إليه عادةً بالحرف اللاتيني S (من "المربع" الإنجليزي - "المنطقة"، "المربع") أو الحرف اليوناني σ (سيجما). تشير S إلى مساحة الشكل على المستوى أو مساحة سطح الجسم، وσ هي مساحة المقطع العرضي للسلك في الفيزياء. هذه هي الرموز الرئيسية، على الرغم من أنه قد يكون هناك رموز أخرى، على سبيل المثال، في مجال قوة المواد، A هي مساحة المقطع العرضي للملف الشخصي.

في تواصل مع

صيغ الحساب

من خلال معرفة مناطق الأشكال البسيطة، يمكنك العثور على معلمات الأشكال الأكثر تعقيدًا.. طور علماء الرياضيات القدماء صيغًا يمكن استخدامها لحسابها بسهولة. هذه الأشكال هي المثلث، الرباعي، المضلع، الدائرة.

للعثور على مساحة شكل مستو معقد، يتم تقسيمه إلى العديد من الأشكال البسيطة مثل المثلثات أو شبه المنحرف أو المستطيلات. ثم، باستخدام الطرق الرياضية، يتم اشتقاق صيغة لمنطقة هذا الشكل. يتم استخدام طريقة مماثلة ليس فقط في الهندسة، ولكن أيضًا في التحليل الرياضي لحساب مساحات الأشكال المحاطة بالمنحنيات.

مثلث

لنبدأ بأبسط شكل - المثلث. فهي مستطيلة ومتساوية الساقين ومتساوية الأضلاع. خذ أي مثلث ABC بأضلاعه AB=a وBC=b وAC=c (∆ ABC). للعثور على مساحتها، دعونا نتذكر نظريات الجيب وجيب التمام المعروفة من دورة الرياضيات المدرسية. وبالتخلي عن جميع الحسابات، نصل إلى الصيغ التالية:

• S=√ - صيغة هيرون المعروفة للجميع، حيث p=(a+b+c)/2 هو نصف محيط المثلث؛
• S=a h/2، حيث h هو الارتفاع المخفض إلى الجانب a؛
• S=a b (sin γ)/2، حيث γ هي الزاوية بين الجانبين a وb؛
• S=a b/2، إذا كان ∆ ABC مستطيلًا (هنا a وb عبارة عن أرجل)؛
• S=b² (sin (2 β))/2، إذا كان ∆ ABC متساوي الساقين (هنا b هي أحد "الوركين"، β هي الزاوية بين "وركي" المثلث)؛
• S=a² √¾، إذا كان ∆ ABC متساوي الأضلاع (هنا a هو أحد أضلاع المثلث).

رباعي الزوايا

ليكن هناك شكل رباعي ABCD مع AB=a، BC=b، CD=c، AD=d. للعثور على المساحة S لمضلع 4 عشوائي، تحتاج إلى تقسيمها قطريًا إلى مثلثين، تكون مساحتهما S1 وS2 غير متساوية في الحالة العامة.

ثم استخدم الصيغ لحسابها وإضافتها، أي S=S1+S2. ومع ذلك، إذا كان 4-gon ينتمي إلى فئة معينة، فيمكن العثور على مساحته باستخدام الصيغ المعروفة مسبقًا:

• S=(a+c) h/2=e h، إذا كان الرباعي شبه منحرف (هنا a وc هما القاعدتان، e هو خط الوسط لشبه المنحرف، h هو الارتفاع المنخفض إلى إحدى قاعدتي شبه المنحرف؛
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2، إذا كان ABCD متوازي أضلاع (هنا φ هي الزاوية بين الجانبين a وb، h هو الارتفاع الذي انخفض إلى الجانب a، d1 و d2 قطريان)؛
• S=a b=d²/2، إذا كان ABCD مستطيلًا (d قطريًا)؛
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2، إذا كان ABCD معينًا (a هو جانب المعين، φ إحدى زواياه، P هو المحيط)؛
• S=a²=P²/16=d²/2 إذا كان ABCD مربعًا.

مضلع

للعثور على مساحة n-gon، يقوم علماء الرياضيات بتقسيمها إلى أبسط أشكال متساوية - المثلثات، وإيجاد مساحة كل منها ثم إضافتها. ولكن إذا كان المضلع ينتمي إلى الفئة العادية، فاستخدم الصيغة:

S=a n h/2=a² n/=P²/، حيث n هو عدد رؤوس (أو جوانب) المضلع، a هو جانب n-gon، P هو محيطه، h هو الارتفاع، أي أ القطعة المرسومة من مركز المضلع إلى أحد أضلاعه بزاوية مقدارها 90 درجة.

دائرة

الدائرة عبارة عن مضلع كامل له عدد لا نهائي من الأضلاع. نحتاج إلى حساب نهاية التعبير الموجود على اليمين في صيغة مساحة المضلع مع عدد الأضلاع n التي تميل إلى ما لا نهاية. في هذه الحالة، سيتحول محيط المضلع إلى طول دائرة نصف قطرها R، والتي ستكون حدود دائرتنا، وسوف تصبح مساوية لـ P=2 π R. استبدل هذا التعبير في الصيغة أعلاه. سوف نحصل على:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

دعونا نجد نهاية هذا التعبير كـ n→∞. للقيام بذلك، نأخذ في الاعتبار أن lim (cos (180°/n)) لـ n→∞ يساوي cos 0°=1 (lim هي علامة النهاية)، وlim = lim لـ n→∞ هو يساوي 1/π (قمنا بتحويل قياس الدرجة إلى راديان، باستخدام العلاقة π rad=180°، وقمنا بتطبيق أول ملحوظة الحد ليم(الخطيئة x)/x=1 عند x→∞). باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأخير لـ S، نصل إلى الصيغة المعروفة:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

الوحدات

يتم استخدام وحدات القياس النظامية وغير النظامية. تنتمي وحدات النظام إلى SI (النظام الدولي). هذا هو المتر المربع (متر مربع، م²) والوحدات المشتقة منه: مم²، سم²، كم².

بالملليمتر المربع (مم²)، على سبيل المثال، يقيسون مساحة المقطع العرضي للأسلاك في الهندسة الكهربائية، بالسنتيمتر المربع (سم²) - المقطع العرضي للحزمة في الميكانيكا الإنشائية، بالمتر المربع (م²) - في شقة أو منزل بالكيلومترات المربعة (كم²) - في الجغرافيا .

ومع ذلك، في بعض الأحيان يتم استخدام وحدات قياس غير نظامية، مثل: النسج، وar (a)، والهكتار (ha)، والفدان (ac). دعونا نعرض العلاقات التالية:

• مائة متر مربع=1 أ=100 م²=0.01 هكتار؛
• 1 هكتار=100 أ=100 فدان=10000 م²=0.01 كم²=2.471 فدان؛
• 1 ف = 4046.856 م² = 40.47 ف = 40.47 فدان = 0.405 هكتار.