المسافة من نقطة الأصل إلى المستوى (الأقصر). المسافة من نقطة الأصل إلى المستوى (الأقصر) المسافة من النقطة إلى المستوى - النظرية والأمثلة والحلول

تتحدث هذه المقالة عن تحديد المسافة من نقطة إلى مستوى. دعونا نحللها باستخدام طريقة الإحداثيات، والتي ستسمح لنا بإيجاد المسافة من نقطة معينة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. لتعزيز هذا، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لعدة مهام.

يتم إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى باستخدام المسافة المعروفة من نقطة إلى نقطة، حيث يتم إعطاء أحدهما، والآخر إسقاط على مستوى معين.

عندما يتم تحديد نقطة M 1 بمستوى χ في الفضاء، فيمكن رسم خط مستقيم عمودي على المستوى عبر النقطة. H 1 هي نقطة التقاطع المشتركة بينهما. ومن هذا نستنتج أن القطعة M 1 H 1 عمودية مرسومة من النقطة M 1 على المستوى χ، حيث النقطة H 1 هي قاعدة المتعامد.

التعريف 1

تسمى المسافة من نقطة معينة إلى قاعدة العمود العمودي المرسوم من نقطة معينة إلى مستوى معين.

يمكن كتابة التعريف بصيغ مختلفة.

التعريف 2

المسافة من النقطة إلى المستوىهو طول العمود العمودي المرسوم من نقطة معينة إلى مستوى معين.

يتم تحديد المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى χ على النحو التالي: المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى χ ستكون الأصغر من نقطة معينة إلى أي نقطة على المستوى. إذا كانت النقطة H 2 تقع في المستوى χ ولا تساوي النقطة H 2، فإننا نحصل على مثلث قائم الزاوية على الشكل M 2 H 1 H 2 ، وهو مستطيل، حيث يوجد ساق M 2 H 1، M 2 H 2 - الوتر. وهذا يعني أنه يتبع ذلك M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 يعتبر مائلاً، والذي يتم رسمه من النقطة M 1 إلى المستوى χ. نجد أن العمودي المرسوم من نقطة معينة على المستوى أقل من العمودي المائل من النقطة إلى المستوى المعطى. دعونا نلقي نظرة على هذه الحالة في الشكل أدناه.

المسافة من نقطة إلى مستوى - النظرية والأمثلة والحلول

هناك عدد من المسائل الهندسية التي يجب أن تحتوي حلولها على المسافة من نقطة إلى مستوى. قد تكون هناك طرق مختلفة لتحديد هذا. لحل المشكلة، استخدم نظرية فيثاغورس أو تشابه المثلثات. عندما يكون من الضروري، وفقًا للشرط، حساب المسافة من نقطة إلى مستوى، معطاة في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد، يتم حلها بطريقة الإحداثيات. وتناقش هذه الفقرة هذه الطريقة.

وفقًا لشروط المشكلة، لدينا نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بإحداثيات M 1 (x 1، y 1، z 1) مع مستوى χ، ومن الضروري تحديد المسافة من M 1 إلى الطائرة χ يتم استخدام عدة طرق حل لحل هذه المشكلة.

الطريقة الأولى

تعتمد هذه الطريقة على إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى باستخدام إحداثيات النقطة H 1، وهي قاعدة العمود العمودي من النقطة M 1 إلى المستوى χ. بعد ذلك، تحتاج إلى حساب المسافة بين M 1 و H 1.

لحل المشكلة بالطريقة الثانية، استخدم المعادلة العادية لمستوى معين.

الطريقة الثانية

بالشرط، لدينا أن H 1 هي قاعدة العمود الذي تم إنزاله من النقطة M 1 إلى المستوى χ. ثم نحدد الإحداثيات (x 2، y 2، z 2) للنقطة H 1. تم العثور على المسافة المطلوبة من M 1 إلى المستوى χ بالصيغة M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2، حيث M 1 (س 1، ص 1، ض 1) و ح 1 (س 2، ص 2، ض 2). لحل هذه المشكلة، عليك معرفة إحداثيات النقطة H 1.

لدينا أن H 1 هي نقطة تقاطع المستوى χ مع الخط a، الذي يمر عبر النقطة M 1 المتعامدة مع المستوى χ. ويترتب على ذلك أنه من الضروري إنشاء معادلة لخط مستقيم يمر عبر نقطة معينة عموديًا على مستوى معين. عندها سنكون قادرين على تحديد إحداثيات النقطة H 1. من الضروري حساب إحداثيات نقطة تقاطع الخط والمستوى.

خوارزمية لإيجاد المسافة من نقطة ذات إحداثيات M 1 (x 1, y 1, z 1) إلى المستوى χ:

التعريف 3

• ارسم معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 1 وفي نفس الوقت
• عمودي على المستوى χ؛
• أوجد وحساب إحداثيات (x 2 , y 2 , z 2) للنقطة H 1 وهي نقاط
• تقاطع الخط a مع المستوى χ؛
• احسب المسافة من M 1 إلى χ باستخدام الصيغة M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

الطريق الثالث

في نظام إحداثيات مستطيل معين O x y z يوجد مستوى χ، ثم نحصل على معادلة عادية للمستوى من الشكل cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. من هنا نحصل على أن المسافة M 1 H 1 مع النقطة M 1 (x 1 , y 1 , z 1) مرسومة على المستوى χ، محسوبة بالصيغة M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ ض - ص . هذه الصيغة صالحة، لأنها أنشئت بفضل النظرية.

نظرية

إذا تم إعطاء نقطة M 1 (x 1، y 1، z 1) في الفضاء ثلاثي الأبعاد، مع وجود معادلة عادية للمستوى χ من النموذج cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0، ثم يتم حساب المسافة من النقطة إلى المستوى M 1 H 1 من الصيغة M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p، بما أن x = x 1, y = y 1 ، ض = ض 1.

دليل

يتلخص إثبات النظرية في إيجاد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم. من هذا نستنتج أن المسافة من M 1 إلى المستوى χ هي معامل الفرق بين الإسقاط العددي لمتجه نصف القطر M 1 مع المسافة من الأصل إلى المستوى χ. ثم نحصل على التعبير M 1 H 1 = n p n → O M → - p. المتجه الطبيعي للمستوى χ له الشكل n → = cos α، cos β، cos γ، وطوله يساوي واحدًا، n p n → O M → هو الإسقاط العددي للمتجه O M → = (x 1, y 1 ، z 1) في الاتجاه الذي يحدده المتجه n → .

دعونا نطبق الصيغة لحساب المتجهات العددية. ثم نحصل على تعبير لإيجاد متجه من الصيغة n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , منذ n → = cos α , cos β , cos γ · z و O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . الشكل الإحداثي للكتابة سيأخذ الشكل n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , ثم M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . لقد تم إثبات النظرية.

من هنا نحصل على أن المسافة من النقطة M 1 (x 1, y 1, z 1) إلى المستوى χ يتم حسابها عن طريق استبدال cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 في الجانب الأيسر من المعادلة العادية للمستوى بدلاً من إحداثيات x وy وz x 1 وy 1 و ض 1، المتعلقة بالنقطة M 1، مع أخذ القيمة المطلقة للقيمة التي تم الحصول عليها.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لإيجاد المسافة من نقطة ذات إحداثيات إلى مستوى معين.

مثال 1

احسب المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (5, - 3, 10) إلى المستوى 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

حل

دعونا نحل المشكلة بطريقتين.

تبدأ الطريقة الأولى بحساب متجه الاتجاه للخط أ. بالشرط، لدينا أن المعادلة المعطاة 2 x - y + 5 z - 3 = 0 هي معادلة مستوية عامة، و n → = (2, - 1, 5) هو المتجه الطبيعي للمستوى المعطى. يتم استخدامه كمتجه اتجاه لخط مستقيم a، وهو عمودي على مستوى معين. من الضروري كتابة المعادلة الأساسية لخط في الفضاء يمر عبر M 1 (5، - 3، 10) مع متجه اتجاه بإحداثيات 2، - 1، 5.

ستصبح المعادلة x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

يجب تحديد نقاط التقاطع. للقيام بذلك، قم بدمج المعادلات بلطف في نظام للانتقال من المعادلات الأساسية إلى معادلات خطين متقاطعين. لنأخذ هذه النقطة كـ H 1. لقد حصلنا على ذلك

س - 5 2 = ص + 3 - 1 = ض - 10 5 ⇔ - 1 · (س - 5) = 2 · (ص + 3) 5 · (س - 5) = 2 · (ض - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 س - 2 ض - 5 = 0

وبعد ذلك تحتاج إلى تمكين النظام

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

دعونا ننتقل إلى قاعدة حل النظام الغوسي:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ ض = 0 6 = 0 ، ص = - 1 10 10 + 2 ض = - 1 ، س = - 1 - 2 ص = 1

نحصل على H 1 (1، - 1، 0).

نحسب المسافة من نقطة معينة إلى المستوى. نأخذ النقاط M 1 (5، - 3، 10) و H 1 (1، - 1، 0) ونحصل على

م 1 ح 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

الحل الثاني هو أولاً تحويل المعادلة المعطاة 2 x - y + 5 z - 3 = 0 إلى الصورة العادية. نحدد عامل التسوية ونحصل على 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. من هنا نشتق معادلة المستوى 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. يتم حساب الجانب الأيسر من المعادلة عن طريق استبدال x = 5، y = - 3، z = 10، وعليك أن تأخذ المسافة من M 1 (5، - 3، 10) إلى 2 x - y + 5 z - 3 = 0 مودولو. نحصل على التعبير:

م 1 ح 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

الجواب: 2 30.

عندما يتم تحديد المستوى χ بإحدى الطرق في القسم الخاص بطرق تحديد المستوى، فأنت بحاجة أولاً إلى الحصول على معادلة المستوى χ وحساب المسافة المطلوبة باستخدام أي طريقة.

مثال 2

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم تحديد النقاط ذات الإحداثيات M 1 (5، - 3، 10)، A (0، 2، 1)، B (2، 6، 1)، C (4، 0، - 1). احسب المسافة من M 1 إلى المستوى A B C.

حل

تحتاج أولاً إلى كتابة معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط الثلاث المعطاة بإحداثيات M 1 (5، - 3، 10)، A (0، 2، 1)، B (2، 6، 1)، C ( 4، 0، - 1) .

س - 0 ص - 2 ض - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ س ص - 2 ض - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 س + 4 ص - 20 ض + 12 = 0 ⇔ 2 س - ص + 5 ض - 3 = 0

ويترتب على ذلك أن المشكلة لها حل مماثل للحل السابق. وهذا يعني أن المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى ABC C لها قيمة 2 30.

الجواب: 2 30.

يعد العثور على المسافة من نقطة معينة على المستوى أو إلى المستوى الموازي له أكثر ملاءمة من خلال تطبيق الصيغة M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . ومن هذا نستنتج أن المعادلات العادية للمستويات يتم الحصول عليها في عدة خطوات.

مثال 3

أوجد المسافة من نقطة معينة بإحداثيات M 1 (- 3, 2, - 7) إلى المستوى الإحداثي O x y z والمستوى المعطى بالمعادلة 2 y - 5 = 0.

حل

المستوى الإحداثي O y z يتوافق مع معادلة بالشكل x = 0. بالنسبة للطائرة O y z فهذا أمر طبيعي. لذلك، من الضروري استبدال القيم x = - 3 في الجانب الأيسر من التعبير وأخذ القيمة المطلقة للمسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (- 3، 2، - 7) إلى المستوى. نحصل على قيمة تساوي - 3 = 3.

بعد التحويل، المعادلة العادية للمستوى 2 y - 5 = 0 سوف تأخذ الشكل y - 5 2 = 0. ثم يمكنك العثور على المسافة المطلوبة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (- 3، 2، - 7) إلى المستوى 2 y - 5 = 0. بالتعويض والحساب، نحصل على 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

إجابة:المسافة المطلوبة من M 1 (- 3, 2, - 7) إلى O y z لها قيمة 3، وإلى 2 y - 5 = 0 لها قيمة 5 2 - 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

سنحدد في هذه المقالة المسافة من نقطة إلى مستوى ونحلل طريقة الإحداثيات، والتي تتيح لك العثور على المسافة من نقطة معينة إلى مستوى معين في مساحة ثلاثية الأبعاد. بعد عرض النظرية، سنقوم بتحليل الحلول للعديد من الأمثلة والمشكلات النموذجية بالتفصيل.

التنقل في الصفحة.

المسافة من نقطة إلى مستوى - التعريف.

يتم تحديد المسافة من نقطة إلى مستوى من خلال، أحدهما هو نقطة معينة، والآخر هو إسقاط نقطة معينة على مستوى معين.

دع النقطة M 1 والمستوى معطى في الفضاء ثلاثي الأبعاد. لنرسم خطًا مستقيمًا من النقطة M1، عموديًا على المستوى. دعونا نشير إلى نقطة تقاطع الخط المستقيم a والمستوى بـ H 1 . يتم استدعاء الجزء M 1 H 1 عمودي، تم إنزالها من النقطة M 1 إلى المستوى، والنقطة H 1 – قاعدة المتعامدة.

تعريف.

هي المسافة من نقطة معينة إلى قاعدة الخط العمودي المرسوم من نقطة معينة إلى مستوى معين.

التعريف الأكثر شيوعًا للمسافة من نقطة إلى مستوى هو كما يلي.

تعريف.

المسافة من النقطة إلى المستوىهو طول العمود العمودي المرسوم من نقطة معينة إلى مستوى معين.

وتجدر الإشارة إلى أن المسافة من النقطة م 1 إلى المستوى، المحددة بهذه الطريقة، هي أصغر المسافات من نقطة معينة م 1 إلى أي نقطة على المستوى. في الواقع، دع النقطة H 2 تقع في المستوى وتكون مختلفة عن النقطة H 1 . من الواضح أن المثلث M 2 H 1 H 2 قائم الزاوية، وفيه M 1 H 1 هو الساق، وM 1 H 2 هو الوتر، وبالتالي، . بالمناسبة، يتم استدعاء الجزء M 1 H 2 يميلمرسومة من النقطة M 1 إلى المستوى. وبالتالي، فإن العمودي المرسوم من نقطة معينة على مستوى معين يكون دائمًا أقل من العمود المائل المرسوم من نفس النقطة إلى مستوى معين.

المسافة من نقطة إلى مستوى - النظرية والأمثلة والحلول.

تتطلب بعض المسائل الهندسية في مرحلة ما من الحل إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى. يتم تحديد طريقة ذلك اعتمادًا على البيانات المصدر. وعادة ما يتم تحقيق النتيجة باستخدام إما نظرية فيثاغورس أو علامات المساواة والتشابه في المثلثات. إذا كنت بحاجة إلى العثور على المسافة من نقطة إلى مستوى، والتي يتم تقديمها في مساحة ثلاثية الأبعاد، فإن طريقة الإحداثيات تأتي للإنقاذ. في هذه الفقرة من المقال سنقوم بتحليلها.

أولا، دعونا صياغة حالة المشكلة.

في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم إعطاء نقطة ، الطائرة وتحتاج إلى العثور على المسافة من النقطة M 1 إلى الطائرة.

دعونا نلقي نظرة على طريقتين لحل هذه المشكلة. تعتمد الطريقة الأولى، والتي تتيح لك حساب المسافة من نقطة إلى مستوى، على إيجاد إحداثيات النقطة H 1 - قاعدة العمودي المنخفض من النقطة M 1 إلى المستوى، ثم حساب المسافة بين النقاط م 1 و ح 1. الطريقة الثانية لإيجاد المسافة من نقطة معينة إلى مستوى معين تتضمن استخدام المعادلة العادية لمستوى معين.

الطريقة الأولى التي تسمح لك بحساب المسافة من نقطة ما إلى الطائرة.

لتكن H 1 قاعدة العمود العمودي المرسوم من النقطة M 1 على المستوى. إذا حددنا إحداثيات النقطة H 1، فيمكن حساب المسافة المطلوبة من النقطة M 1 إلى المستوى على أنها المسافة بين النقاط و وفقا للصيغة. وبالتالي، يبقى العثور على إحداثيات النقطة H 1.

لذا، خوارزمية للعثور على المسافة من نقطة ما إلى الطائرةالتالي:

الطريقة الثانية مناسبة لإيجاد المسافة من نقطة ما إلى الطائرة.

نظرًا لأننا حصلنا على مستوى في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz، فيمكننا الحصول على المعادلة العادية للمستوى في النموذج ثم المسافة من النقطة إلى الطائرة يتم حسابها بواسطة الصيغة. يتم تحديد صحة هذه الصيغة لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى من خلال النظرية التالية.

نظرية.

دع نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz يكون ثابتًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد ويتم إعطاء نقطة ومعادلة مستوية عادية من الشكل . المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى تساوي القيمة المطلقة للتعبير الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة العادية للمستوى، محسوبة عند ، أي .

دليل.

إن إثبات هذه النظرية مشابه تمامًا لإثبات نظرية مماثلة الواردة في القسم الخاص بإيجاد المسافة من نقطة إلى خط.

من السهل إثبات أن المسافة من النقطة M 1 إلى المستوى تساوي معامل الفرق بين الإسقاط العددي M 1 والمسافة من الأصل إلى المستوى، أي، ، أين - المتجه الطبيعي للطائرة، يساوي واحد، - إلى الاتجاه الذي يحدده المتجه.

و حسب التعريف يساوي، وفي شكل إحداثي. ولذلك فإن هذا هو ما يجب إثباته.

هكذا، المسافة من النقطة إلى المستوى يمكن حسابه عن طريق استبدال الإحداثيات x 1 و y 1 و z 1 للنقطة M 1 في الجانب الأيسر من المعادلة العادية للمستوى بدلاً من x و y و z وأخذ القيمة المطلقة للقيمة الناتجة .

أمثلة على إيجاد المسافة من نقطة ما إلى الطائرة.

مثال.

العثور على المسافة من نقطة إلى الطائرة.

حل.

الطريقة الأولى.

في بيان المشكلة، يتم إعطاؤنا معادلة مستوية عامة من الشكل، والتي يمكن أن نرى ذلك منها هو المتجه الطبيعي لهذه الطائرة. يمكن اعتبار هذا المتجه كمتجه الاتجاه لخط مستقيم عمودي على مستوى معين. ومن ثم يمكننا كتابة المعادلات القانونية للخط المستقيم في الفضاء الذي يمر عبر النقطة ولها متجه الاتجاه مع الإحداثيات، فإنها تبدو وكأنها .

لنبدأ في العثور على إحداثيات نقطة تقاطع الخط والطائرات. دعونا نشير إلى ذلك H 1 . للقيام بذلك، نقوم أولاً بالانتقال من المعادلات الأساسية للخط المستقيم إلى معادلات المستويين المتقاطعين:

الآن دعونا نحل نظام المعادلات (إذا لزم الأمر، راجع المقال). نحن نستخدم:

هكذا، .

يبقى حساب المسافة المطلوبة من نقطة معينة إلى مستوى معين كالمسافة بين النقاط و :
.

الحل الثاني.

نحصل على المعادلة العادية للمستوى المحدد. للقيام بذلك، علينا إعادة المعادلة العامة للمستوى إلى الصورة العادية. بعد تحديد عامل التطبيع ، نحصل على المعادلة العادية للطائرة . يبقى حساب قيمة الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة عند وخذ وحدة القيمة التي تم الحصول عليها - وهذا سيعطي المسافة المطلوبة من النقطة إلى الطائرة:

لذلك قرأت شيئًا ما في هذه الصفحة (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormal);

حيث vP1 هي نقطة على المستوى، وvNormal هو العمودي على المستوى. أشعر بالفضول كيف يمنحك هذا المسافة من بداية العالم، حيث أن النتيجة ستكون دائمًا 0. ولكي أكون واضحًا (بما أنني لا أزال غامضًا بعض الشيء فيما يتعلق بالجزء D من معادلة المستوى)، فهو د في معادلة المستوى المسافة من الخط الذي يمر ببداية العالم قبل بداية المستوى؟

الرياضيات

3 ردود

6

بشكل عام، يمكن حساب المسافة بين النقطة p والمستوى باستخدام الصيغة

أين -نقطة تشغيل المنتج

= ax*bx + ay*by + az*bz

وحيث p0 هي نقطة على المستوى.

إذا كان n له وحدة طول، فإن حاصل الضرب النقطي بين المتجه هو الطول (الموقّع) لإسقاط المتجه على الخط العادي

الصيغة التي تبلغ عنها ليست سوى حالة خاصة عندما تكون النقطة p هي الأصل. في هذه الحالة

المسافة = = -

هذه المساواة غير صحيحة من الناحية الشكلية لأن حاصل الضرب النقطي يتعلق بالمتجهات وليس بالنقاط... لكنه لا يزال قائمًا عدديًا. من خلال كتابة صيغة صريحة تحصل على هذا

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

انها نفس

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

والنتيجة ليست دائما صفر. ستكون النتيجة صفرًا فقط إذا مرت الطائرة عبر نقطة الأصل. (هنا لنفترض أن المستوى لا يمر عبر نقطة الأصل.)

في الأساس، يتم إعطاؤك خطًا من نقطة الأصل إلى نقطة ما على المستوى. (أي أن لديك ناقلًا من الأصل إلى vP1). المشكلة في هذا المتجه هي أنه على الأرجح مائل ويتجه إلى مكان بعيد على المستوى بدلاً من أقرب نقطة على المستوى. لذا، إذا أخذت طول vP1، فسوف ينتهي بك الأمر بمسافة كبيرة جدًا.

ما عليك فعله هو إسقاط vP1 على بعض المتجهات التي تعرف أنها متعامدة مع المستوى. وهذا بالطبع هو vNormal. لذا، خذ حاصل الضرب النقطي لـ vP1 وvNormal واقسمه على طول vNormal وستحصل على إجابتك. (إذا كانوا طيبين بما يكفي لإعطائك vNormal، والتي تبلغ قيمتها بالفعل واحدًا، فلا داعي للتقسيم.)

1

يمكنك حل هذه المشكلة باستخدام مضاعفات لاغرانج:

أنت تعلم أن أقرب نقطة على الطائرة يجب أن تبدو كما يلي:

ج = ع + الخامس

حيث c هي أقرب نقطة وv هو المتجه على طول المستوى (وهو بالتالي متعامد مع العمودي لـ n). أنت تحاول العثور على c بأصغر معيار (أو معيار مربع). لذا فأنت تحاول تقليل النقطة (c,c) نظرًا لأن v متعامد مع n (وبالتالي فإن النقطة (v,n) = 0).

وهكذا، تعيين لاغرانج:

L = dot(c,c) + lambda * (dot(v,n)) L = dot(p+v,p+v) + lambda * (dot(v,n)) L = dot(p,p) + 2*نقطة(ص,v) + نقطة(v,v) * لامدا * (نقطة(v,n))

وخذ المشتقة بالنسبة لـ v (واضبطها على 0) لتحصل على:

2 * ع + 2 * الخامس + لامدا * ن = 0

يمكنك حل قيمة لامدا في المعادلة أعلاه عن طريق وضع نقطة وضرب كلا الطرفين في n للحصول على ذلك

2 * نقطة(p,n) + 2 * نقطة(v,n) + لامدا * نقطة(n,n) = 0 2 * نقطة(p,n) + لامدا = 0 لامدا = - 2 * نقطة(p,n) )

لاحظ مرة أخرى أن dot(n,n) = 1 وdot(v,n) = 0 (بما أن v موجودة في المستوى وn متعامد معه). يتم بعد ذلك إرجاع لامدا البديلة لإنتاج:

2 * ع + 2 * الخامس - 2 * نقطة(ع،ن) * ن = 0

وحل من أجل v للحصول على:

V = نقطة (ص، ن) * ن - ص

ثم قم بتوصيل هذا مرة أخرى إلى c = p + v للحصول على:

ج = نقطة (ع، ن) * ن

طول هذا المتجه هو |dot(p,n)| ، والعلامة تخبرك ما إذا كانت النقطة في اتجاه المتجه العمودي من نقطة الأصل أو في الاتجاه المعاكس من نقطة الأصل.

أقصر مسافة من المستوى إلى نقطة الأصل باستخدام معادلة المستوى

لنفترض أن لدي معادلة مستوية ax+by+cz=d، كيف يمكنني العثور على أقصر مسافة من المستوى إلى نقطة الأصل؟ أنا ذاهب في الاتجاه المعاكس من هذا المنصب. وهم في هذه التدوينة...

هل تمثل صورة العمق من Kinect المسافة إلى الأصل أم المسافة إلى المستوى XY؟

لنفترض أن Kinect يجلس على (0,0,0) وينظر في اتجاه +Z. لنفترض أن هناك كائنًا عند النقطة (1، 1، 1) وأن إحدى وحدات البكسل الموجودة في صورة العمق من Kinect تمثل هذا الكائن....

المسافة من نقطة الأصل إلى نقطة في الفضاء

أريد محاذاة المسافة من الأصل إلى جميع النقاط حيث يتم إعطاء النقاط بواسطة إطار بيانات بإحداثيتين. لدي كل النقاط مثل: x y 1 0.0 0.0 2 -4.0 -2.8 3 -7.0 -6.5 4 -9.0 -11.1...

الإحداثيات الكروية - المسافة إلى المستوى

المعلومات المرجعية فكر في نظام إحداثي كروي مشابه للنظام الموضح هنا: نظام الإحداثيات http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif بالنسبة لنقطة محددة...

كيفية تحديد مسافة مستوى المقطع القريبة بشكل منهجي لإسقاط المنظور؟

لدي مشهد ثلاثي الأبعاد وكاميرا محددة باستخدام gluPerspective. لدي مجال رؤية ثابت وأعرف الحد الأدنى لمسافة أي شكل هندسي إلى الكاميرا (إنها رؤية الشخص الأول، لذا فهي...

كيفية الحصول على المسافة من نقطة إلى مستوى في 3D؟

لدي مثلث به النقاط A، B، C ونقطة في الفضاء (P). كيف يمكنني الحصول على المسافة من نقطة إلى مستوى؟ أحتاج إلى حساب المسافة من P إلى المستوى، على الرغم من أن...

يؤدي تدوير نقطة CG إلى تغيير المسافة من نقطة الأصل

أريد تدوير CGPoint (مستطيل أحمر) حول CGPoint آخر (مستطيل أزرق) ولكنه يغير المسافة من الأصل (المستطيل الأزرق)... عندما أعطي 270 في الزاوية فإنه ينشئ...

الحصول على مركز الطائرة X، Y، Z، الإحداثيات الديكارتية

أحتاج إلى الحصول على مركز المستوى X، Y، Z، الإحداثيات الديكارتية. لدي المستوى الطبيعي للمستوى والمسافة من نقطة مركزه إلى نقطة الأصل. يمكنني وضع النقطة (النقاط) في أي مكان و...

المسافة من نقطة إلى مستوى في اتجاه معين

بالنظر إلى: النقطة (x1، y1، z1) متجه الاتجاه (a1، b1، c1) مستوى الفأس + بواسطة + cz + d = 0 كيف يمكنني العثور على المسافة D من نقطة إلى مستوى على طول هذا المتجه؟ شكرًا لك

تحويل المستوى إلى نظام إحداثيات آخر

لدي نظام إحداثيات للكاميرا محدد بواسطة مصفوفة الدوران R وترجمة T بالنسبة لنظام الإحداثيات العالمي. يتم تعريف المستوى في إحداثيات الكاميرا بواسطة N العادي والنقطة P عليه....