إيجاد معادلة الخط المستقيم لقطعة ما. معادلة الخط في المقاطع - الوصف والأمثلة وحل المشكلات معادلة الخط الذي يمر بنقطتين

وتتمثل المهمة في استخدام الإحداثيات المعطاة لنهاية المقطع لإنشاء خط مستقيم يمر عبره.

نحن نعتقد أن الشريحة غير منحلة، أي. له طول أكبر من الصفر (وإلا، بالطبع، هناك عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة المختلفة التي تمر عبره).

حالة ثنائية الأبعاد

دع قطعة تعطى، أي. إحداثيات نهايتها معروفة.

مطلوب للبناء معادلة الخط في الطائرة، مروراً بهذا الجزء، أي. أوجد المعاملات ، ، في معادلة الخط المستقيم:

لاحظ أن الثلاثيات المطلوبة التي تمر عبر مقطع معين هي كثيرة بلا حدود: يمكنك ضرب المعاملات الثلاثة برقم عشوائي غير الصفر والحصول على نفس الخط المستقيم. ولذلك، فإن مهمتنا هي العثور على واحد من هؤلاء الثلاثة توائم.

من السهل التحقق (عن طريق استبدال هذه التعبيرات وإحداثيات النقاط في معادلة الخط المستقيم) من أن مجموعة المعاملات التالية مناسبة:

حالة عدد صحيح

من المزايا المهمة لهذه الطريقة في إنشاء خط مستقيم أنه إذا كانت إحداثيات النهايات عددًا صحيحًا، فإن المعاملات الناتجة ستكون أيضًا الأعداد الصحيحة. وفي بعض الحالات، يسمح ذلك بإجراء العمليات الهندسية دون اللجوء إلى الأعداد الحقيقية على الإطلاق.

ومع ذلك، هناك عيب صغير: بالنسبة لنفس الخط، يمكن الحصول على ثلاثة توائم مختلفة من المعاملات. لتجنب ذلك، ولكن دون الابتعاد عن معاملات الأعداد الصحيحة، يمكنك استخدام التقنية التالية، والتي تسمى غالبًا تقنين. دعونا نجد القاسم المشترك الأكبر للأرقام، ،، ، ونقسم المعاملات الثلاثة عليه، ثم نقوم بتطبيع العلامة: إذا أو، ثم نضرب المعاملات الثلاثة في . ونتيجة لذلك، سوف نتوصل إلى استنتاج مفاده أنه بالنسبة للخطوط المتطابقة، سنحصل على معاملات ثلاثية متطابقة، مما سيجعل من السهل التحقق من تساوي الخطوط.

حالة ذات قيمة حقيقية

عند العمل مع أرقام حقيقيةيجب أن تكون على علم دائمًا بالأخطاء.

المعاملات التي نحصل عليها هي من ترتيب الإحداثيات الأصلية، والمعامل هو بالفعل من ترتيب مربع منهم. يمكن أن تكون هذه أرقامًا كبيرة بالفعل، وعلى سبيل المثال، عندما تتقاطع الخطوط، فإنها ستصبح أكبر، مما قد يؤدي إلى أخطاء تقريب كبيرة حتى مع إحداثيات الترتيب الأصلية.

لذلك، عند العمل مع الأعداد الحقيقية، فمن المستحسن إجراء ما يسمى تطبيعالمباشر: أي جعل المعاملات هكذا . للقيام بذلك تحتاج إلى حساب الرقم:

ونقسم جميع المعاملات الثلاثة عليها.

وبالتالي، فإن ترتيب المعاملات لن يعتمد بعد الآن على ترتيب إحداثيات الإدخال، وسيكون المعامل من نفس ترتيب إحداثيات الإدخال. ومن الناحية العملية، يؤدي هذا إلى تحسن كبير في دقة الحساب.

وأخيرا، دعونا نذكر مقارنةخطوط مستقيمة - بعد كل شيء، بعد هذا التطبيع لنفس الخط المستقيم، يمكن الحصول على ثلاثة توائم فقط من المعاملات: حتى الضرب بـ . وبناء على ذلك، إذا قمنا بإجراء تطبيع إضافي مع الأخذ في الاعتبار الإشارة (إذا أو، ثم اضرب ب)، فإن المعاملات الناتجة ستكون فريدة.

ونواصل دراسة قسم "معادلة الخط المستقيم في المستوى" وفي هذه المقالة سنتناول موضوع "معادلة الخط المستقيم في القطع". سننظر بالتتابع إلى شكل معادلة الخط في المقاطع، وبناء الخط المستقيم الذي تعطيه هذه المعادلة، والانتقال من المعادلة العامة للخط إلى معادلة الخط في المقاطع. كل هذا سيكون مصحوبًا بأمثلة وتحليلات لحل المشكلات.

يجب أن يكون هناك نظام إحداثيات مستطيل O x y على المستوى.

يتم إعطاء خط مستقيم على المستوى في نظام الإحداثيات الديكارتية O x y بواسطة معادلة بالشكل x a + y b = 1، حيث a و b عبارة عن بعض الأرقام الحقيقية، غير الصفر، وقيمها تساوي أطوال الأجزاء المقطوعة بخط مستقيم على المحورين O x و O y. يتم حساب أطوال المقاطع من الأصل.

وكما نعلم، فإن إحداثيات أي نقطة تنتمي إلى خط مستقيم تعطى بمعادلة الخط المستقيم تحقق معادلة هذا الخط المستقيم. تنتمي النقاط a و0 و0 وb إلى هذا الخط المستقيم، نظرًا لأن a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 و0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1. تقع النقاط a و0 وb و0 على محاور الإحداثيات O x وO y ويتم إزالتها من الأصل بوحدات a وb. يتم تحديد الاتجاه الذي يجب أن يتم فيه رسم طول المقطع من خلال الإشارة التي تظهر قبل الرقمين a وb. تعني العلامة "-" أنه يجب رسم طول المقطع في الاتجاه السلبي لمحور الإحداثيات.

دعونا نشرح كل ما سبق من خلال وضع خطوط مستقيمة نسبة إلى نظام الإحداثيات الديكارتية الثابتة O x y على رسم تخطيطي. يتم استخدام معادلة الخط المستقيم في المقاطع x a + y b = 1 لإنشاء خط مستقيم في نظام الإحداثيات الديكارتية O x y. للقيام بذلك، نحتاج إلى تحديد النقاط أ، 0 وب، 0 على المحاور، ثم ربط هذه النقاط بخط باستخدام المسطرة.

يوضح الشكل الحالات التي يكون فيها الرقمان a وb علامات مختلفةوبالتالي يتم رسم أطوال المقاطع في اتجاهات مختلفة لمحاور الإحداثيات.

دعونا نلقي نظرة على مثال.

مثال 1

يتم الحصول على الخط المستقيم من معادلة الخط المستقيم في أجزاء من الصورة x 3 + y - 5 2 = 1. من الضروري بناء هذا الخط على مستوى في نظام الإحداثيات الديكارتية O x y.

حل

باستخدام معادلة الخط المستقيم في القطع، نحدد النقاط التي يمر بها الخط المستقيم. هذا هو 3، 0، 0، - 5 2. دعونا نضع علامة عليها ونرسم خطًا.

اختزال المعادلة العامة للخط إلى معادلة الخط في القطع

إن الانتقال من معادلة خط معينة إلى معادلة خط مقسم إلى شرائح يجعل من السهل علينا حل المشكلات المختلفة. بوجود معادلة عامة كاملة للخط، يمكننا الحصول على معادلة الخط في الأجزاء.

المعادلة العامة الكاملة للخط المستقيم على المستوى هي A x + B y + C = 0، حيث A وB وC لا تساوي الصفر. ننقل الرقم C إلى الجانب الأيمن من المساواة، ونقسم طرفي المساواة الناتجة على – C. وفي الوقت نفسه، نرسل معاملات x وy إلى المقامات:

أ x + ب y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

لتنفيذ الانتقال الأخير، استخدمنا المساواة p q = 1 q p، p ≠ 0، q ≠ 0.

ونتيجة لذلك، قمنا بالانتقال من المعادلة العامة للخط المستقيم A x + B y + C = 0 إلى معادلة الخط المستقيم في القطع x a + y b = 1، حيث a = - C A, b = - ج ب.

دعونا ننظر إلى المثال التالي.

مثال 2

دعونا ننتقل إلى معادلة الخط المستقيم في القطاعات، مع معادلة عامة للخط المستقيم x - 7 y + 1 2 = 0.

حل

نتحرك ثانية واحدة إلى الجانب الأيمن من المساواة x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

نقسم طرفي المساواة على - 1 2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

دعونا نحول المساواة الناتجة إلى النوع الصحيح: 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 ⇔ x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

لقد حصلنا على معادلة الخط المستقيم في القطع.

إجابة:س - 1 2 + ص 1 14 = 1

في الحالات التي يتم فيها إعطاء خط مستقيم من خلال معادلة قانونية أو بارامترية لخط على مستوى، فإننا ننتقل أولاً إلى المعادلة العامة للخط، ثم إلى معادلة الخط في المقاطع.

يعد الانتقال من معادلة الخط في المقاطع إلى المعادلة العامة للخط أمرًا بسيطًا: ننقل الوحدة من الجانب الأيمن لمعادلة الخط في الأجزاء من النموذج x a + y b = 1 إلى الجانب الأيسر مع العكس علامة، واختيار المعاملات أمام المجهولين x و y.

س أ + ص ب = 1 ⇔ س أ + ص ب - 1 = 0 ⇔ 1 أ س + 1 ب ص - 1 = 0

نحصل على معادلة عامة للخط، والتي يمكننا من خلالها الانتقال إلى أي نوع آخر من معادلة الخط على المستوى. لقد ناقشنا عملية الانتقال بالتفصيل في موضوع "اختزال المعادلة العامة للخط إلى أنواع أخرى من معادلة الخط".

مثال 3

معادلة الخط المستقيم المقطع لها الصورة x 2 3 + y - 12 = 1. من الضروري كتابة المعادلة العامة لخط مستقيم على المستوى.

حل

إنه يعمل وفقًا للخوارزمية الموصوفة مسبقًا:

x 2 3 + y - 12 = 1 ⇔ 1 2 3 x + 1 - 12 y - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 x - 1 12 y - 1 = 0

الإجابة: 3 2 س - 1 12 ص - 1 = 0

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

معادلة الخط المستقيم على المستوى.
ناقل الاتجاه مستقيم. ناقل عادي

يعد الخط المستقيم على المستوى أحد أبسط الخطوط الأشكال الهندسية، مألوفة لك منذ ذلك الحين فصول المبتدئينواليوم سنتعلم كيفية التعامل معها باستخدام أساليب الهندسة التحليلية. لإتقان المادة، يجب أن تكون قادرًا على بناء خط مستقيم؛ تعرف على المعادلة التي تحدد الخط المستقيم، على وجه الخصوص، الخط المستقيم الذي يمر عبر أصل الإحداثيات والخطوط المستقيمة الموازية لمحاور الإحداثيات. يمكن العثور على هذه المعلومات في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية، لقد قمت بإنشائه من أجل ماتان، ولكن القسم عنه وظيفة خطيةاتضح أنها ناجحة للغاية ومفصلة. لذلك، عزيزي أباريق الشاي، الاحماء هناك أولا. وبالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون لديك المعرفة الأساسية حول ناقلاتوإلا فإن فهم المادة سيكون ناقصا.

سنتناول في هذا الدرس الطرق التي يمكنك من خلالها إنشاء معادلة خط مستقيم على المستوى. أوصي بعدم إهمال الأمثلة العملية (حتى لو كانت تبدو بسيطة للغاية)، لأنني سأزودهم بالحقائق والتقنيات الأولية والمهمة التي ستكون مطلوبة في المستقبل، بما في ذلك أقسام أخرى من الرياضيات العليا.

كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوية؟
كيف ؟
كيفية العثور على متجه الاتجاه باستخدام المعادلة العامة للخط المستقيم؟
كيف تكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي؟

ونبدأ:

معادلة الخط المستقيم مع الميل

تسمى الصيغة "المدرسة" المعروفة لمعادلة الخط المستقيم معادلة الخط المستقيم مع الميل. على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة تعطي خطًا مستقيمًا، فإن ميله يكون: . دعونا نفكر معنى هندسيلهذا المعامل ومدى تأثير قيمته على موقع الخط:

وقد ثبت ذلك في دورة الهندسة ميل الخط المستقيم يساوي ظل الزاويةبين اتجاه المحور الإيجابيوهذا الخط: والزاوية "تفك" عكس اتجاه عقارب الساعة.

لكي لا تشوش الرسم، قمت برسم زوايا لخطين مستقيمين فقط. دعونا نفكر في الخط "الأحمر" وانحداره. ووفقاً لما سبق: (يُشار إلى زاوية "ألفا" بقوس أخضر). بالنسبة للخط المستقيم "الأزرق" مع معامل الزاوية، تكون المساواة صحيحة (يُشار إلى زاوية "بيتا" بقوس بني). وإذا كان ظل الزاوية معروفا، فمن السهل العثور عليه إذا لزم الأمر والزاوية نفسهاباستخدام وظيفة عكسية- ظل قوسي. كما يقولون، جدول مثلثي أو آلة حاسبة صغيرة بين يديك. هكذا، يميز المعامل الزاوي درجة ميل الخط المستقيم إلى محور الإحداثي السيني.

الحالات التالية ممكنة:

1) إذا كان الميل سالبًا: فإن الخط، بشكل تقريبي، ينتقل من الأعلى إلى الأسفل. ومن الأمثلة على ذلك الخطوط المستقيمة "الزرقاء" و"التوتية" في الرسم.

2) إذا كان الميل موجباً: فإن الخط يمتد من الأسفل إلى الأعلى. أمثلة - الخطوط المستقيمة "السوداء" و"الحمراء" في الرسم.

3) إذا كان الميل صفراً فإن المعادلة تأخذ الصورة ويكون المستقيم المقابل موازياً للمحور. مثال على ذلك الخط المستقيم "الأصفر".

4) بالنسبة لعائلة الخطوط الموازية للمحور (لا يوجد مثال في الرسم باستثناء المحور نفسه) فإن المعامل الزاوي غير موجود (لم يتم تعريف ظل 90 درجة).

كلما زاد معامل الميل في القيمة المطلقة، زاد انحدار الرسم البياني للخط المستقيم..

على سبيل المثال، النظر في خطين مستقيمين. ومن ثم، فإن الخط المستقيم هنا له ميل أكثر انحدارًا. اسمحوا لي أن أذكرك أن الوحدة تسمح لك بتجاهل الإشارة التي نحن مهتمون بها فقط القيم المطلقةالمعاملات الزاوية.

وفي المقابل، الخط المستقيم أكثر انحدارًا من الخطوط المستقيمة .

وعلى العكس من ذلك: كلما كان معامل الميل أصغر في القيمة المطلقة، كلما كان الخط المستقيم أكثر استواءً.

للخطوط المستقيمة المتباينة صحيحة، وبالتالي فإن الخط المستقيم أكثر استواءً. شريحة الأطفال حتى لا تسبب لك كدمات وصدمات.

لماذا هذا مطلوب؟

إطالة عذابك، تتيح لك معرفة الحقائق المذكورة أعلاه أن ترى على الفور أخطائك، على وجه الخصوص، الأخطاء عند إنشاء الرسوم البيانية - إذا تبين أن الرسم "من الواضح أن هناك خطأ ما". من المستحسن أن تقوم بذلك حالاكان من الواضح، على سبيل المثال، أن الخط المستقيم شديد الانحدار ويمتد من الأسفل إلى الأعلى، والخط المستقيم مسطح للغاية، مضغوط بالقرب من المحور ويتجه من الأعلى إلى الأسفل.

في المشاكل الهندسية، غالبا ما تظهر عدة خطوط مستقيمة، لذلك من المناسب تعيينها بطريقة أو بأخرى.

التسميات: الخطوط المستقيمة محددة بأحرف لاتينية صغيرة: . أحد الخيارات الشائعة هو تعيينها باستخدام نفس الحرف مع نصوص طبيعية. على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى الأسطر الخمسة التي نظرنا إليها للتو .

بما أن أي خط مستقيم يتم تحديده بشكل فريد بنقطتين، فيمكن الإشارة إليه بالنقاط التالية: إلخ. يشير التعيين بوضوح إلى أن النقاط تنتمي إلى الخط.

حان الوقت للإحماء قليلاً:

كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بمعامل الزاوية؟

إذا كانت نقطة تنتمي إلى خط معين معروفة والمعامل الزاوي لهذا الخط يتم التعبير عن معادلة هذا الخط بالصيغة:

مثال 1

اكتب معادلة المستقيم الذي ميله إذا علم أن النقطة تنتمي إلى المستقيم المعطى.

حل: لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام الصيغة . في هذه الحالة:

إجابة:

فحصيتم ببساطة. أولًا، ننظر إلى المعادلة الناتجة ونتأكد من أن الميل في مكانه. ثانياً، يجب أن تحقق إحداثيات النقطة هذه المعادلة. دعنا نعوضهم في المعادلة:

ويتم الحصول على المساواة الصحيحة، مما يعني أن النقطة تحقق المعادلة الناتجة.

خاتمة: تم العثور على المعادلة بشكل صحيح.

مثال أكثر صعوبة ل قرار مستقل:

مثال 2

اكتب معادلة للخط المستقيم إذا علم أن زاوية ميله إلى الاتجاه الموجب للمحور هي ، وأن النقطة تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

إذا كان لديك أي صعوبات، أعد القراءة المادة النظرية. بتعبير أدق، وأكثر عملية، أتخطى الكثير من الأدلة.

دق الجرس الأخير، وانتهى حفل التخرج، وخارج أبواب مدرستنا الأصلية، تنتظرنا الهندسة التحليلية نفسها. انتهت النكتة... أو ربما بدأوا للتو =)

نلوح بقلمنا بحنين للمألوف ونتعرف على المعادلة العامة للخط المستقيم. لأنه في الهندسة التحليلية هذا هو بالضبط ما يستخدم:

المعادلة العامةالخط المستقيم له الشكل: ، أين بعض الأرقام. وفي الوقت نفسه، المعاملات معًالا تساوي الصفر، لأن المعادلة تفقد معناها.

دعونا نرتدي بدلة ونربط المعادلة بمعامل الميل. أولاً، دعنا ننقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

يجب وضع المصطلح الذي يحمل علامة "X" في المقام الأول:

من حيث المبدأ، فإن المعادلة لها الشكل بالفعل، ولكن وفقًا لقواعد الآداب الرياضية، يجب أن يكون معامل الحد الأول (في هذه الحالة) موجبًا. علامات التغيير:

تذكر هذه الميزة التقنية!نجعل المعامل الأول (في أغلب الأحيان) إيجابيًا!

في الهندسة التحليلية، تُعطى معادلة الخط المستقيم دائمًا بشكل عام. حسنًا، إذا لزم الأمر، يمكن اختزاله بسهولة إلى النموذج "المدرسة" بمعامل زاوي (باستثناء الخطوط المستقيمة الموازية للمحور الإحداثي).

دعونا نسأل أنفسنا ماذا كافٍتعرف على بناء خط مستقيم؟ نقطتان. ولكن المزيد عن حادثة الطفولة هذه لاحقًا؛ كل خط مستقيم له ميل محدد للغاية يسهل "التكيف" معه. ناقلات.

يسمى المتجه الموازي لخط ما بمتجه الاتجاه لهذا الخط. من الواضح أن أي خط مستقيم يحتوي على عدد لا نهائي من متجهات الاتجاه، وستكون جميعها على خط مستقيم (سواء كانت في اتجاه مشترك أم لا - لا يهم).

سأشير إلى متجه الاتجاه كما يلي: .

لكن متجهًا واحدًا لا يكفي لإنشاء خط مستقيم؛ فهو حر وغير مرتبط بأي نقطة على المستوى. لذلك، من الضروري أيضًا معرفة بعض النقاط التي تنتمي إلى الخط.

كيف تكتب معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه؟

إذا كانت هناك نقطة تنتمي إلى خط معروف ومتجه الاتجاه لهذا الخط ، فيمكن تجميع معادلة هذا الخط باستخدام الصيغة:

في بعض الأحيان يطلق عليه المعادلة الكنسيةمباشر .

ماذا تفعل متى أحد الإحداثياتيساوي صفرًا، سنفهمه في الأمثلة العملية أدناه. بالمناسبة، يرجى ملاحظة - كلاهما في وقت واحدلا يمكن أن تكون الإحداثيات تساوي الصفر، لأن المتجه الصفري لا يحدد اتجاهًا محددًا.

مثال 3

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه

حل: لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام الصيغة. في هذه الحالة:

باستخدام خصائص النسبة نتخلص من الكسور:

ونأتي بالمعادلة إلى المظهر العام:

إجابة:

كقاعدة عامة، ليست هناك حاجة للرسم في مثل هذه الأمثلة، ولكن من أجل الفهم:

نرى في الرسم نقطة البداية ومتجه الاتجاه الأصلي (يمكن رسمه من أي نقطة على المستوى) والخط المستقيم المبني. بالمناسبة، في كثير من الحالات يكون من الملائم أكثر بناء خط مستقيم باستخدام معادلة ذات معامل زاوي. من السهل تحويل المعادلة إلى صورة وتحديد نقطة أخرى بسهولة لإنشاء خط مستقيم.

كما ذكرنا في بداية الفقرة، يحتوي الخط المستقيم على عدد لا نهائي من متجهات الاتجاه، وجميعها على خط واحد. على سبيل المثال، رسمت ثلاثة ناقلات من هذا القبيل: . أيًا كان متجه الاتجاه الذي نختاره، فستكون النتيجة دائمًا هي معادلة الخط المستقيم نفسها.

لنقم بإنشاء معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

حل النسبة:

اقسم كلا الطرفين على -2 واحصل على المعادلة المألوفة:

يمكن للمهتمين اختبار المتجهات بنفس الطريقة أو أي ناقل خطي آخر.

الآن دعونا نحل المشكلة العكسية:

كيفية العثور على متجه الاتجاه باستخدام المعادلة العامة للخط المستقيم؟

بسيط جدًا:

إذا تم إعطاء خط بمعادلة عامة، فإن المتجه هو متجه اتجاه هذا الخط.

أمثلة لإيجاد متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

تسمح لنا العبارة بإيجاد متجه اتجاه واحد فقط من عدد لا نهائي، لكننا لا نحتاج إلى المزيد. على الرغم من أنه من المستحسن في بعض الحالات تقليل إحداثيات متجهات الاتجاه:

وبالتالي، تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور ويتم تقسيم إحداثيات متجه الاتجاه الناتج بشكل ملائم على –2، للحصول على المتجه الأساسي تمامًا كمتجه الاتجاه. منطقي.

وبالمثل، تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور، وبقسمة إحداثيات المتجه على 5، نحصل على متجه الوحدة باعتباره متجه الاتجاه.

الآن دعونا نفعل ذلك التحقق من المثال 3. المثال صعد، لذا أذكرك أننا قمنا فيه بتجميع معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطة ومتجه الاتجاه

أولاًباستخدام معادلة الخط المستقيم نعيد بناء متجه اتجاهه: - كل شيء على ما يرام، لقد تلقينا المتجه الأصلي (في بعض الحالات قد تكون النتيجة متجهًا خطيًا واحدًا إلى المتجه الأصلي، وعادة ما يكون من السهل ملاحظة ذلك من خلال تناسب الإحداثيات المقابلة).

ثانيًا، يجب أن تحقق إحداثيات النقطة المعادلة. نعوضهم في المعادلة:

لقد تم الحصول على المساواة الصحيحة، وهو ما نحن سعداء به للغاية.

خاتمة: تم إكمال المهمة بشكل صحيح.

مثال 4

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه

هذا مثال عليك حله بنفسك. الحل والجواب في نهاية الدرس . يُنصح بشدة بالتحقق من استخدام الخوارزمية التي تمت مناقشتها للتو. حاول دائمًا (إن أمكن) التحقق من المسودة. من الغباء ارتكاب أخطاء يمكن تجنبها بنسبة 100%.

في حالة كون أحد إحداثيات متجه الاتجاه صفرًا، تابع بكل بساطة:

مثال 5

حل: الصيغة غير مناسبة لأن المقام على الجانب الأيمن هو صفر. هناك طريقة للخروج! باستخدام خصائص التناسب، نعيد كتابة الصيغة في النموذج، ويتم تمرير الباقي على طول مسار عميق:

إجابة:

فحص:

1) استعادة متجه التوجيه للخط:
- المتجه الناتج على خط واحد مع متجه الاتجاه الأصلي.

2) عوّض بإحداثيات النقطة في المعادلة:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة

خاتمة: المهمة اكتملت بشكل صحيح

السؤال الذي يطرح نفسه هو لماذا تهتم بالصيغة إذا كانت هناك نسخة عالمية ستعمل على أي حال؟ هناك سببان. أولا، الصيغة في شكل كسر تذكر أفضل بكثير. وثانيًا، عيب الصيغة الشاملة هو ذلك يزداد خطر الخلط بشكل كبيرعند استبدال الإحداثيات.

مثال 6

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة ومتجه الاتجاه.

هذا مثال عليك حله بنفسك.

ولنعد إلى النقطتين الشائعتين:

كيف تكتب معادلة خط مستقيم باستخدام نقطتين؟

إذا عرفت نقطتان، فيمكن تجميع معادلة الخط المستقيم الذي يمر بهذه النقاط باستخدام الصيغة:

في الواقع، هذا نوع من الصيغة، وهذا هو السبب: إذا كانت نقطتان معروفتين، فسيكون المتجه هو متجه الاتجاه للخط المحدد. في الصف ناقلات للدمىلقد نظرنا في أبسط مشكلة - كيفية العثور على إحداثيات المتجه من نقطتين. وفقا لهذه المشكلة، فإن إحداثيات متجه الاتجاه هي:

ملحوظة : يمكن "تبديل" النقاط واستخدام الصيغة. مثل هذا الحل سيكون معادلاً.

مثال 7

اكتب معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطتين .

حل: نستخدم الصيغة:

تمشيط القواسم:

وخلط سطح السفينة:

لقد حان الوقت للتخلص من الأعداد الكسرية. في هذه الحالة، عليك أن تضرب كلا الطرفين في 6:

افتح القوسين وتذكر المعادلة:

إجابة:

فحصواضح - يجب أن تحقق إحداثيات النقاط الأولية المعادلة الناتجة:

1) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

2) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

خاتمة: معادلة الخط مكتوبة بشكل صحيح.

لو واحد على الأقلمن النقاط لا تلبي المعادلة، ابحث عن الخطأ.

ومن الجدير بالذكر أن التحقق البياني في هذه الحالة أمر صعب، حيث أن بناء خط مستقيم ومعرفة ما إذا كانت النقاط تنتمي إليه ليس بهذه البساطة.

سأشير إلى بعض الجوانب التقنية الأخرى للحل. ربما يكون من المربح في هذه المشكلة استخدام صيغة المرآة وفي نفس النقاط اصنع معادلة:

كسور أقل. إذا أردت، يمكنك تنفيذ الحل حتى النهاية، ويجب أن تكون النتيجة نفس المعادلة.

النقطة الثانية هي النظر إلى الإجابة النهائية ومعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيطها أكثر؟ على سبيل المثال، إذا حصلت على المعادلة، فمن المستحسن تقليلها بمقدار اثنين: – ستحدد المعادلة نفس الخط المستقيم. ومع ذلك، هذا هو بالفعل موضوع للحديث عنه الوضع النسبي للخطوط.

بعد أن تلقى الجواب في المثال 7، فقط في حالة التحقق مما إذا كانت جميع معاملات المعادلة قابلة للقسمة على 2 أو 3 أو 7. على الرغم من أنه في أغلب الأحيان يتم إجراء هذه التخفيضات أثناء الحل.

مثال 8

اكتب معادلة الخط الذي يمر بالنقاط .

هذا مثال لحل مستقل، والذي سيسمح لك بفهم وممارسة تقنيات الحساب بشكل أفضل.

على غرار الفقرة السابقة: إذا كان في الصيغة يصبح أحد المقامات (إحداثي متجه الاتجاه) صفراً، ثم نعيد كتابته على الصورة. مرة أخرى، لاحظ كيف تبدو محرجة ومربكة. لا أرى فائدة كبيرة من إعطاء أمثلة عملية، لأننا قد قمنا بالفعل بحل هذه المشكلة (انظر رقم 5، 6).

ناقل عادي مباشر (ناقل عادي)

ما هو الطبيعي؟ بكلمات بسيطة، العمودي عمودي. أي أن المتجه الطبيعي لخط ما يكون عموديًا على خط معين. من الواضح أن أي خط مستقيم يحتوي على عدد لا نهائي منها (وكذلك متجهات الاتجاه)، وجميع المتجهات العادية للخط المستقيم ستكون على خط مستقيم (سواء كانت متجهة في الاتجاه أم لا، فلا فرق).

سيكون التعامل معها أسهل من التعامل مع المتجهات الإرشادية:

إذا تم إعطاء خط بمعادلة عامة في نظام إحداثيات مستطيل، فإن المتجه هو المتجه الطبيعي لهذا الخط.

إذا كان لا بد من "سحب" إحداثيات متجه الاتجاه بعناية من المعادلة، فيمكن ببساطة "إزالة" إحداثيات المتجه العادي.

يكون المتجه العادي دائمًا متعامدًا مع متجه الاتجاه للخط. دعونا نتحقق من تعامد هذه المتجهات باستخدام منتج نقطة:

سأقدم أمثلة بنفس المعادلات الخاصة بمتجه الاتجاه:

هل من الممكن بناء معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة واحدة ومتجه عادي؟ أشعر بذلك في أمعائي، هذا ممكن. إذا كان المتجه العادي معروفًا، فإن اتجاه الخط المستقيم نفسه محدد بوضوح - وهذا "هيكل صلب" بزاوية 90 درجة.

كيف تكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي؟

إذا كانت نقطة معينة تابعة لخط ومتجه عادي لهذا الخط معروفة، فإن معادلة هذا الخط يتم التعبير عنها بالصيغة:

لقد نجح كل شيء هنا بدون كسور ومفاجآت أخرى. هذا هو ناقلنا الطبيعي. أحبه. والاحترام =)

مثال 9

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط.

حل: نستخدم الصيغة:

تم الحصول على المعادلة العامة للخط المستقيم، دعونا نتحقق من ذلك:

1) "أزل" إحداثيات المتجه العادي من المعادلة: – نعم، بالفعل تم الحصول على المتجه الأصلي من الشرط (أو يجب الحصول على متجه خطي متداخل).

2) دعونا نتحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة:

المساواة الحقيقية.

وبعد أن نقتنع بأن المعادلة مركبة بشكل صحيح، سنكمل الجزء الثاني الأسهل من المهمة. نخرج المتجه الموجه للخط المستقيم:

إجابة:

في الرسم يبدو الوضع كما يلي:

لأغراض التدريب، مهمة مماثلة لحلها بشكل مستقل:

مثال 10

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط.

سيتم تخصيص القسم الأخير من الدرس لأنواع أقل شيوعًا، ولكنها مهمة أيضًا من معادلات الخط على المستوى

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.
معادلة الخط في شكل حدودي

معادلة الخط المستقيم في القطع لها الشكل حيث الثوابت غير الصفرية. لا يمكن تمثيل بعض أنواع المعادلات بهذه الصورة، على سبيل المثال، التناسب المباشر (نظرًا لأن الحد الحر يساوي صفرًا ولا توجد طريقة للحصول على واحد في الطرف الأيمن).

هذا، مجازيًا، نوع من المعادلات "التقنية". تتمثل المهمة الشائعة في تمثيل المعادلة العامة للخط كمعادلة لخط مقسم إلى شرائح. كيف هي مريحة؟ تتيح لك معادلة الخط المقسم العثور بسرعة على نقاط تقاطع الخط مع محاور الإحداثيات، وهو ما قد يكون مهمًا جدًا في بعض مشكلات الرياضيات العليا.

دعونا نجد نقطة تقاطع الخط مع المحور. نعيد تعيين "y" إلى الصفر، وتأخذ المعادلة الشكل . يتم الحصول على النقطة المطلوبة تلقائيا: .

الشيء نفسه مع المحور - النقطة التي يتقاطع عندها الخط المستقيم مع المحور الإحداثي.

المعادلة الخطية للشكل حيث أو ب- يتم استدعاء بعض الأرقام الحقيقية غير الصفر معادلة الخط المستقيم في القطاعات. هذا الاسم ليس من قبيل الصدفة، لأن القيم المطلقة للأرقام أو بتساوي أطوال القطع التي يقطعها الخط المستقيم على محاور الإحداثيات ثورو أويعلى التوالي (يتم حساب المقاطع من الأصل). وبالتالي، فإن معادلة الخط في المقاطع تجعل من السهل بناء هذا الخط في الرسم. للقيام بذلك، يجب عليك تحديد النقاط بالإحداثيات وفي نظام إحداثيات مستطيل على المستوى، واستخدام المسطرة لربطها بخط مستقيم.

على سبيل المثال، لنقم بإنشاء خط مستقيم معطى بواسطة معادلة في أجزاء من النموذج. قم بتمييز النقاط وربطها.

يمكنك الحصول على معلومات مفصلة حول هذا النوع من معادلة الخط على المستوى في معادلة المقالة للخط في المقاطع.

أعلى الصفحة

نهاية العمل -

هذا الموضوع ينتمي إلى القسم:

الجبر والهندسة التحليلية. مفهوم المصفوفة والعمليات على المصفوفات وخصائصها

مفهوم المصفوفة هو العمليات على المصفوفات وخصائصها.. المصفوفة عبارة عن جدول مستطيل مكون من أرقام لا يمكن.. وجمع المصفوفة عملية على العناصر..

إذا كنت بحاجة إلى مواد إضافية حول هذا الموضوع، أو لم تجد ما كنت تبحث عنه، نوصي باستخدام البحث في قاعدة بيانات الأعمال لدينا:

ماذا سنفعل بالمواد المستلمة:

إذا كانت هذه المادة مفيدة لك، فيمكنك حفظها على صفحتك على الشبكات الاجتماعية:

جميع المواضيع في هذا القسم:

تعريف التفاضل
عملية إيجاد المشتق تسمى تمايز الدالة. يقال إن الدالة قابلة للاشتقاق في مرحلة ما إذا كان لها مشتقة منتهية عند تلك النقطة، و

قاعدة التمايز
النتيجة الطبيعية 1. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة المشتق:

المعنى الهندسي للمشتق. معادلة الظل
زاوية ميل الخط المستقيم y = kx+b هي الزاوية المقاسة من الموضع

المعنى الهندسي لمشتقة دالة عند نقطة ما
دعونا نفكر في القاطع AB للرسم البياني للدالة y = f(x) بحيث يكون للنقطتين A وB إحداثيات، على التوالي

حل
الوظيفة محددة للجميع أرقام حقيقية. وبما أن (-1; -3) هي نقطة التماس، إذن

الشروط الضرورية للأقصى والشروط الكافية للأقصى
تعريف الدالة المتزايدة. تزيد الدالة y = f(x) على الفاصل الزمني X إذا كان موجودًا

علامات كافية لأقصى وظيفة
للعثور على الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، يمكنك استخدام أي من الثلاثة مؤشرات كافيةأقصى. على الرغم من أن الأكثر شيوعا وملاءمة هو الأول.

الخصائص الأساسية للتكامل المحدد. الخاصية 1. مشتقة من تكامل محددفي الحد الأعلى يساوي التكامل الذي تم دمجه بدلاً من المتغير

صيغة نيوتن-لايبنتز (مع الدليل)
صيغة نيوتن-لايبنتز. دع الدالة y = f(x) تكون متصلة على فترة وF(x) تكون أحد المشتقات العكسية للدالة في هذه الفترة، ثم المعادلة

معادلة الخط في القطاعات

دع المعادلة العامة للخط المستقيم تعطى:

معادلة الخط المستقيم في القطع، أين هي القطع التي يقطعها الخط المستقيم على محاور الإحداثيات المقابلة لها.

أنشئ خطًا مستقيمًا تعطى بالمعادلة العامة:

ومنه يمكننا بناء معادلة هذا الخط على شكل شرائح:

الموقع النسبي للخطوط على المستوى.

البيان 1.

من أجل الخطوط المستقيمة وتعطى بالمعادلات:

الصدفة ضرورية وكافية بحيث:

البرهان: ومتطابقان، متجهاهما متجهان على خط واحد، أي:

لنأخذ النقطة M 0 بهذا الخط المستقيم، ثم:

بضرب المعادلة الأولى في وإضافة إلى الثانية في (2) نحصل على:

إذن، الصيغ (2)، (3)، (4) متكافئة. ولتتحقق (2) فإن معادلات النظام (*) متكافئة؛

البيان 2.

المستقيمان المعطاان بالمعادلات (*) متوازيان ولا يتطابقان إذا وفقط إذا:

دليل:

حتى لو لم تكن متطابقة:

غير متناسقة، أي وفقًا لنظرية كرونيكر-كابيلي:

وهذا ممكن فقط إذا:

أي عند تحقق الشرط (5).

عند تحقق المساواة الأولى (5)، - عدم تحقيق المساواة الثانية يؤدي إلى عدم توافق النظام (*) فالخطوط متوازية وغير متطابقة.

ملاحظة 1.

نظام الإحداثيات القطبية.

دعونا نثبت نقطة على المستوى ونسميها عمودًا. سيسمى الشعاع المنبعث من القطب بالمحور القطبي.

دعونا نختار مقياسًا لقياس أطوال المقاطع ونتفق على أن الدوران حول النقطة عكس اتجاه عقارب الساعة سيعتبر إيجابيًا. النظر في أي نقطة على طائرة معينة، نرمز إليه ببعده عن القطب ونسميه نصف القطر القطبي. الزاوية التي يجب أن يدور بها المحور القطبي بحيث يتزامن معها سيتم الإشارة إليها وتسمى الزاوية القطبية.

التعريف 3.

الإحداثيات القطبية لنقطة ما هي نصف القطر القطبي والزاوية القطبية: