قسمة الكسور العادية: القواعد والأمثلة والحلول. الكسور

يمكنك أن تفعل كل شيء مع الكسور، بما في ذلك القسمة. توضح هذه المقالة التقسيم الكسور العادية. سيتم إعطاء التعريفات وسيتم مناقشة الأمثلة. دعونا نتناول بالتفصيل قسمة الكسور على الأعداد الطبيعية والعكس. سيتم مناقشة قسمة الكسر العادي على عدد مختلط.

تقسيم الكسور

القسمة هي عكس الضرب. عند القسمة نجد العامل المجهول عند عمل مشهوروعامل آخر، حيث يتم الحفاظ على معناها المحدد بالكسور العادية.

إذا كان من الضروري تقسيم الكسر المشترك أ ب على ج د، لتحديد هذا الرقم الذي تحتاجه للضرب بالمقسوم عليه ج د، فسيؤدي ذلك في النهاية إلى الحصول على الأرباح أ ب. لنحصل على رقم ونكتبه a b · d c حيث d c هو معكوس الرقم c d. يمكن كتابة المساواة باستخدام خصائص الضرب وهي: أ ب · د ج · ج د = أ ب · د ج · ج د = أ ب · 1 = أ ب، حيث التعبير أ ب · د ج هو حاصل قسمة أ ب على ج د.

ومن هنا نحصل على قاعدة تقسيم الكسور العادية ونصيغها:

التعريف 1

لتقسيم كسر عادي أ ب على ج د، عليك أن تضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.

لنكتب القاعدة على شكل تعبير: a b: c d = a b · d c

قواعد القسمة تتلخص في الضرب. للالتزام بها، يجب أن يكون لديك فهم جيد لضرب الكسور.

دعنا ننتقل إلى النظر في تقسيم الكسور العادية.

مثال 1

اقسم 9 7 على 5 3. اكتب النتيجة في صورة كسر.

حل

الرقم 5 3 هو الكسر المتبادل 3 5. من الضروري استخدام القاعدة لتقسيم الكسور العادية. نكتب هذا التعبير كالتالي: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

إجابة: 9 7: 5 3 = 27 35 .

عند تبسيط الكسور، افصل الجزء بأكمله إذا كان البسط أكبر من المقام.

مثال 2

قسمة 8 15: 24 65. اكتب الإجابة في صورة كسر.

حل

لحل هذه المسألة، عليك الانتقال من القسمة إلى الضرب. لنكتبها بهذا الشكل: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

ومن الضروري إجراء التخفيض، ويتم ذلك على النحو التالي: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

حدد الجزء بالكامل واحصل على 13 9 = 1 4 9.

إجابة: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

قسمة كسر غير عادي على عدد طبيعي

نحن نستخدم قاعدة قسمة الكسر على عدد طبيعي: لتقسيم a b على عدد طبيعي n، ما عليك سوى ضرب المقام في n. من هنا نحصل على التعبير: أ ب: ن = أ ب · ن.

قاعدة القسمة هي نتيجة لقاعدة الضرب. ولذلك فإن تمثيل عدد طبيعي ككسر سيعطي مساواة من هذا النوع: أ ب: ن = أ ب: ن 1 = أ ب · 1 ن = أ ب · ن.

خذ بعين الاعتبار تقسيم الكسر على رقم.

مثال 3

اقسم الكسر 16 45 على الرقم 12.

حل

دعونا نطبق قاعدة قسمة الكسر على رقم. نحصل على تعبير بالشكل 16 45: 12 = 16 45 · 12.

دعونا تقليل الكسر. نحصل على 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

إجابة: 16 45: 12 = 4 135 .

قسمة عدد طبيعي على كسر

قاعدة القسمة مشابهة ياقاعدة قسمة عدد طبيعي على كسر عادي: من أجل تقسيم عدد طبيعي n على كسر عادي أ ب، من الضروري ضرب الرقم ن بمقلوب الكسر أ ب.

بناءً على القاعدة، لدينا n: a b = n · b a، وبفضل قاعدة ضرب عدد طبيعي في كسر عادي، نحصل على تعبيرنا في الشكل n: a b = n · b a. من الضروري النظر في هذا التقسيم بمثال.

مثال 4

قسمة 25 على 15 28.

حل

علينا أن ننتقل من القسمة إلى الضرب. لنكتبها على شكل التعبير 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. لنقم بتبسيط الكسر ونحصل على النتيجة على شكل كسر 46 2 3.

إجابة: 25: 15 28 = 46 2 3 .

قسمة كسر على عدد مختلط

عند قسمة كسر عادي على رقم كسري، يمكنك بسهولة البدء في قسمة الكسور العادية. تحتاج إلى تحويل رقم مختلط إلى كسر غير حقيقي.

مثال 5

اقسم الكسر 35 16 على 3 1 8.

حل

بما أن 3 1 8 عدد كسري، فلنمثله ككسر غير فعلي. ثم نحصل على 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. الآن دعونا نقسم الكسور. نحصل على 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

إجابة: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

تتم قسمة العدد المختلط بنفس طريقة تقسيم الأعداد العادية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

ضرب وقسمة الكسور.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

هذه العملية أجمل بكثير من عملية الجمع والطرح! لأنه أسهل. للتذكير، لضرب كسر في كسر، تحتاج إلى ضرب البسطين (سيكون هذا هو بسط النتيجة) والمقامات (سيكون هذا هو المقام). إنه:

على سبيل المثال:

كل شيء بسيط للغاية. ومن فضلك لا تبحث عن قاسم مشترك! ولا داعي له هنا..

لقسمة كسر على كسر، عليك أن تعكس ثانية(وهذا مهم!) قم بكسرها وضربها، أي:

على سبيل المثال:

إذا صادفت الضرب أو القسمة مع الأعداد الصحيحة والكسور، فلا بأس. كما هو الحال مع عملية الجمع، فإننا نقوم بعمل كسر من عدد صحيح به واحد في المقام - وهيا بنا! على سبيل المثال:

في المدرسة الثانوية، غالبًا ما يتعين عليك التعامل مع كسور مكونة من ثلاثة طوابق (أو حتى من أربعة طوابق!). على سبيل المثال:

كيف يمكنني أن أجعل هذا الكسر يبدو لائقًا؟ نعم، بسيط جدا! استخدام القسمة على نقطتين:

لكن لا تنسى ترتيب القسمة! على عكس الضرب، هذا مهم جدًا هنا! وبطبيعة الحال، لن نخلط بين 4: 2 أو 2: 4. ولكن من السهل ارتكاب خطأ في جزء من ثلاثة طوابق. يرجى ملاحظة على سبيل المثال:

في الحالة الأولى (التعبير على اليسار):

وفي الثاني (التعبير على اليمين):

هل تشعر بالفرق؟ 4 و 1/9!

ما الذي يحدد ترتيب القسمة؟ إما بأقواس، أو (كما هنا) بطول الخطوط الأفقية. تطوير عينك. وإذا لم يكن هناك قوسين أو شرطات، مثل:

ثم القسمة والضرب بالترتيب من اليسار إلى اليمين!

وتقنية أخرى بسيطة ومهمة للغاية. في الإجراءات ذات الدرجات، سيكون ذلك مفيدًا جدًا لك! لنقسم الواحد على أي كسر، على سبيل المثال، على 13/15:

لقد انقلبت اللقطة! وهذا يحدث دائمًا. عند قسمة 1 على أي كسر، يكون الناتج هو نفس الكسر، فقط رأسًا على عقب.

هذا كل شيء بالنسبة للعمليات مع الكسور. الأمر بسيط للغاية، لكنه يعطي أخطاء أكثر من كافية. ملحوظة نصيحة عمليةوسيكون هناك عدد أقل منهم (الأخطاء)!

نصائح عملية:

1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه! هذه ليست كلمات عامة، وليست تمنيات طيبة! وهذه ضرورة ماسة! قم بإجراء جميع العمليات الحسابية في امتحان الدولة الموحدة كمهمة كاملة ومركزة وواضحة. من الأفضل أن تكتب سطرين إضافيين في مسودتك بدلاً من أن تخطئ عند إجراء الحسابات الذهنية.

2. في الأمثلة مع أنواع مختلفةالكسور - انتقل إلى الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى تتوقف.

4. نقوم بتقليل التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى تعبيرات عادية باستخدام القسمة على نقطتين (نتبع ترتيب القسمة!).

5. اقسم الوحدة على كسر في رأسك، ببساطة قم بقلب الكسر.

فيما يلي المهام التي يجب عليك إكمالها بالتأكيد. يتم إعطاء الإجابات بعد كل المهام. استخدم المواد المتعلقة بهذا الموضوع والنصائح العملية. قم بتقدير عدد الأمثلة التي تمكنت من حلها بشكل صحيح. المرة الأولى! بدون آلة حاسبة! واستخلاص النتائج الصحيحة..

تذكر - الإجابة الصحيحة هي المستلمة من المرة الثانية (وخاصة الثالثة) لا تحسب!هذه هي الحياة القاسية.

لذا، حل في وضع الامتحان ! بالمناسبة، هذا تحضير لامتحان الدولة الموحدة. نحل المثال، نتحقق منه، نحل المثال التالي. لقد قررنا كل شيء - فحصنا مرة أخرى من الأول إلى الأخير. لكن فقط ثمانظر إلى الإجابات.

احسب:

هل قررت؟

نحن نبحث عن الإجابات التي تطابق لك. لقد كتبتها عمدا في حالة من الفوضى، بعيدا عن الإغراء، إذا جاز التعبير... وها هي الإجابات، مكتوبة بفواصل منقوطة.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

الآن نستخلص النتائج. إذا نجح كل شيء، فأنا سعيد من أجلك! الحسابات الأساسية مع الكسور ليست مشكلتك! يمكنك أن تفعل أشياء أكثر خطورة. ان لم...

لذلك لديك واحدة من مشكلتين. أو كلاهما في وقت واحد.) قلة المعرفة و (أو) عدم الانتباه. لكن هذا قابلة للحل مشاكل.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

آخر مرة تعلمنا كيفية جمع وطرح الكسور (انظر الدرس "جمع وطرح الكسور"). كان الجزء الأصعب من تلك الإجراءات هو جلب الكسور إلى قاسم مشترك.

الآن حان الوقت للتعامل مع الضرب والقسمة. والخبر السار هو أن هذه العمليات أبسط من الجمع والطرح. أولاً، دعونا نفكر في أبسط حالة، عندما يكون هناك كسران موجبان بدون جزء صحيح منفصل.

لضرب كسرين، يجب عليك ضرب بسطهما ومقاميهما بشكل منفصل. سيكون الرقم الأول هو بسط الكسر الجديد، وسيكون الرقم الثاني هو المقام.

لتقسيم كسرين، عليك ضرب الكسر الأول في الكسر الثاني "المقلوب".

تعيين:

ويترتب على التعريف أن تقسيم الكسور يؤدي إلى الضرب. "لقلب" الكسر، ما عليك سوى تبديل البسط والمقام. لذلك، طوال الدرس، سننظر بشكل أساسي في الضرب.

نتيجة للضرب، يمكن أن ينشأ جزء قابل للاختزال (وغالبا ما ينشأ) - بالطبع، يجب تخفيضه. إذا تبين بعد كل التخفيضات أن الكسر غير صحيح، فيجب تسليط الضوء على الجزء بأكمله. لكن ما لن يحدث بالتأكيد مع الضرب هو الاختزال إلى قاسم مشترك: لا توجد طرق متقاطعة، العوامل الأكبر والمضاعفات المشتركة الأصغر.

حسب التعريف لدينا:

ضرب الكسور بالأجزاء الكاملة والكسور السالبة

إذا كانت الكسور تحتوي على جزء صحيح، فيجب تحويلها إلى أجزاء غير صحيحة - وعندها فقط يتم ضربها وفقًا للمخططات الموضحة أعلاه.

إذا كان هناك ناقص في بسط الكسر أو في المقام أو أمامه، فيمكن إخراجه من الضرب أو حذفه نهائياً وفق القواعد الآتية:

1. زائد بواسطة ناقص يعطي ناقص؛
2. اثنان من السلبيات يجعلان إيجابيا.

حتى الآن، لم يتم تطبيق هذه القواعد إلا عند جمع وطرح الكسور السالبة، عندما كان من الضروري التخلص من الجزء بأكمله. بالنسبة للعمل، يمكن تعميمها من أجل "حرق" العديد من العيوب في وقت واحد:

1. نقوم بشطب السلبيات في أزواج حتى تختفي تمامًا. في الحالات القصوى، يمكن أن يعيش واحد ناقص - الشخص الذي لم يكن هناك رفيقة؛
2. إذا لم يكن هناك أي سلبيات متبقية، فقد اكتملت العملية - يمكنك البدء في الضرب. وإذا لم يتم شطب السالب الأخير لعدم وجود زوج له، فإننا نخرجه خارج حدود الضرب. والنتيجة هي جزء سلبي.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

نحول جميع الكسور إلى كسور غير حقيقية، ثم نحذف السالب من الضرب. نضرب ما تبقى حسب القواعد المعتادة. نحن نحصل:

اسمحوا لي أن أذكرك مرة أخرى أن الطرح الذي يظهر أمام الكسر مع الجزء الكامل المميز يشير على وجه التحديد إلى الكسر بأكمله، وليس فقط الجزء بأكمله (وهذا ينطبق على المثالين الأخيرين).

انتبه أيضًا إلى الأرقام السالبة: عند الضرب، يتم وضعها بين قوسين. يتم ذلك من أجل فصل السالب عن علامات الضرب وجعل التدوين بأكمله أكثر دقة.

تقليل الكسور على الطاير

الضرب هو عملية كثيفة العمالة للغاية. الأرقام هنا كبيرة جدًا، ولتبسيط المشكلة، يمكنك محاولة تقليل الكسر بشكل أكبر قبل الضرب. في الواقع، في جوهرها، تعتبر بسط ومقامات الكسور عوامل عادية، وبالتالي يمكن اختزالها باستخدام الخاصية الأساسية للكسر. ألق نظرة على الأمثلة:

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

حسب التعريف لدينا:

وفي جميع الأمثلة، يتم تحديد الأعداد التي تم تخفيضها وما تبقى منها باللون الأحمر.

يرجى ملاحظة: في الحالة الأولى، تم تخفيض المضاعفات بالكامل. وتبقى في مكانها وحدات لا تحتاج عمومًا إلى كتابتها. في المثال الثاني، لم يكن من الممكن تحقيق التخفيض الكامل، لكن إجمالي عدد الحسابات انخفض.

ومع ذلك، لا تستخدم هذه التقنية أبدًا عند جمع وطرح الكسور! نعم، في بعض الأحيان توجد أرقام مماثلة تريد تقليلها فقط. هنا انظر:

لا يمكنك أن تفعل ذلك!

يحدث الخطأ لأنه عند الجمع، ينتج عن بسط الكسر مجموع، وليس حاصل ضرب الأرقام. وبالتالي، من المستحيل تطبيق الخاصية الأساسية للكسر، لأن هذه الخاصية تتعامل بشكل خاص مع ضرب الأعداد.

ببساطة لا توجد أسباب أخرى لتقليل الكسور، وبالتالي فإن الحل الصحيح للمسألة السابقة يبدو كما يلي:

الحل الصحيح:

كما ترون، تبين أن الإجابة الصحيحة ليست جميلة جدا. بشكل عام، كن حذرا.

الكسر هو جزء واحد أو أكثر من الكل، وعادة ما يعتبر واحدًا (1). كما هو الحال مع الأعداد الطبيعية، يمكنك إجراء جميع العمليات الحسابية الأساسية (الجمع، الطرح، القسمة، الضرب) مع الكسور؛ للقيام بذلك، عليك معرفة ميزات العمل مع الكسور والتمييز بين أنواعها. هناك عدة أنواع من الكسور: عشري وعادي أو بسيط. كل نوع من الكسور له تفاصيله الخاصة، ولكن بمجرد أن تفهم جيدًا كيفية التعامل معها، ستتمكن من حل أي أمثلة بالكسور، لأنك ستعرف المبادئ الأساسية لإجراء العمليات الحسابية بالكسور. دعونا نلقي نظرة على أمثلة لكيفية قسمة الكسر على عدد صحيح باستخدام أنواع مختلفة من الكسور.

كيفية قسمة كسر بسيط على عدد طبيعي؟
الكسور العادية أو البسيطة هي كسور تتم كتابتها على شكل نسبة من الأرقام يُشار فيها إلى المقسوم (البسط) في أعلى الكسر، والمقسوم (المقام) للكسر في الأسفل. كيفية تقسيم هذا الكسر على عدد صحيح؟ لنلقي نظرة على مثال! لنفترض أننا بحاجة إلى قسمة 8/12 على 2.

للقيام بذلك يجب علينا القيام بعدد من الإجراءات:
وبالتالي، إذا واجهتنا مهمة قسمة كسر على عدد صحيح، فإن مخطط الحل سيبدو كما يلي:

بطريقة مماثلة، يمكنك قسمة أي كسر عادي (بسيط) على عدد صحيح.

كيفية قسمة العدد العشري على عدد صحيح؟
الكسر العشري هو الكسر الذي يتم الحصول عليه عن طريق تقسيم الوحدة إلى عشرة، ثم ألف، وهكذا أجزاء. العمليات الحسابية مع الكسور العشرية بسيطة للغاية.

دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية قسمة الكسر على عدد صحيح. لنفترض أننا بحاجة إلى قسمة الكسر العشري 0.925 على العدد الطبيعي 5.

لتلخيص ذلك، دعونا نتناول نقطتين رئيسيتين مهمتين عند إجراء عملية قسمة الكسور العشرية على عدد صحيح:

• للانفصال عدد عشرييتم استخدام تقسيم العمود لعدد طبيعي؛
  
• يتم وضع الفاصلة في حاصل القسمة عند اكتمال قسمة الجزء بأكمله من المقسوم.
  

من خلال تطبيق هذه القواعد البسيطة، يمكنك دائمًا بسهولة تقسيم أي عدد عشري أو جزء بسيطبواسطة عدد صحيح.

) والمقام بالمقام (نحصل على مقام المنتج).

صيغة ضرب الكسور:

على سبيل المثال:

قبل أن تبدأ في ضرب البسط والمقامات، عليك التحقق مما إذا كان من الممكن تبسيط الكسر. إذا تمكنت من تقليل الكسر، فسيكون من الأسهل عليك إجراء المزيد من الحسابات.

قسمة كسر عادي على كسر.

قسمة الكسور التي تحتوي على أعداد طبيعية.

انها ليست مخيفة كما يبدو. كما في حالة الجمع، نحول العدد الصحيح إلى كسر به واحد في المقام. على سبيل المثال:

ضرب الكسور المختلطة.

قواعد ضرب الكسور (مختلطة):

• تحويل الكسور المختلطة إلى كسور غير صحيحة.
• ضرب بسط ومقامات الكسور؛
• تقليل الكسر
• إذا حصلت على كسر غير حقيقي، فإننا نقوم بتحويل الكسر غير الحقيقي إلى كسر مختلط.

ملحوظة!لضرب كسر مختلط في كسر مختلط آخر، عليك أولاً تحويلهما إلى صورة كسور غير حقيقية، ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.

الطريقة الثانية لضرب الكسر في عدد طبيعي.

قد يكون من الأفضل استخدام الطريقة الثانية وهي ضرب كسر عادي بعدد.

ملحوظة!لضرب كسر في عدد طبيعي، عليك قسمة مقام الكسر على هذا الرقم، وترك البسط دون تغيير.

من المثال المذكور أعلاه، من الواضح أن هذا الخيار أكثر ملاءمة للاستخدام عندما يتم قسمة مقام الكسر بدون باقي على عدد طبيعي.

كسور متعددة الطوابق.

في المدرسة الثانوية، غالبا ما تتم مواجهة الكسور المكونة من ثلاثة طوابق (أو أكثر). مثال:

ولإرجاع هذا الكسر إلى شكله المعتاد، استخدم القسمة على نقطتين:

ملحوظة!عند قسمة الكسور، فإن ترتيب القسمة مهم جدًا. كن حذرًا، فمن السهل أن تتشوش هنا.

ملحوظة، على سبيل المثال:

عند قسمة واحد على أي كسر، فإن النتيجة ستكون نفس الكسر، معكوسة فقط:

نصائح عملية لضرب وقسمة الكسور:

1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه. قم بإجراء جميع الحسابات بعناية ودقة وتركيز ووضوح. من الأفضل أن تكتب بضعة أسطر إضافية في مسودتك بدلًا من الضياع في الحسابات الذهنية.

2. في المهام التي تحتوي على أنواع مختلفة من الكسور، انتقل إلى نوع الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى لا يكون من الممكن تقليلها.

4. نقوم بتحويل التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى تعبيرات عادية باستخدام القسمة على نقطتين.

5. اقسم الوحدة على كسر في رأسك، ببساطة قم بقلب الكسر.