ما هو p a في نظرية الاحتمالات. أساسيات نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

غسلت أمي الإطار

في نهاية طويلة الإجازة الصيفيةحان الوقت للعودة ببطء إلى الرياضيات العليا وفتح ملف Verdov الفارغ رسميًا لبدء إنشاء قسم جديد - . أعترف أن الأسطر الأولى ليست سهلة، لكن الخطوة الأولى هي نصف الطريق، لذلك أقترح على الجميع دراسة المقالة التمهيدية بعناية، وبعد ذلك سيكون إتقان الموضوع أسهل مرتين! أنا لا أبالغ على الإطلاق. …عشية الأول من سبتمبر القادم، أتذكر الصف الأول والتمهيدي…. تشكل الحروف مقاطع لفظية، والمقاطع تشكل كلمات، والكلمات تشكل جملًا قصيرة - غسلت أمي الإطار. يعد إتقان إحصائيات التداول والرياضيات أمرًا سهلاً مثل تعلم القراءة! ومع ذلك، لهذا تحتاج إلى معرفة المصطلحات والمفاهيم والتسميات الأساسية، بالإضافة إلى بعض القواعد المحددة التي هي موضوع هذا الدرس.

لكن أولاً أرجو أن تتقبلوا تهنئتي بالبداية (متابعة، إكمال، ملاحظة حسب الاقتضاء) العام الدراسيوقبول الهدية. أفضل هدية هي كتاب، و عمل مستقلأوصي بالأدبيات التالية:

1) جمورمان ف. نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

الأسطوري دليل التدريب، والتي طبعت أكثر من عشر طبعات. إنه يتميز بالوضوح والعرض البسيط للغاية للمادة، والفصول الأولى متاحة بالكامل، على ما أعتقد، بالفعل للطلاب في الصفوف 6-7.

2) جمورمان ف. دليل لحل المشاكل في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

كتاب حلول لنفس فلاديمير افيموفيتش مع أمثلة ومسائل مفصلة.

بالضرورةقم بتنزيل كلا الكتابين من الإنترنت أو احصل على نسخهما الورقية الأصلية! الإصدار من الستينيات والسبعينيات سيعمل أيضًا، وهو أفضل بالنسبة للدمى. على الرغم من أن عبارة "نظرية الاحتمالية للدمى" تبدو سخيفة إلى حد ما، لأن كل شيء تقريبًا يقتصر على المرحلة الابتدائية العمليات الحسابية. لكنهم يتخطون في بعض الأماكن المشتقاتو التكاملات، ولكن هذا في الأماكن فقط.

سأحاول تحقيق نفس الوضوح في العرض، لكن يجب أن أحذر من أن الدورة التدريبية الخاصة بي تهدف إلى ذلك حل المشكلةويتم الاحتفاظ بالحسابات النظرية إلى الحد الأدنى. وبالتالي، إذا كنت بحاجة إلى نظرية مفصلة، ​​​​وإثباتات النظريات (نظريات-نظريات!)، يرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي. حسنا، من يريد تعلم كيفية حل المشاكلفي نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي في أقصر وقت ممكناتبعني!

هذا يكفي للبدء =)

أثناء قراءتك للمقالات، من المستحسن أن تتعرف عليها (على الأقل لفترة وجيزة). مهام إضافيةتعتبر الأنواع. على الصفحة حلول جاهزة للرياضيات العلياسيتم نشر ملفات PDF المقابلة مع أمثلة للحلول. كما سيتم تقديم مساعدة كبيرة IDZ 18.1 ريابوشكو(أبسط) و تم حل IDZ وفقًا لمجموعة Chudesenko(أكثر صعوبة).

1) كميةحدثين ويسمى الحدث وهو أنه سيحدث أوحدث أوحدث أوكلا الحدثين في نفس الوقت. وفي حال الأحداث غير متوافق، يختفي الخيار الأخير، أي أنه قد يحدث أوحدث أوحدث .

تنطبق القاعدة أيضًا على عدد أكبر من المصطلحات، على سبيل المثال، الحدث هو ما سيحدث واحد على الأقلمن الأحداث ، أ إذا كانت الأحداث غير متوافقة – ثم شيء واحد وشيء واحد فقطحدث من هذا المبلغ: أوحدث ، أوحدث ، أوحدث ، أوحدث ، أوحدث .

هناك الكثير من الأمثلة:

الأحداث (عند رمي النرد لن تظهر 5 نقاط) هي ما ستظهر أو 1, أو 2, أو 3, أو 4, أو 6 نقاط.

الحدث (سوف يسقط لا أكثرنقطتين) هو أن 1 سوف تظهر أو 2نقاط.

حدث (سيكون هناك عدد زوجي من النقاط) هو ما يظهر أو 2 أو 4 أو 6 نقاط.

الحدث هو أنه سيتم سحب بطاقة حمراء (قلب) من على سطح السفينة أوالدف) والحدث - أنه سيتم استخراج "الصورة" (جاك أوسيدة أوملِك أوبارِع).

الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو الحال مع الأحداث المشتركة:

الحدث هو أنه سيتم سحب النادي من على سطح السفينة أوسبعة أوسبعة من الأندية ووفقا للتعريف المذكور أعلاه، على الأقل شيئا- أو أي نادي أو أي سبعة أو "تقاطعهم" - سبعة أندية. من السهل حساب أن هذا الحدث يتوافق مع 12 نتيجة أولية (9 بطاقات نادي + 3 سبعات متبقية).

الحدث هو أن غدا في الساعة 12.00 سيأتي واحد على الأقل من الأحداث المشتركة القابلة للتلخيصوهي:

- أو سيكون هناك مطر فقط / عاصفة رعدية فقط / شمس فقط؛
- أو سيحدث فقط بعض الأحداث (مطر + عاصفة رعدية / مطر + شمس / عاصفة رعدية + شمس)؛
- أو ستظهر الأحداث الثلاثة في وقت واحد.

أي أن الحدث يتضمن 7 نتائج محتملة.

الركن الثاني من جبر الأحداث:

2) العملحدثين ونسمي حدثًا يتكون من حدوث هذه الأحداث معًا، وبعبارة أخرى، الضرب يعني أنه في بعض الظروف سيكون هناك وحدث ، وحدث . ينطبق بيان مماثل على عدد أكبر من الأحداث، على سبيل المثال، يشير العمل إلى أنه سيحدث في ظل ظروف معينة وحدث ، وحدث ، وحدث ، …، وحدث .

فكر في اختبار يتم فيه رمي قطعتين من العملات المعدنية والأحداث التالية:

- سوف تظهر الرؤوس على العملة الأولى؛
- العملة الأولى ستهبط على الرؤوس؛
- سوف تظهر الرؤوس على العملة الثانية؛
- العملة الثانية سوف تهبط على الرؤوس.

ثم:
وفي اليوم الثاني) سوف تظهر الرؤوس؛
– الحدث هو أنه على كلا العملاتتين (في الأول ووفي الثاني) سيكون رؤوسا؛
- الحدث هو أن العملة الأولى ستهبط على شكل رؤوس والعملة الثانية هي ذيول.
- الحدث هو أن العملة الأولى ستهبط على شكل رؤوس وعلى العملة الثانية يوجد نسر.

ومن السهل أن نرى تلك الأحداث غير متوافق (لأنه، على سبيل المثال، لا يمكن أن يسقط رأسين وذيلين في نفس الوقت)والشكل مجموعة كاملة ( منذ أخذها بعين الاعتبار الجميعالنتائج المحتملة لرمي قطعتين من النقود). دعونا نلخص هذه الأحداث : . كيفية تفسير هذا الإدخال؟ بسيط جدًا - الضرب يعني رابطًا منطقيًا و، والإضافة - أو. وهكذا يسهل قراءة المبلغ بلغة بشرية مفهومة: "سيظهر رأسان أورأسين أوالعملة الأولى سوف تهبط على الرؤوس وعلى ذيول 2 أوالعملة الأولى سوف تهبط على الرؤوس وعلى العملة الثانية يوجد نسر"

وكان هذا مثالا عندما في اختبار واحدهناك عدة أشياء متضمنة، في هذه الحالة عملتان معدنيتان. مخطط شائع آخر في المشاكل العملية هو إعادة الاختبار ، على سبيل المثال، عندما يتم رمي نفس حجر النرد ثلاث مرات متتالية. وللتوضيح، خذ بعين الاعتبار الأحداث التالية:

- في الرمية الأولى سوف تحصل على 4 نقاط؛
- في الرمية الثانية سوف تحصل على 5 نقاط؛
– في الرمية الثالثة سوف تحصل على 6 نقاط.

ثم الحدث هو أنه في الرمية الأولى سوف تحصل على 4 نقاط وفي الرمية الثانية سوف تحصل على 5 نقاط وفي اللفة الثالثة سوف تحصل على 6 نقاط. من الواضح أنه في حالة المكعب سيكون هناك مجموعات (نتائج) أكثر بكثير مما لو كنا نرمي عملة معدنية.

...أنا أفهم أنهم ربما لا يفهمون جيدًا أمثلة مثيرة للاهتماملكن هذه أمور كثيراً ما تصادف في المشاكل ولا مفر منها. بالإضافة إلى عملة معدنية ومكعب ومجموعة من أوراق اللعب، وجرار بها كرات متعددة الألوان، والعديد من الأشخاص المجهولين الذين يطلقون النار على هدف، وعامل لا يكل يعمل باستمرار على طحن بعض التفاصيل في انتظارك =)

احتمالية وقوع الحدث

احتمالية وقوع الحدث هو المفهوم المركزي لنظرية الاحتمالات. ...شيء منطقي للغاية، ولكن كان علينا أن نبدأ من مكان ما =) هناك عدة طرق لتعريفه:

;
التعريف الهندسي للاحتمال ;
التعريف الإحصائي للاحتمال .

سأركز في هذه المقالة على التعريف الكلاسيكي للاحتمال، والذي يستخدم على نطاق واسع في المهام التعليمية.

التسميات. يُشار إلى احتمالية وقوع حدث معين بحرف لاتيني كبير، ويتم وضع الحدث نفسه بين قوسين، ليكون بمثابة نوع من الحجة. على سبيل المثال:

كما يتم استخدام الحرف الصغير على نطاق واسع للدلالة على الاحتمال. على وجه الخصوص، يمكنك التخلي عن التسميات المرهقة للأحداث واحتمالاتها لصالح النمط التالي::

- احتمال أن تؤدي رمية العملة إلى ظهور الصورة؛
- احتمال أن تؤدي رمية النرد إلى 5 نقاط؛
– احتمال سحب بطاقة بدلة النادي من على سطح السفينة.

يعد هذا الخيار شائعًا عند حل المشكلات العملية، لأنه يسمح لك بتقليل تسجيل الحل بشكل كبير. كما في الحالة الأولى، من الملائم استخدام الحروف المنخفضة/الحروف المرتفعة "الناطقة" هنا.

لقد خمن الجميع منذ فترة طويلة الأرقام التي كتبتها للتو أعلاه، والآن سنكتشف كيف تحولت:

التعريف الكلاسيكي للاحتمال:

يسمى احتمال وقوع حدث ما في اختبار معين النسبة حيث:

– العدد الإجماليالجميع ممكن على قدم المساواة, ابتدائينتائج هذا الاختبار، والتي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث;

- كمية ابتدائيالنتائج, مواتية حدث.

عند رمي عملة معدنية، يمكن أن تسقط الصورة أو الكتابة - وتتشكل هذه الأحداث مجموعة كاملةوبالتالي فإن العدد الإجمالي للنتائج؛ وفي نفس الوقت كل واحد منهم ابتدائيو ممكن على قدم المساواة. يتم تفضيل الحدث بالنتيجة (الرؤوس). وفقًا للتعريف الكلاسيكي للاحتمال: .

وبالمثل، نتيجة لرمي حجر النرد، قد تظهر نتائج أولية متساوية الإمكانية، وتشكل مجموعة كاملة، ويتم تفضيل الحدث بنتيجة واحدة (رمي الرقم خمسة). لهذا السبب: هذا غير مقبول (على الرغم من أنه لا يُمنع تقدير النسب المئوية في رأسك).

ومن المعتاد استخدام كسور الوحدةومن الواضح أن الاحتمال يمكن أن يختلف داخل . علاوة على ذلك، إذا كان الحدث مستحيل، لو - موثوق، وإذا، فنحن نتحدث عنه عشوائيحدث.

! إذا حصلت، أثناء حل أي مشكلة، على قيمة احتمالية أخرى، فابحث عن الخطأ!

في النهج الكلاسيكي لتحديد الاحتمالية، يتم الحصول على القيم المتطرفة (صفر وواحد) من خلال نفس المنطق تمامًا. اسمح بسحب كرة واحدة عشوائيًا من جرة معينة تحتوي على 10 كرات حمراء. خذ بعين الاعتبار الأحداث التالية:

في تجربة واحدة لن يحدث حدث ذو احتمالية منخفضة.

ولهذا السبب لن تفوز بالجائزة الكبرى في اليانصيب إذا كان احتمال هذا الحدث، على سبيل المثال، 0.00000001. نعم، نعم، إنه أنت – مع التذكرة الوحيدة في تداول معين. ومع ذلك، فإن عددًا أكبر من التذاكر وعددًا أكبر من الرسومات لن يساعدك كثيرًا. ...عندما أخبر الآخرين عن هذا، أسمع دائمًا ردًا: "لكن هناك من يفوز". حسنًا، فلنقم بالتجربة التالية: يرجى شراء تذكرة لأي يانصيب اليوم أو غدًا (لا تتأخر!). وإذا فزت... حسنًا، على الأقل أكثر من 10 كيلوروبل، تأكد من التسجيل - سأشرح لك سبب حدوث ذلك. بالنسبة للنسبة طبعا =)=)

لكن لا داعي للحزن، لأن هناك مبدأ معاكسًا: إذا كان احتمال وقوع حدث ما قريبًا جدًا من الواحد، فإنه في تجربة واحدة سوف يحدث. شبه مؤكدسيحدث. لذلك لا داعي للخوف قبل القفز بالمظلة؛ بل على العكس، ابتسم! بعد كل شيء، يجب أن تنشأ ظروف رائعة لا يمكن تصورها على الإطلاق حتى تفشل كلتا المظلتين.

على الرغم من أن كل هذا هو غنائي، لأنه اعتمادا على محتوى الحدث، قد يكون المبدأ الأول مبهجا، والثاني - حزين؛ أو حتى كلاهما بالتوازي.

ربما هذا يكفي الآن، في الصف مسائل الاحتمالية الكلاسيكيةسوف نحصل على أقصى استفادة من الصيغة. وفي الجزء الأخير من هذه المقالة، سنتناول نظرية مهمة:

مجموع احتمالات الأحداث التي تكون المجموعة الكاملة يساوي واحدًا. بشكل تقريبي، إذا كانت الأحداث تشكل مجموعة كاملة، فمع احتمال 100%، سيحدث أحدها. في أبسط الحالات، يتم تشكيل مجموعة كاملة من الأحداث المعاكسة، على سبيل المثال:

- نتيجة لرمي العملة المعدنية، سوف تظهر الرؤوس؛
– ستكون نتيجة رمي العملة المعدنية هي الرؤوس.

وفقا للنظرية:

ومن الواضح تمامًا أن هذه الأحداث ممكنة بنفس القدر واحتمالاتها واحدة .

نظرًا لتساوي الاحتمالات، غالبًا ما يتم استدعاء الأحداث الممكنة بشكل متساوٍ محتمل بنفس القدر . وهنا اعصار اللسان لتحديد درجة التسمم =)

مثال على المكعب: الأحداث متضادة إذن .

تعتبر النظرية قيد النظر ملائمة لأنها تتيح لك العثور بسرعة على احتمالية الحدث المعاكس. لذلك، إذا كان احتمال ظهور الرقم خمسة معروفًا، فمن السهل حساب احتمال عدم ظهوره:

وهذا أبسط بكثير من تلخيص احتمالات خمس نتائج أولية. بالمناسبة، بالنسبة للنتائج الأولية، هذه النظرية صحيحة أيضًا:
. على سبيل المثال، إذا كان احتمال أن يصيب مطلق النار الهدف، إذن هو احتمال أن يخطئ.

! في نظرية الاحتمالات، من غير المرغوب فيه استخدام الحروف لأي أغراض أخرى.

تكريما ليوم المعرفة، لن أسأل العمل في المنزل=) ولكن من المهم جدًا أن تتمكن من الإجابة على الأسئلة التالية:

- ما هي أنواع الأحداث الموجودة؟
– ما هي الصدفة والاحتمال المتساوي لحدث ما؟
– كيف تفهم مصطلحات توافق/عدم توافق الأحداث؟
- ما هي مجموعة كاملة من الأحداث، والأحداث المعاكسة؟
- ماذا يعني جمع وضرب الأحداث؟
– ما هو جوهر التعريف الكلاسيكي للاحتمال؟
- لماذا تعتبر نظرية جمع احتمالات الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة مفيدة؟

لا، لا تحتاج إلى حشر أي شيء، فهذه مجرد أساسيات نظرية الاحتمالات - وهو نوع من التمهيدي الذي سوف يتناسب بسرعة مع رأسك. ولكي يحدث هذا في أقرب وقت ممكن، أقترح عليك أن تتعرف على الدروس

يمكن تقسيم الأحداث التي تحدث في الواقع أو في خيالنا إلى 3 مجموعات. هذه أحداث معينة ستحدث بالتأكيد، وأحداث مستحيلة، وأحداث عشوائية. تدرس نظرية الاحتمالات الأحداث العشوائية، أي. الأحداث التي قد تحدث أو لا تحدث. سيتم تقديم هذه المقالة في باختصارنظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة لحل المشكلات في نظرية الاحتمالات، والتي ستكون في المهمة 4 من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (مستوى الملف الشخصي).

لماذا نحتاج إلى نظرية الاحتمالات؟

تاريخيًا، ظهرت الحاجة إلى دراسة هذه المشكلات في القرن السابع عشر فيما يتعلق بتطور المقامرة واحترافها وظهور الكازينوهات. وكانت هذه ظاهرة حقيقية تحتاج إلى دراسة وبحث خاص بها.

خلق لعب الورق والنرد والروليت مواقف يمكن أن يحدث فيها أي عدد محدود من الأحداث المحتملة بنفس القدر. وكانت هناك حاجة إلى إعطاء تقديرات عددية لاحتمال وقوع حدث معين.

في القرن العشرين، أصبح من الواضح أن هذا العلم الذي يبدو تافهًا يلعب دورًا مهمًا في فهم العمليات الأساسية التي تحدث في العالم المصغر. تم إنشاؤه النظرية الحديثةالاحتمالات.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات

موضوع دراسة نظرية الاحتمالات هو الأحداث واحتمالاتها. إذا كان الحدث معقدًا، فيمكن تقسيمه إلى مكونات بسيطة يسهل العثور على احتمالاتها.

يُطلق على مجموع الأحداث A و B الحدث C، والذي يتكون من حقيقة أن الحدث A، أو الحدث B، أو الحدثين A و B قد وقعا في وقت واحد.

حاصل ضرب الحدثين A وB هو الحدث C، مما يعني أن كلا من الحدث A والحدث B قد وقعا.

يُطلق على الحدثين A وB غير المتوافقين إذا لم يكن من الممكن حدوثهما في وقت واحد.

يسمى الحدث A مستحيلاً إذا لم يكن من الممكن حدوثه. يشار إلى مثل هذا الحدث بالرمز.

الحدث A يسمى مؤكد إذا كان مؤكد الحدوث. يشار إلى مثل هذا الحدث بالرمز.

دع كل حدث A يرتبط برقم P(A). يُسمى هذا الرقم P(A) باحتمالية الحدث A إذا تم استيفاء الشروط التالية مع هذه المراسلات.

هناك حالة خاصة مهمة وهي الحالة التي تكون فيها النتائج الأولية محتملة بشكل متساوٍ، وتكون هذه النتائج عشوائية من الأحداث A. في هذه الحالة، يمكن إدخال الاحتمال باستخدام الصيغة. الاحتمال المقدم بهذه الطريقة يسمى الاحتمال الكلاسيكي. يمكن إثبات أنه في هذه الحالة يتم استيفاء الخصائص من 1 إلى 4.

ترتبط المشاكل في نظرية الاحتمالات التي تظهر في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بشكل أساسي بالاحتمالات الكلاسيكية. مثل هذه المهام يمكن أن تكون بسيطة للغاية. بسيطة بشكل خاص هي مشاكل في نظرية الاحتمالات في الخيارات التجريبية. من السهل حساب عدد النتائج الإيجابية؛ حيث يتم كتابة عدد جميع النتائج بشكل صحيح في الحالة.

نحصل على الجواب باستخدام الصيغة.

مثال على مشكلة من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات حول تحديد الاحتمال

هناك 20 فطيرة على الطاولة - 5 مع الملفوف، 7 مع التفاح و 8 مع الأرز. مارينا تريد أن تأخذ الفطيرة. ما هو احتمال أن تأخذ كعكة الأرز؟

حل.

هناك 20 نتيجة أولية متساوية الاحتمال، أي أن مارينا يمكنها أن تأخذ أيًا من العشرين فطيرة. لكننا نحتاج إلى تقدير احتمال أن تأخذ مارينا فطيرة الأرز، حيث A هو اختيار فطيرة الأرز. وهذا يعني أن عدد النتائج الإيجابية (اختيارات فطائر الأرز) هو 8 فقط. ثم سيتم تحديد الاحتمال بالصيغة:

أحداث مستقلة ومتعاكسة وتعسفية

ومع ذلك، في جرة مفتوحةبدأت تواجه مهام أكثر تعقيدًا. ولذلك دعونا نلفت انتباه القارئ إلى قضايا أخرى تمت دراستها في نظرية الاحتمالات.

يقال إن الحدثين A وB مستقلان إذا كان احتمال كل منهما لا يعتمد على وقوع الحدث الآخر.

الحدث B هو أن الحدث A لم يحدث، أي. الحدث B معاكس للحدث A. احتمال الحدث المعاكس يساوي واحدًا ناقص احتمال الحدث المباشر، أي. .

احتمال الجمع ونظريات الضرب والصيغ

بالنسبة للأحداث العشوائية A وB، فإن احتمال مجموع هذه الأحداث يساوي مجموع احتمالاتها دون احتمال الحدث المشترك، أي. .

بالنسبة للحدثين المستقلين A وB، فإن احتمال وقوع هذين الحدثين يساوي حاصل ضرب احتمالاتهما، أي. في هذه الحالة .

تسمى العبارتان الأخيرتان بنظريتي جمع وضرب الاحتمالات.

إن حساب عدد النتائج ليس بهذه البساطة دائمًا. في بعض الحالات يكون من الضروري استخدام الصيغ التوافقية. الشيء الأكثر أهمية هو حساب عدد الأحداث التي تستوفي شروطًا معينة. في بعض الأحيان يمكن أن تصبح هذه الأنواع من الحسابات مهامًا مستقلة.

بكم طريقة يمكن أن يجلس 6 طلاب في 6 مقاعد فارغة؟ سيحصل الطالب الأول على أي من الأماكن الستة. يتوافق كل خيار من هذه الخيارات مع 5 طرق ليأخذ الطالب الثاني مكانًا فيه. بقي 4 أماكن خالية للطالب الثالث، 3 للرابع، 2 للخامس، والسادس سيأخذ المركز الوحيد المتبقي. للعثور على عدد جميع الخيارات، تحتاج إلى العثور على المنتج، الذي يشار إليه بالرمز 6! ويقرأ "ستة مضروب".

في الحالة العامة، يتم إعطاء الإجابة على هذا السؤال من خلال صيغة عدد التباديل للعناصر n في حالتنا.

دعونا الآن نفكر في حالة أخرى مع طلابنا. بكم طريقة يمكن أن يجلس طالبان في 6 مقاعد فارغة؟ سيحصل الطالب الأول على أي من الأماكن الستة. يتوافق كل خيار من هذه الخيارات مع 5 طرق ليأخذ الطالب الثاني مكانًا فيه. للعثور على عدد جميع الخيارات، تحتاج إلى العثور على المنتج.

بشكل عام، يتم الحصول على إجابة هذا السؤال من خلال صيغة عدد مواضع العناصر n على عناصر k

في حالتنا.

والحالة الأخيرة في هذه السلسلة. بكم طريقة يمكنك اختيار ثلاثة طلاب من أصل ستة؟ يمكن اختيار الطالب الأول بـ 6 طرق، والثاني بـ 5 طرق، والثالث بأربع طرق. ولكن من بين هذه الخيارات، يظهر نفس الطلاب الثلاثة 6 مرات. للعثور على عدد جميع الخيارات، تحتاج إلى حساب القيمة: . بشكل عام، يتم تقديم الإجابة على هذا السؤال من خلال صيغة عدد مجموعات العناصر حسب العنصر:

في حالتنا.

أمثلة على حل المسائل من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات لتحديد الاحتمالية

المهمة 1. من المجموعة التي تم تحريرها بواسطة. ياشينكو.

يوجد 30 فطيرة في الطبق: 3 باللحم، و18 بالملفوف، و9 بالكرز. تختار ساشا فطيرة واحدة بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن ينتهي به الأمر بالحصول على حبة كرز.

.

الجواب: 0.3.

المهمة 2. من المجموعة التي تم تحريرها بواسطة. ياشينكو.

في كل دفعة مكونة من 1000 مصباح كهربائي، يوجد في المتوسط ​​20 مصباحًا معيبًا. أوجد احتمال أن يعمل المصباح الكهربي المأخوذ عشوائيًا من المجموعة.

الحل: عدد المصابيح العاملة هو 1000-20=980. ثم احتمال أن يعمل المصباح الكهربائي المأخوذ عشوائيًا من الدفعة:

الجواب: 0.98.

احتمال أن يحل الطالب U. بشكل صحيح أكثر من 9 مسائل أثناء اختبار الرياضيات هو 0.67. احتمال أن يحل U. أكثر من 8 مسائل بشكل صحيح هو 0.73. أوجد احتمال أن تحل U 9 مسائل بشكل صحيح.

إذا تخيلنا خط الأعداد ووضعنا علامة على النقطتين 8 و 9 عليه، فسنرى أن الشرط "U. سوف يحل بالضبط 9 مسائل بشكل صحيح" مدرج في الشرط "U. سوف يحل أكثر من 8 مسائل بشكل صحيح"، ولكن لا ينطبق على الشرط "U. سوف يحل أكثر من 9 مشاكل بشكل صحيح.

ومع ذلك، فإن الشرط "U. سوف يحل أكثر من 9 مسائل بشكل صحيح" موجود في الشرط "U. سوف يحل أكثر من 8 مشاكل بشكل صحيح. وهكذا، إذا قمنا بتعيين الأحداث: "U. سوف يحل بالضبط 9 مسائل بشكل صحيح" - من خلال A، "U. سوف يحل أكثر من 8 مسائل بشكل صحيح" - من خلال B، "U. سوف يحل بشكل صحيح أكثر من 9 مشاكل "من خلال C. سيبدو هذا الحل كما يلي:

الجواب: 0.06.

في امتحان الهندسة، يجيب الطالب على سؤال واحد من قائمة أسئلة الامتحان. احتمال أن يكون هذا سؤالًا في علم المثلثات هو 0.2. احتمال أن يكون هذا سؤالًا عن الزوايا الخارجية هو 0.15. لا توجد أسئلة تتعلق في وقت واحد بهذين الموضوعين. أوجد احتمال أن يحصل الطالب على سؤال حول أحد هذين الموضوعين في الامتحان.

دعونا نفكر في الأحداث التي لدينا. لقد حصلنا على حدثين غير متوافقين. أي إما أن السؤال سيتعلق بموضوع "علم المثلثات" أو بموضوع "الزوايا الخارجية". وفقاً لنظرية الاحتمال فإن احتمال الأحداث غير المتوافقة يساوي مجموع احتمالات كل حدث، ويجب علينا إيجاد مجموع احتمالات هذه الأحداث، أي:

الجواب: 0.35.

الغرفة مضاءة بفانوس بثلاثة مصابيح. احتمال احتراق مصباح واحد خلال عام هو 0.29. أوجد احتمال عدم احتراق مصباح واحد على الأقل خلال العام.

دعونا نفكر في الأحداث المحتملة. لدينا ثلاثة مصابيح كهربائية، كل منها قد يحترق أو لا يحترق بشكل مستقل عن أي مصباح كهربائي آخر. هذه أحداث مستقلة.

ثم سنشير إلى الخيارات لمثل هذه الأحداث. دعونا نستخدم الرموز التالية: - المصباح الكهربائي مضاء، - المصباح الكهربائي محترق. وبجانبه سنحسب احتمالية الحدث. على سبيل المثال، احتمال وقوع حدث فيه ثلاثة أحداث مستقلة "احترق المصباح الكهربائي"، "المصباح مضاء"، "المصباح مضاء": حيث احتمال وقوع الحدث "المصباح الكهربائي مضاء" يتم حساب "مضاء" على أنه احتمال الحدث المعاكس للحدث "المصباح الكهربائي غير مضاء"، وهو: .

مقدمة

أشياء كثيرة غير مفهومة بالنسبة لنا ليس لأن مفاهيمنا ضعيفة؛
ولكن لأن هذه الأشياء ليست مدرجة في نطاق مفاهيمنا.
كوزما بروتكوف

الهدف الرئيسي من دراسة الرياضيات في المرحلة الثانوية التخصصية المؤسسات التعليميةهو إعطاء الطلاب مجموعة من المعرفة والمهارات الرياضية اللازمة لدراسة تخصصات البرامج الأخرى التي تستخدم الرياضيات بدرجة أو بأخرى، والقدرة على إجراء الحسابات العملية، وتكوين وتطوير التفكير المنطقي.

يحتوي هذا العمل على جميع المفاهيم الأساسية لقسم الرياضيات "أساسيات نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي" المنصوص عليها في البرنامج والمعايير التعليمية الحكومية للتعليم المهني الثانوي (وزارة التربية والتعليم في الاتحاد الروسي. م. ، 2002 )، يتم تقديمها باستمرار، ويتم صياغة النظريات الرئيسية، ومعظمها لم يتم إثباته. يتم النظر في المشكلات الرئيسية وطرق حلها وتقنيات تطبيق هذه الأساليب لحل المشكلات العملية. ويرافق العرض تعليقات مفصلة وأمثلة عديدة.

يمكن استخدام التعليمات المنهجية للتعرف الأولي على المواد التي تتم دراستها، عند تدوين الملاحظات في المحاضرات، للتحضير للفصول العملية، لتعزيز المعرفة والمهارات والقدرات المكتسبة. بالإضافة إلى ذلك، سيكون الدليل مفيدًا أيضًا للطلاب الجامعيين كأداة مرجعية، مما يسمح لهم باستدعاء ما تمت دراسته مسبقًا بسرعة.

توجد في نهاية العمل أمثلة ومهام يمكن للطلاب القيام بها في وضع ضبط النفس.

المبادئ التوجيهية مخصصة للطلاب بدوام جزئي وبدوام كامل.

المفاهيم الأساسية

تدرس نظرية الاحتمالية الأنماط الموضوعية للأحداث العشوائية الجماعية. وهو الأساس النظري للإحصاء الرياضي، الذي يتناول تطوير أساليب جمع ووصف ومعالجة نتائج الرصد. من خلال الملاحظات (الاختبارات والتجارب)، أي. الخبرة بالمعنى الواسع للكلمة، تحدث معرفة ظواهر العالم الحقيقي.

في بلده الأنشطة العمليةكثيرا ما نواجه ظواهر لا يمكن التنبؤ بنتائجها، وتعتمد نتائجها على الصدفة.

يمكن وصف الظاهرة العشوائية بنسبة عدد مرات حدوثها إلى عدد المحاولات التي يمكن أن تحدث أو لا تحدث في كل منها، وفي نفس ظروف جميع التجارب.

نظرية الاحتمالية هي فرع من فروع الرياضيات يتم فيه دراسة الظواهر العشوائية (الأحداث) وتحديد الأنماط عند تكرارها بشكل جماعي.

الإحصاء الرياضي هو فرع من الرياضيات موضوعه هو دراسة طرق جمع وتنظيم ومعالجة واستخدام البيانات الإحصائية للحصول على استنتاجات علمية واتخاذ القرارات.

في هذه الحالة، تُفهم البيانات الإحصائية على أنها مجموعة من الأرقام التي تمثل الخصائص الكمية لخصائص الكائنات قيد الدراسة التي تهمنا. يتم الحصول على البيانات الإحصائية نتيجة للتجارب والملاحظات المصممة خصيصا.

تعتمد البيانات الإحصائية في جوهرها على العديد من العوامل العشوائية، وبالتالي فإن الإحصائيات الرياضية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الاحتمالات، وهي أساسها النظري.

أولا: الاحتمالية. نظريات الجمع وضرب الاحتمالات

1.1. المفاهيم الأساسية للتوافقيات

في فرع الرياضيات الذي يسمى التوافقيات، يتم حل بعض المشكلات المتعلقة بدراسة المجموعات وتركيب مجموعات مختلفة من عناصر هذه المجموعات. على سبيل المثال، إذا أخذنا 10 أرقام مختلفة 0، 1، 2، 3،:، 9 وقمنا بتركيبها، فسنحصل على أرقام مختلفة، على سبيل المثال 143، 431، 5671، 1207، 43، إلخ.

نرى أن بعض هذه المجموعات تختلف فقط في ترتيب الأرقام (على سبيل المثال، 143 و 431)، والبعض الآخر - في الأرقام المضمنة فيها (على سبيل المثال، 5671 و 1207)، والبعض الآخر يختلف أيضًا في عدد الأرقام (على سبيل المثال، 143 و 43).

وبالتالي، فإن المجموعات الناتجة تلبي الشروط المختلفة.

اعتمادا على قواعد التكوين، يمكن التمييز بين ثلاثة أنواع من المجموعات: التباديل، المواضع، التركيبات.

دعونا أولا نتعرف على هذا المفهوم مضروب.

المنتج للجميع الأعداد الطبيعيةمن 1 إلى n شاملة يتم استدعاؤها n-مُعامل والكتابة.

احسب: أ) ؛ ب) ؛ الخامس) .

حل. أ) .

ب) منذ ، ثم يمكننا أن نخرجه من الأقواس

ثم نحصل

الخامس) .

إعادة الترتيب.

مجموعة من العناصر n التي تختلف عن بعضها البعض فقط في ترتيب العناصر تسمى التقليب.

يشار إلى التباديل بالرمز ص ن ، حيث n هو عدد العناصر المضمنة في كل التقليب. ( ر- الحرف الأول من الكلمة الفرنسية التقليب- إعادة الترتيب).

يمكن حساب عدد التباديل باستخدام الصيغة

أو باستخدام مضروب:

دعونا نتذكر ذلك 0!=1 و 1!=1.

مثال 2. بكم طريقة يمكن ترتيب ستة كتب مختلفة على رف واحد؟

حل. العدد المطلوب من الطرق يساوي عدد التباديل لـ 6 عناصر، أي.

المواضع.

مشاركات من مالعناصر في نفي كل منها تسمى هذه المركبات التي تختلف عن بعضها البعض إما حسب العناصر نفسها (واحدة على الأقل)، أو حسب ترتيب موقعها.

يتم الإشارة إلى المواضع بالرمز، أين م- عدد جميع العناصر المتاحة، ن- عدد العناصر في كل مجموعة . ( أ-الحرف الأول كلمة فرنسية ترتيب، والتي تعني "التنسيب والترتيب").

وفي الوقت نفسه، يعتقد ذلك نانومتر.

يمكن حساب عدد المواضع باستخدام الصيغة

,

أولئك. عدد جميع المواضع الممكنة من مالعناصر بواسطة نيساوي المنتج نأعداد صحيحة متتالية، أكبرها م.

لنكتب هذه الصيغة في شكل مضروب:

مثال 3. ما هو عدد الخيارات لتوزيع ثلاث قسائم على المصحات ذات الملفات الشخصية المختلفة التي يمكن تجميعها لخمسة متقدمين؟

حل. العدد المطلوب من الخيارات يساوي عدد مواضع 5 عناصر من 3 عناصر، أي.

.

مجموعات.

المجموعات هي جميع المجموعات الممكنة من مالعناصر بواسطة نوالتي تختلف عن بعضها البعض بعنصر واحد على الأقل (هنا مو ن-الأعداد الطبيعية و ن م).

عدد مجموعات مالعناصر بواسطة نيُشار إليها بـ ( مع-الحرف الأول من الكلمة الفرنسية مزيج- مزيج).

وبشكل عام فإن عدد مالعناصر بواسطة نيساوي عدد المواضع من مالعناصر بواسطة ن، مقسومًا على عدد التباديل من نعناصر:

باستخدام الصيغ العاملية لأعداد المواضع والتباديل نحصل على:

مثال 4. في فريق مكون من 25 شخصا، تحتاج إلى تخصيص أربعة للعمل في منطقة معينة. بكم الطرق يمكن القيام بذلك؟

حل. وبما أن ترتيب الأشخاص الأربعة المختارين لا يهم، فهناك طرق للقيام بذلك.

نجد باستخدام الصيغة الأولى

.

بالإضافة إلى ذلك، عند حل المشكلات، يتم استخدام الصيغ التالية للتعبير عن الخصائص الأساسية للمجموعات:

(بحكم التعريف يفترضون و)؛

.

1.2. حل المشاكل التوافقية

المهمة 1. هناك 16 مادة تدرس في الكلية. تحتاج إلى وضع 3 مواضيع في جدولك ليوم الاثنين. بكم الطرق يمكن القيام بذلك؟

حل. هناك العديد من الطرق لجدولة ثلاثة عناصر من أصل 16 كما يمكنك ترتيب مواضع 16 عنصرًا في 3.

المهمة 2. من بين 15 كائنًا، تحتاج إلى تحديد 10 كائنات. بكم الطرق يمكن القيام بذلك؟

المهمة 3. شاركت أربعة فرق في المسابقة. ما عدد الخيارات الممكنة لتوزيع المقاعد بينهم؟

.

المشكلة 4. بكم طريقة يمكن تشكيل دورية من ثلاثة جنود وضابط واحد إذا كان هناك 80 جنديًا و 3 ضباط؟

حل. يمكنك اختيار جندي في دورية

الطرق، والضباط في الطرق. وبما أن أي ضابط يمكنه الذهاب مع كل فريق من الجنود، فلا يوجد سوى عدد قليل من الطرق.

المهمة 5. ابحث عن إذا كان معروفًا ذلك.

منذ , نحصل على

,

,

من خلال تعريف الجمع يترتب على ذلك أن . الذي - التي. .

1.3. مفهوم الحدث العشوائي. أنواع الأحداث. احتمالية وقوع الحدث

سيتم استدعاء أي إجراء، أو ظاهرة، أو ملاحظة لها عدة نتائج مختلفة، ويتم تحقيقها في ظل مجموعة معينة من الظروف امتحان.

يتم استدعاء نتيجة هذا الإجراء أو الملاحظة حدث .

إذا كان حدث ما في ظل ظروف معينة قد يحدث أو لا يحدث، فسيتم استدعاؤه عشوائي . عندما يكون هناك حدث مؤكد الحدوث، يتم استدعاؤه موثوق ، وفي الحالة التي من الواضح أنه لا يمكن أن يحدث، - مستحيل.

تسمى الأحداث غير متوافق ، إذا كان من الممكن ظهور واحد منهم فقط في كل مرة.

تسمى الأحداث مشترك ، إذا كان وقوع أحد هذه الأحداث، في ظل ظروف معينة، لا يمنع وقوع حدث آخر أثناء نفس الاختبار.

تسمى الأحداث عكس ، إذا كانت في ظل ظروف الاختبار، فهي نتائجها الوحيدة، غير متوافقة.

يُشار إلى الأحداث عادةً بالأحرف الكبيرة من الأبجدية اللاتينية: أ، ب، ج، د، : .

نظام كامل للأحداث A 1 , A 2 , A 3 , : , A n عبارة عن مجموعة من الأحداث غير المتوافقة، والتي يكون وقوع واحد منها على الأقل إلزاميًا أثناء اختبار معين.

إذا كان النظام الكامل يتكون من حدثين غير متوافقين، فإن هذه الأحداث تسمى عكسية ويتم تحديدها بـ A و .

مثال. يحتوي الصندوق على 30 كرة مرقمة. حدد أي الأحداث التالية مستحيلة أو موثوقة أو مخالفة:

أخرج كرة مرقمة (أ)؛

حصلت على الكرة مع عدد زوجي (في)؛

حصلت على الكرة مع عدد فردي (مع)؛

حصلت على الكرة بدون رقم (د).

ومن منهم يشكل مجموعة كاملة؟

حل . أ- حدث موثوق؛ د- حدث مستحيل؛

في و مع- الأحداث المعاكسة.

تتكون المجموعة الكاملة من الأحداث من أو د، فو مع.

يعتبر احتمال وقوع حدث ما بمثابة مقياس للاحتمال الموضوعي لحدوث حدث عشوائي.

1.4. التعريف الكلاسيكي للاحتمال

يسمى الرقم الذي يعبر عن مقياس الاحتمال الموضوعي لحدث ما احتمال هذا الحدث ويشار إليه بالرمز ص (أ).

تعريف. احتمالية وقوع الحدث أهي نسبة عدد النتائج m المؤاتية لحدوث حدث معين أ، إلى الرقم نجميع النتائج (غير متناسقة، ممكنة فقط وممكنة بنفس القدر)، أي. .

لذلك، للعثور على احتمال وقوع حدث ما، من الضروري، بعد النظر في النتائج المختلفة للاختبار، حساب جميع النتائج غير المتسقة المحتملة ن،اختر عدد النتائج m التي نهتم بها واحسب النسبة مل ن.

الخصائص التالية تتبع هذا التعريف:

احتمال أي اختبار هو رقم غير سالب لا يزيد عن واحد.

وبالفعل فإن عدد الأحداث المطلوبة يقع ضمن . تقسيم كلا الجزأين إلى ن، نحصل على

2. احتمال وقوع حدث موثوق يساوي واحدًا، لأن .

3. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر، حيث أن .

المشكلة 1. في يانصيب يتكون من 1000 تذكرة، هناك 200 تذكرة فائزة. يتم سحب تذكرة واحدة بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن تكون هذه التذكرة فائزة؟

حل. العدد الإجمالي للنتائج المختلفة هو ن=1000. عدد النتائج المؤاتية للفوز هو م = 200. وفقا للصيغة نحصل عليها

.

المشكلة 2. في مجموعة مكونة من 18 جزءًا يوجد 4 أجزاء معيبة. يتم اختيار 5 أجزاء عشوائيا. أوجد احتمال أن يكون اثنان من هذه الأجزاء الخمسة معيبين.

حل. عدد جميع النتائج المستقلة الممكنة بالتساوي نيساوي عدد المجموعات 18 في 5 أي.

دعونا نحسب الرقم m الذي يفضل الحدث A. من بين 5 أجزاء مأخوذة بشكل عشوائي، يجب أن يكون هناك 3 أجزاء جيدة و2 معيبة. عدد الطرق لاختيار جزأين معيبين من 4 أجزاء معيبة موجودة يساوي عدد مجموعات 4 × 2:

عدد الطرق لاختيار ثلاثة أجزاء عالية الجودة من 14 جزءًا عالي الجودة متاحًا يساوي

.

يمكن دمج أي مجموعة من الأجزاء الجيدة مع أي مجموعة من الأجزاء المعيبة، وبالتالي يكون العدد الإجمالي للمجموعات ميصل إلى

الاحتمال المطلوب للحدث A يساوي نسبة عدد النتائج m المواتية لهذا الحدث إلى عدد n لجميع النتائج المستقلة المحتملة على قدم المساواة:

.

مجموع عدد محدود من الأحداث هو حدث يتكون من وقوع حدث واحد منها على الأقل.

يُشار إلى مجموع حدثين بالرمز A+B، والمجموع نالأحداث بالرمز A 1 +A 2 + : +A n.

نظرية إضافة الاحتمال.

احتمال مجموع حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين.

النتيجة الطبيعية 1. إذا كان الحدث A 1, A 2,:,A n يشكل نظاماً كاملاً، فإن مجموع احتمالات هذه الأحداث يساوي واحداً.

النتيجة الطبيعية 2. مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة ويساوي واحد.

.

المشكلة 1. هناك 100 تذكرة يانصيب. من المعروف أن 5 تذاكر تربح 20000 روبل، 10 تذاكر تربح 15000 روبل، 15 تذكرة تربح 10000 روبل، 25 تذكرة تربح 2000 روبل. ولا شيء للباقي. ابحث عن احتمال أن تحصل التذكرة المشتراة على ربح لا يقل عن 10000 روبل.

حل. لنفترض أن A وB وC هي أحداث تتكون من حقيقة أن التذكرة المشتراة تحصل على ربح يساوي 20000 و15000 و10000 روبل على التوالي. بما أن الأحداث A وB وC غير متوافقة، إذن

المهمة 2. تشغيل قسم المراسلاتالمدرسة الفنية تستقبل اختبارات في الرياضيات من المدن أ، بو مع. احتمال الحصول على ورقة اختبار من المدينة أيساوي 0.6 من المدينة في- 0.1. أوجد احتمال أن يكون التالي امتحانسوف يأتي من المدينة مع.

إن أبسط مثال على الارتباط بين حدثين هو العلاقة السببية، حيث أن وقوع أحد الحدثين يؤدي بالضرورة إلى وقوع الآخر، أو العكس، حيث أن وقوع أحدهما ينفي إمكانية وقوع الآخر.

لتوصيف اعتماد بعض الأحداث على الآخرين، تم تقديم هذا المفهوم احتمال مشروط.

تعريف. يترك أو في- حدثان عشوائيان لنفس التجربة. ثم الاحتمال المشروط للحدث أأو احتمال وقوع الحدث A، بشرط وقوع الحدث B، يسمى الرقم.

تدل على الاحتمال الشرطي، نحصل على الصيغة

, .

المهمة 1. احسب احتمالية ولادة طفل ثانٍ في الأسرة التي يوجد فيها طفل واحد، وهو صبي.

حل. دع الحدث أهو أن هناك ولدين في الأسرة، والحدث في- ذلك الصبي.

النظر في جميع النتائج المحتملة: صبي وصبي؛ صبي وفتاة؛ فتاة وفتى؛ فتاة وفتاة.

ثم، وباستخدام الصيغة نجد

.

حدث أمُسَمًّى مستقل من الحدث في، في حالة وقوع حدث ما فيليس لها أي تأثير على احتمال وقوع الحدث أ.

نظرية الضرب الاحتمالية

احتمال وقوع حدثين مستقلين في وقت واحد يساوي حاصل ضرب احتمالات هذين الحدثين:

يتم حساب احتمالية حدوث عدة أحداث مستقلة في المجموع بواسطة الصيغة

المشكلة 2. الجرة الأولى تحتوي على 6 كرات سوداء و4 كرات بيضاء، الجرة الثانية تحتوي على 5 كرات سوداء و7 كرات بيضاء. يتم سحب كرة واحدة من كل جرة. ما هو احتمال أن تكون الكرتان بيضاء اللون؟

أ و فيهناك حدث أ.ب. لذلك،

ب) إذا نجح العنصر الأول، يقع حدث (عكس الحدث أ- فشل هذا العنصر)؛ إذا كان العنصر الثاني يعمل - الحدث في.دعونا نجد احتمالات الأحداث و:

ثم الحدث الذي سيعمل فيه كلا العنصرين هو، وبالتالي،

يعتمد التعريف الكلاسيكي للاحتمال على هذا المفهوم تجربة احتماليةأو تجربة الاحتمال ونتيجتها هي واحدة من عدة نتائج محتملة تسمى النتائج الأوليةوليس هناك سبب لتوقع ظهور أي نتيجة أولية أكثر من غيرها عند تكرار تجربة احتمالية. على سبيل المثال، فكر في تجربة احتمالية تتضمن رمي حجر النرد. نتيجة هذه التجربة هي فقدان إحدى النقاط الـ 6 المرسومة على جوانب المكعب.

وبالتالي، في هذه التجربة هناك 6 نتائج أولية:

وكل واحد منهم متوقع على حد سواء.

حدثفي تجربة الاحتمال الكلاسيكية هي مجموعة فرعية عشوائية من مجموعة النتائج الأولية. في المثال المدروس لرمي حجر النرد، يكون الحدث، على سبيل المثال، ظهور عدد زوجي من النقاط، والذي يتكون من نتائج أولية.

احتمال وقوع حدث هو الرقم:

أين هو عدد النتائج الأولية التي تشكل الحدث (في بعض الأحيان يقولون أن هذا هو عدد النتائج الأولية التي تؤيد وقوع الحدث)، وهو عدد جميع النتائج الأولية.

في مثالنا:

عناصر التوافقيات.

عند وصف العديد من التجارب الاحتمالية، يمكن تحديد النتائج الأولية باستخدام أحد الكائنات التوافقية التالية (علم المجموعات المحدودة).

إعادة الترتيبالأرقام هي تمثيل عشوائي مرتب لهذه الأرقام دون تكرار. على سبيل المثال، لمجموعة مكونة من ثلاثة أرقام هناك 6 تبديلات مختلفة:

, , , , , .

لعدد تعسفي من التباديل متساوي

(حاصل ضرب الأعداد المتتابعة في المتسلسلة الطبيعية ابتداء من 1).

مزيج منهي مجموعة عشوائية غير مرتبة من أي عنصر من عناصر المجموعة. على سبيل المثال، لمجموعة مكونة من ثلاثة أرقام هناك 3 مجموعات مختلفة من 3 × 2:

بالنسبة للزوج التعسفي، فإن عدد المجموعات يساوي

على سبيل المثال،

التوزيع الهندسي الزائد.

النظر في التجربة الاحتمالية التالية. يوجد صندوق أسود يحتوي على كرات بيضاء وسوداء. الكرات بنفس الحجم ولا يمكن تمييزها عند اللمس. تتكون التجربة من سحب الكرات بشكل عشوائي. الحدث الذي يجب إيجاد احتماليته هو أن بعض هذه الكرات بيضاء اللون والباقي سوداء.

دعونا نعيد ترقيم جميع الكرات ذات الأرقام من 1 إلى . دع الأرقام 1، ¼ تتوافق مع الكرات البيضاء، والأرقام ¼، تتوافق مع الكرات السوداء. النتيجة الأولية في هذه التجربة هي مجموعة غير مرتبة من العناصر من المجموعة، أي مزيج من العناصر. وبالتالي، هناك كل النتائج الأولية.

دعونا نوجد عدد النتائج الأولية المؤاتية لحدوث الحدث. تتكون المجموعات المقابلة من أرقام "بيضاء" و"سوداء". يمكنك تحديد أرقام من الأرقام "البيضاء" بثلاث طرق، والأرقام من الأرقام "السوداء" بثلاثة/4 طرق. يمكن ربط المجموعات البيضاء والسوداء بشكل تعسفي، لذلك لا يوجد سوى نتائج أولية مواتية لهذا الحدث.

احتمال وقوع الحدث هو

تسمى الصيغة الناتجة التوزيع الهندسي الفائق.

المشكلة 5.1.يحتوي الصندوق على 55 قطعة قياسية و6 أجزاء معيبة من نفس النوع. ما هو احتمال أن يكون هناك جزء واحد على الأقل معيبًا من بين ثلاثة أجزاء تم اختيارها عشوائيًا؟

حل.هناك 61 جزءًا في المجمل، نأخذ 3. النتيجة الأولية هي مزيج من 61 في 3. عدد جميع النتائج الأولية يساوي . يتم تقسيم النتائج الإيجابية إلى ثلاث مجموعات: 1) هذه هي النتائج التي يكون فيها جزء واحد معيبًا وجزءين جيدين؛ 2) جزأين معيبين وجزء واحد جيد؛ 3) جميع الأجزاء الثلاثة معيبة. عدد مجموعات النوع الأول يساوي، وعدد مجموعات النوع الثاني يساوي، وعدد مجموعات النوع الثالث يساوي. وبالتالي، فإن وقوع حدث ما يتم تفضيله من خلال النتائج الأولية. احتمال وقوع الحدث هو

جبر الأحداث

مساحة الأحداث الأولية هي مجموعة من جميع النتائج الأولية المتعلقة بتجربة معينة.

كميةيسمى حدثان حدثًا يتكون من نتائج أولية تنتمي إلى الحدث أو الحدث.

العملحدثان يسمى حدثًا يتكون من نتائج أولية تنتمي في نفس الوقت إلى الأحداث و .

الأحداث وتسمى غير متوافقة إذا .

الحدث يسمى عكسالحدث، إذا كان الحدث مفضلاً بكل تلك النتائج الأولية التي لا تنتمي إلى الحدث. بخاصة، ، .

نظرية المجموع.

بخاصة، .

الاحتمال الشرطيالحدث، بشرط وقوع الحدث، يسمى نسبة عدد النتائج الأولية التي تنتمي إلى التقاطع إلى عدد النتائج الأولية التي تنتمي إلى . بعبارة أخرى، احتمال مشروطيتم تحديد الحدث من خلال صيغة الاحتمال الكلاسيكية، حيث تكون مساحة الاحتمال الجديدة . يتم الإشارة إلى الاحتمال المشروط لحدث ما بواسطة .

نظرية المنتج. .

تسمى الأحداث مستقل، لو . بالنسبة للأحداث المستقلة، فإن نظرية المنتج تعطي العلاقة.

نتيجة نظريتي المجموع والمنتج هي الصيغتان التاليتان.

صيغة الاحتمالية الإجمالية. المجموعة الكاملة من الفرضيات هي مجموعة عشوائية من الأحداث غير المتوافقة، , ¼, والتي تشكل معًا مساحة الاحتمال بأكملها:

في هذه الحالة، بالنسبة لحدث عشوائي، تكون الصيغة التي تسمى صيغة الاحتمال الإجمالي صالحة،

أين هي الوظيفة لابلاس. تم جدولة دالة لابلاس، ويمكن العثور على قيمها، عند إعطاء قيمة معينة، في أي كتاب مدرسي حول نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي.

المشكلة 5.3.ومن المعروف أنه يوجد 11٪ معيب في مجموعة كبيرة من الأجزاء. تم اختيار 100 جزء للاختبار. ما هو احتمال أن لا يوجد بينهم أكثر من 14 معيبًا؟ قدّر الإجابة باستخدام نظرية موافر لابلاس.

حل.نحن نتعامل مع الاختبار برنولي، أين ، ، . يعتبر النجاح هو اكتشاف جزء معيب، وعدد النجاحات يرضي التفاوت. لذلك،

الحساب المباشر يعطي:

, , , , , , , , , , , , , , .

لذلك، . الآن دعونا نطبق نظرية موافر لابلاس التكاملية. نحصل على:

باستخدام جدول قيم الدالة، مع الأخذ بعين الاعتبار غرابة الدالة، نحصل على

الخطأ في الحساب التقريبي لا يتجاوز .

المتغيرات العشوائية

يسمى المتغير العشوائي خاصية عدديةالتجربة الاحتمالية، وهي دالة للنتائج الأولية. إذا كان , ¼ عبارة عن مجموعة من النتائج الأولية، فإن المتغير العشوائي هو دالة لـ . ومع ذلك، فمن الملائم أكثر وصف المتغير العشوائي من خلال سرد جميع قيمه الممكنة والاحتمالات التي يأخذ بها هذه القيمة.

ويسمى هذا الجدول قانون التوزيع متغير عشوائي. وبما أن الأحداث تشكل مجموعة كاملة، فقد تحقق قانون التطبيع الاحتمالي

التوقع الرياضي، أو القيمة المتوسطة، للمتغير العشوائي هو رقم يساوي مجموع حاصل ضرب قيم المتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة.

التشتت (درجة انتشار القيم حول التوقع الرياضي) للمتغير العشوائي هو توقع رياضيمتغير عشوائي,

يمكن أن يظهر ذلك

ضخامة

ويسمى متوسط ​​مربع الانحراف للمتغير العشوائي.

دالة التوزيع للمتغير العشوائي هي احتمال الوقوع في المجموعة، أي

إنها دالة غير سالبة وغير تناقصية تأخذ القيم من 0 إلى 1. بالنسبة للمتغير العشوائي الذي يحتوي على مجموعة محدودة من القيم، فهي دالة ثابتة متعددة التعريف لها انقطاعات من النوع الثاني عند نقاط الحالة. وعلاوة على ذلك، ومستمر على اليسار.

المشكلة 5.4.يتم رمي اثنين من النرد على التوالي. إذا ظهرت واحدة أو ثلاث أو خمس نقاط على نرد واحد، يخسر اللاعب 5 روبل. إذا تم رمي نقطتين أو أربع نقاط، يحصل اللاعب على 7 روبل. إذا تم رمي ست نقاط، يخسر اللاعب 12 روبل. متغير عشوائي سهي مكافأة اللاعب مقابل رمي النرد. ابحث عن قانون التوزيع س، ارسم دالة التوزيع، وأوجد التوقع الرياضي والتباين س.

حل.دعونا نفكر أولاً في ما تساويه مكاسب اللاعب عند رمي حجر النرد. ليكن الحدث هو أن يتم رمي 1 أو 3 أو 5 نقاط. ثم ستكون المكاسب روبل. ليكن الحدث هو أن يتم رمي 2 أو 4 نقاط. ثم ستكون المكاسب روبل. أخيرًا، دع الحدث يعني الحصول على 6. ثم المكاسب تساوي الروبل.

الآن دعونا نفكر في جميع المجموعات الممكنة من الأحداث، ومع رميتين من النرد، ونحدد القيم الفائزة لكل مجموعة من هذه المجموعات.

إذا حدث حدث ما، إذن، في نفس الوقت.

إذا حدث حدث ما، إذن، في نفس الوقت.

وبالمثل، عندما نحصل على .

نكتب جميع الحالات الموجودة والاحتمالات الإجمالية لهذه الحالات في الجدول:

نحن نتحقق من استيفاء قانون التطبيع الاحتمالي: على الخط الحقيقي، يجب أن تكون قادرًا على تحديد احتمالية وقوع متغير عشوائي في هذه الفترة 1) ويتناقص بسرعة عند، ¼،