توسيع كثير الحدود على مجال الأعداد الحقيقية. النظرية الأساسية لجبر الأعداد المركبة

أي رقم مركب يحدد نقطة على المستوى. سيتم تحديد موقع الوسائط على مستوى معقد واحد، وسيتم وضع قيم الدالة على مستوى معقد آخر.

F(z) هي دالة معقدة لمتغير معقد. من بين الوظائف المعقدة للمتغير المعقد، تبرز فئة الوظائف المستمرة.

Def: دالة معقدة لمتغير معقد تسمى مستمرة إذا، مثل .+

المعنى الهندسي هو كما يلي:

يحدد دائرة في المستوى المركب، مع مركزها عند النقطة z0 ونصف قطرها< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

النظرية 1: إضافة كثيرة الحدود f(z). C(z) مستمر عند أي نقطة في المستوى المركب.

النتيجة الطبيعية: معامل كثير الحدود في مجال الأعداد المركبة هو دالة مستمرة.

النظرية 2: - حلقة من كثيرات الحدود ذات معاملات معقدة، ثم تلك القيم .

النظرية 3. (حول الزيادة غير المحدودة في معامل كثير الحدود):

النظرية الأساسية للجبر:

أي كثيرة حدود في مجال الأعداد المركبة ليست من الدرجة 0 لها جذر واحد على الأقل في مجال الأعداد المركبة.

(سنستخدم العبارات التالية في الدليل):

د.: 1. إذا كانت a n =0، فإن z=0 هو جذر f(z).

2. إذا كان n 0، فمن خلال النظرية 3، تحدد المتباينة منطقة في المستوى المركب تقع خارج دائرة نصف القطر S. ولا توجد جذور في هذه المنطقة، لأن ولذلك، ينبغي البحث عن جذور كثيرة الحدود f(z) داخل المنطقة.

دعونا نفكر من T1. ويترتب على ذلك أن f(z) مستمر. وفقا لنظرية فايرستراس، فإنها تصل إلى الحد الأدنى في مرحلة ما في منطقة مغلقة، أي. . دعونا نبين أن النقطة هي نقطة الحد الأدنى. لأن 0 ه، إذن، لأن خارج المنطقة E من قيمة f-ii، فإن z 0 هي النقطة الدنيا على المستوى المركب بأكمله. دعونا نبين أن f(z 0)=0. لنفترض أن هذا ليس هو الحال، إذن من خلال Lemma لـ d'Alembert، نحصل على تناقض، لأن ض 0 الحد الأدنى للنقطة.

الإغلاق الجبري:

Def: يُسمى الحقل P مغلقًا جبريًا إذا كان له جذر واحد على الأقل فوق هذا الحقل.

النظرية: مجال الأعداد المركبة مغلق جبريا. (د-يتبع من النظرية الأساسية للجبر).

مجالات الأعداد العقلانية والحقيقية ليست مغلقة جبريًا.

التحلل:

النظرية: أي كثيرة الحدود في مجال الأعداد المركبة من الدرجة فوق 1 يمكن أن تتحلل إلى منتج عوامل خطية.

النتيجة الطبيعية 1. كثير الحدود من الدرجة n في مجال الأعداد المركبة له جذور n بالضبط.

التالي 2: أي كثيرة الحدود في مجال الأعداد المركبة ذات الدرجة الأكبر من 1 تكون دائمًا قابلة للاختزال.

Def: أعداد التعدد C\R، أي. تسمى الأعداد التي على الشكل a+bi، حيث b لا يساوي 0، أرقامًا وهمية.

2. كثيرات الحدود على الحقل. GCD لاثنين من كثيرات الحدود والخوارزمية الإقليدية. تحلل كثير الحدود إلى منتج عوامل غير قابلة للاختزال وتفرده.

مواطنه.كثير الحدود (متعدد الحدود) في المجهول Xفوق الميدان رمُسَمًّى المجموع الجبري للقوى غير السالبة X، مأخوذة مع بعض المعاملات من الميدان ر.

أين هو AIÎP أو

تسمى كثيرات الحدود متساويإذا كانت معاملاتها متساوية بالنسبة للقوى المقابلة للمجهول.

تسمى درجة كثير الحدود.القيمة الأكبر للمؤشر المجهول، الذي يختلف معامله عن الصفر.

محدد بواسطة: ن(و(س))=ن

مجموعة جميع كثيرات الحدود في الحقل ريُشار إليه بـ: ف [س].

تتزامن كثيرات الحدود من الدرجة الصفر مع عناصر المجال ر، يختلف عن الصفر هي كثيرة الحدود صفر، ودرجتها غير محددة.

العمليات على كثيرات الحدود.

1. الإضافة.

دع n³s، إذن، N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).

<ف[س]،+>

عملية الإضافة ممكنة والتفرد يتبع من تفرد إضافة العناصر الميدانية
الترابط
عنصر الصفر
كثيرة الحدود عكس المعطى
التبادلية

- مجموعة أبيليان

2. الضرب.

استكشاف البنية الجبرية<ف[س]،*>

العملية ممكنة، لأن الحقل يتم تنفيذ عملية الضرب. التفرد ينبع من عدم غموض العمليات في الميدان ر.
الترابط
وحدة متعددة الحدود
فقط كثيرات الحدود إلى الدرجة الصفرية هي القابلة للعكس

<ف[س]،*>- مجموعة نصفية مع عنصر الهوية (manoid)

يتم استيفاء قوانين التوزيع ، وبالتالي ،<ف[س]،+،*>هي حلقة تبادلية ذات هوية.

قسمة كثيرات الحدود

المساعدة الإنمائية الرسمية:متعدد الحدود و(x)، f(x)ОP[x]، P- المجال قابل للقسمة على كثير الحدود ز(س)، ز(س)≠0، ز(س)ОP[x]،إذا كان مثل هذا كثير الحدود موجودا h(x)ОP[x]، أن f(x)=g(x)h(x)

خصائص قابلية القسمة:

مثال:، القسمة على عمود gcd =( س+3)

نظرية القسمة مع الباقي:لأي كثيرات الحدود f (خ)، ز (س) ОP [س]،لا يوجد سوى كثير الحدود واحد ف(س) و ص (خ)مثل ذلك f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) أو ص(س)=0.

فكرة الوثيقة: نعتبر حالتين موجودتين ن درجة ز (خ))وتقسيم ف (خ)على ز (x). تفرد الوثيقة متناقض.

المساعدة الإنمائية الرسمية: F (x) وg(x)، f(x)، g(x)ОP[x]، h(x)ОP[x]دعا GCD و (خ) و ز(خ)لو

خوارزمية إقليدس

دعونا نكتب عملية التقسيم المتسلسل

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)

ز(س)= ص 1 (س) ف 2 (س)+ص 2 (س) (2)

ص 1 (س)= ص 2 (س) س 3 (س)+ص 3 (س) (3)، الخ.

ص ك-2 (س)= ص ك-1 (س) ف ك (س)+ر ك (س) (ك)

ص ك-1 (س)= ص ك (س) ف ك+1 (س) (ك+1)

GCD(f(x),g(x))=د(x)=ص ك (x)

الفكرة دليل: نبين أن 1 ) و(خ):(بالكامل) د(خ) و ز(س):(تماما) د(س); 2) و(س):(تماما) ح(س) و ز (خ):(بالكامل) ح (خ)نظهر ذلك د(س):(بالكامل) ح(س).

التمثيل الخطي لـ GCD

ت: إذا د(خ) - GCD من كثيرات الحدود و (خ) و ز(س)، ثم هناك كثيرات الحدود v (x) وu(x)ОP[x]،ماذا f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

التعريف: f(x) وg(x)ОP[x]تحتوي دائمًا على قواسم مشتركة، أي كثيرات الحدود من الدرجة صفر، والتي تتزامن مع الحقل P؛ إذا لم تكن هناك قواسم مشتركة أخرى، فإن f(x) وg(x) هما أوليان. (تعيين: (و(س)،ز(س))=1)

ت: و (x) و ز(س) هي i.i.t.k رئيسية نسبيًا. توجد كثيرات الحدود v(x) وu(x)ОP[x] على هذا النحو f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

خصائص كثيرات الحدود كوبريم

(f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, ثم (f(x),g(x)*q(x))=1

f(x)*g(x):(بالكامل)h(x) و (f(x),g(x))=1, ثم g(x):(تماما) ح(خ)

f(x):(بالكامل)g(x)، f(x):(بالكامل)h(x) و ( ز(س)،ح(س))=1، ثم f(x):(بالكامل) g(x)*h(x)

المساعدة الإنمائية الرسمية:كثير الحدود f(x), f(x)ОP[x] يسمى منحفوق المجال P، إذا كان من الممكن تحليله إلى عوامل درجاتها أكبر من 0 وأقل من الدرجة f(x)، أي.

F (س)=و 1 (س)و 2 (س)، حيث الدرجات و 1 و و 2 >0،

تعتمد إمكانية اختزال كثيرات الحدود على المجال الذي يتم النظر فيه. كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال (كثيرة الحدود التي لا يمكن تحليلها إلى عوامل ذات درجة أقل) في المجال Q، ويمكن اختزالها في المجال R.

خصائص كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال:

كثيرة الحدود من الدرجة صفر قابلة للاختزال في أي مجال

إذا كان متعدد الحدود و(س) لا يمكن اختزالها على الميدان ر، ثم كثيرة الحدود أ و(س) لا يمكن اختزاله أيضًا في الحقل ر.

دع كثيرات الحدود f (خ)و ع (س) فوق الميدان ر، و ع (س) - غير قابل للاختزال في الحقل ر، ثم الحالات ممكنة

1) كثيرات الحدود و (خ)و ع (س) أولية نسبيًا

2) و(س):(تماما) ع (س)

يُقال عن الحقل أنه مغلق جبريًا إذا كان لأي متعدد حدود في هذا الحقل لا يساوي ثابتًا له جذر واحد على الأقل. من نظرية بيزوت يترتب على ذلك مباشرة أنه في مثل هذا المجال يمكن أن تتحلل أي كثيرة حدود غير ثابتة إلى منتج عوامل خطية. وبهذا المعنى، تكون الحقول المغلقة جبريًا أبسط في البنية من الحقول غير المغلقة جبريًا. نحن نعلم أنه في مجال الأعداد الحقيقية، ليس كل ثلاثية حدود مربعة لها جذر، وبالتالي فإن الحقل ℝ ليس مغلقًا جبريًا. لقد اتضح أنه لا يزال على مسافة قصيرة من الإغلاق الجبري. بمعنى آخر: بعد أن حللنا مشكلة معينة فيما يبدو حول معادلة ما، قمنا في نفس الوقت بحل جميع المعادلات متعددة الحدود الأخرى.

النظرية الأساسية للجبر.أي كثيرة حدود فوق الحقل ℂ لا تساوي ثابتًا لها جذر مركب واحد على الأقل.

تحقيق.يمكننا توسيع أي كثيرة حدود لا تساوي ثابتًا في مجال الأعداد المركبة إلى حاصل ضرب العوامل الخطية:

هذا هو المعامل الرئيسي لكثيرة الحدود، وجميع الجذور المعقدة المختلفة لكثيرة الحدود، ومضاعفاتها. يجب أن تتحقق المساواة

والدليل على النتيجة الطبيعية هو تحريض بسيط على درجة كثير الحدود.

بالنسبة للمجالات الأخرى، فإن الوضع ليس جيدًا من حيث قابلية تحلل كثيرات الحدود. نحن نسمي كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال إذا، أولاً، ليست ثابتة، وثانيًا، لا يمكن أن تتحلل إلى منتج كثيرات الحدود ذات الدرجات الأدنى. من الواضح أن كل كثيرة حدود خطية (في أي مجال) غير قابلة للاختزال. يمكن إعادة صياغة النتيجة الطبيعية على النحو التالي: كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال في مجال الأعداد المركبة مع معامل الوحدة الرائدة (وبعبارة أخرى: وحدوي) يتم استنفادها بواسطة كثيرات الحدود من النموذج ().

إن قابلية تحلل ثلاثية الحدود التربيعية تعادل وجود جذر واحد على الأقل. بتحويل المعادلة إلى شكل، نستنتج أن جذر ثلاثي الحدود المربع موجود فقط إذا كان المميز هو مربع بعض عناصر الحقل K (هنا نفترض أن 2≠ 0 في الحقل K). من هنا نحصل

يعرض.ثلاثي الحدود المربع فوق حقل K حيث يكون 2≠ 0 غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا لم يكن له جذور في الحقل K. وهذا يعادل حقيقة أن المميز ليس مربع أي عنصر من عناصر الحقل K. على وجه الخصوص ، في مجال الأعداد الحقيقية، ثلاثي الحدود المربع غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا.

لذلك يوجد في مجال الأعداد الحقيقية نوعان على الأقل من كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال: التمييز الخطي والتربيعي والسالب. اتضح أن هاتين الحالتين تستنفدان مجموعة كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال على ℝ.

نظرية.يمكننا تحليل أي كثيرة حدود في مجال الأعداد الحقيقية إلى حاصل ضرب عوامل خطية وعوامل تربيعية ذات تمييزات سلبية:

فيما يلي جميع الجذور الحقيقية المختلفة لكثيرة الحدود، ومتعدداتها، وجميع المميزات أقل من الصفر، وثلاثيات الحدود التربيعية كلها مختلفة.

أولا نثبت ليما

ليما.إذا كان هناك أي شيء، فإن العدد المرافق هو أيضًا جذر كثيرة الحدود.

دليل. اسمحوا، ويكون جذرًا معقدًا لكثيرة الحدود. ثم

حيث استخدمنا خصائص زميله. لذلك، . وبالتالي، فهو جذر كثير الحدود. □

إثبات النظرية. يكفي إثبات أن أي كثيرة حدود غير قابلة للاختزال في مجال الأعداد الحقيقية هي إما خطية أو تربيعية ذات تمييز سلبي. اسمحوا أن يكون كثير الحدود غير قابل للاختزال مع معامل الوحدة الرائدة. في حالة الحصول على الفور لبعض حقيقية. دعونا نتظاهر بذلك. دعونا نشير إلى أي جذر مركب لهذا كثير الحدود، الموجود وفقًا للنظرية الأساسية لجبر الأعداد المركبة. وبما أنها غير قابلة للاختزال (انظر نظرية بيزوت). بعد ذلك، من خلال lemma، سيكون هناك جذر آخر لكثيرة الحدود، يختلف عن.

كثير الحدود له معاملات حقيقية. بالإضافة إلى ذلك، يتم القسمة حسب نظرية بيزوت. وبما أنها غير قابلة للاختزال ولها معامل وحدة رئيسي، فإننا نحصل على المساواة. مميز كثير الحدود هذا سلبي، وإلا لكان له جذور حقيقية.□

أمثلة. أ.دعونا نحلل كثير الحدود إلى عوامل غير قابلة للاختزال. من بين قواسم الحد الثابت 6، نبحث عن جذور كثيرة الحدود. نتأكد من أن 1 و 2 جذور. وبالتالي يتم تقسيم كثير الحدود على. وبعد أن قسمنا نجد

التوسع النهائي على المجال، لأن مميز ثلاثي الحدود المربع سلبي، وبالتالي، لا يمكن توسيعه أكثر على مجال الأعداد الحقيقية. نحصل على مفكوك لنفس كثيرة الحدود في مجال الأعداد المركبة إذا وجدنا الجذور المعقدة لثلاثية الحدود المربعة. هم الجوهر. ثم

توسيع هذا كثير الحدود

ب. دعونا نتوسع في مجالات الأعداد الحقيقية والمعقدة. نظرًا لأن كثيرة الحدود هذه ليس لها جذور حقيقية، فيمكن تحليلها إلى ثلاثيتين مربعتين لهما تمييزات سلبية

نظرًا لأنه لا يتغير عند استبداله بكثيرة حدود، فمع هذا الاستبدال، يجب أن يدخل ثلاثي الحدود المربع والعكس صحيح. من هنا. معادلة المعاملات التي نحصل عليها على وجه الخصوص، . ثم من العلاقة (التي تم الحصول عليها عن طريق الاستبدال نستخرج، وأخيرا، . لذلك،

التوسع في مجال الأعداد الحقيقية.

من أجل توسيع كثيرة الحدود هذه على الأعداد المركبة، نحل المعادلة أو. من الواضح أنه ستكون هناك جذور. نحصل على جميع الجذور المختلفة في. لذلك،

التوسع على الأعداد المركبة. من السهل حساب

وحصلنا على حل آخر لمشكلة توسيع كثيرة الحدود في مجال الأعداد الحقيقية.

نهاية العمل -

هذا الموضوع ينتمي إلى القسم:
الجبر الأساسي والكمبيوتر

مقدمة.. مقرر الجبر الأساسي والحاسوبي مخصص لطلبة تخصص الرياضيات التطبيقية..

إذا كنت بحاجة إلى مواد إضافية حول هذا الموضوع، أو لم تجد ما كنت تبحث عنه، نوصي باستخدام البحث في قاعدة بيانات الأعمال لدينا:

ماذا سنفعل بالمواد المستلمة:

إذا كانت هذه المادة مفيدة لك، فيمكنك حفظها على صفحتك على الشبكات الاجتماعية:

سقسقة
جميع المواضيع في هذا القسم:

إن آي دوبروفين
مستوطنة سباسكي 2012 مقدمة المحتويات. 4 قائمة الرموز والمصطلحات. 5 1 قليلا عن الأساسية. 6 2 نظرية المجموعة الساذجة. 9

قليلا عن الأساسية
في الرياضيات، يتعاملون مع أشياء مثل الأعداد ذات الطبيعة المختلفة (طبيعية، صحيحة، عقلانية، حقيقية، معقدة)، ومتعددات الحدود ذات متغير واحد ومتغيرات متعددة، والمصفوفات

نظرية المجموعة الساذجة
يتكون النص الرياضي من التعريفات والبيانات. تسمى بعض العبارات بحسب أهميتها وعلاقتها بالأقوال الأخرى، بأحد المصطلحات التالية:

المنتجات الديكارتية
الزوج المرتب، أو ببساطة زوج من العناصر، هو أحد الإنشاءات الأساسية في الرياضيات. يمكنك أن تتخيله كرف بمكانين - الأول والثاني. في كثير من الأحيان في الرياضيات ليس كذلك

الأعداد الصحيحة
الأعداد (1،2،3،...)، والتي يمكن الحصول عليها من الواحد عن طريق الجمع، تسمى الأعداد الطبيعية ويرمز لها بالرمز ℕ. يمكن أن يكون الوصف البديهي للأعداد الطبيعية على هذا النحو (انظر.

العودية
من البديهيات N1-N3 إلى عمليات جمع وضرب الأعداد الطبيعية المألوفة لدى الجميع منذ المرحلة الابتدائية ومقارنة الأعداد الطبيعية مع بعضها البعض وخواص الشكل “من عكس أماكن الحدود فالمجموع لا

الترتيب على مجموعة الأعداد الطبيعية
المجموعة لديها علاقة ترتيب خطية. لنفترض أن ن
قابلية قسمة الأعداد الطبيعية
عملية القسمة ليست ممكنة دائمًا في مجال الأعداد الطبيعية. هذا يعطينا الحق في تقديم علاقة قابلية القسمة: لنفترض أن الرقم n يقسم الرقم m إذا كان m=nk لبعض k∈ المناسب

قابلية قسمة الأعداد الصحيحة
دعونا نشير بـ - حلقة الأعداد الصحيحة. مصطلح "الحلقة" يعني أننا نتعامل مع مجموعة R التي يتم فيها إجراء عمليتين - الجمع والضرب، مع مراعاة القوانين المعروفة.

خوارزمية إقليدس
نظرا لزوج من الأعداد الصحيحة (م،ن). نحن نعتبر n باقيًا بالرقم 1. الخطوة الأولى في الخوارزمية الإقليدية هي قسمة m على n بباقي، ثم قسمة الباقي على الباقي الذي تم الحصول عليه حديثًا، حتى يتم الحصول على هذا الباقي حديثًا

تفسير المصفوفة للخوارزمية الإقليدية
دعونا نعطي تفسير مصفوفة للخوارزمية الإقليدية (للمصفوفات، انظر الفقرة التالية). دعونا نعيد كتابة تسلسل القسمة مع الباقي في شكل مصفوفة: التعويض في كل منهما

عناصر المنطق
يتعامل علماء الرياضيات مع الأشياء، مثل، على سبيل المثال، الأرقام والدوال والمصفوفات والخطوط على المستوى وما إلى ذلك، ويتعاملون أيضًا مع البيانات. الكلام هو نوع من السرد

أشكال معبرة
هل سيكون التعبير بيانا؟ لا، هذا السجل هو شكل تعبيري لمتغير واحد. إذا قمنا باستبدال قيم صالحة بدلا من متغير، فسنحصل على عبارات مختلفة

مصفوفة الجبر
جبر المصفوفة فوق الحلقة R (R هي حلقة الأعداد الصحيحة، مجال الأعداد النسبية، مجال الأعداد الحقيقية) هو النظام الجبري الأكثر استخدامًا مع مجموعة من العمليات

المحددات
محدد المصفوفة المربعة A هو خاصيتها العددية، ويشار إليها بـ أو. لنبدأ بمحددات المصفوفات صغيرة الأبعاد 1،2،3: التعريف. بو

التحولات المستوية الخطية
ومن المعروف أن أي تحويل للمستوى ϕ، مع الحفاظ على المسافات، هو إما انتقال موازي لمتجه، أو دوران حول النقطة O بزاوية α، أو تناظر بالنسبة إلى خط مستقيم

ارقام مركبة
في هذا القسم ندرس مجالًا واحدًا فقط - مجال الأعداد المركبة ℂ. من وجهة نظر هندسية، فهو مستوى، ومن وجهة نظر جبرية، فهو كذلك

بناء مجال الأعداد المركبة
لقد قمنا بالفعل ببناء مجال الأعداد المركبة في الفقرة السابقة. ونظراً للأهمية الاستثنائية لمجال الأعداد المركبة، نقدم بنائه المباشر. النظر في مساحة مع

ربط الأعداد المركبة
يمنحنا مجال الأعداد المركبة خاصية جديدة - وجود تماثل ذاتي مستمر غير متطابق (تشابه مع نفسه). يُطلق على الرقم المركب اسم المترافق والخريطة

الشكل المثلثي لكتابة الأعداد المركبة
لنمثل عددًا مركبًا كمتجه. طول هذا المتجه، أي. تسمى الكمية معامل العدد المركب ويتم الإشارة إليها. سوف نسمي الكمية معيار الرقم، وفي بعض الأحيان يكون استخدام e

الأس المعقد
القاعدة (2) من الفقرة تعطينا الحق في تحديد أس عدد وهمي بحت: في الواقع، فإن الدالة المعرفة على هذا النحو لها الخصائص التالية: &

حل المعادلات التربيعية
كثير الحدود الخطية دائمًا لها جذر. لم يعد لثلاثية الحدود المربعة دائمًا جذور في مجال الأعداد الحقيقية. اسمحوا أن يكون ثلاثي الحدود مربعا على مجال الأعداد المركبة (). قافلة

نظرية علاقة التكافؤ
دع "" تكون علاقة تكافؤ في المجموعة M. بالنسبة للعنصر نشير إليه بفئة التكافؤ. ثم يتم تقسيم المجموعة M إلى اتحاد فئات التكافؤ؛ كل عنصر من M في

خوارزميات ضرب وقسمة الأعداد في نظام الأعداد العشرية
قيمة الخسائر المتوسطة والهامشية والعدد اللازم للعينات
تأكيد كتاب بيتر سكارجا "حول وحدة كنيسة الله" 1577(؟) ص. - أول بيان جدلي لأوستروزكي.
السؤال رقم 1. تبخر الرطوبة وتحلل الكربونات في الفرن العالي. الديناميكا الحرارية لتحلل الكربونات.
نكتب جميع القوى المفقودة (و/أو الحدود الحرة) دون وجود فجوات في كلا متعددي الحدود بمعاملات صفر.

تسمى كثيرة الحدود الموجودة فوق حلقة الأعداد الصحيحة بدائية، إذا كان القاسم المشترك الأكبر لمعاملاته هو 1. يتم تمثيل كثيرة الحدود ذات المعاملات النسبية بشكل فريد على أنها حاصل ضرب عدد نسبي موجب، يسمى محتوىمتعدد الحدود، ومتعدد الحدود البدائي. منتج كثيرات الحدود البدائية هو كثير الحدود البدائي. ويترتب على ذلك أنه إذا كانت كثيرة الحدود ذات معاملات الأعداد الصحيحة قابلة للاختزال في مجال الأعداد الصحيحة، فهي قابلة للاختزال في حلقة الأعداد الصحيحة. وبالتالي، فإن مشكلة تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل غير قابلة للاختزال في مجال الأعداد النسبية يتم اختزالها إلى مشكلة مماثلة في حلقة الأعداد الصحيحة.

اسمحوا أن يكون كثير الحدود مع معاملات عدد صحيح والمحتوى 1، واسمحوا أن يكون جذرها العقلاني. دعونا نتخيل جذر كثير الحدود ككسر غير قابل للاختزال. متعدد الحدود F(س) يتم تمثيلها كمنتج لمتعددات الحدود البدائية. لذلك،

أ. البسط هو المقسوم عليه،

ب. المقام – المقسوم عليه

ج- لأي عدد صحيح كمعنى F(ك) - عدد صحيح يقبل القسمة بدون باقي على ( بك-أ).

تسمح لنا الخصائص المدرجة بتقليل مشكلة العثور على الجذور العقلانية لكثيرة الحدود من خلال البحث المحدود. يتم استخدام نهج مماثل في توسيع متعدد الحدود Fإلى عوامل غير قابلة للاختزال في مجال الأعداد النسبية باستخدام طريقة كرونيكر. إذا كان متعدد الحدود F(س) درجات نيتم إعطاء أحد العوامل درجة لا تزيد عن ن/2. دعونا نشير إلى هذا العامل بواسطة ز(س). بما أن جميع معاملات كثيرات الحدود هي أعداد صحيحة، إذن لأي عدد صحيح أمعنى F(أ) يقبل القسمة بدون الباقي على ز(أ). دعنا نختار م= 1+ن/2 أعداد صحيحة مميزة أأنا، أنا=1,…,م. للأرقام ز(أط) هناك عدد محدود من الاحتمالات (عدد المقسومات على أي عدد غير الصفر محدود)، وبالتالي هناك عدد محدود من كثيرات الحدود التي يمكن أن تكون مقسومة F(س). بعد إجراء بحث كامل، سنظهر إما عدم قابلية الاختزال لكثيرة الحدود، أو توسيعها إلى حاصل ضرب كثيرتي الحدود. نحن نطبق المخطط المشار إليه على كل عامل حتى تصبح جميع العوامل متعددة الحدود غير قابلة للاختزال.

يمكن إثبات عدم قابلية اختزال بعض كثيرات الحدود في مجال الأعداد العقلانية باستخدام معيار آيزنشتاين البسيط.

يترك F(س) هي كثيرة الحدود على حلقة الأعداد الصحيحة. إذا كان هناك عدد أولي ص، ماذا

I. جميع معاملات كثيرة الحدود F(س) ، بالإضافة إلى معامل أعلى درجة، وتنقسم إلى ص

ثانيا. معامل الدرجة الأعلى لا يقبل القسمة على ص

ثالثا. العضو الحر لا ينقسم الى

ثم كثير الحدود F(س) غير قابل للاختزال في مجال الأعداد العقلانية.

تجدر الإشارة إلى أن معيار آيزنشتاين يوفر شروطًا كافية لعدم قابلية كثيرات الحدود للاختزال، ولكنها ليست ضرورية. وبالتالي فإن كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال في مجال الأعداد العقلانية، ولكنها لا تلبي معيار آيزنشتاين.

كثير الحدود، وفقا لمعيار آيزنشتاين، غير قابل للاختزال. وبالتالي، يوجد في مجال الأعداد العقلانية كثير حدود غير قابل للاختزال في الدرجة ن، أين نأي عدد طبيعي أكبر من 1

يُقال إن الحقل F مغلق جبريًا إذا كان لأي كثير حدود بدرجة موجبة على F جذر في F.
نظرية 5.1 (النظرية الأساسية للجبر متعدد الحدود).مجال الأعداد المركبة مغلق جبريا.
عاقبة 5 .1.1. فوق معلا يوجد سوى كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال من الدرجة الأولى.
النتيجة الطبيعية 5.1.2. متعدد الحدود ن-الدرجة الرابعة أعلاه معلقد نجذور معقدة.
نظرية 5.2. If هو جذر معقد لكثيرة الحدود Fمع المعاملات الحقيقية، فإن العدد المرافق المركب هو أيضًا جذر F.
عاقبة 5 .2.1. فوق رهناك كثيرات الحدود غير قابلة للاختزال من الدرجة الأولى أو الثانية فقط.
النتيجة الطبيعية 5.2.2. الجذور الوهمية لكثيرة الحدود رتتحلل إلى أزواج من الاتحادات المعقدة.
مثال 5.1. عامل إلى عوامل غير قابلة للاختزال معو ما فوق رمتعدد الحدود س 4 + 4.
حل. لدينا
س 4 + 4 =س 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (س 2 + 2) 2 – 4X 2 = (س 2 – 2X+ 2)(س 2 + 2X+ 2) –
انتهى التوسع ر. بعد إيجاد الجذور المعقدة لكثيرات الحدود من الدرجة الثانية بين قوسين بالطريقة المعتادة، نحصل على مفكوك على مع:
س 4 + 4 = (س – 1 – أنا) (س – 1 + أنا) (س + 1 – أنا) (س + 1 + أنا).
مثال 5.2. أنشئ كثيرة الحدود من أصغر درجة مع معاملات حقيقية لها جذور 2 و 1 + أنا.
حل. وفقا للنتيجة الطبيعية 5.2.2، يجب أن يكون لكثيرة الحدود جذور 2، 1 – أنا و1+ أنا. يمكن العثور على معاملاتها باستخدام صيغ فييتا:
 1 = 2 + (1 – أنا) + (1 +أنا) = 4;
 2 = 2(1 – أنا) + 2(1 + أنا) + (1 – أنا)(1 + أنا) = 6;
 3 = 2(1 – أنا)(1 + أنا) = 4.
من هنا F =س 3 – 4س 2 + 6س– 4.
تمارين.
5.1. عامل إلى عوامل غير قابلة للاختزال معو ما فوق ركثيرات الحدود:
أ) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;
ب) X 4 – 10X 2 + 1.
5.2. أنشئ كثيرة حدود من أصغر درجة مع معاملات حقيقية ذات جذر مزدوج 1 وجذر بسيط 1 - 2 أنا.
6. كثيرات الحدود في مجال الأعداد النسبية
نظرية 6.1 (معيار آيزنشتاين). يترك و = أ 0 + أ 1 س + ...+ أ ن س ن- كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة. إذا كان هناك مثل هذا العدد الأولي ص، ماذا أ 0 , أ 1 , … , أ ن-1 مقسمة على ص, أ نلا يقبل القسمة على ص,أ 0 لا يقبل القسمة على ص 2، ثم F غير قابلة للاختزال في مجال الأعداد العقلانية.
التمرين 6.1. إثبات عدم القابلية للاختزال سكثيرات الحدود:
أ) F= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3؛ب) F= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.
نظرية 6.2. يترك - جزء غير قابل للاختزال وهو جذر كثير الحدود F = أ 0 + أ 1 س + … + أ ن س نمع معاملات صحيحة. ثم
أ 0  ص, أ ن  س;
F(1)  ص – ف,F(–1)  ع+ف.

تسمح لنا هذه النظرية بحل مشكلة إيجاد الجذور المنطقية لكثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة. للقيام بذلك، نحدد جميع مقسومات الحد الحر والمعامل الرئيسي ونبني منها جميع أنواع الكسور غير القابلة للاختزال. وترد جميع الجذور العقلانية بين هذه الكسور. لتحديدها، يمكنك استخدام مخطط هورنر. لتجنب الحسابات غير الضرورية فيه، نستخدم العبارة 2) من النظرية 6.2.
مثال 6.1. أوجد الجذور العقلانية لكثيرة الحدود
F = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.
حل. نكتب جميع الكسور التي بسطها ص - المقسومات هي 18، والمقامات س- المقسمات 2:
1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.
نتحقق منها وفقًا لمخطط هورنر:

تعليق

F(1) = –21  ص – س

F(–1) = –3  ع+ف

X 1 = –2

X 2 = 3/2

العثور على الجذر X 1 = -2 وتقسيم كثير الحدود على X+ 2، نحصل على كثيرة حدود بمصطلح حر جديد -9 (تم وضع خط تحت معاملاتها). يجب أن تكون بسط الجذور المتبقية مقسومة على هذا العدد، ويمكن استبعاد الكسور التي لا تستوفي هذا الشرط من القائمة. يتم استبعاد القيم الصحيحة المتبقية لأنها لا تستوفي الشرط F(1)ص – س أو F(–1)ص + س. على سبيل المثال، لمدة 3 لدينا ص = 3, س= 1، ولم يتم استيفاء الشرط F(1) = –21ص – س(نفس الشرط الثاني).
وبالمثل، العثور على الجذر X 2 = 3/2، حصلنا على كثيرة الحدود بحد حر جديد قدره 3 ومعامل رئيسي قدره 1 (عندما يكون الجذر كسريًا، يجب تقليل معاملات كثيرة الحدود الناتجة). لا يمكن لأي رقم متبقي من القائمة أن يكون جذرًا له، وقد تم استنفاد قائمة الجذور المنطقية.
يجب التحقق من الجذور التي تم العثور عليها للتأكد من تعددها.
إذا وصلنا في عملية الحل إلى كثير الحدود من الدرجة الثانية، ولم يتم استنفاد قائمة الكسور بعد، فيمكن العثور على الجذور المتبقية باستخدام الصيغ المعتادة كجذور ثلاثية الحدود المربعة.
التمرين 6.2. أوجد الجذور المنطقية لكثيرة الحدود

أ) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;
ب) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;
في 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;
د) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.

						تعليق
						F(1) = –21  ص – س
						F(–1) = –3  ع+ف

						X 1 = –2


						X 2 = 3/2