الأهمية التطبيقية لورقة بحث نظرية الرسم البياني. مشروع العمل البحثي "نظرية الرسم البياني"

التعليم الثانوي البلدي منظمة تمولها الدولة -

المدرسة الثانوية رقم 51

أورينبورغ.

المشروع على:

مدرس رياضيات

إيجورشيفا فيكتوريا أندريفنا

2017

فرضية : إذا تم تقريب نظرية الرسم البياني إلى الممارسة، فيمكن الحصول على النتائج الأكثر فائدة.

هدف: التعرف على مفهوم الرسوم البيانية وتعلم كيفية تطبيقها في حل المسائل المختلفة.

مهام:

1) توسيع المعرفة حول طرق بناء الرسوم البيانية.

2) التعرف على أنواع المسائل التي يتطلب حلها استخدام نظرية المخططات.

3) استكشاف استخدام الرسوم البيانية في الرياضيات.

"لقد قام أويلر بحساب، دون أي جهد واضح، كيف يتنفس الشخص أو كيف يحلق النسر فوق الأرض."

دومينيك أراجو.

أنا. مقدمة. ص.

ثانيا . الجزء الرئيسي.

1. مفهوم الرسم البياني. مشكلة حول جسور كونيجسبيرج. ص.

2. خصائص الرسوم البيانية. ص.

3. مشاكل في استخدام نظرية الرسم البياني. ص.

ش الاستنتاج.

معنى الرسوم البيانية. ص.

رابعا. فهرس. ص.

أنا . مقدمة

نظرية الرسم البياني هي علم شاب نسبيا. "الرسوم البيانية" لها جذر الكلمة اليونانية "grapho"، والتي تعني "أنا أكتب". نفس الجذر موجود في الكلمات "الرسم البياني"، "السيرة الذاتية".

ألقي نظرة في عملي على كيفية استخدام نظرية الرسم البياني في مجالات مختلفة من حياة الناس. يعرف كل معلم رياضيات وكل طالب تقريبًا مدى صعوبة حل المشكلات الهندسية، بالإضافة إلى المسائل اللفظية في الجبر. بعد استكشاف إمكانية استخدام نظرية الرسم البياني في دورة الرياضيات المدرسية، توصلت إلى استنتاج مفاده أن هذه النظرية تبسط إلى حد كبير فهم المشكلات وحلها.

ثانيا . الجزء الرئيسي.

1. مفهوم الرسم البياني.

أول عمل في نظرية الرسم البياني ينتمي إلى ليونارد أويلر. ظهرت في عام 1736 في منشورات أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم وبدأت بالنظر في مشكلة جسور كونيغسبيرغ.

ربما تعلم أن هناك مدينة مثل كالينينغراد، وكانت تسمى كونيغسبيرغ. يتدفق نهر بريجوليا عبر المدينة. وهي مقسمة إلى فرعين وتدور حول الجزيرة. وفي القرن السابع عشر كان يوجد في المدينة سبعة جسور مرتبة كما هو موضح في الصورة.

يقولون أنه في أحد الأيام سأل أحد سكان المدينة صديقه إذا كان يستطيع المشي عبر جميع الجسور حتى يزور كل واحد منها مرة واحدة فقط ويعود إلى المكان الذي بدأ فيه المشي. أصبح العديد من سكان البلدة مهتمين بهذه المشكلة، لكن لم يتمكن أحد من التوصل إلى حل. وقد جذبت هذه القضية اهتمام العلماء من العديد من البلدان. تمكن عالم الرياضيات الشهير ليونارد أويلر من حل المشكلة. ليونارد أويلر، مواطن من بازل، ولد في 15 أبريل 1707. إنجازات أويلر العلمية هائلة. لقد أثر في تطوير جميع فروع الرياضيات والميكانيكا تقريبًا في هذا المجال بحث أساسي، وفي تطبيقاتها. لم يحل ليونارد أويلر هذه المشكلة المحددة فحسب، بل توصل أيضًا إلى طريقة عامة لحل هذه المشكلات. فعل أويلر ما يلي: "ضغط" الأرض إلى نقاط، و"مد" الجسور إلى خطوط. والنتيجة هي الشكل الموضح في الشكل.

يسمى هذا الشكل الذي يتكون من نقاط وخطوط تربط هذه النقاطعدد. النقاط أ، ب، ج، د تسمى رؤوس الرسم البياني، والخطوط التي تربط القمم تسمى حواف الرسم البياني. في رسم القممب، ج، د 3 أضلاع تخرج، ومن الأعلىأ - 5 أضلاع. تسمى القمم التي يخرج منها عدد فردي من الحوافقمم غريبة, والقمم التي يخرج منها عدد زوجي من الحواف هيحتى.

2. خصائص الرسم البياني.

أثناء حل المشكلة المتعلقة بجسور كونيجسبيرج، أنشأ أويلر، على وجه الخصوص، خصائص الرسم البياني:

1. إذا كانت جميع رؤوس الرسم البياني متساوية، فيمكنك رسم رسم بياني بضربة واحدة (أي دون رفع القلم الرصاص عن الورقة ودون الرسم مرتين على نفس الخط). وفي هذه الحالة يمكن أن تبدأ الحركة من أي قمة وتنتهي عند نفس القمة.

2. يمكن أيضًا رسم رسم بياني ذو رأسين فرديين بضربة واحدة. يجب أن تبدأ الحركة من أي قمة فردية وتنتهي عند قمة فردية أخرى.

3. لا يمكن رسم رسم بياني يحتوي على أكثر من رأسين فرديين بضربة واحدة.

4. عدد القمم الفردية في الرسم البياني هو دائما زوجي.

5. إذا كان الرسم البياني يحتوي على رؤوس فردية، فإن أصغر عدد من الحدود التي يمكن استخدامها لرسم الرسم البياني سيكون مساويًا لنصف عدد القمم الفردية لهذا الرسم البياني.

على سبيل المثال، إذا كان الشكل يحتوي على أربعة أرقام فردية، فيمكن رسمه بضربتين على الأقل.

في مسألة جسور كونيجسبيرج السبعة، تكون جميع القمم الأربعة للرسم البياني المقابل فردية، أي. لا يمكنك عبور كل الجسور مرة واحدة وإنهاء الرحلة من حيث بدأت.

3. حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية.

1. مهام رسم الأشكال بضربة واحدة.

إن محاولة رسم كل من الأشكال التالية بجرة قلم واحدة ستؤدي إلى نتائج مختلفة.

إذا لم تكن هناك نقاط غريبة في الشكل، فيمكن دائمًا رسمه بجرة قلم واحدة، بغض النظر عن المكان الذي تبدأ فيه الرسم. هذه هي الأشكال 1 و 5.

إذا كان الشكل يحتوي على زوج واحد فقط من النقاط الفردية، فيمكن رسم هذا الشكل بضربة واحدة، بدءًا من الرسم عند إحدى النقاط الفردية (لا يهم أي منها). من السهل أن نفهم أن الرسم يجب أن ينتهي عند النقطة الفردية الثانية. هذه هي الأشكال 2، 3، 6. في الشكل 6، على سبيل المثال، يجب أن يبدأ الرسم إما من النقطة أ أو من النقطة ب.

إذا كان الشكل يحتوي على أكثر من زوج من النقاط الفردية، فلا يمكن رسمه بضربة واحدة على الإطلاق. هذان هما الشكلان 4 و7، ويحتويان على زوجين من النقاط الفردية. ما قيل يكفي للتعرف بدقة على الأشكال التي لا يمكن رسمها بضربة واحدة، وأي منها يمكن رسمها، وكذلك من أي نقطة يجب أن يبدأ الرسم.

أقترح رسم الأشكال التالية بضربة واحدة.

2. حل المشاكل المنطقية.

المهمة رقم 1.

هناك 6 مشاركين في بطولة فئة تنس الطاولة: أندريه وبوريس وفيكتور وجالينا وديمتري وإيلينا. تقام البطولة بنظام جولة روبن، حيث يلعب كل مشارك مع الآخر مرة واحدة. حتى الآن، تم لعب بعض الألعاب بالفعل: لعب أندريه مع بوريس، غالينا، إيلينا؛ بوريس - مع أندريه، غالينا؛ فيكتور - مع غالينا، ديمتري، إيلينا؛ غالينا - مع أندريه وفيكتور وبوريس. كم عدد المباريات التي لعبت حتى الآن وكم عدد المباريات المتبقية؟

حل:

لنقم ببناء رسم بياني كما هو موضح في الشكل.

لعبت 7 مباريات.

في هذا الشكل، يحتوي الرسم البياني على 8 حواف، لذا يتبقى 8 ألعاب للعبها.

المهمة رقم 2

يوجد في الفناء المحاط بسياج عالٍ ثلاثة منازل: الأحمر والأصفر والأزرق. للسور ثلاث أبواب: الأحمر والأصفر والأزرق. من البيت الأحمر، ارسم طريقاً إلى البوابة الحمراء، ومن البيت الأصفر إلى البوابة الصفراء، ومن البيت الأزرق إلى الباب الأزرق حتى لا تتقاطع هذه المسارات.

حل:

يظهر حل المشكلة في الشكل.

3. حل المسائل اللفظية.

لحل المسائل باستخدام طريقة الرسم البياني، عليك معرفة الخوارزمية التالية:

1. ما هي العملية التي نتحدث عنها في المشكلة؟2. ما هي الكميات التي تميز هذه العملية؟3. ما العلاقة بين هذه الكميات؟4. كم عدد العمليات المختلفة الموصوفة في المشكلة؟5. هل هناك علاقة بين العناصر؟

الإجابة على هذه الأسئلة، نقوم بتحليل حالة المشكلة وكتابتها بشكل تخطيطي.

على سبيل المثال . سافرت الحافلة لمدة ساعتين بسرعة ٤٥ كم/ساعة ولمدة ٣ ساعات بسرعة ٦٠ كم/ساعة. ما المسافة التي قطعتها الحافلة خلال هذه الساعات الخمس؟

س
¹=90 كم V ¹=45 كم/ساعة t ¹=2h

S=VT

S ²=180 كم V ²=60 كم/ساعة ر ²=3 ح

س ¹ + س ² = 90 + 180

حل:

1)45x 2 = 90 (كم) - سافرت الحافلة في ساعتين.

2)60x 3 = 180 (كم) - سافرت الحافلة في 3 ساعات.

3)90 + 180 = 270 (كم) - سافرت الحافلة في 5 ساعات.

الجواب: 270 كم.

ثالثا . خاتمة.

نتيجة للعمل في المشروع، علمت أن ليونارد أويلر هو مؤسس نظرية الرسم البياني وحل المشكلات باستخدام نظرية الرسم البياني. لقد استنتجت بنفسي أن نظرية الرسم البياني تُستخدم في مجالات مختلفة من الرياضيات الحديثة وتطبيقاتها العديدة. ولا شك في فائدة تعريفنا نحن الطلاب بالمفاهيم الأساسية لنظرية المخططات. يصبح حل العديد من المسائل الرياضية أسهل إذا تمكنت من استخدام الرسوم البيانية. عرض بياناتالخامس شكل الرسم البياني يعطيهم الوضوح. يتم أيضًا تبسيط العديد من البراهين وتصبح أكثر إقناعًا إذا استخدمت الرسوم البيانية. ينطبق هذا بشكل خاص على مجالات الرياضيات مثل المنطق الرياضي والتوافقيات.

ومن ثم فإن دراسة هذا الموضوع لها أهمية تعليمية عامة وثقافية عامة ورياضية عامة كبيرة. في الحياة اليوميةيتم استخدام الرسوم التوضيحية والتمثيلات الهندسية وغيرها من تقنيات وأساليب التصور بشكل متزايد. ولهذا الغرض، من المفيد إدخال دراسة عناصر نظرية الرسم البياني في المدارس الابتدائية والثانوية، على الأقل في الأنشطة اللامنهجية، حيث أن هذا الموضوع غير مدرج في منهج الرياضيات.

الخامس . فهرس:

2008

مراجعة.

تم الانتهاء من المشروع حول موضوع "الرسوم البيانية من حولنا" من قبل نيكيتا زايتسيف، وهو طالب في الصف السابع "أ" في المؤسسة التعليمية البلدية رقم 3، كراسني كوت.

من السمات المميزة لعمل نيكيتا زايتسيف أهميتها وتوجهها العملي وعمق تغطية الموضوع وإمكانية استخدامه في المستقبل.

العمل إبداعي في الشكل مشروع المعلومات. اختار الطالب هذا الموضوع لتوضيح علاقة نظرية الرسم البياني بالممارسة باستخدام مثال طريق الحافلة المدرسية، لتوضيح أن نظرية الرسم البياني تستخدم في مجالات مختلفة من الرياضيات الحديثة وتطبيقاتها العديدة، وخاصة في الاقتصاد والمنطق الرياضي والتوافقيات . وأظهر أن حل المشكلات يكون مبسطًا إلى حد كبير إذا كان من الممكن استخدام الرسوم البيانية، كما أن تقديم البيانات في شكل رسم بياني يمنحها الوضوح، كما يتم تبسيط العديد من البراهين وتصبح مقنعة.

يتناول العمل قضايا مثل:

1. مفهوم الرسم البياني. مشكلة حول جسور كونيجسبيرج.

2. خصائص الرسوم البيانية.

3. مشاكل في استخدام نظرية الرسم البياني.

4. معنى الرسوم البيانية.

5. خيار مسار الحافلة المدرسية.

عند أداء عمله، استخدم N. Zaitsev:

1. ألخوفا ز.ن.، ماكيفا أ.ف. " نشاطات خارجيةالرياضيات".

2. مجلة "الرياضيات في المدرسة". ملحق “الأول من سبتمبر” رقم 13

2008

3. يا. آي. بيريلمان "مهام وتجارب مسلية." - موسكو: التعليم، 2000.

تم تنفيذ العمل بكفاءة، والمواد تلبي متطلبات هذا الموضوع، والرسومات المقابلة مرفقة.

كوشين أناتولي نيكولاييفيتش

مدير المشروع:

كوكلينا تاتيانا إيفانوفنا

مؤسسة:

MBOU "المدرسة الثانوية الأساسية" جمهورية ترويتسكو-بيتشورسك. كومي

في العمل البحثي في الرياضيات "في عالم الرسوم البيانية"سأحاول معرفة ميزات استخدام نظرية الرسم البياني في حل المشكلات وفي الأنشطة العملية. ستكون نتيجة عملي البحثي في الرياضيات على الرسوم البيانية هي شجرة عائلتي.

في عملي البحثي في الرياضيات، أخطط للتعرف على تاريخ نظرية الرسم البياني، ودراسة المفاهيم الأساسية وأنواع الرسوم البيانية، والنظر في طرق حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية.

ايضا في مشروع البحثفي الرياضيات حول الرسوم البيانية، سأعرض تطبيق نظرية الرسم البياني في مجالات مختلفة من النشاط البشري.

مقدمة
الفصل 1. التعرف على الرسوم البيانية
1.1. تاريخ الرسوم البيانية.
1.2. أنواع الرسوم البيانية
الفصل 2. إمكانيات تطبيق نظرية الرسم البياني في مختلف مجالات الحياة اليومية
2.1. تطبيق الرسوم البيانية في مختلف مجالات حياة الناس
2.2. استخدام الرسوم البيانية في حل المشكلات
2.3. شجرة العائلة هي إحدى طرق تطبيق نظرية الرسم البياني
2.4. وصف البحث وتجميع شجرة عائلة عائلتي
خاتمة
مراجع
التطبيقات

"في الرياضيات، ليست الصيغ هي التي ينبغي تذكرها،
بل عملية التفكير."
إي. إجناتيفا

مقدمة

التهم في كل مكان! في ورقتي البحثية عن الرياضيات حول موضوع “في عالم الرسوم البيانية” سنتحدث عن رسوم بيانية لا علاقة لها بأرستقراطيي الماضي. "" لها جذر الكلمة اليونانية "" جرافو"، ماذا يعني " كتابة" نفس الجذر في الكلمات " جدول», « سيرة شخصية», « التصوير المجسم».

لأول مرة مع مفهوم " رسم بيانيالتقيت أثناء حل مسائل أولمبياد الرياضيات. وقد تم تفسير الصعوبات في حل هذه المشكلات بغياب هذا الموضوع في المناهج الدراسية الإلزامية. وكانت المشكلة التي نشأت هي السبب الرئيسي لاختيار موضوع هذا العمل البحثي. قررت أن أدرس بالتفصيل كل ما يتعلق بالرسوم البيانية. مدى انتشار طريقة الرسم البياني ومدى أهميتها في حياة الناس.

حتى أن هناك قسم خاص في الرياضيات يسمى: “ نظرية الرسم البياني" نظرية الرسم البياني هي جزء من كليهما البنية، لذا التوافقيات. حقيقة أن هذه نظرية طوبولوجية تنبع من استقلال خصائص الرسم البياني عن موقع القمم ونوع الخطوط التي تربط بينها.

وقد أدت سهولة صياغة المشكلات التوافقية من حيث الرسوم البيانية إلى حقيقة أن نظرية الرسم البياني أصبحت واحدة من أقوى أدوات التوافقيات. عند حل المشكلات المنطقية، عادة ما يكون من الصعب جدًا الاحتفاظ بالعديد من الحقائق الواردة في الحالة في الذاكرة، وإقامة روابط بينها، والتعبير عن الفرضيات، واستخلاص استنتاجات معينة واستخدامها.

التعرف على مميزات استخدام نظرية الرسم البياني في حل المشكلات وفي الأنشطة العملية.

موضوع الدراسةهي الرسوم البيانية الرياضية.

موضوع البحثهي الرسوم البيانية كوسيلة لحل عدد من المشاكل العملية.

فرضية:إذا كانت طريقة الرسم البياني مهمة للغاية، فمن المؤكد أنها ستستخدم على نطاق واسع في مختلف مجالات العلوم والنشاط البشري.

لتحقيق هذا الهدف، طرحت المهام التالية:

1. التعرف على تاريخ نظرية الرسم البياني.
2. دراسة المفاهيم الأساسية لنظرية الرسوم البيانية وأنواع الرسوم البيانية.
3. فكر في طرق حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية.
4. إظهار تطبيق نظرية الرسم البياني في مختلف مجالات الحياة البشرية.
5. إنشاء شجرة عائلة لعائلتي.

طُرق:الملاحظة، البحث، الاختيار، التحليل، البحث.

يذاكر:
1. تمت دراسة مصادر الإنترنت والمطبوعات.
2. تم توضيح مجالات العلوم والنشاط البشري التي يتم فيها استخدام طريقة الرسم البياني؛
3. يتم النظر في حل المشاكل باستخدام نظرية الرسم البياني.
4. درست طريقة تجميع شجرة عائلة عائلتي.

الصلة والجدة.
تعد نظرية الرسم البياني حاليًا فرعًا من فروع الرياضيات يتطور بشكل مكثف. ويفسر ذلك حقيقة أن العديد من الأشياء والمواقف موصوفة في شكل نماذج رسومية. تُستخدم نظرية الرسم البياني في مجالات مختلفة من الرياضيات الحديثة وتطبيقاتها العديدة، خاصة في الاقتصاد والتكنولوجيا والإدارة. يصبح حل العديد من المسائل الرياضية أسهل إذا تمكنت من استخدام الرسوم البيانية. إن تقديم البيانات في شكل رسم بياني يجعلها أكثر وضوحًا وبساطة. يتم أيضًا تبسيط العديد من البراهين الرياضية وتصبح أكثر إقناعًا إذا تم استخدام الرسوم البيانية.

للتأكد من ذلك، اقترحت أنا والمدير على الطلاب في الصفوف 5-9 المشاركين في الجولات المدرسية والبلدية أولمبياد عموم روسياتلاميذ المدارس، 4 مشاكل في حلها يمكنك تطبيق نظرية الرسم البياني ( المرفق 1).

نتائج حل المشاكل هي كما يلي:
إجمالي 15 طالبًا (الصف الخامس - 3 طلاب، الصف السادس - طالبان، الصف السابع - 3 طلاب، الصف الثامن - 3 طلاب، الصف التاسع - 4 طلاب) طبقوا نظرية الرسم البياني في مشكلة واحدة - 1، في مشكلتين - 0 ، في المشكلة 3 – 6، المشكلة 4 – 4 طلاب.

أهمية عمليةالبحث هو أن النتائج ستكون بلا شك موضع اهتمام الكثير من الناس. ألم يحاول أحد منكم بناء شجرة عائلتك؟ كيف تفعل هذا بشكل صحيح؟
وتبين أنه يمكن حلها بسهولة باستخدام الرسوم البيانية.

المجتمع العلميطلاب

"يبحث"

40 إقليمي مفتوح المؤتمر العلميطلاب.

قسم الرياضيات.

العمل العلمي حول الموضوع:

"التهم" في نسبي

أكملتها: فيكتوريا لوبوريتس

طالب في الصف السابع

المؤسسة التعليمية البلدية "مدرسة كولومزينسكايا الثانوية"

مشرف:

ليسينكو أولغا غريغوريفنا

مدرس رياضيات

المؤسسة التعليمية البلدية "مدرسة كولومزينسكايا الثانوية"

أومسك - 2008

الصلة والجدة
الهدف والمهام

ثانيا. الجزء الرئيسي
1. مفهوم الرسوم البيانية

2. خصائص الرسوم البيانية

3. استخدام الرسوم البيانية
III.الجزء العملي
الرابع. استنتاج
خامسا الأدب

السادس.الملحق

محتوى

مقدمة ………………………………………………………………………………………………………………………………….3

ص.1.1. الصلة والجدة ……………………………………..4

ص.1.2.الأهداف والغايات…………………………………………4

الفصل الأول: الجزء النظري…………………………………….5

ص.2.1 مفهوم الرسوم البيانية……………………………………….5

الباب الثاني. الجزء العملي …………………………………………………..11

ص.2.1. "التهم" في نسبي ………………………………..11

ص2.2 حل المسائل المنطقية باستخدام الطريقة البيانية................................11

الخلاصة .................................................................................................. 17

الأدب …………………………………………………………………………………………………….18

التطبيقات……………………………………………………………………………………….19

مقدمة
1. الملاءمة والجدة
تُستخدم نظرية الرسم البياني في مجالات مختلفة من الرياضيات الحديثة وتطبيقاتها العديدة، خاصة في الاقتصاد والتكنولوجيا والإدارة. تعتبر نظرية الرسم البياني قسمًا مهمًا من الرياضيات المنفصلة، وقد زاد دورها العملي بسبب تطور أنظمة التحكم الآلي المختلفة وتكنولوجيا الحوسبة المنفصلة؛ من الناحية النظرية، بالإضافة إلى الارتباطات مع التوافقيات والهندسة، كانت هناك تحولات في تقاطع نظرية الرسم البياني مع الجبر والمنطق الرياضي.

تاريخيًا، نشأت نظرية الرسم البياني من حل الألغاز منذ أكثر من مائتي عام. لفترة طويلة جدًا كانت بعيدة عن الاتجاهات الرئيسية للبحث العلمي. تلقت نظرية الرسم البياني زخما للتنمية في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين، عندما زاد بشكل حاد عدد الأعمال في مجال التضاريس والتوافقيات، التي ترتبط ارتباطا وثيقا بها. تم العثور على أول ذكر للرسوم البيانية في أعمال L. Euler (1736). في منتصف القرن التاسع عشر، طور المهندس الكهربائي ج. كيرشوف نظرية الأشجار لدراسة الدوائر الكهربائية، وقام عالم الرياضيات أ. كايلي، فيما يتعلق بوصف بنية الهيدروكربونات، بحل مشاكل التعداد لثلاثة أنواع من الأشجار. أخيرًا، تبلورت نظرية الرسم البياني كنظام رياضي في عام 1936. بعد نشر دراسة د. كونيغ "نظرية الرسوم البيانية المحدودة واللانهائية".

في الآونة الأخيرة، تغلغلت الرسوم البيانية وطرق البحث ذات الصلة بشكل عضوي في مراحل مختلفةتقريبا كل الرياضيات الحديثة. تجد نظرية الرسم البياني العديد من التطبيقات في مجالات مختلفة من الرياضيات: الجبر، الهندسة، الطوبولوجيا، التوافقيات، نظرية الترميز، بحوث العمليات، وفي الفيزياء والكيمياء واللغويات والاقتصاد وعلم النفس والعلوم الأخرى.

يصبح حل العديد من المسائل الرياضية أسهل إذا تمكنت من استخدام الرسوم البيانية. إن تقديم البيانات في شكل رسم بياني يجعلها أكثر وضوحًا وبساطة.

حداثة هذا العمل هي دليل على فعالية طريقة الرسم البياني في حل المشاكل المنطقية.

الهدف الرئيسي لتعليم الرياضيات في المدرسة هو تنمية القدرات العقلية للطلاب. نحن بحاجة إلى الانتقال من تكنولوجيا المعلومات والتفسيرات إلى تكنولوجيا تطوير الأنشطة التي تهدف إلى التنمية الجودة الشخصيةكل تلميذ. ليس فقط المعرفة المكتسبة يجب أن تصبح مهمة، ولكن أيضًا طرق الاستيعاب والمعالجة. معلومات تربوية، تطوير النشاط المعرفيوالإمكانات الإبداعية للطالب. من غير المرجح أن يستخدم معظم تلاميذ المدارس معرفتهم المكتسبة في الرياضيات في الحياة اليومية، على الرغم من أن الكثير منهم سيتخرجون من الجامعات التقنية. ينسى الشخص بسرعة المعرفة التي لا يستخدمها باستمرار، لكن التطوير المنطقي يبقى معه إلى الأبد. هذا هو الموضوع الرئيسي لتنمية شخصية الطالب الذي خصصت له عملي.

هدف بحثهي عملية تعليم الطلاب طريقة الرسم البياني.

فرضية: وفقا لافتراضنا، فإن حل المشكلات المنطقية من قبل الطلاب باستخدام طريقة الرسم البياني يمكن أن يساهم في تكوين وتطوير التفكير المنطقي.

وفي ضوء الفرضية تم تحديد أهداف وغايات الدراسة التالية.

2. الهدف والغايات.
هدف: استخدام طريقة الرسم البياني لحل المشكلات المنطقية، وبالتالي تعزيز تنمية التفكير المنطقي، والنظر في حل المشكلات باستخدام مفهوم "الرسم البياني"، والتحقق من تنفيذ "الرسوم البيانية" في سلاسل الأنساب.

مهام:

1) دراسة الأدبيات العلمية الشعبية حول هذه القضية.

2) التحقيق في تنفيذ "الرسوم البيانية" لتوضيح العلاقات الأسرية.

3) تحليل نتائج التجارب.

4) دراسة أسلوب "الرسم البياني" كأسلوب لحل المسائل المنطقية.

الفصل الأول. الجزء النظري

ص.2.1. مفهوم الرسوم البيانية

كلمة "رسم بياني" في الرياضيات تعني صورة ذات عدة نقاط مرسومة، بعضها متصل بخطوط. ترتبط الرسوم البيانية الرياضية التي تحمل اللقب النبيل "العد" بأصل مشترك من الكلمة اللاتينية "graphio" - أكتب. الرسوم البيانية النموذجية هي مخططات خطوط الطيران، والتي غالبًا ما يتم نشرها في المطارات، ومخططات مترو الأنفاق، وعلى الخرائط الجغرافية - صورة السكك الحديدية(رسم بياني 1). تسمى النقاط المحددة في الرسم البياني بالقمم، وتسمى الخطوط التي تربطها بالحواف.

يستخدم التهم والنبل. ويبين الشكل 2 جزءاً من شجرة العائلة لعائلة نبيلة مشهورة. هنا رؤوسها هي أعضاء هذا الجنس، والأجزاء التي تربطهم هي علاقات القرابة المؤدية من الآباء إلى الأبناء.

تعني كلمة "شجرة" في نظرية الرسم البياني رسمًا بيانيًا لا توجد فيه دورات، أي أنه من المستحيل الانتقال من قمة معينة عبر عدة حواف مختلفة والعودة إلى نفس الرأس. ستكون شجرة العائلة أيضًا شجرة بمعنى نظرية الرسم البياني إذا لم يكن هناك زواج بين الأقارب في هذه العائلة.

ليس من الصعب أن نفهم أنه يمكن دائمًا تصوير الرسم البياني الشجري بحيث لا تتقاطع حوافه. الرسوم البيانية التي تتكون من رؤوس وحواف متعددات الوجوه المحدبة لها نفس الخاصية. ويبين الشكل 3 الرسوم البيانية المقابلة لخمسة متعددات وجوه منتظمة. في الرسم البياني المقابل لرباعي السطوح، ترتبط جميع القمم الأربعة في أزواج بواسطة الحواف.

خذ بعين الاعتبار رسمًا بيانيًا يحتوي على خمسة رؤوس متصلة ببعضها البعض في أزواج (الشكل 4). هنا تتقاطع حواف الرسم البياني. من المستحيل تصويره بحيث لا توجد تقاطعات، كما أنه من المستحيل تحقيق نوايا الأشخاص الثلاثة الذين وصفهم لويس كارول. كانوا يعيشون في ثلاثة منازل، وليس ببعيد منهم كان هناك ثلاثة آبار: واحد للمياه، وآخر للزيت، والثالث للمربى، وساروا إليهم على طول الطرق الموضحة في الشكل 5. وفي أحد الأيام تشاجر هؤلاء الناس وقرروا ورسم مسارات من منازلهم إلى الآبار حتى لا تتقاطع هذه المسارات. ويبين الشكل 6 محاولة أخرى لبناء مثل هذه المسارات.

يبدو أن الرسوم البيانية الموضحة في الشكلين 4 و5 تلعب دورًا حاسمًا في تحديد ما إذا كان كل رسم بياني مستويًا، أي ما إذا كان يمكن رسمه على مستوى دون تقاطع حوافه. عالم الرياضيات البولندي جي كوراتوفسكي والأكاديمي

أثبت L. S. Pontryagin بشكل مستقل أنه إذا لم يكن الرسم البياني مستويًا، فإن واحدًا على الأقل من الرسوم البيانية الموضحة في الشكلين 4 و 5 "يوجد" فيه، أي رسم بياني "خمسة رؤوس كاملة" أو رسم بياني "للمنازل والآبار". .

الرسوم البيانية هي رسوم بيانية لبرامج الكمبيوتر، ورسوم بيانية لبناء الشبكات، حيث تكون القمم أحداث تشير إلى اكتمال العمل على منطقة معينة، والحواف التي تربط هذه القمم هي عمل يمكن أن يبدأ بعد وقوع حدث واحد ويجب إكماله لإكمال الحدث التالي .

إذا كانت حواف الرسم البياني تحتوي على أسهم تشير إلى اتجاه الحواف، فإن هذا الرسم البياني يسمى موجها.

السهم من وظيفة إلى أخرى في الرسم البياني الموضح في الشكل. 7 يعني تسلسل العمل. لا يمكنك البدء في تركيب الجدران دون الانتهاء من بناء الأساس، فلكي تبدأ في التشطيب، يجب أن يكون هناك ماء في الأرضيات، وما إلى ذلك.

الشكل 7.

تتم الإشارة إلى الأرقام بالقرب من رؤوس الرسم البياني - مدة العمل المقابل بالأيام. الآن يمكننا معرفة أقصر مدة ممكنة للبناء. للقيام بذلك، من بين جميع المسارات على طول الرسم البياني في اتجاه الأسهم، تحتاج إلى اختيار المسار الذي يكون مجموع أرقامه في القمم هو الأكبر. يطلق عليه المسار الحرج (في الشكل 7 تم تمييزه باللون البني). في حالتنا نحصل على 170 يوما. وإذا قمت بتقليل وقت وضع الشبكة الكهربائية من 40 إلى 10 أيام، فسيتم تقليل وقت البناء أيضًا بمقدار 30 يومًا؟ لا، في هذه الحالة لن يمر المسار الحرج من خلال هذه القمة، ولكن من خلال القمم المقابلة لبناء الحفرة، ووضع الأساس، وما إلى ذلك. الوقت الكليوستكون مدة البناء 160 يومًا، أي سيتم تخفيض المدة بمقدار 10 أيام فقط.

ويبين الشكل 8 خريطة الطرق بين القرى M، A، B، C، D.

هنا، كل رأسين متصلين بحافة. يسمى هذا الرسم البياني كاملاً. الأرقام في الشكل تشير إلى المسافات بين القرى على طول هذه الطرق. يجب أن يكون هناك مكتب بريد في القرية M ويجب على ساعي البريد تسليم الرسائل إلى القرى الأربع الأخرى. هناك العديد من طرق السفر المختلفة. كيفية اختيار أقصر واحد؟ أسهل طريقة هي تحليل جميع الخيارات. سيساعدك الرسم البياني الجديد (أدناه) على القيام بذلك، حيث يمكنك بسهولة رؤية الطرق المحتملة. الذروة M في الأعلى هي بداية الطرق. يمكنك البدء في الانتقال منه بأربعة طرق مختلفة: في A، في B، في C، في D. بعد زيارة إحدى القرى، هناك ثلاثة احتمالات لمواصلة الطريق، ثم اثنين، ثم الطريق إلى القرية الأخيرة ومرة أخرى إلى M. المجموع 4 × 3 × 2 × 1 = 24 طريقة.

لنضع أرقامًا على طول حواف الرسم البياني تشير إلى المسافات بين القرى، وفي نهاية كل طريق سنكتب مجموع هذه المسافات على طول الطريق. من بين الأرقام الـ 24 التي تم الحصول عليها، أصغر رقمين يبلغ طولهما 28 كم، متطابقان الطرق M-V-B-A-G-Mو M-G-A-B-V-M. وهذا هو نفس الطريق، ولكن في اتجاهات مختلفة. لاحظ أن الرسم البياني في الشكل. 8 يمكن أيضًا تحديد الاتجاه من خلال الإشارة إلى الاتجاه من الأعلى إلى الأسفل على كل حافة، والذي يتوافق مع اتجاه حركة ساعي البريد. غالبًا ما تنشأ مشاكل مماثلة عند العثور على أفضل الخيارات لتوزيع البضائع على المتاجر ومواد البناء على مواقع البناء.

غالبًا ما تُستخدم الرسوم البيانية لحل المشكلات المنطقية التي تتضمن تعداد الخيارات. على سبيل المثال، النظر في المشكلة التالية. يحتوي السطل على 8 لتر من الماء، كما يوجد حلتين بسعة 5 و 3 لتر. تحتاج إلى صب 4 لترات من الماء في وعاء سعة خمسة لترات وترك 4 لترات في الدلو، أي صب الماء بالتساوي في الدلو والمقلاة الكبيرة. الحل: يمكن وصف الوضع في كل لحظة بثلاثة أرقام، حيث A هو عدد لترات الماء في الدلو، وB في وعاء كبير، وC في وعاء أصغر. في اللحظة الأولى، تم وصف الحالة بثلاثة أرقام (8، 0، 0)، ومنها يمكن أن ننتقل إلى إحدى الحالتين: (3، 5، 0)، إذا ملأنا وعاء كبير بالماء، أو (5، 0، 3)، إذا املأ المقلاة الأصغر. ونتيجة لذلك، نحصل على حلين: واحد في 7 حركات، والآخر في 8 حركات.

وبطريقة مماثلة، يمكنك إنشاء رسم بياني لأي لعبة موضعية: الشطرنج، لعبة الداما، تيك تاك تو، حيث ستصبح المواضع رؤوسًا، والقطاعات الموجهة بينها ستعني أنه في حركة واحدة يمكنك التحرك من موضع واحد إلى آخر في اتجاه السهم. ومع ذلك، بالنسبة للشطرنج ولعبة الداما، سيكون هذا الرسم البياني كبيرًا جدًا، نظرًا لأن المواضع المختلفة في هذه الألعاب تصل إلى الملايين. ولكن بالنسبة للعبة "tic-tac-toe" على لوحة 3x3، فإن رسم الرسم البياني المقابل ليس بالأمر الصعب، على الرغم من أنه سيحتوي على عدة عشرات (ولكن ليس الملايين) من القمم. من حيث الرسوم البيانية، يمكن صياغة مشكلة التعيين في المناصب وحلها بسهولة. وهي: إذا كان هناك عدة وظائف شاغرة ومجموعة من الراغبين في شغلها، وكان كل من المتقدمين مؤهلاً لعدة مناصب، فبأي شروط سيتمكن كل من المتقدمين من الحصول على وظيفة في أحد تخصصاتهم؟

لا تعتمد خصائص الرسوم البيانية على ما إذا كانت القمم متصلة بواسطة شرائح أو خطوط منحنية. وهذا يجعل من الممكن دراسة خصائصها باستخدام أحد العلوم الشابة - الطوبولوجيا، على الرغم من أن مشاكل نظرية الرسم البياني نفسها هي مشاكل نموذجية للتوافقيات.

الباب الثاني. الجزء العملي.
ص.2.1. "التهم" في نسبي.
أساليب العمل:

مقارنة وتحليل النتائج التجريبية.

طريقة العمل:

تم اختيار ما يلي للبحث:

أ) نسب عائلتي وأرشيف البيانات وشهادات الميلاد.

ب) نسب أمراء جوليتسين وأرشيفات البيانات.

لقد أجريت بحثًا ووضعت نتائج البحث في رسوم بيانية وقمت بتحليلها.

طريقة 1.
الهدف: التحقق من تنفيذ "التهم" على نسبك.

النتائج: المخطط 1 (انظر الملحق 1).

الطريقة 2.
الهدف: التحقق من تنفيذ "التهم" في سلسلة نسب أمراء جوليتسين.

النتيجة: المخطط 2 (انظر الملحق 2).

الخلاصة: لقد لاحظت أن النسب عبارة عن رسم بياني نموذجي.
ص 2.2. حل المسائل المنطقية باستخدام طريقة الرسم البياني
خلال كل سنوات الدراسة في المدرسة، قمنا بحل الكثير من المشكلات المتنوعة، بما في ذلك المشكلات المنطقية: المشكلات الترفيهية، والألغاز، والجناس الناقصة، والإعادة، وما إلى ذلك. لحل المشاكل من هذا النوع بنجاح، يجب أن تكون قادرًا على التعرف عليها علامات عامةملاحظة الأنماط، طرح الفرضيات، اختبارها، بناء سلاسل من الاستدلال، استخلاص النتائج. تختلف المشكلات المنطقية عن المشكلات العادية من حيث أنها لا تتطلب حسابات، ولكن يتم حلها باستخدام الاستدلال. يمكننا أن نقول أن المهمة المنطقية هي معلومات خاصة لا تحتاج فقط إلى معالجتها وفقًا لشرط معين، ولكنك تريد أيضًا القيام بذلك. يساعد المنطق على استيعاب المعرفة بوعي وفهم، أي. غير رسمي؛ يخلق إمكانية التفاهم المتبادل بشكل أفضل. المنطق هو فن التفكير والقدرة على استخلاص الاستنتاجات الصحيحة. وهذا ليس بالأمر السهل دائمًا، لأنه في كثير من الأحيان تكون المعلومات الضرورية "مقنعة"، ويتم تقديمها ضمنيًا، ويجب أن تكون قادرًا على استخراجها. كما تعلمون، الرؤية تولد التفكير. تنشأ مشكلة: كيفية إقامة روابط منطقية بين الحقائق المتباينة وكيفية صياغتها في كل واحد. تسمح لك طريقة الرسوم البيانية برؤية التقدم المحرز في الإثبات وحل المشكلات، مما يجعل الإثبات أكثر وضوحًا ويسمح لك بتقديم براهين النظريات وحلول المشكلات بشكل موجز ودقيق.

مثال 1.1. أقلام الرصاص الأحمر والأزرق والأصفر والأخضر موجودة في أربعة صناديق، واحدًا تلو الآخر. لون قلم الرصاص يختلف عن لون الصندوق. ومن المعروف أن قلم الرصاص الأخضر موجود في صندوق أزرق، لكن قلم الرصاص الأحمر ليس في صندوق أصفر. في أي صندوق يأتي كل قلم رصاص؟

حل.دعنا نشير إلى أقلام الرصاص والصناديق ذات النقاط. سيشير الخط الثابت إلى أن القلم الرصاص موجود في المربع المقابل، وسيشير الخط المنقط إلى أنه ليس كذلك. ثم، مع الأخذ في الاعتبار المشكلة، لدينا G1 (الشكل 1).

رسم بياني 1
بعد ذلك، نكمل الرسم البياني وفقًا للقاعدة التالية: نظرًا لأنه يمكن أن يكون هناك قلم رصاص واحد بالضبط في الصندوق، فيجب أن يخرج خط متصل وثلاثة خطوط منقطة من كل نقطة. والنتيجة هي رسم بياني G2 يعطي حلاً للمشكلة.

مثال 1.2.ثلاثة أصدقاء يتحدثون: بيلوكوروف، تشيرنوف وريجوف. قالت امرأة سمراء لبيلوكوروف: "من الغريب أن يكون أحدنا أشقر، والآخر امرأة سمراء، والثالث أحمر، لكن لا أحد يطابق لون شعر لقبه". ما هو لون الشعر الذي يمتلكه كل من أصدقائك؟

حل.لنقم بإنشاء رسم بياني للعلاقة المحددة في بيان المشكلة. للقيام بذلك، أولا وقبل كل شيء، نختار مجموعة الألقاب M ومجموعة ألوان الشعر K، والتي سيتم الإشارة إلى عناصرها بالنقاط. دعنا نسمي نقاط المجموعة M بالحروف ب، ح، ر(بيلوكوروف، تشيرنوف وريجوف)؛ نقاط المجموعة الثانية – ب، ر، ص(أشقر، سمراء، حمراء). إذا كانت نقطة من مجموعة تتوافق مع نقطة من مجموعة أخرى، فسنربطها بخط متصل، وإذا لم تتوافق، فسنربطها بخط متقطع. تشير حالة المشكلة إلى التناقضات فقط، لذلك يجب أن يظهر الرسم البياني الموضح في الشكل 2 أولاً.

الصورة 2

يترتب على شروط المشكلة أنه لكل نقطة من المجموعة M، هناك نقطة واحدة فقط من المجموعة K، والتي تقابل النقطة الأولى، وعلى العكس من ذلك، لكل نقطة من المجموعة K هناك نقطة واحدة و نقطة واحدة فقط من المجموعة M. تتلخص المشكلة في: العثور على هذا المراسلات الممكنة الوحيدة بين عناصر المجموعتين M و K، أي العثور على ثلاثة خطوط صلبة تربط النقاط المقابلة للمجموعات.

مبدأ حل المشكلة بسيط. إذا كانت نقطة ما متصلة بنقطتين من مجموعة أخرى بخط متقطع، فيجب أن تكون متصلة بنقطتها الثالثة بخط متصل. ولذلك، يتم استكمال الرسم البياني في الشكل 2 بخطوط متصلة تربط النقاط بو ر, رو ر(تين. 3).

تين. 3
بعد ذلك، يبقى توصيل النقطة بخط متصل حوالفترة ب، منذ هذه النقطة حمتصلة بنقطة رخط متقطع ونقطة رهو بالفعل "مشغول" (الشكل 4).

أرز. 4

وهكذا، في الرسم البياني لهذا الشكل، نقرأ الإجابة تلقائيًا: Belokurov ذو شعر أحمر، Chernov أشقر، Ryzhov امرأة سمراء.

في المشكلة التالية، يساعد استخدام الرسوم البيانية على اكتشاف وجود حلين.

مثال 1.3.يمكن لماشا وليدا وزينيا وكاتيا العزف على آلات مختلفة (التشيلو والبيانو والغيتار والكمان)، لكن كل منهم يعزف على آلة واحدة فقط. يتحدثون لغات أجنبية مختلفة (الإنجليزية والفرنسية والألمانية والإسبانية)، ولكن كل واحدة منهم فقط. ومن المعروف أن:

1. الفتاة التي تعزف على الجيتار تتحدث الإسبانية.

2. ليدا لا تعزف على الكمان أو التشيلو ولا تعرف اللغة الإنجليزية؛

3. ماشا لا تعزف على الكمان أو التشيلو ولا تعرف اللغة الإنجليزية؛

4. الفتاة التي تتحدث الألمانية لا تعزف على التشيلو؛

5. زينيا تعرف فرنسيلكنه لا يعزف على الكمان.

من يعزف على أي آلة وأي آلة؟ لغة اجنبيةيعرف؟

حل.تتوافق ظروف المشكلة مع الرسم البياني الموضح في الشكل 5.

أرز. 5

دعونا نرسم بشكل تسلسلي الأجزاء الصلبة التالية: KS، VZH، VF، AK (الشكل 6).

أرز. 6

وهكذا، يتم تشكيل مثلثين "صلبين" ZHVF وKSA. نقوم بتنفيذ جزء مستمر آخر من مركبة الإطلاق. نحن الآن مقتنعون بأن شروط المشكلة لا تضمن الاختيار الواضح للنقطة الثالثة لكل من أزواج RN و GI. الخيارات التالية للمثلثات "الصلبة" ممكنة: MGI وOSR أو LGI وMRN. وبالتالي فإن المشكلة لها حلان.

في بعض الحالات، قد يكون حل المشكلات التوافقية أمرًا صعبًا. يمكنك تسهيل عملية البحث من خلال تعلم استخدام أدوات البحث مثل الجداول والرسوم البيانية. إنها تسمح لك بتشريح مسار التفكير وإجراء البحث بوضوح دون فقدان أي فرص.

أولا، كأبسط وسيلة لتنظيم البحث، تحتاج إلى التعرف على الجداول.

على سبيل المثال، النظر في هذا مهمة:

هناك سفينتان بسعة 3 لتر و5 لتر. كيف تستخدم هذه الأوعية لصب 4 لترات من الماء من الصنبور؟

لنبدأ من النهاية. كيف يمكن أن تكون النتيجة 4L؟ - من وعاء سعة 5 لتر، صب 1 لتر. كيف افعلها؟ – يجب أن يكون لديك 2 لتر بالضبط في وعاء سعة 3 لتر. كيفية الحصول عليها؟ – صب 3 لتر في وعاء سعة 5 لتر. الآن دعونا نكتب حل المشكلة أولاً على شكل جدول.

يمكن البدء بالبحث عن حل بالإجراء 3+1 الذي يؤدي إلى الحل المكتوب في الجدول التالي.

من الرقمين 3 و5 يمكنك إنشاء تعبيرات لها القيمة 4:

5-3+5-3=4 و 3+3-5+3=4

من السهل التحقق من أن التعبيرات الناتجة تتوافق مع الحلول الموجودة أعلاه.

الأداة التنظيمية الثانية التي يمكن استخدامها عند حل المشكلات التوافقية هي الرسوم البيانية.

سأقدم مثالا على الحل باستخدام شجرة الرسم البياني لحل مشكلة اندماجية.

على سبيل المثال، تحتاج إلى حل مهمة:"في أحد الأيام التقى خمسة أصدقاء. استقبل الجميع بعضهم البعض وتصافحوا. كم عدد المصافحات التي تمت؟

أولاً، يصبح من الواضح كيف ينبغي تعيين كل شخص. مع مراعاة عروض مختلفة، توصلنا إلى استنتاج مفاده أنه من الأسرع والأكثر ملاءمة تصوير الأشخاص بالنقاط. يجب وضع النقاط في شكل دائرة تقريبًا، مع رسمها بقلم رصاص ملون بحيث تكون الملاحظات واضحة ومرئية. من نقطتين تجاه بعضهما البعض، ارسم خطوطًا - "الأيدي"، تلتقي لتشكل خطًا واحدًا. هذه هي الطريقة التي يتوصلون بها إلى الصورة الرمزية للمصافحة. أولا، يتم تجميع جميع المصافحات لشخص واحد (النقطة متصلة بخطوط لجميع الآخرين). ثم ينتقلون إلى شخص آخر. تساعد الخطوط المرسومة في معرفة من ألقى التحية عليه بالفعل ومن لم يفعل ذلك. يتم رسم المصافحات المفقودة (من الأفضل رسم هذه الخطوط بلون مختلف، لأنه سيكون من الأفضل حسابها لاحقًا الرقم الإجماليالمصافحة). ويفعلون ذلك حتى يقول الجميع مرحباً لبعضهم البعض. باستخدام الرسم البياني المستلم، احسب عدد المصافحات (هناك 10 في المجموع).

التالي مهمة:

"كم عدد الأعداد المكونة من رقمين يمكنك تكوينها باستخدام الأعداد 1،2،3،4؟"

حل.الرقم 12: يجب إظهار أنه يبدأ بالرقم 1 وينتهي بالرقم 2. تظهر حلقة عند التعيين، على سبيل المثال، الرقم 11: يجب أن يبدأ السهم وينتهي بنفس الرقم. بعد أن اكتشفت هذه الرموز (النقاط، الخطوط، الأسهم، الحلقات) في المهام الأولى، بدأت في استخدامها في حل المهام المختلفة، وإنشاء رسوم بيانية من نوع واحد أو آخر (الشكل 2).

الجواب: 16 رقما.

اسمحوا لي أن أقدم بعض الأمثلة:

1وصل لاعبان روسيان واثنان ألمانيان واثنان أمريكيان إلى نهائيات بطولة الداما. كم عدد المباريات التي ستقام في المباراة النهائية إذا لعب الجميع مع بعضهم البعض مرة واحدة ولم يلعب ممثلو نفس البلد مع بعضهم البعض؟ (تين. 3.).

ن

في النهائي، 4x6 = 24 مباراة سيتم لعبها.
2. كان هناك أربعة أنواع من الحلويات في المزهرية. أخذ كل طفل قطعتين من الحلوى. وكان لدى الجميع مجموعات مختلفة من الحلوى. كم عدد الأطفال يمكن أن يكون هناك؟ (الرسم البياني في الشكل 4).

يتضح من هذا الرسم البياني أنه قد يكون هناك 6 مجموعات مختلفة من الحلوى، وبالتالي يمكن أن يكون هناك 6 أطفال.

الخلاصة: تتمتع المسائل البيانية بعدد من المزايا التي تتيح استخدامها لتنمية الاستدلال وتحسين التفكير المنطقي لدى الأطفال من مرحلة رياض الأطفال إلى المرحلة الثانوية. المدرسة الثانوية. لغة الرسوم البيانية بسيطة وواضحة ومرئية. يمكن عرض مسائل الرسم البياني بشكل ترفيهي ومرح. من ناحية أخرى، يعد إضفاء الطابع الرسمي على مشاكل الرسم البياني أكثر صعوبة من، على سبيل المثال، المهام المدرسيةفي الجبر، لا يتطلب حلها في كثير من الأحيان معرفة عميقة، ولكنه يتطلب استخدام البراعة.

بمساعدتهم، يمكنك تزويد الطلاب بالمعرفة الجديدة التي ستسهل عليهم دراسة علوم الكمبيوتر في المستقبل؛ زيادة النمو المنطقي والعقلي لأطفال المدارس؛ تعويدهم على عمل مستقل; تنمية خيالهم وتحسين ثقافة التواصل.

عند حل المشكلات التوافقية، يتم الحفاظ على العلاقة الوثيقة بين التفكير والإجراءات العملية، ويتم ضمان الانتقال التدريجي إلى الإجراءات في العقل، ويساهم في تطوير جودة التفكير، مثل التباين.

خاتمة
أثناء قيامي بهذا العمل، قمت بدراسة واحدة من أكثر القضايا إثارة للاهتمام في نظرية الرسوم البيانية، حيث نظرت إلى الرسوم البيانية الرياضية ومجالات تطبيقها، وحللت العديد من المشكلات باستخدام الرسوم البيانية. لقد تعلمت استخدام "الرسوم البيانية" لتوضيح العلاقات الأسرية. لقد درست طريقة الرسم البياني كإحدى طرق حل المشكلات المنطقية.

لا تتم دراسة نظرية الرسم البياني في الدورة المدرسية، ولكن المشاكل في الرياضيات المنفصلة تتم مواجهتها في كثير من الأحيان في مختلف الأولمبياد والمسابقات الرياضية. تُستخدم الرسوم البيانية على نطاق واسع في الرياضيات والتكنولوجيا والاقتصاد والإدارة. تعد المعرفة بأساسيات نظرية الرسم البياني ضرورية في مختلف المجالات المتعلقة بالإنتاج وإدارة الأعمال (على سبيل المثال، جداول إنشاء الشبكات، وجداول تسليم البريد)، وبعد أن تعرفت على عناصر نظرية الرسم البياني، آمل أن أتمكن من ذلك حل ليس فقط مشاكل الأولمبياد بنجاح.

في المستقبل، سأواصل دراسة نظرية الرسم البياني، لأنني وجدت هذا القسم من الرياضيات مثيرًا للاهتمام ومفيدًا. بالإضافة إلى ذلك، أثناء العمل في عملي البحثي، أتقنت العمل على جهاز كمبيوتر في محرر النصوص Word وPower Point. أعتقد أنني حققت أهداف العمل البحثي.

الأدب.

بيريزينا إل يو. الرسوم البيانية وتطبيقاتها. – م، 1979.
فيلينكين ن.يا. الرياضيات. – م.: كلمة روسية, 1997.
غاردنر م. "الترفيه الرياضي" م: مير، 1972
جيدينكو بي.في. دورة نظرية الاحتمالات. - م: URSS، 2005.
كونوفا إل.بي. تلبية التهم. – سمارة، 2001.
ليكوفا آي. ألغاز منطقية – م: كارابوز، 2000.
سافين أ.ف. القاموس الموسوعيعالم الرياضيات الشاب. الطبعة الثانية - م: التربية، 1989
شادرينوفا ف.د. العمليات المعرفية والقدرات في التعلم - م: التربية، 1980
Chistyakov V. P. دورة في نظرية الاحتمالات. م. التربية، 1982.

التطبيقات.
المرفق 1.
لوبوريتس فيكتوريا فلاديميروفنا، ولدت في عام 1994.

لوبوريتس ف.ن

1962
.

أورلوفسكايا إل.

صفحة 1

الجمعية العلمية الطلابية

"يبحث"

قسم علوم الحاسب

العمل العلمي حول الموضوع:

"صاحب الجلالة الكونت"

إجراء: سابوزنيكوفا سفيتلانا،

طالب في الصف السابع

المؤسسة التعليمية البلدية "مدرسة سيرجيفسكايا الثانوية"

أوكونيشنيكوفسكي م.ر

مشرف: جارمس إيلينا أناتوليفنا،

مدرس تكنولوجيا المعلومات

المؤسسة التعليمية البلدية "مدرسة سيرجيفسكايا الثانوية"

أومسك - 2010
محتوى

الجمعية العلمية الطلابية 1

"بحث" 1

العمل العلمي حول الموضوع: 1

مقدمة 3

نظرية الرسم البياني 4

1.2 الرسوم البيانية الأويلرية 7

1.3. مشكلة الجسر، ليونارد أويلر ونظرية الرسم البياني 8

2.1. حل المسائل باستخدام الرسوم البيانية "يوم واحد في حياة الكونت" 11

المراجع 16

مقدمة

أهمية البحث. هذه هي السنة الثانية التي أهتم فيها بالشطرنج وأدرس في المدرسة في نادي الشطرنج "Checkmate". في أحد الفصول كما العمل في المنزلتم اقتراح مهمة كان من الضروري فيها حساب إعادة ترتيب القطع بعدد أقل من الحركات. كيف افعلها؟ بدأت في البحث عن حلول، واتضح أنه يمكن القيام بذلك باستخدام الرسوم البيانية. في السابق، صادفت مفهوم "العد" فقط في دروس التاريخ عند دراسة موضوع النبلاء.

لقد أثارت الرسوم البيانية اهتمامي لقدرتها على المساعدة في حل العديد من الألغاز والمسائل الرياضية والمنطقية. تعد نظرية الرسم البياني حاليًا فرعًا يتطور بشكل مكثف من الرياضيات المنفصلة. يتم تفسير ذلك من خلال حقيقة أن العديد من الأشياء والمواقف موصوفة في شكل نماذج رسومية: شبكات الاتصالات، ودوائر الأجهزة الكهربائية والإلكترونية، والجزيئات الكيميائية، والعلاقات بين الناس، وجميع أنواع أنظمة النقل وأكثر من ذلك بكثير. مهم جدًا للأداء الطبيعي للحياة الاجتماعية. وهذا العامل هو الذي يحدد أهمية دراستهم الأكثر تفصيلاً. قررت معرفة الدور الذي تلعبه الرسوم البيانية في الحياة اليومية.

موضوع الدراسة: مفهوم الرسم البياني
موضوع الدراسة: درجة انتشار استخدام الرسم البياني
الغرض من الدراسة: استكشاف دور الرسوم البيانية في حياتنا.
أهداف البحث:

1. التعرف على تاريخ ظهور الرسوم البيانية.

2. التعرف على المفاهيم الأساسية للرسم البياني وأنواعه وعناصره؛

3.تعلم كيفية حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية.

4. قم بإنشاء شجرة العائلة الخاصة بك.
طرق البحث: جزئيا - البحث والتحليل.

الفصل 1

نظرية الرسم البياني

مفهوم الرسم البياني

كلمة "رسم بياني" في الرياضيات تعني صورة ذات عدة نقاط مرسومة، بعضها متصل بخطوط. إنهم مرتبطون باللقب النبيل "العد" من خلال أصل مشترك من الكلمة اللاتينية "graphio" - أكتب.

في الرياضيات، يتم تعريف الرسم البياني على النحو التالي: "الرسم البياني هو مجموعة محدودة من النقاط، بعضها متصل بخطوط."

في علوم الكمبيوتر، يُفهم الرسم البياني على أنه وسيلة لتمثيل تركيبة النظام وبنيته بشكل مرئي.

يتكون الرسم البياني من القمم وخطوط الاتصال. يمكن تصوير القمم على شكل دوائر أو أشكال بيضاوية أو نقاط أو مستطيلات. يمكن توصيل القمم بأقواس أو حواف.

يتم تمثيل الاتصالات بين القمم بالخطوط. إذا كان الخط موجها (أي بسهم) فيسمى قوسا، وإذا لم يكن موجها (أي بدون سهم) فيسمى حافة. من المقبول عمومًا أن تحل حافة واحدة محل قوسين موجهين في اتجاهين متعاكسين.

يسمى الرسم البياني الذي يتم فيه توجيه جميع الخطوط بالرسم البياني الموجه.

تسمى جميع القمم المتصلة بواسطة قوس أو حافة مجاورة.

على الرغم من أن مصطلح "الرسم البياني" تمت صياغته لأول مرة في عام 1936 من قبل عالم الرياضيات المجري دينيس كونيغ.

بمساعدة الرسوم البيانية، غالبًا ما يتم تبسيط حل المشكلات التي تمت صياغتها في مختلف مجالات المعرفة: في الأتمتة والإلكترونيات والفيزياء والكيمياء وما إلى ذلك. تساعد الرسوم البيانية في حل المشكلات الرياضية والاقتصادية.

يسمى تخطيط الرسم البياني الذي يتكون من رؤوس "معزولة" بالرسم البياني الفارغ. (الصورة 2)

تسمى الرسوم البيانية التي لا يتم إنشاء جميع الحواف الممكنة فيها بالرسوم البيانية غير المكتملة. (تين. 3)

تسمى الرسوم البيانية التي يتم فيها إنشاء جميع الحواف الممكنة بالرسوم البيانية الكاملة. (الشكل 4)

درجات القمم وحساب عدد الحواف.

يُطلق على عدد الحواف التي تغادر قمة الرسم البياني درجة الرأس. تسمى قمة الرسم البياني التي لها درجة فردية غريبة، والقمة التي لها درجة زوجية تسمى زوجية.

إذا كانت درجات جميع رؤوس الرسم البياني متساوية، فإن الرسم البياني يسمى متجانسًا. وبالتالي، فإن أي رسم بياني كامل يكون متجانسًا.

الشكل 5

يوضح الشكل 5 رسمًا بيانيًا بخمسة رؤوس. سيتم الإشارة إلى درجة الرأس A بواسطة St.A.

في الشكل: St.A = 1، St.B = 2، St.B = 3، St.G = 2، St.D = 0.

دعونا نقوم بصياغة بعض الانتظامات المتأصلة في بعض الرسوم البيانية.

النمط 1. درجات رؤوس الرسم البياني الكامل هي نفسها، وكل منها أقل بمقدار 1 من عدد رؤوس هذا الرسم البياني.

دليل:

يكون هذا النمط واضحًا بعد النظر في أي رسم بياني كامل. ترتبط كل قمة بحافة بكل قمة باستثناء نفسها، أي من كل قمة في الرسم البياني الذي يحتوي على رؤوس n، تنبثق حواف n-1، وهو ما يجب إثباته.

النمط 2.

مجموع درجات رؤوس الرسم البياني هو عدد زوجي يساوي ضعف عدد حواف الرسم البياني.

هذا النمط صحيح ليس فقط بالنسبة للرسم البياني الكامل، ولكن أيضًا لأي رسم بياني. دليل:

في الواقع، كل حافة من الرسم البياني تربط بين رأسين. هذا يعني أننا إذا أضفنا عدد درجات جميع رؤوس الرسم البياني، فسنحصل على ضعف عدد الحواف 2R (R هو عدد حواف الرسم البياني)، حيث تم حساب كل حافة مرتين، وهو ما كان مطلوبًا يتم إثباته.

نظرية.

عدد القمم الفردية في أي رسم بياني زوجي.

دليل:

النظر في الرسم البياني التعسفي G. دع عدد القمم في هذا الرسم البياني الذي درجته 1 يساوي K1؛ عدد القمم التي درجتها 2 يساوي K2؛ ...; عدد القمم التي درجتها n يساوي Kn. ثم يمكن كتابة مجموع درجات رؤوس هذا الرسم البياني على النحو التالي

K1 + 2K2 + ZK3 + ...+ نكن.
من ناحية أخرى: إذا كان عدد حواف الرسم البياني هو R، فمن المعروف من القانون 2 أن مجموع درجات جميع رؤوس الرسم البياني يساوي 2R. ومن ثم يمكننا كتابة المساواة
K1 + 2K2 + ZK3 + ... + nKn = 2R. (1)
دعونا نختار على الجانب الأيسر من المساواة مجموعًا يساوي عدد القمم الفردية للرسم البياني (K1 + K3 + ...):
K1 + 2K2 + ZK3 + 4K4 + 5K5 + ... + nK = 2R،
(K1 + K3 + K5 +...) + (2K2 + 2X3 +4K4 + 4K5 + ...)=2R
القوس الثاني هو رقم زوجي كمجموع الأرقام الزوجية. المجموع الناتج (2R) هو رقم زوجي. ومن ثم (K1 + K3 + K5 +...) هو عدد زوجي.
لاحظ أنه إذا كان الرسم البياني الكامل يحتوي على عدد n من الرؤوس، فإن عدد الحواف سيكون مساويًا لـ

في الواقع، يتم تعريف عدد الحواف في الرسم البياني الكامل مع القمم n على أنه عدد الأزواج غير المرتبة المكونة من جميع نقاط الحافة n في الرسم البياني، أي عدد مجموعات n من العناصر 2:
يمكن إكمال الرسم البياني غير المكتمل ليكتمل بنفس القمم عن طريق إضافة الحواف المفقودة. على سبيل المثال، يوضح الشكل 3 رسمًا بيانيًا غير مكتمل بخمسة رؤوس. في الشكل 4، تم تصوير الحواف التي تحول الرسم البياني إلى رسم بياني كامل بلون مختلف؛ وتسمى مجموعة رؤوس الرسم البياني مع هذه الحواف مكملة الرسم البياني.

1.2 الرسوم البيانية الأويلرية

يسمى الرسم البياني الذي يمكن رسمه دون رفع القلم الرصاص عن الورقة بالرسم البياني الأويلري. (الشكل 6)

تمت تسمية هذه الرسوم البيانية على اسم العالم ليونارد أويلر.

الانتظام 3 (يتبع من النظرية التي درسناها).
من المستحيل رسم رسم بياني بعدد فردي من القمم الفردية.
النمط 4.

إذا كانت جميع رؤوس الرسم البياني متساوية، فيمكنك رسم هذا الرسم البياني دون رفع قلم الرصاص عن الورقة ("بضربة واحدة")، والتحرك على طول كل حافة مرة واحدة فقط. يمكن أن تبدأ الحركة من أي قمة وتنتهي عند نفس القمة.

النمط 5.

يمكن رسم رسم بياني ذو رأسين فرديين فقط دون رفع القلم الرصاص عن الورقة، ويجب أن تبدأ الحركة عند أحد هذه القمم الفردية وتنتهي عند الثاني منهما.

النمط 6.

لا يمكن رسم رسم بياني يحتوي على أكثر من رأسين فرديين باستخدام "ضربة واحدة".

الشكل (الرسم البياني) الذي يمكن رسمه دون رفع قلم الرصاص من الورقة يسمى أحادي الاتجاه.

الشكل 6 (الرسوم البيانية الأويلرية)

الرسوم البيانية المتصلة.

يُسمى الرسم البياني متصلاً إذا كان من الممكن توصيل أي اثنين من رؤوسه بواسطة مسار، أي سلسلة من الحواف، يبدأ كل منها في نهاية الحافة السابقة.

يقال إن الرسم البياني منفصل إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط.

الشكل 7 الشكل 8
من الواضح أن الشكل 7 يظهر رسمًا بيانيًا منفصلاً. على سبيل المثال، إذا قمت برسم حافة بين القمم D وE في الشكل، فسيصبح الرسم البياني متصلاً. (الشكل 8)
في نظرية الرسم البياني، تسمى هذه الحافة (بعد إزالتها التي يتحول فيها الرسم البياني من متصل إلى غير متصل) بالجسر.

من أمثلة الجسور في الشكل 7 الحواف DE وA3 وVZH وما إلى ذلك، حيث يربط كل منها رؤوس الأجزاء "المعزولة" من الرسم البياني (الشكل 8).

يتكون الرسم البياني المنفصل من عدة "قطع". تسمى هذه "القطع" بالمكونات المتصلة للرسم البياني. كل مكون متصل هو بالطبع رسم بياني متصل. لاحظ أن الرسم البياني المتصل يحتوي على مكون واحد متصل.

1.3. مشكلة الجسر، ليونارد أويلر ونظرية الرسم البياني

تقع كونيغسبيرغ السابقة (كالينينغراد الآن) على نهر بريجيل. داخل المدينة، يغسل النهر جزيرتين. تم بناء الجسور من الشواطئ إلى الجزر. لم تنجو الجسور القديمة، ولكن لا تزال هناك خريطة للمدينة حيث تم تصويرها.

اللغز التالي كان شائعا منذ فترة طويلة بين سكان كونيغسبيرغ: كيفية عبور جميع الجسور دون عبور أي منها مرتين؟ حاول العديد من سكان كونيغسبيرغ حل هذه المشكلة نظريًا وعمليًا أثناء المشي. لكن لم ينجح أحد، لكنهم فشلوا أيضًا في إثبات استحالة ذلك من الناحية النظرية.

لقد جذب هذا السؤال انتباه العلماء دول مختلفة. في عام 1736، أثارت مسألة الجسور السبعة اهتمام عالم الرياضيات المتميز، عضو أكاديمية سانت بطرسبورغ للعلوم، ليونارد أويلر، والتي كتب عنها في رسالة إلى عالم الرياضيات والمهندس الإيطالي ماريوني بتاريخ 13 مارس 1736. في هذه الرسالة، كتب أويلر أنه تمكن من العثور على قاعدة يسهل من خلالها تحديد ما إذا كان من الممكن السير عبر جميع الجسور دون المرور فوق أي منها مرتين (في حالة جسور كونيجسبيرج السبعة، هذا مستحيل).

علاوة على ذلك، فهو لم يحل هذه المشكلة المحددة فحسب، بل توصل إلى طريقة عامة لحل المشكلات المماثلة. تصرف أويلر على النحو التالي: "ضغط" الأرض إلى نقاط، و"مد" الجسور إلى خطوط، كما هو موضح في الشكل 9 أ، ب.

الشكل 9

في رسم تخطيطي مبسط لأجزاء المدينة (الرسم البياني)، تتوافق الجسور مع الخطوط (حواف الرسم البياني)، وتتوافق أجزاء المدينة مع النقاط التي تربط الخطوط (رؤوس الرسم البياني). خلال تفكيره، توصل أويلر إلى الاستنتاجات التالية:

عدد القمم الفردية (القمم التي يؤدي إليها عدد فردي من الحواف) للرسم البياني يكون دائمًا زوجيًا. من المستحيل رسم رسم بياني يحتوي على عدد فردي من القمم الفردية.

إذا كانت جميع رؤوس الرسم البياني متساوية، فيمكنك رسم رسم بياني دون رفع قلم الرصاص عن الورقة، ويمكنك البدء من أي رأس في الرسم البياني وإنهائه عند نفس الرأس.

لا يمكن رسم رسم بياني يحتوي على أكثر من رأسين فرديين بضربة واحدة.

دعونا صياغة المهمة في متناول اليد بوضوح. في أي حالة يمكن اجتياز جميع حواف الرسم البياني، وتمرير كل منها مرة واحدة بالضبط؟ وتبين أن الحل بسيط للغاية. دعونا نحسب عدد الحواف التي تخرج من كل قمة. بعض هذه الأرقام ستكون زوجية وبعضها الآخر سيكون فرديًا. سوف نسمي الرءوس نفسها حتى لو كان لها عدد زوجي من الأضلاع، وسنسميها فردية بخلاف ذلك. كما نعلم بالفعل: عدد الحواف الخارجة من قمة معينة يسمى درجة الرأس. قمة الرسم البياني الذي لديه درجة غريبة، تسمى فردية، والدرجة الزوجية تسمى زوجية.
يحتوي الرسم البياني لجسور كونيجسبيرج على أربعة قمم فردية، لذلك من المستحيل السير عبر جميع الجسور دون المرور فوق أحدها مرتين.

أثناء حل المشكلة المتعلقة بجسور كونيجسبيرج، أنشأ أويلر، على وجه الخصوص، خصائص الرسم البياني:

إذا كانت جميع رؤوس الرسم البياني متساوية، فيمكنك رسم رسم بياني بضربة واحدة (أي دون رفع القلم الرصاص عن الورقة ودون الرسم مرتين على نفس الخط). وفي هذه الحالة يمكن أن تبدأ الحركة من أي قمة وتنتهي عند نفس القمة.
يمكن أيضًا رسم رسم بياني ذو رأسين فرديين بضربة واحدة. يجب أن تبدأ الحركة من أي قمة فردية وتنتهي عند قمة فردية أخرى.
لا يمكن رسم رسم بياني يحتوي على أكثر من رأسين فرديين بضربة واحدة.

في مشكلة جسور كونيجسبيرج، تكون جميع القمم الأربعة للرسم البياني المقابل غريبة، أي أنه من المستحيل السير عبر جميع الجسور مرة واحدة وإنهاء المسار من حيث بدأ.
الأشجار.

الشجرة هي أي رسم بياني متصل لا يحتوي على دورات. لقد اتفقنا على اعتبار أي رسم بياني يتكون من قمة واحدة (معزولة) بمثابة "شجرة".

الدورة هي المسار الذي تتزامن فيه البداية والنهاية.

إذا كانت جميع رؤوس الدورة مختلفة، فإن هذه الدورة تسمى دورة أولية (أو بسيطة). إذا كانت الدورة تتضمن جميع حواف الرسم البياني مرة واحدة، فإن هذه الدورة تسمى خط أويلر (الشكل 10 أ). يحتوي الرسم البياني في الشكل 10ب على دورتين: 1-2-3-4-1 و5-6-7-5.

المسار في الرسم البياني من قمة إلى أخرى هو سلسلة من الحواف التي يمكن من خلالها وضع مسار بين هذه القمم. في هذه الحالة، يجب ألا تظهر حافة المسار أكثر من مرة. تسمى القمة التي يتم وضع المسار منها بداية المسار، والذروة في نهاية المسار هي نهاية المسار.

القمة المعلقة هي قمة تظهر منها حافة واحدة بالضبط. (الشكل 12)

الشكل 10 أ؛ب
الخاصية 1.

لكل زوج من رؤوس الأشجار، هناك مسار فريد يربط بينهما.

تستخدم هذه الخاصية عند العثور على جميع الأسلاف في شجرة العائلة، على سبيل المثال، في الخط الذكوري، لأي شخص يتم تمثيل نسبه على شكل شجرة العائلة، وهي “شجرة” بمعنى نظرية الرسم البياني.

الملكية 2.

كل حافة في الشجرة هي جسر.

في الواقع، بعد إزالة أي حافة من الشجرة، فإنها "تنقسم" إلى شجرتين.

الشكل 12 (القمم المعلقة محاطة بدائرة)
الرسم البياني الذي يرتبط فيه أي رأسين بمسار واحد بسيط هو شجرة.

دليل:

ومن الواضح أن هذا الرسم البياني متصل. لنفترض أن لديها حلقة. ثم يتم ربط أي رأسين من هذه الدورة بمسارين بسيطين على الأقل. لقد حصلنا على تناقض، مما يعني أن افتراضنا غير صحيح.

الشجرة عبارة عن رسم بياني يتم فيه ربط أي رأسين بمسار واحد بسيط.

LEMMA (حول الرأس المعلق)

كل شجرة لها قمة معلقة.

دليل:

دعونا نفكر في قمة عشوائية للشجرة ونتبع أي حافة ونتركها إلى قمة أخرى. إذا لم يخرج المزيد من الحواف من الرأس الجديد، فإننا نبقى فيه، وإلا فإننا نتحرك على طول أي حافة أخرى أبعد. من الواضح أننا لن نتمكن أبدًا في هذه الرحلة من الوصول إلى القمة التي زرناها بالفعل: وهذا يعني وجود دورة. وبما أن الرسم البياني يحتوي على عدد محدود من القمم، فيجب أن تنتهي رحلتنا. لكن الأمر لا يمكن أن ينتهي إلا عند قمة معلقة. تم إثبات الليما.

ما الذي يمكن وصفه باستخدام الرسوم البيانية؟ دعونا نشير إلى مجالات تطبيق هذا الوصف.

تستخدم الرسوم البيانية في العديد من المجالات العملية و النشاط العلميمن الناس. من العامة.

على سبيل المثال:

يمكن اعتبار خريطة خطوط مترو الأنفاق بمثابة رسم بياني؛

في الكيمياء، يمكن اعتبار الرسم البياني وسيلة لتمثيل بنية الجزيء؛

في الطب - مسألة فصيلة الدم؛

يمكن تمثيل شجرة العائلة كرسم بياني؛

أنظمة التصنيف في العلوم

الهيكل الهرمي للإدارة الإدارية لمؤسسة أو جامعة أو ما إلى ذلك.

في علوم الكمبيوتر: نظام ملفات القرص، نظام عنوان مجال الإنترنت، المخططات الكتلية للخوارزميات.
ويمكن إعطاء أمثلة أخرى كثيرة ومختلفة..

الفصل 2

2.1. حل المسائل باستخدام الرسوم البيانية "يوم واحد في حياة الكونت"

دعونا نلقي نظرة على حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية من الحياة المدرسية.

مهمة 1.في الصباح، تم إحضار طلاب مدرستنا من قرى فولشينو وأولخوفكا وكوتشكوفاتوي وبافلوفكا المحيطة إلى الفصول الدراسية. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا يمثل معلومات حول الطرق بين أربع قرى: فولشينو، أولخوفكا، كوتشكوفاتوي، بافلوفكا. أوزان القمم هي أسماء القرى، وأوزان الخطوط هي أطوال الطرق بالكيلومترات.

مسار الحافلة عبارة عن رسم بياني.

المهمة 2.عندما التقينا، صافح كل من زملائي في الصف الآخر (صافح كل منهم الآخر). كم عدد المصافحات إذا كان هناك: 1) ثلاثة أصدقاء؛ 2) أربعة؛ 3) خمسة؟

حل.

يتم حل المشكلة باستخدام الرسوم البيانية كاملة.

1) التقى ثلاثة أشخاص:

عدد المصافحات يساوي عدد الحواف، أي 3.

2) التقى أربعة أشخاص:

عدد الأضلاع 6؛ 6 مصافحات ممكنة.

3) التقى خمسة أشخاص:

هناك 10 حواف في الرسم البياني؛ ربما 10 مصافحات.

الجواب: 1)3؛ 2)6; 3)10.
وفقًا للجدول لدينا ستة دروس: الهندسة والتاريخ وعلوم الكمبيوتر والجغرافيا واللغة الروسية والفيزياء.
المهمة 3.في أحد دروس الهندسة، تم اقتراح إنشاء رسم بياني لتصنيف الكائنات الهندسية. لقد أصبح من السهل القيام بذلك باستخدام مفهوم الرسم البياني.

المشكلة 4. وفي صف التاريخ كان علينا أن نصنع شجرة عائلة. شجرة العائلة. يستخدم التهم والنبل. على سبيل المثال، في شجرة العائلة، تكون القمم أعضاء في العشيرة، والأجزاء التي تربطهم هي علاقات القرابة.

يعلم الجميع أن كلمة "عد" تعني اللقب النبيل، على سبيل المثال، العد ليف نيكولاييفيتش تولستوي. يوجد رسم بياني آخر في الشكل - جزء من شجرة عائلة الكونت إل.ن. تولستوي. القمم هنا هي أسلاف الكاتب، والحواف تظهر الروابط العائلية بينهما.

المشكلة 5. التقينا في صف علوم الكمبيوتر موضوع جديد"الخوارزميات". ولدهشتي، اتضح أن المخطط الهيكلي هو رسم بياني موجه، والمخطط الهيكلي للخوارزمية هو رسم بياني لعملية التحكم لبعض المنفذين. تشير الكتل - رؤوس هذا الرسم البياني - إلى الأوامر الفردية، وتشير الأقواس إلى تسلسل التحولات من أمر إلى آخر. في الخوارزمية، أي مسار يبدأ من قمة البداية وينتهي بمخرج إلى قمة النهاية. في الداخل، قد يكون المسار مختلفًا اعتمادًا على البيانات المصدر.

المهمة 6.في درس الجغرافيا نظرنا إلى فقرة. وللعثور عليه بشكل أسرع، قمت بفتح المحتويات في نهاية الكتاب المدرسي. ولدهشتي لاحظت أن بنية أقسام الكتاب المدرسي تنعكس على شكل شجرة.

المشكلة 7. خلال درس اللغة الروسية كان الموضوع هو "الأرقام" واقترح المعلم أن نقوم بعمل ملخص داعم.

يتم تصنيف الأرقام في اللغة الروسية حسب التركيب والمعنى. بناءً على تركيبها، يتم تقسيمها إلى بسيطة ومعقدة ومركبة. مثال على الأعداد البسيطة: أربعة، خمسة. مثال على الأعداد المركبة: ستين، خمسمائة. مثال على الأرقام المركبة: 35، 154. بناءً على معناها، تنقسم الأرقام إلى ترتيبي وكاردينال. مثال على الأعداد الترتيبية: الثاني، التاسع. مثال على الأعداد الأصلية: ستة، اثنان.

بعد انتهاء الدرس ذهبنا جميعا إلى الكافتيريا حيث تم تقديم وجبة الغداء. أنا أحب البرش، وجارتي في المكتب هي راسولنيك.

المشكلة 8. تقدم غرفة الطعام طبقين أولين: بورشت، راسولنيك، بالإضافة إلى أربع أطباق ثانية: جولاش، شرحات، نقانق، زلابية. قم بإدراج جميع الوجبات المكونة من طبقتين والتي قد يطلبها العشاء. وضّح إجابتك من خلال إنشاء شجرة من الخيارات الممكنة.

حل.

للإشارة إلى جميع الوجبات المكونة من طبقتين، سنفكر بهذه الطريقة.

دعونا نختار دورة أولى (بورشت) ونضيف إليها دورات ثانية مختلفة واحدة تلو الأخرى

الإجابة: 8 وجبات مختلفة من طبقتين.

تعليق. في المشكلة، يتم اتخاذ خيارين، ولكن كل اختيار يكون من مجموعة الخيارات الخاصة به.

الجواب: 6 مجموعات.

عندما وصلت إلى المنزل، أنهيت جميع واجباتي المنزلية بسرعة. وقد ساعدتني الشبكة الدلالية، وهي نموذج معرفي على شكل رسم بياني، في ذلك. يعتمد على فكرة أن أي معرفة يمكن تمثيلها كمجموعة من الأشياء (المفاهيم) والروابط (العلاقات) فيما بينها.

بعد المدرسة، في فصول نوادي "المعلوماتية الترفيهية" و"التحقق والبساطة"، بفضل نظرية الرسم البياني، تمكنا بسهولة من حل المشكلات المنطقية.

في المساء طلبت مني والدتي أن أذهب إلى المتجر لشراء الخبز. يتكون نظام "مخزن الخبز" من العناصر التالية: الخبز، البائع، المشتري، العداد، السيارة، السائق، المحمل، المال، الشيك. رؤوس الرسم البياني هي الكائنات المدرجة، والأقواس هي العلاقات بينهما. عند عودتي إلى المنزل من المتجر، وجدت نفسي قسريًا أفكر في التهم: التهم تحيط بي في كل مكان.

لذلك أصبح التهم أفضل أصدقائي. لاحظ زملائي والمعلمون أن أدائي في المواد قد تحسن. لكنني أعلم أن هذا بفضل "جلالة الكونت"!

خاتمة

الرسوم البيانية هي كائنات رياضية رائعة يمكن استخدامها لحل المشكلات الرياضية والاقتصادية والمنطقية. يمكنك أيضًا حل الألغاز المختلفة وتبسيط شروط المشكلات في الفيزياء والكيمياء والإلكترونيات والأتمتة. تُستخدم الرسوم البيانية في تجميع الخرائط وأشجار العائلة.

حتى أن هناك قسمًا خاصًا في الرياضيات يسمى "نظرية الرسم البياني". تعرض الرسوم البيانية الحقائق التي تتم دراستها في شكل مرئي. تعتبر تقنيات حل المشكلات المنطقية باستخدام الرسوم البيانية آسرة بطبيعتها وبساطتها، مما يلغي التفكير غير الضروري، مما يقلل في كثير من الحالات من الحمل على الذاكرة.

تعد نظرية الرسم البياني حاليًا فرعًا يتطور بشكل مكثف من الرياضيات المنفصلة. ويفسر ذلك حقيقة أن العديد من الأشياء والمواقف موصوفة في شكل نماذج رسومية: شبكات الاتصالات، ودوائر الأجهزة الكهربائية والإلكترونية، والجزيئات الكيميائية، والعلاقات بين الناس، وأكثر من ذلك بكثير.

تتمتع المسائل البيانية بعدد من المزايا التي تتيح استخدامها لتنمية الخيال وتحسين التفكير المنطقي، كما أنها قابلة للتطبيق في حل العديد من المسائل الهندسية.

فهرس

1. Genkin، S. A، Itenberg I. V. Leningrad الدوائر الرياضية: دليل ل

الأنشطة اللامنهجية.-كيروف، 1994.

2. جورباتشوف، ف.ج. مجموعة مسائل الأولمبياد في الرياضيات - م، 2004.

3. إجناتيف إي. الدهاء الرياضي. - موسكو 1994

4. الخام، الرسوم البيانية وتطبيقاتها، موسكو، 1979.

5. بيرلمان، يا.آي. مهام ممتعة - موسكو 2003

6. مجلة الفيزياء والرياضيات "كفانت"، أ. سافين، العدد 6، 1994.

صفحة 1

المدينة العلمية الثالثة

مؤتمر طلابي

علوم الكمبيوتر والرياضيات

بحث

دوائر أويلر ونظرية الرسم البياني في حل المشكلات

الرياضيات المدرسية وعلوم الكمبيوتر

فالييف عيرات

المؤسسة التعليمية البلدية

"المدرسة الثانوية رقم 10 مع دراسة متعمقة

المواد الفردية"، فئة 10 ب، نيجنكامسك

المشرفون العلميون:

خليلوفا نفيس زينياتولوفنا، مدرس رياضيات

مدرس تكنولوجيا المعلومات

نابريجناي تشيلني

مقدمة. 3

الفصل 1. دوائر أويلر. 4

1.1. الأسس النظرية لدوائر أويلر. 4

1.2. حل المسائل باستخدام دوائر أويلر. 9

الفصل 2. حول الأعمدة 13

2.1 نظرية الرسم البياني. 13

2.2. حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية. 19

خاتمة. 22

فهرس. 22

مقدمة

"كل كرامتنا تكمن في الفكر.

إنه ليس مساحة، وليس وقتًا لا يمكننا ملئه،

يرفعنا، أي هو، فكرنا.

دعونا نتعلم كيف نفكر بشكل جيد."

ب. باسكال،

ملاءمة.المهمة الرئيسية للمدرسة ليست تزويد الأطفال بكمية كبيرة من المعرفة، ولكن تعليم الطلاب اكتساب المعرفة بأنفسهم، والقدرة على معالجة هذه المعرفة وتطبيقها في الحياة اليومية. يمكن حل المهام المحددة من قبل طالب ليس لديه القدرة على العمل بشكل جيد وبجد فحسب، بل أيضًا طالب يتمتع بتفكير منطقي متطور. وفي هذا الصدد كثير مستلزمات المدرسةيتم تضمين أنواع مختلفة من المهام التي تعمل على تطوير التفكير المنطقي لدى الأطفال. عند حل هذه المشاكل، نستخدم تقنيات الحل المختلفة. إحدى طرق الحل هي استخدام دوائر أويلر والرسوم البيانية.

الغرض من الدراسة: دراسة المواد المستخدمة في دروس الرياضيات وعلوم الحاسوب، حيث تستخدم دوائر أويلر ونظرية المخططات كأحد طرق حل المسائل.

أهداف البحث:

1. دراسة الأسس النظرية لمفاهيم: "الدوائر الأويلرية"، "الرسوم البيانية".

2. حل مشاكل المقرر الدراسي باستخدام الطرق المذكورة أعلاه.

3. قم بتجميع مجموعة مختارة من المواد لاستخدامها من قبل الطلاب والمعلمين في دروس الرياضيات وعلوم الكمبيوتر.

فرضية البحث:يؤدي استخدام دوائر أويلر والرسوم البيانية إلى زيادة الوضوح عند حل المشكلات.

موضوع الدراسة:المفاهيم: "دوائر أويلر"، "الرسوم البيانية"، مشاكل الدورة المدرسية في الرياضيات وعلوم الكمبيوتر.

الفصل 1. دوائر أويلر.

1.1. الأسس النظرية لدوائر أويلر.

دوائر أويلر (دوائر أويلر) هي طريقة للنمذجة مقبولة في المنطق، وهي تمثيل مرئي للعلاقات بين أحجام المفاهيم باستخدام الدوائر، اقترحها عالم الرياضيات الشهير إل. أويلر (1707-1783).

تم استخدام تسمية العلاقات بين أحجام المفاهيم عن طريق الدوائر من قبل ممثل المدرسة الأفلاطونية الحديثة الأثينية - فيلوبونوس (القرن السادس)، الذي كتب تعليقات على التحليلات الأولى لأرسطو.

من المقبول تقليديًا أن تصور الدائرة بصريًا حجم مفهوم واحد. يعكس نطاق المفهوم مجمل الكائنات من فئة أو أخرى من الكائنات. ولذلك يمكن تمثيل كل كائن من فئة الكائنات بنقطة موضوعة داخل دائرة، كما هو موضح في الشكل:

يتم تصوير مجموعة الكائنات التي تشكل مظهر فئة معينة من الكائنات كدائرة أصغر مرسومة داخل دائرة أكبر، كما هو موضح في الشكل.

https://pandia.ru/text/78/128/images/image003_74.gif" alt="فئات متداخلة" width="200" height="100 id=">!}

هذه هي بالضبط العلاقة الموجودة بين نطاق مفهومي "الطالب" و"عضو كومسومول". بعض الطلاب (وليس كلهم) هم أعضاء في كومسومول؛ بعض (ولكن ليس كل) أعضاء كومسومول هم من الطلاب. يعكس الجزء غير المظلل من الدائرة "أ" ذلك الجزء من نطاق مفهوم "الطالب" الذي لا يتطابق مع نطاق مفهوم "عضو كومسومول"؛ يعكس الجزء غير المظلل من الدائرة B ذلك الجزء من نطاق مفهوم "عضو كومسومول" الذي لا يتطابق مع نطاق مفهوم "الطالب". الجزء المظلل، وهو مشترك في كلتا الدائرتين، يشير إلى الطلاب الذين هم أعضاء كومسومول وأعضاء كومسومول الطلاب.

عندما لا يمكن عرض أي كائن معروض في حجم المفهوم A في وقت واحد في حجم المفهوم B، ففي هذه الحالة يتم تصوير العلاقة بين أحجام المفاهيم عن طريق دائرتين مرسومتين إحداهما خارج الأخرى. ولا يمكن لنقطة واحدة تقع على سطح دائرة أن تكون على سطح دائرة أخرى.

https://pandia.ru/text/78/128/images/image005_53.gif" alt=" مفاهيم لها نفس الأحجام - دوائر متزامنة" width="200" height="100 id=">!}

مثل هذه العلاقة موجودة، على سبيل المثال، بين مفهومي “مؤسس المادية الإنجليزية” و”مؤلف الأورغانون الجديد”. نطاق هذه المفاهيم هو نفسه، فهي تعكس نفس الشخصية التاريخية - الفيلسوف الإنجليزي ف. بيكون.

غالبا ما يحدث مثل هذا: مفهوم واحد (عام) يخضع لعدة مفاهيم محددة في وقت واحد، والتي تسمى في هذه الحالة المرؤوس. يتم تصوير العلاقة بين هذه المفاهيم بصريًا من خلال دائرة كبيرة وعدة دوائر أصغر يتم رسمها على سطح الدائرة الأكبر:

https://pandia.ru/text/78/128/images/image007_46.gif" alt="مفاهيم معاكسة" width="200" height="100 id=">!}

في الوقت نفسه، من الواضح أنه بين المفاهيم المعاكسة، من الممكن أن يكون هناك ثالث، متوسط، لأنها لا تستنفد تماما نطاق المفهوم العام. هذه هي بالضبط العلاقة الموجودة بين مفهومي "الخفيف" و"الثقيل". إنهما متنافيان. من المستحيل أن نقول عن نفس الشيء، مأخوذا في نفس الوقت وبنفس العلاقة، أنه خفيف وثقيل في نفس الوقت. ولكن بين هذه المفاهيم هناك حل وسط، ثالث: الأشياء ليست فقط خفيفة الوزن وثقيلة، ولكن أيضا متوسطة الوزن.

عندما تكون هناك علاقة متناقضة بين المفاهيم، فإن العلاقة بين أحجام المفاهيم يتم تصويرها بشكل مختلف: تنقسم الدائرة إلى قسمين على النحو التالي: أ هو مفهوم عام، ب وغير ب (يشار إليه بـ ب) مفاهيم متناقضة . المفاهيم المتعارضة تستبعد بعضها البعض وتنتمي إلى نفس الجنس، وهو ما يمكن التعبير عنه بالرسم البياني التالي:

https://pandia.ru/text/78/128/images/image009_38.gif" alt="الموضوع ومسند التعريف" width="200" height="100 id=">!}

يبدو الرسم البياني للعلاقة بين أحجام الموضوع والمسند في الحكم الإيجابي العام، وهو ليس تعريفا للمفهوم، مختلفا. في مثل هذا الحكم، يكون نطاق المسند أكبر من نطاق الموضوع؛ ويتم تضمين نطاق الموضوع بالكامل في نطاق المسند. ولذلك يتم تصوير العلاقة بينهما بواسطة الدوائر الكبيرة والصغيرة، كما هو موضح في الشكل:

مكتبات المدرسة" href="/text/category/shkolmznie_biblioteki/" rel="bookmark">مكتبة المدرسة، 20 - في المنطقة. كم عدد طلاب الصف الخامس:

أ) ليسوا قراء مكتبة المدرسة؛

ب) ليسوا قراء مكتبة المنطقة؛

ج) هم قراء مكتبة المدرسة فقط؛

د) هم قراء المكتبة الإقليمية فقط؛

ه) هل هم قراء كلتا المكتبتين؟

3. يتعلم كل طالب في الفصل إما اللغة الإنجليزية أو الفرنسية أو كليهما. اللغة الإنجليزية 25 شخصًا يدرسون اللغة الفرنسية، و27 شخصًا يدرسون اللغة الفرنسية، و18 شخصًا يدرسون اللغتين. كم عدد الطلاب في الفصل؟

4. ارسم على ورقة دائرة بمساحة 78 سم2 ومربع بمساحة 55 سم2. مساحة تقاطع الدائرة مع المربع 30سم2. الجزء الذي لا تشغله الدائرة والمربع من الورقة مساحته 150 سم2. ابحث عن مساحة الورقة.

5. ب روضة أطفال 52 طفلا. كل واحد منهم يحب الكعكة أو الآيس كريم، أو كليهما. نصف الأطفال يحبون الكعك، و20 شخصًا يحبون الكعك والآيس كريم. كم عدد الأطفال الذين يحبون الآيس كريم؟

6. يوجد 86 طالبًا من طلاب المدارس الثانوية في فريق الإنتاج الطلابي. 8 منهم لا يعرفون كيفية تشغيل الجرار أو الحصادة. 54 طالبا يتقنون الجرار جيدا، 62 - الجمع. كم عدد الأشخاص من هذا الفريق الذين يمكنهم العمل على الجرار والحصادة؟

7. يوجد 36 طالبًا في الفصل. يحضر الكثير منهم الأندية: الفيزياء (14 شخصًا)، والرياضيات (18 شخصًا)، والكيمياء (10 أشخاص). بالإضافة إلى ذلك، من المعروف أن شخصين يحضران الحلقات الثلاث؛ من بين أولئك الذين يحضرون دائرتين، 8 أشخاص يشاركون في دوائر رياضية وفيزيائية، و5 في دوائر رياضية وكيميائية، و3 في دوائر فيزيائية وكيميائية. كم عدد الأشخاص الذين لا يحضرون أي الأندية؟

8. شارك 100 طالب من طلاب الصف السادس في مدرستنا في استطلاع لمعرفة ألعاب الكمبيوتر التي يفضلونها أكثر: أجهزة المحاكاة أو المهام أو الاستراتيجيات. نتيجة لذلك، قام 20 مشاركا بتسمية المحاكاة، 28 - أسئلة، 12 - استراتيجيات. اتضح أن 13 تلميذاً يعطون تفضيلًا متساويًا للمحاكاة والمهام، و 6 طلاب - للمحاكاة والاستراتيجيات، و 4 طلاب - للمهام والاستراتيجيات، و 9 طلاب غير مبالين تمامًا بما ذكر العاب كمبيوتر. أجاب بعض تلاميذ المدارس أنهم مهتمون بنفس القدر بالمحاكاة والمهام والاستراتيجيات. كم عدد هؤلاء الرجال هناك؟

الإجابات

https://pandia.ru/text/78/128/images/image012_31.gif" alt="Oval: A" width="105" height="105">1.!}

أ- الشطرنج 25-5=20- شعب. تعرف كيف تلعب

ب – لعبة الداما 20+18-20=18 – يلعب الناس كلاً من لعبة الداما والشطرنج

2. ش – كثرة زوار مكتبة المدرسة

ع – كثرة زوار مكتبة المنطقة

https://pandia.ru/text/78/128/images/image015_29.gif" width = "36" height = "90">.jpg" width = "122 height = 110" height = "110">

5. 46. ف - كعكة، م - آيس كريم

6- الأطفال يحبون الكيك

6. 38. T – جرار، K – الجمع

54+62-(86-8)=38 – قادر على العمل على الجرار والحصادة

الرسوم البيانية" ودراسة خصائصها بشكل منهجي.

مفاهيم أساسية.

أول المفاهيم الأساسية لنظرية الرسم البياني هو مفهوم قمة الرأس. في نظرية الرسم البياني يتم اعتباره أساسيًا ولم يتم تعريفه. ليس من الصعب أن تتخيل ذلك على مستواك البديهي. عادةً ما يتم تصوير رؤوس الرسم البياني بشكل مرئي على شكل دوائر ومستطيلات وأشكال أخرى (الشكل 1). يجب أن يكون هناك قمة واحدة على الأقل في كل رسم بياني.

مفهوم أساسي آخر في نظرية الرسم البياني هو الأقواس. عادةً ما تكون الأقواس عبارة عن مقاطع مستقيمة أو منحنية تربط القمم. يجب أن يتطابق كل طرف من طرفي القوس مع بعض القمم. لا يتم استبعاد الحالة التي يتزامن فيها طرفا القوس مع نفس الرأس. على سبيل المثال، في الشكل 2 هناك صور مقبولة للأقواس، وفي الشكل 3 فهي غير مقبولة:

في نظرية الرسم البياني، يتم استخدام نوعين من الأقواس - غير موجهة أو موجهة (موجهة). يسمى الرسم البياني الذي يحتوي على أقواس موجهة فقط بالرسم البياني الموجه أو digraph.

يمكن أن تكون الأقواس أحادية الاتجاه، حيث يكون لكل قوس اتجاه واحد فقط، أو ثنائي الاتجاه.

في معظم التطبيقات، من الممكن دون فقدان المعنى استبدال قوس شامل الاتجاهات بقوس ثنائي الاتجاه، وقوس ثنائي الاتجاه بقوسين أحاديي الاتجاه. على سبيل المثال، كما هو مبين في الشكل. 4.

كقاعدة عامة، يتم إنشاء الرسم البياني على الفور بطريقة تجعل جميع الأقواس لها نفس خاصية الاتجاه (على سبيل المثال، جميعها أحادية الاتجاه)، أو يتم إحضارها إلى هذا النموذج من خلال التحويلات. إذا كان القوس AB موجهاً، فهذا يعني أن طرفيه يعتبر أحدهما (أ) هو البداية، والثاني (ب) هو النهاية. وفي هذه الحالة يقولون أن بداية القوس AB هي القمة A، والنهاية هي القمة B، إذا كان القوس موجهاً من A إلى B، أو أن القوس AB يأتي من الرأس A ويدخل إلى B (الشكل 5). ).

يُطلق على رأسين من الرسم البياني المتصلين ببعض القوس (في بعض الأحيان، بغض النظر عن اتجاه القوس) اسم القمم المجاورة.

أحد المفاهيم المهمة في دراسة الرسوم البيانية هو مفهوم المسار. يتم تعريف المسار A1,A2,...An على أنه تسلسل محدود (tuple) من الرؤوس A1,A2,...An والأقواس A1, 2,A2,3,...,An-1, n متصلة تسلسلياً هذه القمم.

أحد المفاهيم المهمة في نظرية الرسم البياني هو مفهوم الاتصال. إذا كان هناك مسار واحد على الأقل يربط بين رأسين من الرسم البياني، فإن الرسم البياني يسمى متصلاً.

على سبيل المثال، إذا قمت بتصوير نظام الدورة الدموية البشرية على شكل رسم بياني، حيث تتوافق القمم مع الأعضاء الداخلية والأقواس مع الشعيرات الدموية، فمن الواضح أن هذا الرسم البياني مرتبط بشكل واضح. هل من الممكن القول أن نظام الدورة الدموية لشخصين عشوائيين هو رسم بياني منفصل؟ من الواضح أنه لا، حيث يتم ملاحظة ما يسمى في الطبيعة. "توأم سيامي".

لا يمكن أن يكون الترابط خاصية نوعية للرسم البياني (متصل/منفصل) فحسب، بل هو أيضًا خاصية كمية.

يسمى الرسم البياني متصلاً بـ K إذا كان كل من رؤوسه متصلاً برؤوس K الأخرى. يتحدثون أحيانًا عن الرسوم البيانية الضعيفة والمترابطة بقوة. هذه المفاهيم ذاتية. يطلق الباحث على الرسم البياني ارتباطًا قويًا إذا كان عدد القمم المجاورة لكل رأس من رؤوسه كبيرًا، في رأي الباحث.

في بعض الأحيان يتم تعريف الاتصال على أنه خاصية ليس لكل منها، بل لقمة واحدة (تعسفية). ثم تظهر تعريفات الكتابة: يسمى الرسم البياني متصلاً بـ K إذا كان أحد رؤوسه على الأقل متصلاً برؤوس K الأخرى.

يعرّف بعض المؤلفين الاتصال بأنه القيمة القصوى للخاصية الكمية. على سبيل المثال، يكون الرسم البياني متصلاً بـ K إذا كان هناك رأس واحد على الأقل في الرسم البياني متصل بقمم K المجاورة ولا يوجد قمة متصلة بأكثر من رؤوس K المجاورة.

على سبيل المثال، رسم الأطفالالشخص (الشكل 6) هو رسم بياني بأقصى اتصال يساوي 4.

سمة الرسم البياني الأخرى التي تمت دراستها في عدد من المسائل تسمى في كثير من الأحيان أصل الرسم البياني. يتم تعريف هذه الخاصية على أنها عدد الأقواس التي تربط بين رأسين. في هذه الحالة، غالبًا ما يتم النظر إلى الأقواس ذات الاتجاه المعاكس بشكل منفصل.

على سبيل المثال، إذا كانت رؤوس الرسم البياني تمثل عقد معالجة المعلومات، وكانت الأقواس عبارة عن قنوات أحادية الاتجاه لنقل المعلومات فيما بينها، فإن موثوقية النظام لا تتحدد من خلال العدد الإجمالي للقنوات، ولكن من خلال أصغر عدد من القنوات في اي اتجاه.

يمكن تحديد العلاقة الأساسية، مثل الاتصال، لكل زوج من رؤوس الرسم البياني، ولبعض الأزواج (التعسفية).

السمة الأساسية للرسم البياني هي أبعاده. يُفهم هذا المفهوم عادةً على أنه عدد القمم والأقواس الموجودة في الرسم البياني. في بعض الأحيان يتم تعريف هذه الكمية على أنها مجموع كميات العناصر من كلا النوعين، وأحيانا كمنتج، وأحيانا بعدد عناصر نوع واحد فقط (واحد أو آخر).

أنواع الرسوم البيانية.

الكائنات التي تم تصميمها بواسطة الرسوم البيانية ذات طبيعة متنوعة للغاية. أدت الرغبة في عكس هذه الخصوصية إلى الوصف كمية كبيرةأنواع الرسوم البيانية. وتستمر هذه العملية حتى يومنا هذا. يقدم العديد من الباحثين، لأغراضهم الخاصة، أصنافًا جديدة ويقومون بدراستهم الرياضية بنجاح أكبر أو أقل.

في قلب كل هذا التنوع هناك العديد من الأفكار البسيطة إلى حد ما، والتي سنتحدث عنها هنا.

تلوين

يعد تلوين الرسم البياني طريقة شائعة جدًا لتعديل الرسوم البيانية.

تتيح لك هذه التقنية زيادة وضوح النموذج وزيادة عبء العمل الرياضي. يمكن أن تكون طرق إدخال اللون مختلفة. يتم تلوين كل من الأقواس والقمم وفقًا لقواعد معينة. يمكن تحديد اللون مرة واحدة أو تغييره بمرور الوقت (أي عندما يكتسب الرسم البياني أي خصائص)؛ يمكن تحويل الألوان وفقا لقواعد معينة، الخ.

على سبيل المثال، لنفترض أن الرسم البياني يمثل نموذجًا للدورة الدموية البشرية، حيث تتوافق القمم مع الأعضاء الداخلية، والأقواس تتوافق مع الشعيرات الدموية. دعونا نلون الشرايين باللون الأحمر والأوردة باللون الأزرق. إذن من الواضح أن العبارة التالية صحيحة - في الرسم البياني قيد النظر (الشكل 8) هناك رأسان فقط بأقواس حمراء صادرة (يظهر اللون الأحمر بالخط العريض في الشكل).

طول

في بعض الأحيان يكون لعناصر الكائن التي تم تصميمها بواسطة القمم شخصيات مختلفة بشكل كبير. أو، أثناء عملية إضفاء الطابع الرسمي، يتضح أنه من المفيد إضافة بعض العناصر الوهمية إلى العناصر الموجودة بالفعل في الكائن. في هذه الحالة وبعض الحالات الأخرى، من الطبيعي تقسيم رؤوس الرسم البياني إلى فئات (أسهم). يسمى الرسم البياني الذي يحتوي على رؤوس من نوعين ثنائي الأطراف، وما إلى ذلك. وفي هذه الحالة، يتم تضمين القواعد المتعلقة بالعلاقات بين القمم في قيود الرسم البياني أنواع مختلفة. على سبيل المثال: "لا يوجد قوس يربط القمم من نفس النوع." يُطلق على أحد أنواع الرسوم البيانية من هذا النوع اسم "شبكة بيتري" (الشكل 9) وهو منتشر على نطاق واسع. سيتم مناقشة شبكات بيتري بمزيد من التفصيل في المقالة التالية في هذه السلسلة.

يمكن تطبيق مفهوم الوديان ليس فقط على القمم، ولكن أيضًا على الأقواس.

2.2. حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية.

1. مشكلة حول جسور كونيجسبيرج.في التين. يُظهر الشكل 1 مخططًا تخطيطيًا للجزء الأوسط من مدينة كونيغسبيرغ (كالينينغراد حاليًا)، بما في ذلك ضفتي نهر بيرجولا وجزيرتين فيه وسبعة جسور متصلة. وتتمثل المهمة في الالتفاف حول الأجزاء الأربعة من الأرض، وعبور كل جسر مرة واحدة، والعودة إلى نقطة البداية. تم حل هذه المشكلة (تبين أنه لا يوجد حل) على يد أويلر في عام 1736. (الشكل 10).

2. مشكلة ثلاثة بيوت وثلاثة آبار.هناك ثلاثة منازل وثلاثة آبار، تقع بطريقة أو بأخرى على متن طائرة. ارسم مساراً من كل منزل إلى كل بئر بحيث لا تتقاطع المسارات (شكل 2). تم حل هذه المشكلة (تبين أنه لا يوجد حل) على يد كوراتوفسكي في عام 1930. (الشكل 11).

3. مشكلة الألوان الأربعة.يسمى تقسيم المستوى إلى مناطق غير متداخلة بالخريطة. تسمى المناطق الموجودة على الخريطة متجاورة إذا كان لها حدود مشتركة. تتمثل المهمة في تلوين الخريطة بحيث لا يتم رسم منطقتين متجاورتين بنفس اللون (الشكل 12). ومنذ نهاية القرن قبل الماضي، عُرفت فرضية أن أربعة ألوان كافية لذلك. في عام 1976، نشر أبيل وهايكن حلاً لمشكلة الألوان الأربعة، والذي كان يعتمد على البحث في الكمبيوتر. وكان حل هذه المشكلة "برمجيا" بمثابة سابقة أثارت جدلا ساخنا لم ينته بعد. يتمثل جوهر الحل المنشور في تجربة عدد كبير ولكن محدود (حوالي 2000) من الأمثلة المضادة المحتملة لنظرية الألوان الأربعة وإظهار أنه لا توجد حالة واحدة تعتبر مثالًا مضادًا. تم الانتهاء من هذا البحث بواسطة البرنامج في حوالي ألف ساعة من تشغيل الكمبيوتر العملاق. من المستحيل التحقق من الحل الناتج "يدويًا" - فنطاق التعداد يتجاوز القدرات البشرية بكثير. يطرح العديد من علماء الرياضيات السؤال التالي: هل يمكن اعتبار مثل هذا "الدليل البرنامجي" دليلاً صالحًا؟ بعد كل شيء، قد تكون هناك أخطاء في البرنامج... لا تنطبق طرق إثبات صحة البرامج رسميًا على برامج بهذا التعقيد مثل تلك التي تتم مناقشتها. لا يمكن للاختبار أن يضمن عدم وجود أخطاء، وفي هذه الحالة يكون الأمر مستحيلًا بشكل عام. وبالتالي، لا يمكننا الاعتماد إلا على مهارات البرمجة للمؤلفين ونعتقد أنهم فعلوا كل شيء بشكل صحيح.

مهام دوديني.

1. يعمل سميث وجونز وروبنسون في نفس طاقم القطار كسائق ومحصل ورجل إطفاء. لا يتم بالضرورة تسمية مهنهم بنفس ترتيب ألقابهم. يوجد ثلاثة ركاب يحملون نفس الأسماء الأخيرة في القطار الذي يخدمه اللواء. في المستقبل، سنطلق على كل راكب بكل احترام لقب "السيد".

2. يعيش السيد روبنسون في لوس أنجلوس.

3. يعيش الموصل في أوماها.

4. لقد نسي السيد جونز منذ فترة طويلة كل الجبر الذي تعلمه في الكلية.

5. يعيش الراكب، الذي يحمل الاسم نفسه للمحصل، في شيكاغو.

6. المحصل وأحد الركاب خبير مشهور في الفيزياء الرياضية رغم أنهما يذهبان إلى نفس الكنيسة.

7. يفوز سميث دائمًا على رجل الإطفاء عندما يلتقيان في لعبة البلياردو.

ما هو الاسم الأخير للسائق؟ (الشكل 13)

هنا 1-5 هو عدد الحركات، بين قوسين عدد نقاط المشكلة التي على أساسها تم إجراء الحركات (الاستنتاجات). ويستنتج من الفقرة 7 أيضًا أن رجل الإطفاء ليس سميث، وبالتالي فإن سميث هو الميكانيكي.

خاتمة

يتيح لنا تحليل المواد النظرية والعملية حول الموضوع قيد الدراسة استخلاص استنتاجات حول نجاح استخدام دوائر أويلر والرسوم البيانية لتنمية التفكير المنطقي لدى الأطفال، وغرس الاهتمام بالمادة قيد الدراسة، واستخدام الوسائل البصرية في الدروس، وكذلك كتقليص المشكلات الصعبة إلى مشكلات سهلة الفهم والحل.

فهرس

1. "المهام الترفيهية في علوم الحاسوب"، موسكو، 2005

2. "سيناريوهات العطلات المدرسية" بقلم إي. فلاديميروفا، روستوف أون دون، 2001

3. مهام للفضوليين. ، م، التربية، 1992،

4. العمل اللامنهجي في الرياضيات، ساراتوف، صالة حفلات، 2002.

5. عالم الأرقام الرائع. ، .، م.، التربية، 1986،

6. الجبر: كتاب مدرسي للصف التاسع. ، وآخرون، أد. - م: التنوير، 2008