تطبيق الدوال المثلثية العكسية في الحياة. تاريخ علم المثلثات: الظهور والتطور

المؤسسة التعليمية البلدية

"صالة الألعاب الرياضية رقم 1"

"علم المثلثات في الحياة الحقيقية"

مشروع المعلومات

مكتمل:

كراسنوف إيجور

طالب في الصف 9أ

مشرف:

بورودكينا تاتيانا إيفانوفنا

زيليزنوجورسك

مقدمة ……………………………………………………………………………………………………….3

الصلة ………………………………………………………………………….3

الهدف ………………………………………………………………………………………………………………………………… 4

المهام …………………………………………….4

1.4 الطرق ……………………………………………….4

2. علم المثلثات وتاريخ تطوره…………………………..5

2.1 علم المثلثات ومراحل التكوين …………………….5

2.2 علم المثلثات كمصطلح. الخصائص ……………….7

2.3 حدوث الجيب ............................................ 7

2.4 ظهور جيب التمام ……………………………………….8

2.5 ظهور الظل وظل التمام ...........................9

2.6 مزيد من التطويرعلم المثلثات ……………………..9

3. علم المثلثات والحياة الواقعية………………………………….12

3.1.الملاحة................................................................... 12

3.2 الجبر .......................................................................... 14

3.3 الفيزياء ........................................................... 14

3.4.الطب والبيولوجيا والإيقاعات الحيوية................................. 15

3.5. الموسيقى …………………………………………………………..19

3.6.المعلوماتية.................................................. 21

3.7 قطاع البناء والجيوديسيا................................. 22

3.8 علم المثلثات في الفن والعمارة ........................22

خاتمة. ……………………………………………………………………..25

المراجع ........................................ 27

الملحق 1................................................................................................. 29

مقدمة

في العالم الحديث، يتم إيلاء اهتمام كبير للرياضيات باعتبارها واحدة من المجالات النشاط العلميوالدراسة. كما نعلم، أحد مكونات الرياضيات هو علم المثلثات. علم المثلثات هو فرع الرياضيات الذي يدرس الدوال المثلثية. أعتقد أن هذا الموضوع، أولا، ذو صلة من وجهة نظر عملية. نحن ننهي دراستنا في المدرسة، وندرك أن معرفة علم المثلثات ضرورية للعديد من المهن، لأن... يتيح لك قياس المسافات إلى النجوم القريبة في علم الفلك، وبين المعالم في الجغرافيا، والتحكم في أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية. تُستخدم مبادئ علم المثلثات أيضًا في مجالات مثل نظرية الموسيقى، والصوتيات، والبصريات، وتحليل السوق المالية، والإلكترونيات، ونظرية الاحتمالات، والإحصاء، وعلم الأحياء، والطب (بما في ذلك الموجات فوق الصوتية والتصوير المقطعي المحوسب)، والمستحضرات الصيدلانية، والكيمياء، ونظرية الأعداد (و، كما ونتيجة لذلك، التشفير)، وعلم الزلازل، والأرصاد الجوية، وعلم المحيطات، ورسم الخرائط، والعديد من فروع الفيزياء، والتضاريس والجيوديسيا، والهندسة المعمارية، وعلم الصوتيات، والاقتصاد، والهندسة الإلكترونية، والهندسة الميكانيكية، ورسومات الكمبيوتر، وعلم البلورات.

ثانيًا، ملاءمةموضوع "علم المثلثات في الحياة الواقعية" هو أن معرفة علم المثلثات ستفتح طرقًا جديدة لحل المشكلات المختلفة في العديد من مجالات العلوم وتبسيط فهم جوانب معينة من العلوم المختلفة.

لقد كانت الممارسة الراسخة منذ فترة طويلة أن يواجه تلاميذ المدارس علم المثلثات ثلاث مرات. لذا يمكننا القول إن علم المثلثات يتكون من ثلاثة أجزاء. هذه الأجزاء مترابطة وتعتمد على الوقت. في الوقت نفسه، فهي مختلفة تماما، ليس لديها ميزات متشابهة سواء من حيث المعنى المنصوص عليه عند شرح المفاهيم الأساسية، أو من حيث الوظائف.

التعارف الأول يحدث في الصف الثامن. هذه هي الفترة التي يتعلم فيها تلاميذ المدارس: "العلاقات بين جوانب وزوايا المثلث القائم الزاوية". في عملية دراسة علم المثلثات، يتم إعطاء مفاهيم جيب التمام والجيب والظل.

الخطوة التالية هي مواصلة التعلم عن علم المثلثات في الصف التاسع. يزداد مستوى التعقيد وتتغير طرق وأساليب حل الأمثلة. الآن، بدلاً من جيب التمام والظلال، تأتي الدائرة وقدراتها.

المرحلة الأخيرة هي الصف العاشر، حيث يصبح حساب المثلثات أكثر تعقيدًا وتتغير طرق حل المشكلات. تم تقديم مفهوم قياس زاوية الراديان. يتم عرض الرسوم البيانية للدوال المثلثية. على في هذه المرحلةيبدأ الطلاب في الحل والدراسة المعادلات المثلثية. ولكن ليس الهندسة. لفهم علم المثلثات بشكل كامل، من الضروري التعرف على تاريخ نشأته وتطوره. بعد الاجتماع معلومات تاريخيةومن خلال دراسة أعمال الشخصيات العظيمة وعلماء الرياضيات والعلماء، يمكننا أن نفهم كيف يؤثر علم المثلثات على حياتنا، وكيف يساعد في إنشاء أشياء جديدة وتحقيق الاكتشافات.

غايةمشروعي هو دراسة تأثير علم المثلثات في حياة الإنسان وتنمية الاهتمام به. بعد حل هذا الهدف، سنكون قادرين على فهم المكان الذي يشغله علم المثلثات في عالمنا، وما هي المشاكل العملية التي يحلها.

ولتحقيق هذا الهدف، حددنا ما يلي مهام:

1. التعرف على تاريخ تكوين وتطوير علم المثلثات؛

2. النظر في أمثلة على التأثير العملي لعلم المثلثات في مختلف مجالات النشاط؛

3. اعرض بالأمثلة إمكانيات علم المثلثات وتطبيقاته في حياة الإنسان.

طُرق:البحث وجمع المعلومات.

1. علم المثلثات وتاريخ تطوره

ما هو علم المثلثات؟ يشير هذا المصطلح إلى فرع من الرياضيات يدرس العلاقة بين أحجام الزوايا المختلفة، ويدرس أطوال أضلاع المثلث والمتطابقات الجبرية للدوال المثلثية. ومن الصعب أن نتصور أن هذا المجال من الرياضيات يقابلنا الحياة اليومية.

1.1 علم المثلثات ومراحل تكوينه

دعنا ننتقل إلى تاريخ تطورها ومراحل تكوينها. منذ العصور القديمة، اكتسب علم المثلثات أساسياته، وطور وأظهر نتائجه الأولى. يمكننا أن نرى المعلومات الأولى عن ظهور وتطور هذا المجال في المخطوطات الموجودة مصر القديمة، بابل، الصين القديمة. بعد دراسة المسألة رقم 56 من بردية ريندا (الألفية الثانية قبل الميلاد)، يمكن للمرء أن يرى أنها تقترح إيجاد ميل الهرم الذي يبلغ ارتفاعه 250 ذراعا. ويبلغ طول ضلع قاعدة الهرم 360 ذراعاً (شكل 1). ومن الغريب أن المصريين استخدموا في نفس الوقت في حل هذه المشكلة نظامين للقياس - "المرفقين" و "الكف". واليوم عند حل هذه المشكلة نجد ظل الزاوية: معرفة نصف القاعدة والقياس (الشكل 1).

وكانت الخطوة التالية هي مرحلة تطور العلم، والتي ارتبطت بالفلكي أريستارخوس الساموسي، الذي عاش في القرن الثالث قبل الميلاد. ه. حددت الأطروحة لنفسها مهمة محددة، مع الأخذ في الاعتبار حجم الشمس والقمر وبعدهما. تم التعبير عن ذلك في الحاجة إلى تحديد المسافة إلى كل جرم سماوي. لإجراء مثل هذه الحسابات، كان من الضروري حساب نسبة أضلاع المثلث القائم الزاوية إلى القيمة المعروفة لإحدى الزوايا. اعتبر أرسطرخوس المثلث القائم الزاوية الذي تشكله الشمس والقمر والأرض أثناء التربيع. لحساب قيمة الوتر الذي يعتبر أساس المسافة من الأرض إلى الشمس، باستخدام الساق التي تكون أساس المسافة من الأرض إلى القمر، مع قيمة معروفة للزاوية المجاورة (87°) وهو ما يعادل حساب القيمة خطيئة الزاوية 3. وفقًا لأريستارخوس، تقع هذه القيمة في النطاق من 1/20 إلى 1/18. وهذا يشير إلى أن المسافة من الشمس إلى الأرض أكبر بعشرين مرة من المسافة من القمر إلى الأرض. ومع ذلك، فنحن نعلم أن الشمس تبعد 400 مرة عن موقع القمر. وقد نشأ الخطأ في التقدير بسبب عدم الدقة في قياس الزاوية.

بعد عدة عقود، قدم كلوديوس بطليموس، في أعماله الخاصة: الجغرافيا العرقية، والأناليما، والبلانيسفيريوم، وصفًا تفصيليًا للإضافات المثلثية إلى رسم الخرائط وعلم الفلك والميكانيكا. من بين أمور أخرى، تم تصوير الإسقاط المجسم، ودراسة عدد من القضايا الواقعية، على سبيل المثال: تحديد ارتفاع وزاوية الجسم السماوي وفقًا لانحرافه وزاوية الساعة. من وجهة نظر علم المثلثات، هذا يعني أنه من الضروري إيجاد ضلع المثلث الكروي بحسب الوجهين الآخرين والزاوية المقابلة (الشكل 2).

مجتمعة، يمكن ملاحظة أن علم المثلثات تم استخدامه لغرض:

تحديد الوقت من اليوم بشكل واضح؛

حساب الموقع القادم للأجرام السماوية، وحلقات شروقها وغروبها، وكسوف الشمس والقمر؛

العثور على الإحداثيات الجغرافية للموقع الحالي.

حساب المسافة بين المدن الكبرى ذات الإحداثيات الجغرافية المعروفة.

عقرب الساعة هو آلية فلكية قديمة، جسم رأسي (شاهدة، عمود، عمود)، والذي يسمح بتحديد الارتفاع الزاوي للشمس باستخدام أقصر طول لظلها عند الظهر (الشكل 3).

وهكذا، تم تمثيل ظل التمام لنا على أنه طول الظل من عقرب عمودي يبلغ ارتفاعه 12 (أحيانًا 7) وحدة. لاحظ أنه في النسخة الأصلية، تم استخدام هذه التعريفات لحساب الساعات الشمسية. تم تمثيل الظل بظل يسقط من عقرب أفقي. يتم فهم قاطع التمام والقاطع على أنهما وتر، والذي يتوافق مع المثلثات القائمة.

1.2 علم المثلثات كمصطلح. صفة مميزة

لأول مرة، ظهر المصطلح المحدد "علم المثلثات" في عام 1505. وقد تم نشره واستخدامه في كتاب من تأليف اللاهوتي وعالم الرياضيات الألماني بارثولوميوس بيتيسكوس. وفي ذلك الوقت، كان العلم يستخدم بالفعل لحل المشكلات الفلكية والمعمارية.

يتميز مصطلح علم المثلثات بجذور يونانية. ويتكون من جزأين: "المثلث" و"القياس". ومن خلال دراسة الترجمة يمكننا القول أن أمامنا علمًا يدرس تغيرات المثلثات. يرتبط ظهور علم المثلثات بمسح الأراضي وعلم الفلك وعملية البناء. على الرغم من أن الاسم ظهر مؤخرًا نسبيًا، إلا أن العديد من التعريفات والبيانات المصنفة حاليًا على أنها علم المثلثات كانت معروفة قبل عام 2000.

1.3. حدوث الجيوب الأنفية

تمثيل الجيب له تاريخ طويل. في الواقع، تم العثور على علاقات مختلفة بين أجزاء المثلث والدائرة (وبالأساس، الدوال المثلثية) في وقت سابق من القرن الثالث. قبل الميلاد. في أعمال علماء الرياضيات المشهورين في اليونان القديمة - إقليدس وأرخميدس وأبولونيوس من بيرجا. خلال الفترة الرومانية، تمت دراسة هذه العلاقات بانتظام من قبل مينيلوس (القرن الأول الميلادي)، على الرغم من أنها لم تحصل على اسم خاص. على سبيل المثال، تتم دراسة الجيب الحديث للزاوية α باعتباره نصف وتر تقع عليه الزاوية المركزية ذات الحجم α، أو كوتر لقوس مزدوج.

في الفترة اللاحقة، تم تشكيل الرياضيات لفترة طويلة بشكل أسرع من قبل العلماء الهنود والعرب. في القرنين الرابع والخامس، على وجه الخصوص، نشأ مصطلح خاص سابقًا في أعمال علم الفلك للعالم الهندي الشهير أرياباتا (476-550 م)، والذي سمي باسمه أول قمر صناعي هندوسي للأرض. أطلق على المقطع اسم "أرداجيفا" (نصف أرض، سلسلة جيفا، فاصل يشبه المحور). وفي وقت لاحق، تم اعتماد الاسم المختصر جيفا. علماء الرياضيات العرب في القرن التاسع. تم استبدال مصطلح جيفا (أو جيبا) بالكلمة العربية جيب (التقعر). أثناء انتقال النصوص الرياضية العربية إلى القرن الثاني عشر. تم استبدال هذه الكلمة بالجيب اللاتيني (الجيب المنحني) (الشكل 4).

1.4. ظهور جيب التمام

تعريف وأصل مصطلح "جيب التمام" هو ذو طبيعة قصيرة المدى وقصيرة المدى. نعني بجيب التمام "جيب الجيب الإضافي" (أو "جيب القوس الإضافي"؛ تذكر cosα= sin(90° - a)). حقيقة مثيرة للاهتمامهو أن أولى الطرق لحل المثلثات، والتي تعتمد على العلاقة بين أضلاع المثلث وزواياه، اكتشفها عالم الفلك اليوناني القديم هيبارخوس في القرن الثاني قبل الميلاد. وقد أجرى هذه الدراسة أيضًا كلوديوس بطليموس. تدريجيا، ظهرت حقائق جديدة حول العلاقة بين نسب أضلاع المثلث وزواياه، وبدأ تطبيق تعريف جديد - الدالة المثلثية.

تم تقديم مساهمة كبيرة في تشكيل علم المثلثات من قبل الخبراء العرب البتاني (850-929) وأبو الوفا محمد بن محمد (940-998)، الذين جمعوا جداول الجيب والظل باستخدام 10' بدقة حتى 1/604. كانت نظرية الجيب معروفة سابقًا من قبل البروفيسور الهندي باسكارا (و. 1114، سنة الوفاة غير معروفة) والمنجم والعالم الأذربيجاني ناصر الدين الطوسي محمد (1201-1274). بالإضافة إلى ذلك، وصف ناصر الدين الطوسي، في عمله الخاص “العمل على الشكل الرباعي الكامل”، علم المثلثات المباشر والكروي بأنه نظام مستقل (الشكل 4).

1.5. ظهور الظل وظل التمام

نشأت الظلال فيما يتعلق بإتمام مشكلة تحديد طول الظل. تم إنشاء الظل (وظل التمام أيضًا) في القرن العاشر على يد عالم الحساب العربي أبو الوفا، الذي قام بتجميع الجداول الأولية للعثور على الظلال وظل التمام. لكن هذه الاكتشافات ظلت مجهولة للعلماء الأوروبيين لفترة طويلة، ولم يتم اكتشاف المماسات إلا في القرن الرابع عشر على يد عالم الحساب والفلكي الألماني ريجيمونتانوس (1467). جادل في نظرية الظل. قام Regiomontanus أيضًا بتجميع جداول مثلثية مفصلة؛ وبفضل أعماله، أصبح علم المثلثات المستوية والكروية مجالًا مستقلاً في أوروبا.

نشأت تسمية "الظل" التي تأتي من الكلمة اللاتينية tanger (يلمس)، في عام 1583. تتم ترجمة Tangens على أنها "لمس" (خط الظل مماس لـ دائرة الوحدة).
تم تطوير علم المثلثات بشكل أكبر في أعمال المنجمين البارزين نيكولاس كوبرنيكوس (1473-1543)، وتيكو براهي (1546-1601)، ويوهانس كيبلر (1571-1630)، وكذلك في أعمال عالم الرياضيات فرانسوا فييتا (1540-1603). الذي حل المشكلة تمامًا في تحديد جميع مكونات المثلث المسطح أو الكروي باستخدام ثلاث بيانات (الشكل 4).

1.6 مزيد من التطوير لعلم المثلثات

لفترة طويلة، كان لعلم المثلثات شكل هندسي حصري، أي أن البيانات التي نقوم بصياغتها حاليًا في تعريفات الدوال المثلثية قد تمت صياغتها ومناقشةها بدعم من المفاهيم والبيانات الهندسية. وبهذه الطريقة، كانت موجودة في العصور الوسطى، على الرغم من استخدام الأساليب التحليلية فيها أيضًا في بعض الأحيان، خاصة بعد ظهور اللوغاريتمات. ربما، ظهرت الحوافز القصوى لتشكيل علم المثلثات فيما يتعلق بحل مشاكل علم الفلك، والتي أعطت اهتماما إيجابيا هائلا (على سبيل المثال، من أجل حل مشاكل تحديد موقع السفينة، والتنبؤ بالتعتيم، وما إلى ذلك). اهتم المنجمون بالعلاقات بين أضلاع وزوايا المثلثات الكروية. وقد نجح علماء الحساب في العصور القديمة في التعامل مع الأسئلة المطروحة.

بدءًا من القرن السابع عشر، بدأ استخدام الدوال المثلثية لحل المعادلات، ومسائل الميكانيكا، والبصريات، والكهرباء، والهندسة الراديوية، من أجل عرض الحركات التذبذبية، وانتشار الموجات، وحركة العناصر المختلفة، ودراسة التيار الجلفاني المتناوب، وما إلى ذلك. لهذا السبب، تمت دراسة الدوال المثلثية بشكل شامل وعميق، واكتسبت أهمية كبيرة في الرياضيات بأكملها.

تم إنشاء النظرية التحليلية للوظائف المثلثية بشكل أساسي من قبل عالم الرياضيات المتميز في القرن الثامن عشر ليونارد أويلر (1707-1783)، وهو عضو في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم. يتضمن إرث أويلر العلمي الهائل نتائج رائعة تتعلق بالتحليل الرياضي والهندسة ونظرية الأعداد والميكانيكا وغيرها من تطبيقات الرياضيات. كان أويلر هو أول من قدم التعريفات المعروفة للدوال المثلثية، وبدأ في النظر في دوال الزاوية التعسفية، وحصل على صيغ الاختزال. بعد أويلر، اتخذ علم المثلثات شكل حساب التفاضل والتكامل: بدأ إثبات العديد من الحقائق من خلال التطبيق الرسمي لصيغ علم المثلثات، وأصبحت البراهين أكثر إحكاما وبساطة،

وهكذا، فإن علم المثلثات، الذي نشأ كعلم لحل المثلثات، تطور في النهاية إلى علم الدوال المثلثية.

في وقت لاحق، بدأ يُطلق على جزء علم المثلثات، الذي يدرس خصائص الدوال المثلثية والتبعيات بينها، اسم قياس الزوايا (يُترجم كعلم قياس الزوايا، من الكلمة اليونانية gwnia - الزاوية، metrew - أقيس). نادرا ما تم استخدام مصطلح قياس الزوايا في الآونة الأخيرة.

2. علم المثلثات والحياة الحقيقية

مجتمع حديثتتميز بالتغيرات المستمرة والاكتشافات وخلق اختراعات عالية التقنية تعمل على تحسين حياتنا. يلتقي علم المثلثات ويتفاعل مع الفيزياء والبيولوجيا والرياضيات والطب والجيوفيزياء والملاحة وعلوم الكمبيوتر.

دعونا نلقي نظرة على التفاعلات في كل صناعة بالترتيب.

2.1.الملاحة

النقطة الأولى التي تشرح لنا استخدام علم المثلثات وفوائده هي ارتباطه بالملاحة. نعني بالملاحة العلم الذي يهدف إلى دراسة وإنشاء طرق الملاحة الأكثر ملاءمة وإفادة. وهكذا، يقوم العلماء بتطوير نظام ملاحة بسيط، والذي يتضمن إنشاء طريق من نقطة إلى أخرى، وتقييمه واختيار الخيار الأفضل من بين جميع الخيارات المقترحة. وهذه الطرق ضرورية للبحارة الذين يواجهون أثناء رحلتهم العديد من الصعوبات والعقبات والأسئلة المتعلقة بمسار السفر. يعد التنقل ضروريًا أيضًا: فالطيارون الذين يطيرون بطائرات معقدة وعالية التقنية يتنقلون أحيانًا بشكل كبير المواقف المتطرفة; رواد الفضاء الذين ينطوي عملهم على المخاطرة بالحياة وبناء الطرق المعقدة وتطويرها. دعونا ندرس المفاهيم والمهام التالية بمزيد من التفصيل. وكمشكلة، يمكننا أن نتخيل الحالة التالية: أن نعرف الإحداثيات الجغرافية: خط العرض وخط الطول بين النقطتين A وB على سطح الأرض. من الضروري العثور على أكثر من غيرها الاختصاربين النقطتين A وB على طول سطح الأرض (يعتبر نصف قطر الأرض معلوما: R = 6371 كم).

ويمكننا أيضاً أن نتصور حلاً لهذه المشكلة، وهو: أولاً نوضح أن خط عرض نقطة M على سطح الأرض هو قيمة الزاوية التي يشكلها نصف القطر OM، حيث O هو مركز الأرض، مع خط الاستواء المستوي: ≥ ، وإلى الشمال من خط الاستواء يعتبر خط العرض موجباً، وجنوباً – سلبياً. بالنسبة لخط طول النقطة M، سنأخذ قيمة زاوية ثنائي السطوح التي تمر في المستويين COM و SON. ونعني بـ C القطب الشماليأرض. كما H نفهم النقطة المقابلة لمرصد غرينتش: ≥ (إلى الشرق من خط الطول غرينتش، يعتبر خط الطول إيجابيا، إلى الغرب - سلبي). كما نعلم بالفعل، فإن أقصر مسافة بين النقطتين A وB على سطح الأرض تتمثل في طول أصغر قوس من الدائرة الكبرى التي تربط A وB. ويمكننا أن نطلق على هذا النوع من الأقواس اسم orthodrome. يُفهم هذا المصطلح المترجم من اليونانية على أنه زاوية قائمة. ولهذا السبب، فإن مهمتنا هي تحديد طول الضلع AB للمثلث الكروي ABC، حيث تشير C إلى المدينة الشمالية.

مثال مثير للاهتماميمكن وصفها على النحو التالي. عند إنشاء طريق للبحارة، من الضروري العمل الدقيق والمضني. لذلك، لرسم مسار السفينة على الخريطة، التي تم إجراؤها في إسقاط جيرهارد مركاتور في عام 1569، كانت هناك حاجة ملحة لتحديد خط العرض. ومع ذلك، عند الذهاب إلى البحر، في المواقع حتى القرن السابع عشر، لم يشير الملاحون إلى خط العرض. كان إدموند غونتر (1623) أول من استخدم الحسابات المثلثية في الملاحة.

وبمساعدة علم المثلثات، يمكن للطيارين حساب أخطاء الرياح من أجل التحكم الأكثر دقة وأمانًا في الطائرة. ولإجراء هذه الحسابات، نشير إلى مثلث السرعة. يعبر هذا المثلث عن سرعة الهواء الناتجة (V)، ومتجه الرياح (W)، ومتجه سرعة الأرض (Vp). PU هي زاوية الاتجاه، والأشعة فوق البنفسجية هي زاوية الرياح، وKUV هي زاوية اتجاه الرياح (الشكل 5).

للتعرف على نوع العلاقة بين عناصر مثلث التنقل للسرعات، عليك النظر أدناه:

Vp =V cos US + W cos UV؛ الخطيئة السيرة الذاتية = * الخطيئة السيرة الذاتية، السيرة الذاتية تيراغرام

لحل مثلث التنقل للسرعات، يتم استخدام الأجهزة الحسابية باستخدام مسطرة التنقل والحسابات الذهنية.

2.2.الجبر

المجال التالي للتفاعل بين علم المثلثات هو الجبر. بفضل الدوال المثلثية يتم حل المعادلات والمسائل المعقدة للغاية التي تتطلب حسابات كبيرة.

كما نعلم، في جميع الحالات التي يكون فيها من الضروري التفاعل مع العمليات والتذبذبات الدورية، نأتي إلى استخدام الدوال المثلثية. لا يهم ما هو: الصوتيات أو البصريات أو تأرجح البندول.

2.3 الفيزياء

إلى جانب الملاحة والجبر، فإن علم المثلثات له تأثير وتأثير مباشر في الفيزياء. عند غمر الأشياء في الماء، فإنها لا تتغير في شكلها أو حجمها بأي شكل من الأشكال. السر الكامل هو التأثير البصري الذي يجبر رؤيتنا على إدراك الشيء بشكل مختلف. بسيط الصيغ المثلثيةوتوفر قيم جيب زاوية السقوط والانكسار لنصف الخط احتمال حساب معامل الانكسار الثابت عندما يمر شعاع ضوئي من كرة إلى أخرى. على سبيل المثال، يظهر قوس قزح بسبب انكسار ضوء الشمس في قطرات الماء المعلقة في الهواء وفقًا لقانون الانكسار:

الخطيئة α / الخطيئة β = n1 / n2

حيث: n1 هو معامل انكسار الوسط الأول؛ n2 هو معامل الانكسار للوسط الثاني؛ α-زاوية السقوط، β-زاوية انكسار الضوء.

العناصر المشحونة التي تدخل الغلاف الجوي العلوي للكواكب الرياح الشمسيةيتحدد عن طريق التفاعل حقل مغناطيسيالأرض مع الرياح الشمسية.

القوة المؤثرة على جسيم مشحون يتحرك في منطقة مغناطيسية تسمى قوة لورنتز. وهو يتناسب مع شحنة الجسيم والمنتج المتجه للمجال وسرعة الجسيم.

الكشف عن الجوانب العملية لاستخدام علم المثلثات في الفيزياء، سنقدم مثالا. يجب حل هذه المشكلة باستخدام الصيغ المثلثية وطرق الحل. شروط المشكلة: يقع جسم يزن 90 كجم على مستوى مائل بزاوية 24.5 درجة. من الضروري إيجاد القوة التي يمارسها الجسم بالضغط على المستوى المائل (أي الضغط الذي يمارسه الجسم على هذا المستوى) (الشكل 6).

بعد تحديد المحورين X وY، نبدأ في بناء إسقاطات القوى على المحور، أولاً باستخدام هذه الصيغة:

ma = N + mg، ثم أنظر إلى الشكل،

X: ma = 0 + mg sin24.50

Y: 0 = N – مجم cos24.50

نعوض بالكتلة ونجد أن القوة تساوي 819 نيوتن.

الجواب: 819 ن

2.4. الطب والبيولوجيا والإيقاعات الحيوية

المجال الرابع الذي يكون فيه لعلم المثلثات تأثير كبير ومساعدة هو في مجالين: الطب وعلم الأحياء.

إحدى الخصائص الأساسية للطبيعة الحية هي الطبيعة الدورية لمعظم العمليات التي تحدث فيها. هناك علاقة بين حركة الأجرام السماوية والكائنات الحية على الأرض. لا تلتقط الكائنات الحية ضوء وحرارة الشمس والقمر فحسب، بل لديها أيضًا آليات مختلفة تحدد بدقة موقع الشمس، وتستجيب لإيقاع المد والجزر، ومراحل القمر وحركة كوكبنا.

الإيقاعات البيولوجية، الإيقاعات الحيوية، هي تغيرات منتظمة إلى حد ما في طبيعة وكثافة العمليات البيولوجية. إن القدرة على إجراء مثل هذه التغييرات في نشاط الحياة موروثة وتوجد في جميع الكائنات الحية تقريبًا. ويمكن ملاحظتها في الخلايا الفردية والأنسجة والأعضاء والكائنات الحية بأكملها والسكان. وتنقسم الإيقاعات الحيوية إلى فسيولوجية, وجود فترات من أجزاء من الثانية إلى عدة دقائق و البيئية,المدة تتزامن مع أي إيقاع بيئة. وتشمل هذه الإيقاعات اليومية والموسمية والسنوية والمد والجزر والقمر. يتم تحديد الإيقاع الأرضي الرئيسي يوميًا من خلال دوران الأرض حول محورها، وبالتالي فإن جميع العمليات في الكائن الحي تقريبًا لها دورية يومية.

مجموعة من العوامل البيئيةعلى كوكبنا، في المقام الأول نظام الضوء، ودرجة الحرارة، وضغط الهواء والرطوبة، والمجال الجوي والكهرومغناطيسي، والمد والجزر البحرية، تتغير بشكل طبيعي تحت تأثير هذا الدوران.

نحن خمسة وسبعون بالمائة ماء، وإذا كانت لحظة اكتمال القمر ترتفع مياه محيطات العالم 19 مترًا فوق مستوى سطح البحر ويبدأ المد، فإن الماء الموجود في جسمنا يندفع أيضًا إلى الأجزاء العلوية من جسمنا. وغالبًا ما يعاني الأشخاص المصابون بارتفاع ضغط الدم من تفاقم المرض خلال هذه الفترات، ويعرف علماء الطبيعة الذين يجمعون الأعشاب الطبية بالضبط في أي مرحلة من مراحل القمر يجب جمع "القمم - (الفواكه)" وفي أي مرحلة يتم جمع "الجذور".

هل لاحظت أنه في فترات معينة تأخذ حياتك قفزات لا يمكن تفسيرها؟ فجأة، ومن العدم، تفيض المشاعر. تزداد الحساسية، والتي يمكن أن تفسح المجال فجأة لللامبالاة الكاملة. أيام إبداعية وغير مثمرة، لحظات سعيدة وغير سعيدة، تقلبات مزاجية مفاجئة. وقد لوحظ أن قدرات جسم الإنسان تتغير بشكل دوري. هذه المعرفة تكمن وراء "نظرية الإيقاعات الحيوية الثلاثة".

الإيقاع الحيوي الجسدي - ينظم النشاط البدني. خلال النصف الأول من الدورة البدنية، يكون الشخص نشيطًا ويحقق نتائج أفضل في أنشطته (النصف الثاني - الطاقة تفسح المجال للكسل).

الإيقاع العاطفي - خلال فترات نشاطه تزداد الحساسية ويتحسن المزاج. يصبح الشخص منفعلا لمختلف الكوارث الخارجية. إذا كان بمزاج جيد فإنه يبني قصوراً في الهواء ويحلم بالوقوع في الحب ويقع في الحب. عندما ينخفض الإيقاع الحيوي العاطفي، تنخفض القوة العقلية، وتختفي الرغبة والمزاج البهيج.

الإيقاع الحيوي الفكري - فهو يتحكم في الذاكرة، والقدرة على التعلم، والتفكير المنطقي. في مرحلة النشاط ارتفاع، وفي المرحلة الثانية تراجع في النشاط الإبداعي، فلا حظ ولا نجاح.

نظرية الإيقاعات الثلاثة:

· الدورة البدنية – 23 يوماً. يحدد الطاقة والقوة والتحمل وتنسيق الحركة

· الدورة العاطفية – 28 يوماً. ولاية الجهاز العصبيوالمزاج

· الدورة الفكرية – 33 يوماً. يحدد القدرة الإبداعية للفرد

علم المثلثات يحدث أيضا في الطبيعة. تحدث حركة الأسماك في الماء وفقًا لقانون الجيب أو جيب التمام، إذا قمت بتثبيت نقطة على الذيل ثم نظرت في مسار الحركة. عند السباحة، يأخذ جسم السمكة شكل منحنى يشبه الرسم البياني للدالة y=tgx.

عندما يطير الطائر، يشكل مسار الأجنحة المرفرفة شكلًا جيبيًا.

علم المثلثات في الطب. نتيجة للبحث الذي أجراه طالب جامعة شيراز الإيرانية وحيد رضا عباسي، تمكن الأطباء لأول مرة من تنظيم المعلومات المتعلقة النشاط الكهربائيالقلب أو بمعنى آخر تخطيط كهربية القلب.

تم تقديم الصيغة، التي تسمى طهران، إلى المجتمع العلمي العام في المؤتمر الرابع عشر للطب الجغرافي ثم في المؤتمر الثامن والعشرين حول استخدام تكنولوجيا الكمبيوتر في أمراض القلب، الذي عقد في هولندا.

هذه الصيغة عبارة عن معادلة جبرية مثلثية معقدة تتكون من 8 تعبيرات و32 معاملًا و33 معلمة رئيسية، بما في ذلك العديد من المعلمات الإضافية للحسابات في حالات عدم انتظام ضربات القلب. وفقا للأطباء، فإن هذه الصيغة تسهل إلى حد كبير عملية وصف المعالم الرئيسية لنشاط القلب، وبالتالي تسريع التشخيص وبدء العلاج نفسه.

يتعين على العديد من الأشخاص إجراء مخطط قلب للقلب، لكن قليلًا منهم يعرفون أن مخطط قلب الإنسان عبارة عن رسم بياني للجيب أو جيب التمام.

يساعد علم المثلثات دماغنا على تحديد المسافات إلى الأشياء. يدعي العلماء الأمريكيون أن الدماغ يقدر المسافة إلى الأشياء عن طريق قياس الزاوية بين مستوى الأرض ومستوى الرؤية. تم التوصل إلى هذا الاستنتاج بعد سلسلة من التجارب التي طُلب من المشاركين النظر فيها العالممن خلال المنشورات التي تزيد من هذه الزاوية.

أدى هذا التشويه إلى حقيقة أن حاملات المنشور التجريبي نظرت إلى الأجسام البعيدة على أنها أقرب ولم تتمكن من التعامل مع أبسط الاختبارات. حتى أن بعض المشاركين في التجارب انحنوا إلى الأمام محاولين محاذاة أجسادهم بشكل عمودي على سطح الأرض الذي تم تصوره بشكل غير صحيح. ومع ذلك، بعد 20 دقيقة، اعتادوا على الإدراك المشوه، واختفت جميع المشاكل. يشير هذا الظرف إلى مرونة الآلية التي يكيف بها الدماغ النظام البصري مع الظروف الخارجية المتغيرة. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه بعد إزالة المنشور، لوحظ ذلك لبعض الوقت تأثير عكسي- المبالغة في تقدير المسافة.

وستكون نتائج الدراسة الجديدة، كما قد يفترض المرء، موضع اهتمام المهندسين الذين يصممون أنظمة الملاحة للروبوتات، وكذلك المتخصصين الذين يعملون على إنشاء النماذج الافتراضية الأكثر واقعية. من الممكن أيضًا استخدام تطبيقات في مجال الطب، في إعادة تأهيل المرضى الذين يعانون من تلف في مناطق معينة من الدماغ.

2.5. الموسيقى

يتفاعل المجال الموسيقي أيضًا مع علم المثلثات.

أقدم انتباهكم إلى معلومات مثيرة للاهتمام حول طريقة معينة توفر بدقة اتصالاً بين علم المثلثات والموسيقى.

تسمى هذه الطريقة في تحليل الأعمال الموسيقية "نظرية الموسيقى الهندسية". وبمساعدتها، يتم ترجمة الهياكل والتحولات الموسيقية الأساسية إلى لغة الهندسة الحديثة.

كل ملاحظة داخل نظرية جديدةيتم تمثيله على أنه لوغاريتم تردد الصوت المقابل (الملاحظة "C" للأوكتاف الأول، على سبيل المثال، تتوافق مع الرقم 60، والأوكتاف يتوافق مع الرقم 12). وبالتالي يتم تمثيل الوتر كنقطة ذات إحداثيات معينة في الفضاء الهندسي. يتم تجميع الأوتار في "عائلات" مختلفة تتوافق مع أنواع مختلفة من المساحات الهندسية.

عند تطوير طريقة جديدة، استخدم المؤلفون 5 أنواع معروفة من التحولات الموسيقية التي لم يتم أخذها في الاعتبار سابقًا في نظرية الموسيقى عند تصنيف التسلسلات الصوتية - تبديل الأوكتاف (O)، التقليب (P)، التبديل (T)، الانعكاس (I) والتغيير في العلاقة الأساسية (C) . كل هذه التحولات، كما يكتب المؤلفون، تشكل ما يسمى بالتماثلات البصرية في الفضاء ذي الأبعاد n وتخزن المعلومات الموسيقية حول الوتر - حيث توجد نغمات الأوكتاف، وفي أي تسلسل يتم عزفها، وعدد مرات تكرارها، إلخ. باستخدام التماثلات البصرية، يتم تصنيف الأوتار المتشابهة ولكن غير المتطابقة وتسلسلاتها.

يوضح مؤلفو المقال أن مجموعات مختلفة من هذه التماثلات الخمسة تشكل العديد من الهياكل الموسيقية المختلفة، وبعضها معروف بالفعل في نظرية الموسيقى (على سبيل المثال، سيتم التعبير عن تسلسل الوتر بمصطلحات جديدة مثل OPC)، بينما يتم التعبير عن البعض الآخر بشكل أساسي مفاهيم جديدة ربما سيتبناها ملحنو المستقبل.

على سبيل المثال، يقدم المؤلفون تمثيلا هندسيا لأنواع مختلفة من الحبال من أربعة أصوات - رباعي الاسطح. تمثل المجالات الموجودة على الرسم البياني أنواع الحبال، وتتوافق ألوان المجالات مع حجم الفواصل الزمنية بين أصوات الوتر: الأزرق - فترات صغيرة، نغمات أكثر دفئا - المزيد من أصوات الوتر "المتفرقة". الكرة الحمراء هي الوتر الأكثر تناغمًا مع فترات متساوية بين النغمات، والتي كانت شائعة لدى الملحنين في القرن التاسع عشر.

يمكن أن تؤدي الطريقة "الهندسية" لتحليل الموسيقى، وفقًا لمؤلفي الدراسة، إلى إنشاء آلات موسيقية جديدة بشكل أساسي وطرق جديدة لتصور الموسيقى، بالإضافة إلى إجراء تغييرات على الأساليب الحديثة لتدريس الموسيقى وطرق دراسة مختلف الأنماط الموسيقية (الكلاسيكية، البوب، الروك).الموسيقى، الخ.). ستساعد المصطلحات الجديدة أيضًا في إجراء مقارنة أعمق للأعمال الموسيقية للملحنين من عصور مختلفة وتقديم نتائج البحث في شكل رياضي أكثر ملاءمة. بمعنى آخر، يقترح عزل جوهرها الرياضي عن الأعمال الموسيقية.

الترددات المقابلة لنفس الملاحظة في الأولى والثانية وما إلى ذلك. الأوكتافات، مرتبطة بـ 1:2:4:8... وفقًا للأساطير التي نزلت من العصور القديمة، فإن أول من حاول القيام بذلك كان فيثاغورس وتلاميذه.

سلم موسيقي 2:3:5 (الشكل 8).

2.6 المعلوماتية

علم المثلثات، بتأثيره، لم يتجاوز علوم الكمبيوتر. وبالتالي، فإن وظائفها قابلة للتطبيق لإجراء حسابات دقيقة. بفضل هذه النقطة، يمكننا تقريب أي دالة (بمعنى "جيدة") من خلال توسيعها إلى متسلسلة فورييه:

a0 + a1 cos x + b1 cos x + a2 cos 2x + b2 cos 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + ...

إن عملية اختيار رقم بالطريقة الأنسب، يمكن تمثيل الأرقام a0، a1، b1، a2، b2، ...، في شكل مثل هذا المجموع (اللامتناهي) بواسطة أي وظيفة تقريبًا في الكمبيوتر باستخدام الدقة المطلوبة.

يلعب علم المثلثات دورًا جادًا ويساعد في تطوير وعملية العمل مع المعلومات الرسومية. إذا كنت بحاجة إلى محاكاة عملية ما، مع وصف في شكل إلكتروني، مع دوران كائن معين حول محور معين. يحدث الدوران بزاوية معينة. لتحديد إحداثيات النقاط، سيتعين عليك الضرب في الجيب وجيب التمام.

لذا، يمكننا أن نذكر مثال جاستين ويندل، وهو مبرمج ومصمم يعمل في Google Grafika Lab. قام بنشر عرض توضيحي يوضح مثالاً لاستخدام الدوال المثلثية لإنشاء رسوم متحركة ديناميكية.

2.7 مجال البناء والجيوديسيا

أحد الفروع المثيرة للاهتمام التي تتفاعل مع علم المثلثات هو مجال البناء والجيوديسيا. ترتبط أطوال الأضلاع وقيم زوايا المثلث التعسفي على المستوى ببعضها البعض بعلاقات معينة، أهمها ما يسمى بنظريات جيب التمام والجيب. تشير الصيغ التي تحتوي على a، b، c إلى أن الحروف ممثلة بأضلاع المثلث، التي تقع على التوالي مقابل الزوايا A، B، C. تسمح هذه الصيغ بعناصر المثلث الثلاثة - أطوال الجوانب والزوايا - لاستعادة العناصر الثلاثة المتبقية. يتم استخدامها في حل المشكلات العملية، على سبيل المثال في الجيوديسيا.

تعتمد جميع الجيوديسيا "الكلاسيكية" على علم المثلثات. منذ ذلك الحين، في الواقع، منذ العصور القديمة، كان المساحون مهتمين بـ "حل" المثلثات.

تبدأ عملية تشييد المباني والمسارات والجسور والمباني الأخرى بالمسح و عمل التصميم. بدون استثناء، يتم إجراء جميع القياسات في موقع البناء بدعم من الأجهزة الجيوديسية، مثل المحطة الشاملة والمستوى المثلثي. عند التسوية المثلثية، يتم تحديد فرق الارتفاع بين عدة نقاط على سطح الأرض.

2.8 علم المثلثات في الفن والعمارة

منذ أن بدأ الإنسان في الوجود على الأرض، أصبح العلم الأساس لتحسين الحياة اليومية ومجالات الحياة الأخرى. أسس كل ما خلقه الإنسان هي مجالات مختلفة في العلوم الطبيعية والرياضية. واحد منهم هو الهندسة. الهندسة المعمارية ليست المجال العلمي الوحيد الذي تستخدم فيه الصيغ المثلثية. تم تنفيذ معظم القرارات التركيبية وبناء الرسومات على وجه التحديد بمساعدة الهندسة. لكن البيانات النظرية لا تعني الكثير. لنفكر في مثال لبناء تمثال واحد على يد سيد فرنسي في العصر الذهبي للفن.

وكانت العلاقة التناسبية في بناء التمثال مثالية. ومع ذلك، عندما تم رفع التمثال على قاعدة عالية، بدا قبيحًا. لم يأخذ النحات في الاعتبار أنه في المنظور، نحو الأفق، يتم تقليل العديد من التفاصيل وعند النظر من الأسفل إلى الأعلى، لم يعد يتم خلق الانطباع بمثاليته. تم إجراء العديد من الحسابات بحيث يكون الرقم مع ارتفاع عاليبدا متناسبا. واعتمدوا بشكل أساسي على طريقة الرؤية، أي القياس التقريبي بالعين. ومع ذلك، فإن معامل الاختلاف بنسب معينة جعل من الممكن جعل الرقم أقرب إلى المثالية. وبالتالي، بمعرفة المسافة التقريبية من التمثال إلى نقطة الرؤية، أي من أعلى التمثال إلى عيون الشخص وارتفاع التمثال، يمكننا حساب جيب زاوية سقوط الرؤية باستخدام الجدول، وبالتالي إيجاد وجهة النظر (الشكل 9).

في الشكل 10 يتغير الوضع، بما أن التمثال مرفوع إلى ارتفاع AC ويزداد NS، فيمكننا حساب قيم جيب تمام الزاوية C، ومن الجدول سنجد زاوية سقوط النظرة. في هذه العملية، يمكنك حساب AN، بالإضافة إلى جيب الزاوية C، مما سيسمح لك بالتحقق من النتائج باستخدام الهوية المثلثية الأساسية كوس 2 أ+ خطيئة 2 أ = 1.

ومن خلال مقارنة قياسات AN في الحالتين الأولى والثانية، يمكن إيجاد معامل التناسب. بعد ذلك، سنتلقى رسما، ثم النحت، عند الرفع، سيكون الشكل بصريا أقرب إلى المثالي

تم تصميم المباني المميزة في جميع أنحاء العالم بفضل الرياضيات، والتي يمكن اعتبارها عبقرية الهندسة المعمارية. ومن الأمثلة الشهيرة على هذه المباني: مدرسة غاودي للأطفال في برشلونة، وناطحة سحاب ماري آكس في لندن، ومصنع بوديغاس إيسيوس للنبيذ في إسبانيا، ومطعم في لوس مانانتياليس في الأرجنتين. عند تصميم هذه المباني، تم استخدام علم المثلثات.

خاتمة

بعد أن درس النظرية و الجوانب التطبيقيةعلم المثلثات، أدركت أن هذا الفرع يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالعديد من العلوم. في البداية، كان علم المثلثات ضروريًا لإنشاء القياسات بين الزوايا وأخذها. ومع ذلك، تطور القياس البسيط للزوايا لاحقًا إلى علم كامل يدرس الدوال المثلثية. يمكننا تحديد المجالات التالية التي يوجد فيها ارتباط وثيق بين علم المثلثات وفيزياء الهندسة المعمارية والطبيعة والطب وعلم الأحياء.

وهكذا، وبفضل الدوال المثلثية في الطب، تم اكتشاف صيغة القلب، وهي عبارة عن مساواة جبرية مثلثية معقدة، تتكون من 8 تعبيرات و32 معاملًا و33 معلمة أساسية، بما في ذلك إمكانية إجراء حسابات إضافية عند حدوث عدم انتظام ضربات القلب. يساعد هذا الاكتشاف الأطباء على تقديم رعاية طبية أكثر كفاءة وعالية الجودة.

دعونا نلاحظ أيضا. أن كل الجيوديسيا الكلاسيكية تعتمد على علم المثلثات. منذ ذلك الحين، في الواقع، منذ العصور القديمة، شارك المساحون في "حل" المثلثات. تبدأ عملية تشييد المباني والطرق والجسور وغيرها من الهياكل بأعمال المسح والتصميم. يتم إجراء جميع القياسات في موقع البناء باستخدام أدوات المسح مثل المزواة والمستوى المثلثي. ومن خلال التسوية المثلثية يتم تحديد فرق الارتفاع بين عدة نقاط على سطح الأرض.

من خلال التعرف على تأثيرها في مجالات أخرى، يمكننا أن نستنتج أن علم المثلثات يؤثر بنشاط على حياة الإنسان. تتيح لنا العلاقة بين الرياضيات والعالم الخارجي "تجسيد" معرفة تلاميذ المدارس. بفضل هذا، يمكننا إدراك واستيعاب المعرفة والمعلومات التي نتعلمها في المدرسة بشكل أكثر ملاءمة.

تم إكمال الهدف من مشروعي بنجاح. لقد درست تأثير علم المثلثات في الحياة وتطور الاهتمام به.

ولتحقيق هذا الهدف أكملنا المهام التالية:

1. تعرفنا على تاريخ تكوين وتطوير علم المثلثات؛

2. أمثلة على التأثير العملي لعلم المثلثات في مختلف مجالات النشاط.

3. بين بالأمثلة إمكانيات علم المثلثات وتطبيقاته في حياة الإنسان.

ستساعد دراسة تاريخ ظهور هذه الصناعة في إثارة الاهتمام بين أطفال المدارس وتشكيل النظرة الصحيحة للعالم وزيادة الثقافة العامةطالب المدرسة الثانوية.

سيكون هذا العمل مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية الذين لم يروا بعد جمال علم المثلثات وليسوا على دراية بمجالات تطبيقه في الحياة من حولهم.

فهرس

جليزر جي.

ريبنيكوف ك.

فهرس

أ.ن. كولموغوروف، أ.م. أبراموف، يو.ب. دودنيتسين وآخرون "الجبر ومبادئ التحليل" كتاب مدرسي للصفوف 10-11 المؤسسات التعليمية، م، التربية، 2013.

جليزر جي.تاريخ الرياضيات في المدرسة: الصفوف من السابع إلى الثامن. - م: التربية، 2012.

جليزر جي.تاريخ الرياضيات في المدرسة: الصفوف من التاسع إلى العاشر. - م: التربية، 2013.

ريبنيكوف ك.تاريخ الرياضيات: كتاب مدرسي. - م: دار النشر بجامعة موسكو الحكومية، 1994. مشاكل أوليهنيك في الجبر وعلم المثلثات والوظائف الأولية / Olehnik، S.N. و. - م.: تخرج من المدرسه، 2016. - 134 ص.

أولنيك، إس.إن. مسائل في الجبر وعلم المثلثات والدوال الأولية / س.ن. أولنيك. - م: الثانوية العامة 2013. - 645 ص.

بوتابوف، م.ك. الجبر وعلم المثلثات والدوال الأولية / م.ك. بوتابوف. - م: الثانوية العامة 2014. - 586 ص.

بوتابوف، م.ك. الجبر. حساب المثلثات والدوال الأولية / م.ك. بوتابوف، ف. ألكساندروف ، بي. باسيتشينكو. - م: [غير محدد]، 2015. - 762 ص.

المرفق 1

رسم بياني 1صورة الهرم. حساب المنحدر ب / ح.

مقياس الزوايا سيكيد

في منظر عامتبدو الصيغة المصرية لحساب سيكيدا الهرم

لذا:.

مصطلح مصري قديم " ثانية" أشارت إلى زاوية الميل . كان يقع عبر الارتفاع مقسومًا على نصف القاعدة.

"طول الهرم من الجانب الشرقي 360 (ذراعا) والارتفاع 250 (ذراعا). تحتاج إلى حساب ميل الجانب الشرقي. للقيام بذلك، خذ نصف 360، أي 180. اقسم 180 على 250. سوف تحصل على: 1 / 2 , 1 / 5 , 1 / 50 مِرفَق. ضع في اعتبارك أن الذراع الواحد يساوي عرض 7 كف. الآن اضرب الأرقام الناتجة في 7 كما يلي: "

الصورة 2عقرب

الشكل 3: تحديد الارتفاع الزاوي للشمس

الشكل 4: الصيغ الأساسية لعلم المثلثات

الشكل 5: الملاحة في علم المثلثات

الشكل 6: الفيزياء في علم المثلثات

الشكل 7: نظرية الإيقاعات الثلاثة

(الدورة البدنية - 23 يومًا. يحدد الطاقة والقوة والتحمل وتنسيق الحركة. الدورة العاطفية هي 28 يوما. حالة الجهاز العصبي والمزاج. الدورة الفكرية - 33 يومًا. يحدد القدرة الإبداعية للفرد)

أرز. 8 علم المثلثات في الموسيقى

الشكل 9، 10 علم المثلثات في الهندسة المعمارية

مدرسة MBOU Tselinnaya الثانوية

تقرير علم المثلثات في الحياة الحقيقية

تم إعدادها وتنفيذها

مدرس رياضيات

فئة التأهيل

إيلينا ف.ب.

قرية تسليني مارس 2014

جدول المحتويات.

1 المقدمة .

2. تاريخ إنشاء علم المثلثات:

القرون الأولى.

اليونان القديمة.

العصور الوسطى.

وقت جديد.

من تاريخ تطور الهندسة الكروية.

3. علم المثلثات والحياة الحقيقية:

تطبيق علم المثلثات في الملاحة.

علم المثلثات في الجبر.

علم المثلثات في الفيزياء.

علم المثلثات في الطب والبيولوجيا.

علم المثلثات في الموسيقى.

علم المثلثات في علوم الكمبيوتر

علم المثلثات في البناء والجيوديسيا.

4. الخلاصة .

5. قائمة المراجع.

مقدمة

لقد كانت ممارسة راسخة في الرياضيات منذ فترة طويلة أنه عند دراسة الرياضيات بشكل منهجي، يتعين علينا نحن الطلاب مواجهة علم المثلثات ثلاث مرات. وبناء على ذلك، يبدو أن محتواه يتكون من ثلاثة أجزاء. أثناء التدريب، يتم فصل هذه الأجزاء عن بعضها البعض بمرور الوقت ولا تتشابه مع بعضها البعض سواء في المعنى المستثمر في شرح المفاهيم الأساسية أو في الجهاز الذي يتم تطويره وفي وظائف الخدمة (التطبيقات).

وبالفعل، صادفنا مادة علم المثلثات لأول مرة في الصف الثامن عند دراسة موضوع "العلاقات بين أضلاع وزوايا المثلث القائم الزاوية". لذلك تعلمنا ما هي الجيب وجيب التمام والظل، وتعلمنا حل المثلثات المستوية.

ومع ذلك، مر بعض الوقت وفي الصف التاسع عدنا إلى علم المثلثات مرة أخرى. لكن علم المثلثات هذا ليس مثل ما تمت دراسته من قبل. يتم الآن تحديد علاقاتها باستخدام دائرة (وحدة نصف دائرة) بدلاً من مثلث قائم الزاوية. على الرغم من أنها لا تزال تعرف على أنها وظائف الزوايا، إلا أن هذه الزوايا كبيرة بالفعل بشكل تعسفي.

بعد أن انتقلنا إلى الصف العاشر، واجهنا علم المثلثات مرة أخرى ورأينا أنه أصبح أكثر تعقيدًا، وتم تقديم مفهوم قياس راديان للزاوية، وبدت الهويات المثلثية وصياغة المشكلات وتفسير حلولها مختلفة . يتم عرض الرسوم البيانية للدوال المثلثية. وأخيرا، تظهر المعادلات المثلثية. وكل هذه المواد ظهرت أمامنا كجزء من الجبر، وليس كهندسة. وأصبحنا مهتمين جدًا بدراسة تاريخ علم المثلثات وتطبيقه في الحياة اليومية، لأن استخدام المعلومات التاريخية من قبل مدرس الرياضيات ليس إلزاميًا عند تقديم مادة الدرس. ومع ذلك، كما يشير K. A. Malygin، "... الرحلات إلى الماضي التاريخي تحيي الدرس، وتخفف من التوتر العقلي، وتثير الاهتمام بالمواد التي تتم دراستها وتساهم في استيعابها القوي." علاوة على ذلك، فإن المواد المتعلقة بتاريخ الرياضيات واسعة النطاق ومثيرة للاهتمام للغاية، لأن تطوير الرياضيات يرتبط ارتباطا وثيقا بحل المهام العاجلة التي نشأت في جميع فترات وجود الحضارة.

بعد أن تعرفنا على الأسباب التاريخية لظهور علم المثلثات، وبعد أن درسنا كيف أثرت ثمار عمل العلماء العظماء على تطور هذا المجال من الرياضيات وحل مسائل محددة، فإننا، أطفال المدارس، نزيد اهتمامنا بالموضوع قيد الدراسة وسنرى أهميتها العملية.

الهدف من المشروع - تطور الاهتمام بدراسة موضوع "علم المثلثات" في مقرر الجبر وبداية التحليل من خلال المنشور القيمة المطبقةالمادة التي تتم دراستها؛ توسيع التمثيلات الرسومية التي تحتوي على الدوال المثلثية؛ استخدام علم المثلثات في العلوم مثل الفيزياء والأحياء وغيرها.

إن ارتباط علم المثلثات بالعالم الخارجي، وأهمية علم المثلثات في حل العديد من المهام العملية، والقدرات الرسومية للوظائف المثلثية تجعل من الممكن "تجسيد" معرفة تلاميذ المدارس. يتيح لك ذلك فهم الضرورة الحيوية للمعرفة المكتسبة من خلال دراسة علم المثلثات بشكل أفضل، ويزيد من الاهتمام بدراسة هذا الموضوع.

أهداف البحث:

1. النظر في تاريخ ظهور وتطور علم المثلثات.

2. عرض التطبيقات العملية لعلم المثلثات في العلوم المختلفة باستخدام أمثلة محددة.

3. باستخدام أمثلة محددة، اكشف عن إمكانيات استخدام الدوال المثلثية، والتي تسمح بتحويل الدوال "القليلة الاهتمام" إلى دوال تتمتع رسومها البيانية بمظهر أصلي للغاية.

"يظل هناك شيء واحد واضح: العالم منظم بشكل خطير وجميل."

ن. روبتسوف

علم المثلثات - هذا فرع من فروع الرياضيات تتم فيه دراسة العلاقات بين قيم الزوايا وأطوال أضلاع المثلثات، وكذلك المتطابقات الجبرية للدوال المثلثية. من الصعب أن نتخيل ذلك، لكننا نواجه هذا العلم ليس فقط في دروس الرياضيات، ولكن أيضًا في حياتنا اليومية. ربما لم نشك في ذلك، لكن علم المثلثات موجود في علوم مثل الفيزياء والأحياء، ويلعب دورا مهما في الطب، والأكثر إثارة للاهتمام، حتى الموسيقى والهندسة المعمارية لا يمكن الاستغناء عنها. تلعب مشكلات المحتوى العملي دورًا مهمًا في تطوير مهارات تطبيق المعرفة النظرية المكتسبة في دراسة الرياضيات عمليًا. يهتم كل طالب في الرياضيات بكيفية ومكان تطبيق المعرفة المكتسبة. يقدم هذا العمل الإجابة على هذا السؤال.

تاريخ إنشاء علم المثلثات

القرون الأولى

يعود أصل القياس المألوف للزوايا بالدرجات والدقائق والثواني إلى الرياضيات البابلية (عادةً ما يُعزى إدخال هذه الوحدات في الرياضيات اليونانية القديمة إلى القرن الثاني قبل الميلاد).

كان الإنجاز الرئيسي لهذه الفترة هو العلاقة بين الساقين والوتر في المثلث القائم، والذي تلقى الاسم فيما بعد.

اليونان القديمة

ظهر عرض عام ومتماسك منطقيًا للعلاقات المثلثية في الهندسة اليونانية القديمة. ولم يكن علماء الرياضيات اليونانيون قد حددوا بعد علم المثلثات كعلم منفصل، بل كان بالنسبة لهم جزءًا من علم الفلك.
كان الإنجاز الرئيسي للنظرية المثلثية القديمة هو الحل بشكل عام لمشكلة "حل المثلثات"، أي العثور على العناصر المجهولة للمثلث بناءً على عناصره الثلاثة المعطاة (والتي يكون أحد أضلاعها على الأقل).

العصور الوسطى

في القرن الرابع، بعد وفاة العلوم القديمة، انتقل مركز تطوير الرياضيات إلى الهند. لقد غيروا بعض مفاهيم علم المثلثات، مما جعلهم أقرب إلى الحديث: على سبيل المثال، كانوا أول من أدخل جيب التمام في الاستخدام.
أول أطروحة متخصصة في علم المثلثات كانت عمل عالم آسيا الوسطى (القرنين العاشر والحادي عشر) "كتاب مفاتيح علم الفلك" (995-996). احتوت دورة كاملة من علم المثلثات على العمل الرئيسي للبيروني - "شريعة مسعود" (الكتاب الثالث). بالإضافة إلى جداول الجيب (بزيادات 15 بوصة)، قدم البيروني جداول الظلال (بزيادات قدرها 1 درجة).

بعد ترجمة الأطروحات العربية إلى اللاتينية في القرنين الثاني عشر والثالث عشر، أصبحت العديد من أفكار علماء الرياضيات الهنود والفارسيين ملكًا للعلوم الأوروبية. على ما يبدو، تم التعارف الأول للأوروبيين مع علم المثلثات بفضل الزيج، الذي تم إجراء ترجمتين له في القرن الثاني عشر.

غالبًا ما يُطلق على أول عمل أوروبي مخصص بالكامل لعلم المثلثات اسم "الرسائل الأربع حول الأوتار المستقيمة والمقلوبة" بقلم عالم فلك إنجليزي (حوالي عام 1320). الجداول المثلثية، غالبًا ما تُترجم من العربية، ولكنها أصلية في بعض الأحيان، موجودة في أعمال عدد من المؤلفين الآخرين في القرنين الرابع عشر والخامس عشر. وفي الوقت نفسه، أخذ علم المثلثات مكانه بين الدورات الجامعية.

وقت جديد

ظهرت كلمة "علم المثلثات" لأول مرة (1505) في عنوان كتاب لعالم اللاهوت والرياضيات الألماني بيتيسكوس، وأصل هذه الكلمة يوناني: مثلث، قياس. بمعنى آخر، علم المثلثات هو علم قياس المثلثات. على الرغم من أن الاسم نشأ مؤخرا نسبيا، إلا أن العديد من المفاهيم والحقائق المرتبطة الآن بعلم المثلثات كانت معروفة منذ ألفي عام.

مفهوم الجيب له تاريخ طويل. في الواقع، تم العثور على نسب مختلفة لأجزاء المثلث والدائرة (وفي جوهرها، الدوال المثلثية) بالفعل في القرن الثامن. قبل الميلاد ه في أعمال علماء الرياضيات العظماء في اليونان القديمة - إقليدس وأرخميدس وأبولونيوس من بيرغا. خلال الفترة الرومانية، تمت دراسة هذه العلاقات بشكل منهجي بالفعل من قبل مينيلوس (قرن قبل الميلاد)، على الرغم من أنها لم تحصل على اسم خاص. على سبيل المثال، تمت دراسة الزاوية السالبة الحديثة كحاصل ضرب نصف الوتر الذي ترتكز عليه الزاوية المركزية، أو كوتر القوس المزدوج.

في الفترة اللاحقة، تم تطوير الرياضيات بنشاط من قبل العلماء الهنود والعرب لفترة طويلة. فيالخامس- الخامسقرون على وجه الخصوص، ظهر مصطلح خاص في أعمال علم الفلك للعالم الهندي العظيم أريابهاتا (476-ج. 550)، وبعد ذلك تم تسمية أول قمر صناعي هندي للأرض.

وفي وقت لاحق، تم اعتماد الاسم المختصر جيفا. علماء الرياضيات العرب في ΙXالخامس. تم استبدال كلمة جيفا (أو جيبا) بالكلمة العربية جيب (التحدب). عند ترجمة النصوص الرياضية العربية إلىXΙΙالخامس. تم استبدال هذه الكلمة بالجيب اللاتيني(التجويف- الانحناء، الانحناء)

كلمة جيب التمام أصغر بكثير. جيب التمام هو اختصار للتعبير اللاتينيإطراءالتجويف، أي "جيب إضافي" (أو "جيب القوس الإضافي"؛ تذكركوسأ= خطيئة(90°- أ)).

عند التعامل مع الدوال المثلثية، فإننا نذهب إلى ما هو أبعد من مهمة "قياس المثلثات". لذلك، اقترح عالم الرياضيات الشهير ف. كلاين (1849-1925) تسمية عقيدة الدوال "المثلثية" بشكل مختلف - قياس الزوايا (الزاوية). ومع ذلك، فإن هذا الاسم لم يمسك.

نشأت الظلال فيما يتعلق بحل مشكلة تحديد طول الظل. يتم إدخال الظل (وكذلك ظل التمام والقاطع وقاطع التمام) فيXالخامس. عالم الرياضيات العربي أبو الوفا، الذي قام بتجميع الجداول الأولى لإيجاد الظلال وظل التمام. إلا أن هذه الاكتشافات ظلت مجهولة لدى العلماء الأوروبيين لفترة طويلة، وأعيد اكتشاف المماسات فيالخامس عشرالخامس. أولا من قبل العالم الإنجليزي T. Braverdin، وبعد ذلك من قبل عالم الرياضيات والفلكي الألماني Regiomontanus (1467). اسم "الظل" يأتي من اللاتينيةطنجة(اللمس)، ظهر عام 1583الظلالتمت ترجمته على أنه "عرضي" (تذكر: خط الظل هو مماس دائرة الوحدة)

التسميات الحديثةأركسينو com.arctgتظهر في عام 1772 في أعمال عالم الرياضيات فيينا شيرفر والعالم الفرنسي الشهير جيه إل لاغرانج، على الرغم من أن جيه بيرنولي قد أخذها في الاعتبار في وقت سابق إلى حد ما، والذي استخدم رمزية مختلفة. لكن هذه الرموز لم تصبح مقبولة بشكل عام إلا في النهايةالخامس عشرقرون. البادئة "قوس" تأتي من اللاتينيةقوسس، على سبيل المثال، هي زاوية (ويمكن للمرء أن يقول قوس)، جيبها يساويس.

لفترة طويلة، تم تطوير علم المثلثات كجزء من الهندسة، أي. إن الحقائق التي نصوغها الآن من حيث الدوال المثلثية قد تمت صياغتها وإثباتها باستخدام المفاهيم والعبارات الهندسية. ربما نشأت أعظم الحوافز لتطوير علم المثلثات فيما يتعلق بحل مشاكل علم الفلك، والتي كانت ذات أهمية عملية كبيرة (على سبيل المثال، حل مشاكل تحديد موقع السفينة، والتنبؤ بالكسوف، وما إلى ذلك)

اهتم علماء الفلك بالعلاقات بين أضلاع وزوايا المثلثات الكروية المكونة من دوائر كبيرة تقع على كرة. وتجدر الإشارة إلى أن علماء الرياضيات القدماء تعاملوا بنجاح مع المشكلات التي كانت أكثر صعوبة بكثير من حل المشكلات في المثلثات المستوية.

على أية حال، في شكل هندسيتم اكتشاف وإعادة اكتشاف العديد من صيغ علم المثلثات المعروفة لنا من قبل علماء الرياضيات اليونانيين والهنود والعرب القدماء (ومع ذلك، أصبحت صيغ الفرق بين الدوال المثلثية معروفة فقط فيالخامس عشرа v. - أخرجهم عالم رياضيات إنجليزي Neper لتبسيط العمليات الحسابية مع الدوال المثلثية. وظهر أول رسم للموجة الجيبية عام 1634)

كان تجميع الجدول الأول للجيب من قبل C. Ptolemy (لفترة طويلة يسمى جدول الأوتار) ذا أهمية أساسية: ظهرت وسيلة عملية لحل عدد من المهام التطبيقية، وفي المقام الأول مشاكل علم الفلك.

عند التعامل مع الجداول الجاهزة، أو استخدام الآلة الحاسبة، فإننا في كثير من الأحيان لا نفكر في حقيقة أنه كان هناك وقت لم تكن فيه الجداول قد اخترعت بعد. من أجل تجميعها، كان من الضروري إجراء ليس فقط كمية كبيرة من الحسابات، ولكن أيضا للتوصل إلى طريقة لتجميع الجداول. جداول بطليموس دقيقة حتى خمس منازل عشرية.

نظرة حديثةتم تقديم علم المثلثات من قبل أعظم علماء الرياضياتالخامس عشرالقرن الثاني L. Euler (1707-1783)، سويسري المولد، الذي عمل في روسيا لسنوات عديدة وكان عضوا في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم. كان أويلر هو أول من قدم التعريفات المعروفة للدوال المثلثية، وبدأ في النظر في دوال الزاوية التعسفية، وحصل على صيغ الاختزال. كل هذا جزء صغير مما تمكن أويلر من فعله في الرياضيات خلال حياته الطويلة: فقد ترك أكثر من 800 عمل وأثبت العديد من النظريات التي أصبحت كلاسيكية، وتتعلق بمختلف مجالات الرياضيات. ولكن إذا حاولت التعامل مع الدوال المثلثية في شكل هندسي، كما فعلت أجيال عديدة من علماء الرياضيات قبل أويلر، فسوف تكون قادرًا على تقدير مزايا أويلر في تنظيم علم المثلثات. بعد أويلر، اكتسب علم المثلثات شكلاً جديدًا من حساب التفاضل والتكامل: بدأ إثبات الحقائق المختلفة من خلال التطبيق الرسمي لصيغ علم المثلثات، وأصبحت البراهين أكثر إحكاما وبساطة.

من تاريخ تطور الهندسة الكروية .

ومن المعروف على نطاق واسع أن الهندسة الإقليدية هي واحدة من أقدم العلوم: موجودة بالفعلثالثاالقرن ما قبل الميلاد ظهر عمل إقليدس الكلاسيكي "العناصر". ما هو أقل شهرة هو أن الهندسة الكروية أحدث قليلاً فقط. يشير عرضه المنهجي الأول إلىأنا- ثانياقرون. في كتاب "الكرات" الذي ألفه عالم الرياضيات اليوناني مينيلوس (أناج.) تم دراسة خواص المثلثات الكروية؛ وقد ثبت، على وجه الخصوص، أن مجموع زوايا المثلث الكروي أكبر من 180 درجة. عالم الرياضيات اليوناني الآخر كلوديوس بطليموس (ثانياالخامس.). في الأساس، كان أول من قام بتجميع جداول الدوال المثلثية وأدخل الإسقاط المجسم.

تمامًا مثل الهندسة الإقليدية، ظهرت الهندسة الكروية في حل المشكلات ذات الطبيعة العملية، وفي المقام الأول مشاكل علم الفلك. وكانت هذه المهام ضرورية، على سبيل المثال، للمسافرين والبحارة الذين يبحرون عبر النجوم. وبما أنه من المناسب في الملاحظات الفلكية الافتراض أن الشمس والقمر والنجوم تتحرك على طول الصورة المصورة " المجال السماوي"، فمن الطبيعي أن دراسة حركتهم كانت تتطلب معرفة هندسة الكرة. ليس من قبيل الصدفة إذن أن أشهر أعمال بطليموس كان بعنوان "البناء الرياضي العظيم لعلم الفلك في 13 كتابًا".

ترتبط الفترة الأكثر أهمية في تاريخ علم المثلثات الكروية بأنشطة العلماء في الشرق الأوسط. نجح العلماء الهنود في حل مسائل علم المثلثات الكروية. ومع ذلك، فإن الطريقة التي وصفها بطليموس والمبنية على نظرية مينيلاوس للشكل الرباعي الكامل لم تستخدم من قبلهم. وفي علم المثلثات الكروية استخدموا طرقًا إسقاطية تتوافق مع الطرق الموجودة في أناليما بطليموس. ونتيجة لذلك، حصلوا على مجموعة من القواعد الحسابية المحددة التي مكنت من حل أي مشكلة تقريبًا في علم الفلك الكروي. وبمساعدتهم، تم اختصار هذه المهمة في نهاية المطاف إلى مقارنة الطائرات المسطحة المماثلة مع بعضها البعض. المثلثات الصحيحة. عند حل المشكلات، غالبا ما تستخدم نظرية المعادلات التربيعية وطريقة التقريبات المتعاقبة. مثال على مشكلة فلكية حلها العلماء الهنود بمساعدة القواعد التي طورها هو المشكلة التي تم تناولها في عمل "Panga Siddhantika" للمخرج Varahamihira (الخامس- السادس). وتتكون من معرفة ارتفاع الشمس، إذا كان خط عرض المكان، وانحراف الشمس وزاوية الساعة معروفة. ونتيجة لحل هذه المشكلة، وبعد سلسلة من الإنشاءات، تم إنشاء علاقة تعادل نظرية جيب التمام الحديثة لمثلث كروي. ومع ذلك، فإن هذه العلاقة ومكافئ آخر لنظرية الجيب لم يتم تعميمهما كقواعد تنطبق على أي مثلث كروي.

ومن بين علماء الشرق الأوائل الذين توجهوا لمناقشة نظرية مينيلوس، ينبغي تسمية الإخوة بني موسى - محمد وحسن وأحمد، أبناء موسى بن شاكر، الذين عملوا في بغداد ودرسوا الرياضيات وعلم الفلك والميكانيكا. لكن أقدم عمل باقٍ حول نظرية مينيلوس هو "دراسة حول شكل القاطع" لتلميذهم ثابت بن قرة (836-901).

وصلت إلينا رسالة ثابت بن قرة بالأصل العربي. وفي الترجمة اللاتينيةالثاني عشرالخامس. انتشرت هذه الترجمة التي قام بها جيراندو كريمونا (1114-1187) في أوروبا في العصور الوسطى.

تاريخ علم المثلثات، كعلم العلاقات بين زوايا وأضلاع المثلث وغيرها الأشكال الهندسية، يمتد لأكثر من ألفي عام. لا يمكن التعبير عن معظم هذه العلاقات باستخدام العمليات الجبرية العادية، ولذلك كان من الضروري إدخال دوال مثلثية خاصة، تم تقديمها في البداية على شكل جداول رقمية.
يعتقد المؤرخون أن علم المثلثات تم إنشاؤه من قبل علماء الفلك القدماء، وبعد ذلك بقليل بدأ استخدامه في الهندسة المعمارية. مع مرور الوقت، توسع نطاق علم المثلثات باستمرار، واليوم يشمل جميع العلوم الطبيعية والتكنولوجيا وعدد من مجالات النشاط الأخرى تقريبًا.

تتنوع المسائل المثلثية المطبقة بشكل كبير - على سبيل المثال، يمكن تحديد نتائج الإجراءات القابلة للقياس عمليًا على الكميات المدرجة (على سبيل المثال، مجموع الزوايا أو نسبة أطوال الجوانب).

بالتوازي مع تطور علم المثلثات المستوية، قام الإغريق، تحت تأثير علم الفلك، بتطوير علم المثلثات الكروية بشكل كبير. في كتاب العناصر لإقليدس لا توجد سوى نظرية حول هذا الموضوع حول نسبة أحجام الكرات ذات الأقطار المختلفة، ولكن احتياجات علم الفلك ورسم الخرائط تسببت في ذلك. تطور سريععلم المثلثات الكروية والمجالات ذات الصلة - الأنظمة الإحداثيات السماوية، نظرية إسقاطات الخرائط، تكنولوجيا الأجهزة الفلكية.

الدورات.

علم المثلثات والحياة الحقيقية

لقد وجدت الدوال المثلثية تطبيقًا في التحليل الرياضي والفيزياء وعلوم الكمبيوتر والجيوديسيا والطب والموسيقى والجيوفيزياء والملاحة.

تطبيق علم المثلثات في الملاحة

الملاحة (هذه الكلمة تأتي من اللاتينيةالملاحة- الإبحار على متن سفينة) من أقدم العلوم. أبسط المهام الملاحية، مثل تحديد أقصر طريق واختيار اتجاه السفر، واجهها الملاحون الأوائل. في الوقت الحالي، يجب حل هذه المشاكل وغيرها ليس فقط من قبل البحارة، ولكن أيضًا من قبل الطيارين ورواد الفضاء. دعونا نلقي نظرة على بعض مفاهيم ومهام التنقل بمزيد من التفصيل.

مهمة. الإحداثيات الجغرافية معروفة - خطوط الطول والعرض للنقطتين A و B على سطح الأرض:، و، . تحتاج لتجد أقصر مسافةبين النقطتين A وB على طول سطح الأرض (يعتبر نصف قطر الأرض معروفًا:ر= 6371 كم)

حل. لنتذكر أولاً أن خط عرض نقطة M على سطح الأرض هو قيمة الزاوية التي يشكلها نصف القطر OM، حيث O هو مركز الأرض، مع المستوى الاستوائي: ≥، وخط العرض إلى الشمال من ويعتبر خط الاستواء موجباً، وجنوباً – سلبياً (الشكل 1)

خط طول النقطة M هو قيمة زاوية ثنائي السطوح بين المستويين COM و SON، حيث C هو القطب الشمالي للأرض، و H هي النقطة المقابلة لمرصد غرينتش: ≥ (إلى الشرق من خط الطول غرينتش، يعتبر خط الطول إيجابيا، إلى الغرب - سلبي).

كما هو معروف بالفعل، فإن أقصر مسافة بين النقطتين A و B على سطح الأرض هي طول أصغر أقواس الدائرة الكبرى التي تربط A و B (يُطلق على هذا القوس اسم orthodrome - المترجم من اليونانية يعني "الجري المستقيم" ). ولذلك، فإن مهمتنا تتلخص في تحديد طول الضلع AB للمثلث الكروي ABC (C هو القطب الشمالي).

باستخدام الترميز القياسي لعناصر المثلث ABC والزاوية ثلاثية السطوح المقابلة OABC، من شروط المشكلة نجد: α = = - , β = (الشكل 2).

ليس من الصعب أيضًا التعبير عن الزاوية C من خلال إحداثيات النقطتين A وB. بحكم التعريف، ≥، وبالتالي، إما الزاوية C =، إذا ≥، أو -، إذا. المعرفة = استخدام نظرية جيب التمام: = + (-). بمعرفة الزاوية، نجد المسافة المطلوبة: =.

علم المثلثات في الملاحة 2.

لرسم مسار السفينة على الخريطة المرسومة في إسقاط جيرهارد مركاتور (1569)، كان من الضروري تحديد خط العرض. عند الإبحار في البحر الأبيض المتوسط في اتجاهات تصل إلىالسابع عشرالخامس. لم يتم تحديد خط العرض. كان إدموند غونتر (1623) أول من استخدم الحسابات المثلثية في الملاحة.

يساعد علم المثلثات في حساب تأثير الرياح على رحلة الطائرة. مثلث السرعة هو المثلث الذي يتكون من متجه السرعة الجوية (الخامس) ، ناقلات الرياح(دبليو) ، ناقل السرعة الأرضية (الخامسص ). PU – زاوية الاتجاه، UL – زاوية الرياح، KUV – زاوية الرياح الاتجاهية.

العلاقة بين عناصر مثلث سرعة التنقل لها الشكل:

الخامس ص = الخامس كوس العاصمة + دبليو كوس الأشعة فوق البنفسجية. خطيئة العاصمة = * خطيئة الأشعة فوق البنفسجية، tg HC =

يتم حل مثلث التنقل للسرعات باستخدام الأجهزة الحسابية، على مسطرة التنقل وفي العقل تقريبًا.

علم المثلثات في الجبر.

فيما يلي مثال على حل معادلة معقدة باستخدام الاستبدال المثلثي.

نظرا للمعادلة

يترك , نحن نحصل

;

أين: أو

مع الأخذ في الاعتبار القيود التي نحصل عليها:

علم المثلثات في الفيزياء

أينما يتعين علينا التعامل مع العمليات والتذبذبات الدورية - سواء كان ذلك الصوتيات أو البصريات أو تأرجح البندول، فإننا نتعامل مع الدوال المثلثية. صيغ التذبذب:

أين أ- سعة التذبذب، - التردد الزاوي للتذبذب، - المرحلة الأولىالتقلبات

مرحلة التذبذب.

عند غمر الأشياء في الماء، فإنها لا تتغير شكلها أو حجمها. السر كله هو التأثير البصري الذي يجعل رؤيتنا ترى الشيء بشكل مختلف. إن أبسط الصيغ المثلثية وقيم جيب زاوية السقوط والانكسار للحزمة تجعل من الممكن حساب معامل الانكسار الثابت عندما يمر شعاع الضوء من متوسط إلى متوسط. على سبيل المثال، يحدث قوس قزح بسبب انكسار ضوء الشمس بواسطة قطرات الماء المعلقة في الهواء وفقًا لقانون الانكسار:

خطيئة α /الخطيئة β = ن 1 /ن 2

أين:

ن 1 - معامل انكسار الوسط الأول
ن 2 - معامل الانكسار للوسط الثاني

α -زاوية السقوط، β - زاوية انكسار الضوء.

يتم تحديد اختراق جزيئات الرياح الشمسية المشحونة إلى الغلاف الجوي العلوي للكواكب من خلال تفاعل المجال المغناطيسي للكوكب مع الرياح الشمسية.

القوة المؤثرة على جسيم مشحون يتحرك في مجال مغناطيسي تسمى قوة لورنتز. وهو يتناسب مع شحنة الجسيم والمنتج المتجه للمجال وسرعة الجسيم.

كمثال عملي، فكر في مشكلة فيزيائية يمكن حلها باستخدام علم المثلثات.

مهمة. على مستوى مائل يصنع زاوية قياسها 24.5 مع الأفقيا ، هناك جسم يزن 90 كجم. أوجد القوة التي يضغط بها هذا الجسم على المستوى المائل (أي مقدار الضغط الذي يؤثر به الجسم على هذا المستوى).

حل:

بعد تحديد المحورين X وY، نبدأ في بناء إسقاطات القوى على المحور، أولاً باستخدام هذه الصيغة:

أماه = ن + ملغ ثم انظر إلى الرسم

X : ma = 0 + mg sin24.5 0

Y: 0 = N – ملغم cos24.5 0

ن = ملغ كوس 24,5 0

نعوض بالكتلة ونجد أن القوة تساوي 819 نيوتن.

الجواب: 819 ن

علم المثلثات في الطب والبيولوجيا

واحد من الخصائص الأساسيةالطبيعة الحية هي الطبيعة الدورية لمعظم العمليات التي تحدث فيها.

الإيقاعات البيولوجية، الإيقاعات الحيوية- هذه تغييرات منتظمة إلى حد ما في طبيعة وكثافة العمليات البيولوجية.

إيقاع الأرض الأساسي– بدل يومي.

يمكن بناء نموذج للإيقاعات الحيوية باستخدام الدوال المثلثية.

لبناء نموذج للإيقاع الحيوي، يجب عليك إدخال تاريخ ميلاد الشخص والتاريخ المرجعي (اليوم والشهر والسنة) والمدة المتوقعة (عدد الأيام).

حتى أن بعض مناطق الدماغ تسمى الجيوب الأنفية.

تتكون جدران الجيوب الأنفية من الأم الجافية، المبطنة بالبطانة. تجويف الجيوب الأنفية، والصمامات والأنسجة العضلية، على عكس الأوردة الأخرى، غائبة. يوجد في تجويف الجيوب الأنفية حواجز ليفية مغطاة بالبطانة. من الجيوب الأنفية، يتدفق الدم إلى الأوردة الوداجية الداخلية، بالإضافة إلى ذلك، هناك اتصال بين الجيوب الأنفية وأوردة السطح الخارجي للجمجمة من خلال المنافذ الوريدية الاحتياطية.

تحدث حركة الأسماك في الماء وفقًا لقانون الجيب أو جيب التمام، إذا قمت بتثبيت نقطة على الذيل ثم نظرت في مسار الحركة.

عند السباحة، يأخذ جسم السمكة شكل منحنى يشبه الرسم البياني

المهام ذ= tgx.

علم المثلثات في الموسيقى

نستمع إلى الموسيقى بالتنسيقmp3.

الإشارة الصوتية هي موجة، وهذا هو "الرسم البياني" الخاص بها.

كما ترون، على الرغم من أنها معقدة للغاية، إلا أنها جيبية تخضع لقوانين علم المثلثات.

في ربيع عام 2003، استضاف مسرح موسكو الفني عرضًا لألبوم "علم المثلثات" لمجموعة "Night Snipers"، العازفة المنفردة ديانا أربينينا. يكشف محتوى الألبوم عن المعنى الأصلي لكلمة "علم المثلثات" - قياس الأرض.

علم المثلثات في علوم الكمبيوتر

يمكن استخدام الدوال المثلثية لإجراء حسابات دقيقة.

باستخدام الدوال المثلثية يمكنك تقريب أي منها

(بمعنى "جيد")، وتوسيعها إلى سلسلة فورييه:

أ 0 + أ 1 كوس س + ب 1 الخطيئة س + أ 2 كوس 2س + ب 2 الخطيئة 2x + أ 3 كوس 3س + ب 3 الخطيئة 3x + ...

اختيار الأرقام بشكل مناسبأ 0، أ 1، ب 1، أ 2، ب 2، ...، من الممكن تمثيل أي دالة تقريبًا في الكمبيوتر في شكل مثل هذا المبلغ (اللانهائي) بالدقة المطلوبة.

تعتبر الدوال المثلثية مفيدة عند التعامل مع المعلومات الرسومية. من الضروري محاكاة (وصف في الكمبيوتر) دوران جسم ما حول محور معين. يحدث الدوران بزاوية معينة. لتحديد إحداثيات النقاط، سيتعين عليك الضرب في الجيب وجيب التمام.

جاستن ويندل، مبرمج ومصمم منجوجل جرافيكا مختبر نشر عرضًا توضيحيًا يوضح أمثلة لاستخدام الدوال المثلثية لإنشاء رسوم متحركة ديناميكية.

علم المثلثات في البناء والجيوديسيا

ترتبط أطوال الأضلاع وقيم زوايا المثلث التعسفي على المستوى ببعضها البعض بعلاقات معينة، أهمها ما يسمى بنظريات جيب التمام والجيب.

2ab

= =

في هذه الصيغ أ،ب, ج- أطوال أضلاع المثلث ABC، المتقابلة على التوالي مع الزوايا A، B، C. تتيح لنا هذه الصيغ إعادة بناء العناصر الثلاثة المتبقية من العناصر الثلاثة للمثلث - أطوال الأضلاع والزوايا. يتم استخدامها في حل المشكلات العملية، على سبيل المثال في الجيوديسيا.

تعتمد جميع الجيوديسيا "الكلاسيكية" على علم المثلثات. منذ ذلك الحين، في الواقع، منذ العصور القديمة، شارك المساحون في "حل" المثلثات.

تبدأ عملية تشييد المباني والطرق والجسور وغيرها من الهياكل بأعمال المسح والتصميم. يتم إجراء جميع القياسات في موقع البناء باستخدام أدوات المسح مثل المزواة والمستوى المثلثي. ومن خلال التسوية المثلثية يتم تحديد فرق الارتفاع بين عدة نقاط على سطح الأرض.

خاتمة

لقد ظهر علم المثلثات من خلال الحاجة إلى قياس الزوايا، لكنه تطور مع مرور الوقت إلى علم الدوال المثلثية.

يرتبط علم المثلثات ارتباطًا وثيقًا بالفيزياء ويوجد في الطبيعة والموسيقى والهندسة المعمارية والطب والتكنولوجيا.

ينعكس علم المثلثات في حياتنا، وستتوسع المجالات التي يلعب فيها دورًا مهمًا، لذا فإن معرفة قوانينه ضرورية للجميع.

تتيح لنا العلاقة بين الرياضيات والعالم الخارجي "تجسيد" معرفة تلاميذ المدارس. وهذا يساعدنا على فهم الضرورة الحيوية للمعرفة المكتسبة في المدرسة بشكل أفضل.

نعني بالمشكلة الرياضية ذات المحتوى العملي (مشكلة ذات طبيعة تطبيقية) المشكلة التي تكشف حبكتها عن تطبيقات الرياضيات في المجالات ذات الصلة. التخصصات الأكاديميةوالتكنولوجيا في الحياة اليومية.

قصة عن الأسباب التاريخية لظهور علم المثلثات وتطوره تطبيق عملييحفز اهتمام أطفال المدارس بالموضوع الذي تتم دراسته، ويشكل نظرتنا للعالم ويحسن الثقافة العامة.

فهرس:

مقدمة

ترتبط العمليات الحقيقية في العالم المحيط عادة بعدد كبير من المتغيرات والتبعيات فيما بينها. يمكن وصف هذه التبعيات باستخدام الوظائف. لقد لعب مفهوم "الوظيفة" ولا يزال يلعب دورًا كبيرًا في الإدراك العالم الحقيقي. تتيح لنا معرفة خصائص الوظائف فهم جوهر العمليات الجارية والتنبؤ بمسار تطورها وإدارتها. وظائف التعلم هي مناسبدائماً.

هدف: تحديد العلاقة بين الوظائف المثلثية وظواهر العالم المحيط وإظهار أن هذه الوظائف تستخدم على نطاق واسع في الحياة.

مهام:

1. دراسة الأدبيات ومصادر الوصول عن بعد حول موضوع المشروع.

2. تعرف على قوانين الطبيعة التي يتم التعبير عنها من خلال الدوال المثلثية.

3. ابحث عن أمثلة لاستخدام الدوال المثلثية في العالم الخارجي.

4. تحليل وتنظيم المواد المتاحة.

5. تحضير المواد المصممة وفقاً للمتطلبات مشروع المعلومات.

6. تطوير العرض الإلكتروني بما يتوافق مع محتوى المشروع.

7. تحدث في المؤتمر بنتائج العمل المنجز.

في المرحلة التحضيريةلقد وجدت مادة حول هذا الموضوع وقرأتها وطرحت فرضيات وصياغة هدف مشروعي. بدأت في البحث عن المعلومات اللازمة، ودراسة الأدبيات المتعلقة بموضوعي والمواد من موارد الوصول عن بعد.

في المرحلة الرئيسيةتم اختيار المعلومات حول الموضوع وتجميعها، وتم تحليل المواد الموجودة. لقد اكتشفت التطبيقات الرئيسية للدوال المثلثية. تم تلخيص جميع البيانات وتنظيمها. ثم تم وضع نسخة نهائية شاملة للمشروع المعلوماتي وتم تجميع عرض تقديمي حول موضوع البحث.

في المرحلة النهائيةتم تحليل عرض العمل للمسابقة. في هذه المرحلة، كان من المتوقع أيضًا أن تقوم الأنشطة بتنفيذ جميع المهام الموكلة إليها، وتلخيص النتائج، أي تقييم أنشطة الفرد.

شروق الشمس وغروبها، والتغيرات في مراحل القمر، وتناوب الفصول، ونبضات القلب، ودورات حياة الجسم، ودوران العجلة، ومد وجزر البحر وتدفقاته - يتم وصف نماذج هذه العمليات المتنوعة بالوظائف المثلثية.

علم المثلثات في الفيزياء.

في التكنولوجيا والعالم من حولنا، غالبًا ما يتعين علينا التعامل مع عمليات دورية (أو شبه دورية) تتكرر على فترات منتظمة. تسمى هذه العمليات بالتذبذب. تخضع الظواهر التذبذبية ذات الطبيعة الفيزيائية المختلفة لقوانين عامة. على سبيل المثال، يمكن وصف تذبذبات التيار في الدائرة الكهربائية وتذبذبات البندول الرياضي بنفس المعادلات. إن القواسم المشتركة بين الأنماط التذبذبية تسمح لنا بالنظر في العمليات التذبذبية ذات الطبيعة المختلفة من وجهة نظر واحدة. جنبا إلى جنب مع التقدمية و الحركات الدورانيةفي ميكانيكا الأجسام، تعتبر الحركات التذبذبية أيضًا ذات أهمية كبيرة.

الاهتزازات الميكانيكيةهي حركات الأجسام التي تتكرر بالضبط (أو تقريبًا) على فترات زمنية متساوية. يتم تحديد قانون حركة الجسم المتأرجح باستخدام دالة دورية معينة للوقت x = f(t). يعطي التمثيل الرسومي لهذه الوظيفة تمثيلاً مرئيًا لمسار العملية التذبذبية مع مرور الوقت. مثال على موجة من هذا النوع هي الموجات التي تنتقل على طول شريط مطاطي مشدود أو على طول خيط.

من أمثلة الأنظمة التذبذبية البسيطة الحمل على زنبرك أو بندول رياضي (الشكل 1).

رسم بياني 1. أنظمة التذبذب الميكانيكية.

الاهتزازات الميكانيكيةمثل العمليات التذبذبية من أي طبيعة فيزيائية أخرى، يمكن أن تكون حرة وقسرية. تحدث الاهتزازات الحرة تحت تأثير القوى الداخلية للنظام، بعد أن يخرج النظام عن التوازن. تعتبر تذبذبات الوزن على الزنبرك أو تذبذبات البندول تذبذبات حرة. تسمى التذبذبات التي تحدث تحت تأثير القوى الخارجية المتغيرة بشكل دوري بالقوة.

يوضح الشكل 2 الرسوم البيانية للإحداثيات والسرعة والتسارع لجسم يقوم بالاهتزازات التوافقية.

أبسط نوع من العمليات التذبذبية هو التذبذبات التوافقية البسيطة، والتي توصف بالمعادلة:

س = م كوس (ωt + و 0).

الشكل 2 - الرسوم البيانية للإحداثيات x(t)، السرعة υ(t)

وتسارع (ر) الجسم الذي يحدث اهتزازات توافقية.

موجات صوتيةأو ببساطة الصوت هو الاسم الذي يطلق على الموجات التي تدركها الأذن البشرية.

إذا تم إثارة اهتزازات الجزيئات في أي مكان في وسط صلب أو سائل أو غازي، فبسبب تفاعل ذرات وجزيئات الوسط، تبدأ الاهتزازات في الانتقال من نقطة إلى أخرى بسرعة محدودة. تسمى عملية انتشار الاهتزازات في الوسط موجة.

تعتبر الموجات التوافقية أو الجيبية البسيطة ذات أهمية كبيرة للممارسة. وهي تتميز بالسعة A لاهتزازات الجسيمات والتردد f والطول الموجي lect. تنتشر الموجات الجيبية في وسط متجانس بسرعة ثابتة معينة.

ولو أن البصر البشري لديه القدرة على رؤية الموجات الصوتية والكهرومغناطيسية والراديو، لرأينا حولنا العديد من الجيوب الأنفية بمختلف أنواعها.

من المؤكد أن الجميع لاحظوا أكثر من مرة الظاهرة عندما تغير الأجسام التي يتم إنزالها في الماء حجمها ونسبها على الفور. ظاهرة مثيرة للاهتمام: تغمر يدك في الماء، فتتحول على الفور إلى يد شخص آخر. لماذا يحدث هذا؟ الجواب على هذا السؤال والشرح التفصيلي لهذه الظاهرة، كما هو الحال دائما، يقدمه الفيزياء - وهو العلم الذي يمكن أن يفسر كل ما يحيط بنا في هذا العالم تقريبا.

لذلك، في الواقع، عندما تكون مغمورة في الماء، فإن الأشياء، بالطبع، لا تغير حجمها أو مخططها. هذا مجرد تأثير بصري، أي أننا ندرك بصريًا هذا الكائن بشكل مختلف. يحدث هذا بسبب خصائص شعاع الضوء. وتبين أن سرعة انتشار الضوء تتأثر بشكل كبير بما يسمى بالكثافة الضوئية للوسط. كلما زادت كثافة هذا الوسط البصري، كلما كان انتشار شعاع الضوء أبطأ.

لكن حتى التغير في سرعة شعاع الضوء لا يفسر بشكل كامل الظاهرة التي ندرسها. هناك عامل آخر. لذلك، عندما يمر شعاع الضوء بالحد الفاصل بين وسط بصري أقل كثافة، مثل الهواء، ووسط بصري أكثر كثافة، مثل الماء، فإن جزءًا من شعاع الضوء لا يخترق الوسط الجديد، بل ينعكس عن سطحه. ويخترق الجزء الآخر من شعاع الضوء إلى الداخل، لكنه يتغير اتجاهه.

تسمى هذه الظاهرة انكسار الضوء، وقد تمكن العلماء منذ فترة طويلة ليس فقط من المراقبة، ولكن أيضًا من حساب زاوية هذا الانكسار بدقة. اتضح أن أبسط الصيغ المثلثية ومعرفة جيب زاوية السقوط وزاوية الانكسار تجعل من الممكن معرفة معامل الانكسار الثابت لانتقال شعاع الضوء من وسط معين إلى آخر. على سبيل المثال، معامل انكسار الهواء صغير للغاية ويبلغ 1.0002926، ومعامل انكسار الماء أعلى قليلاً - 1.332986، والماس ينكسر الضوء بمعامل 2.419، والسيليكون - 4.010.

هذه الظاهرة تكمن وراء ما يسمى نظريات قوس قزح.تم اقتراح نظرية قوس قزح لأول مرة في عام 1637 من قبل رينيه ديكارت. وأوضح قوس قزح كظاهرة تتعلق بانعكاس وانكسار الضوء في قطرات المطر.

يحدث قوس قزح بسبب انكسار ضوء الشمس بواسطة قطرات الماء المعلقة في الهواء وفقًا لقانون الانكسار:

حيث n 1 =1، n 2 ≈1.33 هي معاملات انكسار الهواء والماء، على التوالي، α هي زاوية السقوط، و β هي زاوية انكسار الضوء.

تطبيق علم المثلثات في الفن والعمارة.

وكانت العلاقة التناسبية في بناء التمثال مثالية. ومع ذلك، عندما تم رفع التمثال على قاعدة عالية، بدا قبيحًا. لم يأخذ النحات في الاعتبار أنه في المنظور، نحو الأفق، يتم تقليل العديد من التفاصيل وعند النظر من الأسفل إلى الأعلى، لم يعد يتم خلق الانطباع بمثاليته. تم إجراء العديد من الحسابات للتأكد من أن الشكل من ارتفاع كبير يبدو متناسبًا. واعتمدوا بشكل أساسي على طريقة الرؤية، أي القياس التقريبي بالعين. ومع ذلك، فإن معامل الاختلاف بنسب معينة جعل من الممكن جعل الرقم أقرب إلى المثالية. وبالتالي، بمعرفة المسافة التقريبية من التمثال إلى نقطة الرؤية، أي من أعلى التمثال إلى عيون الشخص وارتفاع التمثال، يمكننا حساب جيب زاوية سقوط الرؤية باستخدام الجدول، وبالتالي إيجاد وجهة النظر (الشكل 4).

في الشكل 5 يتغير الوضع، بما أن التمثال مرفوع إلى ارتفاع AC ويزداد NS، فيمكننا حساب قيم جيب التمام للزاوية C، ومن الجدول سنجد زاوية سقوط النظرة. في هذه العملية، يمكنك حساب AN، بالإضافة إلى جيب الزاوية C، مما سيسمح لك بالتحقق من النتائج باستخدام الهوية المثلثية الأساسية جتا 2 أ + خطيئة 2 أ = 1.

علم المثلثات في علم الأحياء.

الإيقاعات البيولوجية، الإيقاعات الحيوية، هي تغيرات منتظمة إلى حد ما في طبيعة وكثافة العمليات البيولوجية. إن القدرة على إجراء مثل هذه التغييرات في نشاط الحياة موروثة وتوجد في جميع الكائنات الحية تقريبًا. ويمكن ملاحظتها في الخلايا الفردية والأنسجة والأعضاء والكائنات الحية بأكملها والسكان. وتنقسم الإيقاعات الحيوية إلى فسيولوجية, وجود فترات من أجزاء من الثانية إلى عدة دقائق و البيئية,المدة تتزامن مع أي إيقاع للبيئة. وتشمل هذه الإيقاعات اليومية والموسمية والسنوية والمد والجزر والقمر. يتم تحديد الإيقاع الأرضي الرئيسي يوميًا من خلال دوران الأرض حول محورها، وبالتالي فإن جميع العمليات في الكائن الحي تقريبًا لها دورية يومية.

العديد من العوامل البيئية على كوكبنا، وفي المقام الأول ظروف الإضاءة ودرجة الحرارة وضغط الهواء والرطوبة، والمجالات الجوية والكهرومغناطيسية، والمد والجزر البحرية، تتغير بشكل طبيعي تحت تأثير هذا الدوران.

الإيقاع الحيوي الجسدي- ينظم النشاط البدني. خلال النصف الأول من الدورة البدنية، يكون الشخص نشيطًا ويحقق نتائج أفضل في أنشطته (النصف الثاني - الطاقة تفسح المجال للكسل).

إيقاع عاطفي– خلال فترات نشاطه تزداد الحساسية ويتحسن المزاج. يصبح الشخص منفعلا لمختلف الكوارث الخارجية. إذا كان بمزاج جيد فإنه يبني قصوراً في الهواء ويحلم بالوقوع في الحب ويقع في الحب. عندما ينخفض الإيقاع الحيوي العاطفي، تنخفض القوة العقلية، وتختفي الرغبة والمزاج البهيج.

الإيقاع الحيوي الفكري -فهو يتحكم في الذاكرة، والقدرة على التعلم، والتفكير المنطقي. في مرحلة النشاط ارتفاع، وفي المرحلة الثانية تراجع في النشاط الإبداعي، فلا حظ ولا نجاح.

نظرية الإيقاعات الثلاثة.

· الدورة البدنية - 23 يومًا. يحدد الطاقة والقوة والتحمل وتنسيق الحركة

· الدورة العاطفية – 28 يوماً. حالة الجهاز العصبي والمزاج

· الدورة الفكرية – 33 يوماً. يحدد القدرة الإبداعية للفرد

علم المثلثات يحدث أيضا في الطبيعة. حركة الأسماك في الماءيحدث وفقًا لقانون الجيب أو جيب التمام، إذا قمت بتثبيت نقطة على الذيل ثم نظرت في مسار الحركة. عند السباحة، يأخذ جسم السمكة شكل منحنى يشبه الرسم البياني للدالة y=tgx.

عندما يطير الطائر، يشكل مسار الأجنحة المرفرفة شكلًا جيبيًا.

علم المثلثات في الطب.

نتيجة لدراسة أجراها الطالب الإيراني بجامعة شيراز وحيد رضا عباسي، تمكن الأطباء لأول مرة من تنظيم المعلومات المتعلقة بالنشاط الكهربائي للقلب، أو بعبارة أخرى، تخطيط كهربية القلب.

يساعد علم المثلثات دماغنا على تحديد المسافات إلى الأشياء. يدعي العلماء الأمريكيون أن الدماغ يقدر المسافة إلى الأشياء عن طريق قياس الزاوية بين مستوى الأرض ومستوى الرؤية. تم التوصل إلى هذا الاستنتاج بعد سلسلة من التجارب التي طُلب فيها من المشاركين النظر إلى العالم من حولهم من خلال منشورات تزيد من هذه الزاوية.

أدى هذا التشويه إلى حقيقة أن حاملات المنشور التجريبي نظرت إلى الأجسام البعيدة على أنها أقرب ولم تتمكن من التعامل مع أبسط الاختبارات. حتى أن بعض المشاركين في التجارب انحنوا إلى الأمام محاولين محاذاة أجسادهم بشكل عمودي على سطح الأرض الذي تم تصوره بشكل غير صحيح. ومع ذلك، بعد 20 دقيقة، اعتادوا على الإدراك المشوه، واختفت جميع المشاكل. يشير هذا الظرف إلى مرونة الآلية التي يكيف بها الدماغ النظام البصري مع الظروف الخارجية المتغيرة. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه بعد إزالة المنشور، لوحظ التأثير المعاكس لبعض الوقت - المبالغة في تقدير المسافة.

خاتمة

حاليًا، تُستخدم الحسابات المثلثية في جميع مجالات الهندسة والفيزياء والهندسة تقريبًا. أهمية عظيمةيمتلك تقنية التثليث التي تتيح لك قياس المسافات إلى النجوم القريبة في علم الفلك، وبين المعالم في الجغرافيا، والتحكم في أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية. تجدر الإشارة أيضًا إلى تطبيقات علم المثلثات في مجالات مثل نظرية الموسيقى، والصوتيات، والبصريات، وتحليل السوق المالية، والإلكترونيات، ونظرية الاحتمالات، والإحصاء، والطب (بما في ذلك الموجات فوق الصوتية والتصوير المقطعي المحوسب)، والمستحضرات الصيدلانية، والكيمياء، ونظرية الأعداد، وعلم الزلازل، والأرصاد الجوية، وعلم المحيطات. ، رسم الخرائط، العديد من فروع الفيزياء، الطبوغرافيا والجيوديسيا، الهندسة المعمارية، الاقتصاد، الهندسة الإلكترونية، الهندسة الميكانيكية، رسومات الحاسوب، علم البلورات.

الاستنتاجات:

· اكتشفنا أن علم المثلثات نشأ بسبب الحاجة إلى قياس الزوايا، لكنه تطور مع مرور الوقت إلى علم الدوال المثلثية.

· لقد أثبتنا أن علم المثلثات يرتبط ارتباطاً وثيقاً بالفيزياء والأحياء، وهو موجود في الطبيعة والعمارة والطب.

· نعتقد أن علم المثلثات قد وجد طريقه إلى حياتنا، وسوف تستمر المجالات التي يلعب فيها دورًا مهمًا في التوسع.

الأدب

1. عليموف شا وآخرون "الجبر وبدايات التحليل" كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام، م، بروسفيشتشيني، 2010.

2. فيلينكين ن.يا. وظائف في الطبيعة والتكنولوجيا: كتاب. خارج المنهج قراءات الصفوف من التاسع إلى العشرين. – الطبعة الثانية، المنقحة – م: التنوير، 1985.

3. جليزر جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة: الصفوف من التاسع إلى العاشر. - م: التربية، 1983.

4. ماسلوفا ت.ن. "دليل الطالب في الرياضيات"

5. ريبنيكوف ك.أ. تاريخ الرياضيات: كتاب مدرسي. - م: دار النشر جامعة موسكو الحكومية، 1994.

6. أوشيبا.رو

7. Math.ru "مكتبة"

MKOU "نينتس للتعليم العام المدرسة الثانوية- مدرسة داخلية سميت باسمها أي بي بيريركي"

مشروع تعليمي

" "

دانيلوفا تاتيانا فلاديميروفنا

مدرس رياضيات

2013

مبررات أهمية المشروع.

علم المثلثات هو فرع الرياضيات الذي يدرس الدوال المثلثية. من الصعب أن نتخيل ذلك، لكننا نواجه هذا العلم ليس فقط في دروس الرياضيات، ولكن أيضًا في حياتنا اليومية. ربما لم تكن تشك في ذلك، ولكن علم المثلثات موجود في علوم مثل الفيزياء والبيولوجيا، ويلعب دورا مهما في الطب، والأكثر إثارة للاهتمام، حتى الموسيقى والهندسة المعمارية لا يمكن الاستغناء عنها.
ظهرت كلمة علم المثلثات لأول مرة في عام 1505 في عنوان كتاب لعالم الرياضيات الألماني بيتيسكوس.
علم المثلثات كلمة يونانية، وترجمتها الحرفية تعني قياس المثلثات (تريجونان - مثلث، متريو - أقيس).
ارتبط ظهور علم المثلثات ارتباطًا وثيقًا بمسح الأراضي وعلم الفلك والبناء.

لا يعرف تلميذ المدرسة الذي يتراوح عمره بين 14 و 15 عامًا دائمًا أين سيذهب للدراسة وأين سيعمل.
بالنسبة لبعض المهن، معرفتها ضرورية، لأن... يتيح لك قياس المسافات إلى النجوم القريبة في علم الفلك، وبين المعالم في الجغرافيا، والتحكم في أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية. تُستخدم مبادئ علم المثلثات أيضًا في مجالات مثل نظرية الموسيقى، والصوتيات، والبصريات، وتحليل السوق المالية، والإلكترونيات، ونظرية الاحتمالات، والإحصاء، وعلم الأحياء، والطب (بما في ذلك الموجات فوق الصوتية والتصوير المقطعي المحوسب)، والمستحضرات الصيدلانية، والكيمياء، ونظرية الأعداد (و، كما ونتيجة لذلك، التشفير)، وعلم الزلازل، والأرصاد الجوية، وعلم المحيطات، ورسم الخرائط، والعديد من فروع الفيزياء، والتضاريس والجيوديسيا، والهندسة المعمارية، وعلم الصوتيات، والاقتصاد، والهندسة الإلكترونية، والهندسة الميكانيكية، ورسومات الكمبيوتر، وعلم البلورات.

تعريف موضوع البحث

لماذا معرفة علم المثلثات ضرورية ل الإنسان المعاصر?

3.أهداف المشروع.

العلاقة بين علم المثلثات والحياة الحقيقية.

سؤال إشكالي
1. ما هي مفاهيم علم المثلثات الأكثر استخدامًا في الحياة الواقعية؟
2. ما هو الدور الذي يلعبه علم المثلثات في علم الفلك والفيزياء والأحياء والطب؟
3. كيف ترتبط الهندسة المعمارية والموسيقى وعلم المثلثات؟

فرضية

غالبية الظواهر الفيزيائيةيمكن وصف الطبيعة والعمليات الفسيولوجية والأنماط في الموسيقى والفن باستخدام حساب المثلثات والوظائف المثلثية.

اختبار الفرضيات

علم المثلثات (من اليونانية تريجونون - مثلث، مترو - قياس) - قسم مجهري من الرياضيات، والذي يدرس العلاقات بين قيم الزوايا وأطوال أضلاع المثلثات، وكذلك المتطابقات الجبرية للدوال المثلثية.

نشأت بدايات المعرفة المثلثية في العصور القديمة. في مرحلة مبكرة، تطور علم المثلثات بشكل وثيق مع علم الفلك وكان فرعه المساعد.

تاريخ علم المثلثات:

تعود أصول علم المثلثات إلى مصر القديمة وبابل ووادي السند منذ أكثر من 3000 عام.

ظهرت كلمة علم المثلثات لأول مرة في عام 1505 في عنوان كتاب لعالم الرياضيات الألماني بيتيسكوس.

لأول مرة، تم العثور على طرق لحل المثلثات على أساس التبعيات بين جوانب وزوايا المثلث من قبل علماء الفلك اليونانيين القدماء هيبارخوس وبطليموس.

كان القدماء يحسبون ارتفاع الشجرة من خلال مقارنة طول ظلها بطول ظل عمود معروف ارتفاعه. تم استخدام النجوم لحساب موقع السفينة في البحر.

الخطوة التالية في تطوير علم المثلثات اتخذها الهنود في الفترة من القرن الخامس إلى القرن الثاني عشر.

ظهر مصطلح جيب التمام نفسه في وقت لاحق في أعمال العلماء الأوروبيين لأول مرة في نهاية القرن السادس عشر مما يسمى بـ "جيب المكمل"، أي. جيب الزاوية التي تكمل الزاوية المعطاة إلى 90 درجة. بدأ اختصار "جيب المكمل" أو (باللاتينية) الجيوب الأنفية المكملة على أنها الجيوب الأنفية المشتركة أو الجيوب الأنفية المشتركة.

في السابع عشر – التاسع عشر قرون يصبح علم المثلثات أحد فصول التحليل الرياضي.

ويجد تطبيقًا واسعًا في الميكانيكا والفيزياء والتكنولوجيا، خاصة في دراسة الحركات التذبذبية والعمليات الدورية الأخرى.

أثبت جان فورييه أن أي حركة دورية يمكن تمثيلها (بأي درجة من الدقة) كمجموع من التذبذبات التوافقية البسيطة.

مراحل تطور علم المثلثات:

لقد تم إحياء علم المثلثات من خلال الحاجة إلى قياس الزوايا.

كانت الخطوات الأولى في علم المثلثات هي إنشاء اتصالات بين حجم الزاوية ونسبة قطع الخطوط المستقيمة المصممة خصيصًا. والنتيجة هي القدرة على حل المثلثات المستوية.

الحاجة إلى جدولة قيم الدوال المثلثية المدخلة.

تحولت الدوال المثلثية إلى كائنات مستقلة للبحث.

في القرن ال 18 تم تضمين الوظائف المثلثية

في نظام التحليل الرياضي.

أين يتم استخدام علم المثلثات؟

تُستخدم الحسابات المثلثية في جميع مجالات الحياة البشرية تقريبًا. وتجدر الإشارة إلى أنه يستخدم في مجالات مثل علم الفلك والفيزياء والطبيعة والأحياء والموسيقى والطب وغيرها الكثير.

حساب المثلثات في علم الفلك:

تم اكتشاف الحاجة إلى حل المثلثات لأول مرة في علم الفلك؛ لذلك، لفترة طويلة، تم تطوير علم المثلثات ودراسته كأحد فروع علم الفلك.

مكّنت جداول مواقع الشمس والقمر التي جمعها هيبارخوس من إجراء حساب مسبق لحظات بداية الكسوف (مع وجود خطأ قدره 1-2 ساعة). كان هيبارخوس أول من استخدم طرق حساب المثلثات الكروية في علم الفلك. لقد زاد من دقة الملاحظات باستخدام تقاطع الخيوط في أدوات قياس الزوايا - السدسات والأرباع - للإشارة إلى النجم. قام العالم بتجميع كتالوج ضخم لمواقع 850 نجمًا في تلك الأوقات، وقسمها حسب السطوع إلى 6 درجات (مقادير نجمية). قدم هيبارخوس الإحداثيات الجغرافية - خطوط الطول والعرض، ويمكن اعتباره مؤسس الجغرافيا الرياضية. (ج. 190 ق.م - ج. 120 ق.م)

إنجازات فيتا في علم المثلثات
حل كامل لمشكلة تحديد جميع عناصر المستوي أو المثلث الكروي من ثلاثة عناصر معينة، توسيعات مهمة لـ sin пx وcos пx في قوى cos x وsinx. إن معرفة صيغة الجيب وجيب التمام للأقواس المتعددة مكنت فييت من حل معادلة الدرجة 45 التي اقترحها عالم الرياضيات أ. رومين؛ أظهر فييت أن حل هذه المعادلة يتلخص في تقسيم الزاوية إلى 45 جزءًا متساويًا وأن هناك 23 جذرًا موجبًا لهذه المعادلة. قام Vieth بحل مشكلة أبولونيوس باستخدام المسطرة والبوصلة.
حل المثلثات الكروية هي إحدى مسائل علم الفلك، وتسمح لنا النظريات التالية بحساب أضلاع وزوايا أي مثلث كروي من ثلاثة أضلاع أو زوايا محددة بشكل مناسب: (نظرية الجيب) (نظرية جيب التمام للزوايا) (نظرية جيب التمام للأضلاع) .

علم المثلثات في الفيزياء:

في العالم من حولنا علينا أن نتعامل مع عمليات دورية تتكرر على فترات منتظمة. وتسمى هذه العمليات التذبذبية. تخضع الظواهر التذبذبية ذات الطبيعة الفيزيائية المختلفة للقوانين العامة ويتم وصفها بنفس المعادلات. هناك مختلفة أنواع الظواهر التذبذبية.

التذبذب التوافقي- ظاهرة التغير الدوري لأي كمية، حيث يكون الاعتماد على الوسيطة بمثابة دالة الجيب أو جيب التمام. على سبيل المثال، تتأرجح الكمية بشكل متناغم وتتغير بمرور الوقت على النحو التالي:

حيث x هي قيمة الكمية المتغيرة، t هو الوقت، A هو سعة التذبذبات، ω هو التردد الدوري للتذبذبات، هو المرحلة الكاملة للتذبذبات، r هي المرحلة الأولية للتذبذبات.

التذبذب التوافقي المعمم بالشكل التفاضلي x’’ + ω²x = 0.

الاهتزازات الميكانيكية . الاهتزازات الميكانيكيةهي حركات الأجسام التي تتكرر على فترات زمنية متساوية تمامًا. يعطي التمثيل الرسومي لهذه الوظيفة تمثيلاً مرئيًا لمسار العملية التذبذبية مع مرور الوقت. من أمثلة الأنظمة التذبذبية الميكانيكية البسيطة الوزن على زنبرك أو البندول الرياضي.

علم المثلثات في الطبيعة.

كثيرا ما نطرح هذا السؤال "لماذا نرى أحيانًا أشياء ليست موجودة بالفعل؟". الأسئلة التالية مقترحة للبحث: "كيف يظهر قوس قزح؟ "الأضواء الشمالية؟"، "ما هي الأوهام البصرية؟" "كيف يمكن أن يساعد علم المثلثات في الإجابة على هذه الأسئلة؟"

تم اقتراح نظرية قوس قزح لأول مرة في عام 1637 من قبل رينيه ديكارت. وأوضح قوس قزح كظاهرة تتعلق بانعكاس وانكسار الضوء في قطرات المطر.

الأضواء الشمالية: يتحدد اختراق جزيئات الرياح الشمسية المشحونة إلى الطبقات العليا من الغلاف الجوي للكواكب من خلال تفاعل المجال المغناطيسي للكوكب مع الرياح الشمسية.

علم المثلثات متعدد الوظائف

يدعي العلماء الأمريكيون أن الدماغ يقدر المسافة إلى الأشياء عن طريق قياس الزاوية بين مستوى الأرض ومستوى الرؤية.

وبالإضافة إلى ذلك، في علم الأحياء يتم استخدام مفاهيم مثل الجيب السباتي، الجيب السباتي والجيوب الأنفية الوريدية أو الكهفية.

علم المثلثات والوظائف المثلثية في الطب والبيولوجيا.

واحد من الخصائص الأساسيةالطبيعة الحية هي الطبيعة الدورية لمعظم العمليات التي تحدث فيها.

الإيقاعات البيولوجية، الإيقاعات الحيوية- هذه تغييرات منتظمة إلى حد ما في طبيعة وكثافة العمليات البيولوجية.

إيقاع الأرض الأساسي– بدل يومي.

يمكن بناء نموذج للإيقاعات الحيوية باستخدام الدوال المثلثية.

علم المثلثات في علم الأحياء

أيّ العمليات البيولوجيةالمتعلقة بعلم المثلثات؟

يلعب علم المثلثات دورًا مهمًا في الطب. وبمساعدتها، اكتشف العلماء الإيرانيون صيغة القلب - وهي معادلة جبرية مثلثية معقدة تتكون من 8 تعبيرات و32 معاملًا و33 معلمة أساسية، بما في ذلك عدة معاملات إضافية للحسابات في حالات عدم انتظام ضربات القلب.

الإيقاعات البيولوجية، ترتبط الإيقاعات الحيوية بعلم المثلثات

العلاقة بين الإيقاع الحيوي وعلم المثلثات

يمكن بناء نموذج للإيقاعات الحيوية باستخدام الرسوم البيانية للدوال المثلثية. للقيام بذلك، تحتاج إلى إدخال تاريخ ميلاد الشخص (اليوم والشهر والسنة) والمدة المتوقعة

عندما يطير الطائر، يشكل مسار الأجنحة المرفرفة شكلًا جيبيًا.

ظهور التناغم الموسيقي

وفقًا للأساطير التي نزلت منذ العصور القديمة، كان فيثاغورس وطلابه أول من حاول القيام بذلك.

الترددات المقابلة لنفس الملاحظة في الأولى والثانية وما إلى ذلك. ترتبط الأوكتافات بـ 1:2:4:8...

سلم موسيقي 2:3:5

علم المثلثات في الهندسة المعمارية

مدرسة غاودي للأطفال في برشلونة

شركة سويس ري للتأمين في لندن

مطعم فيليكس كانديلا في لوس مانانتياليس

تفسير

لقد ذكرنا جزءًا صغيرًا فقط من الأماكن التي يمكن العثور على الدوال المثلثية فيها، واكتشفنا أن علم المثلثات ظهر إلى الحياة بسبب الحاجة إلى قياس الزوايا، لكنه تطور مع مرور الوقت إلى علم الدوال المثلثية.

لقد أثبتنا أن علم المثلثات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالفيزياء وهو موجود في الطبيعة والطب. يمكن للمرء أن يعطي أمثلة لا حصر لها على العمليات الدورية للحياة و الطبيعة الجامدة. يمكن وصف جميع العمليات الدورية باستخدام الدوال المثلثية وتصويرها على الرسوم البيانية

نعتقد أن علم المثلثات ينعكس في حياتنا، والمجالات

التي تلعب دورا هاما سوف تتوسع.

خاتمة

اكتشفتلقد تم إحياء علم المثلثات من خلال الحاجة إلى قياس الزوايا، ولكن مع مرور الوقت تطور إلى علم الدوال المثلثية.

اثبتأن علم المثلثات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالفيزياء الموجودة في الطبيعة والموسيقى وعلم الفلك والطب.

نحن نعتقدأن علم المثلثات ينعكس في حياتنا، وسوف تتوسع المجالات التي يلعب فيها دورا هاما.

7. الأدب.

ماسلوفا تي.ن. "دليل الطالب في الرياضيات"

برنامج Maple6 الذي ينفذ صورة الرسوم البيانية

"ويكيبيديا"

دراسات. رو

Math.ru "المكتبة"

تاريخ الرياضيات من العصور القديمة إلى بداية القرن التاسع عشر في 3 مجلدات // إد. أ.ب.يوشكيفيتش. موسكو، 1970 – المجلد 1-3 إي تي بيل مبدعو الرياضيات.

أسلاف الرياضيات الحديثة // أد. إس إن نيرو. موسكو، 1983 A. N. Tikhonov، D. P. Kostomarov.

قصص عن الرياضيات التطبيقية // موسكو 1979. إيه في فولوشينوف. الرياضيات والفن // موسكو، 1992. صحيفة الرياضيات. ملحق للصحيفة بتاريخ 1 سبتمبر 1998.

حساب المثلثات في علم الفلك:

مكّنت جداول مواقع الشمس والقمر التي جمعها هيبارخوس من إجراء حساب مسبق لحظات بداية الكسوف (مع وجود خطأ قدره 1-2 ساعة). كان هيبارخوس أول من استخدم طرق حساب المثلثات الكروية في علم الفلك. لقد زاد من دقة ملاحظاته باستخدام تقاطع من الخيوط في أدوات قياس الزوايا - السداسيات والأرباع - للإشارة إلى النجم. قام العالم بتجميع كتالوج ضخم لمواقع 850 نجمًا في تلك الأوقات، وقسمها حسب السطوع إلى 6 درجات (مقادير نجمية). قدم هيبارخوس الإحداثيات الجغرافية - خطوط الطول والعرض، ويمكن اعتباره مؤسس الجغرافيا الرياضية. (ج. 190 ق.م - ج. 120 ق.م)

حل كامل لمشكلة تحديد جميع عناصر المستوي أو المثلث الكروي من ثلاثة عناصر معينة، توسيعات مهمة لـ sin пx وcos пx في قوى cos x وsinx. إن معرفة صيغة الجيب وجيب التمام للأقواس المتعددة مكنت فييت من حل معادلة الدرجة 45 التي اقترحها عالم الرياضيات أ. رومين؛ أظهر فييت أن حل هذه المعادلة يتلخص في تقسيم الزاوية إلى 45 جزءًا متساويًا وأن هناك 23 جذرًا موجبًا لهذه المعادلة. قام Vieth بحل مشكلة أبولونيوس باستخدام المسطرة والبوصلة.
حل المثلثات الكروية هي إحدى مسائل علم الفلك، وتسمح لنا النظريات التالية بحساب أضلاع وزوايا أي مثلث كروي من ثلاثة أضلاع أو زوايا محددة بشكل مناسب: (نظرية الجيب) (نظرية جيب التمام للزوايا) (نظرية جيب التمام للأضلاع) .

علم المثلثات في الفيزياء:

أنواع الظواهر التذبذبية.

التذبذب التوافقي هو ظاهرة التغير الدوري لأي كمية، حيث يكون الاعتماد على الوسيطة بمثابة دالة الجيب أو جيب التمام. على سبيل المثال، تتأرجح الكمية بشكل متناغم وتتغير بمرور الوقت على النحو التالي:

الاهتزازات الميكانيكية . الاهتزازات الميكانيكية

علم المثلثات في الطبيعة.

كثيرا ما نطرح هذا السؤال

واحد من الخصائص الأساسية
- هذه تغييرات منتظمة إلى حد ما في طبيعة وكثافة العمليات البيولوجية.
إيقاع الأرض الأساسي- بدل يومي.

علم المثلثات في علم الأحياء

يلعب علم المثلثات دورًا مهمًا في الطب. وبمساعدتها، اكتشف العلماء الإيرانيون صيغة القلب - وهي معادلة جبرية مثلثية معقدة تتكون من 8 تعبيرات و32 معاملًا و33 معلمة أساسية، بما في ذلك عدة معاملات إضافية للحسابات في حالات عدم انتظام ضربات القلب.

سلم موسيقي 2:3:5

علم المثلثات في الهندسة المعمارية

شركة سويس ري للتأمين في لندن

تفسير

لقد ذكرنا جزءًا صغيرًا فقط من المكان الذي يمكنك العثور فيه على الدوال المثلثية. لقد اكتشفنا ذلك

لقد أثبتنا أن علم المثلثات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالفيزياء وهو موجود في الطبيعة والطب. يمكن للمرء أن يعطي العديد من الأمثلة التي لا نهاية لها على العمليات الدورية للطبيعة الحية وغير الحية. يمكن وصف جميع العمليات الدورية باستخدام الدوال المثلثية وتصويرها على الرسوم البيانية

نعتقد أن علم المثلثات ينعكس في حياتنا، والمجالات

التي تلعب دورا هاما سوف تتوسع.

اكتشفتلقد تم إحياء علم المثلثات من خلال الحاجة إلى قياس الزوايا، ولكن مع مرور الوقت تطور إلى علم الدوال المثلثية.
اثبت
نحن نعتقد

عرض محتويات الوثيقة
"Danilova TV-script"

MKOU "مدرسة نينيتس الثانوية - مدرسة داخلية سميت باسمها. أي بي بيريركي"

مشروع تعليمي

" "

دانيلوفا تاتيانا فلاديميروفنا

مدرس رياضيات

مبررات أهمية المشروع.

تعريف موضوع البحث

3. أهداف المشروع.

فرضية

اختبار الفرضيات

علم المثلثات (من اليونانيةتريجونون - مثلث،مترو - قياس) -

تاريخ علم المثلثات:

الخطوة التالية في تطوير علم المثلثات اتخذها الهنود في الفترة من القرن الخامس إلى القرن الثاني عشر.

في القرنين السابع عشر والتاسع عشر. يصبح علم المثلثات أحد فصول التحليل الرياضي.

أثبت جان فورييه أن أي حركة دورية يمكن تمثيلها (بأي درجة من الدقة) كمجموع من التذبذبات التوافقية البسيطة.

في نظام التحليل الرياضي.

أين يتم استخدام علم المثلثات؟

حساب المثلثات في علم الفلك:

علم المثلثات في الفيزياء:

التذبذب التوافقي المعمم بالشكل التفاضلي x’’ + ω²x = 0.

علم المثلثات في الطبيعة.

واحد من الخصائص الأساسيةالطبيعة الحية هي الطبيعة الدورية لمعظم العمليات التي تحدث فيها.

الإيقاعات البيولوجية، الإيقاعات الحيوية

إيقاع الأرض الأساسي– بدل يومي.

يمكن بناء نموذج للإيقاعات الحيوية باستخدام الدوال المثلثية.

علم المثلثات في علم الأحياء

ما هي العمليات البيولوجية المرتبطة بعلم المثلثات؟

الإيقاعات البيولوجية، ترتبط الإيقاعات الحيوية بعلم المثلثات

ظهور التناغم الموسيقي

وفقًا للأساطير التي نزلت منذ العصور القديمة، كان فيثاغورس وطلابه أول من حاول القيام بذلك.

الترددات المقابلة لنفس الملاحظة في الأولى والثانية وما إلى ذلك. ترتبط الأوكتافات بـ 1:2:4:8...

سلم موسيقي 2:3:5

علم المثلثات في الهندسة المعمارية

مدرسة غاودي للأطفال في برشلونة

شركة سويس ري للتأمين في لندن

مطعم فيليكس كانديلا في لوس مانانتياليس

تفسير

نعتقد أن علم المثلثات ينعكس في حياتنا، والمجالات

التي تلعب دورا هاما سوف تتوسع.

اثبتأن علم المثلثات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالفيزياء الموجودة في الطبيعة والموسيقى وعلم الفلك والطب.

نحن نعتقدأن علم المثلثات ينعكس في حياتنا، وسوف تتوسع المجالات التي يلعب فيها دورا هاما.

7. الأدب.

برنامج Maple6 الذي ينفذ صورة الرسوم البيانية

"ويكيبيديا"

Ucheba.ru

Math.ru "المكتبة"

عرض محتوى العرض التقديمي
"تلفزيون دانيلوفا."

" علم المثلثات في العالم من حولنا وحياة الإنسان "

أهداف البحث:

العلاقة بين علم المثلثات والحياة الحقيقية.

سؤال إشكالي 1. ما هي مفاهيم علم المثلثات الأكثر استخدامًا في الحياة الواقعية؟ 2. ما هو الدور الذي يلعبه علم المثلثات في علم الفلك والفيزياء والأحياء والطب؟ 3. كيف ترتبط الهندسة المعمارية والموسيقى وعلم المثلثات؟

فرضية

يمكن وصف معظم الظواهر الفيزيائية للطبيعة والعمليات الفسيولوجية والأنماط في الموسيقى والفن باستخدام علم المثلثات والدوال المثلثية.

ما هو علم المثلثات؟؟؟

علم المثلثات (من المثلث اليوناني - مثلث، مترو - متري) -قسم مجهري من الرياضيات، والذي يدرس العلاقات بين قيم الزوايا وأطوال أضلاع المثلثات، وكذلك المتطابقات الجبرية للدوال المثلثية.

تاريخ علم المثلثات

تعود أصول علم المثلثات إلى مصر القديمة وبابل ووادي السند منذ أكثر من 3000 عام.

ظهرت كلمة علم المثلثات لأول مرة في عام 1505 في عنوان كتاب لعالم الرياضيات الألماني بيتيسكوس.

كان القدماء يحسبون ارتفاع الشجرة من خلال مقارنة طول ظلها بطول ظل عمود معروف ارتفاعه.

تم استخدام النجوم لحساب موقع السفينة في البحر.

الخطوة التالية في تطوير علم المثلثات اتخذها الهنود في الفترة من القرن الخامس إلى القرن الثاني عشر.

في الفرق من اليونانيين ييان بدأ النظر في واستخدامه في الحسابات لم يعد وتر MM بأكمله  الزاوية المركزية المقابلة، ولكن فقط نصفها MR، أي الجيب  - نصف الزاوية المركزية .

ظهر مصطلح جيب التمام نفسه في وقت لاحق في أعمال العلماء الأوروبيين لأول مرة في نهاية القرن السادس عشر مما يسمى « تكملة جيب » ، أي. جيب الزاوية التي تكمل الزاوية المعطاة إلى 90  . « تكملة جيبية » أو (باللاتينية) بدأ اختصار الجيوب الأنفية التكميلية كـ sinus co أو co-sinus.

جنبا إلى جنب مع جيب الجيب، قدم الهنود في علم المثلثات جيب التمام وبتعبير أدق، بدأوا في استخدام خط جيب التمام في حساباتهم. كانوا يعرفون أيضًا العلاقات  =الخطيئة(90  -  ) والإثم 2  +كوس 2  = ص 2 وكذلك صيغ جيب مجموع الزاويتين والفرق بينهما.

في القرنين السابع عشر والتاسع عشر. يصبح علم المثلثات

أحد فصول التحليل الرياضي.

يجد تطبيقًا واسعًا في الميكانيكا،

الفيزياء والتكنولوجيا، وخاصة عند الدراسة

الحركات التذبذبية وغيرها

العمليات الدورية.

عرف فييت، الذي ارتبطت دراساته الرياضية الأولى بعلم المثلثات، بخصائص دورية الدوال المثلثية.

ثبت أن كل دورية

قد تكون الحركة

مقدم (بأي درجة

الدقة) في شكل مجموع الأعداد الأولية

الاهتزازات التوافقية.

مؤسس تحليلي

نظريات

حساب المثاثات المهام .

ليونارد أويلر

في "مقدمة لتحليل اللانهائيات" (1748)

يفسر الجيب وجيب التمام وما إلى ذلك. لا يشبه

الخطوط المثلثية المطلوبة

المتعلقة بالدائرة، وكيف

الدوال المثلثية انه

ينظر إليها على أنها علاقة بين الطرفين

المثلث الأيمن مثل الأرقام

كميات.

مستبعد من صيغتي

R - جيب كامل، مع الأخذ

R = 1، وتبسيطها هكذا

طريقة التسجيل والحساب.

يطور العقيدة

حول الدوال المثلثية

أي حجة.

استمر في القرن التاسع عشر

تطوير النظرية

حساب المثاثات

المهام.

إن آي لوباتشيفسكي

يقول لوباتشيفسكي: “إن الاعتبارات الهندسية ضرورية حتى بداية علم المثلثات، حتى تعمل على اكتشاف الخصائص المميزة للدوال المثلثية… ومن هنا، يصبح علم المثلثات مستقلاً تمامًا عن الهندسة ويتمتع بجميع مزايا التحليل”.

مراحل تطور علم المثلثات:

لقد تم إحياء علم المثلثات من خلال الحاجة إلى قياس الزوايا.

كانت الخطوات الأولى في علم المثلثات هي إنشاء اتصالات بين حجم الزاوية ونسبة قطع الخطوط المستقيمة المصممة خصيصًا. والنتيجة هي القدرة على حل المثلثات المستوية.

الحاجة إلى جدولة قيم الدوال المثلثية المدخلة.

تحولت الدوال المثلثية إلى كائنات مستقلة للبحث.

في القرن ال 18 تم تضمين الوظائف المثلثية

في نظام التحليل الرياضي.

أين يتم استخدام علم المثلثات؟

علم المثلثات في علم الفلك

وصل علم المثلثات أيضًا إلى ارتفاعات كبيرة بين علماء الفلك الهنود في العصور الوسطى.

كان الإنجاز الرئيسي لعلماء الفلك الهنود هو استبدال الحبال

الجيوب، مما جعل من الممكن تقديم وظائف مختلفة ذات صلة

مع جوانب وزوايا المثلث القائم.

وهكذا، تم وضع بداية علم المثلثات في الهند

كدراسة الكميات المثلثية.

هيبارخوس

علم المثلثات في الفيزياء

الاهتزازات الميكانيكية

الاهتزازات التوافقية

الاهتزازات التوافقية

التذبذب التوافقي - ظاهرة التغير الدوري لأي كمية، حيث يكون الاعتماد على الوسيطة بمثابة دالة الجيب أو جيب التمام. على سبيل المثال، تتأرجح الكمية بشكل متناغم وتتغير بمرور الوقت على النحو التالي:

أو

التذبذب التوافقي المعمم بالشكل التفاضلي x’’ + ω²x = 0.

الاهتزازات الميكانيكية

الاهتزازات الميكانيكية هي حركات الأجسام التي تتكرر على فترات زمنية متساوية تمامًا. يعطي التمثيل الرسومي لهذه الوظيفة تمثيلاً مرئيًا لمسار العملية التذبذبية مع مرور الوقت.

من أمثلة الأنظمة التذبذبية الميكانيكية البسيطة الوزن على زنبرك أو البندول الرياضي.

بندول الرياضيات

يوضح الشكل اهتزازات البندول، وهو يتحرك على طول منحنى يسمى جيب التمام.

مسار الرصاصة وإسقاطات المتجهات على المحورين X وY

يوضح الشكل أن إسقاطات المتجهات على المحورين X وY متساوية على التوالي

υ س = υ س كوس α

υ ذ = υ س الخطيئة α

علم المثلثات في الطبيعة

خداع بصري

طبيعي

صناعي

مختلط

نظرية قوس قزح

ويحدث قوس قزح عندما ينكسر ضوء الشمس بواسطة قطرات الماء المعلقة في الهواء. قانون الانكسار:

خطيئة α /الخطيئة β = ن 1 /ن 2

حيث n 1 =1، n 2 ≈1.33 هي معاملات انكسار الهواء والماء، على التوالي، α هي زاوية السقوط، و β هي زاوية انكسار الضوء.

الاضواء الشمالية

يدعي العلماء الأمريكيون أن الدماغ يقدر المسافة إلى الأشياء عن طريق قياس الزاوية بين مستوى الأرض ومستوى الرؤية.

وبالإضافة إلى ذلك، في علم الأحياء يتم استخدام مفاهيم مثل الجيب السباتي، الجيب السباتي والجيوب الأنفية الوريدية أو الكهفية.

يلعب علم المثلثات دورًا مهمًا في الطب. وبمساعدتها، اكتشف العلماء الإيرانيون صيغة القلب - وهي معادلة جبرية مثلثية معقدة تتكون من 8 تعبيرات و32 معاملًا و33 معلمة أساسية، بما في ذلك عدة معاملات إضافية للحسابات في حالات عدم انتظام ضربات القلب.

واحد من الخصائص الأساسيةالطبيعة الحية هي الطبيعة الدورية لمعظم العمليات التي تحدث فيها.

الإيقاعات البيولوجية، الإيقاعات الحيوية- هذه تغييرات منتظمة إلى حد ما في طبيعة وكثافة العمليات البيولوجية.

إيقاع الأرض الأساسي– بدل يومي.

يمكن بناء نموذج للإيقاعات الحيوية باستخدام الدوال المثلثية.

علم المثلثات في علم الأحياء

ما هي العمليات البيولوجية المرتبطة بعلم المثلثات؟

يلعب علم المثلثات دورًا مهمًا في الطب. وبمساعدتها، اكتشف العلماء الإيرانيون صيغة القلب - وهي معادلة جبرية مثلثية معقدة تتكون من 8 تعبيرات و32 معاملًا و33 معلمة أساسية، بما في ذلك عدة معاملات إضافية للحسابات في حالات عدم انتظام ضربات القلب.
الإيقاعات البيولوجية، ترتبط الإيقاعات الحيوية بعلم المثلثات.

يمكن بناء نموذج للإيقاعات الحيوية باستخدام الرسوم البيانية للدوال المثلثية.

للقيام بذلك، تحتاج إلى إدخال تاريخ ميلاد الشخص (اليوم، الشهر، السنة) ومدة التوقعات.

علم المثلثات في علم الأحياء

عند السباحة، يأخذ جسم السمكة شكل منحنى يشبه الرسم البياني للدالة y=tgx.

ظهور التناغم الموسيقي

وفقًا للأساطير التي نزلت منذ العصور القديمة، كان فيثاغورس وطلابه أول من حاول القيام بذلك.

الترددات المقابلة

نفس الملاحظة في الأولى والثانية وما إلى ذلك. ترتبط الأوكتافات بـ 1:2:4:8...

سلم موسيقي 2:3:5

الموسيقى لها هندستها الخاصة

رباعي الاسطح من أنواع مختلفة من الحبال من أربعة أصوات:

الأزرق - فترات صغيرة؛

نغمات أكثر دفئًا - أصوات وتر أكثر "تفريغًا" ؛ الكرة الحمراء هي الوتر الأكثر تناغمًا مع فترات متساوية بين النغمات.

كوس 2 ج + الخطيئة 2 ج = 1

تكييف- المسافة من أعلى التمثال إلى عيون الشخص،

أن- ارتفاع التمثال،

الخطيئة ج- جيب زاوية سقوط النظرة.

علم المثلثات في الهندسة المعمارية

مدرسة غاودي للأطفال في برشلونة

شركة سويس ري للتأمين في لندن

ذ = و ()كوس θ

ض = و (θ)الخطيئة θ

فيليكس كانديلا مطعم في لوس مانانتياليس

اكتشفتلقد تم إحياء علم المثلثات من خلال الحاجة إلى قياس الزوايا، ولكن مع مرور الوقت تطور إلى علم الدوال المثلثية.

اثبتأن علم المثلثات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالفيزياء الموجودة في الطبيعة والموسيقى وعلم الفلك والطب.

نحن نعتقدأن علم المثلثات ينعكس في حياتنا، وسوف تتوسع المجالات التي يلعب فيها دورا هاما.

لقد قطع علم المثلثات شوطا طويلا في التنمية. والآن يمكننا أن نقول بثقة أن علم المثلثات لا يعتمد على العلوم الأخرى، والعلوم الأخرى تعتمد على علم المثلثات.

ماسلوفا تي.ن. "دليل الطالب في الرياضيات"
برنامج Maple6 الذي ينفذ صورة الرسوم البيانية
"ويكيبيديا"
Ucheba.ru
Math.ru "المكتبة"
تاريخ الرياضيات من العصور القديمة إلى بداية القرن التاسع عشر في 3 مجلدات // إد. أ.ب.يوشكيفيتش. موسكو، 1970 – المجلد 1-3 إي تي بيل مبدعو الرياضيات.
أسلاف الرياضيات الحديثة // أد. إس إن نيرو. موسكو، 1983 A. N. Tikhonov، D. P. Kostomarov.
قصص عن الرياضيات التطبيقية // موسكو 1979. إيه في فولوشينوف. الرياضيات والفن // موسكو، 1992. صحيفة الرياضيات. ملحق للصحيفة بتاريخ 1 سبتمبر 1998.

تطبيق الدوال المثلثية العكسية في الحياة. تاريخ علم المثلثات: الظهور والتطور

عرض محتويات الوثيقة "Danilova TV-script"

عرض محتوى العرض التقديمي "تلفزيون دانيلوفا."

عرض محتويات الوثيقة
"Danilova TV-script"

عرض محتوى العرض التقديمي
"تلفزيون دانيلوفا."