أوجد أكبر ارتفاع للمثلث. ارتفاع المثلث

بادئ ذي بدء، هناك مثلث الشكل الهندسي، والتي تتكون من ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم ومتصلة بثلاثة أجزاء. للعثور على ارتفاع المثلث، عليك أولاً تحديد نوعه. تختلف المثلثات في حجم زواياها وعدد الزوايا المتساوية. وفقا لحجم الزوايا، يمكن للمثلث أن يكون حادا، منفرجا، ومستطيلا. بناءً على عدد الأضلاع المتساوية، يتم تمييز المثلثات على أنها متساوية الساقين ومتساوية الأضلاع ومختلف الأضلاع. الارتفاع هو العمود الذي ينخفض على الجانب المقابل للمثلث من رأسه. كيفية العثور على ارتفاع المثلث؟

كيفية العثور على ارتفاع مثلث متساوي الساقين

يتميز المثلث متساوي الساقين بتساوي الأضلاع والزوايا عند قاعدته، وبالتالي فإن ارتفاعات المثلث المتساوي الساقين المرسومة على الجوانب الجانبية تكون دائمًا متساوية مع بعضها البعض. كما أن ارتفاع هذا المثلث هو متوسط ومنصف. وبناء على ذلك، فإن الارتفاع يقسم القاعدة إلى النصف. نحن نعتبر المثلث القائم الناتج ونجد الضلع، أي ارتفاع المثلث المتساوي الساقين، باستخدام نظرية فيثاغورس. باستخدام الصيغة التالية، نحسب الارتفاع: H = 1/2*√4*a 2 − b 2، حيث: a هو الجانب الجانبي لهذا المثلث متساوي الساقين، b هو قاعدة هذا المثلث متساوي الساقين.

كيفية العثور على ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع

المثلث الذي له جوانب متساوية يسمى متساوي الأضلاع. ارتفاع هذا المثلث مشتق من صيغة ارتفاع المثلث المتساوي الساقين. اتضح: H = √3/2*a، حيث a هو جانب هذا المثلث متساوي الأضلاع.

كيفية العثور على ارتفاع مثلث مختلف الأضلاع

المختلف الأضلاع هو مثلث لا يكون فيه أي ضلعين متساويين. في مثل هذا المثلث، ستكون الارتفاعات الثلاثة مختلفة. يمكنك حساب أطوال الارتفاعات باستخدام الصيغة: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2، حيث a هو ضلع المثلث أو قم أولاً بحساب مساحة مثلث معين باستخدام صيغة هيرون، والتي يبدو كالتالي: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2، حيث a، b، c هي أضلاع مثلث مختلف الأضلاع، وp هو نصف محيطه. كل ارتفاع = 2*المساحة/الضلع

كيفية العثور على ارتفاع المثلث الأيمن

المثلث القائم له زاوية قائمة واحدة. الارتفاع الذي يصل إلى إحدى الساقين هو في نفس الوقت الرجل الثانية. لذلك، للعثور على الارتفاعات الملقاة على الساقين، تحتاج إلى استخدام صيغة فيثاغورس المعدلة: a = √(c 2 − b 2)، حيث a، b هي الأرجل (a هي الساق التي يجب العثور عليها)، ج هو طول الوتر. من أجل العثور على الارتفاع الثاني، تحتاج إلى وضع القيمة الناتجة a بدلاً من b. للعثور على الارتفاع الثالث داخل المثلث، استخدم الصيغة التالية: h = 2s/a، حيث h هو الارتفاع مثلث قائم، s هي مساحته، وa هو طول الضلع الذي سيكون الارتفاع عموديًا عليه.

يسمى المثلث حادًا إذا كانت جميع زواياه حادة. في هذه الحالة، تقع الارتفاعات الثلاثة داخل مثلث حاد الزوايا. يسمى المثلث منفرجا إذا كان له زاوية منفرجة واحدة. يوجد ارتفاعان لمثلث منفرج خارج المثلث ويقعان على امتداد الجوانب. والضلع الثالث يقع داخل المثلث. يتم تحديد الارتفاع باستخدام نفس نظرية فيثاغورس.

الصيغ العامة لحساب ارتفاع المثلث

صيغة لإيجاد ارتفاع المثلث من خلال الجوانب: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b)، حيث h هو الارتفاع المطلوب العثور عليه، وa وb وc هي أضلاع المثلث مثلث معين، p هو نصف محيطه، .
صيغة إيجاد ارتفاع المثلث باستخدام الزاوية والضلع: H=b sin y = c sin ß
صيغة إيجاد ارتفاع المثلث من خلال المساحة والضلع: h = 2S/a، حيث a هو ضلع المثلث، وh هو الارتفاع المبني على الضلع a.
صيغة إيجاد ارتفاع المثلث باستخدام نصف القطر والأضلاع: H=bc/2R.

لحل العديد من المسائل الهندسية، عليك إيجاد الارتفاع الرقم المعطى. هذه المهام لديها القيمة المطبقة. عند تنفيذ أعمال البناء، فإن تحديد الارتفاع يساعد على حساب الكمية المطلوبة من المواد، وكذلك تحديد مدى دقة عمل المنحدرات والفتحات. في كثير من الأحيان، لإنشاء أنماط، تحتاج إلى الحصول على فكرة عن الخصائص

كثير من الناس، على الرغم من الدرجات الجيدة في المدرسة، عند بناء الأشكال الهندسية العادية، لديهم سؤال حول كيفية العثور على ارتفاع المثلث أو متوازي الأضلاع. وهذا هو الأصعب. وذلك لأن المثلث يمكن أن يكون حادًا أو منفرجًا أو متساوي الساقين أو قائمًا. كل واحد منهم لديه قواعد البناء والحساب الخاصة به.

كيفية العثور على ارتفاع المثلث الذي تكون جميع زواياه حادة بيانياً

إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة (كل زاوية في المثلث أقل من 90 درجة)، فلمعرفة الارتفاع عليك القيام بما يلي.

باستخدام المعلمات المعطاة، نقوم ببناء مثلث.
دعونا نقدم بعض الرموز. ستكون A وB وC هي رؤوس الشكل. الزوايا المقابلة لكل قمة هي α، β، γ. والأضلاع المقابلة لهذه الزوايا هي أ، ب، ج.
الارتفاع هو العمود العمودي المرسوم من رأس الزاوية على الضلع المقابل للمثلث. للعثور على ارتفاعات المثلث، نقوم ببناء خطوط عمودية: من رأس الزاوية α إلى الجانب أ، ومن قمة الزاوية β إلى الجانب ب، وهكذا.
لنشير إلى نقطة تقاطع الارتفاع والجانب a بالرمز H1، والارتفاع نفسه بالرمز h1. ستكون نقطة تقاطع الارتفاع والجانب b هي H2، والارتفاع، على التوالي، h2. بالنسبة للجانب c، سيكون الارتفاع h3 وستكون نقطة التقاطع H3.

الارتفاع في مثلث ذو زاوية منفرجة

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية العثور على ارتفاع المثلث إذا كان هناك واحد (أكثر من 90 درجة). وفي هذه الحالة يكون الارتفاع المرسوم من الزاوية المنفرجة داخل المثلث. الارتفاعان المتبقيان سيكونان خارج المثلث.

لنفترض أن الزاويتين α و β في مثلثنا تكونان حادتين، والزاوية γ منفرجة. ثم، لبناء الارتفاعات القادمة من الزاويتين α و β، من الضروري مواصلة جوانب المثلث المقابل لها من أجل رسم الخطوط المتعامدة.

كيفية العثور على ارتفاع مثلث متساوي الساقين

مثل هذا الشكل له ضلعان متساويان وقاعدة، في حين أن زوايا القاعدة متساوية أيضًا مع بعضها البعض. هذه المساواة في الجوانب والزوايا تجعل من السهل إنشاء الارتفاعات وحسابها.

أولا، دعونا نرسم المثلث نفسه. اجعل الجانبين b وc، وكذلك الزوايا β، γ، متساوية على التوالي.

الآن لنرسم الارتفاع من رأس الزاوية α، ونشير إليه بـ h1. لهذا الارتفاع سيكون منصفًا ووسيطًا.

يمكن إجراء بناء واحد فقط للمؤسسة. على سبيل المثال، ارسم متوسطًا - وهو الجزء الذي يربط قمة مثلث متساوي الساقين والجانب المقابل، القاعدة، للعثور على الارتفاع والمنصف. ولحساب طول الارتفاع للجانبين الآخرين، يمكنك إنشاء ارتفاع واحد فقط. وبالتالي، لتحديد كيفية حساب ارتفاع مثلث متساوي الساقين بيانيًا، يكفي العثور على ارتفاعين من الارتفاعات الثلاثة.

كيفية العثور على ارتفاع المثلث الأيمن

بالنسبة للمثلث القائم الزاوية، يكون تحديد الارتفاعات أسهل بكثير من المثلثات الأخرى. يحدث هذا لأن الأرجل نفسها تشكل زاوية قائمة، وبالتالي فهي ارتفاعات.

لبناء الارتفاع الثالث، كالعادة، يتم رسم عمودي يربط قمة الزاوية القائمة والجانب المقابل. ونتيجة لذلك، من أجل إنشاء مثلث في هذه الحالة، مطلوب بناء واحد فقط.

عند حل أنواع مختلفة من المشكلات، سواء كانت ذات طبيعة رياضية أو تطبيقية بحتة (خاصة في البناء)، غالبًا ما يكون من الضروري تحديد قيمة ارتفاع شكل هندسي معين. كيف تحسب هذه القيمة (الارتفاع) في المثلث؟

إذا قمنا بدمج 3 نقاط في أزواج غير موجودة على خط واحد، فسيكون الشكل الناتج مثلثًا. الارتفاع هو جزء الخط المستقيم من أي قمة في الشكل، والذي عند تقاطعه مع الجانب المقابل يشكل زاوية قياسها 90 درجة.

أوجد ارتفاع مثلث مختلف الأضلاع

دعونا نحدد قيمة ارتفاع المثلث في الحالة التي يكون فيها الشكل ذو زوايا وجوانب عشوائية.

صيغة هيرون

ح(أ)=(2√(ص(ص-أ)*(ص-ب)*(ص-ج)))/أ، حيث

p - نصف محيط الشكل، h(a) - قطعة من الجانب a، مرسومة بزوايا قائمة عليها،

p=(a+b+c)/2 – حساب نصف المحيط.

إذا كانت هناك مساحة من الشكل، يمكنك استخدام العلاقة h(a)=2S/a لتحديد ارتفاعه.

الدوال المثلثية

لتحديد طول القطعة التي تشكل زاوية قائمة عند التقاطع مع الجانب a، يمكنك استخدام العلاقات التالية: إذا كان الضلع b والزاوية γ أو الضلع c والزاوية β معروفين، فإن h(a)=b*sinγ أو ح(أ)=ج *الخطيئةβ.
أين:
γ - الزاوية بين الجانب ب و أ،
β هي الزاوية بين الضلع c وa.

العلاقة مع نصف القطر

إذا كان المثلث الأصلي مدرجًا في دائرة، فيمكنك استخدام نصف قطر هذه الدائرة لتحديد الارتفاع. يقع مركزها عند النقطة التي تتقاطع فيها الارتفاعات الثلاثة (من كل قمة) - مركز تقويم العظام، والمسافة منه إلى القمة (أي) هي نصف القطر.

ثم h(a)=bc/2R، حيث:
ب، ج – 2 الجانبين الآخرين للمثلث،
R هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

أوجد الارتفاع في المثلث الأيمن

في هذا النوع من الأشكال الهندسية، يشكل الجانبان، عند التقاطع، زاوية قائمة - 90 درجة. لذلك، إذا كنت ترغب في تحديد قيمة الارتفاع فيه، فأنت بحاجة إلى حساب حجم إحدى الأرجل، أو حجم الجزء الذي يشكل 90 درجة مع الوتر. عند التعيين:
أ، ب – الساقين،
ج - الوتر،
ح(ج) – عمودي على الوتر.
يمكنك إجراء الحسابات اللازمة باستخدام العلاقات التالية:

نظرية فيثاغورس:

أ=√(ج2 -ب2),
ب=√(ج 2 -أ 2),
ح(ج)=2S/ج، لأن S=ab/2، ثم h(c)=ab/c.

الدوال المثلثية:

أ=ج*الخطيئةβ،
ب=ج*كوسβ،
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

أوجد ارتفاع المثلث متساوي الساقين

يتميز هذا الشكل الهندسي بوجود ضلعين متساويين في الحجم وثالث هو القاعدة. لتحديد الارتفاع المرسوم إلى الجانب الثالث المتميز، تأتي نظرية فيثاغورس للإنقاذ. مع الملاحظات
أ - الجانب،
ج – القاعدة،
h(c) هو جزء من c بزاوية 90°، ثم h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

مثلث) أو يمر خارج المثلث عند مثلث منفرج.

يوتيوب الموسوعي

1 / 5

✪ ارتفاع المنصف المتوسط للمثلث الصف 7

✪ المنصف، الوسيط، ارتفاع المثلث. الهندسة الصف السابع

✪ الصف السابع، الدرس 17، المتوسطات والمنصفات وارتفاعات المثلث

✪ الوسيط، المنصف، ارتفاع المثلث | الهندسة

✪ كيف تجد طول المنصف والوسيط والارتفاع؟ | الطالب الذي يذاكر كثيرا معي #031 | بوريس تروشين

ترجمات

خصائص نقطة تقاطع الارتفاعات الثلاثة للمثلث (مركز التعامد)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ سهم فوق اليمين (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(لإثبات الهوية، يجب عليك استخدام الصيغ

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA) )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB))،\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (المفوضية الأوروبية)))

ينبغي اعتبار النقطة E بمثابة تقاطع ارتفاعين للمثلث.)

مركز تقويم العظاممترافق بشكل متساوي مع المركز دائرة مقيدة .
مركز تقويم العظاميقع على نفس خط النقطه الوسطى، المركز دائرة محيطيةومركز دائرة من تسع نقاط (انظر خط أويلر المستقيم).
مركز تقويم العظاممثلث حاد الزوايا هو مركز الدائرة المدرج في مثلثها المتعامد.
مركز المثلث الذي وصفه مركز تقويم العظام مع وجود رؤوس عند نقاط المنتصف لجوانب المثلث المحدد. المثلث الأخير يسمى المثلث المكمل للمثلث الأول.
يمكن صياغة الخاصية الأخيرة على النحو التالي: يخدم مركز الدائرة المحيط بالمثلث مركز تقويم العظاممثلث إضافي.
نقاط متناظرة مركز تقويم العظامللمثلث بالنسبة لأضلاعه تقع على الدائرة المحيطة.
نقاط متناظرة مركز تقويم العظامتقع المثلثات بالنسبة لمنتصف الجوانب أيضًا على الدائرة المقيدة وتتزامن مع النقاط المقابلة تمامًا للقمم المقابلة.
إذا كان O هو مركز الدائرة المحيطة ΔABC، إذن O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC)))) ,
المسافة من قمة المثلث إلى المركز المتعامد هي ضعف المسافة من مركز الدائرة المحيطة إلى الجانب الآخر.
أي شريحة مأخوذة من مركز تقويم العظامقبل أن يتقاطع مع الدائرة المحيطة، يتم تقسيمه دائمًا إلى نصفين بواسطة دائرة أويلر. مركز تقويم العظامهو مركز التجانس لهاتين الدائرتين.
نظرية هاملتون. ثلاثة خطوط مستقيمة تربط مركز التعامد مع رؤوس المثلث الحاد وتقسمه إلى ثلاثة مثلثات لها نفس دائرة أويلر (دائرة من تسع نقاط) مثل المثلث الحاد الأصلي.
النتائج الطبيعية لنظرية هاميلتون:
- ثلاثة أجزاء مستقيمة تربط مركز تقويم العظام برؤوس مثلث حاد وتقسمه إلى ثلاثة مثلث هاملتونلها أنصاف متساوية من الدوائر المقيدة.
- نصف قطر الدوائر المقيدة بثلاثة مثلثات هاملتونيساوي نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث الحاد الأصلي.
في المثلث الحاد، يقع مركز تقويم العظام داخل المثلث؛ في زاوية منفرجة - خارج المثلث؛ في شكل مستطيل - عند قمة الزاوية القائمة.

خصائص ارتفاعات المثلث متساوي الساقين

إذا كان ارتفاعان متساويان في مثلث، فإن المثلث متساوي الساقين (نظرية شتاينر ليموس)، والارتفاع الثالث هو متوسط ومنصف الزاوية التي يخرج منها.
والعكس صحيح أيضًا: في المثلث المتساوي الساقين، يكون الارتفاعان متساويان، والارتفاع الثالث هو المتوسط والمنصف.
المثلث متساوي الأضلاع جميع الارتفاعات الثلاثة متساوية.

خصائص قواعد ارتفاعات المثلث

أسبابتشكل المرتفعات ما يسمى بالمثلث المتعامد الذي له خصائصه الخاصة.
الدائرة المحيطة بالمثلث المتعامد هي دائرة أويلر. تحتوي هذه الدائرة أيضًا على ثلاث نقاط منتصف لأضلاع المثلث وثلاث نقاط منتصف لثلاثة أجزاء تربط المركز المتعامد مع رؤوس المثلث.
صيغة أخرى للخاصية الأخيرة:
- نظرية أويلر لدائرة من تسع نقاط. أسبابثلاثة مرتفعاتمثلث اعتباطي منتصف أضلاعه الثلاثة ( أسسه الداخليةالمتوسطات) ونقاط منتصف الأجزاء الثلاثة التي تربط رؤوسها بالمركز المتعامد، كلها تقع على نفس الدائرة (على دائرة تسع نقاط).
نظرية. في أي مثلث، الجزء المتصل أسباباثنين مرتفعاتمثلث، يقطع مثلثًا مشابهًا للمثلث المعطى.
نظرية. في المثلث، قطعة الاتصال أسباباثنين مرتفعاتمثلثات ملقاة على الجانبين مضاد للتوازيإلى طرف ثالث ليس له أرضية مشتركة معه. يمكن دائمًا رسم الدائرة من طرفيها، وكذلك من خلال رأسي الضلع الثالث المذكور.

خصائص أخرى لارتفاعات المثلث

إذا مثلث متنوع القدرات (مختلف الأضلاع)، ثم أنه داخليالمنصف المرسوم من أي قمة تقع بينهما داخليالمتوسط والارتفاع مرسومان من نفس الرأس.
ارتفاع المثلث يرتبط بشكل متساوي مع القطر (نصف القطر) دائرة مقيدة، مأخوذة من نفس الرأس.
في المثلث الحاد يوجد اثنان مرتفعاتقطع مثلثات مماثلة منه.
في المثلث الأيمن ارتفاع، المرسوم من رأس الزاوية القائمة، يقسمها إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.

خصائص الحد الأدنى لارتفاع المثلث

الحد الأدنى لارتفاع المثلث له العديد من الخصائص المتطرفة. على سبيل المثال:

الحد الأدنى للإسقاط المتعامد للمثلث على الخطوط الواقعة في مستوى المثلث له طول يساوي أصغر ارتفاعاته.
الحد الأدنى للقطع المستقيم في المستوى الذي يمكن من خلاله سحب لوحة مثلثة صلبة يجب أن يكون طوله مساويًا لأصغر ارتفاعات هذه اللوحة.
مع الحركة المستمرة لنقطتين على طول محيط المثلث تجاه بعضهما البعض، فإن أقصى مسافة بينهما أثناء الحركة من اللقاء الأول إلى الثاني لا يمكن أن تقل عن طول أصغر ارتفاع للمثلث.
الحد الأدنى للارتفاع في المثلث يقع دائمًا داخل هذا المثلث.

العلاقات الأساسية

ح أ = ب ⋅ خطيئة ⁡ γ = ج ⋅ خطيئة ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a)))،)أين س (\displaystyle S)- مساحة المثلث، أ (\displaystyle أ)- طول ضلع المثلث الذي ينخفض به الارتفاع.
h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)))،)أين ب ⋅ ج (\displaystyle b(\cdot )c)- منتج الجوانب، ص - (\displaystyle R-)دائرة نصف قطرها محدودة
ح أ: ح ب: ح ج = 1 أ: 1 ب: 1 ج = (ب ⋅ ج) : (أ ⋅ ج) : (أ ⋅ ب) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(ب(\cdot )ج):(أ(\cdot )ج):(أ(\cdot )ب).)
1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (ج)))=(\frac (1)(ص))))، أين ص (\displaystyle r)- نصف قطر الدائرة المنقوشة.
S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c) )))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))، أين س (\displaystyle S) - مساحة المثلث.
أ = 2 ح أ ⋅ (1 ح أ + 1 ح ب + 1 ح ج) ⋅ (1 ح أ + 1 ح ب − 1 ح ج) ⋅ (1 ح أ + 1 ح ج − 1 ح ب) ⋅ (1 ح ب + 1 ح ج − 1 ح أ) (\ Displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ فارك (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (أ))))))))), أ (\displaystyle أ)- جانب المثلث الذي ينحدر إليه الارتفاع ح أ (\displaystyle h_(a)).
ارتفاع مثلث متساوي الساقين منخفضًا إلى القاعدة: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))

أين ج (\displaystyle c)- قاعدة، أ (\displaystyle أ)- جانب.

نظرية ارتفاع المثلث الأيمن

إذا كان الارتفاع في المثلث القائم ABC له طول ح (\displaystyle h)المرسومة من قمة الزاوية القائمة، يقسم الوتر بالطول ج (\displaystyle c)إلى شرائح م (\displaystyle م)و ن (\displaystyle n)المقابلة للساقين ب (\displaystyle b)و أ (\displaystyle أ)، فإن المساواة التالية صحيحة.

ارتفاع المثلث هو العمودي النازل من أي رأس من رؤوس المثلث إلى الجانب المقابل، أو إلى امتداده (الجانب الذي ينحدر عليه المتعامد يسمى في هذه الحالة قاعدة المثلث).

في المثلث المنفرج، يقع ارتفاعان على امتداد ضلعيه ويقعان خارج المثلث. والثالث داخل المثلث.

في المثلث الحاد، تقع الارتفاعات الثلاثة داخل المثلث.

في المثلث الأيمن، تعمل الأرجل كارتفاعات.

كيفية العثور على الارتفاع من القاعدة والمنطقة

دعونا نتذكر صيغة حساب مساحة المثلث. يتم حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة: أ = 1/2 ب.

أ هي مساحة المثلث
ب هو ضلع المثلث الذي انخفض الارتفاع عليه.
ح - ارتفاع المثلث

انظر إلى المثلث وفكر في الكميات التي تعرفها بالفعل. إذا تم إعطاؤك منطقة، قم بتسميتها "A" أو "S". يجب أيضًا أن تحصل على معنى الجانب، قم بتسميته بـ "b". إذا لم يتم إعطاؤك المساحة ولم يتم إعطاؤك الجانب، فاستخدم طريقة أخرى.

ضع في اعتبارك أن قاعدة المثلث يمكن أن تكون أي جانب ينخفض ارتفاعه إليه (بغض النظر عن كيفية وضع المثلث). لفهم ذلك بشكل أفضل، تخيل أنه يمكنك تدوير هذا المثلث. اقلبها بحيث يكون الجانب الذي تعرفه متجهًا لأسفل.

على سبيل المثال، مساحة المثلث هي 20، وأحد أضلاعه 4. في هذه الحالة، "'A = 20"، ''b = 4'".

استبدل القيم المعطاة لك في الصيغة لحساب المساحة (A = 1/2bh) وأوجد الارتفاع. أولاً، اضرب الجانب (ب) في 1/2، ثم اقسم المساحة (أ) على القيمة الناتجة. بهذه الطريقة سوف تجد ارتفاع المثلث.

في مثالنا: 20 = 1/2(4)ح

20 = 2 ساعة
10 = ح

تذكر خصائص المثلث متساوي الأضلاع. في المثلث متساوي الأضلاع، جميع الأضلاع وجميع الزوايا متساوية (كل زاوية قياسها 60 درجة). إذا قمت برسم الارتفاع في مثل هذا المثلث، فستحصل على مثلثين متساويين قائمي الزاوية.
على سبيل المثال، النظر في مثلث متساوي الأضلاع مع الجانب 8.

تذكر نظرية فيثاغورس. تنص نظرية فيثاغورس على أنه في أي مثلث قائم الزاوية ذو الأرجل "أ" و"ب"، فإن الوتر "ج" يساوي: a2+b2=c2. يمكن استخدام هذه النظرية للعثور على ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع!

قسّم المثلث متساوي الأضلاع إلى مثلثين قائمين (للقيام بذلك، ارسم الارتفاع). ثم قم بتسمية جوانب أحد المثلثات القائمة. الضلع الجانبي للمثلث متساوي الأضلاع هو الوتر "c" للمثلث القائم الزاوية. الضلع "أ" يساوي نصف ضلع المثلث متساوي الأضلاع، والضلع "ب" هو الارتفاع المطلوب للمثلث متساوي الأضلاع.

لذا، في مثالنا لمثلث متساوي الأضلاع ضلعه المعلوم 8: c = 8 وa = 4.

قم بتوصيل هذه القيم في نظرية فيثاغورس واحسب b2. أولاً، المربع "ج" و"أ" (اضرب كل قيمة في حد ذاتها). ثم اطرح a2 من c2.

42 + ب2 = 82
16 + ب2 = 64
ب2 = 48

خذ الجذر التربيعي لـ b2 لإيجاد ارتفاع المثلث. للقيام بذلك، استخدم الآلة الحاسبة. ستكون القيمة الناتجة هي ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع!

ب = √48 = 6.93

كيفية العثور على الارتفاع باستخدام الزوايا والجوانب

فكر في المعاني التي تعرفها. يمكنك معرفة ارتفاع المثلث إذا كنت تعرف قيم الجوانب والزوايا. على سبيل المثال، إذا كانت الزاوية بين القاعدة والضلع معروفة. أو إذا كانت قيم الأطراف الثلاثة معروفة. لذلك، نشير إلى جوانب المثلث: "أ"، "ب"، "ج"، زوايا المثلث: "أ"، "ب"، "ج"، والمنطقة - الحرف "S".

إذا كنت تعرف الجوانب الثلاثة، فستحتاج إلى مساحة المثلث وصيغة هيرون.

إذا كنت تعرف الجانبين والزاوية بينهما، يمكنك استخدام الصيغة التالية للعثور على المساحة: S=1/2ab(sinC).

إذا أعطيت قيم الجوانب الثلاثة، فاستخدم صيغة هيرون. باستخدام هذه الصيغة، سيكون عليك تنفيذ عدة خطوات. تحتاج أولاً إلى العثور على المتغير "s" (نشير إلى نصف محيط المثلث بهذا الحرف). للقيام بذلك، استبدل القيم المعروفة في هذه الصيغة: s = (a+b+c)/2.

للمثلث الذي أضلاعه أ = 4، ب = 3، ج = 5، ق = (4+3+5)/2. والنتيجة هي: s=12/2، حيث s=6.

ثم، كخطوة ثانية، نجد المساحة (الجزء الثاني من صيغة هيرون). المساحة = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). بدلاً من كلمة "منطقة"، أدخل الصيغة المكافئة للعثور على المساحة: 1/2bh (أو 1/2ah، أو 1/2ch).

الآن ابحث عن تعبير مكافئ للارتفاع (ح). بالنسبة لمثلثنا، ستكون المعادلة التالية صحيحة: 1/2(3)ح = (6(6-4)(6-3)(6-5)). حيث 3/2h=√(6(2(3(1))). اتضح أن 3/2h = √(36). باستخدام الآلة الحاسبة، احسب الجذر التربيعي. في مثالنا: 3/2h = 6. وتبين أن الارتفاع (ح) يساوي 4، والضلع ب هو القاعدة.

إذا كان الضلعان والزاوية معروفين وفقًا لشروط المسألة، فيمكنك استخدام صيغة مختلفة. استبدل المساحة في الصيغة بالتعبير المكافئ: 1/2bh. وبالتالي، سوف تحصل على الصيغة التالية: 1/2bh = 1/2ab(sinC). ويمكن تبسيطه إلى النموذج التالي: h = a(sin C) لإزالة متغير واحد غير معروف.

الآن كل ما تبقى هو حل المعادلة الناتجة. على سبيل المثال، لنفترض أن "أ" = 3، و"ج" = 40 درجة. عندها ستبدو المعادلة كما يلي: "h" = 3(sin 40). باستخدام الآلة الحاسبة وجدول الجيب، احسب قيمة "h". في مثالنا، ح = 1.928.